Vektor arah garis lurus l mana-mana vektor bukan sifar ( m, n) selari dengan garisan ini.

Biarkan titik M 1 (x 1 , y 1) dan vektor arah ( m, n), maka persamaan garis lurus yang melalui titik itu M 1 dalam arah vektor mempunyai bentuk: . Persamaan ini dipanggil persamaan kanonik lurus.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Kami akan mencari persamaan garis lurus yang dikehendaki dalam bentuk: Ax+Oleh+C= 0. Mari kita tulis persamaan kanonik bagi garis , ubahnya. Dapatkan x + y - 3 = 0

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua mata diberikan pada pesawat M 1 (x 1 , y 1) dan M 2 (x 2, y 2), maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini mempunyai bentuk: . Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar.

Contoh. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menggunakan formula di atas, kami mendapat:

Persamaan garis lurus dari titik dan cerun

Jika persamaan am bagi garis lurus Ah + Wu + C= 0 bawa ke bentuk: dan nyatakan , maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan faktor cerun k.

Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan am garis Ah + Wu + C= 0 pekali DARI¹ 0, kemudian, membahagikan dengan C, kita dapat: atau , di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Oh, a b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi OU.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan X – di+ 1 = 0. Cari persamaan garis lurus ini dalam segmen. A = -1, B = 1, C = 1, kemudian a = -1, b= 1. Persamaan garis lurus dalam segmen akan berbentuk .

Contoh. Bucu bagi segi tiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) diberi. Cari persamaan bagi ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Kami mencari persamaan sisi AB: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang dikehendaki mempunyai bentuk: Ax+Oleh+C= 0 atau y = kx + b.

k= . Kemudian y= . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memuaskan persamaan ini: di mana b= 17. Jumlah: .

Jawapan: 3 x + 2y – 34 = 0.

Pengajaran praktikal №7

Nama kelas: Lengkung tertib kedua.

Tujuan pelajaran: Ketahui cara membuat lengkung tertib ke-2, binanya.

Persediaan untuk pelajaran: ulang bahan teori mengenai topik "Keluk tertib ke-2"

kesusasteraan:

1. Dadayan A.A. "Matematik", 2004

Tugasan untuk pelajaran:

Urutan pelajaran:

1. Dapatkan kebenaran untuk bekerja
2. Selesaikan tugasan
3. Jawab soalan-soalan keselamatan.

1. Nama, tujuan pelajaran, tugas;
2. Selesai tugas;
3. Jawapan kepada soalan kawalan.

Soalan kawalan untuk offset:

1. Tentukan lengkung tertib kedua (bulatan, elips, hiperbola, parabola), tuliskan persamaan kanoniknya.
2. Apakah kesipian elips atau hiperbola yang dipanggil? Bagaimana untuk mencarinya?
3. Tulis persamaan hiperbola sama sisi

LAMPIRAN

lilitan ialah set semua titik satah yang berjarak sama dari satu titik, dipanggil pusat.

Biarkan pusat bulatan menjadi titik O(a; b), dan jarak ke mana-mana titik M(x;y) bulatan adalah sama dengan R. Kemudian ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – persamaan kanonik bulatan dengan pusat O(a; b) dan jejari R.

Contoh. Cari koordinat pusat dan jejari bulatan jika persamaannya diberikan sebagai: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Untuk mencari koordinat pusat dan jejari bulatan, persamaan ini mesti dikurangkan kepada bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, pilih petak penuh:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Dari sini kita dapati koordinat pusat O(2; -5/4); jejari R = 11/4.

Ellipse satu set titik dalam satah dipanggil, jumlah jarak dari setiap satu ke dua titik tertentu (dipanggil fokus) ialah nilai malar yang lebih besar daripada jarak antara fokus.

Fokus ditunjukkan dengan huruf F 1 , F Dengan, jumlah jarak dari mana-mana titik elips ke fokus ialah 2 a (2a > 2c), a- separuh paksi besar; b- separuh paksi kecil.

Persamaan kanonik bagi elips ialah: , di mana a, b dan c berkaitan antara satu sama lain dengan persamaan: a 2 - b 2 \u003d c 2 (atau b 2 - a 2 \u003d c 2).

Bentuk elips ditentukan oleh ciri iaitu nisbah panjang fokus kepada panjang paksi utama dan dipanggil kesipian. atau .

Kerana mengikut definisi 2 a> 2c, maka kesipian itu sentiasa dinyatakan pecahan wajar, iaitu .

Contoh. Tulis persamaan untuk elips jika fokusnya ialah F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), paksi utama ialah 2.

Persamaan elips mempunyai bentuk: .

Jarak antara fokus: 2 c= , dengan itu, a 2 – b 2 = c 2 = . Mengikut syarat 2 a= 2, jadi a = 1, b= Persamaan elips yang dikehendaki akan berbentuk: .

Hiperbola dipanggil set titik dalam satah, perbezaan dalam jarak dari setiap satu ke dua titik tertentu, dipanggil fokus, adalah nilai malar, kurang daripada jarak antara fokus.

Persamaan kanonik hiperbola mempunyai bentuk: atau , di mana a, b dan c dikaitkan dengan persamaan a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola adalah simetri berkenaan dengan bahagian tengah segmen yang menghubungkan fokus dan berkenaan dengan paksi koordinat. Fokus ditunjukkan dengan huruf F 1 , F 2 , jarak antara fokus - 2 Dengan, perbezaan jarak dari mana-mana titik hiperbola ke fokus ialah 2 a (2a < 2c). Paksi 2 a dipanggil paksi sebenar hiperbola, paksi 2 b ialah paksi khayalan hiperbola. Hiperbola mempunyai dua asimtot yang persamaannya

Sipi hiperbola ialah nisbah jarak antara fokus kepada panjang paksi sebenar: atau. Kerana mengikut definisi 2 a < 2c, maka kesipian hiperbola sentiasa dinyatakan sebagai pecahan tak wajar, iaitu .

Jika panjang paksi nyata adalah sama dengan panjang paksi khayalan, i.e. a = b, ε = , maka hiperbola dipanggil sama sisi.

Contoh. Tulis persamaan kanonik hiperbola jika kesipiannya ialah 2 dan fokusnya bertepatan dengan fokus elips dengan persamaan

Mencari jarak fokus c 2 = 25 – 9 = 16.

Untuk hiperbola: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Kemudian - persamaan hiperbola yang dikehendaki.

parabola ialah set titik dalam satah yang sama jaraknya dari titik yang diberikan, dipanggil fokus, dan garis lurus yang diberikan, dipanggil directrix.

Fokus parabola dilambangkan dengan huruf F, pengarah - d, jarak dari fokus ke directrix ialah R.

Persamaan kanonik parabola, yang fokusnya terletak pada paksi-x, ialah:

y 2 = 2px atau y 2 = -2px

x = -hlm/2, x = hlm/2

Persamaan kanonik parabola yang fokusnya pada paksi-y ialah:

X 2 = 2py atau X 2 = -2py

Persamaan Directtrix, masing-masing di = -hlm/2, di = hlm/2

Contoh. Pada parabola di 2 = 8X cari titik yang jaraknya dari directrix ialah 4.

Daripada persamaan parabola kita dapati itu R = 4. r=x + hlm/2 = 4; Akibatnya:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Mata carian: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Latihan #8

Nama kelas: Tindakan tamat nombor kompleks dalam bentuk algebra. Tafsiran geometri bagi nombor kompleks.

Tujuan pelajaran: Ketahui cara mengendalikan nombor kompleks.

Persediaan untuk pelajaran: Ulangi bahan teori mengenai topik "Nombor kompleks".

kesusasteraan:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elemen matematik yang lebih tinggi", 2008

Tugasan untuk pelajaran:

1. Kira:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

Apa yang normal? Dengan kata mudah, normal ialah serenjang. Iaitu, vektor normal garis adalah berserenjang dengan garis yang diberikan. Adalah jelas bahawa mana-mana garis lurus mempunyai bilangan yang tidak terhingga (serta vektor pengarah), dan semua vektor normal garis lurus akan menjadi kolinear (bersama arah atau tidak - tidak mengapa).

Berurusan dengan mereka akan menjadi lebih mudah daripada dengan vektor arah:

Jika garis diberikan oleh persamaan am dalam sistem segi empat tepat koordinat, maka vektor ialah vektor normal bagi garisan yang diberikan.

Jika koordinat vektor arah perlu "ditarik keluar" dengan teliti daripada persamaan, maka koordinat vektor normal hanya "dialihkan".

Vektor normal sentiasa ortogon dengan vektor arah garis. Kami akan mengesahkan keortogonan vektor ini menggunakan produk titik:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti untuk vektor arah:

Adakah mungkin untuk menulis persamaan garis lurus, mengetahui satu titik dan vektor normal? Sekiranya vektor normal diketahui, maka arah garis paling lurus juga ditentukan secara unik - ini adalah "struktur tegar" dengan sudut 90 darjah.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

Jika beberapa titik kepunyaan garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Penyelesaian: Gunakan formula:

Persamaan umum garis lurus diperolehi, mari kita semak:

1) "Keluarkan" koordinat vektor normal daripada persamaan: - ya, sememangnya, vektor asal diperoleh daripada keadaan (atau vektor harus segaris dengan vektor asal).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan:

Kesaksamaan sebenar.

Selepas kami yakin bahawa persamaan itu betul, kami akan menyelesaikan bahagian kedua yang lebih mudah daripada tugas itu. Kami mengeluarkan vektor arah garis lurus:

Jawapan:

Dalam lukisan, keadaan adalah seperti berikut:

Untuk tujuan latihan, tugas yang sama untuk penyelesaian bebas:

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor biasa. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Bahagian akhir pelajaran akan ditumpukan kepada yang kurang biasa, tetapi juga spesies penting persamaan garis lurus pada satah

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam segmen mempunyai bentuk , dengan pemalar bukan sifar. Sesetengah jenis persamaan tidak boleh diwakili dalam bentuk ini, contohnya, perkadaran langsung (memandangkan sebutan bebas ialah sifar dan tiada cara untuk mendapatkan satu di sebelah kanan).

Ini, secara kiasan, sejenis persamaan "teknikal". Tugas biasa adalah untuk mewakili persamaan umum garis lurus sebagai persamaan garis lurus dalam segmen. Mengapa ia mudah? Persamaan garis lurus dalam segmen membolehkan anda mencari dengan cepat titik persilangan garis lurus dengan paksi koordinat, yang sangat penting dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi.

Cari titik persilangan garis dengan paksi. Kami menetapkan semula "y", dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang dikehendaki diperolehi secara automatik: .

Sama dengan paksi ialah titik di mana garis bersilang dengan paksi-y.

Tindakan yang baru saya jelaskan secara terperinci dilakukan secara lisan.

Diberi garis lurus. Susun persamaan garis lurus dalam segmen dan tentukan titik persilangan graf dengan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari kita bawa persamaan ke bentuk . Mula-mula kita alihkan istilah percuma ke sebelah kanan:

Untuk mendapatkan unit di sebelah kanan, kami membahagikan setiap sebutan persamaan dengan -11:

Kami membuat pecahan tiga tingkat:

Titik persilangan garis lurus dengan paksi koordinat muncul:

Jawapan:

Ia kekal untuk melampirkan pembaris dan melukis garis lurus.

Adalah mudah untuk melihat bahawa garis lurus ini ditentukan secara unik oleh segmen merah dan hijau, oleh itu namanya - "persamaan garis lurus dalam segmen".

Sudah tentu, mata tidak begitu sukar untuk dicari dari persamaan, tetapi masalahnya masih berguna. Algoritma yang dipertimbangkan akan diperlukan untuk mencari titik persilangan satah dengan paksi koordinat, untuk membawa persamaan garis tertib kedua kepada bentuk kanonik, dan dalam beberapa masalah lain. Oleh itu, beberapa garis lurus untuk penyelesaian bebas:

Susun persamaan garis lurus dalam segmen dan tentukan titik persilangannya dengan paksi koordinat.

Penyelesaian dan jawapan di akhir. Jangan lupa bahawa jika anda mahu, anda boleh melukis segala-galanya.

Bagaimana untuk menulis persamaan parametrik untuk garis lurus?

Persamaan parametrik garis lurus lebih relevan untuk garis lurus dalam ruang, tetapi tanpanya abstrak kita akan menjadi yatim.

Jika beberapa titik kepunyaan garis dan vektor arah garis ini diketahui, maka persamaan parametrik garis ini diberikan oleh sistem:

Susun persamaan parametrik garis lurus dengan titik dan vektor arah

Penyelesaian berakhir sebelum ia boleh bermula:

Parameter "te" boleh mengambil sebarang nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti", dan setiap nilai parameter sepadan dengan titik tertentu pada satah. Sebagai contoh, jika , maka kita mendapat mata .

Masalah songsang: bagaimana untuk menyemak sama ada titik keadaan tergolong dalam baris tertentu?

Mari kita gantikan koordinat titik ke dalam persamaan parametrik yang diperoleh:

Daripada kedua-dua persamaan ia mengikuti bahawa , iaitu, sistem adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik.

Mari kita pertimbangkan tugas yang lebih bermakna:

Susun persamaan parametrik bagi garis lurus

Penyelesaian: Dengan syarat, garis lurus diberikan dalam bentuk umum. Untuk menyusun persamaan parametrik garis lurus, anda perlu mengetahui vektor pengarahnya dan beberapa titik kepunyaan garis lurus ini.

Mari cari vektor arah:

Sekarang anda perlu mencari beberapa titik kepunyaan garis (sesiapa sahaja akan melakukannya), untuk tujuan ini adalah mudah untuk menulis semula persamaan am dalam bentuk persamaan dengan cerun:

Ia memohon, sudah tentu, maksudnya

Kami menyusun persamaan parametrik garis lurus:

Dan akhirnya, kecil tugas kreatif untuk penyelesaian bebas.

Susun persamaan parametrik garis lurus jika titik kepunyaannya dan vektor normal diketahui

Tugasan boleh diselesaikan satu-satunya cara. Salah satu versi penyelesaian dan jawapan pada akhirnya.

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Cari cerun:

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan cerun:

Jawapan:

Contoh 4: Penyelesaian: Kami akan menyusun persamaan garis lurus mengikut formula:

Jawapan:

Contoh 6: Penyelesaian: Gunakan formula:

Jawab: (paksi-y)

Contoh 8: Penyelesaian: Mari kita buat persamaan garis lurus pada dua titik:

Darab kedua-dua belah dengan -4:

Dan bahagikan dengan 5:

Jawab:

Contoh 10: Penyelesaian: Gunakan formula:

Kami mengurangkan sebanyak -2:

Vektor arah langsung:
Jawab:

Contoh 12:
a) Penyelesaian: Mari kita tukar persamaan:

Dengan cara ini:

Jawab:

b) Penyelesaian: Mari kita tukar persamaan:

Dengan cara ini:

Jawab:

Contoh 15: Penyelesaian: Pertama, kita tulis persamaan am bagi garis lurus yang diberi titik dan vektor biasa :

Darab dengan 12:

Kami mendarab dengan 2 lagi supaya selepas membuka kurungan kedua, singkirkan pecahan:

Vektor arah langsung:
Kami menyusun persamaan parametrik garis lurus dengan titik dan vektor arah :
Jawab:

Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah.
Susunan garisan bersama. Sudut antara garisan

Kami terus mempertimbangkan garisan tak terhingga-tak terhingga ini.

Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke garis?
Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?
Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis?

Susunan bersama dua garis lurus

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat sejumlah "lambda" yang kesamaan itu dipegang.

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tapi .

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Ia mengikuti daripada persamaan pertama bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud bahawa sistem itu tidak konsisten (tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Dengan cara ini, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaiannya adalah berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" boleh didapati secara langsung dengan nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh dilakukan melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara amnya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan garis lurus yang tidak diketahui dengan huruf . Apakah yang dikatakan syarat mengenainya? Garis itu melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "te".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif.

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Jalan terpendek adalah di penghujung.

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaian sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) dalam satah.

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami telah mempertimbangkan kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan.

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Tugas itu boleh dibahagikan dengan mudah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan di penghujungnya:

Garis serenjang. Jarak dari satu titik ke garis.
Sudut antara garisan

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawapan:

Mari kita buka lakaran geometri:

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan menggunakan hasil darab skalar bagi vektor, kami menyimpulkan bahawa garis itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

Jarak dari titik ke garisan

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "p", sebagai contoh: - jarak dari titik "m" ke garis lurus "d".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlu lakukan ialah memasukkan nombor dengan teliti ke dalam formula dan lakukan pengiraan:

Jawapan:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Bagaimana untuk membina titik simetri tentang garis lurus?

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menetapkan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jiran "hijau" atau sudut "raspberi" yang berorientasikan bertentangan dianggap sedemikian.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah hasil negatif dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Pada lukisan untuk sudut negatif pastikan anda menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira hasil skalar bagi vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka:

Jawapan:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Terdapat juga penyelesaian ketiga. Ideanya adalah untuk mengira sudut antara vektor arah garisan:

Di sini kita tidak bercakap tentang sudut berorientasikan, tetapi "hanya kira-kira sudut", iaitu, hasilnya pasti akan positif. Tangkapannya ialah ia boleh berlaku sudut cakah(bukan yang anda mahukan). Dalam kes ini, anda perlu membuat tempahan bahawa sudut antara garis adalah sudut yang lebih kecil, dan tolak kosinus arka yang terhasil daripada radian "pi" (180 darjah).

Cari sudut antara garisan.

Ini adalah contoh buat sendiri. Cuba selesaikan dengan dua cara.

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 3: Penyelesaian: Cari vektor arah garis lurus:

Kami akan menyusun persamaan garis lurus yang dikehendaki menggunakan titik dan vektor arah

Nota: di sini persamaan pertama sistem didarab dengan 5, kemudian yang ke-2 ditolak sebutan dengan sebutan daripada persamaan pertama.
Jawapan:

pekerjaan 9 . Satah dan garisan di angkasa.

9.1. Persamaan am satah. Vektor biasa.

9.3. Jarak dari satu titik ke satah. Susunan bersama dua satah, garis lurus dan satah dua garis lurus di angkasa.

9.1. Persamaan am satah. Vektor biasa.

Persamaan umum satah di angkasa mempunyai bentuk, di mana
- pekali berangka,
- koordinat titik sewenang-wenangnya kapal terbang.

Persamaan ini diperoleh dengan menyelesaikan masalah berikut.

Tugasan 1. Cari persamaan satah yang melalui titik tertentu
berserenjang dengan vektor
.

Penyelesaian. Nyatakan satah yang diingini melalui
. Kami menggunakan rangkaian kesimpulan berikut:

Kami perhatikan analogi lengkap antara persamaan umum garis lurus pada satah
dan persamaan am bagi satah di angkasa.

Ia boleh dilihat daripada penyelesaian masalah bahawa daripada persamaan am satah seseorang boleh segera mencari vektor
berserenjang dengan satah. Vektor ini dipanggil biasa(atau vektor biasa) ke kapal terbang. Contohnya, daripada persamaan am satah
(dalam persamaan ini) kita mendapat vektor normal sedemikian
. Pekali tidak mempunyai beban semantik khas; berkenaan dengannya, seseorang hanya boleh mengatakan bahawa apabila
kapal terbang melalui asal
, dan bila
tidak melalui asal. Ia juga harus diperhatikan bahawa persamaan
set di angkasa
kapal terbang dengan normal
, yang menunjukkan bahawa satah yang diberi berjalan selari dengan paksi
. Ia adalah persamaan yang sama
di permukaan
mentakrifkan garis.

Begitu juga persamaan
di angkasa
mewakili persamaan am bagi satah koordinat
. Normal kepada satah ini ialah vektor
- vektor unit arah paksi positif
.

Apabila mencari persamaan satah, keadaan keortogonan dua vektor (seperti yang dilakukan dalam Masalah 1) dan keadaan kesepadanan tiga vektor sering digunakan.

Contoh 1. Cari persamaan satah yang melalui tiga titik.

Penyelesaian. Pertama, pastikan bahawa tiga titik yang diberikan tidak terletak pada garis yang sama (jika titik ini terletak pada garis yang sama, maka terdapat banyak satah yang tidak terhingga yang mengandungi titik yang diberikan). Mari cari vektor. Koordinat mereka tidak berkadar. Jadi mata
jangan berbaring di atas garis lurus dan hanya satu satah yang melaluinya. Cari pesawat ini, yang kami nyatakan
, dua jalan.

1) - coplanar
hasil campuran vektor
sifar

Persamaan am satah
.

2)
- vektor normal ke pesawat
, kerana mengikut takrifan hasil silang berserenjang dengan vektor
, selari
. Penaakulan lanjut mengulangi penyelesaian Masalah 1.

Persamaan am satah
.

Contoh 2. Cari persamaan satah itu
melalui titik
selari dengan kapal terbang
:
.

Penyelesaian.
:- vektor normal satah
. Vektor yang sama berfungsi sebagai vektor biasa kepada satah
. Ia tetap mengulangi penyelesaian masalah 1.

Persamaan am satah
.

Contoh 3.Cari sudut dihedral, di mana pesawat bersilang
dan
.

:
,
:
.

Penyelesaian. Sudut dihedral (bodoh atau akut) antara satah adalah sama dengan sudut antara normalnya.

:,
:.

- sudut cakah,

. Sudut dihedral akut antara
dan
sama
.

9.2. Garis lurus di angkasa
:kanonik, persamaan parametrik.

satu). lurus di angkasa
boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah. Oleh itu, sistem dua persamaan satah
,

(1)

mentakrifkan garis dalam ruang
dengan syarat yang normal
,
pesawat ini tidak selari. Sekiranya dan
adalah selari, kemudian satah
,
sama ada selari atau sama. Dalam kedua-dua kes, sistem (1) tidak lagi akan memberikan garis lurus.

Komen. Menetapkan sistem langsung (1) tidak begitu mudah, kerana arah garis lurus mahupun mana-mana titik pada garis lurus ini tidak dapat dilihat daripadanya. Maklumat ini boleh diperolehi daripada sistem (1) hanya melalui pengiraan tambahan.

Lebih baik dari segi teguran yang dibuat ialah persamaan kanonik dan parametrik bagi garis lurus masuk
.

2). Persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang
seperti

. (2)

Di sini
- nombor yang diberikan, mereka mempunyai makna geometri berikut:
- koordinat titik tetap
pada garis lurus;

- koordinat vektor arah lurus.

- koordinat titik arbitrari pada garis lurus.

Persamaan parametrik bagi garis lurus dalam
seperti

(3)

Maksud geometri bagi kuantiti
dan kuantiti
sama seperti di atas.

Persamaan (2), (3) diperoleh dengan menyelesaikan varian spatial tugasan 2 daripada pelajaran 8.

Komen.Garis lurus pada satah mempunyai garis normal, yang, seperti vektor arah garis lurus, membolehkan anda menetapkan arah garis lurus ini. Untuk garis lurus dalam ruang, vektor normal tidak masuk akal, kerana terdapat banyak vektor tak terhingga berserenjang dengan garis ruang dengan arah yang berbeza, dan satu vektor yang diberikan berserenjang dengan garis ini tidak memberikan jawapan yang jelas tentang arahnya.

Contoh 4. Cari persamaan kanonik bagi garis itu
, ditakrifkan sebagai persilangan dua satah
:
dan
:
.

Sistem persamaan
mentakrifkan garis lurus
di angkasa, kerana vektor biasa kepada pesawat
dan
, dan ini ialah vektor
dan
tidak selari. Mari cari dua titik tetap
pada garis lurus
.

1. Gantikan nilai ke dalam sistem
, kita mendapatkan

.

Pengertian geometri titik
: ini ialah titik persilangan garisan
dengan kapal terbang
.

2. Gantikan nilai ke dalam sistem
, kita mendapatkan

.

titik
, ialah titik persilangan garis
dengan kapal terbang
.

3. - vektor arah lurus
.

4. koordinat vektor
berkadar

. Ini ialah persamaan kanonik bagi garis
.

5. Catatan. Vektor arah lurus
boleh didapati oleh vektor
dan
. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira hasil silang.

vektor berserenjang dengan vektor dan
serentak. Akibatnya, selari dengan garis lurus
dan melayani orang lain (berbanding dengan vektor ) sebagai vektor arah garisan ini. By the way:
, yang juga menunjukkan keselarian vektor lurus
. Dengan pendekatan ini, persamaan kanonik garis lurus
diperolehi selepas pelaksanaan mata 1., 4. dan 5. keputusan di atas. Hanya jawapannya akan muncul dalam borang
.

Contoh 5. Cari persamaan parametrik bagi garis lurus
melalui titik
berserenjang dengan satah
:
.

Penyelesaian.
- vektor normal ke pesawat
. Vektor ini selari dengan garisan
dan, oleh itu, adalah vektor pengarahnya. Akibatnya,

Contoh 6. Cari persamaan kanonik dan parametrik bagi garis lurus
melalui titik
selari dengan garis lurus
:
.

Penyelesaian.
- vektor arah lurus
. Vektor yang sama ialah vektor arah garis yang dikehendaki
. Akibatnya,

koordinat vektor
berkadar

- persamaan kanonik garis


- persamaan parametrik garis lurus
.

9.3. Jarak dari satu titik ke satah. Susunan bersama dua satah, garis lurus dan satah, dua garis lurus di angkasa.

Jarak dari titik
ke satah ditemui oleh formula
.

Paling informasi berguna mengenai kedudukan relatif dua satah, garis dan satah, dua garisan dalam ruang boleh diekstrak daripada vektor arah garis dan normal kepada satah.

Contoh 8. Cari jarak dari titik
sehingga ke kapal terbang
.

Penyelesaian. .

Contoh 9. Pada nilai parameter kapal terbang
:
selari dengan kapal terbang
:
?

Penyelesaian. Satah adalah selari jika dan hanya jika vektor normalnya adalah kolinear
dan
, iaitu sepatutnya
. Kesaksamaan berganda ini tidak berlaku untuk sebarang , kerana
. Oleh itu, pesawat
dan
tidak selari untuk semua nilai parameter .

Contoh 10. Pada apa nilai parameter
lurus
:
terletak di dalam kapal terbang
:
?

Mengikut persamaan kanonik garis lurus
kita tulis persamaan parametriknya

.

semua titik garisan
memenuhi persamaan satah

jawapan:
.

Anda boleh menyelesaikan masalah ini dengan cara yang berbeza.
- vektor arah lurus
dan
ialah titik tetap bagi garisan ini.
- vektor normal ke pesawat
. Seterusnya, kita membina rantaian penaakulan sedemikian.

Contoh 11. Cari kedudukan relatif dua garis

:
dan
:
.

Penyelesaian. Garisan di angkasa boleh bersilang, boleh bersilang pada satu titik, boleh selari, boleh bertepatan. Mari kita ketahui yang mana antara empat kes yang dinyatakan direalisasikan dalam contoh ini.

Daripada persamaan
kita simpulkan: dan
.

Daripada persamaan
pengeluaran:
dan
.

.

Jika lurus
dan
bersilang atau selari atau bertepatan, kemudian tiga kali ganda vektor
- coplanar. Bagaimana jika lurus
dan
bersilang, kemudian tiga kali ganda vektor
-bukan coplanar. Mari kita cari hasil campuran ketiga-tiga vektor ini.

troika
- bukan coplanar

lurus
dan
kacukan.

Contoh-contoh yang diberikan dalam pelajaran 8, 9 jelas menunjukkan kuasa kaedah vektor dan peranan keadaan yang luar biasa: kolineariti dua vektor; keortogonan dua vektor; koplanariti tiga vektor dalam mencari persamaan garis dan satah.

Kerja rumah.

1. Cari persamaan am bagi satah yang melalui tiga titik.

2. Cari persamaan kanonik dan parametrik bagi garis lurus, iaitu persilangan satah.

3. Cari titik persilangan garis yang melalui titik itu
berserenjang dengan satah
, dengan pesawat ini.

Konsep vektor pengarahnya berkait rapat dengan konsep garis lurus. Selalunya dalam masalah adalah lebih mudah untuk mempertimbangkannya dan bukannya talian langsung itu sendiri. Sebahagian daripada bahan ini kami akan menganalisis apakah vektor pengarah garis lurus di angkasa dan di atas satah, dan memberitahu anda untuk kegunaan ia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dalam perenggan pertama, kami merumuskan definisi dan menunjukkan konsep asas dalam ilustrasi, menambahnya contoh konkrit vektor panduan. Seterusnya, kita akan melihat bagaimana vektor garis dan arah berinteraksi dalam sistem koordinat segi empat tepat dan bagaimana kita boleh mengira koordinat vektor ini jika kita mengetahui persamaan garis tersebut. Semua peraturan, seperti biasa, akan digambarkan dengan contoh penyelesaian masalah.

Untuk memahami topik ini, kita perlu mempunyai idea yang baik tentang apakah garis lurus secara umum dan bagaimana ia boleh diletakkan di angkasa dan di atas satah. Di samping itu, adalah penting untuk mengingati konsep vektor yang telah dikaji sebelum ini. Kami telah menulis tentang ini dalam artikel berasingan. Jika perlu, cari dan baca semula artikel ini.

Mari kita rumuskan apa itu vektor arah.

Definisi 1

vektor panduan Garis lurus ialah sebarang vektor bukan sifar yang diletakkan pada garis tertentu atau pada garis selari dengannya.

Ternyata setiap baris ada set tak terhingga vektor panduan. Selain itu, kesemuanya akan menjadi kolinear berdasarkan definisi yang disuarakan, kerana mereka terletak pada satu baris atau garis lain selari dengannya. Ternyata jika a → ialah vektor pengarah bagi garis a , maka kita boleh menandakan vektor pengarah yang lain sebagai t · a → untuk sebarang nilai t yang sepadan dengan nombor nyata.

Juga daripada definisi di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa vektor arah dua garis selari akan bertepatan: jika garis a dan 1 adalah selari, maka vektor a → akan menjadi arah untuk kedua-dua a dan 1 .

Kesimpulan ketiga berikut daripada definisi: jika kita mempunyai vektor arah garis a , maka ia akan berserenjang dengan mana-mana vektor normal garis yang sama.

Mari kita berikan contoh vektor arah: dalam sistem koordinat segi empat tepat untuk paksi O x , O y dan O z vektor arah ialah i → , j → dan k → .

Bagaimana untuk mengira koordinat vektor arah daripada persamaan garis lurus

Katakan kita mempunyai beberapa garis lurus dengan vektor arah, terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat. Kami akan mempertimbangkan terlebih dahulu kes itu dengan flat Sistem kartesian O x y , dan kemudian dengan sistem O x y z terletak dalam ruang tiga dimensi.

1. Garis lurus dalam O x y boleh dihuraikan menggunakan persamaan garis lurus dalam satah. Dalam kes ini, koordinat vektor arah akan sepadan dengan vektor arah garis asal. Dan jika kita mengetahui persamaan garis lurus, bagaimana untuk mengira koordinat vektor arahnya? Ini mudah dilakukan jika kita berurusan dengan persamaan kanonik atau parametrik.

Katakan kita mempunyai kes kanonik bagi persamaan yang kelihatan seperti x - x 1 a x = y - y 1 a y . Dengan bantuannya, garis lurus dengan vektor arah a → = (a x , a y) ditetapkan pada satah.

Untuk mengira koordinat vektor arah, kita perlu mengambil nombor dari penyebut persamaan kanonik garis.

Mari kita berikan contoh tugasan.

Contoh 1

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, garis lurus diberikan, yang boleh diterangkan dengan persamaan x - 1 4 = y + 1 2 - 3 . Kira koordinat salah satu vektor arah garis.

Penyelesaian

Daripada persamaan, kita boleh segera mengambil koordinat vektor arah. Kami mengambil nombor dalam penyebut dan menulis: 4, - 3. Ini akan menjadi jawapan yang kita perlukan.

Jawapan: 4 , - 3 .

Jika garis lurus diterangkan oleh persamaan jenis parametrik, maka kita perlu melihat pekali parameter. Mereka akan sepadan dengan koordinat vektor arah yang kita perlukan.

Contoh 2

Kami mempunyai garis lurus yang boleh diterangkan menggunakan sistem persamaan parametrik x = - 1 y = 7-5 · λ , manakala λ ∈ R . Cari koordinat bagi vektor arah.

Penyelesaian

Mula-mula, mari kita tulis semula persamaan parametrik ini dalam bentuk x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ . Mari kita lihat nisbah. Mereka akan memberitahu kami koordinat yang dikehendaki vektor arah – a → = (0 , 5) . Memandangkan semua vektor arah satu garis lurus akan menjadi kolinear, kita boleh menetapkannya dalam bentuk t a → atau 0 , - 5 t , di mana t boleh menjadi sebarang nombor sebenar. Kami menulis tentang cara melakukan tindakan dengan vektor dalam koordinat dalam artikel berasingan.

Jawapan: 0 , - 5 t , t ∈ R , t ≠ 0

Sekarang mari kita lihat kes bagaimana untuk mencari koordinat vektor jika garis diberikan oleh persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 . Jika A = 0 , maka persamaan asal boleh ditulis semula sebagai B y + C = 0 . Ia mentakrifkan garis lurus yang akan selari dengan paksi-x. Jadi, sebagai vektor arahnya, kita boleh mengambil vektor koordinat i → = 1 , 0 .

Dan jika B \u003d 0, maka kita boleh menulis persamaan garis lurus sebagai A x + C \u003d 0. Garis lurus yang diterangkan olehnya akan selari dengan paksi-y, oleh itu vektor koordinatnya j → = 0 , 1 juga akan mengarah. Mari kita pertimbangkan masalah tertentu.

Contoh 3

Kami mempunyai garis lurus yang diberikan oleh persamaan am x - 2 = 0 . Cari koordinat mana-mana vektor arah.

Penyelesaian

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, persamaan asal akan sepadan dengan garis lurus yang selari dengan paksi-y. Jadi kita boleh ambil vektor koordinat j → = (0 , 1) . Dia akan membimbingnya.

Jawapan: (0 , 1)

Tetapi bagaimana jika tiada satu pun pekali dalam A x + B y + C = 0 adalah sama dengan 0? Kemudian kita boleh menggunakan beberapa cara yang berbeza.

1. Kita boleh menulis semula persamaan asas supaya ia menjadi kanonik. Kemudian koordinat vektor boleh diambil daripada nilainya.

2. Anda boleh mengira titik mula dan titik akhir vektor arah secara berasingan. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mengambil koordinat mana-mana dua titik bukan kebetulan pada garis asal.

3. Cara ketiga ialah mengira koordinat mana-mana vektor yang akan berserenjang dengan vektor normal garis ini n → = A , B .

Yang paling mudah ialah pendekatan pertama. Mari kita gambarkan dengan contoh masalah.

Contoh 4

Terdapat garis lurus di atas kapal terbang diberikan oleh persamaan 3 x + 2 y - 10 = 0 . Tuliskan koordinat mana-mana vektor arah.

Penyelesaian

Mari kita tulis semula persamaan asal dalam bentuk kanonik. Pertama, kami memindahkan semua istilah dari sebelah kiri, kecuali untuk 3 x, ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan. Kami akan dapat:

3x + 2y - 10 = 0 ⇔ 3x = - 2y + 10

Kami mengubah kesaksamaan yang terhasil dan mendapat:

3 x = - 2 y + 10 ⇔ 3 x = - 2 (y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3

Dari sini kita sudah boleh mendapatkan koordinat vektor arah yang kita perlukan: -2, 3

Jawapan: -2, 3

Kepada Pandangan umum adalah mudah untuk mengurangkan jenis persamaan seperti persamaan garis lurus dalam segmen x a + y b \u003d 1 dan persamaan garis lurus dengan cerun y \u003d k x + b, jadi jika anda bertemu mereka dalam masalah mencari koordinat vektor arah, maka anda juga boleh menggunakan pendekatan ini.

Definisi 2

Vektor a → = (a x , a y , a z) ialah arah bagi garis lurus yang dinyatakan dengan:

1) persamaan kanonik garis lurus dalam ruang x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

2) persamaan parametrik garisan dalam ruang x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Oleh itu, untuk mengira koordinat vektor arah, anda perlu mengambil nombor daripada penyebut atau pekali parameter dalam persamaan yang sepadan.

Mari kita pertimbangkan masalah tertentu.

Contoh 5

Garis lurus dalam ruang diberikan oleh persamaan bentuk x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 . Tentukan koordinat yang akan ada pada vektor arah garis ini.

Penyelesaian

Dalam persamaan kanonik, nombor yang diperlukan dapat dilihat dengan serta-merta dalam penyebut. Ternyata jawapannya akan menjadi vektor dengan koordinat 4 , 0 , - 3 . Koordinat semua vektor arah bagi garis tertentu boleh ditulis sebagai 4 · t , 0 , - 3 · t dengan syarat t ialah nombor nyata.

Jawapan: 4 t , 0 , - 3 t , t ∈ R , t ≠ 0

Contoh 6

Hitung koordinat mana-mana vektor arah untuk garis yang ditakrifkan dalam ruang menggunakan persamaan parametrik x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 - λ .

Penyelesaian

Mari kita tulis semula persamaan ini dalam bentuk x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4 - 1 · λ .

Daripada rekod ini, kita boleh mengasingkan koordinat vektor yang kita perlukan - ia akan menjadi pekali di hadapan parameter.

Jawapan: 0, 2, - 1

Mari kita pertimbangkan satu lagi kes. Bagaimana untuk mengira koordinat yang diperlukan jika garis lurus diberikan oleh persamaan dua satah bersilang dalam bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0?

Terdapat dua cara. Anda boleh menulis persamaan ini dalam bentuk parametrik, di mana koordinat yang dikehendaki akan kelihatan. Tetapi anda boleh menggunakan cara lain. Mari kita jelaskan.

Ingat bahawa vektor satah biasa itu. Secara definisi, ia akan terletak pada garis lurus berserenjang dengan satah asal. Ini bermakna mana-mana vektor arah garis lurus yang berada di dalamnya akan berserenjang dengan mana-mana vektor biasa garis lurus itu.

Vektor arah garis lurus yang dibentuk oleh persilangan dua satah A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 akan berserenjang kepada vektor normal n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) . Iaitu, sebagai vektor panduan, kita boleh mengambil hasil darab vektor n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - ini ialah vektor arah garis lurus di mana satah asal bersilang.

Mari kita selesaikan masalah yang menggunakan pendekatan ini.

Contoh 7

Tuliskan koordinat vektor arah bagi garis lurus yang dinyatakan menggunakan persamaan x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 .

Penyelesaian

Ambil hasil darab dua vektor satah biasa x + 2 y + 3 z - 1 = 0 dan 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 . Mereka mempunyai koordinat berikut: 1 , 2 , 3 dan 2 , 4 , - 4 .

Kami akan dapat:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → 2 (- 4) + j → 3 2 + k → 1 4 - - k → 2 2 - i → 3 4 - j → 1 (- 4) = - 20 i → + 10 j → + 0 k →

Ternyata vektor n 1 → × n 2 → = - 20 i → + 10 j → + 0 k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 - ini adalah vektor arah yang kita perlukan lurus .

Jawapan: - 20 , 10 , 0

Pada penghujung artikel, kami perhatikan bahawa keupayaan untuk mengira vektor arah berguna untuk menyelesaikan banyak masalah, seperti membandingkan dua garis, membuktikan keselarian dan keserenjangannya, mengira sudut antara garis bersilang atau bersilang, dsb.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Persamaan garis lurus pada satah.
Vektor arah adalah lurus. Vektor biasa

Garis lurus pada satah adalah salah satu yang paling mudah bentuk geometri, biasa kepada anda daripada gred rendah, dan hari ini kita akan belajar cara menanganinya menggunakan kaedah geometri analitik. Untuk menguasai bahan, adalah perlu untuk dapat membina garis lurus; tahu persamaan yang mentakrifkan garis lurus, khususnya, garis lurus yang melalui asalan dan garis lurus selari dengan paksi koordinat. Maklumat ini boleh didapati dalam manual Graf dan sifat fungsi asas, saya menciptanya untuk matan, tetapi bahagian tentang fungsi linear ternyata sangat berjaya dan terperinci. Oleh itu, teko yang dikasihi, mula-mula panaskan di sana. Di samping itu, anda perlu mempunyai pengetahuan asas kira-kira vektor jika tidak pemahaman bahan akan menjadi tidak lengkap.

Pada pelajaran ini kami akan mempertimbangkan cara-cara di mana anda boleh menulis persamaan garis lurus dalam satah. Saya mengesyorkan agar anda tidak mengabaikan contoh praktikal (walaupun ia kelihatan sangat mudah), kerana saya akan membekalkannya dengan asas dan fakta penting, teknik, yang akan diperlukan pada masa hadapan, termasuk dalam bahagian lain dalam matematik yang lebih tinggi.

• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan cerun?
• bagaimana?
• Bagaimana untuk mencari vektor arah dengan persamaan umum garis lurus?
• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

dan kita mulakan:

Persamaan Garis dengan Cerun

Bentuk "sekolah" yang terkenal bagi persamaan garis lurus dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunan. Sebagai contoh, jika garis lurus diberikan oleh persamaan, maka kecerunannya: . Pertimbangkan makna geometri diberi pekali dan cara nilainya mempengaruhi lokasi baris:

Dalam perjalanan geometri terbukti bahawa kecerunan garis lurus ialah tangen suatu sudut antara arah paksi positifdan baris yang diberi: , dan sudut "dibuka skru" mengikut arah lawan jam.

Untuk tidak mengacaukan lukisan, saya melukis sudut untuk dua garis lurus sahaja. Pertimbangkan garis lurus "merah" dan cerunnya. Mengikut perkara di atas: (sudut "alfa" ditunjukkan oleh lengkok hijau). Untuk garis lurus "biru" dengan cerun, kesamaan adalah benar (sudut "beta" ditunjukkan oleh lengkok coklat). Dan jika tangen sudut itu diketahui, maka jika perlu ia mudah dicari dan sudut menggunakan fungsi songsang - tangen arka. Seperti yang mereka katakan, jadual trigonometri atau kalkulator di tangan. Dengan cara ini, cerun mencirikan darjah kecondongan garis lurus ke paksi-x.

Pada masa yang sama, ia mungkin kes berikut:

1) Jika cerun adalah negatif: , maka garisan, secara kasarnya, pergi dari atas ke bawah. Contohnya ialah garis lurus "biru" dan "lembayung" dalam lukisan.

2) Jika cerun adalah positif: , maka garisan pergi dari bawah ke atas. Contohnya ialah garis lurus "hitam" dan "merah" dalam lukisan.

3) Jika cerun adalah sama dengan sifar: , maka persamaan mengambil bentuk , dan garis yang sepadan adalah selari dengan paksi. Contohnya ialah garisan "kuning".

4) Untuk keluarga garis lurus selari dengan paksi (tiada contoh dalam lukisan, kecuali paksi itu sendiri), cerun tidak wujud (tangen 90 darjah tidak ditentukan).

Semakin besar modulo cerun, semakin curam graf garisan.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Di sini , jadi garis lurus mempunyai cerun yang lebih curam. Saya mengingatkan anda bahawa modul itu membolehkan anda mengabaikan tanda itu, kami hanya berminat nilai mutlak pekali sudut.

Sebaliknya, garis lurus lebih curam daripada garis lurus. .

Begitu juga sebaliknya: lebih kecil modulo cerun, garis lurus lebih rata.

Untuk garis lurus ketaksamaan adalah benar, oleh itu, garis lurus adalah lebih daripada kanopi. Gelongsor kanak-kanak, supaya tidak menanam lebam dan benjolan.

Mengapa ini diperlukan?

Panjangkan siksaan anda Mengetahui fakta di atas membolehkan anda segera melihat kesilapan anda, khususnya, kesilapan semasa merancang graf - jika lukisan itu ternyata "jelas ada yang salah". Adalah wajar anda terus adalah jelas bahawa, sebagai contoh, garis lurus adalah sangat curam dan pergi dari bawah ke atas, dan garis lurus sangat rata, dekat dengan paksi dan pergi dari atas ke bawah.

AT masalah geometri selalunya beberapa garis lurus muncul, jadi ia adalah mudah untuk menandakannya entah bagaimana.

Notasi: garis lurus ditunjukkan dengan kecil dengan huruf Latin: . Pilihan yang popular ialah penetapan huruf yang sama dengan subskrip semula jadi. Sebagai contoh, lima baris yang baru kita pertimbangkan boleh dilambangkan dengan .

Oleh kerana mana-mana garis lurus ditentukan secara unik oleh dua titik, ia boleh dilambangkan dengan titik berikut: dan lain-lain. Notasi itu jelas menunjukkan bahawa titik-titik itu tergolong dalam garisan.

Masa untuk melonggarkan sedikit:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan cerun?

Jika titik diketahui yang tergolong dalam garis tertentu, dan kecerunan garis ini, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Contoh 1

Susun persamaan garis lurus dengan kecerunan jika diketahui titik tersebut tergolong dalam garis lurus ini.

Penyelesaian: Kami akan menyusun persamaan garis lurus mengikut formula . AT kes ini:

Jawab:

Peperiksaan dilakukan secara asas. Pertama, kita melihat persamaan yang terhasil dan pastikan cerun kita berada di tempatnya. Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan yang diberikan. Mari masukkan mereka ke dalam persamaan:

Kesamaan yang betul diperoleh, yang bermaksud bahawa titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Kesimpulan: Persamaan ditemui dengan betul.

Contoh yang lebih rumit untuk penyelesaian do-it-yourself:

Contoh 2

Tuliskan persamaan garis lurus jika diketahui bahawa sudut kecondongannya ke arah positif paksi ialah , dan titik itu tergolong dalam garis lurus ini.

Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, baca semula bahan teori. Lebih tepat, lebih praktikal, saya terlepas banyak bukti.

berbunyi panggilan terakhir, prom telah reda, dan di luar pintu gerbang sekolah rumah kami sedang menunggu, sebenarnya, geometri analitik. Lawak habis... Mungkin baru bermula =)

Secara nostalgik kita melambai-lambaikan pemegang kepada yang biasa dan berkenalan dengan persamaan umum garis lurus. Oleh kerana dalam geometri analitik, inilah yang digunakan:

Persamaan am garis lurus mempunyai bentuk: , di manakah beberapa nombor. Pada masa yang sama, pekali serentak tidak sama dengan sifar, kerana persamaan kehilangan maknanya.

Mari kita berpakaian dalam sut dan mengikat persamaan dengan cerun. Pertama, kami memindahkan semua istilah ke sebelah kiri:

Istilah dengan "x" mesti diletakkan di tempat pertama:

Pada dasarnya, persamaan sudah mempunyai bentuk , tetapi mengikut peraturan etika matematik, pekali sebutan pertama (dalam kes ini ) mestilah positif. Tanda-tanda yang berubah:

Ingat ciri teknikal ini! Kami menjadikan pekali pertama (paling kerap ) positif!

Dalam geometri analitik, persamaan garis lurus hampir selalu diberikan bentuk umum. Nah, jika perlu, mudah untuk membawanya ke bentuk "sekolah" dengan cerun (dengan pengecualian garis lurus selari dengan paksi-y).

Mari kita tanya diri kita apa cukup tahu membina garis lurus? Dua mata. Tetapi mengenai kes zaman kanak-kanak ini kemudian, kini melekat dengan peraturan anak panah. Setiap garis lurus mempunyai cerun yang jelas, yang mudah untuk "menyesuaikan diri" vektor.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil vektor arah garis itu.. Jelas sekali, mana-mana garis lurus mempunyai banyak vektor arah yang tidak terhingga, dan kesemuanya akan menjadi kolinear (diarahkan bersama atau tidak - tidak mengapa).

Saya akan menandakan vektor arah seperti berikut: .

Tetapi satu vektor tidak mencukupi untuk membina garis lurus, vektor adalah bebas dan tidak dilekatkan pada mana-mana titik satah. Oleh itu, adalah perlu untuk mengetahui beberapa titik yang tergolong dalam garisan.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor arah?

Jika titik tertentu kepunyaan garis dan vektor arah garis ini diketahui, maka persamaan garis ini boleh disusun dengan formula:

Kadang-kadang ia dipanggil persamaan kanonik garis .

Apa yang perlu dilakukan apabila salah satu koordinat adalah sifar, kita akan melihat contoh praktikal di bawah. By the way, perhatikan - kedua-duanya sekali koordinat tidak boleh sifar, kerana vektor sifar tidak menentukan arah tertentu.

Contoh 3

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor arah

Penyelesaian: Kami akan menyusun persamaan garis lurus mengikut formula. Dalam kes ini:

Menggunakan sifat perkadaran, kita menyingkirkan pecahan:

Dan kami membawa persamaan kepada bentuk umum:

Jawab:

Melukis dalam contoh sedemikian, sebagai peraturan, tidak perlu, tetapi demi pemahaman:

Dalam lukisan, kita melihat titik permulaan, vektor arah asal (ia boleh ditangguhkan dari mana-mana titik pada satah) dan garisan yang dibina. Dengan cara ini, dalam banyak kes, pembinaan garis lurus paling mudah dilakukan menggunakan persamaan cerun. Persamaan kami mudah untuk ditukar kepada bentuk dan tanpa sebarang masalah, ambil satu titik lagi untuk membina garis lurus.

Seperti yang dinyatakan pada permulaan bahagian, garis mempunyai banyak vektor arah yang tidak terhingga, dan semuanya adalah kolinear. Sebagai contoh, saya melukis tiga vektor sedemikian: . Mana-mana vektor arah yang kita pilih, hasilnya akan sentiasa persamaan garis lurus yang sama.

Mari kita susun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Memecahkan perkadaran:

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2 dan dapatkan persamaan biasa:

Mereka yang ingin juga boleh menguji vektor atau mana-mana vektor kolinear lain.

Sekarang mari kita putuskan masalah songsang:

Bagaimana untuk mencari vektor arah dengan persamaan umum garis lurus?

Sangat ringkas:

Jika garis lurus diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor arah garis lurus ini.

Contoh mencari vektor arah garis lurus:

Pernyataan itu membenarkan anda mencari hanya satu vektor arah dari tak terkira tetapi kita tidak memerlukan lebih. Walaupun dalam beberapa kes adalah dinasihatkan untuk mengurangkan koordinat vektor arah:

Jadi, persamaan menentukan garis lurus yang selari dengan paksi dan koordinat vektor stereng yang terhasil dibahagikan dengan mudah dengan -2, mendapat tepat vektor asas sebagai vektor stereng. Secara logiknya.

Begitu juga, persamaan mentakrifkan garis lurus selari dengan paksi, dan membahagikan koordinat vektor dengan 5, kita mendapat ort sebagai vektor arah.

Sekarang mari kita laksanakan semak contoh 3. Contoh itu naik, jadi saya mengingatkan anda bahawa di dalamnya kita membuat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Pertama sekali, mengikut persamaan garis lurus, kami memulihkan vektor pengarahnya: - semuanya baik-baik saja, kami mendapat vektor asal (dalam beberapa kes, ia boleh berubah menjadi kolinear kepada vektor asal, dan ini biasanya mudah dilihat dengan perkadaran koordinat yang sepadan).

Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan . Kami menggantikannya ke dalam persamaan:

Persamaan yang betul telah diperolehi, yang kami sangat gembira.

Kesimpulan: Kerja disiapkan dengan betul.

Contoh 4

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor arah

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran. Adalah sangat wajar untuk membuat semakan mengikut algoritma yang baru dipertimbangkan. Cuba sentiasa (jika boleh) menyemak draf. Adalah bodoh untuk membuat kesilapan di mana mereka boleh dielakkan 100%.

Sekiranya salah satu koordinat vektor arah adalah sifar, ia adalah sangat mudah untuk dilakukan:

Contoh 5

Penyelesaian: Formula tidak sah kerana penyebut di sebelah kanan ialah sifar. Ada jalan keluar! Menggunakan sifat perkadaran, kami menulis semula formula dalam bentuk , dan selebihnya digulung di sepanjang laluan yang dalam:

Jawab:

Peperiksaan:

1) Pulihkan vektor arah garis lurus:
– vektor yang terhasil adalah segaris dengan vektor arah asal.

2) Gantikan koordinat titik dalam persamaan:

Persamaan yang betul diperolehi

Kesimpulan: kerja disiapkan dengan betul

Timbul persoalan, mengapa perlu bersusah payah dengan formula jika ada versi universal yang akan berfungsi juga? Terdapat dua sebab. Pertama, formula pecahan jauh lebih baik untuk diingati. Dan kedua, kelemahan formula universal ialah itu risiko kekeliruan meningkat dengan ketara apabila menggantikan koordinat.

Contoh 6

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor arah.

Ini adalah contoh buat sendiri.

Mari kita kembali kepada dua perkara di mana-mana:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus yang diberi dua titik?

Jika dua titik diketahui, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini boleh disusun menggunakan formula:

Sebenarnya, ini adalah sejenis formula, dan inilah sebabnya: jika dua titik diketahui, maka vektor akan menjadi vektor arah garis ini. Pada pelajaran Vektor untuk boneka kami pertimbangkan tugas yang paling mudah– bagaimana untuk mencari koordinat vektor dari dua titik. Menurut masalah ini, koordinat vektor arah:

Catatan : mata boleh "ditukar" dan menggunakan formula . Keputusan sedemikian adalah sama.

Contoh 7

Tulis persamaan garis lurus dari dua titik .

Penyelesaian: Gunakan formula:

Kami menyikat penyebut:

Dan kocok dek:

Sekarang adalah masa untuk menyingkirkan nombor pecahan. Dalam kes ini, anda perlu mendarab kedua-dua bahagian dengan 6:

Buka kurungan dan ingatkan persamaan:

Jawab:

Peperiksaan adalah jelas - koordinat titik awal mesti memenuhi persamaan yang terhasil:

1) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

2) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

Kesimpulan: persamaan garis lurus adalah betul.

Sekiranya sekurang-kurangnya satu daripada mata tidak memenuhi persamaan, cari ralat.

Perlu diingat bahawa pengesahan grafik dalam kes ini adalah sukar, kerana untuk membina garisan dan melihat sama ada mata miliknya , tidak begitu mudah.

Saya akan perhatikan beberapa perkara teknikal penyelesaian. Mungkin dalam masalah ini adalah lebih berfaedah untuk menggunakan formula cermin dan, untuk mata yang sama buat persamaan:

Terdapat lebih sedikit pecahan. Jika anda mahu, anda boleh menyelesaikan penyelesaian hingga akhir, hasilnya harus persamaan yang sama.

Perkara kedua ialah melihat jawapan akhir dan melihat sama ada ia boleh dipermudahkan lagi? Sebagai contoh, jika persamaan diperolehi, maka dinasihatkan untuk mengurangkannya sebanyak dua: - persamaan akan menetapkan garis lurus yang sama. Walau bagaimanapun, ini sudah menjadi topik perbualan susunan garis lurus bersama.

Setelah mendapat jawapan dalam Contoh 7, untuk berjaga-jaga, saya menyemak sama ada SEMUA pekali persamaan boleh dibahagikan dengan 2, 3 atau 7. Walaupun, selalunya pengurangan sedemikian dibuat semasa penyelesaian.

Contoh 8

Tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik tersebut .

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, yang hanya akan membolehkan anda memahami dan menggunakan teknik pengiraan dengan lebih baik.

Sama seperti perenggan sebelumnya: jika dalam formula salah satu penyebut (koordinat vektor arah) hilang, kemudian kita tulis semula sebagai . Dan sekali lagi, perhatikan betapa janggal dan keliru dia mula kelihatan. Saya tidak nampak banyak faedah untuk membawa contoh praktikal, kerana kita sebenarnya telah menyelesaikan masalah sedemikian (lihat No. 5, 6).

Vektor normal garis lurus (vektor normal)

Apa yang normal? Dalam istilah mudah, normal ialah serenjang. Iaitu, vektor normal garis adalah berserenjang dengan garis yang diberikan. Adalah jelas bahawa mana-mana garis lurus mempunyai bilangan yang tidak terhingga (serta vektor pengarah), dan semua vektor normal garis lurus akan menjadi kolinear (bersama arah atau tidak - tidak mengapa).

Berurusan dengan mereka akan menjadi lebih mudah daripada dengan vektor arah:

Jika garis lurus diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor normal garis lurus ini.

Jika koordinat vektor arah perlu "ditarik keluar" dengan berhati-hati daripada persamaan, maka koordinat vektor normal hanya boleh "dialih keluar".

Vektor normal sentiasa ortogon dengan vektor arah garis. Kami akan mengesahkan keortogonan vektor ini menggunakan produk titik:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti untuk vektor arah:

Adakah mungkin untuk menulis persamaan garis lurus, mengetahui satu titik dan vektor normal? Rasa macam boleh je. Sekiranya vektor normal diketahui, maka arah garis paling lurus juga ditentukan secara unik - ini adalah "struktur tegar" dengan sudut 90 darjah.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

Jika beberapa titik kepunyaan garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Di sini semuanya berjalan tanpa pecahan dan kejutan lain. Begitulah vektor biasa kita. Suka. dan hormat =)

Contoh 9

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Penyelesaian: Gunakan formula:

Persamaan umum garis lurus diperolehi, mari kita semak:

1) "Keluarkan" koordinat vektor normal daripada persamaan: - ya, sememangnya, vektor asal diperoleh daripada keadaan (atau vektor harus segaris dengan vektor asal).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan:

Kesaksamaan sebenar.

Selepas kami yakin bahawa persamaan itu betul, kami akan menyelesaikan bahagian kedua yang lebih mudah daripada tugas itu. Kami mengeluarkan vektor arah garis lurus:

Jawab:

Dalam lukisan, keadaan adalah seperti berikut:

Untuk tujuan latihan, tugas yang sama untuk penyelesaian bebas:

Contoh 10

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Bahagian akhir pelajaran akan ditumpukan kepada jenis persamaan yang kurang biasa, tetapi juga penting bagi garis lurus dalam satah

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam segmen mempunyai bentuk , dengan pemalar bukan sifar. Sesetengah jenis persamaan tidak boleh diwakili dalam bentuk ini, contohnya, perkadaran langsung (memandangkan sebutan bebas ialah sifar dan tiada cara untuk mendapatkan satu di sebelah kanan).

Ini, secara kiasan, sejenis persamaan "teknikal". Tugas biasa adalah untuk mewakili persamaan umum garis lurus sebagai persamaan garis lurus dalam segmen. Mengapa ia mudah? Persamaan garis lurus dalam segmen membolehkan anda mencari dengan cepat titik persilangan garis lurus dengan paksi koordinat, yang sangat penting dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi.

Cari titik persilangan garis dengan paksi. Kami menetapkan semula "y", dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang dikehendaki diperolehi secara automatik: .

Sama dengan paksi ialah titik di mana garis bersilang dengan paksi-y.