Lukis garis ketegangan dan permukaan sama. Talian kuasa dan equipotential

Untuk perwakilan visual medan vektor menggunakan gambar garis medan. Garis daya ialah matematik khayalan lengkung dalam ruang, arah tangen yang pada setiap satu titik yang dilaluinya bertepatan dengan arah vektor medan pada titik yang sama(Gamb. 1.17).
nasi. 1.17:
Keadaan keselarian vektor E → dan tangen boleh ditulis sebagai kesamaan kepada sifar hasil vektor E → dan unsur lengkok d r → garis medan:

Equipotential ialah permukaan di mana yang mana potensi elektrik adalah malarϕ. Dalam bidang cas titik, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. , permukaan sfera dengan pusat di lokasi cas adalah sama; ini dapat dilihat daripada persamaan ϕ = q ∕ r = const.

Menganalisis geometri garisan medan elektrik dan permukaan yang sama, kita boleh menunjukkan nombor sifat am geometri medan elektrostatik.

Pertama, garisan daya bermula pada caj. Mereka sama ada pergi ke infiniti atau berakhir dengan caj lain, seperti dalam Rajah. .

nasi. 1.19:

Kedua, dalam medan berpotensi, garis medan tidak boleh ditutup. Jika tidak, adalah mungkin untuk menentukan gelung tertutup supaya kerja itu medan elektrik apabila cas bergerak sepanjang kontur ini, ia tidak sama dengan sifar.

Ketiga, garis-garis daya bersilang mana-mana ekuipotensi normal kepadanya. Sesungguhnya, medan elektrik di mana-mana diarahkan ke arah penurunan pesat dalam potensi, dan pada permukaan ekuipotensi potensi adalah malar mengikut definisi (Rajah).
nasi. 1.20:
Dan akhirnya, garis medan tidak bersilang di mana-mana kecuali pada titik di mana E → = 0. Persilangan garis medan bermakna medan di titik persilangan ialah fungsi koordinat yang tidak jelas, dan vektor E → tidak mempunyai arah tertentu. Satu-satunya vektor yang mempunyai sifat ini ialah vektor sifar. Struktur medan elektrik berhampiran titik sifar akan dianalisis dalam masalah untuk ??

. Kaedah garis medan, sudah tentu, boleh digunakan untuk perwakilan grafik mana-mana medan vektor. Jadi, dalam bab?? kita akan memenuhi konsep garis daya magnet. Walau bagaimanapun, geometri

medan magnet
Idea garisan daya berkait rapat dengan konsep tiub daya. Mari kita ambil mana-mana kontur tertutup L yang sewenang-wenangnya dan lukis garis daya elektrik melalui setiap titiknya (Gamb. ). Garisan ini membentuk tiub kuasa. Mari kita pertimbangkan bahagian sewenang-wenang tiub dengan permukaan S. Kami melukis normal positif dalam arah yang sama di mana garis medan diarahkan. Biarkan N ialah aliran vektor E → melalui bahagian S. Adalah mudah untuk melihat bahawa jika tiada cas elektrik di dalam tiub, maka aliran N kekal sama sepanjang keseluruhan tiub. Untuk membuktikannya, kita perlu mengambil satu lagi keratan rentas S '. Menurut teorem Gauss, fluks medan elektrik melalui permukaan tertutup yang dihadkan oleh permukaan sisi tiub dan bahagian S, S′ adalah sifar, kerana tiada cas elektrik di dalam tiub kuasa. Aliran melalui permukaan sisi adalah sama dengan sifar, kerana vektor E → menyentuh permukaan ini. Akibatnya, aliran melalui bahagian S ' secara berangka sama dengan N, tetapi bertentangan dalam tanda. Normal luar ke permukaan tertutup pada bahagian ini diarahkan bertentangan dengan n →. Jika normal diarahkan ke arah yang sama, maka aliran melalui bahagian S dan S ' akan bertepatan dalam kedua-dua magnitud dan tanda. Khususnya, jika tiub adalah sangat nipis dan bahagian S dan S ' adalah normal untuknya, maka

E S = E ' S ' .

Hasilnya adalah analogi lengkap dengan aliran bendalir tak boleh mampat. Di tempat-tempat di mana tiub lebih nipis, medan E → lebih kuat. Di tempat yang lebih luas, medan E → lebih kuat. Akibatnya, ketumpatan garis medan boleh digunakan untuk menilai kekuatan medan elektrik.

Sebelum penciptaan komputer, untuk menghasilkan semula garis medan secara eksperimen, mereka mengambil bekas kaca dengan bahagian bawah rata dan menuangkan ke dalamnya cecair yang tidak mengalirkan arus elektrik, contohnya, minyak kastor atau gliserin. Hablur serbuk gipsum, asbestos atau beberapa zarah bujur lain dikacau sama rata ke dalam cecair. Elektrod logam telah direndam dalam cecair. Apabila disambungkan kepada sumber elektrik, elektrod mengujakan medan elektrik. Dalam bidang ini, zarah-zarah dielektrik dan, tertarik antara satu sama lain oleh hujung yang berlawanan elektrik, disusun dalam bentuk rantai di sepanjang garis daya. Corak garis medan diherotkan oleh aliran bendalir yang disebabkan oleh daya yang bertindak ke atasnya dalam medan elektrik yang tidak seragam.

Untuk Diselesaikan
nasi. 1.22:
Keputusan terbaik diperolehi daripada kaedah yang digunakan oleh Robert W. Pohl (1884-1976). Elektrod yang diperbuat daripada staniol dilekatkan pada plat kaca, antaranya a voltan elektrik. Kemudian, dengan mengetuknya sedikit, zarah bujur, contohnya, kristal gipsum, dituangkan ke atas pinggan. Mereka terletak di sepanjang garis kekuatan. Dalam Rajah. ??

Gambar garis medan yang diperoleh dengan cara ini antara dua bulatan staniol yang bercas bertentangan digambarkan.

▸ Masalah 9.1 Tuliskan persamaan garis medan dalam ortogonal arbitrari

koordinat

▸ Masalah 9.2

Tuliskan persamaan garis medan dalam koordinat sfera.

Medan elektrostatik boleh dicirikan oleh satu set daya dan garisan sama. talian kuasa

- ini ialah garisan yang dilukis secara mental di dalam medan, bermula pada jasad bercas positif dan berakhir pada jasad bercas negatif, dilukis sedemikian rupa sehingga tangen kepadanya pada mana-mana titik dalam medan memberikan arah ketegangan pada titik itu .

Garis daya menutup pada cas positif dan negatif dan tidak boleh menutup pada diri mereka sendiri. Di bawah permukaan equipotential

memahami satu set titik medan yang mempunyai potensi yang sama ().

Jika anda memotong medan elektrostatik dengan satah secant, maka kesan persilangan satah dengan permukaan ekuipotensi akan kelihatan dalam bahagian tersebut. Jejak ini dipanggil garis ekuipotensi.

Garis ekuipotensi tertutup kepada diri mereka sendiri. Talian kuasa dan garisan ekuipotensi

bersilang pada sudut tepat.
R

Mari kita lihat permukaan ekuipotensi:

(memandangkan titik terletak pada permukaan yang sama).

– hasil skalar
Garis kekuatan medan elektrostatik menembusi permukaan ekuipotensi pada sudut 90 0, kemudian sudut antara vektor

adalah sama dengan 90 darjah, dan hasil skalarnya adalah sama dengan 0.

Persamaan Garis Ekuipotensi

Pertimbangkan garis daya:
N keamatan medan elektrostatik diarahkan secara tangensial kepada garis daya (lihat definisi garis daya), dan elemen laluan juga diarahkan

, jadi sudut antara dua vektor ini ialah sifar.

atau

Persamaan garis medan

Kecerunan berpotensi Kecerunan berpotensi

ialah kadar potensi peningkatan dalam arah terpendek antara dua titik.

Kecerunan potensi menunjukkan arah peningkatan terbesar dalam potensi, secara berangka sama dengan modulus voltan dan diarahkan secara negatif berbanding dengannya.

Dalam mentakrifkan kecerunan, dua peruntukan adalah penting:

Arah di mana dua titik berdekatan diambil hendaklah sedemikian rupa sehingga kadar perubahan adalah maksimum.

Arahnya ialah fungsi skalar semakin meningkat ke arah ini.

Untuk sistem koordinat Cartesan:

Kadar perubahan potensi dalam arah paksi X, Y, Z:

;
;

Dua vektor adalah sama hanya jika unjuran mereka adalah sama antara satu sama lain. Unjuran vektor tegangan pada paksi X sama dengan unjuran kadar perubahan potensi sepanjang paksi X, diambil dengan tanda yang bertentangan. Sama untuk kapak Y Dan Z.

;
;
.

Dalam sistem koordinat silinder, ungkapan untuk kecerunan berpotensi akan mempunyai bentuk berikut.

Untuk menjadikannya lebih jelas imej grafik medan, sebagai tambahan kepada garis ketegangan, gunakan permukaan yang mempunyai potensi yang sama atau permukaan sama potensi. Seperti namanya, permukaan equipotential ialah permukaan di mana semua titik mempunyai potensi yang sama. Jika potensi diberikan sebagai fungsi x, y, z, maka persamaan permukaan sama mempunyai bentuk:

Garisan kekuatan medan adalah berserenjang dengan permukaan ekuipotensi.

Mari kita buktikan kenyataan ini.

Biarkan garis dan garis daya membuat sudut tertentu (Rajah 1.5).

Mari kita alihkan caj ujian dari titik 1 ke titik 2 di sepanjang garisan. Dalam kes ini, pasukan medan berfungsi:

. (1.5)

Iaitu, kerja yang dilakukan dengan menggerakkan cas ujian di sepanjang permukaan equipotential adalah sifar. Kerja yang sama boleh ditakrifkan dengan cara lain - sebagai hasil darab cas dengan modulus kekuatan medan yang bertindak pada cas ujian, dengan jumlah anjakan dan oleh kosinus sudut antara vektor dan vektor anjakan, i.e. kosinus sudut (lihat Rajah 1.5):

.

Jumlah kerja tidak bergantung pada kaedah pengiraannya mengikut (1.5), ia sama dengan sifar. Ia berikutan daripada ini dan, dengan itu, yang mana yang perlu dibuktikan.

Permukaan ekuipotensi boleh dilukis melalui mana-mana titik dalam medan. Akibatnya, permukaan sedemikian boleh dibina set tak terhingga. Walau bagaimanapun, telah dipersetujui untuk melukis permukaan sedemikian rupa sehingga beza potensi untuk dua permukaan bersebelahan adalah sama di mana-mana. Kemudian, dengan ketumpatan permukaan yang sama, seseorang boleh menilai magnitud kekuatan medan. Sesungguhnya, semakin tumpat permukaan equipotential, semakin cepat potensi berubah apabila bergerak sepanjang normal ke permukaan.

Rajah 1.6a menunjukkan permukaan ekuipotensi (lebih tepat, persilangannya dengan satah lukisan) untuk medan cas titik. Selaras dengan sifat perubahan, permukaan ekuipotensi menjadi lebih tumpat apabila ia menghampiri cas. Rajah 1.6b menunjukkan permukaan ekuipotensi dan garis tegangan bagi medan dipol. Daripada Rajah 1.6 adalah jelas bahawa dengan penggunaan serentak permukaan ekuipotensi dan garis tegangan, gambaran medan adalah jelas.

Untuk padang seragam permukaan sama kuasa jelas mewakili sistem satah yang sama jarak antara satu sama lain, berserenjang dengan arah kekuatan medan.

1.8. Hubungan antara kekuatan medan dan potensi

(kecerunan berpotensi)

Biarkan ada medan elektrostatik sewenang-wenangnya. Dalam bidang ini kita melukis dua permukaan ekuipotensi sedemikian rupa sehingga ia berbeza antara satu sama lain dalam potensi mengikut jumlah dφ(Gamb. 1.7)

Vektor tegangan diarahkan normal ke permukaan. Arah normal adalah sama dengan arah paksi-x. paksi x dilukis dari titik 1 bersilang dengan permukaan pada titik 2.

Segmen dx mewakili jarak terpendek antara titik 1 dan 2. Kerja yang dilakukan apabila mengalihkan cas sepanjang segmen ini:

Sebaliknya, kerja yang sama boleh ditulis sebagai:

Menyamakan dua ungkapan ini, kita dapat:

di mana simbol terbitan separa menekankan bahawa pembezaan dijalankan hanya berkenaan dengan x. Mengulangi alasan yang sama untuk paksi y Dan z, kita boleh mencari vektor:

, (1.7)

di mana - vektor unit paksi koordinat x, y, z.

Vektor yang ditakrifkan oleh ungkapan (1.7) dipanggil kecerunan skalar φ . Untuk itu, bersama dengan sebutan, sebutan juga digunakan. ("nabla") bermaksud vektor simbolik yang dipanggil pengendali Hamiltonian

Arah talian kuasa(garisan ketegangan) pada setiap titik bertepatan dengan arah. Ia berikutan itu voltan adalah sama dengan beza keupayaan U per unit panjang talian kuasa .

Ia adalah di sepanjang garis medan bahawa perubahan maksimum dalam potensi berlaku. Oleh itu, anda sentiasa boleh menentukan antara dua titik dengan mengukur U di antara mereka, dan semakin dekat titik, semakin tepat. Dalam medan elektrik yang seragam, garis-garis daya adalah lurus. Oleh itu, ia adalah yang paling mudah untuk ditentukan di sini:

Perwakilan grafik garisan medan dan permukaan sama kuasa ditunjukkan dalam Rajah 3.4.

Apabila bergerak di sepanjang permukaan ini dengan d l potensi tidak akan berubah:

Ia berikutan bahawa unjuran vektor pada d l sama dengan sifar , iaitu Oleh itu, pada setiap titik ia diarahkan sepanjang normal ke permukaan ekuipotensi.

Anda boleh melukis seberapa banyak permukaan sama yang anda suka. Dengan ketumpatan permukaan ekuipotensi seseorang boleh menilai nilainya , ini akan diberikan bahawa beza keupayaan antara dua permukaan ekuipotensi bersebelahan adalah sama dengan nilai malar.

Formula menyatakan hubungan antara potensi dan ketegangan dan membenarkan nilai yang diketahuiφ cari kekuatan medan pada setiap titik. Anda juga boleh menyelesaikan masalah songsang, iaitu menggunakan nilai yang diketahui pada setiap titik medan, cari beza potensi antara dua mata sewenang-wenangnya padang. Untuk melakukan ini, kami mengambil kesempatan daripada fakta bahawa kerja yang dilakukan oleh pasukan medan di atas pertuduhan q apabila memindahkannya dari titik 1 ke titik 2, boleh dikira sebagai:

Sebaliknya, kerja boleh diwakili sebagai:

, Kemudian

Kamiran boleh diambil sepanjang mana-mana garis yang menghubungkan titik 1 dan titik 2, kerana kerja daya medan tidak bergantung pada laluan. Untuk melintasi gelung tertutup, kami mendapat:

mereka. Kami tiba di teorem yang terkenal tentang peredaran vektor tegangan: peredaran vektor kekuatan medan elektrostatik sepanjang mana-mana gelung tertutup sama dengan sifar.

Bidang yang mempunyai sifat ini dipanggil potensi.

Daripada lenyapnya peredaran vektor, garisan medan elektrostatik tidak boleh ditutup: ia bermula pada caj positif(asal usul) dan seterusnya caj negatif habis (tenggelam) atau pergi ke infiniti(Gamb. 3.4).

Hubungan ini benar hanya untuk medan elektrostatik. Selepas itu, kita akan mengetahui bahawa bidang caj bergerak tidak berpotensi, dan untuk itu hubungan ini tidak berlaku.

Hubungan antara ketegangan dan potensi.

Untuk medan berpotensi, antara daya potensi (konservatif) dan tenaga berpotensi ada kaitan

di mana ("nabla") ialah pengendali Hamiltonian.

Sejak Itu

Tanda tolak menunjukkan bahawa vektor E diarahkan ke arah penurunan potensi.

Untuk memaparkan secara grafik taburan potensi, permukaan ekuipotensi digunakan - permukaan di semua titik yang potensinya mempunyai nilai yang sama.

Permukaan ekuipotensi biasanya dilukis supaya beza keupayaan antara dua permukaan ekuipotensi yang bersebelahan adalah sama. Kemudian ketumpatan permukaan ekuipotensi jelas mencirikan kekuatan medan dalam titik yang berbeza. Di mana permukaan ini lebih tumpat, kekuatan medan lebih besar. Dalam rajah, garis putus-putus menunjukkan garis-garis daya, garis pepejal menunjukkan bahagian-bahagian permukaan yang sama untuk: cas titik positif (a), satu dipol (b), dua cas dengan nama yang sama (c), satu cas pengalir logam konfigurasi kompleks (d).

Untuk satu mata cas potensi oleh itu permukaan ekuipotensi ialah sfera sepusat. Sebaliknya, garis tegangan ialah garis lurus jejari. Akibatnya, garis tegangan adalah berserenjang dengan permukaan ekuipotensi.

Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam semua kes vektor E adalah berserenjang dengan permukaan ekuipotensi dan sentiasa diarahkan ke arah potensi berkurangan.

Contoh pengiraan medan elektrostatik simetri yang paling penting dalam vakum.

1. Medan elektrostatik bagi dipol elektrik dalam vakum.

Dipol elektrik (atau tiang elektrik berganda) ialah sistem dua cas titik bertentangan magnitud yang sama besar (+q,-q), jarak l antara yang jauh lebih kecil daripada jarak ke titik medan yang sedang dipertimbangkan (l<< r).

Lengan dipol l ialah vektor yang diarahkan sepanjang paksi dipol dari negatif kepada cas positif dan sama dengan jarak antara mereka.

Momen elektrik bagi dipol semula ialah vektor yang bertepatan dalam arah dengan lengan dipol dan sama dengan hasil darab modulus cas |q| di bahu saya:

Biarkan r ialah jarak ke titik A dari tengah paksi dipol. Kemudian, memandangkan itu

2) Kekuatan medan pada titik B pada serenjang dipulihkan kepada paksi dipol dari pusatnya di

Titik B adalah sama jarak dari +q dan -q cas dipol, jadi potensi medan pada titik B ialah sifar. Vektor Ёв diarahkan bertentangan dengan vektor l.

3) Dalam medan elektrik luar, sepasang daya bertindak pada hujung dipol, yang cenderung untuk memutarkan dipol sedemikian rupa sehingga momen elektrik semula dipol itu berputar di sepanjang arah medan E (Rajah. a)).

Dalam medan seragam luar, momen sepasang daya adalah sama dengan M = qElsin a atau Dalam medan luar yang tidak homogen (Rajah (c)), daya yang bertindak pada hujung dipol adalah tidak sama dan paduannya cenderung untuk menggerakkan dipol ke kawasan medan dengan keamatan yang lebih tinggi - dipol ditarik ke kawasan medan yang lebih kuat.

2. Medan satah tak terhingga bercas seragam.

Satah tak terhingga dicas dengan pemalar ketumpatan permukaan Garis ketegangan adalah berserenjang dengan satah yang sedang dipertimbangkan dan diarahkan daripadanya dalam kedua-dua arah.

Sebagai permukaan Gaussian, kita mengambil permukaan silinder, penjananya berserenjang dengan satah bercas, dan tapaknya selari dengan satah bercas dan terletak pada sisi bertentangan dengannya pada jarak yang sama.

Oleh kerana penjana silinder adalah selari dengan garis tegangan, fluks vektor tegangan melalui permukaan sisi silinder adalah sifar, dan jumlah fluks melalui silinder adalah sama dengan jumlah fluks melalui tapaknya 2ES. Caj yang terkandung di dalam silinder adalah sama dengan . Dengan teorem Gauss di mana:

E tidak bergantung pada panjang silinder, i.e. Kekuatan medan pada sebarang jarak adalah sama dalam magnitud. Medan sedemikian dipanggil homogen.

Beza keupayaan antara titik yang terletak pada jarak x1 dan x2 dari satah adalah sama dengan

3. Medan dua satah bercas bertentangan tak terhingga selari dengan ketumpatan cas permukaan nilai mutlak yang sama σ>0 dan - σ.

Daripada contoh sebelumnya ia mengikuti bahawa vektor tegangan E 1 dan E 2 satah pertama dan kedua adalah sama besarnya dan di mana-mana diarahkan berserenjang dengan satah. Oleh itu, dalam ruang di luar satah ia saling mengimbangi, dan dalam ruang antara satah jumlah ketegangan . Oleh itu, antara pesawat

(dalam dielektrik.).

Medan antara pesawat adalah seragam. Perbezaan potensi antara pesawat.
(dalam dielektrik ).

4. Medan permukaan sfera bercas seragam.

Permukaan sfera jejari R dengan jumlah cas q dicas secara seragam dengan ketumpatan permukaan

Oleh kerana sistem caj dan, akibatnya, medan itu sendiri adalah simetri berpusat berbanding pusat sfera, garis tegangan diarahkan secara jejari.

Sebagai permukaan Gaussian kita memilih sfera jejari r yang mempunyai pusat bersama dengan sfera bercas. Jika r>R, maka keseluruhan cas q masuk ke dalam permukaan. Dengan teorem Gauss, dari mana

Pada r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Perbezaan potensi antara dua titik yang terletak pada jarak r 1 dan r 2 dari pusat sfera

(r1 >R,r2 >R), adalah sama dengan

Di luar sfera bercas, medan adalah sama dengan medan cas titik q yang terletak di tengah sfera. Tiada medan di dalam sfera bercas, jadi potensi adalah sama di mana-mana dan sama seperti di permukaan