Sistem tidak homogen dengan kaedah mempelbagaikan pemalar sewenang-wenangnya. ODE

Mari kita pertimbangkan linear tidak homogen persamaan pembezaan Dengan pekali malar perintah n sewenang-wenangnya:
(1) .
Kaedah variasi pemalar, yang kami pertimbangkan untuk persamaan tertib pertama, juga boleh digunakan untuk persamaan peringkat tinggi.

Penyelesaian dijalankan dalam dua peringkat. Dalam langkah pertama, kami membuang sebelah kanan dan menyelesaikan persamaan homogen. Akibatnya, kita memperoleh penyelesaian yang mengandungi n pemalar arbitrari. Pada peringkat kedua kita mengubah pemalar. Iaitu, kami percaya bahawa pemalar ini adalah fungsi pembolehubah bebas x dan cari bentuk fungsi ini.

Walaupun kita sedang mempertimbangkan persamaan dengan pekali malar di sini, tetapi Kaedah Lagrange juga boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan tak homogen linear. Untuk ini, bagaimanapun, sistem asas penyelesaian mesti diketahui persamaan homogen.

Langkah 1. Menyelesaikan persamaan homogen

Seperti persamaan tertib pertama, kita mula-mula mencari penyelesaian umum persamaan homogen, menyamakan sisi tak homogen kanan kepada sifar:
(2) .
Penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah:
(3) .
Berikut adalah pemalar sewenang-wenangnya; - n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen (2), yang membentuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan ini.

Langkah 2. Variasi pemalar - menggantikan pemalar dengan fungsi

Pada peringkat kedua kita akan berurusan dengan variasi pemalar. Dengan kata lain, kita akan menggantikan pemalar dengan fungsi pembolehubah bebas x:
.
Iaitu, kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (1) dalam bentuk berikut:
(4) .

Jika kita menggantikan (4) kepada (1), kita mendapat satu persamaan pembezaan untuk n fungsi. Dalam kes ini, kita boleh menyambungkan fungsi ini dengan persamaan tambahan. Kemudian anda mendapat n persamaan dari mana n fungsi boleh ditentukan. Persamaan tambahan boleh ditulis

dalam pelbagai cara . Tetapi kami akan melakukan ini supaya penyelesaiannya mempunyai bentuk yang paling mudah. Untuk melakukan ini, apabila membezakan, anda perlu menyamakan dengan sifar istilah yang mengandungi derivatif fungsi. Mari kita tunjukkan ini.
.
Jom kumpulkan ahli. Mula-mula, kita tuliskan istilah dengan terbitan , dan kemudian istilah dengan terbitan :

.
Mari kita mengenakan syarat pertama pada fungsi:
(5.1) .
Kemudian ungkapan untuk terbitan pertama berkenaan dengan akan mempunyai bentuk yang lebih mudah:
(6.1) .

Dengan menggunakan kaedah yang sama, kita dapati derivatif kedua:

.
Mari kita mengenakan syarat kedua pada fungsi:
(5.2) .
Kemudian
(6.2) .
Dan seterusnya. Dalam keadaan tambahan, kami menyamakan istilah yang mengandungi derivatif fungsi kepada sifar.

Oleh itu, jika kita memilih persamaan tambahan berikut untuk fungsi:
(5.k) ,
maka terbitan pertama berkenaan dengan akan mempunyai bentuk termudah:
(6.k) .
Di sini.

Cari terbitan ke-n:
(6.n)
.

Gantikan ke dalam persamaan asal (1):
(1) ;






.
Mari kita ambil kira bahawa semua fungsi memenuhi persamaan (2):
.
Kemudian jumlah sebutan yang mengandungi sifar memberikan sifar. Hasilnya kami mendapat:
(7) .

Hasilnya, kami menerima sistem persamaan linear untuk derivatif:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Menyelesaikan sistem ini, kita mencari ungkapan untuk derivatif sebagai fungsi x.
.
Mengintegrasikan, kami mendapat:

Berikut adalah pemalar yang tidak lagi bergantung pada x. Menggantikan kepada (4), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan asal. Ambil perhatian bahawa untuk menentukan nilai derivatif, kami tidak pernah menggunakan fakta bahawa pekali a i adalah malar. sebab tu Kaedah Lagrange boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan tak homogen linear

, jika sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen (2) diketahui.

Contoh

Selesaikan persamaan menggunakan kaedah variasi pemalar (Lagrange). Kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen. pelajaran ini ditujukan untuk pelajar yang sudah lebih kurang mahir dalam topik tersebut. Jika anda baru mula berkenalan dengan alat kawalan jauh, i.e. Jika anda seorang teko, saya cadangkan bermula dengan pelajaran pertama: Persamaan pembezaan tertib pertama. Contoh penyelesaian

. Dan jika anda sudah selesai, sila buang kemungkinan prasangka bahawa kaedah itu sukar. Kerana ianya mudah.

Dalam kes apakah kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan? 1) Kaedah variasi pemalar arbitrari boleh digunakan untuk menyelesaikan DE tak homogen linear dari urutan pertama

. Oleh kerana persamaan adalah tertib pertama, maka pemalar juga adalah satu. 2) Kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan tertib kedua tak homogen linear

. Di sini dua pemalar berbeza-beza. Adalah logik untuk mengandaikan bahawa pelajaran akan terdiri daripada dua perenggan... Oleh itu, saya menulis ayat ini, dan selama kira-kira 10 minit saya termenung memikirkan tentang omong kosong lain yang boleh saya tambah untuk peralihan yang lancar kepada. Tetapi atas sebab tertentu saya tidak mempunyai apa-apa pemikiran selepas cuti, walaupun saya nampaknya tidak menyalahgunakan apa-apa. Oleh itu, mari kita terus ke perenggan pertama.

Kaedah variasi pemalar arbitrari
untuk persamaan linear tak homogen tertib pertama

Sebelum mempertimbangkan kaedah variasi pemalar sewenang-wenangnya, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan artikel itu Persamaan pembezaan linear bagi urutan pertama. Dalam pelajaran itu kami berlatih penyelesaian pertama tidak homogen 1st order DE. Penyelesaian pertama ini, saya ingatkan anda, dipanggil kaedah penggantian atau kaedah Bernoulli(jangan dikelirukan dengan Persamaan Bernoulli!!!)

Sekarang kita akan lihat penyelesaian kedua– kaedah variasi pemalar arbitrari. Saya hanya akan memberikan tiga contoh, dan saya akan mengambilnya dari pelajaran yang disebutkan di atas. Kenapa sedikit? Kerana sebenarnya, penyelesaian dengan cara kedua akan sangat mirip dengan penyelesaian dengan cara pertama. Di samping itu, menurut pemerhatian saya, kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan kurang kerap daripada kaedah penggantian.

Contoh 1

(Berbeza daripada Contoh No. 2 pelajaran Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan pertama)

Penyelesaian: Persamaan ini adalah linear tidak homogen dan mempunyai bentuk biasa:

Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan yang lebih mudah:
Iaitu, kami dengan bodohnya menetapkan semula bahagian kanan dan sebaliknya menulis sifar.
Persamaan Saya akan telefon persamaan bantu.

DALAM dalam contoh ini anda perlu menyelesaikan persamaan bantu berikut:

Sebelum kita persamaan boleh dipisahkan, penyelesaiannya (saya harap) tidak lagi sukar untuk anda:

Oleh itu:
– penyelesaian umum persamaan tambahan.

Pada langkah kedua kami akan gantikan beberapa tetap buat masa ini fungsi tidak diketahui yang bergantung pada "x":

Oleh itu nama kaedah - kami mengubah pemalar. Sebagai alternatif, pemalar boleh menjadi beberapa fungsi yang kini perlu kita cari.

DALAM asal persamaan tak homogen mari buat pengganti:

Mari kita gantikan dan ke dalam persamaan :

Titik kawalan - dua istilah di sebelah kiri membatalkan. Jika ini tidak berlaku, anda harus mencari ralat di atas.

Hasil daripada penggantian itu, persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan telah diperolehi. Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan.

Alangkah baiknya, para eksponen juga membatalkan:

Kami menambah pemalar "biasa" pada fungsi yang ditemui:

hidup peringkat akhir Mari kita ingat pengganti kita:

Fungsi baru sahaja ditemui!

Jadi penyelesaian umum ialah:

Jawapan: penyelesaian umum:

Jika anda mencetak kedua-dua penyelesaian, anda akan perasan dengan mudah bahawa dalam kedua-dua kes kami menemui kamiran yang sama. Satu-satunya perbezaan adalah dalam algoritma penyelesaian.

Sekarang untuk sesuatu yang lebih rumit, saya juga akan mengulas pada contoh kedua:

Contoh 2

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
(Berbeza daripada Contoh No. 8 pelajaran Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan pertama)

Penyelesaian: Mari kita kurangkan persamaan kepada bentuk :

Mari kita tetapkan semula bahagian kanan dan selesaikan persamaan tambahan:

Penyelesaian umum kepada persamaan tambahan:

Dalam persamaan tidak homogen kita membuat penggantian:

Mengikut peraturan pembezaan produk:

Mari kita gantikan dan ke dalam persamaan tak homogen asal:

Dua istilah di sebelah kiri membatalkan, yang bermaksud kita berada di di landasan yang betul:

Mari kita sepadukan mengikut bahagian. Surat lazat dari formula untuk penyepaduan mengikut bahagian sudah terlibat dalam penyelesaian, jadi kami menggunakan, sebagai contoh, huruf "a" dan "be":

Sekarang mari kita ingat penggantinya:

Jawapan: penyelesaian umum:

Dan satu contoh untuk keputusan bebas:

Contoh 3

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan.

,
(Berbeza daripada Contoh No. 4 pelajaran Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan pertama)
Penyelesaian:
DE ini adalah linear tidak homogen. Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Mari kita selesaikan persamaan bantu:

Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan:

Penyelesaian umum:
Dalam persamaan tidak homogen kita membuat penggantian:

Mari kita lakukan penggantian:

Jadi penyelesaian umum ialah:

Mari kita cari penyelesaian tertentu yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan:

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Penyelesaian di akhir pelajaran boleh menjadi contoh untuk menyelesaikan tugasan.

Kaedah variasi pemalar arbitrari
untuk persamaan tertib kedua tak homogen linear
dengan pekali malar

Saya sering mendengar pendapat bahawa kaedah mengubah pemalar arbitrari untuk persamaan tertib kedua bukanlah satu perkara yang mudah. Tetapi saya menganggap perkara berikut: kemungkinan besar, kaedah itu kelihatan sukar bagi ramai kerana ia tidak berlaku begitu kerap. Tetapi pada hakikatnya tidak ada kesulitan tertentu - perjalanan keputusan adalah jelas, telus dan boleh difahami. Dan cantik.

Untuk menguasai kaedah, adalah wajar untuk dapat menyelesaikannya persamaan tak homogen kaedah urutan kedua untuk memilih penyelesaian tertentu berdasarkan bentuk sebelah kanan. Kaedah ini dibincangkan secara terperinci dalam artikel DE pesanan ke-2 tidak homogen. Kami ingat bahawa persamaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar mempunyai bentuk:

Kaedah pemilihan, yang dibincangkan dalam pelajaran di atas, hanya berfungsi dalam bilangan kes yang terhad apabila bahagian kanan mengandungi polinomial, eksponen, sinus dan kosinus. Tetapi apa yang perlu dilakukan apabila di sebelah kanan, sebagai contoh, adalah pecahan, logaritma, tangen? Dalam keadaan sedemikian, kaedah variasi pemalar datang untuk menyelamatkan.

Contoh 4

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib kedua

Penyelesaian: Di sebelah kanan persamaan yang diberikan terdapat pecahan, jadi kita boleh segera mengatakan bahawa kaedah memilih penyelesaian tertentu tidak berfungsi. Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari.

Tidak ada tanda-tanda ribut petir, permulaan penyelesaian adalah biasa:

Kami akan mencari penyelesaian umum sesuai homogen persamaan:

Mari kita karang dan selesaikan persamaan ciri:


– akar kompleks konjugasi diperoleh, jadi penyelesaian umum ialah:

Beri perhatian kepada rekod penyelesaian umum - jika terdapat kurungan, kemudian bukanya.

Sekarang kita melakukan helah yang hampir sama seperti untuk persamaan tertib pertama: kita mengubah pemalar, menggantikannya dengan fungsi yang tidak diketahui. iaitu, penyelesaian umum tak homogen kita akan mencari persamaan dalam bentuk:

di mana - buat masa ini fungsi yang tidak diketahui.

Ia kelihatan seperti tempat pembuangan sisa isi rumah, tetapi sekarang kami akan menyelesaikan semuanya.

Yang tidak diketahui ialah terbitan bagi fungsi. Matlamat kami adalah untuk mencari derivatif, dan derivatif yang ditemui mesti memenuhi kedua-dua persamaan pertama dan kedua sistem.

Dari mana datangnya "orang Yunani"? Bangau membawa mereka. Kami melihat penyelesaian umum yang diperoleh sebelum ini dan tulis:

Mari cari derivatif:

Bahagian kiri telah diuruskan. Apa yang ada di sebelah kanan?

- Ini sebelah kanan persamaan asal, dalam dalam kes ini:

Pekali ialah pekali terbitan kedua:

Dalam amalan, hampir selalu, dan contoh kami tidak terkecuali.

Semuanya jelas, kini anda boleh membuat sistem:

Sistem ini biasanya diselesaikan mengikut formula Cramer menggunakan algoritma standard. Satu-satunya perbezaan ialah bukannya nombor kita mempunyai fungsi.

Mari cari penentu utama sistem:

Jika anda terlupa bagaimana penentu dua-dua didedahkan, rujuk pelajaran Bagaimana untuk mengira penentu? Pautan itu membawa kepada lembaga malu =)

Jadi: ini bermakna sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Mencari terbitan:

Tetapi bukan itu sahaja, setakat ini kami hanya menemui derivatifnya.
Fungsi itu sendiri dipulihkan dengan penyepaduan:

Mari lihat fungsi kedua:

Di sini kita menambah pemalar "biasa".

Pada peringkat akhir penyelesaian, kita masih ingat dalam bentuk apakah kita sedang mencari penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen? Dalam ini:

Ciri yang anda perlukan baru jumpa!

Apa yang tinggal ialah melakukan penggantian dan tuliskan jawapannya:

Jawapan: penyelesaian umum:

Pada dasarnya, jawapannya boleh mengembangkan kurungan.

Semakan lengkap jawapan dijalankan mengikut skema standard, yang telah dibincangkan dalam pelajaran. DE pesanan ke-2 tidak homogen. Tetapi pengesahan tidak akan mudah, kerana perlu mencari derivatif yang agak berat dan melakukan penggantian yang menyusahkan. Ini adalah ciri yang tidak menyenangkan apabila anda menyelesaikan penyebar sedemikian.

Contoh 5

Selesaikan persamaan pembezaan dengan mengubah pemalar arbitrari

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Malah, di sebelah kanan juga terdapat pecahan. Mari kita ingat formula trigonometri, dengan cara ini, ia perlu digunakan semasa penyelesaian.

Kaedah variasi pemalar arbitrari adalah yang paling banyak kaedah universal. Ia boleh menyelesaikan sebarang persamaan yang boleh diselesaikan kaedah memilih penyelesaian tertentu berdasarkan bentuk sebelah kanan. Persoalannya timbul: mengapa tidak menggunakan kaedah variasi pemalar sewenang-wenang di sana juga? Jawapannya jelas: pemilihan penyelesaian tertentu, yang dibincangkan di dalam kelas Persamaan tertib kedua tidak homogen, mempercepatkan penyelesaian dengan ketara dan memendekkan rakaman - tiada kekecohan dengan penentu dan kamiran.

Mari kita lihat dua contoh dengan Masalah cauchy.

Contoh 6

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang sepadan dengan yang diberikan syarat awal

,

Penyelesaian: Sekali lagi pecahan dan eksponen dalam tempat yang menarik.
Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari.

Kami akan mencari penyelesaian umum sesuai homogen persamaan:



– punca sebenar yang berbeza diperolehi, jadi penyelesaian umum ialah:

Penyelesaian umum tidak homogen kita mencari persamaan dalam bentuk: , di mana – buat masa ini fungsi yang tidak diketahui.

Mari buat sistem:

Dalam kes ini:
,
Mencari derivatif:
,

Oleh itu:

Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer:
, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Kami memulihkan fungsi dengan penyepaduan:

Digunakan di sini kaedah memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan.

Kami memulihkan fungsi kedua dengan penyepaduan:

Integral ini diselesaikan kaedah penggantian berubah-ubah:

Daripada penggantian itu sendiri kami menyatakan:

Oleh itu:

Integral ini boleh didapati kaedah pengasingan persegi penuh , tetapi dalam contoh dengan penyebar saya lebih suka mengembangkan pecahan kaedah pekali yang tidak ditentukan:

Kedua-dua fungsi ditemui:

Akibatnya, penyelesaian umum kepada persamaan tak homogen ialah:

Mari cari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal .

Secara teknikal, pencarian penyelesaian dilakukan dengan cara yang standard, yang dibincangkan dalam artikel Persamaan pembezaan tak homogen tertib kedua.

Tunggu, sekarang kita akan mencari derivatif penyelesaian umum yang ditemui:

Ini amat memalukan. Ia tidak perlu untuk memudahkannya; ia adalah lebih mudah untuk segera mencipta sistem persamaan. Mengikut syarat awal :

Mari kita gantikan nilai yang ditemui bagi pemalar kepada penyelesaian umum:

Dalam jawapannya, logaritma boleh dibungkus sedikit.

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Seperti yang anda lihat, kesukaran mungkin timbul dalam kamiran dan terbitan, tetapi tidak dalam algoritma itu sendiri untuk kaedah variasi pemalar arbitrari. Bukan saya yang menakut-nakutkan anda, ini semua koleksi Kuznetsov!

Untuk kelonggaran, contoh terakhir yang lebih mudah untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 7

Selesaikan masalah Cauchy

,

Contohnya mudah, tetapi kreatif, apabila anda membuat sistem, lihat dengan teliti sebelum membuat keputusan ;-),




Akibatnya, penyelesaian umum ialah:

Mari kita cari penyelesaian tertentu yang sepadan dengan keadaan awal .



Marilah kita menggantikan nilai pemalar yang ditemui ke dalam penyelesaian umum:

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Sekarang mari kita pertimbangkan persamaan tak homogen linear
. (2)
Biarkan y 1 ,y 2 ,.., y n ialah sistem asas penyelesaian, dan biarkan penyelesaian umum persamaan homogen sepadan L(y)=0. Sama seperti kes persamaan tertib pertama, kita akan mencari penyelesaian kepada persamaan (2) dalam bentuk
. (3)
Mari kita pastikan bahawa penyelesaian dalam bentuk ini wujud. Untuk melakukan ini, kami menggantikan fungsi ke dalam persamaan. Untuk menggantikan fungsi ini ke dalam persamaan, kita mencari derivatifnya. Derivatif pertama adalah sama dengan
. (4)
Apabila mengira terbitan kedua, empat sebutan akan muncul di sebelah kanan (4), apabila mengira terbitan ketiga, lapan sebutan akan muncul, dan seterusnya. Oleh itu, untuk kemudahan pengiraan selanjutnya, sebutan pertama dalam (4) ditetapkan sama dengan sifar. Dengan mengambil kira ini, terbitan kedua adalah sama dengan
. (5)
Atas sebab yang sama seperti sebelumnya, dalam (5) kami juga menetapkan sebutan pertama bersamaan dengan sifar. Akhirnya, terbitan ke-n sama dengan
. (6)
Menggantikan nilai derivatif yang diperoleh ke dalam persamaan asal, kita ada
. (7)
Sebutan kedua dalam (7) adalah sama dengan sifar, kerana fungsi y j , j=1,2,..,n, adalah penyelesaian kepada persamaan homogen sepadan L(y)=0. Menggabungkan dengan yang sebelumnya, kami mendapat sistem persamaan algebra untuk mencari fungsi C" j (x)
(8)
Penentu sistem ini ialah penentu Wronski bagi sistem asas penyelesaian y 1 ,y 2 ,..,y n persamaan homogen sepadan L(y)=0 dan oleh itu tidak sama dengan sifar. Akibatnya, terdapat penyelesaian unik untuk sistem (8). Setelah menemuinya, kita memperoleh fungsi C" j (x), j=1,2,…,n, dan, akibatnya, C j (x), j=1,2,…,n Menggantikan nilai ini ke dalam (3), kita memperoleh penyelesaian kepada persamaan tak homogen linear.
Kaedah yang digariskan dipanggil kaedah variasi pemalar arbitrari atau kaedah Lagrange.

Darjah maksimum terbitan 2 3 4 5 6

Contoh No 1. Mari cari penyelesaian am bagi persamaan y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Pertimbangkan persamaan homogen yang sepadan y"" + 4y" + 3y = 0. Punca-puncanya persamaan ciri r 2 + 4r + 3 = 0 adalah sama dengan -1 dan -3. Oleh itu, sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen terdiri daripada fungsi y 1 = e - x dan y 2 = e -3 x. Kami mencari penyelesaian kepada persamaan tak homogen dalam bentuk y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Untuk mencari derivatif C" 1 , C" 2 kita menyusun sistem persamaan (8)

menyelesaikan yang, kita dapati , Mengintegrasikan fungsi yang diperolehi, kita ada
Akhirnya kita dapat

Contoh No. 2. Selesaikan persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar menggunakan kaedah mengubah pemalar arbitrari:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Penyelesaian:
Persamaan pembezaan ini merujuk kepada persamaan pembezaan linear dengan pekali malar.
Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk y = e rx. Untuk melakukan ini, kami menyusun persamaan ciri persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Punca-punca persamaan ciri: r 1 = 4, r 2 = 2
Oleh itu, sistem asas penyelesaian terdiri daripada fungsi:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk:

Cari penyelesaian tertentu dengan kaedah mengubah pemalar arbitrari.
Untuk mencari terbitan C" i kita susun satu sistem persamaan:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Mari kita ungkapkan C" 1 daripada persamaan pertama:
C" 1 = -c 2 e -2x
dan menggantikannya dengan yang kedua. Hasilnya kami mendapat:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Kami menyepadukan fungsi yang diperolehi C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Kerana , kemudian kami menulis ungkapan yang terhasil dalam bentuk:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan mempunyai bentuk:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
atau
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Mari cari penyelesaian tertentu di bawah syarat:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Menggantikan x = 0 ke dalam persamaan yang ditemui, kita dapat:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Kami mencari terbitan pertama bagi penyelesaian umum yang diperoleh:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Menggantikan x = 0, kita dapat:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Kami mendapat sistem dua persamaan:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
atau
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
atau
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
di mana:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Penyelesaian peribadi akan ditulis sebagai:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Minimum teori

Dalam teori persamaan pembezaan, terdapat kaedah yang mendakwa mempunyai darjah kesejagatan yang agak tinggi untuk teori ini.
Kita bercakap tentang kaedah variasi pemalar arbitrari, terpakai untuk menyelesaikan pelbagai kelas persamaan pembezaan dan mereka
sistem Perkara ini tepat berlaku apabila teori - jika kita mengambil bukti kenyataan daripada kurungan - adalah minimum, tetapi membolehkan kita mencapai
keputusan yang ketara, jadi penekanan akan diberikan pada contoh.

Idea umum kaedah ini agak mudah untuk dirumuskan. biarlah persamaan yang diberikan(sistem persamaan) sukar untuk diselesaikan atau tidak dapat difahami sepenuhnya,
bagaimana untuk menyelesaikannya. Walau bagaimanapun, adalah jelas bahawa dengan menghapuskan beberapa istilah daripada persamaan, ia diselesaikan. Kemudian mereka menyelesaikan dengan tepat ini dipermudahkan
persamaan (sistem), kita memperoleh penyelesaian yang mengandungi bilangan pemalar arbitrari tertentu - bergantung kepada susunan persamaan (nombor
persamaan dalam sistem). Kemudian diandaikan bahawa pemalar dalam penyelesaian yang ditemui sebenarnya bukan pemalar;
digantikan ke dalam persamaan (sistem) asal, persamaan pembezaan (atau sistem persamaan) diperoleh untuk menentukan "pemalar".
Terdapat kekhususan tertentu dalam penggunaan kaedah variasi pemalar arbitrari kepada tugasan yang berbeza, tetapi ini sudah menjadi butiran yang akan
ditunjukkan dengan contoh.

Mari kita pertimbangkan secara berasingan penyelesaian persamaan tak homogen linear tertib lebih tinggi, i.e. persamaan bentuk
.
Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear ialah hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen sepadan dan penyelesaian tertentu.
daripada persamaan ini. Mari kita andaikan bahawa penyelesaian umum kepada persamaan homogen telah pun ditemui, iaitu, sistem asas penyelesaian (FSS) telah dibina.
. Maka penyelesaian umum persamaan homogen adalah sama dengan .
Kita perlu mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen. Untuk tujuan ini, pemalar dianggap bergantung pada pembolehubah.
Seterusnya anda perlu menyelesaikan sistem persamaan
.
Teori ini menjamin bahawa sistem persamaan algebra ini berkenaan dengan terbitan fungsi mempunyai penyelesaian yang unik.
Apabila mencari fungsi itu sendiri, pemalar penyepaduan tidak muncul: selepas semua, mana-mana penyelesaian dicari.

Dalam kes menyelesaikan sistem persamaan tertib pertama tak homogen linear bagi bentuk

algoritma kekal hampir tidak berubah. Mula-mula anda perlu mencari FSR yang sepadan sistem homogen persamaan, buat matriks asas
sistem, lajur yang mewakili unsur-unsur FSR. Seterusnya, persamaan dibuat
.
Apabila menyelesaikan sistem, kami menentukan fungsi , dengan itu mencari penyelesaian tertentu kepada sistem asal
(matriks asas didarab dengan lajur fungsi yang ditemui).
Kami menambahnya kepada penyelesaian umum sistem persamaan homogen yang sepadan, yang dibina berdasarkan FSR yang telah dijumpai.
Penyelesaian umum sistem asal diperolehi.

Contoh.

Contoh 1. Persamaan tak homogen linear tertib pertama.

Mari kita pertimbangkan persamaan homogen yang sepadan (kita nyatakan fungsi yang dikehendaki):
.
Persamaan ini boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan kaedah pemisahan pembolehubah:

.
Sekarang mari kita bayangkan penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk , di mana fungsi itu masih belum ditemui.
Kami menggantikan jenis penyelesaian ini ke dalam persamaan asal:
.
Seperti yang anda lihat, istilah kedua dan ketiga di sebelah kiri membatalkan satu sama lain - ini ciri ciri kaedah variasi pemalar arbitrari.

Di sini ia sudah menjadi pemalar yang benar-benar sewenang-wenangnya. Oleh itu,
.

Contoh 2. Persamaan Bernoulli.

Kami meneruskan sama dengan contoh pertama - kami menyelesaikan persamaan

kaedah pengasingan pembolehubah. Ternyata, jadi kami mencari penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk
.
Kami menggantikan fungsi ini ke dalam persamaan asal:
.
Dan sekali lagi pengurangan berlaku:
.
Di sini anda perlu ingat untuk memastikan bahawa apabila membahagikan dengan penyelesaian tidak hilang. Dan penyelesaian kepada yang asal sepadan dengan kes itu
persamaan Mari kita mengingatinya. Jadi,
.
Mari kita menulisnya.
Ini adalah penyelesaiannya. Apabila menulis jawapan, anda juga harus menunjukkan penyelesaian yang ditemui sebelum ini, kerana ia tidak sepadan dengan sebarang nilai akhir
pemalar

Contoh 3. Persamaan tak homogen linear bagi susunan yang lebih tinggi.

Marilah kita segera ambil perhatian bahawa persamaan ini boleh diselesaikan dengan lebih mudah, tetapi adalah mudah untuk menunjukkan kaedah menggunakannya. Walaupun beberapa kelebihan
Kaedah variasi mempunyai pemalar sewenang-wenang dalam contoh ini juga.
Jadi, anda perlu bermula dengan FSR bagi persamaan homogen yang sepadan. Mari kita ingat bahawa untuk mencari FSR, lengkung ciri disusun
persamaan
.
Oleh itu, penyelesaian umum persamaan homogen
.
Pemalar yang disertakan di sini mesti diubah. Membuat sistem

Mari kita beralih kepada pertimbangan persamaan pembezaan tak homogen linear bagi bentuk tersebut

di mana - fungsi hujah yang diperlukan , dan fungsi



diberikan dan berterusan pada selang waktu tertentu
.

Mari kita pertimbangkan persamaan homogen linear, bahagian kirinya bertepatan dengan bahagian kiri persamaan tidak homogen (2.31),

Persamaan bentuk (2.32) dipanggil persamaan homogen sepadan dengan persamaan tidak homogen (2.31).

Teorem berikut memegang tentang struktur penyelesaian umum persamaan linear tak homogen (2.31).

Teorem 2.6. Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear (2.31) di rantau ini

ialah hasil tambah sebarang penyelesaian tertentu dan penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan (2.32) dalam domain (2.33), i.e.

di mana - penyelesaian khusus persamaan (2.31),
ialah sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen (2.32), dan
- pemalar sewenang-wenangnya.

Anda akan dapati bukti teorem ini dalam.

Menggunakan contoh persamaan pembezaan tertib kedua, kita akan menggariskan kaedah yang mana seseorang boleh mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear. Kaedah ini dipanggil Kaedah Lagrange variasi pemalar arbitrari.

Jadi, marilah kita diberi persamaan linear tak homogen

(2.35)

di manakah pekali
dan sebelah kanan
berterusan dalam beberapa selang
.

Mari kita nyatakan dengan
Dan
sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen

(2.36)

Kemudian penyelesaian amnya mempunyai bentuk

(2.37)

di mana Dan - pemalar sewenang-wenangnya.

Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (2.35) dalam bentuk yang sama , serta penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan, menggantikan pemalar arbitrari dengan beberapa fungsi yang boleh dibezakan (kami mengubah pemalar sewenang-wenangnya), mereka.

di mana
Dan
- beberapa fungsi boleh dibezakan daripada , yang masih tidak diketahui dan yang akan kita cuba tentukan supaya fungsi (2.38) akan menjadi penyelesaian kepada persamaan tidak homogen (2.35). Membezakan kedua-dua belah kesamaan (2.38), kita perolehi

Supaya apabila mengira terbitan tertib kedua bagi
Dan
, kami memerlukannya di mana-mana sahaja
syarat itu dipenuhi

Kemudian untuk kita akan ada

Mari kita hitung terbitan kedua

Menggantikan ungkapan untuk ,,daripada (2.38), (2.40), (2.41) ke dalam persamaan (2.35), kita perolehi

Ungkapan dalam kurungan segi empat sama, adalah sama dengan sifar di mana-mana sahaja
, kerana Dan - penyelesaian separa persamaan (2.36). Dalam kes ini, (2.42) akan mengambil bentuk Menggabungkan keadaan ini dengan keadaan (2.39), kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan
Dan

(2.43)

Sistem terakhir ialah sistem dua persamaan linear algebra tidak homogen berkenaan dengan
Dan
. Penentu sistem ini ialah penentu Wronski untuk sistem asas penyelesaian ,dan, oleh itu, adalah bukan sifar di mana-mana sahaja
. Ini bermakna sistem (2.43) mempunyai penyelesaian yang unik. Setelah menyelesaikannya dengan cara apa pun secara relatif
,
kita akan cari

di mana
Dan
- fungsi yang diketahui.

Melakukan integrasi dan mengambil kira bahawa sebagai
,
kita harus mengambil sepasang fungsi dan menetapkan pemalar penyepaduan sama dengan sifar. Kami dapat

Menggantikan ungkapan (2.44) ke dalam hubungan (2.38), kita boleh menulis penyelesaian yang dikehendaki kepada persamaan tak homogen (2.35) dalam bentuk

Kaedah ini boleh digeneralisasikan untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear -perintah ke-.

Contoh 2.6. Selesaikan persamaan
di
jika fungsi

membentuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan.

Mari kita cari penyelesaian khusus untuk persamaan ini. Untuk melakukan ini, mengikut kaedah Lagrange, kita mesti terlebih dahulu menyelesaikan sistem (2.43), yang dalam kes kita mempunyai bentuk
Mengurangkan kedua-dua belah setiap persamaan dengan kita dapat

Menolak sebutan persamaan pertama dengan sebutan daripada persamaan kedua, kita dapati
dan kemudian daripada persamaan pertama ia mengikuti
Melaksanakan penyepaduan dan menetapkan pemalar penyepaduan kepada sifar, kita akan ada

Penyelesaian tertentu kepada persamaan ini boleh diwakili sebagai

Penyelesaian umum persamaan ini mempunyai bentuk

di mana Dan - pemalar sewenang-wenangnya.

Akhir sekali, mari kita perhatikan satu sifat yang luar biasa, yang sering dipanggil prinsip superposisi penyelesaian dan diterangkan oleh teorem berikut.

Teorem 2.7. Jika di antara
fungsi
- penyelesaian tertentu bagi fungsi persamaan
penyelesaian tertentu bagi persamaan pada selang yang sama ialah fungsi
terdapat penyelesaian tertentu kepada persamaan tersebut