Untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal, adalah perlu untuk mengetahui satu set syarat kerana hasil kesan kumulatif kuantiti yang banyak faktor rawak hampir bebas daripada peluang. Keadaan ini diterangkan dalam beberapa teorem yang dipanggil nama biasa undang-undang bilangan yang besar, di mana pembolehubah rawak k adalah sama dengan 1 atau 0 bergantung kepada sama ada keputusan percubaan kth adalah kejayaan atau kegagalan. Oleh itu, Sn ialah hasil tambah n saling bebas pembolehubah rawak, setiap satunya mengambil nilai 1 dan 0 dengan kebarangkalian p dan q.

Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.

Teorem Poisson menyatakan bahawa kekerapan sesuatu peristiwa dalam satu siri ujian bebas cenderung kepada min aritmetik bagi kebarangkaliannya dan tidak lagi menjadi rawak.

Hadkan teorem teori kebarangkalian, teorem Moivre-Laplace menerangkan sifat kestabilan kekerapan kejadian sesuatu kejadian. Sifat ini terletak pada fakta bahawa taburan mengehadkan bilangan kejadian sesuatu peristiwa dengan peningkatan tidak terhad dalam bilangan percubaan (jika kebarangkalian kejadian itu sama dalam semua percubaan) adalah taburan normal.

Pusat teorem had menerangkan meluas undang-undang taburan normal. Teorem menyatakan bahawa setiap kali pembolehubah rawak terbentuk sebagai hasil penambahan bilangan yang besar pembolehubah rawak bebas dengan varians terhingga, hukum taburan pembolehubah rawak ini ternyata menjadi hukum yang hampir normal.

Teorem Lyapunov menerangkan taburan meluas undang-undang taburan normal dan menerangkan mekanisme pembentukannya. Teorem ini membolehkan kita menyatakan bahawa apabila pembolehubah rawak terbentuk hasil daripada penambahan sejumlah besar pembolehubah rawak bebas, variansnya adalah kecil berbanding dengan serakan jumlah, hukum taburan pembolehubah rawak ini bertukar. menjadi undang-undang yang hampir normal. Dan oleh kerana pembolehubah rawak sentiasa dijana oleh bilangan punca yang tidak terhingga dan selalunya tiada satu pun daripada mereka mempunyai serakan yang setanding dengan serakan pembolehubah rawak itu sendiri, kebanyakan pembolehubah rawak yang ditemui dalam amalan adalah tertakluk kepada undang-undang taburan normal.

Pernyataan kualitatif dan kuantitatif hukum bilangan besar adalah berdasarkan Ketaksamaan Chebyshev. Ia menentukan sempadan atas pada kebarangkalian bahawa sisihan nilai pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya adalah lebih besar daripada nombor tertentu yang ditentukan. Sungguh mengagumkan bahawa ketidaksamaan Chebyshev memberikan anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa untuk pembolehubah rawak yang taburannya tidak diketahui, hanya jangkaan matematik dan penyebaran.

Ketaksamaan Chebyshev. Jika pembolehubah rawak x mempunyai varians, maka bagi mana-mana x > 0 ketaksamaan adalah benar, di mana M x dan D x - jangkaan matematik dan varians bagi pembolehubah rawak x.

Teorem Bernoulli. Biarkan x n ialah bilangan kejayaan dalam n percubaan Bernoulli dan p kebarangkalian kejayaan dalam percubaan individu. Maka untuk mana-mana s > 0 ia adalah benar.

Teorem Lyapunov. Biarkan s 1, s 2, …, s n, … menjadi urutan tanpa had pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik m 1, m 2, …, m n, … dan varians s 1 2, s 2 2, …, s n 2 …. Mari kita nyatakan.

Maka = Ф(b) - Ф(a) untuk sebarang nombor nyata a dan b, dengan Ф(x) ialah fungsi taburan normal.

Biarkan pembolehubah rawak diskret diberikan. Mari kita pertimbangkan pergantungan bilangan kejayaan Sn pada bilangan percubaan n. Pada setiap percubaan, Sn meningkat sebanyak 1 atau 0. Pernyataan ini boleh ditulis sebagai:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Hukum Nombor Besar. Biarkan (k) ialah urutan pembolehubah rawak yang saling bebas dengan taburan yang sama. Jika jangkaan matematik = M(k) wujud, maka bagi sebarang > 0 untuk n

Dalam erti kata lain, kebarangkalian bahawa purata S n / n berbeza daripada jangkaan matematik dengan kurang daripada nilai yang ditentukan secara sewenang-wenangnya cenderung kepada satu.

Teorem had pusat. Biarkan (k) ialah urutan pembolehubah rawak saling bebas dengan taburan yang sama. Mari kita anggap bahawa mereka wujud. Biarkan Sn = 1 +…+ n , Kemudian untuk sebarang tetap

F () -- F () (1.3)

Di sini F (x) -- fungsi normal saya edarkan. Teorem ini telah dirumus dan dibuktikan oleh Linlberg. Lyapunov dan pengarang lain membuktikannya lebih awal, di bawah keadaan yang lebih ketat. Adalah perlu untuk membayangkan bahawa teorem yang dirumuskan di atas hanyalah kes yang sangat istimewa daripada lebih banyak lagi teorem am, yang seterusnya berkait rapat dengan banyak teorem had lain. Ambil perhatian bahawa (1.3) adalah lebih kuat daripada (1.2), kerana (1.3) memberikan anggaran untuk kebarangkalian perbezaan itu lebih besar daripada. Sebaliknya, hukum nombor besar (1.2) adalah benar walaupun pembolehubah rawak k tidak mempunyai varians terhingga, jadi ia digunakan untuk lebih kes am daripada teorem had pusat (1.3). Mari kita gambarkan dua teorem terakhir dengan contoh.

Contoh. a) Pertimbangkan urutan lontaran bebas bagi dadu simetri. Biarkan k ialah bilangan mata yang diperoleh semasa balingan kth. Kemudian

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 dan S n /n

ialah purata bilangan mata yang terhasil daripada n balingan.

Hukum nombor besar menyatakan bahawa adalah munasabah bahawa untuk besar n purata ini akan hampir kepada 3.5. Teorem Had Pusat menyatakan kebarangkalian bahawa |Sn -- 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Persampelan. Mari kita anggap bahawa dalam penduduk,

terdiri daripada N keluarga, Nk keluarga mempunyai betul-betul k anak setiap seorang

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Jika sebuah keluarga dipilih secara rawak, maka bilangan anak di dalamnya adalah pembolehubah rawak yang mengambil nilai dengan kebarangkalian p = N/N. Dalam pemilihan belakang ke belakang, seseorang boleh melihat sampel bersaiz n sebagai koleksi n pembolehubah rawak bebas atau "pemerhatian" 1, ..., n yang semuanya mempunyai taburan yang sama; S n / n ialah min sampel. Hukum bilangan besar menyatakan bahawa untuk yang cukup besar sampel rawak min mungkin akan hampir dengan, iaitu, min populasi. Teorem had pusat membolehkan seseorang menganggarkan kemungkinan besar percanggahan antara cara ini dan menentukan saiz sampel yang diperlukan untuk anggaran yang boleh dipercayai. Dalam amalan, dan dan biasanya tidak diketahui; walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes adalah mudah untuk mendapatkan anggaran awal dan sentiasa boleh disertakan dalam sempadan yang boleh dipercayai. Jika kita mahukan kebarangkalian 0.99 atau lebih besar bahawa sampel min S n / n berbeza daripada populasi yang tidak diketahui min kurang daripada 1/10, maka saiz sampel mesti diambil sedemikian.

Punca x bagi persamaan Ф(x) - Ф(-- x) = 0.99 adalah bersamaan dengan x = 2.57 ..., dan oleh itu n mestilah sedemikian sehingga 2.57 atau n > 660. Anggaran awal yang teliti membolehkan anda mencari saiz sampel yang diperlukan.

c) Taburan racun.

Katakan pembolehubah rawak k mempunyai taburan Poisson (p(k;)). Kemudian Sn mempunyai taburan Poisson dengan min dan varians sama dengan n.

Dengan menulis bukannya n, kami membuat kesimpulan bahawa untuk n

Penjumlahan dilakukan ke atas semua k dari 0 hingga. Ph-la (1.5) juga berlaku apabila dengan cara sewenang-wenangnya.

Biarkan sisihan piawai beberapa pembolehubah rawak saling bebas diketahui. Bagaimana untuk mencari purata sisihan piawai jumlah kuantiti ini? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem berikut.

Teorem. Sisihan piawai jumlah nombor terhingga pembolehubah rawak saling bebas adalah sama dengan punca kuasa dua daripada jumlah kuasa dua sisihan piawai kuantiti ini."

Bukti. Mari kita nyatakan dengan X jumlah yang dipertimbangkan bersama kuantiti bebas:

Varians jumlah beberapa pembolehubah rawak yang saling bebas adalah sama dengan jumlah varians istilah (lihat § 5, Corollary 1), oleh itu

atau akhirnya

Pembolehubah rawak saling bebas teragih sama

Sudah diketahui bahawa mengikut undang-undang pengedaran seseorang boleh mencari ciri berangka pembolehubah rawak. Oleh itu, jika beberapa pembolehubah rawak mempunyai taburan yang sama, maka ciri berangkanya adalah sama.

Mari kita pertimbangkan n pembolehubah rawak saling bebas X v X v ..., Xfi, yang mempunyai taburan yang sama, dan oleh itu ciri-ciri yang sama (jangkaan matematik, serakan, dll.). Paling Minat mewakili kajian ciri berangka min aritmetik bagi kuantiti ini, yang akan kita lakukan dalam bahagian ini.

Mari kita nyatakan min aritmetik bagi pembolehubah rawak yang sedang dipertimbangkan oleh X:

Tiga peruntukan berikut mewujudkan hubungan antara ciri berangka min aritmetik X dan ciri-ciri yang sepadan bagi setiap kuantiti individu.

1. Jangkaan matematik bagi min aritmetik bagi pembolehubah rawak saling bebas teragih sama adalah sama dengan jangkaan matematik a bagi setiap pembolehubah:

Bukti. Menggunakan sifat jangkaan matematik (faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan matematik; jangkaan matematik jumlah adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah), kita telah

Mengambil kira jangkaan matematik bagi setiap kuantiti mengikut keadaan adalah sama dengan A, kita dapat

2. Serakan min aritmetik bagi n pembolehubah rawak saling bebas teragih sama adalah n kali kurang daripada serakan D setiap pembolehubah:

Bukti. Dengan menggunakan sifat serakan (faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan mengkuadratkannya; serakan hasil tambah kuantiti bebas adalah sama dengan jumlah serakan istilah), kita ada

§ 9. Pembolehubah rawak saling bebas teragih sama 97

Dengan mengambil kira bahawa serakan setiap kuantiti mengikut keadaan adalah sama dengan D, kita perolehi

3. Sisihan piawai bagi min aritmetik bagi n rawak saling bebas teragih sama

nilai adalah 4n kali kurang daripada sisihan piawai a bagi setiap nilai:

Bukti. Kerana D(X) = D/n kemudian sisihan piawai X sama

Kesimpulan umum daripada formula (*) dan (**): mengingati bahawa serakan dan sisihan piawai berfungsi sebagai ukuran serakan pembolehubah rawak, kami membuat kesimpulan bahawa min aritmetik bagi bilangan pembolehubah rawak saling bebas yang cukup besar mempunyai

serakan kurang ketara daripada setiap nilai individu.

Mari kita jelaskan dengan contoh kepentingan kesimpulan ini untuk amalan.

Contoh. Biasanya untuk mengukur beberapa kuantiti fizikal buat beberapa ukuran, dan kemudian cari min aritmetik bagi nombor yang diperoleh, yang diambil sebagai nilai anggaran nilai yang diukur. Dengan mengandaikan bahawa pengukuran dibuat dalam keadaan yang sama, buktikan:

• a) min aritmetik memberikan hasil yang lebih dipercayai daripada ukuran individu;
• b) dengan peningkatan dalam bilangan ukuran, kebolehpercayaan keputusan ini meningkat.

Penyelesaian, a) Adalah diketahui bahawa ukuran individu memberikan nilai yang tidak sama bagi kuantiti yang diukur. Keputusan setiap pengukuran bergantung pada banyak sebab rawak (perubahan suhu, turun naik instrumen, dll.), yang tidak boleh diambil kira sepenuhnya terlebih dahulu.

Oleh itu, kami mempunyai hak untuk mempertimbangkan kemungkinan keputusan n pengukuran individu sebagai pembolehubah rawak X v X 2,..., X hlm(indeks menunjukkan nombor ukuran). Kuantiti ini mempunyai taburan kebarangkalian yang sama (pengukuran dibuat menggunakan teknik yang sama dan instrumen yang sama), dan oleh itu ciri berangka yang sama; di samping itu, mereka saling bebas (hasil setiap pengukuran individu tidak bergantung pada ukuran lain).

Kita sudah tahu bahawa min aritmetik bagi kuantiti tersebut mempunyai serakan yang kurang daripada setiap kuantiti individu. Dalam erti kata lain, min aritmetik ternyata lebih hampir kepada nilai sebenar nilai yang diukur daripada hasil ukuran yang berasingan. Ini bermakna min aritmetik beberapa ukuran memberikan lebih banyak hasil kes daripada satu ukuran.

b) Kita sudah tahu bahawa apabila bilangan pembolehubah rawak individu bertambah, serakan min aritmetik berkurangan. Ini bermakna apabila bilangan ukuran bertambah, min aritmetik beberapa ukuran berbeza dan kurang daripada maksud sebenar kuantiti yang diukur. Oleh itu, dengan menambah bilangan ukuran, hasil yang lebih dipercayai diperolehi.

Sebagai contoh, jika sisihan piawai bagi ukuran individu ialah a = 6 m, dan sejumlah n= 36 ukuran, maka sisihan piawai min aritmetik bagi ukuran ini ialah 1 m.

Kami melihat bahawa min aritmetik beberapa ukuran, seperti yang dijangkakan, ternyata lebih hampir kepada nilai sebenar nilai yang diukur daripada hasil pengukuran yang berasingan.

Kerja kursus

pada topik: "Hukum bilangan besar"

Pembolehubah rawak teragih sama

Untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal, adalah perlu untuk mengetahui satu set syarat yang menyebabkan hasil gabungan pengaruh sebilangan besar faktor rawak hampir bebas daripada peluang. Syarat-syarat ini diterangkan dalam beberapa teorem, secara kolektif dipanggil hukum nombor besar, di mana pembolehubah rawak k adalah sama dengan 1 atau 0 bergantung kepada sama ada keputusan percubaan kth adalah kejayaan atau kegagalan. Oleh itu, Sn ialah hasil tambah n pembolehubah rawak saling bebas, setiap satunya mengambil nilai 1 dan 0 dengan kebarangkalian p dan q.

Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.

Teorem Poisson menyatakan bahawa kekerapan sesuatu peristiwa dalam satu siri percubaan bebas cenderung kepada min aritmetik bagi kebarangkaliannya dan tidak lagi menjadi rawak.

Hadkan teorem teori kebarangkalian, teorem Moivre-Laplace menerangkan sifat kestabilan kekerapan kejadian sesuatu kejadian. Sifat ini terletak pada fakta bahawa taburan mengehadkan bilangan kejadian sesuatu peristiwa dengan peningkatan tidak terhad dalam bilangan percubaan (jika kebarangkalian kejadian itu sama dalam semua percubaan) adalah taburan normal.

Teorem had pusat menerangkan taburan meluas bagi hukum taburan normal. Teorem menyatakan bahawa apabila pembolehubah rawak terbentuk hasil daripada penambahan sejumlah besar pembolehubah rawak bebas dengan varians terhingga, hukum taburan pembolehubah rawak ini ternyata menjadi hukum yang hampir normal.

Teorem Lyapunov menerangkan taburan meluas undang-undang taburan normal dan menerangkan mekanisme pembentukannya. Teorem ini membolehkan kita menyatakan bahawa apabila pembolehubah rawak terbentuk hasil daripada penambahan sejumlah besar pembolehubah rawak bebas, variansnya adalah kecil berbanding dengan serakan jumlah, hukum taburan pembolehubah rawak ini bertukar. menjadi undang-undang yang hampir normal. Dan oleh kerana pembolehubah rawak sentiasa dijana oleh bilangan punca yang tidak terhingga dan selalunya tiada satu pun daripada mereka mempunyai serakan yang setanding dengan serakan pembolehubah rawak itu sendiri, kebanyakan pembolehubah rawak yang ditemui dalam amalan adalah tertakluk kepada undang-undang taburan normal.

Pernyataan kualitatif dan kuantitatif hukum bilangan besar adalah berdasarkan Ketaksamaan Chebyshev. Ia menentukan sempadan atas pada kebarangkalian bahawa sisihan nilai pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya adalah lebih besar daripada nombor tertentu yang ditentukan. Sungguh mengagumkan bahawa ketidaksamaan Chebyshev memberikan anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa untuk pembolehubah rawak yang taburannya tidak diketahui, hanya jangkaan dan varians matematiknya diketahui.

Ketaksamaan Chebyshev. Jika pembolehubah rawak x mempunyai varians, maka bagi mana-mana x > 0 ketaksamaan adalah benar, di mana M x dan D x - jangkaan matematik dan varians bagi pembolehubah rawak x.

Teorem Bernoulli. Biarkan x n ialah bilangan kejayaan dalam n percubaan Bernoulli dan p kebarangkalian kejayaan dalam percubaan individu. Kemudian untuk sebarang s > 0, .

Teorem Lyapunov. Biarkan s 1 , s 2 , …, s n , … menjadi urutan tanpa had pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik m 1 , m 2 , …, m n , … dan varians s 1 2 , s 2 2 , …, s n 2 … . Mari kita nyatakan , , , .

Kemudian = Ф(b) - Ф(a) untuk sebarang nombor nyata a dan b, dengan Ф(x) ialah fungsi taburan normal.

Biarkan pembolehubah rawak diskret diberikan. Mari kita pertimbangkan pergantungan bilangan kejayaan Sn pada bilangan percubaan n. Pada setiap percubaan, Sn meningkat sebanyak 1 atau 0. Pernyataan ini boleh ditulis sebagai:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Hukum bilangan besar. Biarkan (k) ialah urutan pembolehubah rawak saling bebas dengan taburan yang sama. Jika jangkaan matematik = M(k) wujud, maka untuk sebarang > 0 untuk n

Dalam erti kata lain, kebarangkalian bahawa purata S n / n berbeza daripada jangkaan matematik dengan kurang daripada nilai yang diberikan secara sewenang-wenangnya cenderung kepada satu.

Teorem had pusat. Biarkan (k) ialah urutan pembolehubah rawak saling bebas dengan taburan yang sama. Mari kita anggap bahawa mereka wujud. Biarkan Sn = 1 +…+ n , Kemudian untuk sebarang tetap

F () - F () (1.3)

Di sini Ф(х) ialah fungsi taburan normal. Teorem ini telah dirumus dan dibuktikan oleh Linlberg. Lyapunov dan pengarang lain membuktikannya lebih awal, di bawah keadaan yang lebih ketat. Adalah perlu untuk membayangkan bahawa teorem yang dirumuskan di atas hanyalah kes yang sangat istimewa bagi teorem yang lebih umum, yang seterusnya berkait rapat dengan banyak teorem had lain. Ambil perhatian bahawa (1.3) adalah lebih kuat daripada (1.2), kerana (1.3) memberikan anggaran untuk kebarangkalian perbezaan itu lebih besar daripada . Sebaliknya, hukum nombor besar (1.2) adalah benar walaupun pembolehubah rawak k tidak mempunyai varians terhingga, jadi ia digunakan untuk kes yang lebih umum daripada teorem had pusat (1.3). Mari kita menggambarkan dua teorem terakhir dengan contoh.

Contoh. a) Pertimbangkan urutan lontaran bebas bagi dadu simetri. Biarkan k ialah bilangan mata yang diperoleh semasa balingan kth. Kemudian

M( k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D( k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3.5) 2 =35/12 dan S n /n

ialah purata bilangan mata yang terhasil daripada n balingan.

Hukum nombor besar menyatakan bahawa adalah munasabah bahawa untuk besar n purata ini akan hampir kepada 3.5. Teorem had pusat menyatakan kebarangkalian bahawa |Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Persampelan. Mari kita andaikan bahawa dalam populasi,

terdiri daripada N keluarga, Nk keluarga mempunyai betul-betul k anak setiap seorang

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Jika sebuah keluarga dipilih secara rawak, maka bilangan anak di dalamnya adalah pembolehubah rawak yang mengambil nilai dengan kebarangkalian p = N /N. Dalam pemilihan belakang ke belakang, seseorang boleh melihat sampel bersaiz n sebagai koleksi n pembolehubah rawak bebas atau "pemerhatian" 1, ..., n yang semuanya mempunyai taburan yang sama; S n / n ialah min sampel. Hukum Nombor Besar menyatakan bahawa untuk sampel rawak yang cukup besar, min berkemungkinan hampir kepada , iaitu min populasi. Teorem had pusat membolehkan seseorang menganggarkan kemungkinan besar percanggahan antara cara ini dan menentukan saiz sampel yang diperlukan untuk anggaran yang boleh dipercayai. Dalam amalan, dan dan biasanya tidak diketahui; walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes adalah mudah untuk mendapatkan anggaran awal dan sentiasa boleh disertakan dalam sempadan yang boleh dipercayai. Jika kita mahukan kebarangkalian 0.99 atau lebih besar bahawa sampel min S n / n berbeza daripada populasi yang tidak diketahui min kurang daripada 1/10, maka saiz sampel mesti diambil sedemikian.

Punca x bagi persamaan F(x) - F(- x) = 0.99 ialah x = 2.57..., dan oleh itu n mestilah sedemikian sehingga 2.57 atau n > 660. Anggaran awal yang teliti membolehkan anda mencari saiz sampel yang diperlukan.

c) Taburan racun.

Katakan pembolehubah rawak k mempunyai taburan Poisson (p(k; )). Kemudian Sn mempunyai taburan Poisson dengan min dan varians sama dengan n.

Menulis bukannya n, kami membuat kesimpulan bahawa untuk n

Penjumlahan dilakukan ke atas semua k dari 0 hingga . Ph-la (1.5) juga berlaku apabila dengan cara sewenang-wenangnya.

Di atas kami mempertimbangkan persoalan mencari PDF untuk jumlah pembolehubah rawak bebas statistik. Dalam bahagian ini, kami sekali lagi akan mempertimbangkan jumlah pembolehubah bebas statistik, tetapi pendekatan kami akan berbeza dan tidak bergantung pada PDF separa pembolehubah rawak dalam jumlah itu. Secara khususnya, anggap bahawa istilah jumlah adalah bebas dari segi statistik dan pembolehubah rawak teragih sama, setiap satunya mempunyai min terhad dan varians terhad.

Biarkan ditakrifkan sebagai jumlah ternormal, dipanggil min sampel

Pertama, kami akan menentukan sempadan atas pada kebarangkalian ekor, dan kemudian kami akan membuktikan teorem yang sangat penting yang menentukan PDF dalam had apabila ia cenderung kepada infiniti.

Pembolehubah rawak yang ditakrifkan oleh (2.1.187) sering ditemui apabila menganggar purata pembolehubah rawak ke atas beberapa pemerhatian, . Dalam erti kata lain, boleh dianggap sebagai realisasi sampel bebas daripada taburan, dan merupakan anggaran min.

Jangkaan matematik adalah

.

Variansnya ialah

Jika kita menganggapnya sebagai anggaran purata, kita melihat bahawa jangkaan matematiknya adalah sama dengan , dan penyebarannya berkurangan dengan peningkatan saiz sampel. Jika ia meningkat tanpa had, varians cenderung kepada sifar. Anggaran parameter (dalam dalam kes ini), yang memenuhi syarat bahawa jangkaan matematiknya cenderung kepada nilai sebenar parameter, dan varians menghampiri sifar, dipanggil anggaran konsisten.

Kebarangkalian ekor pembolehubah rawak boleh dianggarkan dari atas menggunakan sempadan yang diberikan dalam Bahagian. 2.1.5. Ketaksamaan Chebyshev berhubung dengan mempunyai bentuk

,

. (2.1.188)

Dalam had apabila , daripada (2.1.188) ia mengikuti

. (2.1.189)

Akibatnya, kebarangkalian bahawa anggaran min berbeza daripada nilai sebenar lebih daripada , cenderung kepada sifar jika ia berkembang tanpa had. Pernyataan ini merupakan satu bentuk hukum bilangan besar. Oleh kerana sempadan atas menumpu kepada sifar secara agak perlahan, i.e. berkadar songsang. ungkapan (2.1.188) dipanggil hukum lemah bilangan besar.

Jika kita menggunakan terikat Chernoff pada pembolehubah rawak, yang mengandungi pergantungan eksponen pada , maka kita memperoleh batas atas yang ketat untuk kebarangkalian ekor tunggal. Mengikuti prosedur yang digariskan dalam Sek. 2.1.5, kita dapati bahawa kebarangkalian ekor untuk ditentukan oleh ungkapan

di mana dan . Tetapi , adalah bebas dari segi statistik dan taburan yang sama. Oleh itu,

di manakah salah satu kuantiti. Parameter , yang memberikan sempadan atas yang paling tepat, diperoleh dengan membezakan (2.1.191) dan menyamakan terbitan kepada sifar. Ini membawa kepada persamaan

(2.1.192)

Mari kita nyatakan penyelesaian (2.1.192) dengan . Maka terikat untuk kebarangkalian ekor atas ialah

, . (2.1.193)

Begitu juga, kita akan mendapati bahawa kebarangkalian ekor bawah mempunyai terikat

, . (2.1.194)

Contoh 2.1.7. Biarkan , menjadi satu siri pembolehubah rawak bebas statistik yang ditakrifkan seperti berikut:

Kami ingin mentakrifkan sempadan atas yang ketat pada kebarangkalian bahawa jumlah lebih besar daripada sifar. Oleh kerana , jumlah itu akan mempunyai nilai negatif untuk jangkaan matematik (purata), oleh itu, kita akan mencari kebarangkalian ekor atas. Kerana dalam (2.1.193) kita ada

, (2.1.195)

di manakah penyelesaian bagi persamaan tersebut

Oleh itu,

. (2.1.197)

Oleh itu, untuk sempadan dalam (2.1.195) kita perolehi

Kami melihat bahawa sempadan atas berkurangan secara eksponen dengan , seperti yang dijangkakan. Sebaliknya, mengikut terikat Chebyshev, kebarangkalian ekor berkurangan secara songsang dengan .

Teorem had pusat. Dalam bahagian ini, kami mempertimbangkan satu teorem yang amat berguna berkenaan IDF bagi jumlah pembolehubah rawak dalam had apabila bilangan sebutan jumlah itu meningkat tanpa had. Terdapat beberapa versi teorem ini. Mari kita buktikan teorem untuk kes apabila pembolehubah boleh tambah rawak , , adalah bebas dari segi statistik dan teragih sama, setiap daripadanya mempunyai min terhad dan varians terhad.

Untuk kemudahan, kami mentakrifkan pembolehubah rawak ternormal

Oleh itu, ia mempunyai min sifar dan varians unit.

Sekarang biarkan

Oleh kerana setiap hasil tambah jumlah mempunyai min sifar dan varians unit, nilai yang dinormalkan (oleh faktor ) mempunyai min sifar dan varians unit. Kami ingin menentukan FMI untuk had apabila .

Fungsi ciri adalah sama dengan

, (2.1.200).

,

atau, setara,

. (2.1.206)

Tetapi ini adalah tepat fungsi ciri pembolehubah rawak Gaussian dengan min sifar dan varians unit. Oleh itu kita ada keputusan penting; PDF hasil tambah pembolehubah rawak bebas statistik dan teragih sama dengan min dan varians terhad menghampiri Gaussian pada . Keputusan ini dikenali sebagai teorem had pusat.

Walaupun kita telah mengandaikan bahawa pembolehubah rawak ditambah untuk diagihkan sama rata, andaian ini boleh dilonggarkan dengan syarat tertentu. sekatan tambahan masih bertindih dengan sifat kuantiti boleh tambah rawak. Terdapat satu variasi teorem, sebagai contoh, apabila andaian taburan yang sama bagi pembolehubah rawak ditinggalkan memihak kepada syarat yang dikenakan pada momen mutlak ketiga pembolehubah rawak jumlah itu. Untuk perbincangan tentang ini dan versi lain teorem had pusat, pembaca dirujuk kepada Cramer (1946).

Teorem had pusat ialah sekumpulan teorem yang dikhaskan untuk menetapkan keadaan di mana undang-undang biasa pengedaran, dan pelanggaran yang membawa kepada pengedaran yang berbeza daripada biasa. Pelbagai bentuk Teorem had pusat berbeza antara satu sama lain dalam syarat yang dikenakan ke atas taburan sebutan rawak yang membentuk jumlah. Mari kita buktikan salah satu yang paling banyak bentuk yang ringkas teorem ini, iaitu, teorem had pusat bagi sebutan bebas yang teragih sama.

Pertimbangkan urutan pembolehubah rawak teragih sama bebas yang mempunyai jangkaan matematik. Mari kita anggap juga bahawa varians wujud. Mari kita perkenalkan notasi. Hukum nombor besar untuk jujukan ini boleh diwakili dalam bentuk berikut:

di mana penumpuan boleh difahami dalam erti kata penumpuan dalam kebarangkalian (undang-undang lemah nombor besar) dan dalam erti kata penumpuan dengan kebarangkalian, sama dengan satu(hukum bilangan besar yang diperkukuh).

Teorem (teorem had pusat untuk pembolehubah rawak taburan identik bebas). Biarkan menjadi urutan pembolehubah rawak teragih sama bebas, . Kemudian terdapat seragam relatif kepada () penumpuan

di manakah fungsi piawai taburan normal(dengan parameter):

Jika syarat untuk penumpuan tersebut dipenuhi, jujukan itu dipanggil normal tanpa gejala.

Teorem Lyapunov dan Lindeberg

Mari kita pertimbangkan kes apabila pembolehubah rawak mempunyai taburan yang berbeza - ia bebas dengan taburan yang berbeza.

Teorem (Lindeberg). Biarkan menjadi urutan pembolehubah rawak bebas dengan varians terhingga. Jika keadaan Lindeberg dipenuhi untuk urutan ini:

di mana, maka teorem had pusat berlaku untuknya.

Oleh kerana mengesahkan secara langsung keadaan Lindeberg adalah sukar, kami mempertimbangkan beberapa syarat lain di mana teorem had pusat dipegang, iaitu keadaan teorem Lyapunov.

Teorem (Lyapunov). Jika keadaan Lyapunov dipenuhi untuk urutan pembolehubah rawak:

maka urutannya adalah normal secara asimtotik, i.e. teorem had pusat dipegang.

Pemenuhan syarat Lyapunov membayangkan pemenuhan syarat Lindeberg, dan daripadanya mengikuti teorem had pusat.