Cari taburan normal pembolehubah rawak. Taburan normal pembolehubah rawak selanjar

Hukum normal taburan kebarangkalian

Tanpa keterlaluan, ia boleh dipanggil undang-undang falsafah. Memerhati pelbagai objek dan proses dunia di sekeliling kita, kita sering menghadapi fakta bahawa sesuatu tidak mencukupi, dan terdapat norma:

Berikut adalah pandangan asas fungsi ketumpatan taburan kebarangkalian biasa, dan saya mengalu-alukan anda ke pelajaran yang paling menarik ini.

Apakah contoh yang boleh diberikan? Mereka hanyalah kegelapan. Ini, sebagai contoh, adalah ketinggian, berat orang (dan bukan sahaja), kekuatan fizikal mereka, kebolehan mental, dll. Terdapat "jisim" (dalam satu cara atau yang lain) dan terdapat penyelewengan dalam kedua-dua arah.

Ini adalah ciri-ciri berbeza bagi objek tidak bernyawa (dimensi yang sama, berat). Ini adalah tempoh rawak proses, contohnya, masa perlumbaan seratus meter atau perubahan resin menjadi ambar. Dari fizik, molekul udara datang ke fikiran: di antara mereka ada yang perlahan, ada yang cepat, tetapi kebanyakannya bergerak pada kelajuan "standard".

Seterusnya, kita menyimpang dari pusat dengan satu lagi sisihan piawai dan mengira ketinggian:

Menanda mata pada lukisan (warna hijau) dan kami melihat bahawa ini sudah cukup.

Pada peringkat akhir, kami melukis graf dengan teliti, dan terutamanya dengan berhati-hati mencerminkannya cembung / cekung! Nah, anda mungkin sedar lama dahulu bahawa paksi abscissa adalah asimtot mendatar, dan adalah mustahil untuk "memanjat" untuk itu!

Dengan reka bentuk elektronik penyelesaian, graf mudah dibina dalam Excel, dan tanpa diduga untuk diri saya sendiri, saya juga merakam video pendek mengenai topik ini. Tetapi pertama, mari kita bercakap tentang bagaimana bentuk lengkung normal berubah bergantung pada nilai dan .

Apabila menambah atau mengurangkan "a" (dengan "sigma") yang tidak berubah graf mengekalkan bentuknya dan bergerak ke kanan/kiri masing-masing. Jadi, sebagai contoh, apabila fungsi mengambil bentuk dan graf kami "bergerak" 3 unit ke kiri - tepat ke asal:

Kuantiti taburan normal dengan jangkaan matematik sifar menerima nama semula jadi - berpusat; fungsi ketumpatannya – malah, dan graf adalah simetri tentang paksi-y.

Sekiranya berlaku perubahan dalam "sigma" (dengan pemalar "a"), graf "kekal di tempat", tetapi berubah bentuk. Apabila dibesarkan, ia menjadi lebih rendah dan memanjang, seperti sotong yang meregangkan sesungutnya. Dan sebaliknya, apabila menurunkan graf menjadi lebih sempit dan tinggi- ternyata "sotong terkejut." Ya, pada berkurangan"sigma" dua kali: carta sebelumnya mengecil dan membentang dua kali:

Semuanya mengikut sepenuhnya transformasi geometri graf.

Taburan normal dengan nilai unit "sigma" dipanggil dinormalkan, dan jika ia juga berpusat(kes kami), maka pengedaran sedemikian dipanggil standard. Ia mempunyai fungsi ketumpatan yang lebih mudah, yang telah ditemui dalam teorem Laplace tempatan: . Pengedaran standard telah menemui aplikasi yang meluas dalam amalan, dan tidak lama lagi kami akhirnya akan memahami tujuannya.

Sekarang mari kita tonton filem:

Ya, betul - entah bagaimana secara tidak wajar kita kekal dalam bayang-bayang fungsi taburan kebarangkalian. Kami ingat dia takrifan:
- kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai KURANG daripada pembolehubah , yang "menjalankan" semua nilai sebenar ke infiniti "tambah".

Di dalam kamiran, huruf yang berbeza biasanya digunakan supaya tidak ada "tindihan" dengan notasi, kerana di sini setiap nilai ditetapkan kamiran tidak wajar , yang sama dengan beberapa nombor daripada selang.

Hampir semua nilai tidak dapat dikira dengan tepat, tetapi seperti yang baru kita lihat, dengan kuasa pengkomputeran moden, ini tidak sukar. Jadi, untuk fungsi daripada taburan standard, fungsi excel yang sepadan biasanya mengandungi satu hujah:

=NORMSDIST(z)

Satu, dua - dan anda sudah selesai:

Lukisan jelas menunjukkan pelaksanaan semua sifat fungsi pengedaran, dan dari nuansa teknikal di sini anda harus memberi perhatian kepada asimtot mendatar dan titik infleksi.

Sekarang mari kita ingat salah satu tugas utama topik, iaitu, mengetahui cara mencari - kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak biasa akan mengambil nilai daripada selang. Secara geometri, kebarangkalian ini adalah sama dengan kawasan antara lengkung normal dan paksi-x dalam bahagian yang sepadan:

tetapi setiap kali mengisar nilai anggaran adalah tidak munasabah, dan oleh itu adalah lebih rasional untuk digunakan formula "mudah".:
.

! juga ingat , apa

Di sini anda boleh menggunakan Excel sekali lagi, tetapi terdapat beberapa "tetapi" penting: pertama, ia tidak selalu ada, dan kedua, nilai "siap sedia", kemungkinan besar, akan menimbulkan soalan daripada guru. kenapa?

Saya telah berulang kali bercakap tentang perkara ini sebelum ini: pada satu masa (dan tidak lama dahulu) kalkulator biasa adalah kemewahan, dan cara "manual" untuk menyelesaikan masalah yang sedang dipertimbangkan masih dipelihara dalam kesusasteraan pendidikan. Intipatinya adalah untuk menyeragamkan nilai "alpha" dan "beta", iaitu, mengurangkan penyelesaian kepada pengedaran standard:

Catatan : fungsi mudah diperolehi daripada kes ammenggunakan linear penggantian. Kemudian dan:

dan daripada penggantian hanya mengikut formula peralihan daripada nilai taburan sewenang-wenangnya kepada nilai taburan piawai yang sepadan.

Mengapa ini diperlukan? Hakikatnya ialah nilai-nilai itu dikira dengan teliti oleh nenek moyang kita dan diringkaskan dalam jadual khas, yang terdapat dalam banyak buku mengenai terver. Tetapi yang lebih biasa ialah jadual nilai, yang telah kita bincangkan Teorem kamiran Laplace:

Jika kita mempunyai jadual nilai fungsi Laplace , maka kita selesaikan melaluinya:

Nilai pecahan secara tradisinya dibundarkan kepada 4 tempat perpuluhan, seperti yang dilakukan dalam jadual standard. Dan untuk kawalan Perkara 5 susun atur.

Saya ingatkan anda itu , dan untuk mengelakkan kekeliruan sentiasa terkawal, jadual WHAT fungsi di hadapan mata anda.

Jawab diperlukan untuk diberikan sebagai peratusan, jadi kebarangkalian yang dikira mesti didarabkan dengan 100 dan memberikan hasilnya dengan ulasan yang bermakna:

- dengan penerbangan dari 5 hingga 70 m, kira-kira 15.87% peluru akan jatuh

Kami berlatih sendiri:

Contoh 3

Diameter galas yang dikilangkan di kilang ialah pembolehubah rawak bertaburan normal dengan jangkaan 1.5 cm dan sisihan piawai 0.04 cm Cari kebarangkalian saiz galas yang diambil secara rawak berjulat dari 1.4 hingga 1.6 cm.

Dalam penyelesaian sampel dan di bawah, saya akan menggunakan fungsi Laplace sebagai pilihan yang paling biasa. Dengan cara ini, ambil perhatian bahawa mengikut kata-kata, di sini anda boleh memasukkan hujung selang dalam pertimbangan. Walau bagaimanapun, ini tidak kritikal.

Dan sudah dalam contoh ini, kami bertemu dengan kes khas - apabila selang adalah simetri berkenaan dengan jangkaan matematik. Dalam keadaan sedemikian, ia boleh ditulis dalam bentuk dan, menggunakan keanehan fungsi Laplace, permudahkan formula kerja:

Parameter delta dipanggil penyelewengan daripada jangkaan matematik, dan ketidaksamaan berganda boleh "dibungkus" menggunakan modul:

ialah kebarangkalian bahawa nilai pembolehubah rawak menyimpang daripada jangkaan matematik kurang daripada .

Nah, penyelesaian yang sesuai dalam satu baris :)
ialah kebarangkalian bahawa diameter galas yang diambil secara rawak berbeza daripada 1.5 cm dengan tidak lebih daripada 0.1 cm.

Hasil daripada tugas ini ternyata hampir dengan perpaduan, tetapi saya ingin lebih kebolehpercayaan - iaitu, untuk mengetahui sempadan di mana diameternya hampir semua orang galas. Adakah terdapat sebarang kriteria untuk ini? wujud! Soalan dijawab oleh kononnya

peraturan tiga sigma

Intipatinya ialah boleh dipercayai secara praktikal adalah hakikat bahawa pembolehubah rawak taburan normal akan mengambil nilai dari selang .

Sesungguhnya, kebarangkalian penyelewengan daripada jangkaan adalah kurang daripada:
atau 99.73%

Dari segi "bearing" - ini adalah 9973 keping dengan diameter 1.38 hingga 1.62 cm dan hanya 27 salinan "substandard".

Dalam penyelidikan praktikal, peraturan "tiga sigma" biasanya digunakan dalam arah yang bertentangan: jika secara statistik didapati bahawa hampir semua nilai pembolehubah rawak yang dikaji muat ke dalam selang 6 sisihan piawai, maka terdapat sebab yang baik untuk mempercayai bahawa nilai ini diedarkan mengikut undang-undang biasa. Pengesahan dijalankan menggunakan teori hipotesis statistik.

Kami terus menyelesaikan tugas-tugas Soviet yang keras:

Contoh 4

Nilai rawak ralat penimbang diedarkan mengikut hukum biasa dengan jangkaan matematik sifar dan sisihan piawai 3 gram. Cari kebarangkalian bahawa penimbang seterusnya akan dijalankan dengan ralat tidak melebihi 5 gram dalam nilai mutlak.

Penyelesaian sangat ringkas. Dengan syarat, dan kami segera ambil perhatian bahawa pada timbangan seterusnya (sesuatu atau seseorang) kita akan hampir 100% mendapat keputusan dengan ketepatan 9 gram. Tetapi dalam masalah terdapat penyelewengan yang lebih sempit dan mengikut formula :

- kebarangkalian bahawa penimbangan seterusnya akan dijalankan dengan ralat tidak melebihi 5 gram.

Jawab:

Masalah yang diselesaikan pada asasnya berbeza daripada masalah yang kelihatan serupa. Contoh 3 pelajaran tentang pengedaran seragam. Terdapat ralat pembundaran hasil pengukuran, di sini kita bercakap tentang ralat rawak pengukuran itu sendiri. Ralat sedemikian timbul disebabkan oleh ciri teknikal peranti itu sendiri. (julat kesilapan yang dibenarkan, sebagai peraturan, ditunjukkan dalam pasportnya), dan juga melalui kesalahan penguji - apabila, sebagai contoh, "dengan mata" kita mengambil bacaan daripada anak panah skala yang sama.

Antara lain ada juga yang dipanggil sistematik ralat pengukuran. ia sudah bukan rawak ralat yang berlaku disebabkan oleh persediaan atau pengendalian peranti yang salah. Jadi, sebagai contoh, skala lantai yang tidak diselaraskan secara konsisten boleh "menambah" satu kilogram, dan penjual secara sistematik mengurangkan berat badan pembeli. Atau tidak secara sistematik kerana anda boleh shortchange. Walau bagaimanapun, dalam apa jua keadaan, ralat sedemikian tidak akan rawak, dan jangkaannya berbeza daripada sifar.

…Saya sedang membangunkan kursus latihan jualan dengan segera =)

Mari selesaikan masalah itu sendiri:

Contoh 5

Diameter penggelek ialah pembolehubah rawak teragih normal rawak, sisihan piawainya ialah mm. Cari panjang selang, simetri berkenaan dengan jangkaan matematik, di mana panjang diameter manik akan jatuh dengan kebarangkalian.

Perkara 5* susun atur reka bentuk untuk membantu. Sila ambil perhatian bahawa jangkaan matematik tidak diketahui di sini, tetapi ini tidak sedikit pun mengganggu penyelesaian masalah.

Dan tugas peperiksaan, yang saya sangat mengesyorkan untuk menyatukan bahan:

Contoh 6

Pembolehubah rawak taburan normal diberikan oleh parameternya (jangkaan matematik) dan (sisihan piawai). Diperlukan:

a) tuliskan ketumpatan kebarangkalian dan gambarkan grafnya secara skematik;
b) cari kebarangkalian bahawa ia akan mengambil nilai daripada selang itu ;
c) cari kebarangkalian bahawa modulo menyimpang daripada tidak lebih daripada ;
d) menggunakan peraturan "tiga sigma", cari nilai pembolehubah rawak .

Masalah sedemikian ditawarkan di mana-mana, dan selama bertahun-tahun berlatih saya telah dapat menyelesaikan beratus-ratus daripadanya. Pastikan anda berlatih melukis tangan dan menggunakan hamparan kertas ;)

Nah, saya akan menganalisis contoh peningkatan kerumitan:

Contoh 7

Ketumpatan taburan kebarangkalian pembolehubah rawak mempunyai bentuk . Cari , jangkaan matematik , varians , fungsi taburan , ketumpatan plot dan fungsi taburan, cari .

Penyelesaian: pertama sekali, mari kita perhatikan bahawa keadaan tidak mengatakan apa-apa tentang sifat pembolehubah rawak. Dengan sendirinya, kehadiran peserta pameran tidak bermakna apa-apa: ia boleh, sebagai contoh, demonstratif atau secara amnya sewenang-wenangnya pengedaran berterusan. Oleh itu, "kenormalan" taburan masih perlu dibuktikan:

Sejak fungsi ditentukan pada mana-mana nilai sebenar , dan ia boleh dikurangkan kepada bentuk , maka pembolehubah rawak diedarkan mengikut hukum normal.

Kami mempersembahkan. Untuk ini pilih petak penuh dan menyusun pecahan tiga tingkat:

Pastikan anda melakukan semakan, mengembalikan penunjuk kepada bentuk asalnya:

itulah yang kami mahu lihat.

Dengan cara ini:
- pada peraturan kuasa"mencubit". Dan di sini anda boleh segera menulis ciri berangka yang jelas:

Sekarang mari kita cari nilai parameter. Oleh kerana pengganda taburan normal mempunyai bentuk dan , maka:
, dari mana kami menyatakan dan menggantikan fungsi kami:
, selepas itu kami akan sekali lagi menyemak rekod dengan mata kami dan memastikan bahawa fungsi yang terhasil mempunyai bentuk .

Mari kita plot ketumpatan:

dan plot fungsi pengedaran :

Jika tiada Excel dan juga kalkulator biasa di tangan, maka carta terakhir mudah dibina secara manual! Pada titik itu, fungsi pengedaran mengambil nilai dan inilah

Definisi. biasa dipanggil taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan, yang diterangkan oleh ketumpatan kebarangkalian

Taburan normal juga dipanggil Undang-undang Gauss.

Hukum taburan normal adalah pusat kepada teori kebarangkalian. Ini disebabkan oleh fakta bahawa undang-undang ini menunjukkan dirinya dalam semua kes apabila pembolehubah rawak adalah hasil daripada tindakan sejumlah besar faktor yang berbeza. Semua undang-undang pengedaran lain mendekati undang-undang biasa.

Ia boleh ditunjukkan dengan mudah bahawa parameter dan , termasuk dalam ketumpatan taburan, masing-masing, jangkaan matematik dan sisihan piawai pembolehubah rawak X.

Mari cari fungsi pengedaran F(x) .

Plot ketumpatan taburan normal dipanggil lengkung biasa atau Keluk Gaussian.

Lengkung normal mempunyai sifat-sifat berikut:

1) Fungsi ditakrifkan pada keseluruhan paksi nombor.

2) Untuk semua X fungsi taburan hanya mengambil nilai positif.

3) Paksi OX ialah asimtot mendatar bagi graf ketumpatan kebarangkalian, kerana dengan peningkatan tanpa had dalam nilai mutlak hujah X, nilai fungsi cenderung kepada sifar.

4) Cari ekstrem bagi fungsi itu.

Kerana di y’ > 0 di x < m dan y’ < 0 di x > m, kemudian pada titik x = t fungsi mempunyai maksimum sama dengan
.

5) Fungsi adalah simetri berkenaan dengan garis lurus x = a, kerana beza

(x - a) memasuki fungsi ketumpatan taburan kuasa dua.

6) Untuk mencari titik infleksi graf, kita mencari terbitan kedua bagi fungsi ketumpatan.

Pada x = m+  dan x = m-  terbitan kedua adalah sama dengan sifar, dan apabila melalui titik-titik ini ia bertukar tanda, i.e. pada titik ini fungsi mempunyai infleksi.

Pada titik ini, nilai fungsi ialah
.

Mari kita bina graf fungsi ketumpatan taburan (Rajah 5).

Graf dibina untuk t=0 dan tiga nilai yang mungkin bagi sisihan piawai  = 1,  = 2 dan  = 7. Seperti yang anda lihat, apabila nilai sisihan piawai meningkat, graf menjadi lebih rata, dan nilai maksimum berkurangan.

Sekiranya a> 0, maka graf akan beralih ke arah positif jika a < 0 – в отрицательном.

Pada a= 0 dan  = 1 lengkung dipanggil dinormalkan. Persamaan Lengkung Ternormal:

Fungsi Laplace

Cari kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum normal jatuh ke dalam selang tertentu.

Menandakan

Kerana integral
tidak dinyatakan dalam sebutan fungsi asas, kemudian fungsi

yang dipanggil Fungsi Laplace atau integral kebarangkalian.

Nilai fungsi ini untuk pelbagai nilai X dikira dan dibentangkan dalam jadual khas.

Pada rajah. 6 menunjukkan graf bagi fungsi Laplace.

Fungsi Laplace mempunyai sifat berikut:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Fungsi Laplace juga dipanggil fungsi ralat dan menandakan erf x.

Masih digunakan dinormalkan fungsi Laplace, yang berkaitan dengan fungsi Laplace dengan hubungan:

Pada rajah. 7 menunjukkan plot bagi fungsi Laplace ternormal.

P peraturan tiga sigma

Apabila mempertimbangkan taburan normal, satu kes khas yang penting dibezakan, dikenali sebagai peraturan tiga sigma.

Mari kita tuliskan kebarangkalian bahawa sisihan pembolehubah rawak taburan normal daripada jangkaan matematik adalah kurang daripada nilai yang diberikan :

Jika kita menerima  = 3, maka kita memperoleh menggunakan jadual nilai fungsi Laplace:

Itu. kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak menyimpang daripada jangkaan matematiknya dengan jumlah yang lebih besar daripada tiga kali sisihan piawai boleh dikatakan sifar.

Peraturan ini dipanggil peraturan tiga sigma.

Dalam amalan, adalah dianggap bahawa jika bagi mana-mana pembolehubah rawak peraturan tiga sigma dipenuhi, maka pembolehubah rawak ini mempunyai taburan normal.

Kesimpulan kuliah:

Dalam kuliah, kami meneliti undang-undang taburan kuantiti berterusan. Sebagai persediaan untuk kuliah seterusnya dan latihan amali, anda harus melengkapkan nota kuliah anda secara bebas dengan kajian mendalam tentang literatur yang disyorkan dan menyelesaikan masalah yang dicadangkan.

Teori ringkas

Normal ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan, yang ketumpatannya mempunyai bentuk:

di manakah jangkaan matematik , ialah sisihan piawai .

Kebarangkalian bahawa ia akan mengambil nilai kepunyaan selang:

di manakah fungsi Laplace:

Kebarangkalian bahawa nilai mutlak sisihan adalah kurang daripada nombor positif:

Khususnya, untuk , kesaksamaan berikut dipegang:

Apabila menyelesaikan masalah yang dikemukakan oleh amalan, seseorang itu perlu berurusan dengan pelbagai taburan pembolehubah rawak berterusan.

Sebagai tambahan kepada taburan normal, undang-undang taburan utama untuk pembolehubah rawak berterusan ialah:

Contoh penyelesaian masalah

Bahagian itu dibuat pada mesin. Panjangnya ialah pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum normal dengan parameter , . Cari kebarangkalian panjang bahagian itu antara 22 dan 24.2 cm.Apakah sisihan panjang bahagian itu boleh dijamin dengan kebarangkalian 0.92; 0.98? Dalam had apakah, simetri berkenaan dengan , boleh dikatakan semua dimensi bahagian terletak?

sertai kumpulan VK.

Penyelesaian:

Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum normal adalah dalam selang:

Kita mendapatkan:

Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak, diedarkan mengikut hukum normal, menyimpang daripada min tidak lebih daripada :

Dengan syarat

Jika anda tidak memerlukan bantuan sekarang, tetapi mungkin memerlukannya pada masa hadapan, maka agar tidak terputus hubungan,

Terdapat juga tugas untuk penyelesaian bebas, yang mana anda boleh melihat jawapannya.

Taburan normal: asas teori

Contoh pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum biasa ialah ketinggian seseorang, jisim ikan yang ditangkap daripada spesies yang sama. Taburan normal bermaksud yang berikut : terdapat nilai ketinggian manusia, jisim ikan dari spesies yang sama, yang pada tahap intuitif dianggap sebagai "normal" (dan sebenarnya - purata), dan ia lebih biasa dalam saiz yang cukup besar. sampel daripada yang berbeza atas atau bawah.

Taburan kebarangkalian normal pembolehubah rawak berterusan (kadangkala taburan Gaussian) boleh dipanggil berbentuk loceng kerana fakta bahawa fungsi ketumpatan taburan ini, yang simetri tentang min, adalah sangat serupa dengan potongan loceng ( lengkung merah dalam rajah di atas).

Kebarangkalian untuk memenuhi nilai tertentu dalam sampel adalah sama dengan luas angka di bawah lengkung, dan dalam kes taburan normal, kita melihat bahawa di bawah bahagian atas "loceng", yang sepadan kepada nilai yang cenderung kepada purata, luas, dan oleh itu kebarangkalian, adalah lebih besar daripada di bawah tepi. Oleh itu, kita mendapat perkara yang sama yang telah dikatakan: kebarangkalian untuk bertemu dengan seseorang yang mempunyai ketinggian "normal", menangkap ikan dengan berat "normal" adalah lebih tinggi daripada nilai yang berbeza ke atas atau ke bawah. Dalam kebanyakan kes amalan, ralat pengukuran diedarkan mengikut undang-undang yang hampir normal.

Mari kita berhenti semula pada rajah pada permulaan pelajaran, yang menunjukkan fungsi ketumpatan taburan normal. Graf fungsi ini diperoleh dengan mengira beberapa sampel data dalam pakej perisian STATISTIK. Di atasnya, lajur histogram mewakili selang nilai sampel yang taburannya hampir (atau, seperti yang mereka katakan dalam statistik, tidak berbeza dengan ketara) kepada graf fungsi ketumpatan taburan normal itu sendiri, yang merupakan lengkung merah. Graf menunjukkan bahawa lengkung ini sememangnya berbentuk loceng.

Taburan normal bernilai dalam banyak cara kerana hanya mengetahui min pembolehubah rawak berterusan dan sisihan piawai, anda boleh mengira sebarang kebarangkalian yang dikaitkan dengan pembolehubah itu.

Taburan normal mempunyai faedah tambahan sebagai salah satu yang paling mudah untuk digunakan kriteria statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis statistik - Ujian-t pelajar- boleh digunakan hanya dalam kes apabila data sampel mematuhi undang-undang taburan normal.

Fungsi ketumpatan taburan normal pembolehubah rawak selanjar boleh didapati menggunakan formula:

di mana x- nilai pembolehubah, - nilai min, - sisihan piawai, e\u003d 2.71828 ... - asas logaritma asli, \u003d 3.1416 ...

Sifat fungsi ketumpatan taburan normal

Perubahan dalam min menggerakkan lengkung loceng ke arah paksi lembu. Jika ia meningkat, lengkung bergerak ke kanan, jika ia menurun, kemudian ke kiri.

Jika sisihan piawai berubah, maka ketinggian bucu lengkung berubah. Apabila sisihan piawai meningkat, bahagian atas lengkung lebih tinggi, apabila ia menurun, ia lebih rendah.

Kebarangkalian bahawa nilai pembolehubah rawak taburan normal akan jatuh dalam selang tertentu

Sudah dalam perenggan ini, kita akan mula menyelesaikan masalah praktikal, yang maknanya ditunjukkan dalam tajuk. Marilah kita menganalisis kemungkinan yang disediakan oleh teori untuk menyelesaikan masalah. Konsep permulaan untuk mengira kebarangkalian pembolehubah rawak taburan normal jatuh ke dalam selang tertentu ialah fungsi kamiran taburan normal.

Fungsi taburan normal bersepadu:

Walau bagaimanapun, adalah bermasalah untuk mendapatkan jadual bagi setiap kemungkinan gabungan min dan sisihan piawai. Oleh itu, salah satu cara mudah untuk mengira kebarangkalian pembolehubah rawak taburan normal jatuh ke dalam selang tertentu adalah dengan menggunakan jadual kebarangkalian untuk taburan normal piawai.

Taburan normal dipanggil taburan piawai atau ternormal., yang nilai min ialah , dan sisihan piawai ialah .

Fungsi ketumpatan taburan normal piawai:

Fungsi kumulatif taburan normal piawai:

Rajah di bawah menunjukkan fungsi kamiran taburan normal piawai, graf yang diperoleh dengan mengira beberapa sampel data dalam pakej perisian STATISTIK. Graf itu sendiri adalah lengkung merah, dan nilai sampel menghampirinya.

Untuk membesarkan gambar, anda boleh klik padanya dengan butang kiri tetikus.

Penyeragaman pembolehubah rawak bermakna beralih daripada unit asal yang digunakan dalam tugasan kepada unit piawai. Penyeragaman dilakukan mengikut formula

Dalam amalan, semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak selalunya tidak diketahui, jadi nilai min dan sisihan piawai tidak dapat ditentukan dengan tepat. Mereka digantikan dengan min aritmetik cerapan dan sisihan piawai s. Nilai z menyatakan sisihan nilai pembolehubah rawak daripada min aritmetik semasa mengukur sisihan piawai.

Selang terbuka

Jadual kebarangkalian bagi taburan normal piawai, yang terdapat dalam hampir mana-mana buku tentang statistik, mengandungi kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak mempunyai taburan normal piawai. Z mengambil nilai kurang daripada nombor tertentu z. Iaitu, ia akan jatuh ke dalam selang terbuka dari tolak infiniti hingga z. Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa nilai Z kurang daripada 1.5 bersamaan dengan 0.93319.

Contoh 1 Syarikat itu mengeluarkan alat ganti yang mempunyai jangka hayat taburan normal dengan min 1000 dan sisihan piawai 200 jam.

Untuk bahagian yang dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian hayat perkhidmatannya ialah sekurang-kurangnya 900 jam.

Penyelesaian. Mari kita perkenalkan notasi pertama:

Kebarangkalian yang diingini.

Nilai pembolehubah rawak berada dalam selang terbuka. Tetapi kita boleh mengira kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai kurang daripada nilai yang diberikan, dan mengikut keadaan masalah, ia diperlukan untuk mencari nilai yang sama atau lebih besar daripada yang diberikan. Ini adalah bahagian lain ruang di bawah lengkung loceng. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian yang diingini, adalah perlu untuk menolak daripada satu kebarangkalian yang disebutkan bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai kurang daripada 900 yang ditentukan:

Sekarang pembolehubah rawak perlu diseragamkan.

Kami terus memperkenalkan notasi:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - nilai yang diberikan bagi pembolehubah rawak;

μ = 1000 - nilai purata;

σ = 200 - sisihan piawai.

Berdasarkan data ini, kami memperoleh syarat masalah:

Mengikut jadual pembolehubah rawak piawai (sempadan selang) z= -0.5 sepadan dengan kebarangkalian 0.30854. Tolak dari kesatuan dan dapatkan apa yang diperlukan dalam keadaan masalah:

Jadi, kebarangkalian bahawa hayat bahagian akan sekurang-kurangnya 900 jam ialah 69%.

Kebarangkalian ini boleh diperolehi menggunakan fungsi MS Excel NORM.DIST (nilai nilai kamiran ialah 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

Mengenai pengiraan dalam MS Excel - dalam salah satu perenggan seterusnya dalam pelajaran ini.

Contoh 2 Di sesetengah bandar, purata pendapatan keluarga tahunan adalah pembolehubah rawak taburan normal dengan nilai min 300,000 dan sisihan piawai 50,000. Adalah diketahui bahawa pendapatan 40% keluarga adalah kurang daripada nilai A. Cari nilai A.

Penyelesaian. Dalam masalah ini, 40% adalah tidak lebih daripada kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai dari selang terbuka yang kurang daripada nilai tertentu, yang ditunjukkan oleh huruf A.

Untuk mencari nilai A, kita mula-mula mengarang fungsi kamiran:

Mengikut tugas

μ = 300000 - nilai purata;

σ = 50000 - sisihan piawai;

x = A ialah nilai yang boleh didapati.

Membentuk kesaksamaan

Menurut jadual statistik, kita dapati kebarangkalian 0.40 sepadan dengan nilai sempadan selang z = −0,25 .

Oleh itu, kita membuat kesamarataan

dan cari penyelesaiannya:

A = 287300 .

Jawapan: pendapatan 40% keluarga adalah kurang daripada 287300.

Selang tertutup

Dalam banyak masalah, ia diperlukan untuk mencari kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak taburan normal mengambil nilai dalam selang dari z 1 hingga z 2. Iaitu, ia akan jatuh ke dalam selang tertutup. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian, adalah perlu untuk mencari dalam jadual kebarangkalian yang sepadan dengan sempadan selang, dan kemudian mencari perbezaan antara kebarangkalian ini. Ini memerlukan penolakan nilai yang lebih kecil daripada yang lebih besar. Contoh untuk menyelesaikan masalah biasa ini adalah seperti berikut, dan dicadangkan untuk menyelesaikannya sendiri, dan kemudian anda boleh melihat penyelesaian dan jawapan yang betul.

Contoh 3 Keuntungan perusahaan untuk tempoh tertentu adalah pembolehubah rawak tertakluk kepada undang-undang pengedaran normal dengan nilai purata 0.5 juta c.u. dan sisihan piawai 0.354. Tentukan, dengan ketepatan dua tempat perpuluhan, kebarangkalian bahawa keuntungan perusahaan adalah dari 0.4 hingga 0.6 c.u.

Contoh 4 Panjang bahagian yang dikilang ialah pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum biasa dengan parameter μ =10 dan σ =0.071 . Cari, dengan ketepatan dua tempat perpuluhan, kebarangkalian perkahwinan jika dimensi bahagian yang dibenarkan hendaklah 10 ± 0.05.

Petunjuk: dalam masalah ini, selain mencari kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang tertutup (kebarangkalian untuk mendapatkan bahagian yang tidak rosak), satu lagi tindakan diperlukan.

membolehkan anda menentukan kebarangkalian bahawa nilai piawai Z tidak kurang -z dan tiada lagi +z, di mana z- nilai yang dipilih secara sewenang-wenangnya bagi pembolehubah rawak piawai.

Kaedah Anggaran untuk Menyemak Normaliti Taburan

Kaedah anggaran untuk menyemak kenormalan taburan nilai sampel adalah berdasarkan perkara berikut sifat taburan normal: kecondongan β 1 dan pekali kurtosis β 2 sifar.

Pekali asimetri β 1 secara numerik mencirikan simetri taburan empirikal berkenaan dengan min. Jika kecondongan adalah sama dengan sifar, maka min aritmetrik, median dan mod adalah sama: dan lengkung ketumpatan taburan adalah simetri tentang min. Jika pekali asimetri kurang daripada sifar (β 1 < 0 ), maka min aritmetik adalah kurang daripada median, dan median, seterusnya, adalah kurang daripada mod () dan lengkung dianjak ke kanan (berbanding dengan taburan normal). Jika pekali asimetri lebih besar daripada sifar (β 1 > 0 ), maka min aritmetik lebih besar daripada median, dan median pula lebih besar daripada mod () dan lengkung dianjak ke kiri (berbanding dengan taburan normal).

Pekali Kurtosis β 2 mencirikan kepekatan taburan empirikal di sekeliling min aritmetik dalam arah paksi Oy dan tahap kemuncak keluk ketumpatan taburan. Jika pekali kurtosis lebih besar daripada sifar, maka lengkung lebih memanjang (berbanding dengan taburan normal) sepanjang paksi Oy(graf lebih runcing). Jika pekali kurtosis kurang daripada sifar, maka lengkung lebih rata (berbanding dengan taburan normal) sepanjang paksi Oy(graf lebih tumpul).

Pekali kecondongan boleh dikira menggunakan fungsi MS Excel SKRS. Jika anda menyemak satu tatasusunan data, maka anda perlu memasukkan julat data dalam satu kotak "Nombor".

Pekali kurtosis boleh dikira menggunakan kurtosis fungsi MS Excel. Apabila menyemak satu tatasusunan data, ia juga cukup untuk memasukkan julat data dalam satu kotak "Nombor".

Jadi, seperti yang kita sedia maklum, dengan taburan normal, pekali kecondongan dan kurtosis adalah sama dengan sifar. Tetapi bagaimana jika kita mendapat pekali kecondongan sama dengan -0.14, 0.22, 0.43, dan pekali kurtosis sama dengan 0.17, -0.31, 0.55? Persoalannya agak adil, kerana dalam praktiknya kita hanya berurusan dengan anggaran, nilai selektif asimetri dan kurtosis, yang tertakluk kepada serakan yang tidak dapat dielakkan dan tidak terkawal. Oleh itu, adalah mustahil untuk menghendaki kesamaan ketat bagi pekali ini kepada sifar, ia hanya sepatutnya hampir hampir kepada sifar. Tetapi apakah maksud cukup?

Ia dikehendaki membandingkan nilai empirikal yang diterima dengan nilai yang boleh diterima. Untuk melakukan ini, anda perlu menyemak ketidaksamaan berikut (bandingkan nilai modulo pekali dengan nilai kritikal - sempadan kawasan ujian hipotesis).

Untuk pekali asimetri β 1 .