Fungsi songsang 3. Fungsi songsang, takrif asas, sifat, graf

Selesai kerja

KERJA-KERJA INI

Banyak yang sudah tertinggal dan kini anda seorang graduan, jika, sudah tentu, anda menulis tesis anda tepat pada masanya. Tetapi kehidupan adalah sesuatu yang hanya sekarang menjadi jelas kepada anda bahawa, setelah berhenti menjadi seorang pelajar, anda akan kehilangan semua kegembiraan pelajar, banyak yang anda belum cuba, menangguhkan segala-galanya dan menangguhkannya untuk kemudian hari. Dan sekarang, bukannya mengejar, anda bermain-main dengan tesis anda? Terdapat jalan keluar yang bagus: muat turun tesis yang anda perlukan dari tapak web kami - dan anda akan mempunyai banyak masa lapang serta-merta!
Kerja-kerja diploma telah berjaya dipertahankan di Universiti terkemuka Republik Kazakhstan.
Kos kerja dari 20 000 tenge

KERJA KURSUS

Projek kursus adalah kerja amali pertama yang serius. Dengan menulis kertas penggal, persediaan untuk pembangunan projek pengijazahan bermula. Sekiranya pelajar belajar menyatakan kandungan topik dengan betul dalam projek kursus dan melukisnya dengan betul, maka pada masa hadapan dia tidak akan menghadapi masalah sama ada dengan menulis laporan, atau menyusun tesis, atau melaksanakan tugas praktikal yang lain. Untuk membantu pelajar menulis jenis kerja pelajar ini dan untuk menjelaskan persoalan yang timbul semasa penyediaannya, sebenarnya bahagian maklumat ini telah diwujudkan.
Kos kerja dari 2 500 tenge

TESIS SARJANA

Pada masa ini, di institusi pendidikan tinggi Kazakhstan dan negara-negara CIS, peringkat pendidikan profesional tinggi, yang mengikuti selepas ijazah sarjana muda - ijazah sarjana, adalah sangat biasa. Dalam majistrasi, pelajar belajar dengan tujuan untuk mendapatkan ijazah sarjana, yang diiktiraf di kebanyakan negara di dunia lebih daripada ijazah sarjana muda, dan juga diiktiraf oleh majikan asing. Hasil latihan dalam magistracy adalah pembelaan tesis sarjana.
Kami akan memberikan anda bahan analisis dan teks terkini, harga termasuk 2 artikel saintifik dan abstrak.
Kos kerja dari 35 000 tenge

LAPORAN AMALAN

Selepas melengkapkan apa-apa jenis amalan pelajar (pendidikan, industri, sarjana muda) laporan diperlukan. Dokumen ini akan menjadi pengesahan kerja amali pelajar dan asas kepada pembentukan penilaian untuk amalan tersebut. Biasanya, untuk menyusun laporan latihan, anda perlu mengumpul dan menganalisis maklumat tentang perusahaan, mempertimbangkan struktur dan jadual kerja organisasi di mana latihan itu berlangsung, merangka pelan kalendar dan menerangkan aktiviti praktikal anda.
Kami akan membantu anda menulis laporan mengenai latihan, dengan mengambil kira spesifik aktiviti perusahaan tertentu.

Objektif Pelajaran:

Pendidikan:

untuk membentuk pengetahuan tentang topik baharu sesuai dengan bahan program;
untuk mengkaji sifat keterbalikan fungsi dan untuk mengajar cara mencari songsang fungsi kepada yang diberikan;

Membangunkan:

membangunkan kemahiran kawalan diri, pertuturan subjek;
menguasai konsep fungsi songsang dan mempelajari kaedah mencari fungsi songsang;

Pendidikan: untuk membentuk kecekapan komunikatif.

peralatan: komputer, projektor, skrin, papan putih interaktif SMART Board, edaran (kerja bebas) untuk kerja berkumpulan.

Semasa kelas.

1. Detik organisasi.

Sasaran – menyediakan pelajar untuk bekerja di dalam bilik darjah:

Definisi tidak hadir,

Sikap pelajar untuk bekerja, organisasi perhatian;

Mesej tentang topik dan tujuan pelajaran.

2. Mengemaskini pengetahuan asas pelajar. undian hadapan.

Sasaran - untuk mewujudkan ketepatan dan kesedaran bahan teori yang dikaji, pengulangan bahan yang diliputi.<Приложение 1 >

Graf fungsi ditunjukkan pada papan putih interaktif untuk pelajar. Guru merumuskan tugasan - untuk mempertimbangkan graf fungsi dan menyenaraikan sifat fungsi yang dikaji. Pelajar menyenaraikan sifat sesuatu fungsi mengikut reka bentuk kajian. Guru, di sebelah kanan graf fungsi, menulis sifat yang dinamakan dengan penanda pada papan putih interaktif.

Sifat fungsi:

Pada akhir kajian, guru melaporkan bahawa hari ini pada pelajaran mereka akan berkenalan dengan satu lagi sifat fungsi - keterbalikan. Untuk kajian bahan baharu yang bermakna, guru mengajak kanak-kanak untuk membiasakan diri dengan soalan utama yang mesti dijawab oleh pelajar pada akhir pelajaran. Soalan ditulis di papan biasa dan setiap pelajar mempunyai kertas edaran (diedarkan sebelum pelajaran)

Apakah fungsi boleh balik?
Adakah setiap fungsi boleh diterbalikkan?
Apakah fungsi songsang yang diberikan?
Bagaimanakah domain definisi dan set nilai fungsi dan fungsi songsangnya berkaitan?
Jika fungsi diberikan secara analitik, bagaimanakah anda mentakrifkan fungsi songsang dengan formula?
Jika fungsi diberikan secara grafik, bagaimana untuk memplot fungsi songsangnya?

3. Penjelasan bahan baharu.

Sasaran - untuk membentuk pengetahuan mengenai topik baharu selaras dengan bahan program; untuk mengkaji sifat keterbalikan fungsi dan untuk mengajar cara mencari songsang fungsi kepada yang diberikan; mengembangkan bahan pelajaran.

Guru menjalankan pembentangan bahan sesuai dengan bahan perenggan. Di papan interaktif, guru membandingkan graf dua fungsi yang domain definisi dan set nilainya adalah sama, tetapi salah satu fungsi adalah monotonik dan satu lagi tidak, dengan itu membawa pelajar di bawah konsep fungsi boleh terbalik. .

Guru kemudiannya merumuskan definisi fungsi boleh terbalik dan membuktikan teorem fungsi boleh terbalik menggunakan graf fungsi monotonik pada papan putih interaktif.

Takrif 1: Fungsi y=f(x), x X dipanggil boleh diterbalikkan, jika ia mengambil mana-mana nilainya hanya pada satu titik set X.

Teorem: Jika fungsi y=f(x) adalah monoton pada set X , maka ia boleh terbalik.

Bukti:

Biarkan fungsi y=f(x) meningkat sebanyak X lepaskan x 1 ≠ x 2- dua mata set X.
Untuk kepastian, biarkan x 1< x 2.
Kemudian dari apa x 1< x 2 mengikuti itu f(x 1) < f(x 2).
Oleh itu, nilai argumen yang berbeza sepadan dengan nilai fungsi yang berbeza, i.e. fungsinya boleh diterbalikkan.

(Semasa pembuktian teorem, guru membuat semua penjelasan yang diperlukan pada lukisan dengan penanda)

Sebelum merumuskan definisi fungsi songsang, guru meminta pelajar menentukan fungsi yang manakah boleh diterbalikkan? Papan putih interaktif menunjukkan graf fungsi dan beberapa fungsi yang ditakrifkan secara analitik ditulis:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Guru memperkenalkan definisi fungsi songsang.

Definisi 2: Biarkan fungsi boleh terbalik y=f(x) ditakrifkan pada set X dan E(f)=Y. Mari padankan masing-masing y daripada Y maka satu-satunya makna X, di mana f(x)=y. Kemudian kita mendapat fungsi yang ditakrifkan pada Y, a X ialah julat fungsi

Fungsi ini dilambangkan x=f -1 (y) dan dipanggil songsangan bagi fungsi tersebut y=f(x).

Pelajar dijemput membuat kesimpulan tentang hubungan antara domain definisi dan set nilai fungsi songsang.

Untuk mempertimbangkan persoalan bagaimana mencari fungsi songsang sesuatu yang diberikan, guru melibatkan dua orang pelajar. Sehari sebelumnya, kanak-kanak menerima tugas daripada guru untuk menganalisis secara bebas kaedah analisis dan grafik untuk mencari fungsi songsang yang diberikan. Guru bertindak sebagai perunding dalam menyediakan pelajar untuk pelajaran.

Mesej daripada pelajar pertama.

Nota: kemonotonan sesuatu fungsi ialah mencukupi syarat kewujudan fungsi songsang. Tetapi ia tidak syarat yang perlu.

Pelajar memberi contoh pelbagai situasi apabila fungsi itu tidak monotonik, tetapi boleh diterbalikkan, apabila fungsi itu tidak monotonik dan tidak boleh diterbalikkan, apabila ia adalah monotonic dan boleh diterbalikkan.

Kemudian pelajar memperkenalkan kepada pelajar kaedah mencari fungsi songsang yang diberi secara analitik.

Mencari algoritma

Pastikan fungsinya monotonik.
Ungkapkan x dalam sebutan y.
Namakan semula pembolehubah. Daripada x \u003d f -1 (y) mereka menulis y \u003d f -1 (x)

Kemudian selesaikan dua contoh untuk mencari fungsi songsangan bagi yang diberi.

Contoh 1: Tunjukkan bahawa terdapat fungsi songsang untuk fungsi y=5x-3 dan cari ungkapan analisisnya.

Penyelesaian. Fungsi linear y=5x-3 ditakrifkan pada R, meningkat pada R, dan julatnya ialah R. Oleh itu, fungsi songsang wujud pada R. Untuk mencari ungkapan analitikalnya, kita selesaikan persamaan y=5x-3 berkenaan dengan x; kita dapat Ini adalah fungsi songsang yang dikehendaki. Ia ditakrifkan dan meningkat oleh R.

Contoh 2: Tunjukkan bahawa terdapat fungsi songsang untuk fungsi y=x 2 , x≤0, dan cari ungkapan analisisnya.

Fungsi ini adalah berterusan, monoton dalam domain definisinya, oleh itu, ia boleh terbalik. Setelah menganalisis domain definisi dan set nilai fungsi, kesimpulan yang sepadan dibuat mengenai ungkapan analitik untuk fungsi songsang.

Pelajar kedua membuat pembentangan tentang grafik bagaimana untuk mencari fungsi songsang. Semasa penerangannya, pelajar menggunakan keupayaan papan putih interaktif.

Untuk mendapatkan graf fungsi y=f -1 (x), songsang kepada fungsi y=f(x), adalah perlu untuk mengubah graf fungsi y=f(x) secara simetri berkenaan dengan garis lurus y=x.

Semasa penerangan di papan putih interaktif, tugasan berikut dilaksanakan:

Bina graf bagi fungsi dan graf bagi fungsi songsangnya dalam sistem koordinat yang sama. Tuliskan ungkapan analitikal untuk fungsi songsang.

4. Penetapan utama bahan baru.

Sasaran - untuk mewujudkan ketepatan dan kesedaran tentang pemahaman bahan yang dikaji, untuk mengenal pasti jurang dalam pemahaman utama bahan, untuk membetulkannya.

Pelajar dibahagikan kepada pasangan. Mereka diberi helaian dengan tugasan di mana mereka bekerja secara berpasangan. Masa untuk menyiapkan kerja adalah terhad (5-7 minit). Sepasang pelajar bekerja pada komputer, projektor dimatikan untuk kali ini dan selebihnya kanak-kanak tidak dapat melihat cara pelajar bekerja pada komputer.

Pada penghujung masa (diandaikan bahawa majoriti pelajar menyiapkan kerja), papan putih interaktif (projektor dihidupkan semula) menunjukkan kerja pelajar, di mana ia dijelaskan semasa ujian bahawa tugasan telah diselesaikan dalam berpasangan. Sekiranya perlu, guru menjalankan kerja pembetulan, penerangan.

Kerja bebas secara berpasangan<Lampiran 2 >

5. Hasil pelajaran. Mengenai soalan yang diajukan sebelum kuliah. Pengumuman gred untuk pelajaran.

Kerja rumah §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra dan permulaan analisis. Gred 10 Dalam 2 bahagian untuk institusi pendidikan (peringkat profil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova dan lain-lain; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Kami telah pun menghadapi masalah apabila, memandangkan fungsi f dan nilai tertentu hujahnya, adalah perlu untuk mengira nilai fungsi pada ketika ini. Tetapi kadang-kadang seseorang perlu menghadapi masalah songsang: untuk mencari, memandangkan fungsi yang diketahui f dan nilai tertentu y, nilai hujah di mana fungsi mengambil nilai y yang diberikan.

Fungsi yang mengambil setiap nilainya pada satu titik dalam domain definisinya dipanggil fungsi boleh terbalik. Sebagai contoh, fungsi linear ialah fungsi boleh balik. Fungsi kuadratik atau fungsi sinus tidak akan menjadi fungsi boleh terbalik. Oleh kerana fungsi boleh mengambil nilai yang sama dengan argumen yang berbeza.

Fungsi songsang

Mari kita andaikan bahawa f ialah beberapa fungsi boleh terbalik arbitrari. Setiap nombor daripada julatnya y0 sepadan dengan hanya satu nombor daripada domain x0, supaya f(x0) = y0.

Jika sekarang kita memberikan nilai y0 kepada setiap nilai x0, maka kita akan mendapat fungsi baru. Contohnya, untuk fungsi linear f(x) = k * x + b, fungsi g(x) = (x - b)/k akan songsang.

Jika beberapa fungsi g pada setiap titik X julat fungsi boleh terbalik f mengambil nilai y supaya f(y) = x, maka kita katakan bahawa fungsi itu g- terdapat fungsi songsang untuk f.

Jika kita mempunyai graf bagi beberapa fungsi boleh balik f, maka untuk memplot graf bagi fungsi songsang, kita boleh menggunakan pernyataan berikut: graf bagi fungsi f dan fungsi g songsang kepadanya akan simetri berkenaan dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan y = x.

Jika fungsi g ialah songsangan bagi fungsi f, maka fungsi g akan menjadi fungsi boleh terbalik. Dan fungsi f akan menjadi songsang kepada fungsi g. Biasanya dikatakan bahawa dua fungsi f dan g adalah saling songsang antara satu sama lain.

Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi f dan g saling songsang antara satu sama lain.

Mari kita terbitkan teorem berikut: jika fungsi f bertambah (atau berkurang) pada beberapa selang A, maka ia boleh terbalik. Fungsi g songsang kepada a, ditakrifkan dalam julat fungsi f, juga merupakan fungsi meningkat (atau, masing-masing, menurun). Teorem ini dipanggil teorem fungsi songsang.

transkrip

1 Fungsi saling songsang Dua fungsi f dan g dipanggil saling songsang jika formula y=f(x) dan x=g(y) menyatakan hubungan yang sama antara pembolehubah x dan y, i.e. jika kesamaan y=f(x) adalah benar jika dan hanya jika kesamaan x=g(y) adalah benar: y=f(x) x=g(y) Jika dua fungsi f dan g adalah saling songsang, maka g dipanggil fungsi songsang bagi f dan sebaliknya, f ialah fungsi songsang bagi g. Contohnya, y=10 x dan x=lgy ialah fungsi songsang bersama. Syarat kewujudan fungsi songsang bersama Fungsi f mempunyai songsang jika daripada hubungan y=f(x) pembolehubah x boleh dinyatakan secara unik dalam sebutan y. Terdapat fungsi yang mustahil untuk menyatakan hujah secara unik melalui nilai fungsi yang diberikan. Contohnya: 1. y= x. Untuk nombor positif y yang diberikan, terdapat dua nilai hujah x supaya x = y. Sebagai contoh, jika y \u003d 2, maka x \u003d 2 atau x \u003d - 2. Oleh itu, adalah mustahil untuk menyatakan x secara unik melalui y. Oleh itu, fungsi ini tidak mempunyai songsang bersama. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Untuk nilai y (y 1) yang diberikan, terdapat banyak nilai x yang tidak terhingga sehingga y=sinx. Fungsi y=f(x) mempunyai songsang jika mana-mana garis y=y 0 bersilang dengan graf fungsi y=f(x) pada tidak lebih daripada satu titik (ia mungkin tidak memotong graf sama sekali jika y 0 tidak tergolong dalam julat fungsi f) . Keadaan ini boleh dirumus secara berbeza: persamaan f(x)=y 0 untuk setiap y 0 tidak mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. Syarat bahawa fungsi mempunyai songsang pastinya berpuas hati jika fungsi itu meningkat atau menurun dengan ketat. Jika f meningkat dengan ketat, maka untuk dua nilai argumen yang berbeza ia memerlukan nilai yang berbeza, kerana nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Oleh itu, persamaan f(x)=y untuk fungsi monotonik ketat mempunyai paling banyak satu penyelesaian. Fungsi eksponen y \u003d a x adalah monoton, jadi ia mempunyai fungsi logaritma songsang. Banyak fungsi tidak mempunyai songsang. Jika bagi sesetengah b persamaan f(x)=b mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka fungsi y=f(x) tidak mempunyai songsang. Pada graf, ini bermakna garis y=b bersilang dengan graf fungsi pada lebih daripada satu titik. Contohnya, y \u003d x 2; y=sinx; y=tgx.

2 Kekaburan penyelesaian persamaan f(x)=b boleh ditangani jika domain takrifan fungsi f dikurangkan supaya julat nilainya tidak berubah, tetapi ia mengambil setiap nilainya sekali. Contohnya, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Peraturan am untuk mencari fungsi songsang bagi suatu fungsi: 1. menyelesaikan persamaan untuk x, kita dapati; 2. Menukar penetapan pembolehubah x kepada y, dan y kepada x, kita mendapat fungsi songsang kepada yang diberikan. Sifat bagi fungsi songsang bersama Identiti Biarkan f dan g adalah fungsi songsang bersama. Ini bermakna kesamaan y=f(x) dan x=g(y) adalah setara: f(g(y))=y dan g(f(x))=x. Contohnya, 1. Biarkan f sebagai fungsi eksponen dan g ialah fungsi logaritma. Kami mendapat: i. 2. Fungsi y \u003d x 2, x 0 dan y \u003d adalah saling songsang. Kami mempunyai dua identiti: dan untuk x 0. Domain definisi Biarkan f dan g adalah fungsi songsang bersama. Domain fungsi f bertepatan dengan domain fungsi g, dan sebaliknya, domain fungsi f bertepatan dengan domain fungsi g. Contoh. Domain bagi fungsi eksponen ialah paksi nombor bulat R, dan domainnya ialah set semua nombor positif. Fungsi logaritma mempunyai kebalikan: domain definisi ialah set semua nombor positif, dan domain nilai adalah keseluruhan set R. Monotonicity Jika salah satu fungsi songsang bersama meningkat dengan ketat, maka yang lain meningkat dengan ketat . Bukti. Biarkan x 1 dan x 2 ialah dua nombor yang terletak dalam domain fungsi g, dan x 1

3 Graf bagi Teorem fungsi songsang bersama. Biarkan f dan g ialah fungsi songsang bersama. Graf bagi fungsi y=f(x) dan x=g(y) adalah simetri antara satu sama lain berkenaan dengan pembahagi dua sudut howe. Bukti. Mengikut definisi fungsi songsang bersama, formula y=f(x) dan x=g(y) menyatakan pergantungan yang sama antara pembolehubah x dan y, yang bermaksud bahawa pergantungan ini digambarkan oleh graf yang sama bagi beberapa lengkung C. Lengkung C ialah fungsi graf y=f(x). Ambil titik P(a; b) C. Ini bermakna b=f(a) dan pada masa yang sama a=g(b). Mari kita bina satu titik Q simetri kepada titik P berkenaan dengan pembahagi dua sudut bagaimana. Titik Q akan mempunyai koordinat (b; a). Oleh kerana a=g(b), maka titik Q tergolong dalam graf fungsi y=g(x): sesungguhnya, bagi x=b nilai y=a adalah sama dengan g(x). Oleh itu, semua titik simetri kepada titik lengkung C berkenaan dengan garis lurus yang ditentukan terletak pada graf fungsi y \u003d g (x). Contoh fungsi grafik yang saling songsang: y=e x dan y=lnx; y=x 2 (x 0) dan y= ; y=2x4 dan y=+2.

4 Terbitan bagi fungsi songsang Biarkan f dan g ialah fungsi songsang bersama. Graf bagi fungsi y=f(x) dan x=g(y) adalah simetri antara satu sama lain berkenaan dengan pembahagi dua sudut howe. Mari kita ambil titik x=a dan hitung nilai salah satu fungsi pada titik ini: f(a)=b. Kemudian mengikut takrifan fungsi songsang g(b)=a. Titik (a; f(a))=(a; b) dan (b; g(b))=(b; a) adalah simetri berkenaan dengan garis l. Oleh kerana lengkung adalah simetri, tangen kepadanya juga simetri berkenaan dengan garis l. Dari simetri, sudut salah satu garis dengan paksi-x adalah sama dengan sudut garis lain dengan paksi-y. Jika garis lurus membentuk sudut α dengan paksi-x, maka kecerunannya adalah sama dengan k 1 =tgα; maka baris kedua mempunyai kecerunan k 2 =tg(α)=ctgα=. Oleh itu, pekali cerun garis simetri berkenaan dengan garis l adalah saling songsang, i.e. k 2 =, atau k 1 k 2 =1. Melewati derivatif dan mengambil kira bahawa kecerunan tangen ialah nilai terbitan pada titik sentuhan, kami membuat kesimpulan: Nilai derivatif bagi fungsi saling songsang pada titik yang sepadan adalah saling songsang, iaitu Contoh 1. Buktikan bahawa fungsi f(x)=x 3, boleh diterbalikkan. Penyelesaian. y=f(x)=x 3. Fungsi songsang ialah fungsi y=g(x)=. Mari kita cari terbitan bagi fungsi g:. Itu. =. Tugasan 1. Buktikan bahawa fungsi yang diberikan oleh formula adalah boleh terbalik 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Contoh 2. Cari fungsi songsang kepada fungsi y=2x+1. Penyelesaian. Fungsi y \u003d 2x + 1 semakin meningkat, oleh itu, ia mempunyai songsang. Kita ungkapkan x melalui y: kita dapat .. Beralih kepada tatatanda yang diterima umum, Jawapan: Tugasan 2. Cari fungsi songsang bagi fungsi ini 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Bab 9 Darjah Ijazah dengan eksponen integer. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Jika genap, maka ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Contohnya, () => = = (), jadi

Perkara yang akan kita kaji: Pelajaran mengenai topik: Penyiasatan fungsi untuk monotoni. Mengurangkan dan meningkatkan fungsi. Hubungan antara terbitan dan kemonotonan sesuatu fungsi. Dua teorem monotonisitas yang penting. Contoh. Lelaki, kita

6 Masalah yang membawa kepada konsep terbitan Biarkan titik bahan bergerak dalam garis lurus dalam satu arah mengikut hukum s f (t), dengan t ialah masa dan s ialah laluan yang dilalui oleh titik dalam masa t Perhatikan momen tertentu.

1 SA Lavrenchenko Kuliah 12 Fungsi songsang 1 Konsep fungsi songsang Definisi 11 Sesuatu fungsi dipanggil satu-dengan-satu jika ia tidak mengambil sebarang nilai lebih daripada sekali, yang mengikuti daripada

Kuliah 5 Terbitan fungsi asas asas Abstrak: Tafsiran fizik dan geometri bagi terbitan fungsi satu pembolehubah diberikan Contoh pembezaan fungsi dan peraturan dipertimbangkan.

Bab 1. Had dan kesinambungan 1. Set berangka 1 0. Nombor nyata Daripada matematik sekolah anda tahu nombor bulat N asli Z rasional Q dan nombor R nyata Nombor asli dan integer

Fungsi berangka dan urutan berangka DV Lytkina NPP, I semester DV Lytkina (SibSUTI) Analisis Matematik NPP, I semester 1 / 35 Kandungan 1 Fungsi berangka Konsep fungsi Fungsi berangka.

Kuliah 19 DERIVATIF DAN APLIKASINYA. DEFINISI DERIVATIF. Biarkan kita mempunyai beberapa fungsi y=f(x) ditakrifkan pada beberapa selang. Untuk setiap nilai hujah x daripada selang ini, fungsi y=f(x)

Bab 5 Menyiasat Fungsi Menggunakan Formula Taylor Ekstrem Setempat Definisi Fungsi

Jabatan Matematik dan Informatik Elemen Matematik Tinggi Kompleks pendidikan dan metodologi untuk pelajar pendidikan vokasional menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul Kalkulus pembezaan Disusun oleh:

Jabatan Matematik dan Informatik Analisis Matematik Kompleks pendidikan dan metodologi untuk pelajar HPE yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul 4 Aplikasi terbitan Disusun oleh: Profesor Madya

Tugas untuk keputusan bebas. Cari domain bagi fungsi 6x. Cari tangen bagi sudut tunduk kepada paksi-x tangen yang melalui titik M (;) graf fungsi. Cari tangen bagi suatu sudut

Topik Teori had Latihan praktikal Jujukan berangka Definisi jujukan berangka Jujukan terikat dan tidak terbatas Jujukan monoton sangat kecil

44 Contoh Cari jumlah terbitan bagi fungsi kompleks = sin v cos w dengan v = ln + 1 w= 1 Mengikut formula (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Sekarang kita dapati jumlah pembezaan fungsi kompleks f

MODUL “Aplikasi kesinambungan dan terbitan. Aplikasi terbitan kepada kajian fungsi. Aplikasi kesinambungan.. Kaedah selang.. Tangen kepada graf. Formula Lagrange. 4. Penggunaan derivatif

Institut Fizik dan Teknologi Moscow Eksponen, persamaan logaritma dan ketaksamaan, kaedah potensiasi dan logaritma dalam menyelesaikan masalah. Panduan metodologi untuk persediaan untuk Olimpik.

Bab 8 Fungsi dan Graf Pembolehubah dan kebergantungan di antaranya. Dua kuantiti dan dipanggil berkadar terus jika nisbahnya malar, iaitu jika =, di manakah nombor malar yang tidak berubah dengan perubahan

Kementerian Pendidikan Republik Belarus INSTITUSI PENDIDIKAN "UNIVERSITI NEGERI GRODNO BERNAMA SELEPAS YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENSI DAN LOGARITMIK

Topik Fungsi berangka, sifat dan grafnya Konsep fungsi berangka Domain definisi dan set nilai fungsi Biarkan set berangka X diberi Peraturan yang sepadan dengan setiap nombor X dengan unik

I Definisi fungsi beberapa pembolehubah Domain definisi Apabila mengkaji banyak fenomena, seseorang perlu berurusan dengan fungsi dua atau lebih pembolehubah tidak bersandar. Contohnya, suhu badan pada masa tertentu

1. Kamiran pasti 1.1. Biarkan f sebagai fungsi terhad yang ditakrifkan pada segmen [, b] R. Sekatan segmen [, b] ialah set titik τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] supaya = x< x 1 < < x n 1

Penyiasatan Kuliah tentang fungsi dan pembinaan grafnya Abstrak: Fungsi ini disiasat untuk monotonicity, extremum, convexity-concavity, untuk kewujudan asimtot.

Topik. Fungsi. Kaedah tugas. Fungsi tersirat. Fungsi songsang. Pengelasan fungsi Unsur-unsur teori set. Konsep asas Salah satu konsep asas matematik moden ialah konsep set.

Topik 2.1 Fungsi berangka. Fungsi, sifatnya dan graf Biarkan X dan Y Beberapa set nombor Jika setiap satu mengikut beberapa peraturan F diberikan satu elemen, maka mereka mengatakan bahawa

Algebra dan permulaan analisis, XI ALGEBRA DAN PERMULAAN ANALISIS

L.A. Strauss, I.V. Tugas Barinova dengan parameter dalam Garis Panduan Peperiksaan Negeri Bersepadu y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Tugasan dengan parameter dalam USE [Teks]: garis panduan / L.A. Strauss, I.V.

Bab 3. Penyiasatan fungsi dengan bantuan derivatif 3.1. Ekstrem dan monotoni Pertimbangkan fungsi y = f () yang ditakrifkan pada beberapa selang I R. Dikatakan bahawa ia mempunyai maksimum tempatan pada titik

Topik. Persamaan logaritma, ketaksamaan dan sistem persamaan I. Arahan am

Perkara yang akan kita kaji: Pelajaran mengenai topik: Mencari titik-titik ekstrem bagi fungsi. 1. Pengenalan. 2) Mata minimum dan maksimum. 3) Ekstrem fungsi. 4) Bagaimana untuk mengira extremums? 5) Contoh Guys, mari kita lihat

1 SA Lavrenchenko Kuliah 13 Fungsi eksponen dan logaritma 1 Konsep fungsi eksponen Definisi 11 Fungsi eksponen ialah fungsi pemalar positif asas bentuk, di mana Fungsi

Webinar 5 Topik: Semakan Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersatu (tugas 8) Tugasan 8 Cari semua nilai parameter a, bagi setiap satu persamaan a a 0 mempunyai sama ada tujuh atau lapan penyelesaian Mari, kemudian t t Persamaan awal

Universiti Teknikal Negeri Moscow dinamakan sempena N.E. Bauman Fakulti Sains Asas Jabatan Permodelan Matematik А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

Maklumat am Tugasan dengan parameter Persamaan dengan modul tugas jenis C 5 1 Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu Dikhtyar M.B. 1. Nilai mutlak, atau modulus nombor x, ialah nombor x itu sendiri, jika x 0; nombor x,

I. V. Yakovlev Bahan dalam matematik MathUs.ru Logaritma

13. Terbitan Separa bagi Tertib Tinggi Mari = mempunyai dan ditakrifkan pada D O. Fungsi dan juga dipanggil terbitan separa tertib pertama bagi fungsi atau terbitan separa pertama bagi fungsi. dan secara amnya

Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia

KANDUNGAN ALGEBRA DAN PERMULAAN ANALISIS FUNGSI...10 Sifat asas fungsi...11 Genap dan ganjil...11 Berkala...12 Fungsi sifar...12 Monotonisitas (bertambah, menurun)...13 Keterlaluan (maksimum

PENGENALAN KEPADA ANALISIS MATEMATIK Kuliah. Konsep set. Sifat asas definisi fungsi. Fungsi asas asas KANDUNGAN: Unsur-unsur teori set Set nombor nyata Berangka

Topik 36 "Sifat fungsi" Kami akan menganalisis sifat fungsi menggunakan contoh graf fungsi arbitrari y = f (x): 1. Domain fungsi ialah set semua nilai pembolehubah x yang mempunyai sepadan

Asimtot Graf fungsi Sistem koordinat Cartesan Fungsi pecahan linear Trinomial segi empat sama Fungsi linear Ekstrem tempatan Set nilai trinomial segi empat sama Set nilai fungsi

Universiti Persekutuan Ural, Institut Matematik dan Sains Komputer, Jabatan Algebra dan Matematik Diskret Ucapan pengenalan Kuliah ini dikhaskan untuk kajian pesawat. Bahan yang terkandung di dalamnya

PERSAMAAN PEMBEZAAN 1. Konsep asas Persamaan pembezaan berkenaan dengan beberapa fungsi ialah persamaan yang menghubungkan fungsi ini dengan pembolehubah bebasnya dan dengan terbitannya.

PENGGUNAAN MATEMATIK Tugasan C5 7 Ketaksamaan (kaedah luas) Petunjuk dan penyelesaian Bahan rujukan Sumber Koryanov A G, Bryansk Hantar komen dan cadangan kepada: [e-mel dilindungi] TUGASAN DENGAN PARAMETER

Topik 41 "Tugas dengan parameter" Rumusan utama tugasan dengan parameter: 1) Cari semua nilai parameter, setiap satunya memenuhi syarat tertentu.) Selesaikan persamaan atau ketaksamaan dengan

Topik 39. "Terbitan fungsi" Fungsi Terbitan fungsi pada titik x 0 dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan pembolehubah, iaitu = lim = lim + () Jadual terbitan: Derivatif

Terbitan bagi fungsi Makna geometri dan fizikalnya Teknik pembezaan Takrif asas Biarkan f () ditakrifkan pada (,) a, b beberapa titik tetap, kenaikan hujah pada satu titik,

Pembezaan fungsi tersirat Pertimbangkan fungsi (,) = C (C = const) Persamaan ini mentakrifkan fungsi tersirat () Katakan kita telah menyelesaikan persamaan ini dan menemui ungkapan eksplisit = () Sekarang kita boleh

Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia Universiti Negeri Yaroslavl dinamakan sempena PG Demidov Jabatan Analisis Diskret KOLEKSI TUGASAN UNTUK PENYELESAIAN BEBAS MENGENAI HAD FUNGSI TOPIK

Persidangan saintifik-praktikal serantau bagi kerja pendidikan, penyelidikan dan reka bentuk pelajar dalam gred 6-11 "Isu gunaan dan asas matematik" Aspek metodologi kajian matematik

Had dan kesinambungan. Had fungsi Biarkan fungsi = f) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik = a. Pada masa yang sama, pada titik a, fungsi itu tidak semestinya ditakrifkan. Definisi. Nombor b dipanggil had

Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Matematik, demo 7 tahun Bahagian A Cari nilai ungkapan 6p p dengan p = Penyelesaian Gunakan sifat darjah: Gantikan dalam ungkapan yang terhasil Betul

0.5 Persamaan logaritma dan ketaksamaan. Buku Terpakai:. Algebra dan permulaan analisis 0 - disunting oleh A.N. Kolmogorov. Kerja bebas dan kawalan pada algebra 0- disunting oleh E.P. Ershov

Sistem tugasan mengenai topik "Persamaan Tangen" Tentukan tanda kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi y f (), pada titik dengan absis a, b, c a) b) Nyatakan titik di mana terbitan

Ketaksamaan dengan parameter dalam peperiksaan negeri bersatu VV Silvestrov

Persamaan algebra di mana Definisi. Algebra ialah persamaan bentuk 0, P () 0, beberapa nombor nyata. 0 0 Dalam kes ini, pembolehubah dipanggil tidak diketahui, dan nombor 0 dipanggil

Persamaan garis lurus dan satah Persamaan garis lurus pada satah Persamaan am garis lurus. Tanda selari dan serenjang garis. Dalam koordinat Cartesan, setiap baris dalam satah Oxy ditakrifkan oleh

Graf terbitan bagi suatu fungsi Selang kemonotonan suatu fungsi Contoh 1. Rajah menunjukkan graf y =f (x) bagi terbitan bagi fungsi f (x) yang ditakrifkan pada selang (1;13). Cari selang peningkatan fungsi

Contoh Masalah Asas MA dan Soalan untuk Had Jujukan Semester Had Jujukan Kira Mudah l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Kira Had Jujukan

Masalah dalam Geometri Analitik, Mech-Math, Moscow State University Masalah Dan ialah tetrahedron O Ungkapkan vektor EF dalam sebutan vektor O O O dengan permulaan di tengah E tepi O dan berakhir di titik F persilangan median. daripada segi tiga Penyelesaian Mari

Pernyataan masalah Kaedah pembahagian dua Kaedah kord (kaedah bahagian berkadar 4 Kaedah Newton (kaedah tangen 5 Kaedah lelaran (kaedah penghampiran berturut-turut) Pernyataan masalah Biar diberikan

1. Ungkapan dan penjelmaan 1.1 Punca darjah n Konsep punca darjah n Sifat punca darjah n: Punca hasil darab dan hasil darab: permudahkan ungkapan; cari nilai Akar hasil bagi

KULIAH N4. Pembezaan fungsi urutan pertama dan lebih tinggi. Invarian bentuk pembezaan. Terbitan pesanan yang lebih tinggi. Penggunaan pembezaan dalam pengiraan anggaran. 1. Konsep pembezaan ....

MODUL 7 "Fungsi eksponen dan logaritma". Generalisasi konsep ijazah. Punca darjah dan sifatnya.. Persamaan tidak rasional.. Darjah dengan eksponen rasional.. Fungsi eksponen..

13. Eksponen dan logaritma Untuk melengkapkan pembuktian Proposisi 12.8, tetap bagi kita untuk memberikan satu takrifan dan membuktikan satu proposisi. Definisi 13.1. Siri a i dipanggil konvergen mutlak jika

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA NOVOSIBIRSK PUSAT PENDIDIKAN DAN SAINTIFIK KHAS UNIVERSITI NEGERI NOVOSIBIRSK Matematik Gred 10 PENYELIDIKAN FUNGSI Novosibirsk Untuk pengesahan

KULIAH N. Medan skalar. Terbitan arah. Kecerunan. Satah tangen dan permukaan normal. Ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah. Ekstrem bersyarat. Medan skalar. Derivatif berkenaan dengan

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA PUSAT PENDIDIKAN DAN SAINTIFIK KHAS UNIVERSITI NEGERI NOVOSIBIRSK Gred 0 HAD URUTAN Novosibirsk Intuitif

Takrif fungsi songsang dan sifatnya: lemma pada kemonotonan bersama fungsi langsung dan songsang; simetri graf fungsi langsung dan songsang; teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang untuk fungsi monotonik ketat pada segmen, selang, dan separuh selang. Contoh fungsi songsang. Contoh penyelesaian masalah. Bukti sifat dan teorem.

Definisi dan sifat

Definisi fungsi songsang
Biarkan fungsi mempunyai domain X dan satu set nilai Y . Dan biarkan ia mempunyai harta:
untuk semua .
Kemudian untuk mana-mana elemen daripada set Y, hanya satu elemen set X boleh dikaitkan, yang mana . Surat-menyurat ini mentakrifkan fungsi yang dipanggil fungsi songsang kepada . Fungsi songsang dilambangkan seperti berikut:
.

Ia mengikuti daripada definisi bahawa
;
untuk semua ;
untuk semua .

Sifat tentang simetri graf bagi fungsi langsung dan songsang
Graf bagi fungsi langsung dan songsang adalah simetri berkenaan dengan garis terus.

Teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada suatu ruas
Biarkan fungsi itu berterusan dan meningkat (menurun) dengan ketat pada selang . Kemudian pada selang fungsi songsang ditakrifkan dan berterusan, yang semakin meningkat (menurun).

Untuk fungsi yang semakin meningkat. Untuk menurun - .

Teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada selang
Biarkan fungsi itu berterusan dan meningkat (menurun) dengan ketat pada selang terhingga atau tak terhingga terbuka. Kemudian fungsi songsang ditakrifkan dan berterusan pada selang, yang semakin meningkat (menurun).

Untuk fungsi yang semakin meningkat.
Untuk menurun: .

Dengan cara yang sama, seseorang boleh merumuskan teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada separuh selang.

Jika fungsi adalah berterusan dan tegas meningkat (menurun) pada separuh selang atau , maka pada separuh selang atau fungsi songsang ditakrifkan, yang ketat meningkat (menurun). Di sini.

Jika ia meningkat dengan ketat, maka selang dan sepadan dengan selang dan . Jika betul-betul berkurangan, maka selang dan sepadan dengan selang dan .
Teorem ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada selang.

Contoh fungsi songsang

Arcsine

Petak y= dosa x dan fungsi songsang y = arcsin x.

Pertimbangkan fungsi trigonometri resdung: . Ia ditakrifkan dan berterusan untuk semua nilai hujah, tetapi tidak monoton. Walau bagaimanapun, jika domain definisi disempitkan, maka bahagian yang membosankan boleh dibezakan. Jadi, pada segmen , fungsi ditakrifkan, berterusan, meningkat dengan ketat dan mengambil nilai daripada -1 sebelum ini +1 . Oleh itu, ia mempunyai fungsi songsang di atasnya, yang dipanggil arcsine. Arcsine mempunyai domain definisi dan satu set nilai.

Logaritma

Petak y= 2 x dan fungsi songsang y = log 2 x.

Fungsi eksponen ditakrifkan, berterusan, dan meningkat dengan ketat untuk semua nilai hujah . Set nilainya adalah selang terbuka. Fungsi songsang ialah logaritma asas dua. Ia mempunyai skop dan satu set nilai.

Punca kuasa dua

Petak y=x 2 dan fungsi songsang.

Fungsi kuasa ditakrifkan dan berterusan untuk semua . Set nilainya ialah separuh selang. Tetapi ia tidak monotonik untuk semua nilai hujah. Walau bagaimanapun, pada separuh selang ia berterusan dan meningkat secara monotoni. Oleh itu, jika, sebagai domain, kita mengambil set, maka terdapat fungsi songsang, yang dipanggil punca kuasa dua. Fungsi songsang mempunyai domain definisi dan satu set nilai.

Contoh. Bukti kewujudan dan keunikan sesuatu akar darjah n

Buktikan bahawa persamaan , di mana n ialah nombor asli, ialah nombor bukan negatif nyata, mempunyai penyelesaian unik pada set nombor nyata, . Penyelesaian ini dipanggil punca ke-n a. Iaitu, anda perlu menunjukkan bahawa mana-mana nombor bukan negatif mempunyai punca unik darjah n.

Pertimbangkan fungsi pembolehubah x :
(P1) .

Mari kita buktikan bahawa ia berterusan.
Menggunakan definisi kesinambungan, kami menunjukkan bahawa
.
Kami menggunakan formula binomial Newton:
(P2)
.
Mari kita gunakan sifat aritmetik bagi had fungsi itu. Oleh kerana , maka hanya sebutan pertama adalah bukan sifar:
.
Kesinambungan telah terbukti.

Mari kita buktikan bahawa fungsi (P1) meningkat dengan ketat sebagai .
Mari kita ambil nombor arbitrari yang dihubungkan dengan ketaksamaan:
, , .
Kita perlu tunjukkan itu. Mari perkenalkan pembolehubah. lepas tu . Oleh kerana , dilihat daripada (A2) bahawa . Ataupun
.
Peningkatan yang ketat terbukti.

Cari set nilai fungsi untuk .
Pada ketika itu, .
Mari cari hadnya.
Untuk melakukan ini, gunakan ketaksamaan Bernoulli. Apabila kita mempunyai:
.
Sejak , kemudian dan .
Menggunakan sifat ketaksamaan fungsi besar tak terhingga, kita dapati bahawa .
Dengan cara ini, , .

Mengikut teorem fungsi songsang, fungsi songsang ditakrifkan dan berterusan pada selang waktu. Iaitu, untuk mana-mana terdapat unik yang memenuhi persamaan. Oleh kerana kita mempunyai , ini bermakna bahawa untuk sebarang , persamaan mempunyai penyelesaian unik, yang dipanggil punca darjah n daripada nombor x:
.

Bukti sifat dan teorem

Bukti lemma tentang monotonisitas bersama fungsi langsung dan songsang

Biarkan fungsi mempunyai domain X dan satu set nilai Y . Mari kita buktikan bahawa ia mempunyai fungsi songsang. Berdasarkan , kita perlu membuktikannya
untuk semua .

Mari kita anggap sebaliknya. Biar ada nombor, jadi. Biar pada masa yang sama. Jika tidak, kami menukar tatatanda supaya ia adalah . Kemudian, disebabkan monotonisitas ketat f , salah satu ketaksamaan mesti dipegang:
jika f meningkat dengan tegas;
jika f semakin berkurangan.
Itu dia . Terdapat percanggahan. Oleh itu, ia mempunyai fungsi songsang.

Biarkan fungsi meningkat dengan ketat. Mari kita buktikan bahawa fungsi songsang juga semakin meningkat. Mari kita perkenalkan notasi:
. Iaitu, kita perlu membuktikan bahawa jika , maka .

Mari kita anggap sebaliknya. Biarlah, tetapi.

Jika , maka . Kes ini sudah keluar.

biarlah . Kemudian, disebabkan peningkatan ketat fungsi , , atau . Terdapat percanggahan. Oleh itu, hanya kes yang mungkin.

Lemma terbukti untuk fungsi yang semakin meningkat. Lemma ini boleh dibuktikan dengan cara yang sama untuk fungsi yang semakin berkurangan.

Bukti sifat pada simetri graf fungsi langsung dan songsang

Biarkan menjadi titik arbitrari bagi graf fungsi langsung:
(2.1) .
Mari tunjukkan bahawa titik , simetri kepada titik A berkenaan dengan garis , tergolong dalam graf fungsi songsang :
.
Ia mengikuti daripada takrifan fungsi songsang itu
(2.2) .
Oleh itu, kita perlu menunjukkan (2.2).

Graf bagi fungsi songsang y = f -1(x) adalah simetri kepada graf fungsi langsung y = f (x) relatif kepada garis lurus y = x .

Dari titik A dan S kita jatuhkan serenjang pada paksi koordinat. Kemudian
, .

Melalui titik A kita melukis garis berserenjang dengan garis. Biarkan garis bersilang di titik C. Kami membina satu titik S pada garisan supaya . Kemudian titik S akan simetri kepada titik A berkenaan dengan garis lurus.

Pertimbangkan segi tiga dan . Mereka mempunyai dua sisi yang sama panjang: dan , dan sama sudut di antara mereka: . Oleh itu mereka adalah kongruen. Kemudian
.

Mari kita pertimbangkan segitiga. Kerana, maka
.
Perkara yang sama berlaku untuk segi tiga:
.
Kemudian
.

Sekarang kita dapati:
;
.

Jadi, persamaan (2.2):
(2.2)
berpuas hati kerana , dan (2.1) berpuas hati:
(2.1) .

Oleh kerana kami telah memilih titik secara sewenang-wenangnya, ini terpakai kepada semua titik graf:
semua titik graf fungsi, dipantulkan secara simetri berkenaan dengan garis lurus, tergolong dalam graf fungsi songsang.
Kemudian kita boleh bertukar tempat. Hasilnya, kita dapat
semua titik graf fungsi, dipantulkan secara simetri tentang garis lurus, tergolong dalam graf fungsi.
Ia berikutan bahawa graf bagi fungsi dan adalah simetri berkenaan dengan garis lurus.

Harta tersebut telah terbukti.

Bukti teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada selang

Let menandakan domain takrifan fungsi - segmen .

1. Mari tunjukkan bahawa set nilai fungsi ialah selang:
,
mana .

Sesungguhnya, oleh kerana fungsi itu berterusan pada segmen , maka, mengikut teorem Weierstrass, ia mencapai minimum dan maksimum padanya. Kemudian, menurut teorem Bolzano-Cauchy, fungsi mengambil semua nilai dari segmen. Iaitu, untuk sebarang wujud , yang mana . Oleh kerana terdapat minimum dan maksimum, fungsi mengambil nilai segmen sahaja daripada set .

2. Memandangkan fungsi itu adalah monotonik sepenuhnya, maka mengikut perkara di atas, terdapat fungsi songsang , yang juga benar-benar monotonik (meningkat jika meningkat; dan menurun jika menurun). Domain bagi fungsi songsang ialah set, dan set nilai ialah set.

3. Sekarang kita buktikan bahawa fungsi songsang adalah selanjar.

3.1. Biar ada titik dalaman sewenang-wenangnya segmen : . Mari kita buktikan bahawa fungsi songsang adalah berterusan pada ketika ini.

Biarkan ia sesuai dengan maksudnya. Oleh kerana fungsi songsang adalah monotonik, iaitu, titik dalaman segmen:
.
Mengikut definisi kesinambungan, kita perlu membuktikan bahawa untuk mana-mana terdapat fungsi sedemikian
(3.1) untuk semua .

Perhatikan bahawa kita boleh mengambil sewenang-wenangnya kecil. Sesungguhnya, jika kita telah menemui fungsi sedemikian sehingga ketaksamaan (3.1) dipenuhi untuk nilai yang cukup kecil sebanyak , maka ia secara automatik akan berpuas hati untuk sebarang nilai besar , jika kita tetapkan untuk .

Mari kita ambil ia begitu kecil sehingga mata dan tergolong dalam segmen :
.
Mari kita perkenalkan dan susun tatatanda:

.

Kami mengubah ketidaksamaan pertama (3.1):
(3.1) untuk semua .
;
;
;
(3.2) .
Oleh kerana ia adalah monotonik, ia mengikutinya
(3.3.1) , jika meningkat;
(3.3.2) jika ia berkurangan.
Memandangkan fungsi songsang juga monotonik, ketaksamaan (3.3) membayangkan ketaksamaan (3.2).

Untuk sebarang ε > 0 wujud δ, jadi |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε untuk semua |y - y 0 | < δ .

Ketaksamaan (3.3) mentakrifkan selang terbuka yang hujungnya dipisahkan daripada titik dengan jarak dan . Biarkan terdapat jarak terkecil ini:
.
Disebabkan monotoni yang ketat , , . sebab tu . Kemudian selang akan terletak pada selang yang ditakrifkan oleh ketaksamaan (3.3). Dan untuk semua nilai yang dimiliki, ketidaksamaan (3.2) akan dipenuhi.

Jadi, kami telah mendapati bahawa untuk cukup kecil , wujud , supaya
di .
Sekarang mari kita tukar notasi.
Untuk yang cukup kecil, wujud seperti itu
di .
Ini bermakna fungsi songsang adalah berterusan pada titik pedalaman.

3.2. Sekarang pertimbangkan hujung domain definisi. Di sini semua hujah tetap sama. Hanya kejiranan berat sebelah bagi titik ini perlu dipertimbangkan. Daripada titik akan ada atau , dan bukannya titik - atau .

Jadi, untuk fungsi yang semakin meningkat , .
di .
Fungsi songsang adalah selanjar pada , kerana untuk mana-mana yang cukup kecil terdapat , supaya
di .

Untuk fungsi menurun , .
Fungsi songsang adalah selanjar pada , kerana untuk mana-mana yang cukup kecil terdapat , supaya
di .
Fungsi songsang adalah selanjar pada , kerana untuk mana-mana yang cukup kecil terdapat , supaya
di .

Teorem telah terbukti.

Bukti teorem tentang kewujudan dan kesinambungan fungsi songsang pada selang

Let menandakan domain fungsi - selang terbuka. Biarlah set nilainya. Mengikut perkara di atas, terdapat fungsi songsang yang mempunyai domain takrifan, satu set nilai dan benar-benar monotonik (meningkat jika ia meningkat dan menurun jika ia berkurangan). Tinggal untuk kita buktikan
1) set ialah selang terbuka , dan itu
2) fungsi songsang adalah berterusan di atasnya.
Di sini.

1. Mari tunjukkan bahawa set nilai fungsi ialah selang terbuka:
.

Seperti mana-mana set bukan kosong yang elemennya mempunyai operasi perbandingan, set nilai fungsi mempunyai sempadan bawah dan atas:
.
Di sini, dan boleh menjadi nombor atau simbol terhingga dan .

1.1. Mari kita tunjukkan bahawa mata dan bukan tergolong dalam set nilai fungsi. Iaitu, set nilai tidak boleh menjadi segmen.

Jika atau sedang titik pada infiniti: atau , maka titik sebegitu bukan unsur set. Oleh itu, ia tidak boleh tergolong dalam satu set nilai.

Biarkan (atau ) menjadi nombor terhingga. Mari kita anggap sebaliknya. Biarkan titik (atau ) tergolong dalam set nilai fungsi . Iaitu, wujud seperti yang (atau ). Ambil mata dan puaskan ketidaksamaan:
.
Oleh kerana fungsinya adalah monotonik, maka
, jika f bertambah;
jika f semakin berkurang.
Iaitu, kami telah menemui titik di mana nilai fungsi itu kurang (lebih besar daripada ). Tetapi ini bercanggah dengan takrif muka bawah (atas), mengikut mana
untuk semua .
Oleh itu mata dan tidak boleh tergolong dalam satu set nilai fungsi .

1.2. Sekarang mari kita tunjukkan bahawa set nilai adalah selang , bukannya gabungan selang dan titik. Iaitu, untuk sebarang titik wujud , untuk yang mana .

Mengikut takrif muka bawah dan atas, dalam mana-mana kawasan kejiranan mata dan mengandungi sekurang-kurangnya satu elemen set . biarlah - nombor arbitrari kepunyaan selang : . Kemudian untuk kejiranan wujud , untuk yang mana
.
Untuk kejiranan wujud , untuk yang mana
.

Kerana ia dan , kemudian . Kemudian
(4.1.1) jika meningkat;
(4.1.2) jika berkurangan.
Ketaksamaan (4.1) mudah dibuktikan dengan percanggahan. Tetapi anda boleh menggunakan , mengikut yang pada set terdapat fungsi songsang , yang semakin meningkat jika dan semakin berkurangan jika . Kemudian kita segera memperoleh ketaksamaan (4.1).

Jadi kita ada segmen , di mana jika meningkat;
jika berkurangan.
Di hujung segmen, fungsi mengambil nilai dan . Kerana ia , maka dengan teorem Bolzano-Cauchy, ada satu titik , untuk yang mana .

Kerana ia , kami telah menunjukkan bahawa untuk mana-mana wujud , untuk yang mana . Ini bermakna bahawa set nilai fungsi ialah selang terbuka .

2. Mari kita tunjukkan bahawa fungsi songsang adalah berterusan pada titik sewenang-wenangnya selang waktu : . Untuk melakukan ini, gunakan pada segmen . Kerana ia , kemudian fungsi songsang berterusan pada segmen , termasuk pada titik .

Teorem telah terbukti.

Rujukan:
O.I. syaitan. Kuliah mengenai analisis matematik. Bahagian 1. Moscow, 2004.
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 1983.