Contoh matriks songsang dengan penyelesaian 2x2. Matriks songsang dan sifatnya

Algebra Matriks - Matriks Songsang

matriks songsang

matriks songsang dipanggil matriks yang, apabila didarab kedua-duanya dari kanan dan dari kiri dengan matriks yang diberikan memberikan matriks identiti.
Nyatakan matriks songsang kepada matriks TAPI melalui , maka mengikut definisi yang kita dapat:

di mana E – matriks identiti.
matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (tidak merosot) jika penentunya tidak sama dengan sifar. Jika tidak, ia dipanggil istimewa (merosot) atau tunggal.

Terdapat teorem: setiap matriks bukan tunggal mempunyai matriks songsang.

Operasi mencari matriks songsang dipanggil rayuan matriks. Pertimbangkan algoritma penyongsangan matriks. Biarkan matriks bukan tunggal diberikan n-perintah ke-:

di mana Δ = det A ≠ 0.

Pelengkap unsur algebra matriks n-perintah ke- TAPI penentu matriks ( n–1)-perintah yang diperoleh dengan memadam i-baris ke- dan j-lajur ke- matriks TAPI:

Mari kita buat kononnya dilampirkan matriks:

di manakah pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan TAPI.
Perhatikan bahawa pelengkap algebra bagi elemen baris matriks TAPI diletakkan dalam lajur matriks yang sepadan Ã , iaitu, matriks dipindahkan secara serentak.
Membahagikan semua elemen matriks Ã pada Δ - nilai penentu matriks TAPI, kita mendapat matriks songsang sebagai hasilnya:

Kami perhatikan siri ini sifat khas matriks songsang:
1) untuk matriks tertentu TAPI dia matriks songsang adalah satu-satunya;
2) jika terdapat matriks songsang, maka terbalik kanan dan kiri terbalik matriks bertepatan dengannya;
3) matriks persegi khas (merosot) tidak mempunyai matriks songsang.

Sifat utama matriks songsang:
1) penentu matriks songsang dan penentu matriks asal adalah salingan;
2) matriks songsang hasil darab matriks kuasa dua adalah sama dengan hasil darab matriks songsang faktor, diambil dalam susunan songsang:

3) matriks songsang terpindah adalah sama dengan matriks songsang daripada matriks terbalik yang diberikan:

CONTOH Hitung songsangan matriks bagi yang diberi.

Definisi 1: Matriks dipanggil degenerate jika penentunya adalah sifar.

Definisi 2: Matriks dipanggil bukan tunggal jika penentunya tidak sama dengan sifar.

Matriks "A" dipanggil matriks songsang, jika syarat A*A-1 = A-1 *A = E (matriks identiti) dipenuhi.

Matriks segi empat sama boleh terbalik hanya jika ia bukan tunggal.

Skim untuk mengira matriks songsang:

1) Kirakan penentu bagi matriks "A" jika ∆ A = 0, maka matriks songsang tidak wujud.

2) Cari semua pelengkap algebra bagi matriks "A".

3) Susun matriks penambahan algebra (Aij )

4) Ubah matriks pelengkap algebra (Aij )T

5) Darab matriks terpindah dengan nombor, penentu songsang matriks ini.

6) Jalankan semakan:

Pada pandangan pertama ia mungkin kelihatan sukar, tetapi sebenarnya semuanya sangat mudah. Semua penyelesaian adalah berdasarkan mudah operasi aritmetik, perkara utama semasa menyelesaikan adalah untuk tidak keliru dengan tanda "-" dan "+", dan tidak kehilangannya.

Sekarang mari kita putuskan bersama tugas praktikal, mengira matriks songsang.

Tugas: cari matriks songsang "A", ditunjukkan dalam gambar di bawah:

Kami menyelesaikan segala-galanya tepat seperti yang ditunjukkan dalam rancangan untuk mengira matriks songsang.

1. Perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari penentu bagi matriks "A":

Penjelasan:

Kami telah memudahkan penentu kami dengan menggunakan fungsi utamanya. Pertama, kami menambah pada baris ke-2 dan ke-3 unsur-unsur baris pertama, didarab dengan satu nombor.

Kedua, kami menukar lajur ke-2 dan ke-3 penentu, dan mengikut sifatnya, kami menukar tanda di hadapannya.

Ketiga, kami mengeluarkan faktor sepunya (-1) baris kedua, dengan itu menukar tanda itu semula, dan ia menjadi positif. Kami juga memudahkan baris 3 dengan cara yang sama seperti pada permulaan contoh.

Kami mempunyai penentu segi tiga, di mana unsur-unsur di bawah pepenjuru adalah sama dengan sifar, dan dengan sifat 7 ia adalah sama dengan produk unsur pepenjuru. Hasilnya, kami mendapat ∆ A = 26, maka wujudlah matriks songsang.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Langkah seterusnya ialah menyusun matriks daripada penambahan yang terhasil:

5. Kami mendarabkan matriks ini dengan salingan penentu, iaitu, dengan 1/26:

6. Nah, sekarang kita hanya perlu menyemak:

Semasa pengesahan, kami menerima matriks identiti, oleh itu, keputusan dibuat dengan betul.

2 cara untuk mengira matriks songsang.

1. Penjelmaan asas bagi matriks

2. Matriks songsang melalui penukar asas.

Transformasi matriks asas termasuk:

1. Mendarab rentetan dengan nombor bukan sifar.

2. Menambah pada mana-mana baris baris lain, didarab dengan nombor.

3. Menukar baris matriks.

4. Mengaplikasikan rantai transformasi asas, kita dapat matriks lain.

TAPI -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Pertimbangkan ia contoh praktikal dengan nombor nyata.

Senaman: Cari matriks songsang.

Penyelesaian:

Mari semak:

Sedikit penjelasan mengenai penyelesaian:

Kami mula-mula menukar baris 1 dan 2 matriks, kemudian kami mendarabkan baris pertama dengan (-1).

Selepas itu, baris pertama didarab dengan (-2) dan ditambah pada baris kedua matriks. Kemudian kami mendarabkan baris ke-2 dengan 1/4.

peringkat akhir penjelmaan ialah pendaraban baris kedua dengan 2 dan penambahan daripada baris pertama. Akibatnya, kita mempunyai matriks identiti di sebelah kiri, oleh itu, matriks songsang ialah matriks di sebelah kanan.

Selepas menyemak, kami yakin dengan ketepatan keputusan itu.

Seperti yang anda lihat, mengira matriks songsang adalah sangat mudah.

Sebagai mengakhiri kuliah ini, saya juga ingin menumpukan sedikit masa kepada sifat-sifat matriks tersebut.

Mencari matriks songsang- masalah yang paling kerap diselesaikan dengan dua kaedah:

kaedah penambahan algebra, di mana ia diperlukan untuk mencari penentu dan transpos matriks;
kaedah penyingkiran gauss tidak diketahui, di mana ia diperlukan untuk melakukan transformasi asas matriks (tambah baris, darab baris dengan nombor yang sama, dsb.).

Bagi mereka yang sangat ingin tahu, terdapat kaedah lain, contohnya, kaedah transformasi linear. Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis tiga kaedah yang disebutkan dan algoritma untuk mencari matriks songsang dengan kaedah ini.

matriks songsang TAPI, matriks sedemikian dipanggil

TAPI
. (1)

matriks songsang untuk ditemui untuk yang diberikan matriks segi empat sama TAPI, matriks sedemikian dipanggil

hasil darab yang menggunakan matriks TAPI di sebelah kanan ialah matriks identiti, iaitu,
. (1)

Matriks identiti ialah matriks pepenjuru di mana semua entri pepenjuru adalah sama dengan satu.

Teorem.Bagi setiap matriks persegi bukan tunggal (bukan tunggal, bukan tunggal), seseorang boleh mencari matriks songsang, dan lebih-lebih lagi, hanya satu. Untuk matriks segi empat tepat (merosot, tunggal), matriks songsang tidak wujud.

Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa(atau tidak merosot, bukan tunggal) jika penentunya tidak sama dengan sifar, dan istimewa(atau merosot, tunggal) jika penentunya ialah sifar.

Matriks songsang hanya boleh didapati untuk matriks segi empat sama. Sememangnya, matriks songsang juga akan menjadi segi empat sama dan susunan yang sama dengan matriks yang diberikan. Matriks yang mana matriks songsang boleh didapati dipanggil matriks boleh terbalik.

Untuk matriks songsang terdapat analogi yang sesuai dengan salingan nombor. Untuk setiap nombor a, yang tidak sama dengan sifar, wujud nombor b bahawa kerja itu a dan b sama dengan satu: ab= 1 . Nombor b dipanggil salingan nombor b. Sebagai contoh, untuk nombor 7, songsang ialah nombor 1/7, kerana 7*1/7=1.

Mencari matriks songsang dengan kaedah penambahan algebra (matriks kesatuan)

Untuk matriks persegi bukan tunggal TAPI songsangan ialah matriks

di manakah penentu matriks TAPI, а ialah matriks yang dikaitkan dengan matriks TAPI.

Bersekutu dengan matriks segi empat sama A ialah matriks tertib yang sama yang unsur-unsurnya ialah pelengkap algebra bagi unsur-unsur yang sepadan bagi penentu matriks yang ditukarkan berkenaan dengan matriks A. Oleh itu, jika

kemudian

dan

Algoritma untuk mencari matriks songsang dengan kaedah penambahan algebra

1. Cari penentu bagi matriks ini A. Jika penentu adalah sama dengan sifar, mencari matriks songsang berhenti, kerana matriks merosot dan tidak ada songsang untuknya.

2. Cari matriks yang ditukarkan berkenaan dengan A.

3. Kira unsur matriks kesatuan sebagai pelengkap algebra bagi marita yang terdapat dalam langkah 2.

4. Guna formula (2): darab kebalikan penentu matriks A, kepada matriks kesatuan yang terdapat dalam langkah 4.

5. Semak keputusan yang diperolehi dalam langkah 4 dengan mendarab matriks ini A kepada matriks songsang. Jika hasil darab matriks ini sama dengan matriks identiti, maka matriks songsang didapati dengan betul. Jika tidak, mulakan proses penyelesaian semula.

Contoh 1 Untuk matriks

cari matriks songsang.

Penyelesaian. Untuk mencari matriks songsang, adalah perlu untuk mencari penentu matriks itu TAPI. Kami dapati dengan peraturan segitiga:

Oleh itu, matriks TAPI adalah bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal) dan terdapat songsang untuknya.

Mari cari matriks yang dikaitkan dengan matriks yang diberikan TAPI.

Mari kita cari matriks yang ditransposkan berkenaan dengan matriks A:

Kami mengira unsur-unsur matriks kesatuan sebagai pelengkap algebra bagi matriks yang dialihkan berkenaan dengan matriks A:

Oleh itu, matriks terkonjugasi dengan matriks A, mempunyai borang

Komen. Susunan pengiraan unsur dan transposisi matriks mungkin berbeza. Pertama sekali, seseorang boleh mengira pelengkap algebra matriks A, dan kemudian alihkan matriks pelengkap algebra. Hasilnya mestilah elemen yang sama bagi matriks kesatuan.

Menggunakan formula (2), kita dapati matriks songsang kepada matriks TAPI:

Mencari Matriks Songsang oleh Gaussian Elimination of Unknowns

Langkah pertama untuk mencari matriks songsang dengan penyingkiran Gaussian adalah untuk menetapkan kepada matriks A matriks identiti tertib yang sama, memisahkannya dengan bar menegak. Kami mendapat matriks dwi. Darab kedua-dua bahagian matriks ini dengan , maka kita dapat

Algoritma untuk mencari matriks songsang dengan penghapusan Gaussian yang tidak diketahui

1. Kepada matriks A tetapkan matriks identiti dengan susunan yang sama.

2. Ubah matriks dwi yang terhasil supaya matriks identiti diperoleh di bahagian kirinya, maka matriks songsang secara automatik akan diperolehi di bahagian kanan menggantikan matriks identiti. Matriks A di sebelah kiri ditukar kepada matriks identiti oleh transformasi asas matriks.

2. Jika dalam proses penjelmaan matriks A ke dalam matriks identiti dalam mana-mana baris atau dalam mana-mana lajur hanya akan ada sifar, maka penentu matriks adalah sama dengan sifar, dan, oleh itu, matriks A akan merosot, dan ia tidak mempunyai matriks songsang. Dalam kes ini, penemuan selanjutnya bagi matriks songsang berhenti.

Contoh 2 Untuk matriks

cari matriks songsang.

dan kami akan mengubahnya supaya matriks identiti diperoleh di sebelah kiri. Mari kita mulakan transformasi.

Darab baris pertama matriks kiri dan kanan dengan (-3) dan tambahkannya ke baris kedua, dan kemudian darab baris pertama dengan (-4) dan tambahkannya ke baris ketiga, maka kita dapat

Untuk mengelakkan, jika boleh nombor pecahan dalam penjelmaan seterusnya, kita akan mula-mula mencipta unit dalam baris kedua di sebelah kiri matriks dwi. Untuk melakukan ini, darabkan baris kedua dengan 2 dan tolak baris ketiga daripadanya, maka kita dapat

Mari tambahkan baris pertama pada baris kedua, dan kemudian darab baris kedua dengan (-9) dan tambahkannya pada baris ketiga. Kemudian kita dapat

Bahagikan baris ketiga dengan 8, kemudian

Darab baris ketiga dengan 2 dan tambahkannya pada baris kedua. Kesudahannya:

Menukar tempat baris kedua dan ketiga, maka akhirnya kita dapat:

Kami melihat bahawa matriks identiti diperoleh di sebelah kiri, oleh itu, matriks songsang diperoleh di sebelah kanan. Dengan cara ini:

Anda boleh menyemak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal dengan matriks songsang yang ditemui:

Hasilnya mestilah matriks songsang.

Contoh 3 Untuk matriks

cari matriks songsang.

Penyelesaian. Menyusun matriks dwi

dan kami akan mengubahnya.

Kami mendarabkan baris pertama dengan 3, dan yang kedua dengan 2, dan menolak dari yang kedua, dan kemudian kami mendarabkan baris pertama dengan 5, dan yang ketiga dengan 2 dan menolak dari baris ketiga, maka kami mendapat

Kami mendarabkan baris pertama dengan 2 dan menambahnya pada baris kedua, dan kemudian menolak baris kedua dari baris ketiga, kemudian kami mendapat

Kami melihat bahawa dalam baris ketiga di sebelah kiri, semua elemen ternyata sama dengan sifar. Oleh itu, matriks merosot dan tidak mempunyai matriks songsang. Kami berhenti mencari lagi maria terbalik.

Matriks $A^(-1)$ dipanggil songsangan bagi matriks segi empat sama $A$ jika $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, dengan $E $ ialah matriks identiti, susunan yang sama dengan susunan matriks $A$.

Matriks bukan tunggal ialah matriks yang penentunya tidak sama dengan sifar. Oleh itu, matriks merosot adalah matriks yang penentunya sama dengan sifar.

Matriks songsang $A^(-1)$ wujud jika dan hanya jika matriks $A$ bukan tunggal. Jika matriks songsang $A^(-1)$ wujud, maka ia adalah unik.

Terdapat beberapa cara untuk mencari songsangan matriks, dan kita akan melihat dua daripadanya. Halaman ini akan merangkumi kaedah matriks bersebelahan, yang dianggap standard dalam kebanyakan kursus. matematik yang lebih tinggi. Cara kedua untuk mencari matriks songsang (kaedah penjelmaan asas), yang melibatkan penggunaan kaedah Gauss atau kaedah Gauss-Jordan, dipertimbangkan dalam bahagian kedua.

Kaedah matriks bersebelahan (kesatuan).

Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks songsang $A^(-1)$, tiga langkah diperlukan:

Cari penentu bagi matriks $A$ dan pastikan bahawa $\Delta A\neq 0$, i.e. bahawa matriks A adalah tidak merosot.
Susun pelengkap algebra $A_(ij)$ setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\kali n)^(*)=\kiri(A_(ij) \kanan)$ daripada yang ditemui pelengkap algebra.
Tulis matriks songsang dengan mengambil kira formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matriks $(A^(*))^T$ sering dirujuk sebagai matriks bersebelahan (mutual, allied) $A$.

Jika keputusan dibuat secara manual, maka kaedah pertama adalah baik hanya untuk matriks pesanan yang agak kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari songsangan matriks perintah yang lebih tinggi, kaedah lain digunakan. Sebagai contoh, kaedah Gauss, yang dibincangkan dalam bahagian kedua.

Contoh #1

Cari songsang matriks kepada matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Oleh kerana semua elemen lajur keempat adalah sama dengan sifar, maka $\Delta A=0$ (iaitu matriks $A$ merosot). Oleh kerana $\Delta A=0$, tiada matriks songsang kepada $A$.

Contoh #2

Cari songsang matriks kepada matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Kami menggunakan kaedah matriks bersebelahan. Mula-mula kita cari penentu matriks yang diberikan$A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Oleh kerana $\Delta A \neq 0$, maka matriks songsang wujud, jadi kami meneruskan penyelesaiannya. Mencari Pelengkap Algebra

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(diselaraskan)

Susun matriks pelengkap algebra: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ubah matriks yang terhasil: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (yang terhasil matriks sering dipanggil matriks bersebelahan atau kesatuan kepada matriks $A$). Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita ada:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan) $$

Jadi matriks songsang ditemui: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \kanan) $. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\kanan)$ tetapi sebagai $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\kanan)$:

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan)$.

Contoh #3

Cari songsangan bagi matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Mari kita mulakan dengan mengira penentu matriks $A$. Jadi, penentu matriks $A$ ialah:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kanan| = 18-36+56-12=26. $$

Oleh kerana $\Delta A\neq 0$, maka matriks songsang wujud, jadi kami meneruskan penyelesaiannya. Kami mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen matriks yang diberikan:

Kami menyusun matriks penambahan algebra dan mengubahnya:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita dapat:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\mula(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan) $$

Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, tetapi sebagai $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Cek telah berjaya diluluskan, matriks songsang $A^(-1)$ ditemui dengan betul.

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$.

Contoh #4

Cari songsang matriks bagi $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Untuk matriks tertib keempat, mencari matriks songsang menggunakan penambahan algebra agak sukar. Walau bagaimanapun, contoh sedemikian kerja kawalan berjumpa.

Untuk mencari matriks songsang, mula-mula anda perlu mengira penentu matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan ini dalam situasi ini ialah mengembangkan penentu dalam satu baris (lajur). Kami memilih mana-mana baris atau lajur dan mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen baris atau lajur yang dipilih.

Mencari matriks songsang.

Dalam artikel ini, kita akan berurusan dengan konsep matriks songsang, sifatnya dan cara mencarinya. Marilah kita memikirkan secara terperinci tentang penyelesaian contoh di mana ia diperlukan untuk membina matriks songsang untuk yang diberikan.

Navigasi halaman.

Matriks songsang - definisi.

Mencari matriks songsang menggunakan matriks penambahan algebra.

Sifat matriks songsang.

Mencari matriks songsang dengan kaedah Gauss-Jordan.

Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.

Matriks songsang - definisi.

Konsep matriks songsang diperkenalkan hanya untuk matriks persegi yang penentunya berbeza daripada sifar, iaitu, untuk matriks persegi bukan tunggal.

Definisi.

Matriksdipanggil songsang matriks, yang penentunya berbeza daripada sifar, jika kesamaan adalah benar , di mana E ialah matriks identiti susunan n pada n.

Mencari matriks songsang menggunakan matriks penambahan algebra.

Bagaimana untuk mencari matriks songsang untuk yang diberikan?

Pertama, kita memerlukan konsep matriks terpindah, matriks minor, dan pelengkap algebra bagi unsur matriks.

Definisi.

kecilk-th pesanan matriks A pesanan m pada n ialah penentu bagi matriks tertib k pada k, yang diperoleh daripada unsur-unsur matriks TAPI terletak dalam pilihan k garisan dan k lajur. ( k tidak melebihi bilangan terkecil m atau n).

kecil (n-1) ke tertib, yang terdiri daripada elemen semua baris, kecuali i-th, dan semua lajur kecuali ke-j, matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n mari kita nyatakan sebagai .

Dengan kata lain, minor diperoleh daripada matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n memotong elemen i-th garisan dan ke-j kolum.

Sebagai contoh, mari kita menulis, kecil ke-2 tertib, yang diperoleh daripada matriks pemilihan elemen baris kedua, ketiga dan pertama, lajur ketiga . Kami juga menunjukkan minor, yang diperoleh daripada matriks memadam baris kedua dan lajur ketiga . Mari kita gambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur ini: dan .

Definisi.

Penambahan algebra unsur matriks segi empat sama dipanggil minor (n-1) ke tertib, yang diperoleh daripada matriks TAPI, memadamkan elemennya i-th garisan dan ke-j lajur didarab dengan .

Pelengkap algebra bagi suatu unsur dilambangkan sebagai . Oleh itu, .

Sebagai contoh, untuk matriks pelengkap algebra bagi unsur tersebut ialah .

Kedua, kita memerlukan dua sifat penentu, yang kita bincangkan dalam bahagian ini pengiraan penentu matriks:

Berdasarkan sifat penentu ini, definisi operasi mendarab matriks dengan nombor dan konsep matriks songsang, kita mempunyai kesamaan , di manakah matriks terpindah yang unsurnya ialah pelengkap algebra .

Matriks memang songsang bagi matriks TAPI, sejak persamaan . Jom tunjuk

Jom mengarang algoritma matriks songsang menggunakan persamaan .

Mari analisa algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan contoh.

Contoh.

Diberi matriks . Cari matriks songsang.

Penyelesaian.

Kirakan penentu matriks TAPI, mengembangkannya dengan elemen lajur ketiga:

Penentu bukan sifar, jadi matriks TAPI boleh diterbalikkan.

Mari cari matriks daripada penambahan algebra:

sebab tu

Mari kita laksanakan transposisi matriks daripada penambahan algebra:

Sekarang kita dapati matriks songsang sebagai :

Mari semak hasilnya:

Kesaksamaan dilaksanakan, oleh itu, matriks songsang ditemui dengan betul.

Sifat matriks songsang.

Konsep matriks songsang, kesamaan , takrifan operasi pada matriks, dan sifat penentu sesuatu matriks memungkinkan untuk membuktikan perkara berikut sifat matriks songsang:

Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.

Pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks songsang bagi matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n.

Kaedah ini adalah berdasarkan penyelesaian n sistem persamaan algebra tak homogen linear dengan n tidak diketahui. Pembolehubah yang tidak diketahui dalam sistem persamaan ini ialah unsur-unsur matriks songsang.

Ideanya sangat mudah. Nyatakan matriks songsang sebagai X, itu dia, . Oleh kerana mengikut takrifan matriks songsang , maka

Menyamakan elemen yang sepadan dengan lajur, kita dapat n sistem persamaan linear

Kami menyelesaikannya dalam apa jua cara dan membentuk matriks songsang daripada nilai yang ditemui.

Mari analisa kaedah ini dengan contoh.

Contoh.

Diberi matriks . Cari matriks songsang.

Penyelesaian.

Terima . Kesamaan memberi kita tiga sistem persamaan algebra tak homogen linear:

Kami tidak akan menerangkan penyelesaian sistem ini; jika perlu, rujuk bahagian penyelesaian sistem persamaan algebra linear.

Daripada sistem persamaan pertama kita ada , daripada kedua - , daripada ketiga - . Oleh itu, matriks songsang yang dikehendaki mempunyai bentuk . Kami mengesyorkan menyemak untuk memastikan keputusan adalah betul.

rumuskan.

Kami mempertimbangkan konsep matriks songsang, sifatnya dan tiga kaedah untuk mencarinya.

Contoh Penyelesaian Matriks Songsang

Latihan 1. Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Permulaan borang

Tamat borang

Penyelesaian. Mari kita tulis matriks dalam bentuk: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Penentu utama Minor untuk (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor untuk (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor untuk (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor untuk (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Penentu kecil ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Matriks terpindah Pelengkap algebra ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matriks Songsang Hasil Vektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

lihat juga Penyelesaian SLAE dengan kaedah matriks songsang dalam talian. Untuk melakukan ini, masukkan data anda dan dapatkan keputusan dengan ulasan terperinci.

Tugasan 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikannya menggunakan matriks songsang. Semak penyelesaian yang diperolehi. Penyelesaian:xml:xls

Contoh 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang. Penyelesaian:xml:xls

Contoh. Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Dikehendaki: 1) cari penyelesaiannya menggunakan Formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks. Garis panduan. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari butang "Penyelesaian matriks songsang untuk data awal". Anda akan menerima keputusan yang sesuai. Oleh itu, data tidak perlu diisi lagi. Penyelesaian. Nyatakan dengan A - matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Memandangkan tatatanda ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: А*Х = B. Jika matriks А bukan tunggal (penentunya ialah bukan sifar, maka ia mempunyai matriks songsang А -1. Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Kesamaan ini dipanggil tatatanda matriks bagi penyelesaian sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1 . Sistem akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A adalah bukan sifar. Mari cari penentu utama. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Jadi, penentunya ialah 14 ≠ 0, jadi kita teruskan penyelesaian. Untuk melakukan ini, kita mencari matriks songsang melalui penambahan algebra. Mari kita mempunyai matriks bukan tunggal A:

Kami mengira penambahan algebra.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Peperiksaan. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Jawapan: -1,1,2.