Persamaan am dinamik. Dinamik analitikal

Persamaan umum dinamik untuk sistem dengan sebarang sambungan (gabungan prinsip D'Alembert-Lagrange atau persamaan umum mekanik):

di manakah daya aktif digunakan pada titik ke-sistem; – kekuatan tindak balas ikatan; – daya inersia titik; - pergerakan yang mungkin.

Dalam kes keseimbangan sistem, apabila semua daya inersia titik sistem hilang, ia bertukar menjadi prinsip anjakan yang mungkin. Ia biasanya digunakan untuk sistem dengan sambungan yang ideal, yang mana keadaannya dipenuhi

Dalam kes ini (229) mengambil salah satu bentuk:

. (230)

Oleh itu, mengikut persamaan umum dinamik, pada bila-bila masa pergerakan sistem dengan sambungan yang ideal, jumlah kerja asas semua daya aktif dan daya inersia titik sistem adalah sama dengan sifar pada mana-mana pergerakan sistem yang mungkin dibenarkan. oleh sambungan.

Persamaan umum dinamik boleh diberikan bentuk lain yang setara. Memperluas produk skalar vektor, ia boleh dinyatakan sebagai

di manakah koordinat bagi titik ke-sistem itu. Memandangkan unjuran daya inersia pada paksi koordinat melalui unjuran pecutan pada paksi ini dinyatakan oleh hubungan

persamaan am dinamik boleh diberi bentuk

Dalam bentuk ini ia dipanggil persamaan am dinamik dalam bentuk analisis.

Apabila menggunakan persamaan umum dinamik, adalah perlu untuk dapat mengira kerja asas daya inersia sistem pada kemungkinan anjakan. Untuk melakukan ini, gunakan formula yang sepadan untuk kerja asas yang diperoleh untuk daya biasa. Mari kita pertimbangkan penggunaannya kepada daya inersia jasad tegar dalam kes-kes tertentu pergerakannya.

Semasa gerakan ke hadapan. Dalam kes ini, badan mempunyai tiga darjah kebebasan dan, disebabkan oleh kekangan yang dikenakan, hanya boleh melakukan gerakan translasi. Kemungkinan pergerakan badan yang membolehkan sambungan juga adalah translasi.

Daya inersia semasa gerakan translasi dikurangkan kepada paduan . Untuk jumlah kerja asas daya inersia pada kemungkinan pergerakan translasi jasad, kita perolehi

di manakah kemungkinan anjakan pusat jisim dan mana-mana titik jasad, kerana kemungkinan anjakan translasi semua titik jasad adalah sama: pecutan juga sama, i.e.

Apabila jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap. Badan dalam kes ini mempunyai satu darjah kebebasan. Ia boleh berputar mengelilingi paksi tetap. Pergerakan yang mungkin yang dibenarkan oleh sambungan bertindih juga merupakan putaran badan dengan sudut asas di sekeliling paksi tetap.

Daya inersia yang dikurangkan kepada satu titik pada paksi putaran dikurangkan kepada vektor utama dan momen utama. Vektor utama daya inersia digunakan pada titik tetap, dan kerja asasnya pada kemungkinan anjakan adalah sifar. Untuk momen utama daya inersia, kerja asas bukan sifar akan dilakukan hanya dengan unjurannya ke paksi putaran. Oleh itu, untuk jumlah kerja daya inersia pada kemungkinan anjakan yang sedang dipertimbangkan kita ada

jika sudut dilaporkan dalam arah anak panah lengkok pecutan sudut.

Dalam gerakan rata. Dalam kes ini, kekangan yang dikenakan pada badan tegar hanya membenarkan pergerakan planar yang mungkin. Dalam kes umum, ia terdiri daripada pergerakan translasi yang mungkin bersama-sama dengan tiang, yang mana kita memilih pusat jisim, dan putaran melalui sudut asas di sekeliling paksi yang melalui pusat jisim dan berserenjang dengan satah yang selari dengannya. badan boleh melakukan gerakan satah.

Oleh kerana daya inersia dalam gerakan satah jasad tegar boleh dikurangkan kepada vektor utama dan momen utama (jika kita memilih pusat jisim sebagai pusat pengurangan), maka jumlah kerja asas daya inersia pada anjakan mungkin satah akan dikurangkan kepada kerja asas vektor balik daya inersia pada kemungkinan anjakan pusat jisim dan kerja asas momen utama daya inersia pada anjakan putaran asas di sekeliling paksi yang melalui pusat jisim. Dalam kes ini, kerja asas bukan sifar boleh dilakukan hanya dengan unjuran momen utama daya inersia ke paksi, i.e. . Oleh itu, dalam kes yang sedang dipertimbangkan kita ada

pengenalan

Kinematik memperkatakan perihalan jenis pergerakan mekanikal yang paling mudah. Dalam kes ini, sebab-sebab yang menyebabkan perubahan dalam kedudukan badan berbanding badan lain tidak disentuh, dan sistem rujukan dipilih atas sebab kemudahan apabila menyelesaikan masalah tertentu. Dalam dinamik, pertama sekali, sebab mengapa sesetengah badan mula bergerak relatif kepada badan lain, serta faktor yang menyebabkan penampilan pecutan, adalah menarik. Walau bagaimanapun, undang-undang dalam mekanik, secara tegasnya, mempunyai bentuk yang berbeza dalam sistem rujukan yang berbeza. Telah ditetapkan bahawa terdapat sistem rujukan sedemikian di mana undang-undang dan coraknya tidak bergantung kepada pilihan sistem rujukan. Sistem rujukan sedemikian dipanggil sistem inersia(ISO). Dalam sistem rujukan ini, magnitud pecutan hanya bergantung pada daya bertindak dan tidak bergantung pada pilihan sistem rujukan. Rangka rujukan inersia ialah kerangka rujukan heliosentrik, yang asalnya berada di pusat Matahari. Sistem rujukan yang bergerak secara seragam secara rectilinear berbanding sistem inersia juga adalah inersia, dan sistem rujukan yang bergerak dengan pecutan berbanding dengan sistem inersia adalah bukan inersia. Atas sebab-sebab ini, permukaan bumi, secara tegasnya, adalah kerangka rujukan bukan inersia. Dalam banyak masalah, bingkai rujukan yang dikaitkan dengan Bumi boleh dianggap inersia dengan tahap ketepatan yang baik.

Undang-undang asas dinamik dalam inersia dan bukan inersia

Sistem rujukan

Keupayaan badan untuk mengekalkan keadaan gerakan rectilinear seragam atau berada dalam keadaan rehat dalam ISO dipanggil inersia badan. Ukuran inersia badan ialah berat badan. Jisim ialah kuantiti skalar, diukur dalam kilogram (kg) dalam sistem SI. Ukuran interaksi ialah kuantiti yang dipanggil secara paksaan. Daya ialah kuantiti vektor, diukur dalam Newton (N) dalam sistem SI.

Hukum pertama Newton. Dalam sistem rujukan inersia, titik bergerak secara seragam dalam garis lurus atau berada dalam keadaan pegun jika jumlah semua daya yang bertindak ke atasnya adalah sama dengan sifar, iaitu:

di manakah daya yang bertindak pada titik tertentu.

Hukum kedua Newton. Dalam sistem inersia, jasad bergerak dengan pecutan jika jumlah semua daya yang bertindak ke atasnya tidak sama dengan sifar, dan hasil darab jisim jasad dan pecutannya adalah sama dengan jumlah daya ini, iaitu:

Hukum ketiga Newton. Daya yang badan bertindak antara satu sama lain adalah sama besarnya dan bertentangan arah, iaitu: .

Daya, sebagai ukuran interaksi, sentiasa dilahirkan secara berpasangan.

Untuk berjaya menyelesaikan kebanyakan masalah menggunakan undang-undang Newton, adalah perlu untuk mematuhi urutan tindakan tertentu (sejenis algoritma).

Perkara utama algoritma.

1. Menganalisis keadaan masalah dan mengetahui dengan badan mana badan yang berkenaan berinteraksi. Berdasarkan ini, tentukan jumlah daya yang bertindak ke atas badan berkenaan. Katakan bilangan daya yang bertindak ke atas badan adalah sama dengan . Kemudian buat lukisan yang betul secara skematik untuk memplot semua daya yang bertindak ke atas badan.

2. Dengan menggunakan keadaan masalah, tentukan arah pecutan jasad yang dimaksudkan, dan gambarkan vektor pecutan dalam rajah.

3. Tulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor, iaitu:

di mana daya yang bertindak ke atas badan.

4. Pilih sistem rujukan inersia. Lukiskan dalam rajah satu sistem koordinat Cartesan segi empat tepat, paksi OX yang diarahkan sepanjang vektor pecutan, paksi OY dan OZ diarahkan berserenjang dengan paksi OX.

5. Dengan menggunakan sifat asas kesamaan vektor, tuliskan hukum kedua Newton untuk unjuran vektor pada paksi koordinat, iaitu:

6. Jika dalam masalah, sebagai tambahan kepada daya dan pecutan, adalah perlu untuk menentukan koordinat dan kelajuan, maka sebagai tambahan kepada undang-undang kedua Newton, ia juga perlu menggunakan persamaan kinematik gerakan. Setelah menulis sistem persamaan, adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui dalam masalah ini.

Mari kita pertimbangkan bingkai rujukan bukan inersia yang berputar dengan halaju sudut malar di sekeliling paksi yang bergerak secara translasi dengan kelajuan berbanding dengan bingkai inersia. Dalam kes ini, pecutan titik dalam bingkai inersia () berkaitan dengan pecutan dalam bingkai bukan inersia () oleh hubungan:

di mana ialah pecutan sistem bukan inersia berbanding sistem inersia, kelajuan linear suatu titik dalam sistem bukan inersia. Daripada hubungan terakhir, bukannya pecutan, kita menggantikan dalam kesamaan (1), kita memperoleh ungkapan:

Nisbah ini dipanggil Hukum kedua Newton dalam rangka rujukan bukan inersia.

Daya inersia. Mari kita perkenalkan notasi berikut:

1. – daya inersia ke hadapan;

2. – daya Coriolis;

3 – daya emparan inersia.

Dalam masalah, daya translasi inersia digambarkan terhadap vektor dengan pecutan gerakan translasi kerangka rujukan bukan inersia (), daya emparan inersia diwakili dari pusat putaran sepanjang jejari (); arah daya Coriolis ditentukan oleh peraturan gimlet untuk hasil silang vektor.

Tegasnya, daya inersia bukanlah daya dalam erti kata penuh, kerana Undang-undang ketiga Newton tidak berlaku untuk mereka, i.e. mereka tidak berpasangan.

Kuasa

Daya graviti sejagat. Daya graviti universal timbul dalam proses interaksi antara jasad dengan jisim dan dikira daripada hubungan:

. (4)

Pekali perkadaran dipanggil pemalar graviti. Nilainya dalam sistem SI adalah sama dengan .

Kuasa tindak balas. Daya tindak balas timbul apabila jasad berinteraksi dengan pelbagai struktur yang mengehadkan kedudukannya di angkasa. Sebagai contoh, jasad yang digantung pada benang digerakkan oleh daya tindak balas, biasanya dipanggil daya ketegangan. Daya ketegangan benang sentiasa diarahkan sepanjang benang. Tiada formula untuk mengira nilainya. Biasanya nilainya didapati sama ada daripada hukum pertama atau kedua Newton. Daya tindak balas juga termasuk daya yang bertindak ke atas zarah pada permukaan licin. Mereka memanggilnya daya tindak balas normal, menandakan . Daya tindak balas sentiasa diarahkan berserenjang dengan permukaan yang dipertimbangkan. Daya yang bertindak pada permukaan licin dari sisi badan dipanggil daya tekanan biasa(). Menurut undang-undang ketiga Newton, daya tindak balas adalah sama dalam magnitud dengan daya tekanan normal, tetapi vektor-vektor daya ini bertentangan arah.

Daya kenyal. Daya elastik timbul dalam badan jika badan itu cacat, i.e. jika bentuk badan atau isipadunya berubah. Apabila ubah bentuk berhenti, daya keanjalan hilang. Perlu diingatkan bahawa, walaupun daya elastik timbul semasa ubah bentuk badan, ubah bentuk tidak selalu membawa kepada kemunculan daya elastik. Daya elastik timbul dalam badan yang mampu memulihkan bentuknya selepas pemberhentian pengaruh luar. Badan sedemikian dan ubah bentuk yang sepadan dipanggil anjal. Dengan ubah bentuk plastik, perubahan tidak hilang sepenuhnya selepas pemberhentian pengaruh luaran. Contoh ketara manifestasi daya kenyal boleh menjadi daya yang timbul dalam mata air tertakluk kepada ubah bentuk. Bagi ubah bentuk anjal yang berlaku pada jasad yang cacat, daya keanjalan sentiasa berkadar dengan magnitud ubah bentuk, iaitu:

, (5)

di mana ialah pekali keanjalan (atau kekakuan) spring, vektor ubah bentuk spring.

Kenyataan ini dipanggil undang-undang Hooke.

Daya geseran. Apabila satu badan bergerak di sepanjang permukaan badan lain, daya timbul yang menghalang pergerakan ini. Kuasa sedemikian biasanya dipanggil daya geseran gelongsor. Magnitud daya geseran statik boleh berbeza-beza bergantung pada daya luaran yang digunakan. Pada nilai tertentu daya luaran, daya geseran statik mencapai nilai maksimumnya. Selepas ini, badan mula meluncur. Telah terbukti secara eksperimen bahawa daya geseran gelongsor adalah berkadar terus dengan daya tekanan normal badan pada permukaan. Menurut undang-undang ketiga Newton, daya tekanan normal jasad pada permukaan sentiasa sama dengan daya tindak balas yang mana permukaan itu sendiri bertindak ke atas jasad yang bergerak. Dengan mengambil kira ini, formula untuk mengira magnitud daya geseran gelongsor mempunyai bentuk:

, (6)

di manakah magnitud daya tindak balas; pekali geseran gelongsor. Daya geseran gelongsor yang bertindak ke atas jasad yang bergerak sentiasa diarahkan terhadap kelajuannya, di sepanjang permukaan yang bersentuhan.

Kuasa penentangan. Apabila jasad bergerak dalam cecair dan gas, daya geseran juga timbul, tetapi ia berbeza dengan ketara daripada daya geseran kering. Kuasa ini dipanggil daya geseran likat, atau daya rintangan. Daya geseran likat timbul hanya semasa pergerakan relatif jasad. Daya rintangan bergantung kepada banyak faktor, iaitu: pada saiz dan bentuk badan, pada sifat medium (ketumpatan, kelikatan), pada kelajuan gerakan relatif. Pada kelajuan rendah, daya seret adalah berkadar terus dengan kelajuan badan berbanding medium, iaitu:

. (7)

Pada kelajuan tinggi, daya seret adalah berkadar dengan kuasa dua kelajuan badan berbanding medium, iaitu:

, (8)

di mana terdapat beberapa pekali perkadaran, dipanggil pekali rintangan.

Persamaan asas dinamik

Persamaan asas dinamik titik material tidak lebih daripada ungkapan matematik hukum kedua Newton:

. (9)

Dalam rangka rujukan inersia, jumlah semua daya termasuk hanya daya yang merupakan ukuran interaksi dalam bingkai bukan inersia, jumlah daya termasuk daya inersia.

Dari sudut matematik, hubungan (9) ialah persamaan pembezaan pergerakan titik dalam bentuk vektor. Penyelesaiannya ialah masalah utama kedinamikan titik material.

Contoh penyelesaian masalah

Tugasan No 1. Gelas diletakkan di atas sehelai kertas. Dengan pecutan apakah helaian mesti digerakkan untuk menariknya keluar dari bawah kaca, jika pekali geseran antara kaca dan helaian kertas ialah 0.3?

Mari kita anggap bahawa dengan beberapa daya yang bertindak pada helaian kertas, kaca bergerak bersama-sama dengan helaian. Mari kita jelaskan secara berasingan daya yang bertindak pada kaca dengan jisim. Jasad berikut bertindak pada kaca: Bumi dengan daya graviti, sehelai kertas dengan daya tindak balas, sehelai kertas dengan daya geseran diarahkan sepanjang kelajuan pergerakan kaca. Pergerakan kaca dipercepatkan secara seragam, oleh itu, vektor pecutan diarahkan sepanjang kelajuan pergerakan kaca.

Mari kita gambarkan vektor pecutan kaca dalam rajah. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor untuk daya yang bertindak pada kaca:

Mari kita halakan paksi OX sepanjang vektor pecutan kaca, dan paksi OY ¾ menegak ke atas. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam unjuran pada paksi koordinat ini dan dapatkan persamaan berikut:

(1.1)

Apabila daya yang bertindak pada helaian kertas bertambah, magnitud daya geseran yang mana helaian kertas bertindak pada kaca bertambah. Pada nilai daya tertentu, magnitud daya geseran mencapai nilai maksimumnya, sama dengan magnitud daya geseran gelongsor. Dari saat ini kaca mula meluncur berbanding permukaan kertas. Nilai had daya geseran adalah berkaitan dengan daya tindak balas yang bertindak pada kaca seperti berikut:

Daripada kesamaan (1.2) kita menyatakan magnitud daya tindak balas, dan kemudian menggantikannya ke dalam hubungan terakhir, kita mempunyai . Daripada perhubungan yang terhasil kita dapati magnitud daya geseran dan meletakkannya dalam kesamaan (1.1), kita memperoleh ungkapan untuk menentukan pecutan maksimum kaca:

Menggantikan nilai berangka kuantiti ke dalam kesamaan terakhir, kita dapati nilai pecutan maksimum kaca:

Nilai pecutan kaca yang terhasil adalah sama dengan pecutan minimum sehelai kertas di mana ia boleh "ditarik keluar" dari bawah kaca.

Jawapan: .

Mari kita gambarkan semua daya yang bertindak ke atas badan. Sebagai tambahan kepada daya luaran, jasad itu digerakkan oleh Bumi dengan daya graviti, permukaan mendatar dengan daya tindak balas dan daya geseran yang diarahkan terhadap kelajuan jasad. Badan bergerak dengan pecutan seragam, dan, oleh itu, vektor pecutannya diarahkan sepanjang kelajuan pergerakan. Mari kita gambarkan vektor dalam rajah. Kami memilih sistem koordinat seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Kami menulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor:

Menggunakan sifat utama kesamaan vektor, kami menulis persamaan untuk unjuran vektor yang termasuk dalam kesamaan vektor terakhir:

Kami menulis hubungan untuk daya geseran gelongsor

Daripada kesamaan (2.2) kita dapati magnitud daya tindak balas

Daripada ungkapan yang terhasil, kita menggantikan dalam kesamaan (2.3) dan bukannya magnitud daya tindak balas, kita memperoleh ungkapan

Menggantikan ungkapan yang terhasil untuk daya geseran kepada kesamaan (2.1), kita akan mempunyai formula untuk mengira pecutan badan:

Mari kita gantikan data berangka dalam sistem SI ke dalam formula terakhir dan cari magnitud pecutan beban:

Jawapan: .

Untuk magnitud minimum daya, kami menentukan arah daya geseran yang bertindak pada blok rehat. Mari kita bayangkan bahawa daya adalah kurang daripada daya minimum yang mencukupi untuk badan kekal dalam keadaan rehat. Dalam kes ini, badan akan bergerak ke bawah, dan daya geseran yang dikenakan padanya akan diarahkan secara menegak ke atas. Untuk menghentikan badan, anda perlu meningkatkan magnitud daya yang dikenakan. Di samping itu, jasad ini digerakkan oleh Bumi dengan daya graviti yang diarahkan secara menegak ke bawah, serta oleh dinding dengan daya tindak balas yang diarahkan secara mendatar ke kiri. Mari kita gambarkan dalam rajah semua daya yang bertindak ke atas badan. Mari kita ambil sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, yang paksinya akan diarahkan seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Untuk badan yang diam, kami menulis hukum pertama Newton dalam bentuk vektor:

Untuk kesamaan vektor yang ditemui, kami menulis kesamaan untuk unjuran vektor pada paksi koordinat, kami memperoleh persamaan berikut:

Pada nilai minimum daya luaran, magnitud daya geseran statik mencapai nilai maksimum yang sama dengan magnitud daya geseran gelongsor:

Daripada kesamaan (3.1) kita dapati magnitud daya tindak balas dan menggantikannya kepada kesamaan (3.3), kita memperoleh ungkapan berikut untuk daya geseran:

Mari kita gantikan bahagian kanan hubungan ini dan bukannya daya geseran dalam kesamaan (3.2), dan dapatkan formula untuk mengira magnitud daya yang dikenakan:

Daripada formula terakhir kita dapati magnitud daya:

Jawapan: .

Mari kita gambarkan semua daya yang bertindak ke atas bola yang bergerak menegak ke bawah di udara. Ia bertindak oleh Bumi dengan daya graviti dan udara dengan daya rintangan. Mari kita gambarkan daya yang dipertimbangkan dalam rajah. Pada saat awal masa, paduan semua daya mempunyai nilai maksimum, kerana kelajuan bola adalah sifar dan daya rintangan juga sifar. Pada masa ini bola mempunyai pecutan maksimum sama dengan . Apabila bola bergerak, kelajuannya meningkat dan, akibatnya, daya rintangan udara meningkat. Pada satu ketika, daya rintangan mencapai nilai yang sama dengan daya graviti. Dari masa ini bola bergerak secara seragam. Mari kita tulis hukum pertama Newton dalam bentuk vektor untuk gerakan seragam bola:

Mari kita halakan paksi OY secara menegak ke bawah. Untuk kesamaan vektor ini, mari kita tulis kesamaan untuk unjuran vektor pada paksi OY:

. (4.1)

Daya rintangan bergantung pada luas keratan rentas bola dan magnitud kelajuannya seperti berikut:

, (4.2)

di mana adalah pekali perkadaran, dipanggil pekali rintangan.

Daripada kesamaan (4.1) dan (4.2) hubungan berikut berikut:

. (4.3)

Mari kita nyatakan jisim bola melalui ketumpatan dan isipadunya, dan isipadu, seterusnya, melalui jejari bola:

. (4.4)

Daripada ungkapan ini kita dapati jisim dan menggantikannya kepada kesamaan (4.3), kita memperoleh kesamaan berikut:

. (4.5)

Kami menyatakan luas keratan rentas bola dari segi jejarinya:

Dengan mengambil kira hubungan (4.6), kesamaan (4.5) akan mengambil bentuk berikut:

Mari kita nyatakan sebagai jejari bola pertama; sebagai jejari bola kedua. Mari kita tulis formula untuk kelajuan gerakan mantap bola pertama dan kedua:

Daripada kesamaan yang diperolehi kita dapati nisbah kelajuan:

Daripada keadaan masalah, nisbah jejari bola adalah sama dengan dua. Dengan menggunakan keadaan ini, kita dapati nisbah kelajuan:

Jawapan: .

Jasad yang bergerak ke atas sepanjang satah condong digerakkan oleh jasad luar: a) Bumi dengan graviti diarahkan menegak ke bawah; b) satah condong dengan daya tindak balas yang diarahkan berserenjang dengan satah condong; c) satah condong dengan daya geseran yang diarahkan terhadap pergerakan badan; d) jasad luar dengan daya diarahkan ke atas sepanjang satah condong. Di bawah pengaruh kuasa-kuasa ini, badan bergerak secara seragam dipercepatkan ke atas satah condong, dan, oleh itu, vektor pecutan diarahkan sepanjang pergerakan badan. Mari kita gambarkan vektor pecutan dalam rajah. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor:

Marilah kita memilih sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, paksi OX yang diarahkan sepanjang pecutan badan, dan paksi OY diarahkan berserenjang dengan satah condong. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam unjuran pada paksi koordinat ini dan dapatkan persamaan berikut:

Daya geseran gelongsor dikaitkan dengan daya tindak balas dengan hubungan berikut:

Daripada kesamaan (5.2) kita dapati magnitud daya tindak balas dan menggantikannya kepada kesamaan (5.3), kita mempunyai ungkapan berikut untuk daya geseran:

. (5.4)

Menggantikan bahagian kanan kesamaan (5.4) kepada kesamaan (5.1) dan bukannya daya geseran, kita memperoleh persamaan berikut untuk mengira magnitud daya yang diperlukan:

Mari kita hitung magnitud daya:

Jawapan: .

Mari kita gambarkan semua daya yang bertindak pada badan dan pada blok. Mari kita pertimbangkan proses pergerakan badan yang disambungkan oleh benang yang dilemparkan ke atas blok. Benang adalah tanpa berat dan tidak boleh dipanjangkan, oleh itu, magnitud daya tegangan pada mana-mana bahagian benang akan sama, i.e. Dan .

Anjakan jasad dalam mana-mana tempoh masa adalah sama, dan, oleh itu, pada bila-bila masa nilai halaju dan pecutan badan ini akan sama. Daripada fakta bahawa bongkah berputar tanpa geseran dan tanpa berat, ia berikutan bahawa daya tegangan benang pada kedua-dua belah bongkah akan sama, iaitu: .

Ini membayangkan kesamaan daya ketegangan benang yang bertindak pada badan pertama dan kedua, i.e. . Mari kita gambarkan dalam rajah vektor pecutan jasad pertama dan kedua. Mari kita gambarkan dua kapak LEMBU. Mari kita arahkan paksi pertama sepanjang vektor pecutan badan pertama, kedua - sepanjang vektor pecutan badan kedua. Mari kita tulis hukum kedua Newton untuk setiap badan dalam unjuran pada paksi koordinat ini:

Memandangkan , dan menyatakan daripada persamaan pertama, kita gantikan dalam persamaan kedua, kita dapat

Daripada kesamaan terakhir kita dapati nilai pecutan:

Daripada kesamaan (1) kita dapati magnitud daya tegangan:

Jawapan: , .

Apabila cincin kecil berputar di sekeliling lilitannya, dua daya bertindak ke atasnya: daya graviti, diarahkan menegak ke bawah, dan daya tindak balas, diarahkan ke arah pusat cincin. Mari kita gambarkan kuasa-kuasa ini dalam rajah, dan juga tunjukkan padanya trajektori cincin. Vektor pecutan sentripetal cincin terletak pada satah trajektori dan diarahkan ke arah paksi putaran. Mari kita gambarkan dalam rajah. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor untuk gelang berputar:

Mari kita pilih sistem koordinat segi empat tepat, paksi OX yang akan diarahkan sepanjang pecutan sentripetal, dan paksi OY - secara menegak ke atas sepanjang paksi putaran. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam unjuran pada paksi koordinat ini:

Daripada kesamaan (7.2) kita dapati magnitud daya tindak balas dan menggantikannya kepada kesamaan (7.1), kita memperoleh ungkapan:

. (7.3)

Pecutan sentripetal berkaitan dengan kelajuan putaran seperti berikut: , di manakah jejari putaran gelang kecil itu. Menggantikan sebelah kanan kesamaan terakhir ke dalam formula (7.3), kita memperoleh hubungan berikut:

. (7.4)

Daripada rajah itu kita dapati nilai tangen bagi sudut alfa . Dengan mengambil kira ungkapan ini, kesamaan (7.4) akan berbentuk:

Daripada persamaan terakhir kita dapati ketinggian yang diperlukan:

Jawapan: .

Tiga daya bertindak ke atas jasad yang berputar dengan cakera: graviti, daya tindak balas dan daya geseran yang diarahkan ke arah paksi putaran. Mari kita gambarkan semua daya dalam rajah. Mari kita tunjukkan dalam rajah ini arah vektor pecutan sentripetal. Kami menulis hukum kedua Newton dalam bentuk vektor:

Marilah kita memilih sistem koordinat Cartesan segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam unjuran pada paksi koordinat:

; (8.1)

. (8.2)

Mari kita tuliskan hubungan untuk pecutan sentripetal:

. (8.3)

Marilah kita menggantikan sebelah kanan kesamaan (8.3) dan bukannya pecutan sentripetal kepada kesamaan (8.1), kita memperoleh:

. (8.4)

Daripada kesamaan (8.4) adalah jelas bahawa magnitud daya geseran adalah berkadar terus dengan jejari putaran, oleh itu, apabila jejari putaran meningkat, daya geseran statik meningkat, dan pada nilai tertentu daya geseran statik mencapai a nilai maksimum sama dengan daya geseran gelongsor ().

Dengan mengambil kira kesamaan (8.2), kami memperoleh ungkapan untuk daya geseran statik maksimum:

Menggantikan bahagian kanan kesamaan yang terhasil dan bukannya daya geseran dengan kesamaan (4), kita memperoleh hubungan berikut:

Daripada persamaan ini kita dapati nilai mengehadkan jejari putaran:

Jawapan: .

Semasa penerbangan jatuh, dua daya bertindak ke atasnya: graviti dan daya seret. Mari kita gambarkan semua daya dalam rajah. Marilah kita memilih paksi terarah menegak OY, yang asalnya akan terletak di permukaan Bumi. Mari kita tulis persamaan asas dinamik:

Mengunjurkan kesamaan pada paksi OY, kita akan mempunyai hubungan berikut:

Mari kita bahagikan kedua-dua belah kesamaan terakhir dengan dan pada masa yang sama darab kedua-dua belah dengan , dengan mengambil kira bahawa , kita mendapat ungkapan:

Mari bahagikan kedua-dua belah ungkapan ini dengan , kita mendapat hubungan:

Kami menyepadukan hubungan yang terakhir dan mendapatkan pergantungan kelajuan pada masa: .

Kami mencari pemalar daripada keadaan awal ( ), kami memperoleh pergantungan kelajuan yang diingini pada masa:

Kami menentukan kelajuan maksimum dari keadaan :

Jawapan: ; .

Mari kita gambarkan dalam rajah daya yang bertindak pada keping. Mari kita tulis hukum kedua Newton dalam unjuran pada paksi OX, OY dan OZ

Kerana , maka untuk keseluruhan trajektori gerakan mesin basuh formula adalah sah untuk daya geseran, yang, dengan mengambil kira kesamaan untuk OZ, berubah kepada bentuk:

Dengan mengambil kira hubungan ini, kesamaan untuk paksi OX akan diambil kira

Kami mengunjurkan hukum kedua Newton pada tangen kepada trajektori keping pada titik yang sedang dipertimbangkan, dan kami memperoleh hubungan:

di manakah magnitud pecutan tangen. Membandingkan bahagian kanan kesamaan terakhir, kami membuat kesimpulan bahawa .

Sejak dan , kemudian mengambil kira hubungan sebelumnya kita mempunyai kesamaan , penyepaduan yang membawa kepada ungkapan , di mana pemalar penyepaduan. Mari kita gantikan dalam ungkapan terakhir , kita memperoleh pergantungan kelajuan pada sudut:

Mari kita tentukan pemalar daripada keadaan awal (apabila . ). Dengan mengambil kira perkara ini, kami menulis pergantungan terakhir

Nilai kelajuan minimum dicapai apabila , dan vektor kelajuan diarahkan selari dengan paksi OX dan nilainya adalah sama dengan .

Prinsip pergerakan yang mungkin: untuk keseimbangan sistem mekanikal dengan sambungan yang ideal, adalah perlu dan mencukupi bahawa jumlah kerja asas semua daya aktif yang bertindak ke atasnya untuk sebarang anjakan yang mungkin adalah sama dengan sifar. atau dalam unjuran: .

Prinsip anjakan yang mungkin menyediakan secara umum keadaan keseimbangan untuk mana-mana sistem mekanikal dan menyediakan kaedah umum untuk menyelesaikan masalah statik.

Jika sistem mempunyai beberapa darjah kebebasan, maka persamaan prinsip pergerakan yang mungkin disusun untuk setiap pergerakan bebas secara berasingan, i.e. akan terdapat banyak persamaan kerana sistem mempunyai darjah kebebasan.

Prinsip anjakan yang mungkin adalah mudah kerana apabila mempertimbangkan sistem dengan sambungan yang ideal, tindak balas mereka tidak diambil kira dan perlu beroperasi hanya dengan daya aktif.

Prinsip pergerakan yang mungkin dirumuskan seperti berikut:

Untuk mengawan. sistem yang tertakluk kepada sambungan yang ideal berada dalam keadaan rehat adalah perlu dan mencukupi bahawa jumlah kerja asas yang dilakukan oleh daya aktif pada kemungkinan anjakan titik dalam sistem adalah positif;

Persamaan am dinamik - apabila sistem bergerak dengan sambungan yang ideal pada bila-bila masa tertentu, jumlah kerja asas semua daya aktif yang digunakan dan semua daya inersia pada mana-mana pergerakan yang mungkin sistem akan sama dengan sifar. Persamaan menggunakan prinsip anjakan yang mungkin dan prinsip D'Alembert dan membolehkan anda mengarang persamaan pembezaan gerakan mana-mana sistem mekanikal. Memberi kaedah umum untuk menyelesaikan masalah dinamik.

Urutan kompilasi:

a) daya tertentu yang bertindak ke atasnya dikenakan pada setiap jasad, dan daya dan momen pasangan daya inersia juga dikenakan secara bersyarat;

b) memaklumkan sistem pergerakan yang mungkin;

c) buat persamaan untuk prinsip pergerakan yang mungkin, dengan mengambil kira sistem berada dalam keseimbangan.

Perlu diingatkan bahawa persamaan umum dinamik juga boleh digunakan untuk sistem dengan sambungan bukan ideal, hanya dalam kes ini tindak balas sambungan bukan ideal, seperti daya geseran atau momen geseran bergolek, mesti diklasifikasikan sebagai daya aktif. .

Kerja pada kemungkinan anjakan kedua-dua daya aktif dan inersia dicari dengan cara yang sama seperti kerja asas pada anjakan sebenar:

Kerja daya yang mungkin: .

Kerja momen yang mungkin (pasangan daya): .

Koordinat umum sistem mekanikal ialah parameter q 1 , q 2 , ..., q S, bebas antara satu sama lain, dari sebarang dimensi, yang secara unik menentukan kedudukan sistem pada bila-bila masa.

Bilangan koordinat umum adalah sama dengan S - bilangan darjah kebebasan sistem mekanikal. Kedudukan setiap titik ke-ν sistem, iaitu, vektor jejarinya, dalam kes umum, sentiasa boleh dinyatakan sebagai fungsi koordinat umum:

Persamaan umum dinamik dalam koordinat umum kelihatan seperti sistem persamaan S seperti berikut:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

berikut ialah daya umum yang sepadan dengan koordinat umum:

(26)

a ialah daya inersia umum yang sepadan dengan koordinat umum:

Bilangan pergerakan yang mungkin saling bebas bagi sesuatu sistem dipanggil bilangan darjah kebebasan sistem ini. Contohnya. bola di atas satah boleh bergerak ke mana-mana arah, tetapi sebarang pergerakan yang mungkin boleh didapati sebagai hasil tambah geometri dua pergerakan di sepanjang dua paksi yang saling berserenjang. Jasad tegar bebas mempunyai 6 darjah kebebasan.

Pasukan umum. Bagi setiap koordinat umum seseorang boleh mengira daya tenar yang sepadan Q k.

Pengiraan dibuat mengikut peraturan ini.

Untuk menentukan daya umum Q k, sepadan dengan koordinat umum q k, anda perlu memberikan koordinat ini kenaikan (meningkatkan koordinat dengan jumlah ini), meninggalkan semua koordinat lain tidak berubah, hitung jumlah kerja semua daya yang digunakan pada sistem pada anjakan titik yang sepadan dan bahagikannya dengan kenaikan koordinat:

(7)

di manakah anjakan i-titik sistem itu, diperoleh dengan menukar k-koordinat umum itu.

Daya umum ditentukan menggunakan kerja asas. Oleh itu, daya ini boleh dikira secara berbeza:

Dan kerana terdapat pertambahan vektor jejari disebabkan oleh pertambahan koordinat dengan koordinat dan masa malar yang lain t, hubungan itu boleh ditakrifkan sebagai terbitan separa. Kemudian

di mana koordinat titik adalah fungsi koordinat umum (5).

Jika sistem itu konservatif, iaitu, pergerakan berlaku di bawah pengaruh kuasa medan yang berpotensi, unjuran yang , di mana , dan koordinat titik ialah fungsi koordinat umum, maka

Daya umum sistem konservatif ialah terbitan separa tenaga keupayaan di sepanjang koordinat umum yang sepadan dengan tanda tolak.

Sudah tentu, apabila mengira daya umum ini, tenaga potensi harus ditentukan sebagai fungsi koordinat umum.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Nota.

Pertama. Apabila mengira daya tindak balas umum, sambungan ideal tidak diambil kira.

Kedua. Dimensi daya umum bergantung pada dimensi koordinat umum.

Persamaan Lagrange jenis ke-2 diperoleh daripada persamaan am dinamik dalam koordinat umum. Bilangan persamaan sepadan dengan bilangan darjah kebebasan:

(28)

Untuk menyusun persamaan Lagrange jenis ke-2, koordinat umum dipilih dan halaju umum ditemui . Tenaga kinetik sistem ditemui, yang merupakan fungsi halaju umum , dan, dalam beberapa kes, koordinat umum. Operasi pembezaan tenaga kinetik yang disediakan oleh bahagian kiri persamaan Lagrange dilakukan. Ungkapan yang terhasil disamakan dengan daya umum, untuk mencari yang, sebagai tambahan kepada formula (26), yang berikut sering digunakan semasa menyelesaikan masalah:

(29)

Dalam pengangka di sebelah kanan formula adalah jumlah kerja asas semua daya aktif pada kemungkinan anjakan sistem yang sepadan dengan variasi koordinat umum ke-i - . Dengan pergerakan yang mungkin ini, semua koordinat umum lain tidak berubah. Persamaan yang terhasil ialah persamaan pembezaan gerakan sistem mekanikal dengan S darjah kebebasan.

Persamaan umum dinamik untuk sistem dengan sebarang sambungan (gabungan prinsip D'Alembert-Lagrange atau persamaan umum mekanik):

di manakah daya aktif digunakan pada titik ke-sistem; – kekuatan tindak balas ikatan; – daya inersia titik; - pergerakan yang mungkin.

Dalam kes ini (229) mengambil salah satu bentuk:

. (230)

Persamaan umum dinamik boleh diberikan bentuk lain yang setara. Memperluas produk skalar vektor, ia boleh dinyatakan sebagai

di manakah koordinat bagi titik ke-sistem itu. Memandangkan unjuran daya inersia pada paksi koordinat melalui unjuran pecutan pada paksi ini dinyatakan oleh hubungan

persamaan am dinamik boleh diberi bentuk

Dalam bentuk ini ia dipanggil persamaan am dinamik dalam bentuk analisis.

Daya inersia semasa gerakan translasi dikurangkan kepada paduan . Untuk jumlah kerja asas daya inersia pada kemungkinan pergerakan translasi jasad, kita perolehi

di manakah kemungkinan anjakan pusat jisim dan mana-mana titik jasad, kerana kemungkinan anjakan translasi semua titik jasad adalah sama: pecutan juga sama, i.e.

jika sudut dilaporkan dalam arah anak panah lengkok pecutan sudut.

Prinsip anjakan yang mungkin menyediakan kaedah umum untuk menyelesaikan masalah statik. Sebaliknya, prinsip d'Alembert membenarkan penggunaan kaedah statik untuk menyelesaikan masalah dinamik. Oleh itu, dengan menggunakan kedua-dua prinsip ini secara serentak, kita boleh mendapatkan kaedah umum untuk menyelesaikan masalah dinamik.

Mari kita pertimbangkan sistem titik material di mana sambungan ideal dikenakan. Jika kita menambah daya inersia yang sepadan kepada semua titik sistem, sebagai tambahan kepada daya aktif dan tindak balas tindak balas yang bertindak ke atasnya, maka menurut prinsip d'Alembert, sistem daya yang terhasil akan berada dalam keseimbangan. Kemudian, menggunakan prinsip anjakan yang mungkin kepada daya ini, kita perolehi

Tetapi jumlah terakhir mengikut syarat (98) adalah sama dengan sifar dan akhirnya akan menjadi:

Prinsip D'Alembert-Lagrange berikut mengikut hasil yang diperoleh: apabila sistem mekanikal dengan sambungan ideal bergerak, pada setiap saat jumlah kerja asas semua daya aktif yang digunakan dan semua daya inersia pada mana-mana pergerakan sistem yang mungkin. akan sama dengan sifar.

Persamaan (102), yang menyatakan prinsip ini, dipanggil persamaan umum dinamik. Dalam bentuk analisis, persamaan (102) mempunyai bentuk

Persamaan (102) atau (103) membolehkan kita mengarang persamaan pembezaan gerakan sistem mekanikal.

Jika sistem adalah himpunan beberapa jasad pepejal, maka untuk membuat persamaan adalah perlu untuk menambah kepada daya aktif yang bertindak pada setiap jasad suatu daya yang dikenakan di mana-mana pusat sama dengan vektor utama daya inersia, dan pasangan dengan momen sama dengan momen utama daya inersia berbanding pusat ini (atau salah satu nilai ini, lihat § 134), dan kemudian gunakan prinsip pergerakan yang mungkin.

Masalah 173. Dalam pengawal selia emparan berputar secara seragam mengelilingi paksi menegak dengan halaju sudut c (Rajah 362), berat setiap bola dan adalah sama dengan berat gandingan sama dengan Q. Mengabaikan berat rod. , tentukan sudut a jika

Penyelesaian. Kami menambah daya inersia emparan kepada daya aktif (daya inersia gandingan jelas akan sama dengan sifar) dan menyusun persamaan dinamik am dalam bentuk (103). Kemudian, mengira unjuran semua daya pada paksi koordinat, kita perolehi

Koordinat titik penggunaan daya adalah sama:

Membezakan ungkapan ini, kami dapati:

Menggantikan semua nilai yang ditemui ke dalam persamaan (a), kita dapat

Dari sini akhirnya

Oleh kerana bola akan menyimpang apabila . Dengan peningkatan sudut a meningkat, cenderung kepada 90° pada

Masalah 174. Dalam lif yang ditunjukkan dalam Rajah. 363, momen berputar M dikenakan pada gear yang mempunyai berat dan jejari inersia relatif kepada paksinya Tentukan pecutan beban terangkat 3 dengan berat Q, mengabaikan berat tali dan geseran dalam paksi. Drum di mana tali dililit disambungkan dengan tegar ke gear lain; jumlah beratnya adalah sama dengan , dan jejari inersia relatif kepada paksi putaran Jejari gear adalah sama, masing-masing dengan jejari dram.

Penyelesaian. Kami menggambarkan daya aktif Q dan tork M bertindak pada sistem (daya tidak berfungsi); kita menambah kepada mereka daya inersia beban dan pasangan dengan momen dan yang mana daya inersia badan berputar dikurangkan (lihat § 134).