Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia

Institusi Pendidikan Belanjawan Negeri Persekutuan Pendidikan Profesional Tinggi

"Universiti Teknologi Negeri Kuban"

Mekanik teori

Bahagian 2 dinamik

Diluluskan oleh Editorial dan Penerbitan

majlis universiti sebagai

panduan belajar

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Mekanik teori. Bahagian 2. Dinamik: Buku Teks / L.I.Draiko; Kuban. negeri technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 p.

ISBN 5-230-06865-5

Bahan teori dibentangkan dalam bentuk ringkas, contoh penyelesaian masalah diberikan, kebanyakannya mencerminkan isu teknikal sebenar, perhatian diberikan kepada pilihan kaedah penyelesaian yang rasional.

Direka untuk sarjana muda surat-menyurat dan pembelajaran jarak jauh dalam bidang pembinaan, pengangkutan dan kejuruteraan.

Tab. 1 Rajah. 68 Bibliografi. 20 tajuk

Editor saintifik Calon Sains Teknikal, Prof. V.F. Melnikov

Penyemak: Ketua Jabatan Mekanik Teori dan Teori Mekanisme dan Mesin Universiti Agraria Kuban prof. F.M. Kanarev; Profesor Madya Jabatan Mekanik Teoretikal Universiti Teknologi Negeri Kuban M.E. Multykh

Diterbitkan dengan keputusan Majlis Editorial dan Penerbitan Universiti Teknologi Negeri Kuban.

Terbitkan semula

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Kata pengantar

Panduan belajar ini bertujuan untuk pelajar borang surat menyurat pengajaran pembinaan, pengangkutan dan kepakaran kejuruteraan, tetapi boleh digunakan apabila mempelajari bahagian "Dinamik" kursus mekanik teori oleh pelajar sambilan kepakaran lain, serta pelajar bentuk harian belajar sambil bekerja secara berdikari.

Manual ini disusun mengikut program semasa kursus mekanik teori, merangkumi semua isu bahagian utama kursus. Setiap bahagian mengandungi bahan teori ringkas, disediakan dengan ilustrasi dan garis panduan untuk kegunaannya dalam menyelesaikan masalah. Manual ini menganalisis penyelesaian 30 tugasan yang mencerminkan isu sebenar teknologi dan tugas kawalan yang sepadan untuknya penyelesaian bebas. Untuk setiap tugas, skema pengiraan dibentangkan yang menggambarkan penyelesaian dengan jelas. Reka bentuk penyelesaian mematuhi keperluan untuk reka bentuk peperiksaan pelajar separuh masa.

Penulis merakamkan setinggi-tinggi penghargaan kepada guru-guru Jabatan Mekanik Teori dan Teori Mekanisme dan Mesin Universiti Agraria Kuban kerana kerja yang hebat untuk menyemak buku teks, dan juga kepada guru-guru Jabatan Mekanik Teori Universiti Teknologi Negeri Kuban untuk komen dan nasihat yang berharga tentang penyediaan buku teks untuk penerbitan.

Segala komen dan hasrat yang kritikal akan diterima oleh penulis dengan penuh rasa syukur di masa hadapan.

pengenalan

Dinamik adalah cabang mekanik teori yang paling penting. Kebanyakan tugas khusus yang berlaku dalam amalan kejuruteraan berkaitan dengan dinamik. Dengan menggunakan kesimpulan statik dan kinematik, dinamik menetapkan undang-undang umum pergerakan badan bahan di bawah tindakan daya gunaan.

Objek material yang paling mudah ialah titik material. Untuk titik material, seseorang boleh mengambil badan material dari sebarang bentuk, dimensi yang dalam masalah yang sedang dipertimbangkan boleh diabaikan. Badan dengan dimensi terhingga boleh diambil sebagai titik material jika perbezaan dalam gerakan titiknya tidak ketara untuk masalah tertentu. Ini berlaku apabila dimensi badan adalah kecil berbanding dengan jarak yang dilalui oleh titik-titik badan. Setiap zarah badan padat ia boleh dipertimbangkan titik material.

Daya yang dikenakan pada titik atau badan material dinilai dalam dinamik dengan kesan dinamiknya, iaitu, dengan cara ia mengubah ciri pergerakan objek material.

Pergerakan objek material dari masa ke masa berlaku di ruang relatif kepada kerangka rujukan tertentu. Dalam mekanik klasik, berdasarkan aksiom Newton, ruang dianggap tiga dimensi, sifatnya tidak bergantung pada objek material yang bergerak di dalamnya. Kedudukan titik dalam ruang tersebut ditentukan oleh tiga koordinat. Masa tidak berkaitan dengan ruang dan pergerakan objek material. Ia dianggap sama untuk semua sistem rujukan.

Undang-undang dinamik menerangkan pergerakan objek material berhubung dengan paksi koordinat mutlak, secara konvensional diambil sebagai tak alih. Asal usul sistem koordinat mutlak diambil di pusat Matahari, dan paksi diarahkan ke bintang yang jauh dan pegun bersyarat. Apabila menyelesaikan banyak masalah teknikal, pegun bersyarat boleh dipertimbangkan paksi koordinat dikaitkan dengan bumi.

Pilihan pergerakan mekanikal objek material dalam dinamik ditubuhkan dengan potongan matematik daripada undang-undang asas mekanik klasik.

Undang-undang pertama (hukum inersia):

Titik material mengekalkan keadaan rehat atau seragam dan gerakan rectilinear sehingga tindakan mana-mana kuasa akan membawanya keluar dari negeri ini.

Pergerakan seragam dan rectilinear sesuatu titik dipanggil gerakan inersia. Rehat ialah kes khas pergerakan oleh inersia, apabila kelajuan sesuatu titik adalah sifar.

Mana-mana titik bahan mempunyai inersia, iaitu, ia cenderung untuk mengekalkan keadaan rehat atau gerakan rectilinear seragam. Rangka rujukan, yang berkaitan dengan hukum inersia dipenuhi, dipanggil inersia, dan gerakan yang diperhatikan berhubung dengan bingkai ini dipanggil mutlak. Sebarang kerangka rujukan yang melakukan translasi rectilinear dan gerakan seragam berbanding dengan bingkai inersia juga akan menjadi bingkai inersia.

Undang-undang kedua (undang-undang asas dinamik):

Pecutan titik material berbanding dengan kerangka rujukan inersia adalah berkadar dengan daya yang dikenakan pada titik dan bertepatan dengan daya dalam arah:
.

Ia mengikuti dari undang-undang asas dinamik bahawa dengan daya
pecutan
. Jisim titik mencirikan darjah rintangan titik kepada perubahan kelajuannya, iaitu, ia adalah ukuran inersia titik bahan.

Undang-undang ketiga (undang-undang tindakan dan tindak balas):

Daya yang dua jasad bertindak antara satu sama lain adalah sama besarnya dan diarahkan sepanjang satu garis lurus dalam arah yang bertentangan.

Daya yang dipanggil tindakan dan tindak balas dikenakan badan yang berbeza dan oleh itu tidak membentuk sistem yang seimbang.

Undang-undang keempat (undang-undang kebebasan tindakan pasukan):

Dengan tindakan serentak beberapa daya, pecutan titik material adalah sama dengan jumlah geometri pecutan yang akan ada pada titik di bawah tindakan setiap daya secara berasingan:

, di mana
,
,…,
.

KEMENTERIAN PERTANIAN DAN MAKANAN REPUBLIK BELARUS

Institusi Pendidikan "AGRARIAN NEGERI BELARUSIA

UNIVERSITI TEKNIKAL"

Jabatan Mekanik Teori dan Teori Mekanisme dan Mesin

MEKANIK TEORI

kompleks metodologi untuk pelajar kumpulan kepakaran

74 06 Kejuruteraan pertanian

Dalam 2 bahagian Bahagian 1

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Disusun oleh:

Calon Sains Fizikal dan Matematik, Profesor Madya Yu. S. Biza, calon sains teknikal, Profesor Madya N. L. Rakova, Pensyarah KananI. A. Tarasevich

Pengulas:

Jabatan Mekanik Teoretikal Penubuhan Pendidikan "Belarusian National Universiti Teknikal» (kepala

Jabatan Mekanik Teori BNTU Doktor Sains Fizikal dan Matematik, Profesor A. V. Chigarev);

Penyelidik Utama Makmal "Vibroprotection Sistem Mekanikal" Institusi Saintifik Negeri "Institut Bersama Kejuruteraan Mekanikal

Akademi Sains Kebangsaan Belarus", Calon Sains Teknikal, Profesor Madya A. M. Goman

Mekanik teori. Bahagian "Dinamik": pendidikan

kaedah T33. kompleks. Dalam 2 bahagian. Bahagian 1 / comp.: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

AT kompleks pendidikan dan kaedah membentangkan bahan mengenai kajian bahagian "Dinamik", bahagian 1, yang merupakan sebahagian daripada disiplin "Mekanik Teori". Termasuk kursus kuliah, bahan asas untuk pelaksanaan latihan amali, tugasan dan contoh tugasan untuk kerja dan kawalan bebas aktiviti pembelajaran pelajar sepenuh masa dan separuh masa.

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7

PENGENALAN ................................................. .................................................
1. KANDUNGAN SAINTIFIK DAN TEORI PENDIDIKAN
KOMPLEKS METODOLOGI ................................................ ..
1.1. Glosari................................................. ................................
1.2. Topik kuliah dan kandungannya ............................................ .. ..
Bab 1. Pengenalan kepada dinamik. Konsep asas
mekanik klasik ................................................ .................. ....................
Topik 1. Dinamik titik material............................................ ....
1.1. Undang-undang dinamik titik material
(undang-undang Galileo - Newton) ............................................. ... ..........
1.2. Persamaan pembezaan gerakan
1.3. Dua tugas utama dinamik ............................................. .............
Topik 2. Dinamik gerakan relatif
titik bahan ................................................ ................ .........................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Topik 3. Dinamik sistem mekanikal.....................................
3.1. Geometri jisim. Pusat jisim sistem mekanikal......
3.2. Pasukan Dalaman ................................................ .................. .................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Topik 4. Momen inersia jasad tegar .......................................
4.1. Detik inersia badan tegar
relatif kepada paksi dan kutub ............................................ ...................... .....
4.2. Teorem mengenai momen inersia jasad tegar
tentang paksi selari
(Teorem Huygens-Steiner) ............................................ .. ....
4.3. Momen inersia emparan .............................................. .
Soalan ulangkaji ................................................ .................. ............
bab 2 Teorem am dinamik titik bahan

Topik 5. Teorem tentang gerakan pusat jisim sistem ...............................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Tugasan untuk belajar sendiri .............................................. .......
Topik 6. Jumlah pergerakan titik material
dan sistem mekanikal .............................................. ................ ...................
6.1. Kuantiti pergerakan titik material 43
6.2. Impuls daya .............................................. ... .......................
6.3. Teorem tentang perubahan momentum
titik bahan ................................................ ................ ....................
6.4. Teorem perubahan vektor utama
momentum sistem mekanikal ..............................................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Tugasan untuk belajar sendiri .............................................. .......
Topik 7. Momen momentum titik material
dan sistem mekanikal relatif kepada pusat dan paksi ..................................
7.1. Momen momentum titik material
relatif kepada pusat dan paksi ............................................ .................. ...........
7.2. Teorem tentang perubahan momentum sudut
titik bahan relatif kepada pusat dan paksi .......................
7.3. Teorem tentang perubahan momen kinetik
sistem mekanikal relatif kepada pusat dan paksi ..................................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Tugasan untuk belajar sendiri .............................................. .......
Topik 8. Kerja dan kuasa kuasa ....................................... ... .........
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Tugasan untuk belajar sendiri .............................................. .......
Topik 9. Tenaga kinetik titik bahan
dan sistem mekanikal .............................................. ................ ...................
9.1. Tenaga kinetik titik bahan
dan sistem mekanikal. Teorem Koenig ..............................
9.2. Tenaga kinetik jasad tegar
dengan pergerakan yang berbeza .............................................. ................... .............
9.3. Tukar teorem tenaga kinetik
titik bahan ................................................ ................ ....................

9.4. Teorem perubahan tenaga kinetik
sistem mekanikal ................................................ .................. ................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Tugasan untuk belajar sendiri .............................................. .......
Topik 10. Medan daya berpotensi
dan tenaga keupayaan .............................................. ................ .................
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
Topik 11. Dinamik jasad tegar............................................ .......... .......
Soalan ulangkaji ................................................ .................. .............
2. BAHAN UNTUK KAWALAN
MENGIKUT MODUL................................................ ... ...................................
KERJA BEBAS PELAJAR ..............................
4. KEPERLUAN UNTUK REKA BENTUK KAWALAN
BEKERJA UNTUK PELAJAR SEPENUH MASA DAN SURAT MENYURAT
BENTUK LATIHAN ............................................... ................. .........................
5. SENARAI SOALAN PERSEDIAAN
KEPADA PEPERIKSAAN (KAJIAN) PELAJAR
PENDIDIKAN SEPENUH MASA DAN SURAT MENYURAT............................................ ......
6. SENARAI RUJUKAN ............................................. .. ............

PENGENALAN

Mekanik teori ialah sains undang-undang umum pergerakan mekanikal, keseimbangan dan interaksi badan material.

Ini adalah salah satu disiplin fizikal dan matematik saintifik am yang asas. Ia adalah asas teori teknologi moden.

Kajian mekanik teori, bersama-sama dengan disiplin fizikal dan matematik yang lain, menyumbang kepada pengembangan ufuk saintifik, membentuk keupayaan untuk konkrit dan pemikiran abstrak dan menyumbang kepada peningkatan budaya teknikal umum pakar masa depan.

Mekanik teori, menjadi asas saintifik semua disiplin teknikal, menyumbang kepada pembangunan kemahiran keputusan yang rasional tugas kejuruteraan berkaitan dengan pengendalian, pembaikan dan reka bentuk mesin dan peralatan pertanian dan penambakan.

Mengikut sifat tugas yang sedang dipertimbangkan, mekanik dibahagikan kepada statik, kinematik dan dinamik. Dinamik ialah bahagian mekanik teori yang mengkaji pergerakan badan material di bawah tindakan daya gunaan.

AT pendidikan dan berkaedah kompleks (UMK) membentangkan bahan mengenai kajian bahagian "Dinamik", yang merangkumi kursus kuliah, bahan asas untuk mengendalikan kerja amali, tugasan dan contoh pelaksanaan untuk kerja bebas dan kawalan aktiviti pendidikan pelajar separuh masa sepenuh masa.

AT hasil daripada mempelajari bahagian "Dinamik", pelajar mesti belajar asas teori dinamik dan kuasai kaedah asas untuk menyelesaikan masalah dinamik:

Mengetahui kaedah untuk menyelesaikan masalah dinamik, teorem am dinamik, prinsip mekanik;

Untuk dapat menentukan undang-undang pergerakan badan bergantung kepada daya yang bertindak ke atasnya; menggunakan undang-undang dan teorem mekanik untuk menyelesaikan masalah; tentukan tindak balas statik dan dinamik bagi ikatan yang mengehadkan pergerakan jasad.

Kurikulum disiplin "Mekanik Teori" menyediakan jumlah jam bilik darjah - 136, termasuk 36 jam untuk mempelajari bahagian "Dinamik".

1. KANDUNGAN SAINTIFIK DAN TEORI KOMPLEKS PENDIDIKAN DAN METODOLOGI

1.1. Glosari

Statik ialah bahagian mekanik yang menggariskan doktrin umum daya, pengurangan dikaji sistem yang kompleks daya kepada bentuk termudah dan keadaan keseimbangan diwujudkan pelbagai sistem angkatan.

Kinematik ialah cabang mekanik teori di mana pergerakan objek material dikaji, tanpa mengira punca yang menyebabkan pergerakan ini, iaitu, tanpa mengira daya yang bertindak ke atas objek ini.

Dinamik ialah bahagian mekanik teori yang mengkaji pergerakan jasad material (titik) di bawah tindakan daya gunaan.

Titik bahan- badan material, perbezaan dalam pergerakan mata yang tidak ketara.

Jisim jasad ialah nilai positif skalar yang bergantung kepada jumlah jirim yang terkandung dalam jasad tertentu dan menentukan ukuran inersianya semasa gerakan translasi.

Sistem rujukan - sistem koordinat yang berkaitan dengan badan, yang berkaitan dengan pergerakan badan lain sedang dikaji.

sistem inersia- sistem di mana undang-undang dinamik pertama dan kedua dipenuhi.

Momentum daya ialah ukuran vektor tindakan daya dalam beberapa waktu.

Kuantiti pergerakan titik material ialah ukuran vektor pergerakannya, sama dengan produk jisim titik dengan vektor halajunya.

Tenaga kinetik ialah ukuran skalar bagi gerakan mekanikal.

Kerja daya asas adalah sangat kecil skalar sama dengan produk titik vektor daya kepada vektor anjakan tak terhingga bagi titik penggunaan daya.

Tenaga kinetik ialah ukuran skalar bagi gerakan mekanikal.

Tenaga kinetik titik bahan ialah skalar

nilai positif sama dengan separuh hasil darab jisim titik dan kuasa dua kelajuannya.

Tenaga kinetik sistem mekanikal ialah aritme-

jumlah kinetik tenaga kinetik semua titik bahan sistem ini.

Daya ialah ukuran interaksi mekanikal badan, mencirikan keamatan dan arahnya.

1.2. Topik kuliah dan kandungannya

Bahagian 1. Pengenalan kepada dinamik. Konsep asas

mekanik klasik

Topik 1. Dinamik titik material

Undang-undang dinamik titik material (undang-undang Galileo - Newton). Persamaan pembezaan pergerakan titik bahan. Dua tugas utama dinamik untuk titik material. Penyelesaian masalah kedua dinamik; pemalar penyepaduan dan penentuannya daripada keadaan awal.

Rujukan:, ms 180-196, , ms 12-26.

Topik 2. Dinamik pergerakan relatif bahan

Pergerakan relatif bagi titik material. Persamaan pembezaan bagi gerakan relatif suatu titik; daya inersia mudah alih dan Coriolis. Prinsip relativiti dalam mekanik klasik. Satu kes rehat relatif.

Rujukan: , ms 180-196, , ms 127-155.

Topik 3. Geometri jisim. Pusat jisim sistem mekanikal

Jisim sistem. Pusat jisim sistem dan koordinatnya.

Sastera:, ms 86-93, ms 264-265

Topik 4. Momen inersia jasad tegar

Momen inersia jasad tegar mengenai paksi dan kutub. Jejari inersia. Teorem tentang momen inersia tentang paksi selari. Momen paksi inersia sesetengah jasad.

Momen inersia emparan sebagai ciri asimetri badan.

Rujukan: , ms 265-271, , ms 155-173.

Bahagian 2. Teorem am kedinamikan titik material

dan sistem mekanikal

Topik 5. Teorem tentang gerakan pusat jisim sistem

Teorem tentang gerakan pusat jisim sistem. Akibat daripada teorem mengenai gerakan pusat jisim sistem.

Rujukan: , ms 274-277, , ms 175-192.

Topik 6. Jumlah pergerakan titik material

dan sistem mekanikal

Kuantiti pergerakan titik bahan dan sistem mekanikal. Dorongan asas dan momentum daya untuk selang akhir masa. Teorem tentang perubahan momentum titik dan sistem dalam bentuk pembezaan dan kamiran. Hukum kekekalan momentum.

Sastera: , ms 280-284, , ms 192-207.

Topik 7. Momen momentum titik material

dan sistem mekanikal berbanding pusat dan paksi

Momen momentum titik mengenai pusat dan paksi. Teorem tentang perubahan momentum sudut suatu titik. Momen kinetik sistem mekanikal mengenai pusat dan paksi.

Momentum sudut suatu jasad tegar berputar mengenai paksi putaran. Teorem tentang perubahan momen kinetik sistem. Hukum kekekalan momentum.

Rujukan: , ms 292-298, , ms 207-258.

Topik 8. Kerja dan kuasa kuasa

Kerja daya asas, ungkapan analitikalnya. Kerja pasukan pada jalan akhir. Kerja graviti, daya kenyal. Kesamaan kepada sifar daripada jumlah kerja kuasa dalaman bertindak dalam pepejal. Kerja daya yang dikenakan pada jasad tegar yang berputar mengelilingi paksi tetap. Kuasa. Kecekapan.

Rujukan: , ms 208-213, , ms 280-290.

Topik 9. Tenaga kinetik titik bahan

dan sistem mekanikal

Tenaga kinetik titik bahan dan sistem mekanikal. Pengiraan tenaga kinetik jasad tegar dalam pelbagai kes pergerakannya. Teorem Koenig. Teorem tentang perubahan tenaga kinetik suatu titik dalam bentuk pembezaan dan kamiran. Teorem tentang perubahan tenaga kinetik sistem mekanikal dalam bentuk pembezaan dan kamiran.

Rujukan: , ms 301-310, , ms 290-344.

Topik 10. Medan daya potensi dan potensi

Konsep medan daya. Medan daya berpotensi dan fungsi daya. Kerja daya pada anjakan akhir titik dalam medan daya berpotensi. Tenaga keupayaan.

Rujukan: , ms 317-320, , ms 344-347.

Topik 11. Dinamik badan tegar

Persamaan Pembezaan pergerakan ke hadapan badan padat. Persamaan pembezaan gerakan berputar jasad tegar mengelilingi paksi tetap. bandul fizikal. Persamaan pembezaan gerakan satah jasad tegar.

Rujukan: , ms 323-334, , ms 157-173.

Bahagian 1. Pengenalan kepada dinamik. Konsep asas

mekanik klasik

Dinamik ialah bahagian mekanik teori yang mengkaji pergerakan jasad material (titik) di bawah tindakan daya gunaan.

badan material- badan yang mempunyai jisim.

Titik bahan- badan material, perbezaan dalam pergerakan mata yang tidak ketara. Ini boleh sama ada badan, yang dimensinya boleh diabaikan semasa pergerakannya, atau badan dengan dimensi terhingga, jika ia bergerak ke hadapan.

Zarah juga dipanggil titik material, di mana badan pepejal dibahagikan secara mental apabila menentukan beberapa ciri dinamiknya. Contoh titik material (Rajah 1): a - pergerakan Bumi mengelilingi Matahari. Bumi ialah titik material; b ialah gerakan translasi jasad tegar. Badan padat adalah ibu-

al point, sejak V B \u003d V A; a B = a A ; c - putaran badan di sekeliling paksi.

Zarah badan ialah titik material.

Inersia ialah sifat badan material untuk menukar kelajuan pergerakannya dengan lebih cepat atau lebih perlahan di bawah tindakan daya yang dikenakan.

Jisim jasad ialah nilai positif skalar yang bergantung kepada jumlah jirim yang terkandung dalam jasad tertentu dan menentukan ukuran inersianya semasa gerakan translasi. Dalam mekanik klasik, jisim adalah pemalar.

Kekuatan - ukuran kuantitatif interaksi mekanikal antara jasad atau antara jasad (titik) dan medan (elektrik, magnet, dll.).

Daya ialah kuantiti vektor yang dicirikan oleh magnitud, titik aplikasi dan arah (garis tindakan) (Rajah 2: A - titik aplikasi; AB - garis tindakan daya).

nasi. 2

Dalam dinamik, bersama-sama dengan daya malar, terdapat juga daya berubah yang boleh bergantung pada masa t, kelajuan ϑ, jarak r, atau pada gabungan kuantiti ini, i.e.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ ) .

	Contoh-contoh daya sedemikian ditunjukkan dalam Rajah. 3: a										- berat badan;
			(ϑ) – daya rintangan udara;b ​​−		T =						- daya tarikan

lokomotif elektrik; c − F = F (r) ialah daya tolakan dari pusat O atau tarikan kepadanya.

Sistem rujukan - sistem koordinat yang berkaitan dengan badan, yang berkaitan dengan pergerakan badan lain sedang dikaji.

Sistem inersia ialah sistem di mana hukum dinamik pertama dan kedua dipenuhi. Ini ialah sistem koordinat tetap atau sistem yang bergerak secara seragam dan rectilinear.

Pergerakan dalam mekanik ialah perubahan kedudukan sesuatu jasad dalam ruang dan masa berbanding jasad lain.

Ruang dalam mekanik klasik adalah tiga dimensi, mematuhi geometri Euclidean.

Masa ialah kuantiti skalar yang mengalir dengan cara yang sama dalam mana-mana sistem rujukan.

Sistem unit ialah satu set unit ukuran kuantiti fizik. Untuk mengukur semua kuantiti mekanikal, tiga unit asas adalah mencukupi: unit panjang, masa, jisim atau daya.

mekanikal	Dimensi		Notasi	Dimensi	Notasi
magnitud
				sentimeter
	kilogram-

Semua unit pengukuran kuantiti mekanikal yang lain adalah terbitan daripada ini. Dua jenis sistem unit digunakan: sistem antarabangsa Unit SI (atau lebih kecil - CGS) dan sistem teknikal unit - MKGSS.

Topik1. Dinamik titik bahan

1.1. Undang-undang dinamik titik material (undang-undang Galileo - Newton)

Hukum pertama (inersia).

diasingkan daripada pengaruh luar titik material mengekalkan keadaan rehatnya atau bergerak secara seragam dan lurus sehingga daya yang dikenakan memaksanya mengubah keadaan ini.

Pergerakan yang dibuat oleh titik tanpa ketiadaan daya atau di bawah tindakan sistem daya yang seimbang dipanggil gerakan inersia.

Sebagai contoh, pergerakan badan sepanjang licin (daya geseran adalah sifar) pergi-

permukaan mendatar (Rajah 4: G - berat badan; N - tindak balas biasa kapal terbang).

Oleh kerana G = − N , maka G + N = 0.

Apabila ϑ 0 ≠ 0 badan bergerak pada kelajuan yang sama; pada ϑ 0 = 0 jasad berada dalam keadaan rehat (ϑ 0 ialah halaju awal).

Undang-undang kedua (undang-undang asas dinamik).

Hasil darab jisim titik dan pecutan yang diterimanya di bawah tindakan daya tertentu adalah sama dalam nilai mutlak daya ini, dan arahnya bertepatan dengan arah pecutan.

a b

Secara matematik, undang-undang ini dinyatakan oleh kesamaan vektor

Untuk F = const,

a = const - gerakan titik adalah seragam. EU-

sama ada ≠ const, α

- gerakan perlahan (Rajah 5, tetapi);

a ≠ const,

a -

– gerakan dipercepatkan (Rajah 5, b);m – jisim titik;

vektor pecutan;

– daya vektor; ϑ 0 ialah vektor halaju).

Pada F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - titik bergerak secara seragam dan rectilinearly, atau pada ϑ 0 = 0 - ia berada dalam keadaan diam (hukum inersia). Kedua

undang-undang membenarkan anda mewujudkan hubungan antara jisim m badan yang terletak berhampiran permukaan bumi, dan beratnya G .G = mg , dengan g ialah

pecutan graviti.

Undang-undang ketiga (undang-undang kesamaan tindakan dan tindak balas). Dua titik material bertindak antara satu sama lain dengan daya yang sama besarnya dan diarahkan sepanjang garis lurus yang bersambung

titik ini, dalam arah yang bertentangan.

Oleh kerana daya F 1 = − F 2 dikenakan pada titik yang berbeza, maka sistem daya (F 1, F 2 ) tidak seimbang, iaitu (F 1, F 2 )≈ 0 (Rajah 6).

Pada gilirannya

m a = m a

- sikap

jisim titik yang berinteraksi adalah berkadar songsang dengan pecutannya.

Undang-undang keempat (undang-undang kebebasan tindakan kuasa). Pecutan yang diterima oleh titik di bawah tindakan serentak

tetapi beberapa kuasa jumlah geometri pecutan yang akan diterima oleh satu titik di bawah tindakan setiap daya secara berasingan padanya.

Penjelasan (Rajah 7).

Tan

a 1 a kF n

Daya R yang terhasil (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Oleh kerana ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , maka

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , iaitu hukum keempat bersamaan dengan

k = 1

peraturan penambahan daya.

1.2. Persamaan pembezaan pergerakan titik bahan

Biarkan beberapa daya bertindak serentak pada titik material, di antaranya terdapat pemalar dan pembolehubah.

Kami menulis undang-undang dinamik kedua dalam bentuk

= ∑

(t ,

k = 1

, ϑ=

r ialah vektor jejari bagi yang bergerak

titik, maka (1.2) mengandungi terbitan r dan merupakan persamaan pembezaan pergerakan titik bahan dalam bentuk vektor atau persamaan asas dinamik bagi titik bahan.

Unjuran kesamaan vektor (1.2): - pada paksi koordinat Cartesan (Rajah 8, tetapi)

maks=md
					= ∑Fkx;
					k = 1
boleh=md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz=m					= ∑Fkz;
					k = 1

Pada paksi semula jadi (Rajah 8, b)

tikar				= ∑ Fk τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n ;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b pada o

Persamaan (1.3) dan (1.4) ialah persamaan pembezaan pergerakan titik material dalam paksi koordinat Cartes dan paksi semula jadi, masing-masing, iaitu persamaan pembezaan semula jadi yang biasanya digunakan untuk gerakan melengkung titik jika trajektori titik dan jejari kelengkungannya diketahui.

1.3. Dua masalah utama dinamik untuk titik material dan penyelesaiannya

Tugas pertama (langsung).

Mengetahui hukum gerakan dan jisim titik, tentukan daya yang bertindak ke atas titik itu.

Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mengetahui pecutan titik. Dalam masalah jenis ini, ia boleh dinyatakan secara langsung, atau undang-undang pergerakan sesuatu titik ditentukan, mengikut mana ia boleh ditentukan.

1. Jadi, jika pergerakan sesuatu titik diberikan dalam koordinat Cartesan

x \u003d f 1 (t) , y \u003d f 2 (t) dan z \u003d f 3 (t) maka unjuran pecutan ditentukan

pada paksi koordinat x =		d2x			d2y			d2z		Dan kemudian - projek-
F x ,F y dan F z daya pada paksi ini:
				,k ) = F F z . (1.6) 2. Jika titik melakukan gerakan melengkung dan hukum gerakan diketahui s = f (t), trajektori titik dan jejari kelengkungannya ρ, maka adalah mudah untuk menggunakan paksi semula jadi, dan unjuran pecutan pada paksi ini ditentukan oleh formula yang terkenal: Paksi tangen a τ = d ϑ = d 2 2 s – pecutan tangen;dt dt RumahBiasa ds 2 a n = ϑ 2 = dt ialah pecutan normal. Unjuran pecutan ke binormal ialah sifar. Kemudian unjuran daya pada paksi semula jadi F=m F=m Modulus dan arah daya ditentukan oleh formula: F \u003d F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos( Tugas kedua (terbalik). Mengetahui daya yang bertindak pada titik, jisimnya dan keadaan awal pergerakan, tentukan hukum pergerakan sesuatu titik atau mana-mana ciri kinematiknya. Keadaan awal untuk pergerakan titik dalam paksi Cartesan ialah koordinat titik x 0, y 0, z 0 dan unjuran halaju awal ϑ 0 ke atas ini. paksi ϑ 0 x \u003d x 0, ϑ 0 y \u003d y 0 dan ϑ 0 z \u003d z 0 pada masa yang sepadan dengan memberikan permulaan gerakan titik dan diambil sama dengan sifar. Menyelesaikan masalah jenis ini dikurangkan kepada menyusun pembezaan persamaan pembezaan (atau satu persamaan) bagi gerakan titik bahan dan penyelesaiannya yang berikutnya dengan integrasi langsung atau menggunakan teori persamaan pembezaan. Ulangkaji soalan 1. Apakah kajian dinamik? 2. Apakah jenis gerakan yang dipanggil gerakan inersia? 3. Dalam keadaan apakah titik material akan berada dalam keadaan diam atau bergerak secara seragam dan lurus? 4. Apakah intipati masalah utama pertama bagi dinamik titik material? Tugasan kedua? 5. Tuliskan persamaan pembezaan semula jadi bagi gerakan suatu titik bahan. Tugasan untuk belajar sendiri 1. Titik berjisim m = 4 kg bergerak sepanjang garis lurus mengufuk dengan pecutan a = 0.3 t. Tentukan modul daya yang bertindak pada titik dalam arah pergerakannya pada masa t = 3 s. 2. Sebahagian daripada jisim m = 0.5 kg meluncur ke bawah dulang. Di sudut mana satah mendatar dulang mesti diletakkan supaya bahagian itu bergerak dengan pecutan a = 2 m / s 2? Ekspres sudut dalam darjah. 3. Titik dengan jisim m = 14 kg bergerak di sepanjang paksi Ox dengan pecutan a x = 2 t . Tentukan modulus daya yang bertindak pada titik dalam arah gerakan pada masa t = 5 s.

(SISTEM MEKANIKAL) - Pilihan IV

1. Persamaan asas bagi dinamik titik material, seperti yang diketahui, dinyatakan oleh persamaan . Persamaan pembezaan gerakan titik sewenang-wenang sistem mekanikal bukan bebas, mengikut dua kaedah pembahagian daya, boleh ditulis dalam dua bentuk:

(1) , dengan k=1, 2, 3, … , n ialah bilangan titik sistem bahan.

(2)

di manakah jisim titik k-th; - vektor jejari titik ke-k, - daya (aktif) yang diberikan yang bertindak pada titik ke-k atau paduan semua daya aktif yang bertindak pada titik ke-k. - paduan daya tindak balas ikatan, bertindak pada titik ke-k; - paduan daya dalaman yang bertindak pada titik ke-k; - terhasil kuasa luar bertindak pada titik kth.

Persamaan (1) dan (2) boleh digunakan untuk menyelesaikan kedua-dua masalah dinamik pertama dan kedua. Walau bagaimanapun, penyelesaian masalah kedua dinamik untuk sistem menjadi sangat rumit bukan sahaja dengan titik matematik penglihatan, tetapi juga kerana kita menghadapi kesukaran asas. Mereka terletak pada fakta bahawa kedua-dua untuk sistem (1) dan untuk sistem (2) bilangan persamaan adalah ketara. kurang daripada bilangan tidak diketahui.

Jadi, jika kita menggunakan (1), maka yang diketahui untuk masalah dinamik kedua (songsang) ialah dan , dan yang tidak diketahui akan menjadi dan . Persamaan vektor akan menjadi " n", dan tidak diketahui - "2n".

Jika kita meneruskan dari sistem persamaan (2), maka yang diketahui dan sebahagian daripada daya luaran . Kenapa bahagian? Hakikatnya ialah bilangan kuasa luar termasuk tindak balas luaran sambungan yang tidak diketahui. Di samping itu, akan ada juga yang tidak diketahui.

Oleh itu, kedua-dua sistem (1) dan sistem (2) adalah TERBUKA. Kita perlu menambah persamaan, dengan mengambil kira persamaan hubungan, dan mungkin kita masih perlu mengenakan beberapa sekatan ke atas hubungan itu sendiri. Apa nak buat?

Jika kita meneruskan dari (1), maka kita boleh mengikuti jalan menyusun persamaan Lagrange jenis pertama. Tetapi cara ini tidak rasional kerana tugas yang lebih mudah(kurang darjah kebebasan), semakin sukar untuk menyelesaikannya dari sudut pandangan matematik.

Kemudian mari kita perhatikan sistem (2), di mana - sentiasa tidak diketahui. Langkah pertama dalam menyelesaikan sistem adalah untuk menghapuskan yang tidak diketahui ini. Perlu diingat bahawa, sebagai peraturan, kita tidak berminat dengan daya dalaman semasa pergerakan sistem, iaitu, apabila sistem bergerak, tidak perlu mengetahui bagaimana setiap titik sistem bergerak, tetapi ia sudah cukup untuk mengetahui bagaimana sistem secara keseluruhannya bergerak.

Justeru, jika cara yang berbeza kecualikan daripada sistem (2) kuasa yang tidak diketahui, maka kita memperoleh beberapa hubungan, iaitu, beberapa Ciri-ciri umum untuk sistem, pengetahuan yang memungkinkan untuk menilai bagaimana sistem bergerak secara umum. Ciri-ciri ini diperkenalkan menggunakan apa yang dipanggil teorem umum dinamik. Terdapat empat teorem sedemikian:

1. Teorem tentang pergerakan pusat jisim sistem mekanikal;

2. Teorem tentang perubahan dalam momentum sistem mekanikal;

3. Teorem tentang perubahan momentum sudut sistem mekanikal;

4. Teorem tentang perubahan dalam tenaga kinetik sistem mekanikal.

Teorem tentang gerakan pusat jisim. Persamaan pembezaan gerakan sistem mekanikal. Teorem mengenai gerakan pusat jisim sistem mekanikal. Hukum kekekalan gerakan pusat jisim.

Teorem tentang perubahan momentum. Jumlah pergerakan titik material. Dorongan unsur daya. Impuls daya dalam tempoh masa yang terhad dan unjurannya pada paksi koordinat. Teorem mengenai perubahan momentum titik bahan dalam bentuk pembezaan dan terhingga.

Jumlah pergerakan sistem mekanikal; ungkapannya dari segi jisim sistem dan halaju pusat jisimnya. Teorem mengenai perubahan momentum sistem mekanikal dalam bentuk pembezaan dan terhingga. Hukum kekekalan momentum mekanikal

(Konsep badan dan titik jisim berubah-ubah. Persamaan Meshchersky. Formula Tsiolkovsky.)

Teorem tentang perubahan momen momentum. Momen momentum titik bahan relatif kepada pusat dan relatif kepada paksi. Teorem mengenai perubahan momentum sudut titik bahan. Pasukan pusat. Pemuliharaan momentum sudut bagi titik material dalam kes daya pusat. (Konsep kelajuan sektor. Undang-undang kawasan.)

Momen utama momentum atau momen kinetik sistem mekanikal mengenai pusat dan sekitar paksi. Momentum sudut suatu jasad tegar berputar mengenai paksi putaran. Teorem tentang perubahan momen kinetik sistem mekanikal. Undang-undang pemuliharaan momen kinetik sistem mekanikal. (Teorem tentang perubahan momen kinetik sistem mekanikal dalam gerakan relatif berkenaan dengan pusat jisim.)

Teorem tentang perubahan tenaga kinetik. Tenaga kinetik titik bahan. Kerja daya asas; ungkapan analitikal untuk kerja asas. Kerja daya pada anjakan akhir titik penggunaannya. Kerja daya graviti, daya keanjalan dan daya graviti. Teorem tentang perubahan tenaga kinetik titik bahan dalam bentuk pembezaan dan terhingga.

Tenaga kinetik sistem mekanikal. Formula untuk mengira tenaga kinetik jasad tegar semasa gerakan translasi, semasa putaran mengelilingi paksi tetap dan dalam kes am pergerakan (khususnya, dengan pergerakan selari satah). Teorem tentang perubahan tenaga kinetik sistem mekanikal dalam bentuk pembezaan dan terhingga. Kesamaan kepada sifar jumlah kerja daya dalaman dalam pepejal. Kerja dan kuasa daya yang dikenakan pada jasad tegar yang berputar mengelilingi paksi tetap.

Konsep medan daya. Medan daya berpotensi dan fungsi daya. Unjuran daya dari segi fungsi daya. Permukaan yang mempunyai potensi yang sama. Kerja daya pada anjakan akhir titik dalam medan daya berpotensi. Tenaga keupayaan. Contoh medan daya berpotensi: medan graviti seragam dan medan graviti. Undang-undang pemuliharaan tenaga mekanikal.

Dinamik Badan Tegar. Persamaan pembezaan gerakan translasi bagi jasad tegar. Persamaan pembezaan putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap. bandul fizikal. Persamaan pembezaan gerakan satah jasad tegar.

prinsip d'Alembert. prinsip d'Alembert untuk sesuatu perkara; daya inersia. Prinsip d'Alembert untuk sistem mekanikal. Membawa daya inersia titik-titik jasad tegar ke tengah; vektor utama dan titik utama daya inersia.

(Penentuan tindak balas dinamik galas semasa putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap. Kes apabila paksi putaran ialah paksi pusat utama inersia badan.)

Prinsip pergerakan yang mungkin dan persamaan umum dinamik. Hubungan yang dikenakan ke atas sistem mekanikal. Kemungkinan (atau maya) anjakan titik material dan sistem mekanikal. Bilangan darjah kebebasan sistem. Sambungan yang ideal. Prinsip pergerakan yang mungkin. Persamaan Am dinamik.

Persamaan gerakan sistem dalam koordinat umum (persamaan Lagrange). Koordinat sistem umum; kelajuan umum. Ungkapan kerja asas dalam koordinat umum. Daya umum dan pengiraannya; kes kuasa yang berpotensi. Keadaan keseimbangan untuk sistem dalam koordinat umum. Persamaan pembezaan gerakan sistem dalam koordinat umum atau persamaan Lagrange jenis ke-2. Persamaan Lagrange dalam kes daya berpotensi; Fungsi Lagrange (potensi kinetik).

Konsep kestabilan keseimbangan. Kecil getaran percuma sistem mekanikal dengan satu darjah kebebasan berhampiran kedudukan keseimbangan sistem yang stabil dan sifatnya.

Unsur-unsur teori impak. Fenomena kesan. Daya impak dan dorongan impak. Tindakan daya pukulan ke titik material. Teorem tentang perubahan momentum sistem mekanikal apabila hentaman. Kesan pusat langsung badan pada permukaan tetap; kesan anjal dan tak anjal. Pekali pemulihan kesan dan penentuan eksperimennya. Pukulan tengah langsung dua badan. Teorem Carnot.

BIBLIOGRAFI

asas

Butenin N. V., Lunts Ya-L., Merkin D. R. Kursus mekanik teori. Jld 1, 2. M., 1985 dan edisi sebelumnya.

Dobronravov V. V., Nikitin N. N. Kursus mekanik teori. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Mekanik teori. M., 1980.

Targ S. M. Kursus pendek dalam mekanik teori. M., 1986 dan edisi sebelumnya.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kursus mekanik teori. Bahagian 1. M., 1984 dan edisi sebelumnya.

Yablonsky A. A. Kursus mekanik teori. Bahagian 2. M., 1984 dan edisi sebelumnya.

Meshchersky I.V. Pengumpulan masalah dalam mekanik teori. M., 1986 dan edisi sebelumnya.

Pengumpulan masalah dalam mekanik teori / Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Tambahan

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Mekanik teori dalam contoh dan masalah. Bab 1, 2. M., 1984 dan edisi sebelumnya.

Pengumpulan masalah dalam mekanik teori / 5raznichen / co N. A., Kan V. L., Mintsberg B. L. et al. M., 1987.

Novozhilov I. V., Zatsepin M. F. Pengiraan piawai dalam mekanik teori berdasarkan komputer. M., 1986,

Pengumpulan tugasan untuk kertas penggal mengenai Mekanik Teori / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 dan edisi terdahulu (mengandungi contoh penyelesaian masalah).

Pertimbangkan pergerakan sistem isipadu bahan tertentu berbanding sistem koordinat tetap. Apabila sistem itu tidak bebas, maka ia boleh dianggap sebagai bebas, jika kita membuang kekangan yang dikenakan ke atas sistem dan menggantikan tindakannya dengan tindak balas yang sepadan.

Marilah kita membahagikan semua daya yang digunakan pada sistem kepada yang luaran dan dalaman; kedua-duanya mungkin termasuk tindak balas yang dibuang

sambungan. Nyatakan oleh dan vektor utama dan momen utama daya luar relatif kepada titik A.

1. Teorem tentang perubahan momentum. Jika ialah momentum sistem, maka (lihat )

iaitu, teorem adalah sah: terbitan masa bagi momentum sistem adalah sama dengan vektor utama semua daya luaran.

Menggantikan vektor melalui ungkapannya di mana adalah jisim sistem, ialah halaju pusat jisim, persamaan (4.1) boleh diberikan bentuk yang berbeza:

Kesamaan ini bermakna bahawa pusat jisim sistem bergerak sebagai titik material yang jisimnya sama dengan jisim sistem dan yang dikenakan daya yang secara geometri sama dengan vektor utama semua daya luaran sistem. Pernyataan terakhir dipanggil teorem mengenai gerakan pusat jisim (pusat inersia) sistem.

Jika kemudian daripada (4.1) ia mengikuti bahawa vektor momentum adalah malar dalam magnitud dan arah. Mengunjurkannya pada paksi koordinat, kami memperoleh tiga kamiran pertama skalar bagi persamaan pembezaan rantaian berganda sistem:

Kamiran ini dipanggil kamiran momentum. Apabila kelajuan pusat jisim adalah malar, iaitu, ia bergerak secara seragam dan selari.

Jika unjuran vektor utama daya luaran pada mana-mana satu paksi, sebagai contoh, pada paksi, adalah sama dengan sifar, maka kita mempunyai satu kamiran pertama, atau jika dua unjuran vektor utama adalah sama dengan sifar, maka terdapat dua kamiran momentum.

2. Teorem tentang perubahan momen kinetik. Biarkan A sedikit titik sewenang-wenangnya ruang (bergerak atau pegun), yang tidak semestinya bertepatan dengan mana-mana titik material tertentu sistem sepanjang masa pergerakan. Kami menyatakan halajunya dalam sistem koordinat tetap sebagai Teorem mengenai perubahan momentum sudut sistem bahan berbanding dengan titik A mempunyai bentuk

Jika titik A ditetapkan, maka kesamaan (4.3) mengambil bentuk yang lebih mudah:

Kesamaan ini menyatakan teorem mengenai perubahan momentum sudut sistem berkenaan dengan titik tetap: terbitan masa bagi momentum sudut sistem, dikira berkenaan dengan beberapa titik tetap, adalah sama dengan momen utama semua daya luar berkenaan dengan titik ini.

Jika kemudian, mengikut (4.4), vektor momentum sudut adalah malar dalam magnitud dan arah. Mengunjurkannya pada paksi koordinat, kami memperoleh kamiran pertama skalar bagi persamaan pembezaan gerakan sistem:

Kamiran ini dipanggil kamiran momentum sudut atau kamiran kawasan.

Jika titik A bertepatan dengan pusat jisim sistem, Maka sebutan pertama di sebelah kanan kesamaan (4.3) hilang dan teorem pada perubahan momentum sudut mempunyai bentuk yang sama (4.4) seperti dalam kes titik tetap A. Perhatikan (lihat 4 § 3) bahawa dalam kes yang sedang dipertimbangkan, momentum sudut mutlak sistem di sebelah kiri kesamaan (4.4) boleh digantikan dengan momentum sudut yang sama sistem dalam pergerakannya berbanding dengan pusat jisim.

Biarkan beberapa paksi malar atau paksi arah malar yang melalui pusat jisim sistem, dan biarkan momentum sudut sistem berbanding paksi ini. Daripada (4.4) ia mengikutinya

di manakah momen daya luar mengenai paksi. Jika sepanjang masa pergerakan maka kita mempunyai kamiran pertama

Dalam karya S. A. Chaplygin, beberapa generalisasi teorem mengenai perubahan momentum sudut diperolehi, yang kemudiannya digunakan dalam menyelesaikan beberapa masalah pada guling bola. Generalisasi lanjut teorem mengenai perubahan momen kpnetologi dan aplikasinya dalam masalah dinamika badan tegar terkandung dalam karya. Hasil utama kerja-kerja ini adalah berkaitan dengan teorem tentang perubahan momentum sudut berbanding dengan yang bergerak, sentiasa melalui beberapa titik bergerak A. Biarkan - vektor unit diarahkan sepanjang paksi ini. Mendarab secara skalar dengan kedua-dua belah kesamaan (4.3) dan menambah istilah kepada kedua-dua bahagiannya, kita memperoleh

Apabila keadaan kinematik dipenuhi

persamaan (4.5) mengikuti daripada (4.7). Dan jika keadaan (4.8) dipenuhi sepanjang masa pergerakan, maka kamiran pertama (4.6) wujud.

Jika sambungan sistem adalah ideal dan membenarkan putaran sistem sebagai badan tegar di sekeliling paksi dan dalam bilangan anjakan maya, maka momen utama tindak balas mengenai paksi dan adalah sama dengan sifar, dan kemudian nilai pada sebelah kanan persamaan (4.5) ialah momen utama semua daya aktif luaran mengenai paksi dan . Kesamaan kepada sifar saat ini dan kepuasan hubungan (4.8) akan berada dalam kes yang sedang dipertimbangkan syarat yang mencukupi untuk kewujudan kamiran (4.6).

Jika arah paksi dan tidak berubah, maka keadaan (4.8) boleh ditulis sebagai

Kesamaan ini bermakna unjuran halaju pusat jisim dan halaju titik A pada paksi dan pada satah berserenjang dengan ini adalah selari. Dalam karya S. A. Chaplygin, bukannya (4.9), diperlukan bahawa kurang daripada keadaan umum di mana X ialah pemalar arbitrari.

Perhatikan bahawa keadaan (4.8) tidak bergantung pada pilihan titik pada . Sesungguhnya, biarkan P ialah titik arbitrari pada paksi. Kemudian

dan oleh itu

Sebagai kesimpulan, kita perhatikan tafsiran geometri Resal bagi persamaan (4.1) dan (4.4): vektor kelajuan mutlak hujung vektor dan adalah sama masing-masing dengan vektor utama dan momen utama semua daya luaran berbanding dengan titik A.