Penjelasan tentang penjelmaan topik bagi ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua. Menggunakan sifat akar apabila mengubah ungkapan tidak rasional, contoh, penyelesaian

Pelajaran video "Transformasi ungkapan yang mengandungi operasi mengekstrak punca kuasa dua" adalah alat bantu visual yang memudahkan guru membentuk kemahiran dan kebolehan dalam menyelesaikan masalah yang mengandungi ungkapan dengan punca kuasa dua. Semasa pelajaran, asas teori yang berfungsi sebagai asas untuk menjalankan operasi pada nombor dan pembolehubah yang terdapat dalam ungkapan akar diingati, penyelesaian pelbagai jenis masalah yang mungkin memerlukan keupayaan untuk menggunakan formula untuk menukar ungkapan yang mengandungi segi empat sama. akar diterangkan, kaedah diberikan untuk menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.

Tutorial video bermula dengan menunjukkan tajuk topik. Adalah diperhatikan bahawa sebelum ini dalam pelajaran transformasi ungkapan rasional telah dilakukan. Pada masa yang sama, maklumat teori tentang monomial dan polinomial, kaedah untuk bekerja dengan polinomial, pecahan algebra, serta formula pendaraban yang disingkatkan digunakan. Tutorial video ini memperkenalkan pengenalan operasi punca kuasa dua untuk mengubah ungkapan. Pelajar diingatkan tentang sifat-sifat operasi punca kuasa dua. Di antara sifat-sifat ini, ditunjukkan bahawa selepas mengekstrak punca kuasa dua daripada kuasa dua nombor, nombor itu sendiri diperolehi, punca hasil darab dua nombor adalah sama dengan hasil darab dua punca nombor ini, punca hasil bagi dua nombor adalah sama dengan hasil bagi punca ahli hasil bagi. Sifat terakhir yang dipertimbangkan ialah pengekstrakan punca kuasa dua nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap √a 2 n , yang hasilnya membentuk nombor kepada kuasa a n . Sifat yang dipertimbangkan adalah sah untuk sebarang nombor bukan negatif.

Contoh dipertimbangkan di mana transformasi ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua diperlukan. Ia ditunjukkan bahawa dalam contoh ini disediakan bahawa a dan b ialah nombor bukan negatif. Dalam contoh pertama, adalah perlu untuk memudahkan ungkapan √16a 4 /9b 4 dan √a 2 b 4 . Dalam kes pertama, sifat digunakan yang menentukan bahawa punca kuasa dua hasil darab dua nombor adalah sama dengan hasil darab punca nombor tersebut. Hasil daripada penjelmaan, ungkapan ab 2 diperolehi. Ungkapan kedua menggunakan formula untuk menukar punca kuasa dua hasil bagi kepada hasil bagi punca. Hasil penjelmaan ialah ungkapan 4a 2 /3b 3 .

Dalam contoh kedua, adalah perlu untuk mengeluarkan faktor dari bawah tanda punca kuasa dua. Penyelesaian bagi ungkapan √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 dipertimbangkan. Menggunakan contoh penjelmaan empat ungkapan, ditunjukkan bagaimana formula untuk mengubah punca hasil darab beberapa nombor digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Pada masa yang sama, kes dicatat secara berasingan apabila ungkapan mengandungi pekali berangka, parameter dalam darjah genap, ganjil. Hasil daripada penjelmaan tersebut, ungkapan √81a=9√a, √32a 2 =4a√2, √9a 7 b 5 =3a 3 b 2 √ab diperolehi.

Dalam contoh ketiga, adalah perlu untuk melakukan operasi yang bertentangan dengan masalah sebelumnya. Untuk memasukkan faktor di bawah tanda punca kuasa dua, ia juga perlu untuk dapat menggunakan formula yang dikaji. Ia dicadangkan dalam ungkapan 2√2 dan 3a√b/√3a untuk memperkenalkan pendarab sebelum kurungan di bawah tanda akar. Menggunakan formula yang terkenal, faktor di hadapan tanda akar adalah kuasa dua dan diletakkan sebagai faktor dalam produk di bawah tanda akar. Dalam ungkapan pertama, hasil daripada penjelmaan, ungkapan √8 diperolehi. Dalam ungkapan kedua, formula kuda produk pertama kali digunakan untuk menukar pengangka, dan kemudian formula punca persendirian digunakan untuk menukar keseluruhan ungkapan. Selepas mengurangkan pengangka dan penyebut dalam ungkapan radikal, √3ab diperolehi.

Dalam contoh 4, anda perlu melakukan tindakan dalam ungkapan (√a+√b)(√a-√b). Untuk menyelesaikan ungkapan ini, pembolehubah baru diperkenalkan yang menggantikan monomial yang mengandungi tanda punca √a=x dan √b=y. selepas menggantikan pembolehubah baru, kemungkinan menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan adalah jelas, selepas itu ungkapan mengambil bentuk x 2 -y 2. Kembali kepada pembolehubah asal, kita mendapat a-b. Ungkapan kedua (√a+√b) 2 juga boleh ditukar menggunakan formula pendaraban terkurang. Selepas mengembangkan kurungan, kita mendapat keputusan a+2√ab+b.

Dalam contoh 5, ungkapan 4a-4√ab+b dan x√x+1 difaktorkan. Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu melakukan transformasi, pilih faktor biasa. Selepas menggunakan sifat punca kuasa dua untuk menyelesaikan ungkapan pertama, hasil tambah ditukar kepada kuasa dua beza (2√а-√b) 2 . Untuk menyelesaikan ungkapan kedua, adalah perlu untuk memasukkan pengganda di bawah akar sebelum tanda akar, dan kemudian gunakan formula untuk jumlah kiub. Hasil penjelmaan ialah ungkapan (√x+1)(x 2 -√x+1).

Contoh 6 menunjukkan penyelesaian masalah di mana perlu untuk memudahkan ungkapan (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). Masalah diselesaikan dalam empat langkah. Dalam langkah pertama, pengangka ditukarkan kepada produk menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan - jumlah kubus dua nombor. Dalam langkah kedua, penyebut ungkapan diubah, yang mengambil bentuk a-√3a+3. Selepas penukaran, ia menjadi mungkin untuk mengurangkan pecahan. Dalam langkah terakhir, formula pendaraban terkurang juga digunakan, yang membantu untuk mendapatkan keputusan akhir a-3.

Dalam contoh ketujuh, adalah perlu untuk menyingkirkan punca kuasa dua dalam penyebut pecahan 1/√2 dan 1/(√3-√2). Apabila menyelesaikan tugas, sifat utama pecahan digunakan. Untuk menghilangkan punca dalam penyebut, pengangka dan penyebut didarab dengan nombor yang sama, yang mengduakan ungkapan akar. Hasil daripada pengiraan, kita mendapat 1/√2=√2/2 dan 1/(√3-√2)=√3+√2.

Ciri-ciri bahasa matematik ditunjukkan apabila bekerja dengan ungkapan yang mengandungi akar. Adalah diperhatikan bahawa kandungan punca kuasa dua dalam penyebut pecahan bermakna kandungan tidak rasional. Dan menyingkirkan tanda akar dalam penyebut sedemikian dikatakan menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut. Kaedah diterangkan tentang cara untuk menghilangkan ketidakrasionalan - untuk mengubah penyebut bentuk √a, adalah perlu untuk mendarabkan pengangka serentak dengan penyebut dengan nombor √a, dan untuk menghapuskan ketidakrasionalan untuk penyebut bentuk √a -√b, pengangka dan penyebut didarab dengan ungkapan konjugat √a+√ b. Adalah diperhatikan bahawa menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut sedemikian sangat memudahkan penyelesaian masalah.

Pada akhir tutorial video, penyederhanaan ungkapan 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3) dipertimbangkan. Untuk memudahkan ungkapan, kaedah di atas untuk menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan digunakan. Ungkapan yang terhasil ditambah, selepas itu bentuk ungkapan yang dipermudahkan kelihatan seperti √5-2√3.

Pelajaran video "Penukaran ungkapan yang mengandungi operasi mengekstrak punca kuasa dua" disyorkan untuk digunakan dalam pelajaran sekolah tradisional untuk membangunkan kemahiran untuk menyelesaikan tugasan yang mengandungi punca kuasa dua. Untuk tujuan yang sama, video tersebut boleh digunakan oleh guru dalam perjalanan pembelajaran jarak jauh. Selain itu, bahan tersebut boleh disyorkan kepada pelajar untuk kerja bebas di rumah.

Bahagian: Matematik

Objektif Pelajaran:

Ulang takrif punca kuasa dua aritmetik, sifat punca kuasa dua aritmetik.
Ringkaskan dan sistematikkan pengetahuan pelajar tentang topik ini.
Untuk menyatukan kemahiran dan kebolehan menyelesaikan contoh bagi transformasi serupa ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua aritmetik.
Memberi peluang kepada setiap pelajar untuk mengembangkan potensi mereka ke tahap yang mungkin.
Meluaskan ufuk mereka dan memperkenalkan pelajar kepada ahli matematik Zaman Pertengahan.

Jenis pelajaran: pelajaran amali.

Peralatan pelajaran: kertas edaran, kapur berwarna, projektor atas kepala, potret Rene Descartes, poster dengan formula.

Semasa kelas

saya.mengatur masa.

Topik pelajaran kami ialah "Penukaran ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua aritmetik." Hari ini dalam pelajaran kita akan mengulangi peraturan untuk menukar ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua. Ini termasuk transformasi akar daripada hasil darab, pecahan dan darjah, pendaraban dan pembahagian akar, mengeluarkan faktor daripada tanda punca, meletakkan faktor menjadi tanda punca, membawa istilah serupa dan membebaskan daripada ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.

II. Tinjauan lisan mengenai teori.

Takrifkan punca kuasa dua aritmetik. ( Punca kuasa dua aritmetik a ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya ialah a).
Senaraikan sifat punca kuasa dua aritmetik. ( Punca kuasa dua aritmetik hasil darab faktor bukan negatif adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini. Punca kuasa dua aritmetik bagi pecahan yang pengangkanya bukan negatif dan penyebutnya positif adalah sama dengan punca pengangka dibahagikan dengan punca penyebut.).
Apakah nilai punca kuasa dua aritmetik bagi x 2? ( |x| ).
Apakah nilai punca kuasa dua aritmetik bagi x 2 jika x≥0? X<0? (X. -X).

III. kerja lisan. (Ditulis di papan tulis).

Cari nilai punca:

Cari nilai ungkapan:

Masukkan pengganda di bawah tanda akar:

Bandingkan:

IV. Perkembangan pengetahuan mengenai topik. (Di atas meja setiap helaian dengan tugasan).

1. Ambil tindakan.

Bagaimanakah kita akan menyelesaikan contoh a dan b? ( Buka kurungan, beri istilah suka).
Bagaimanakah kita akan menyelesaikan contoh c dan d? ( Gunakan formula perbezaan kuasa dua).
Bagaimanakah kita akan menyelesaikan contoh e dan e? ( Kami mengambil faktor daripada tanda akar dan memberikan istilah serupa).






	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Pelajar mengikut pilihan dalam buku nota mereka, 6 pelajar menyelesaikan 1 contoh di papan belakang).

– Menyemak melalui projektor grafik. Setiap jawapan sepadan dengan huruf tertentu. Hasilnya ialah perkataan: Descartes.

V. Rujukan sejarah.

Pelajar memberikan persembahan ringkas.

Pada tahun 1626, ahli matematik Belanda A. Shirar memperkenalkan notasi untuk akar V, dekat dengan yang moden. Jika nombor 2 berdiri di atas tanda ini, maka ini bermakna punca kuasa dua, jika 3 - satu kubik. Penamaan ini mula menggantikan tanda Rx. Walau bagaimanapun, untuk masa yang lama mereka menulis Va + b dengan garis mendatar di atas jumlah. Hanya pada tahun 1637 Rene Descartes menyambungkan tanda akar dengan garis mendatar, menggunakan tanda akar moden dalam Geometrinya. Tanda ini mula digunakan secara umum hanya pada awal abad ke-18. ( Di papan tulis - potret Rene Descartes, lukisan).

VI. Perkembangan pengetahuan mengenai topik.

2. Faktorkan.

a dan b - kembangkan dengan formula perbezaan kuasa dua, c dan d - menggunakan definisi punca kuasa dua aritmetik, gantikan 7 dan 13 dengan kuasa dua daripada punca kuasa dua, dan kemudian keluarkan faktor sepunya daripada kurungan).

a) a - 9, a≥0
b) 16 – c, c≥0

Pelajar menyelesaikan dalam buku nota mengikut pilihan, 2 orang (satu daripada setiap pilihan) membuat keputusan di papan hitam.

- Peperiksaan.

3. Kurangkan pecahan.

Bagaimanakah kita akan melakukan tugas ini? ( Kami memfaktorkan sama ada pengangka atau penyebut, dan kemudian mengurangkan).

Pelajar membuat keputusan dalam buku nota mengikut pilihan, 4 orang membuat keputusan di papan hitam. Contoh e dan f juga menentukan siapa yang akan tiba pada masanya.

- Peperiksaan.

4. Singkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.

Apa yang akan kita lakukan dalam tugasan ini? ( Kami menukar pecahan supaya penyebutnya tidak mengandungi punca kuasa dua: a dan b kami akan mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut dengan punca kuasa dua yang ditulis dalam penyebut; c dan d kita akan mendarab dengan jumlah atau perbezaan ungkapan yang ditulis dalam penyebut untuk mendapatkan perbezaan kuasa dua).

Pelajar membuat keputusan mengikut pilihan, 2 orang menyelesaikan 2 contoh di papan hitam.

- Peperiksaan.

VII. Ujian menulis.

Setiap orang mempunyai helaian dengan tugas ujian di atas meja mereka ( Lampiran 1). Mereka menandatangani helaian dan menyelesaikan tugasan dalam helaian yang sama. Selepas menulis kerja, mereka menyerahkannya, menyemak jawapan dan mengetahui mengapa ia begitu, melalui projektor graf.

VIII. Kerja rumah. Dengan. 109 No. 503 (a–d), 504.

Bahan artikel ini harus dipertimbangkan sebagai sebahagian daripada transformasi topik ungkapan tidak rasional. Di sini, menggunakan contoh, kami akan menganalisis semua kehalusan dan nuansa (yang terdapat banyak) yang timbul semasa melakukan transformasi berdasarkan sifat akar.

Navigasi halaman.

Ingat sifat-sifat akar

Oleh kerana kita akan menangani transformasi ungkapan menggunakan sifat akar, tidak ada salahnya untuk mengingati yang utama, atau lebih baik lagi, tuliskannya di atas kertas dan letakkannya di hadapan anda.

Pertama, punca kuasa dua dan sifat berikut dikaji (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata):

Dan kemudian, idea akar diperluaskan, definisi akar darjah ke-n diperkenalkan, dan sifat sedemikian dipertimbangkan (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata, m, n, n 1, n 2, ... , n k - nombor asli):

Menukar ungkapan dengan nombor di bawah tanda akar

Seperti biasa, mereka mula-mula belajar untuk bekerja dengan ungkapan berangka, dan hanya selepas itu mereka beralih kepada ungkapan dengan pembolehubah. Kami akan melakukan perkara yang sama, dan mula-mula kami akan berurusan dengan transformasi ungkapan tidak rasional yang mengandungi hanya ungkapan berangka di bawah tanda akar, dan lebih jauh lagi dalam perenggan seterusnya kami akan memperkenalkan pembolehubah di bawah tanda akar.

Bagaimanakah ini boleh digunakan untuk mengubah ungkapan? Sangat mudah: sebagai contoh, kita boleh menggantikan ungkapan tidak rasional dengan ungkapan, atau sebaliknya. Iaitu, jika ungkapan yang ditukar mengandungi ungkapan yang sepadan dengan ungkapan dari bahagian kiri (kanan) mana-mana sifat akar yang disenaraikan, maka ia boleh digantikan dengan ungkapan yang sepadan dari bahagian kanan (kiri). Ini ialah transformasi ungkapan menggunakan sifat akar.

Mari kita ambil beberapa contoh lagi.

Mari mudahkan ungkapan . Nombor 3, 5 dan 7 adalah positif, jadi kita boleh menggunakan sifat akar dengan selamat. Di sini anda boleh bertindak secara berbeza. Sebagai contoh, punca berasaskan harta boleh diwakili sebagai , dan punca berasaskan harta dengan k=3 sebagai , dengan pendekatan ini, penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini:

Ia adalah mungkin untuk melakukan sebaliknya, menggantikan dengan , dan kemudian dengan , dalam kes ini penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini:

Penyelesaian lain mungkin, contohnya:

Mari kita lihat contoh lain. Mari kita ubah ekspresi. Melihat senarai sifat akar, kami memilih daripadanya sifat yang kami perlukan untuk menyelesaikan contoh, jelas bahawa dua daripadanya dan berguna di sini, yang sah untuk mana-mana a . Kami ada:

Sebagai alternatif, seseorang boleh terlebih dahulu mengubah ungkapan di bawah tanda akar menggunakan

dan kemudian gunakan sifat-sifat akar

Sehingga tahap ini, kami telah menukar ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua sahaja. Sudah tiba masanya untuk bekerja dengan akar yang mempunyai penunjuk lain.

Contoh.

Mengubah Ungkapan Tidak Rasional .

Penyelesaian.

Dengan harta faktor pertama produk tertentu boleh digantikan dengan nombor −2:

Teruskan. Faktor kedua kerana harta boleh diwakili sebagai, dan tidak ada salahnya untuk menggantikan 81 dengan kuasa empat kali ganda tiga, kerana nombor 3 muncul dalam faktor yang tinggal di bawah tanda-tanda akar:

Adalah dinasihatkan untuk menggantikan punca pecahan dengan nisbah punca bentuk , yang boleh diubah lagi: . Kami ada

Ungkapan yang terhasil selepas melakukan operasi dengan dua akan mengambil bentuk , dan ia kekal untuk mengubah produk akar.

Untuk mengubah produk akar, mereka biasanya dikurangkan kepada satu penunjuk, yang mana adalah dinasihatkan untuk mengambil penunjuk semua akar. Dalam kes kami, LCM(12, 6, 12)=12 , dan hanya punca perlu dikurangkan kepada penunjuk ini, kerana dua punca lain sudah mempunyai penunjuk sedemikian. Untuk mengatasi tugas ini membolehkan kesaksamaan, yang digunakan dari kanan ke kiri. Jadi . Memandangkan keputusan ini, kami ada

Sekarang produk akar boleh digantikan oleh akar produk dan baki, sudah jelas, transformasi boleh dilakukan:

Mari buat versi pendek penyelesaian:

Jawapan:

Secara berasingan, kami menekankan bahawa untuk menggunakan sifat akar, perlu mengambil kira sekatan yang dikenakan ke atas nombor di bawah tanda akar (a≥0, dll.). Mengabaikan mereka boleh membawa kepada keputusan yang salah. Sebagai contoh, kita tahu bahawa harta itu dipegang untuk bukan negatif a . Berdasarkan itu, kita boleh pergi dengan selamat, contohnya, dari ke, kerana 8 ialah nombor positif. Tetapi jika kita mengambil punca bermakna bagi nombor negatif, contohnya, , dan, berdasarkan sifat di atas, gantikannya dengan , maka kita sebenarnya akan menggantikan −2 dengan 2 . Sesungguhnya, , a . Iaitu, untuk negatif a, kesamaan mungkin palsu, sama seperti sifat akar lain mungkin palsu tanpa mengambil kira syarat yang ditentukan untuknya.

Tetapi apa yang dikatakan dalam perenggan sebelumnya tidak bermakna sama sekali bahawa ungkapan dengan nombor negatif di bawah tanda akar tidak boleh diubah menggunakan sifat akar. Mereka hanya perlu "disediakan" terlebih dahulu dengan menggunakan peraturan operasi dengan nombor atau menggunakan definisi punca darjah ganjil daripada nombor negatif, yang sepadan dengan kesamaan , dengan −a ialah nombor negatif (dalam kes ini, a adalah positif). Sebagai contoh, ia tidak boleh digantikan dengan serta-merta dengan , kerana −2 dan −3 ialah nombor negatif, tetapi ia membenarkan kita beralih dari punca ke , dan kemudian menggunakan sifat punca daripada hasil darab: . Dan dalam salah satu contoh sebelumnya, adalah perlu untuk bergerak dari akar ke akar darjah kelapan belas , dan juga .

Jadi, untuk mengubah ungkapan menggunakan sifat akar, anda perlu

pilih harta yang sesuai daripada senarai,
pastikan nombor di bawah akar memenuhi syarat untuk harta yang dipilih (jika tidak, anda perlu melakukan transformasi awal),
dan melaksanakan transformasi yang dimaksudkan.

Menukar ungkapan dengan pembolehubah di bawah tanda akar

Untuk mengubah ungkapan tidak rasional yang mengandungi bukan sahaja nombor tetapi juga pembolehubah di bawah tanda akar, sifat akar yang disenaraikan dalam perenggan pertama artikel ini mesti digunakan dengan berhati-hati. Ini sebahagian besarnya disebabkan oleh syarat yang mesti dipenuhi oleh nombor yang terlibat dalam formula. Sebagai contoh, berdasarkan formula , ungkapan boleh digantikan dengan ungkapan hanya untuk nilai x yang memenuhi syarat x≥0 dan x+1≥0 , kerana formula yang ditentukan ditetapkan untuk a≥0 dan b≥ 0 .

Apakah bahaya mengabaikan syarat-syarat ini? Jawapan kepada soalan ini jelas ditunjukkan oleh contoh berikut. Katakan kita perlu mengira nilai ungkapan apabila x=−2 . Jika kita segera menggantikan nombor −2 dan bukannya pembolehubah x, maka kita mendapat nilai yang kita perlukan . Dan sekarang mari kita bayangkan bahawa, berdasarkan beberapa pertimbangan, kami menukar ungkapan yang diberikan kepada bentuk , dan hanya selepas itu kami memutuskan untuk mengira nilai. Kami menggantikan nombor −2 bukannya x dan tiba pada ungkapan , yang tidak masuk akal.

Mari kita lihat apa yang berlaku kepada julat nilai sah (ODV) pembolehubah x semasa kita bergerak dari ungkapan ke ungkapan. Kami menyebut ODZ bukan secara kebetulan, kerana ini adalah alat yang serius untuk mengawal kebolehterimaan transformasi yang dilakukan, dan menukar ODZ selepas transformasi ungkapan harus sekurang-kurangnya berwaspada. Tidak sukar untuk mencari ODZ untuk ungkapan ini. Untuk ungkapan, ODZ ditentukan daripada ketaksamaan x (x+1)≥0 , penyelesaiannya memberikan set berangka (−∞, −1]∪∪)