Monomial ialah bentuk dan darjah piawainya. Pelajaran mengenai topik: "Bentuk standard monomial

Kami menyatakan bahawa mana-mana monomial boleh bawa ke bentuk standard. Dalam artikel ini kita akan memahami apa yang dipanggil membawa monomial kepada bentuk standard, apakah tindakan yang membolehkan proses ini dijalankan, dan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh dengan penjelasan terperinci.

Navigasi halaman.

Apakah yang dimaksudkan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai?

Ia adalah mudah untuk bekerja dengan monomial apabila ia ditulis dalam bentuk standard. Walau bagaimanapun, selalunya monomial dinyatakan dalam bentuk yang berbeza daripada yang standard. Dalam kes ini, anda sentiasa boleh beralih daripada monomial asal kepada monomial bentuk standard dengan melakukan transformasi identiti. Proses menjalankan transformasi sedemikian dipanggil mengurangkan monomial kepada bentuk piawai.

Mari kita ringkaskan hujah di atas. Kurangkan monomial kepada bentuk piawai- ini bermakna melakukan perkara berikut dengannya transformasi identiti supaya ia mengambil bentuk piawai.

Bagaimana untuk membawa monomial ke bentuk standard?

Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara mengurangkan monomial kepada bentuk standard.

Seperti yang diketahui dari definisi, monomial bentuk bukan piawai ialah hasil daripada nombor, pembolehubah dan kuasanya, dan mungkin berulang. Dan monomial bentuk piawai boleh mengandungi dalam tatatandanya hanya satu nombor dan pembolehubah tidak berulang atau kuasanya. Sekarang masih perlu memahami bagaimana untuk membawa produk jenis pertama kepada jenis yang kedua?

Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan yang berikut peraturan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai terdiri daripada dua langkah:

• Pertama, kumpulan faktor berangka dilakukan, serta pembolehubah yang sama dan kuasanya;
• Kedua, hasil darab nombor dikira dan digunakan.

Hasil daripada menggunakan peraturan yang dinyatakan, sebarang monomial akan dikurangkan kepada bentuk standard.

Contoh, penyelesaian

Yang tinggal hanyalah mempelajari cara menggunakan peraturan daripada perenggan sebelumnya apabila menyelesaikan contoh.

Contoh.

Kurangkan monomial 3 x 2 x 2 kepada bentuk piawai.

Penyelesaian.

Mari kumpulkan faktor berangka dan faktor dengan pembolehubah x. Selepas mengumpulkan, monomial asal akan mengambil bentuk (3·2)·(x·x 2) . Hasil darab nombor dalam kurungan pertama adalah sama dengan 6, dan peraturan untuk mendarab kuasa dengan atas alasan yang sama membenarkan ungkapan dalam kurungan kedua diwakili sebagai x 1 +2=x 3. Hasilnya, kita memperoleh polinomial bentuk piawai 6 x 3.

Jom beri nota ringkas penyelesaian: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Jawapan:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Jadi, untuk membawa monomial kepada bentuk standard, anda perlu berupaya mengumpulkan faktor, mendarab nombor dan bekerja dengan kuasa.

Untuk menyatukan bahan, mari kita selesaikan satu lagi contoh.

Contoh.

Kemukakan monomial dalam bentuk piawai dan nyatakan pekalinya.

Penyelesaian.

Monomial asal mempunyai faktor berangka tunggal dalam tatatanda -1, mari kita alihkannya ke permulaan. Selepas ini, kita secara berasingan mengumpulkan faktor dengan pembolehubah a, secara berasingan dengan pembolehubah b, dan tidak ada apa-apa untuk mengelompokkan pembolehubah m dengan, biarkan ia seperti sedia ada, kita ada . Selepas menjalankan operasi dengan darjah dalam kurungan, monomial akan mengambil bentuk piawai yang kita perlukan, dari mana kita boleh melihat pekali monomial, bersamaan dengan -1. Tolak satu boleh digantikan dengan tanda tolak: .

Dalam pelajaran ini kita akan memberikan definisi ketat monomial, pertimbangkan pelbagai contoh daripada buku teks. Mari kita ingat peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama. Mari kita takrifkan bentuk piawai monomial, pekali monomial dan bahagian hurufnya. Mari kita pertimbangkan dua operasi tipikal utama pada monomial, iaitu pengurangan kepada bentuk piawai dan pengiraan nilai berangka tertentu bagi monomial pada nilai yang diberikan pembolehubah literal yang termasuk di dalamnya. Mari kita rumuskan peraturan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai. Mari belajar menyelesaikan tugas biasa dengan mana-mana monomial.

Subjek:Monomial. Operasi aritmetik pada monomial

Pelajaran:Konsep monomial. Pandangan standard monomial

Pertimbangkan beberapa contoh:

3. ;

Kami akan mencari ciri umum untuk ungkapan yang diberikan. Dalam ketiga-tiga kes, ungkapan ialah hasil darab nombor dan pembolehubah yang dinaikkan kepada kuasa. Berdasarkan ini kami memberi definisi monomial : monomial dipanggil seperti ini ungkapan algebra, yang terdiri daripada hasil darab kuasa dan nombor.

Sekarang kami memberikan contoh ungkapan yang bukan monomial:

Mari kita cari perbezaan antara ungkapan ini dan yang sebelumnya. Ia terdiri daripada fakta bahawa dalam contoh 4-7 terdapat operasi tambah, tolak atau bahagi, manakala dalam contoh 1-3, yang merupakan monomial, tiada operasi ini.

Berikut adalah beberapa lagi contoh:

Ungkapan nombor 8 ialah monomial kerana ia adalah hasil darab kuasa dan nombor, manakala contoh 9 bukan monomial.

Sekarang mari kita ketahui tindakan pada monomials .

1. Permudahan. Mari kita lihat contoh No. 3 ;dan contoh No. 2 /

Dalam contoh kedua kita melihat hanya satu pekali - , setiap pembolehubah berlaku sekali sahaja, iaitu pembolehubah " A" diwakili dalam satu salinan sebagai "", begitu juga, pembolehubah "" dan "" muncul sekali sahaja.

Dalam contoh No. 3, sebaliknya, terdapat dua pekali berbeza - dan , kita melihat pembolehubah "" dua kali - sebagai "" dan sebagai "", begitu juga, pembolehubah "" muncul dua kali. Iaitu, ungkapan ini harus dipermudahkan, dengan itu kita sampai pada tindakan pertama yang dilakukan pada monomial ialah mengurangkan monomial kepada bentuk piawai . Untuk melakukan ini, kami akan mengurangkan ungkapan daripada Contoh 3 kepada bentuk standard, kemudian kami akan mentakrifkan operasi ini dan mempelajari cara untuk mengurangkan sebarang monomial kepada bentuk standard.

Jadi, pertimbangkan contoh:

Tindakan pertama dalam operasi pengurangan kepada bentuk piawai adalah sentiasa mendarab semua faktor berangka:

;

Hasilnya daripada tindakan ini akan dipanggil pekali monomial .

Seterusnya anda perlu melipatgandakan kuasa. Mari kita darabkan kuasa pembolehubah " X"mengikut peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, yang menyatakan bahawa apabila mendarab, eksponen ditambah:

Sekarang mari kita gandakan kuasa" di»:

;

Jadi, inilah ungkapan yang dipermudahkan:

;

Mana-mana monomial boleh dikurangkan kepada bentuk standard. Jom rumuskan peraturan standardisasi :

Darab semua faktor berangka;

Letakkan pekali yang terhasil di tempat pertama;

Darab semua darjah, iaitu, dapatkan bahagian huruf;

Iaitu, mana-mana monomial dicirikan oleh pekali dan bahagian huruf. Melihat ke hadapan, kami perhatikan bahawa monomial yang mempunyai bahagian huruf yang sama dipanggil serupa.

Sekarang kita perlu bersenam teknik untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai . Pertimbangkan contoh daripada buku teks:

Tugasan: bawa monomial ke bentuk piawai, namakan pekali dan bahagian huruf.

Untuk menyelesaikan tugas, kami akan menggunakan peraturan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk standard dan sifat kuasa.

1. ;

3. ;

Komen pada contoh pertama: Pertama, mari kita tentukan sama ada ungkapan ini benar-benar monomial; untuk melakukan ini, mari kita semak sama ada ia mengandungi operasi pendaraban nombor dan kuasa dan sama ada ia mengandungi operasi tambah, tolak atau bahagi. Kita boleh mengatakan bahawa ungkapan ini adalah monomial kerana syarat di atas dipenuhi. Seterusnya, mengikut peraturan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk standard, kita darabkan faktor berangka:

- kami mendapati pekali bagi monomial tertentu;

; ; ; iaitu, bahagian literal ungkapan diperolehi:;

Jom tulis jawapannya: ;

Komen pada contoh kedua: Mengikuti peraturan yang kami lakukan:

1) gandakan faktor berangka:

2) gandakan kuasa:

Pembolehubah dibentangkan dalam satu salinan, iaitu, ia tidak boleh didarab dengan apa-apa, ia ditulis semula tanpa perubahan, darjah didarabkan:

Mari kita tulis jawapannya:

;

DALAM dalam contoh ini pekali monomial sama dengan satu, dan bahagian hurufnya ialah .

Ulasan tentang contoh ketiga: a Sama seperti contoh sebelumnya, kami melakukan tindakan berikut:

1) gandakan faktor berangka:

;

2) gandakan kuasa:

;

Jom tulis jawapannya: ;

DALAM dalam kes ini pekali monomial ialah "", dan bahagian literal .

Sekarang mari kita pertimbangkan operasi piawai kedua pada monomial . Oleh kerana monomial ialah ungkapan algebra yang terdiri daripada pembolehubah literal yang boleh mengambil spesifik nilai angka, maka kita mempunyai aritmetik ungkapan angka, yang sepatutnya dikira. Iaitu, operasi seterusnya pada polinomial ialah mengira nilai berangka khusus mereka .

Mari kita lihat contoh. Monomial diberikan:

monomial ini telah dikurangkan kepada bentuk standard, pekalinya adalah sama dengan satu, dan bahagian huruf

Terdahulu kami berkata bahawa ungkapan algebra tidak boleh sentiasa dikira, iaitu, pembolehubah yang disertakan di dalamnya tidak boleh mengambil sebarang nilai. Dalam kes monomial, pembolehubah yang termasuk di dalamnya boleh menjadi apa-apa; ini adalah ciri monomial.

Jadi, dalam diberi contoh ia diperlukan untuk mengira nilai monomial pada , , , .

Kuasa monomial

Untuk monomial terdapat konsep darjahnya. Mari kita fikirkan apa itu.

Definisi.

Kuasa monomial bentuk piawai ialah jumlah eksponen semua pembolehubah yang termasuk dalam rekodnya; jika tiada pembolehubah dalam tatatanda monomial dan ia berbeza daripada sifar, maka darjahnya dianggap sama dengan sifar; nombor sifar dianggap sebagai monomial yang darjahnya tidak ditentukan.

Menentukan tahap monomial membolehkan anda memberi contoh. Darjah monomial a adalah sama dengan satu, kerana a ialah 1. Kuasa monomial 5 ialah sifar, kerana ia bukan sifar dan tatatandanya tidak mengandungi pembolehubah. Dan hasil darab 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ialah monomial darjah kelapan, kerana jumlah eksponen semua pembolehubah a, x dan y adalah sama dengan 2+1+3+2=8.

Dengan cara ini, darjah monomial yang tidak ditulis dalam bentuk piawai adalah sama dengan darjah monomial sepadan bentuk piawai. Untuk menggambarkan ini, mari kita mengira darjah monomial 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Monomial dalam bentuk piawai ini mempunyai bentuk −6·x 8 ·y 4, darjahnya ialah 8+4=12. Oleh itu, darjah monomial asal ialah 12.

Pekali monomial

Monomial dalam bentuk piawai, yang mempunyai sekurang-kurangnya satu pembolehubah dalam tatatandanya, ialah produk dengan faktor berangka tunggal - pekali berangka. Pekali ini dipanggil pekali monomial. Mari kita rumuskan hujah di atas dalam bentuk definisi.

Definisi.

Pekali monomial ialah faktor berangka bagi monomial yang ditulis dalam bentuk piawai.

Sekarang kita boleh memberi contoh pekali pelbagai monomial. Nombor 5 ialah pekali bagi monomial 5·a 3 mengikut takrifan, begitu juga dengan monomial (−2,3)·x·y·z mempunyai pekali −2,3.

Pekali monomial, sama dengan 1 dan -1, patut diberi perhatian khusus. Maksudnya di sini ialah mereka biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam rakaman. Adalah dipercayai bahawa pekali monomial bentuk piawai yang tidak mempunyai faktor berangka dalam tatatandanya adalah sama dengan satu. Contohnya, monomial a, x·z 3, a·t·x, dsb. mempunyai pekali 1, kerana a boleh dianggap sebagai 1·a, x·z 3 - sebagai 1·x·z 3, dsb.

Begitu juga, pekali monomial, entri yang dalam bentuk piawai tidak mempunyai faktor berangka dan bermula dengan tanda tolak, dianggap sebagai tolak satu. Contohnya, monomials −x, −x 3 y z 3, dsb. mempunyai pekali −1, kerana −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 dll.

Dengan cara ini, konsep pekali monomial sering dirujuk sebagai monomial bentuk piawai, iaitu nombor tanpa faktor huruf. Pekali bagi nombor-monomial tersebut dianggap sebagai nombor ini. Jadi, sebagai contoh, pekali monomial 7 dianggap sama dengan 7.

Rujukan.

• Algebra: buku teks untuk darjah 7. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17 - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Pelajaran tentang topik: "Bentuk standard monomial. Definisi. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 7
Buku teks elektronik "Geometri Boleh Difahami" untuk gred 7-9
Buku teks multimedia "Geometri dalam 10 minit" untuk gred 7-9

Monomial. Definisi

Monomial ialah ungkapan matematik yang mewakili hasil darab faktor perdana dan satu atau lebih pembolehubah.

Monomial merangkumi semua nombor, pembolehubah, kuasanya dengan penunjuk semula jadi:
42; 

3; 
0; 

6 2 ; 

2 3 ; 

b 3 ; 
kapak 4; 
4x 3 ; 
5a 2 ; 

12xyz 3 .
Selalunya sukar untuk menentukan sama ada ungkapan matematik yang diberikan merujuk kepada monomial atau tidak. Contohnya, $\frac(4a^3)(5)$. Adakah ini monomial atau tidak? Untuk menjawab soalan ini kita perlu memudahkan ungkapan, i.e. hadir dalam bentuk: $\frac(4)(5)*a^3$.

Kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa ungkapan ini adalah monomial.
Bentuk standard monomial
Apabila melakukan pengiraan, adalah dinasihatkan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk standard. Ini adalah rakaman monomial yang paling ringkas dan mudah difahami. Prosedur untuk mengurangkan monomial kepada bentuk standard adalah seperti berikut: 1. Darab pekali monomial (atau faktor berangka) dan letakkan hasil yang terhasil di tempat pertama.

2. Pilih semua kuasa dengan asas huruf yang sama dan darabkannya.

Kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa ungkapan ini adalah monomial.
3. Ulang titik 2 untuk semua pembolehubah.
Contoh.

I. Kurangkan monomial yang diberi $3x^2zy^3*5y^2z^4$ kepada bentuk piawai. Penyelesaian. 1. Darabkan pekali bagi monomial $15x^2y^3z * y^2z^4$.

2. Sekarang mari kita berikan

istilah yang serupa

$15х^2y^5z^5$.

II. Kurangkan monomial yang diberi $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ kepada bentuk piawai. 1. Darabkan pekali bagi monomial $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$. 2. Sekarang kami membentangkan istilah yang serupa $\frac(10)(7)a^5b^5c$. Monomial ialah salah satu jenis ungkapan utama yang dikaji dalam

kursus sekolah algebra. Dalam bahan ini, kami akan memberitahu anda apakah ungkapan ini, mentakrifkan bentuk piawainya dan menunjukkan contoh, dan juga memahami konsep yang berkaitan, seperti tahap monomial dan pekalinya., serta ungkapan dalam bentuk 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, dsb. Sila ambil perhatian bahawa monomial boleh mengandungi satu nombor atau pembolehubah, atau beberapa, dan ia boleh disebut beberapa kali dalam satu polinomial.

Jenis nombor seperti integer, nombor rasional dan nombor asli juga tergolong dalam monomial. Anda juga boleh memasukkan sah dan nombor kompleks. Oleh itu, ungkapan bentuk 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 juga akan menjadi monomial.

Apakah bentuk standard monomial dan cara menukar ungkapan kepadanya

Untuk kemudahan penggunaan, semua monomial terlebih dahulu dikurangkan kepada bentuk khas yang dipanggil standard. Mari kita rumuskan secara khusus maksudnya.

Definisi 2

Bentuk standard monomial dipanggil bentuknya di mana ia adalah hasil darab faktor berangka dan darjah semula jadi pembolehubah yang berbeza. Faktor berangka, juga dipanggil pekali monomial, biasanya ditulis dahulu di sebelah kiri.

Untuk kejelasan, mari pilih beberapa monomial dalam bentuk piawai: 6 (ini adalah monomial tanpa pembolehubah), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Ini juga termasuk ungkapan x y(di sini pekali akan sama dengan 1), − x 3(di sini pekalinya ialah - 1).

Sekarang kami memberikan contoh monomial yang perlu dibawa ke bentuk standard: 4 a 2 a 3(di sini anda perlu menggabungkan pembolehubah yang sama), 5 x (− 1) 3 y 2(di sini anda perlu menggabungkan faktor berangka di sebelah kiri).

Biasanya, apabila monomial mempunyai beberapa pembolehubah yang ditulis dalam huruf, faktor huruf ditulis dalam susunan abjad. Sebagai contoh, adalah lebih baik untuk menulis 6 a b 4 c z 2, bagaimana b 4 6 a z 2 c. Walau bagaimanapun, pesanan mungkin berbeza jika tujuan pengiraan memerlukannya.

Mana-mana monomial boleh dikurangkan kepada bentuk standard. Untuk melakukan ini, anda perlu melakukan semua transformasi identiti yang diperlukan.

Konsep darjah monomial

Konsep yang disertakan bagi darjah monomial adalah sangat penting. Mari kita tulis definisi konsep ini.

Definisi 3

Dengan kuasa monomial, ditulis dalam bentuk piawai, ialah jumlah eksponen semua pembolehubah yang disertakan dalam tatatandanya. Jika tidak ada pembolehubah tunggal di dalamnya, dan monomial itu sendiri berbeza daripada 0, maka darjahnya akan menjadi sifar.

Mari kita berikan contoh kuasa monomial.

Contoh 1

Oleh itu, monomial a mempunyai darjah sama dengan 1, kerana a = a 1. Jika kita mempunyai monomial 7, maka ia akan mempunyai darjah sifar, kerana ia tidak mempunyai pembolehubah dan berbeza daripada 0. Dan inilah rakamannya 7 a 2 x y 3 a 2 akan menjadi monomial darjah ke-8, kerana jumlah eksponen semua darjah pembolehubah yang termasuk di dalamnya akan sama dengan 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomial dikurangkan kepada bentuk piawai dan polinomial asal akan mempunyai darjah yang sama.

Contoh 2

Mari tunjukkan cara mengira darjah monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Dalam bentuk standard ia boleh ditulis sebagai − 6 x 8 y 4. Kami mengira tahap: 8 + 4 = 12 . Ini bermakna bahawa darjah polinomial asal juga sama dengan 12.

Konsep pekali monomial

Jika kita mempunyai monomial yang dikurangkan kepada bentuk standard yang merangkumi sekurang-kurangnya satu pembolehubah, maka kita bercakap mengenainya sebagai produk dengan satu faktor berangka. Faktor ini dipanggil pekali berangka, atau pekali monomial. Mari kita tulis definisi.

Definisi 4

Pekali monomial ialah faktor berangka bagi monomial yang dikurangkan kepada bentuk piawai.

Mari kita ambil sebagai contoh pekali pelbagai monomial.

Contoh 3

Jadi, dalam ungkapan 8 a 3 pekali akan menjadi nombor 8, dan dalam (− 2 , 3) ​​​​x y z mereka akan − 2 , 3 .

Perhatian khusus harus diberikan kepada pekali sama dengan satu dan tolak satu. Sebagai peraturan, mereka tidak ditunjukkan secara jelas. Adalah dipercayai bahawa dalam monomial bentuk piawai, di mana tidak ada faktor berangka, pekali adalah sama dengan 1, sebagai contoh, dalam ungkapan a, x · z 3, a · t · x, kerana ia boleh dianggap sebagai 1 · a, x · z 3 – Bagaimana 1 x z 3 dll.

Begitu juga, dalam monomial yang tidak mempunyai faktor berangka dan yang bermula dengan tanda tolak, kita boleh menganggap - 1 sebagai pekali.

Contoh 4

Sebagai contoh, ungkapan − x, − x 3 · y · z 3 akan mempunyai pekali sedemikian, kerana ia boleh diwakili sebagai − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 dsb.

Jika monomial tidak mempunyai faktor huruf tunggal sama sekali, maka kita boleh bercakap tentang pekali dalam kes ini. Pekali bagi nombor-monomial tersebut ialah nombor-nombor ini sendiri. Jadi, sebagai contoh, pekali monomial 9 akan sama dengan 9.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter