Sistem homogen persamaan algebra linear. Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am

biarlah M 0 – set penyelesaian sistem homogen (4) persamaan linear.

Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p, yang merupakan penyelesaian sistem homogen persamaan linear dipanggil set penyelesaian asas(disingkat FNR), jika

1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p bebas linear (iaitu, tiada satu pun daripada mereka boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain);

2) sebarang penyelesaian lain kepada sistem persamaan linear homogen boleh dinyatakan dalam sebutan penyelesaian Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p.

Perhatikan bahawa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p– mana-mana f.n.r., kemudian ungkapan k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k p× dengan p anda boleh menerangkan keseluruhan set M 0 penyelesaian kepada sistem (4), jadi ia dipanggil pandangan umum penyelesaian sistem (4).

Teorem 6.6. Mana-mana sistem persamaan linear homogen tak tentu mempunyai set penyelesaian asas.

Cara untuk mencari set penyelesaian asas adalah seperti berikut:

Cari penyelesaian umum sistem persamaan linear homogen;

bina ( n – r) penyelesaian separa sistem ini, manakala nilai-nilai yang tidak diketahui bebas mesti terbentuk matriks identiti;

Tuliskan bentuk umum penyelesaian yang disertakan dalam M 0 .

Contoh 6.5. Cari satu set penyelesaian asas sistem seterusnya:

Penyelesaian. Mari cari penyelesaian umum untuk sistem ini.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Terdapat lima yang tidak diketahui dalam sistem ini ( n= 5), yang mana terdapat dua perkara utama yang tidak diketahui ( r= 2), terdapat tiga percuma yang tidak diketahui ( n – r), iaitu, set penyelesaian asas mengandungi tiga vektor penyelesaian. Mari kita bina mereka. Kami ada x 1 dan x 3 – tidak diketahui utama, x 2 , x 4 , x 5 – tidak diketahui percuma

Nilai yang tidak diketahui percuma x 2 , x 4 , x 5 membentuk matriks identiti E pesanan ketiga. Dapat vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 borang f.n.r. sistem ini. Maka set penyelesaian sistem homogen ini akan menjadi M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Sekarang mari kita ketahui syarat untuk kewujudan penyelesaian bukan sifar bagi sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat untuk kewujudan set penyelesaian asas.

Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar, iaitu, tidak pasti jika

1) pangkat matriks utama sistem kurang bilangan tidak diketahui;

2) dalam sistem persamaan linear homogen, bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui;

3) jika dalam sistem persamaan linear homogen bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan penentu matriks utama adalah sama dengan sifar (iaitu | A| = 0).

Contoh 6.6. Pada nilai parameter apa a sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar?

Penyelesaian. Mari kita susun matriks utama sistem ini dan cari penentunya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini adalah sama dengan sifar pada a = –4.

Jawab: –4.

7. Aritmetik n-berdimensi ruang vektor

Konsep Asas

Dalam bahagian sebelumnya kita telah pun menemui konsep set nombor nyata yang disusun dalam susunan tertentu. Ini ialah matriks baris (atau matriks lajur) dan penyelesaian kepada sistem persamaan linear dengan n tidak diketahui. Maklumat ini boleh diringkaskan.

Definisi 7.1. n-vektor aritmetik dimensi dipanggil set tertib n nombor nyata.

Bermakna A= (a 1 , a 2 , …, a n), di mana a iО R, i = 1, 2, …, n– pandangan umum vektor. Nombor n dipanggil dimensi vektor, dan nombor a i dipanggil miliknya koordinat.

Contohnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.

Semua siap n-vektor dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.

Definisi 7.2. Dua vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) daripada dimensi yang sama sama rata jika dan hanya jika koordinat yang sepadan adalah sama, iaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definisi 7.3.Jumlah dua n-vektor berdimensi A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) dipanggil vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definisi 7.4. kerja nombor sebenar k kepada vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) dipanggil vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Definisi 7.5. vektor O= (0, 0, …, 0) dipanggil sifar(atau vektor nol).

Adalah mudah untuk menyemak bahawa tindakan (operasi) menambah vektor dan mendarabkannya dengan nombor sebenar mempunyai sifat-sifat berikut: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definisi 7.6. banyak Rn dengan operasi menambah vektor dan mendarabnya dengan nombor nyata yang diberikan padanya dipanggil ruang vektor n-dimensi aritmetik.

Sistem homogen sentiasa konsisten dan mempunyai penyelesaian yang remeh
. Untuk wujud penyelesaian bukan remeh, pangkat matriks itu perlu adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui:

Sistem penyelesaian asas sistem homogen
memanggil sistem penyelesaian dalam bentuk vektor lajur
, yang sepadan dengan asas kanonik, i.e. asas di mana pemalar arbitrari
ditetapkan secara bergilir-gilir sama dengan satu, manakala selebihnya ditetapkan kepada sifar.

Kemudian penyelesaian umum sistem homogen mempunyai bentuk:

di mana
- pemalar sewenang-wenangnya. Dengan kata lain, penyelesaian keseluruhan ialah gabungan linear sistem asas penyelesaian.

Oleh itu, penyelesaian asas boleh diperoleh daripada penyelesaian umum jika yang tidak diketahui bebas diberi nilai satu secara bergilir-gilir, menetapkan semua yang lain sama dengan sifar.

Contoh. Mari cari penyelesaian kepada sistem

Mari kita terima , maka kita mendapat penyelesaian dalam bentuk:

Mari kita bina sistem asas penyelesaian:

Penyelesaian umum akan ditulis sebagai:

Penyelesaian sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat berikut:

Dalam erti kata lain, sebarang kombinasi linear penyelesaian kepada sistem homogen sekali lagi merupakan penyelesaian.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Menyelesaikan sistem persamaan linear telah menarik minat ahli matematik selama beberapa abad. Keputusan pertama diperoleh pada abad ke-18. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang penentu matriks persegi dan mencadangkan algoritma untuk mencari matriks songsang. Pada tahun 1809, Gauss menggariskan kaedah penyelesaian baharu yang dikenali sebagai kaedah penyingkiran.

Kaedah Gauss, atau kaedah penghapusan berurutan bagi yang tidak diketahui, terdiri daripada fakta bahawa, menggunakan transformasi asas, sistem persamaan dikurangkan kepada sistem yang setara bagi bentuk langkah (atau segi tiga). Sistem sedemikian membolehkan untuk mencari semua yang tidak diketahui secara berurutan dalam susunan tertentu.

Mari kita anggap bahawa dalam sistem (1)
(yang sentiasa mungkin).

(1)

Mendarab persamaan pertama satu demi satu dengan yang dipanggil nombor yang sesuai

dan menambah hasil pendaraban dengan persamaan sistem yang sepadan, kita memperoleh sistem yang setara di mana dalam semua persamaan kecuali yang pertama tidak akan ada yang tidak diketahui. X 1

(2)

Mari kita darabkan persamaan kedua sistem (2) dengan nombor yang sesuai, dengan mengandaikan bahawa

dan menambahkannya dengan yang lebih rendah, kami menghapuskan pembolehubah daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Meneruskan proses ini, selepas
langkah yang kita dapat:

(3)

Jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor
tidak sama dengan sifar, maka kesamaan yang sepadan adalah bercanggah dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sebarang sistem nombor bersama
adalah sama dengan sifar. Nombor adalah tidak lebih daripada pangkat matriks sistem (1).

Peralihan dari sistem (1) ke (3) dipanggil terus ke hadapan Kaedah Gauss, dan mencari yang tidak diketahui daripada (3) - secara terbalik .

Komen : Adalah lebih mudah untuk menjalankan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks lanjutan sistem (1).

Contoh. Mari cari penyelesaian kepada sistem

Mari kita tulis matriks lanjutan sistem:

Mari tambahkan yang pertama pada baris 2,3,4, didarab dengan (-2), (-3), (-2) masing-masing:

Mari kita tukar baris 2 dan 3, kemudian dalam matriks yang terhasil tambah baris 2 ke baris 4, didarab dengan :

Tambahkan pada baris 4 baris 3 didarab dengan
:

Jelas sekali
, oleh itu, sistem adalah konsisten. Daripada sistem persamaan yang terhasil

kami mencari penyelesaian dengan penggantian terbalik:

,
,
,
.

Contoh 2. Cari penyelesaian kepada sistem:

Adalah jelas bahawa sistem itu tidak konsisten, kerana
, A
.

Kelebihan kaedah Gauss :

Kurang intensif buruh daripada kaedah Cramer.

Jelas menetapkan keserasian sistem dan membolehkan anda mencari penyelesaian.

Memungkinkan untuk menentukan pangkat mana-mana matriks.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAEs) sudah pasti topik yang paling penting kursus algebra linear. Jumlah yang besar masalah daripada semua cabang matematik dikurangkan kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menerangkan sebab artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

angkat kaedah optimum penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear anda,
mengkaji teori kaedah yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linear anda dengan mempertimbangkan penyelesaian terperinci kepada contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Seterusnya, kita akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian yang unik. Pertama, kita akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kita akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, ketiga, kita akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara yang berbeza.

Selepas ini, kita akan beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear pandangan umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal. Mari kita rumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kita mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (jika ia serasi) menggunakan konsep tersebut bawah umur asas matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh.

Kami pasti akan memikirkan struktur penyelesaian umum homogen dan sistem heterogen persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik Mari lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang boleh dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p boleh sama dengan n) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui - pekali (sesetengah nyata atau nombor kompleks), - istilah bebas (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk rakaman SLAE ini dipanggil menyelaras.

DALAM bentuk matriks menulis sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
di mana - matriks utama sistem, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks lajur sebutan bebas.

Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu,

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks kerana nilai tertentu pembolehubah yang tidak diketahui juga menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka – tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka SLAE tersebut akan dipanggil rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula mengkaji SLAE tersebut dalam sekolah menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer.

Katakan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan - penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan penggantian 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda ini, pembolehubah yang tidak diketahui dikira menggunakan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ditemui menggunakan kaedah Cramer.

Contoh.

kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Mari kita hitung penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Mari kita karang dan mengira penentu yang diperlukan (kami memperolehi penentu dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur sebutan bebas, penentu dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas, dan dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur sebutan bebas) :

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan dalam sistem adalah lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , matriks A boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan sebelah kiri, kita mendapat formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada penambahan algebra elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang ke lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks segi empat sama pesanan lebih tinggi daripada ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri daripada pengecualian berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah tidak diketahui x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, menggunakan nilai ini daripada persamaan kedua terakhir, x n-1 dikira, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menukar persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, dan .

Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang dihasilkan, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, dan . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, dan kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk

Mulai sekarang kita mulakan lejang terbalik Kaedah Gauss: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi bagi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah ke kiri dan sebelah kanan sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang tinggal dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

DALAM kes am bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga digunakan untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan tunggal.

Teorem Kronecker–Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi dan apabila ia tidak konsisten diberikan oleh Teorem Kronecker–Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem itu adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu, Rank(A)=Rank(T) .

Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, aplikasi teorem Kronecker–Capelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear.

Contoh.

Ketahui sama ada sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Jom gunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari lihat kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya:

Memandangkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan bagi urutan ketiga adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama adalah sama dengan dua.

Sebaliknya, pangkat matriks lanjutan adalah sama dengan tiga, kerana yang di bawah umur adalah dari urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Oleh itu, Rang(A), oleh itu, dengan menggunakan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, kita telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor asas matriks dan teorem tentang pangkat matriks.

kecil perintah tertinggi matriks A, berbeza daripada sifar, dipanggil asas.

Daripada takrifan asas minor ia mengikuti bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A boleh terdapat beberapa asas minor;

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Kanak-kanak bawah umur peringkat kedua berikut adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n adalah sama dengan r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen baris (dan lajur) yang sepadan yang membentuk. asas minor.

Apakah yang diberitahu oleh teorem kedudukan matriks kepada kita?

Jika, menurut teorem Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana asas minor bagi matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang melakukan tidak membentuk asas terpilih minor. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana yang kecil adalah dari urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan Matriks Lanjutan juga sama dengan dua, kerana satu-satunya tertib ketiga adalah sifar

dan minor urutan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2.

Sebagai asas minor kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pada pangkat matriks:

Beginilah cara kami memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan menggunakan kaedah Cramer:

Jawapan:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil adalah kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n, maka di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan kita memindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan persamaan sistem dengan tanda berlawanan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r keping) yang berada di sebelah kanan dipanggil percuma.

Kini kami percaya bahawa pembolehubah tidak diketahui bebas boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah utama r tidak diketahui akan dinyatakan melalui pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Mari kita lihat dengan contoh.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Mari cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama. Mari mulakan mencari anak bawah umur bukan sifar bagi susunan kedua yang bersempadan dengan anak bawah umur ini:

Beginilah cara kami menemui minor bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:

Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks lanjutan juga sama dengan tiga, iaitu, sistem adalah konsisten.

Kami mengambil bukan sifar minor yang ditemui pada urutan ketiga sebagai asas satu.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:

Kami meninggalkan istilah yang terlibat dalam asas kecil di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan selebihnya dari tanda yang bertentangan ke sebelah kanan:

Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kita terima , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE akan mengambil borang

Mari kita selesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang terhasil menggunakan kaedah Cramer:

Oleh itu, .

Dalam jawapan anda, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah bebas yang tidak diketahui.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

Mari kita ringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear am, kita mula-mula menentukan keserasiannya menggunakan teorem Kronecker–Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih asas minor dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor terpilih.

Jika susunan asas minor sama dengan nombor pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, yang kami dapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka di sebelah kiri persamaan sistem kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah utama yang tidak diketahui, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan berikan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil kita dapati yang tidak diketahui utama pembolehubah mengikut kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gaussian.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Kaedah Gauss boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa mengujinya terlebih dahulu untuk ketekalan. Proses penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakserasian SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Tontonlah penerangan terperinci dan menganalisis contoh dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menulis penyelesaian umum kepada sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan bercakap pada sistem homogen dan tak homogen serentak bagi persamaan algebra linear yang mempunyai set tak terhingga keputusan.

Mari kita mula-mula berurusan dengan sistem homogen.

Sistem penyelesaian asas sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah himpunan (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ialah kolumnar matriks dimensi n dengan 1) , maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan arbitrari. pekali malar C 1, C 2, ..., C (n-r), iaitu, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menetapkan segala-galanya penyelesaian yang mungkin SLAE asal, dengan kata lain, mengambil mana-mana set nilai pemalar sewenang-wenangnya C 1, C 2, ..., C (n-r), menggunakan formula kita akan memperoleh salah satu penyelesaian kepada SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem asas penyelesaian, maka kita boleh mentakrifkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen.

Kami memilih asas minor bagi sistem asal persamaan linear, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem dan memindahkan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan. Mari beri percuma yang tidak diketahui nilai pembolehubah 1,0,0,…,0 dan hitung yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, menggunakan kaedah Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - penyelesaian pertama sistem asas. Jika anda memberi percuma nilai yang tidak diketahui 0,1,0,0,…,0 dan hitung yang tidak diketahui utama, kita dapat X (2) . Dan seterusnya. Jika kita memberikan nilai 0.0,...,0.1 kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui dan mengira yang tidak diketahui utama, kita memperoleh X (n-r) . Ini adalah bagaimana ia akan dibina sistem asas penyelesaian SLAE homogen dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear, penyelesaian am diwakili dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi SLAE tak homogen asal, yang kita perolehi dengan memberikan nilai bebas yang tidak diketahui 0,0,…,0 dan mengira nilai yang tidak diketahui utama.

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari cari pangkat matriks utama menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Mari kita cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

Seorang bawahan daripada perintah kedua, berbeza daripada sifar, telah ditemui. Mari kita lihat peringkat bawah bawah umur ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua bawah umur bersempadan urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan adalah sama dengan dua. Jom ambil. Untuk kejelasan, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui percuma ke bahagian kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya adalah sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama daripada sistem persamaan
.

Kami akan terus menggilap teknologi kami transformasi asas pada sistem persamaan linear homogen.
Berdasarkan perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa-biasa saja, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Di samping pembangunan selanjutnya teknik akan ada banyak maklumat baru, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.

Apakah sistem persamaan linear homogen?

Jawapannya mencadangkan dirinya sendiri. Sistem persamaan linear adalah homogen jika sebutan bebasnya semua orang persamaan sistem ialah sifar. Contohnya:

Ia benar-benar jelas bahawa sistem homogen sentiasa konsisten, iaitu, ia sentiasa mempunyai penyelesaian. Dan, pertama sekali, apa yang menarik perhatian anda ialah apa yang dipanggil remeh temeh penyelesaian . Remeh, bagi mereka yang langsung tidak faham maksud kata adjektif, bermakna tanpa menunjuk-nunjuk. Tidak dari segi akademik, sudah tentu, tetapi dengan mudah difahami =) ...Mengapa perlu berpusu-pusu, mari ketahui sama ada sistem ini mempunyai penyelesaian lain:

Contoh 1

Penyelesaian: untuk menyelesaikan sistem homogen adalah perlu untuk menulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi asas membawanya ke pandangan melangkah. Sila ambil perhatian bahawa di sini tidak perlu menulis bar menegak dan lajur sifar istilah percuma - selepas semua, tidak kira apa yang anda lakukan dengan sifar, ia akan kekal sifar:

(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –3.

(2) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1.

Membahagikan baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.

Hasil daripada transformasi asas, sistem homogen yang setara diperolehi , dan, menggunakan songsangan kaedah Gaussian, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penyelesaian itu unik.

Jawab:

Mari kita rumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen mempunyai sahaja penyelesaian remeh , Jika kedudukan matriks sistem(V dalam kes ini 3) sama dengan bilangan pembolehubah (dalam kes ini - 3 keping).

Mari memanaskan badan dan menyesuaikan radio kita dengan gelombang transformasi asas:

Contoh 2

Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen

Untuk akhirnya menyatukan algoritma, mari analisa tugas akhir:

Contoh 7

Selesaikan sistem homogen, tulis jawapan dalam bentuk vektor.

Penyelesaian: mari tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

(1) Tanda baris pertama telah ditukar. Sekali lagi, saya menarik perhatian kepada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang membolehkan anda memudahkan tindakan seterusnya dengan ketara.

(1) Baris pertama ditambah pada baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, didarab dengan 2, telah ditambahkan pada baris ke-4.

(3) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya telah dikeluarkan.

Hasilnya adalah standard matriks langkah, dan penyelesaiannya diteruskan di sepanjang trek yang dikurung:

– pembolehubah asas;
– pembolehubah bebas.

Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas. Daripada persamaan ke-2:

– gantikan ke dalam persamaan 1:

Jadi penyelesaian umum ialah:

Oleh kerana dalam contoh yang dipertimbangkan terdapat tiga pembolehubah bebas, sistem asas mengandungi tiga vektor.

Mari kita gantikan tiga kali ganda nilai ke dalam penyelesaian am dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahawa adalah sangat dinasihatkan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ia tidak akan mengambil banyak masa, tetapi ia akan melindungi anda sepenuhnya daripada kesilapan.

Untuk tiga nilai cari vektor

Dan akhirnya untuk mereka bertiga kita mendapat vektor ketiga:

Jawab: , Di mana

Mereka yang ingin mengelak nilai pecahan mungkin mempertimbangkan kembar tiga dan dapatkan jawapan dalam bentuk yang setara:

Bercakap tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah dan marilah kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk memudahkan penyelesaian selanjutnya? Lagipun, di sini kita mula-mula menyatakan pembolehubah asas melalui pecahan, kemudian melalui pecahan pembolehubah asas, dan, saya mesti katakan, proses ini bukanlah yang paling mudah dan bukan yang paling menyenangkan.

Penyelesaian kedua:

Ideanya adalah untuk mencuba pilih pembolehubah asas yang lain. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di lajur ketiga. Jadi mengapa tidak mempunyai sifar di bahagian atas? Mari kita jalankan satu lagi transformasi asas:

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci tugas anda!!!

Untuk memahami apa itu sistem keputusan asas anda boleh menonton tutorial video untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih kepada penerangan sebenar semua kerja yang diperlukan. Ini akan membantu anda memahami intipati isu ini dengan lebih terperinci.

Bagaimana untuk mencari sistem asas penyelesaian kepada persamaan linear?

Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut:

Mari cari penyelesaian untuk ini sistem linear persamaan Sebagai permulaan, kita anda perlu menuliskan matriks pekali sistem.

Mari kita ubah matriks ini kepada segi tiga. Kami menulis semula baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(21)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris kedua, dan menulis perbezaan pada baris kedua. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(41)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima.

Kami menulis semula baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(32)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(42)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(52)$, anda perlu menolak kedua didarab dengan 3 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima.

Kita nampak itu tiga baris terakhir adalah sama, jadi jika anda menolak yang ketiga daripada yang keempat dan kelima, ia akan menjadi sifar.

Mengikut matriks ini tuliskan sistem baru persamaan.

Kita melihat bahawa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linear, dan lima tidak diketahui, jadi sistem asas penyelesaian akan terdiri daripada dua vektor. Jadi kita kita perlu mengalihkan dua yang tidak diketahui terakhir ke kanan.

Sekarang, kita mula menyatakan perkara yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang berada di sebelah kanan. Kita mulakan dengan persamaan terakhir, mula-mula kita nyatakan $x_3$, kemudian kita gantikan hasil yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, dan kemudian ke dalam persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Oleh itu, kami menyatakan semua yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang tidak diketahui yang berada di sebelah kanan.

Kemudian, bukannya $x_4$ dan $x_5$, kita boleh menggantikan sebarang nombor dan mencari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Setiap lima nombor ini akan menjadi punca sistem persamaan asal kita. Untuk mencari vektor yang disertakan dalam FSR kita perlu menggantikan 1 bukannya $x_4$, dan menggantikan 0 bukannya $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, dan kemudian sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.