Penerangan tentang graf fungsi kuadratik. Saya kes, parabola klasik

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk menyediakan anda maklumat peribadi pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan mesej penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau sebab kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Tugasan untuk sifat dan graf fungsi kuadratik menyebabkan, seperti yang ditunjukkan oleh amalan, kesukaran yang serius. Ini agak pelik, kerana fungsi kuadratik diluluskan dalam gred ke-8, dan kemudian keseluruhan suku pertama gred ke-9 "diseksa" oleh sifat parabola dan grafnya dibina untuk pelbagai parameter.

Ini disebabkan oleh fakta bahawa memaksa pelajar untuk membina parabola, mereka secara praktikal tidak menumpukan masa untuk "membaca" graf, iaitu, mereka tidak berlatih memahami maklumat yang diterima daripada gambar. Nampaknya, diandaikan bahawa, setelah membina dua dozen graf, pelajar pintar sendiri akan menemui dan merumuskan hubungan antara pekali dalam formula dan penampilan seni grafik. Dalam amalan, ini tidak berfungsi. Untuk generalisasi sedemikian, pengalaman yang serius penyelidikan mini matematik, yang kebanyakan pelajar gred sembilan, sudah tentu, tidak mempunyai. Sementara itu, dalam GIA mereka mencadangkan untuk menentukan tanda-tanda pekali dengan tepat mengikut jadual.

Kami tidak akan menuntut yang mustahil daripada pelajar sekolah dan hanya menawarkan salah satu algoritma untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Jadi, fungsi borang y=ax2+bx+c dipanggil kuadratik, grafnya ialah parabola. Seperti namanya, komponen utama ialah kapak 2. Itu dia A tidak boleh sama dengan sifar, baki pekali ( b Dan Dengan) boleh sama dengan sifar.

Mari kita lihat bagaimana tanda-tanda pekalinya mempengaruhi penampilan parabola.

Pergantungan paling mudah untuk pekali A. Kebanyakan pelajar sekolah dengan yakin menjawab: "jika A> 0, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

DALAM kes ini A = 0,5

Dan sekarang untuk A < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

Dalam kes ini A = - 0,5

Pengaruh pekali Dengan juga cukup mudah untuk diikuti. Bayangkan bahawa kita ingin mencari nilai fungsi pada satu titik X= 0. Gantikan sifar ke dalam formula:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Ternyata begitu y = c. Itu dia Dengan ialah ordinat bagi titik persilangan parabola dengan paksi-y. Sebagai peraturan, titik ini mudah dicari pada graf. Dan tentukan sama ada ia terletak di atas sifar atau di bawah. Itu dia Dengan> 0 atau Dengan < 0.

Dengan > 0:

y=x2+4x+3

Dengan < 0

y = x 2 + 4x - 3

Sehubungan itu, jika Dengan= 0, maka parabola semestinya akan melalui asalan:

y=x2+4x

Lebih sukar dengan parameter b. Titik di mana kita akan mendapati ia bergantung bukan sahaja pada b tetapi juga dari A. Ini adalah bahagian atas parabola. Abscissanya (koordinat paksi X) didapati oleh formula x dalam \u003d - b / (2a). Oleh itu, b = - 2ax dalam. Iaitu, kita bertindak seperti berikut: pada graf kita dapati bahagian atas parabola, tentukan tanda absisnya, iaitu, kita melihat ke kanan sifar ( x masuk> 0) atau ke kiri ( x masuk < 0) она лежит.

Walau bagaimanapun, ini bukan semua. Kita juga mesti memberi perhatian kepada tanda pekali A. Iaitu, untuk melihat ke mana cawangan parabola diarahkan. Dan hanya selepas itu, mengikut formula b = - 2ax dalam tentukan tanda b.

Pertimbangkan contoh:

Cawangan mengarah ke atas A> 0, parabola melintasi paksi di di bawah sifar bermakna Dengan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x masuk> 0. Jadi b = - 2ax dalam = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Dengan < 0.

Dalam banyak masalah, ia diperlukan untuk mengira maksimum atau nilai minimum fungsi kuadratik. Maksimum atau minimum boleh didapati jika fungsi asal ditulis dalam bentuk piawai: atau melalui koordinat bucu parabola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\gaya paparan f(x)=a(x-h)^(2)+k). Selain itu, maksimum atau minimum mana-mana fungsi kuadratik boleh dikira menggunakan operasi matematik.

Langkah-langkah

Fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk piawai

Tulis fungsi dalam bentuk piawai. Fungsi kuadratik ialah fungsi yang persamaannya merangkumi pembolehubah x 2 (\displaystyle x^(2)). Persamaan mungkin atau mungkin tidak termasuk pembolehubah x (\displaystyle x). Jika persamaan termasuk pembolehubah dengan eksponen lebih besar daripada 2, ia tidak menerangkan fungsi kuadratik. Jika perlu, bawa istilah seperti dan susun semula untuk menulis fungsi dalam bentuk standard.

• Sebagai contoh, diberi fungsi f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\gaya paparan f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Tambah istilah dengan pembolehubah x 2 (\displaystyle x^(2)) dan ahli dengan pembolehubah x (\displaystyle x) untuk menulis persamaan dalam bentuk piawai:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Cabang-cabang parabola menghala ke atas atau ke bawah. Jika pekali a (\gaya paparan a) dengan pembolehubah x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\gaya paparan a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\gaya paparan f(x)=2x^(2)+4x-6). Di sini a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\gaya paparan f(x)=-3x^(2)+2x+8). Di sini , jadi parabola menghala ke bawah.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Di sini a = 1 (\displaystyle a=1) jadi parabola menghala ke atas.
   • Jika parabola diarahkan ke atas, anda perlu mencari minimumnya. Jika parabola menghala ke bawah, cari maksimumnya.

2. Kira -b/2a. Maknanya − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) ialah koordinat x (\displaystyle x) bahagian atas parabola. Jika fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk piawai a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), gunakan pekali untuk x (\displaystyle x) Dan x 2 (\displaystyle x^(2)) dengan cara berikut:

   • Dalam pekali fungsi a = 1 (\displaystyle a=1) Dan b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Sebagai contoh kedua, pertimbangkan fungsi . Di sini a = − 3 (\displaystyle a=-3) Dan b = 6 (\displaystyle b=6). Oleh itu, hitungkan koordinat-x bagi bahagian atas parabola seperti berikut:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Cari nilai yang sepadan bagi f(x). Gantikan nilai "x" yang ditemui ke dalam fungsi asal untuk mencari nilai f(x) yang sepadan. Ini adalah cara anda mencari minimum atau maksimum fungsi.

   • Dalam contoh pertama f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\gaya paparan f(x)=x^(2)+10x-1) anda mengira bahawa koordinat-x bagi bahagian atas parabola ialah x = − 5 (\gaya paparan x=-5). Dalam fungsi asal, bukannya x (\displaystyle x) pengganti − 5 (\gaya paparan -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\gaya paparan f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\gaya paparan f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\gaya paparan f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\gaya paparan f(x)=-26)
   • Dalam contoh kedua f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\gaya paparan f(x)=-3x^(2)+6x-4) anda mendapati bahawa koordinat-x bagi bucu parabola ialah x = 1 (\displaystyle x=1). Dalam fungsi asal, bukannya x (\displaystyle x) pengganti 1 (\gaya paparan 1) untuk mencari nilai maksimumnya:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\gaya paparan f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\gaya paparan f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\gaya paparan f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\gaya paparan f(x)=-1)

4. Tulis jawapannya. Baca semula keadaan masalah. Jika anda perlu mencari koordinat puncak parabola, tulis kedua-dua nilai dalam jawapan anda x (\displaystyle x) Dan y (\displaystyle y)(atau f (x) (\gaya paparan f(x))). Jika anda perlu mengira maksimum atau minimum fungsi, tuliskan hanya nilai dalam jawapan anda y (\displaystyle y)(atau f (x) (\gaya paparan f(x))). Lihat sekali lagi pada tanda pekali a (\gaya paparan a) untuk menyemak sama ada anda mengira maksimum atau minimum.

   • Dalam contoh pertama f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\gaya paparan f(x)=x^(2)+10x-1) maksudnya a (\gaya paparan a) adalah positif, jadi anda mengira minimum. Puncak parabola terletak pada titik dengan koordinat (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), dan nilai minimum fungsi ialah − 26 (\displaystyle -26).
   • Dalam contoh kedua f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\gaya paparan f(x)=-3x^(2)+6x-4) maksudnya a (\gaya paparan a) negatif, jadi anda telah menemui maksimum. Puncak parabola terletak pada titik dengan koordinat (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), dan nilai maksimum fungsi adalah sama dengan − 1 (\displaystyle -1).

5. Tentukan arah parabola. Untuk melakukan ini, lihat tanda pekali a (\gaya paparan a). Jika pekali a (\gaya paparan a) positif, parabola diarahkan ke atas. Jika pekali a (\gaya paparan a) negatif, parabola menghala ke bawah. Sebagai contoh:

   • . Di sini a = 2 (\displaystyle a=2), iaitu, pekali adalah positif, jadi parabola diarahkan ke atas.
   • . Di sini a = − 3 (\displaystyle a=-3), iaitu, pekali adalah negatif, jadi parabola diarahkan ke bawah.
   • Jika parabola menghala ke atas, anda perlu mengira nilai minimum fungsi tersebut. Jika parabola menghala ke bawah, adalah perlu untuk mencari nilai maksimum fungsi tersebut.

6. Cari nilai minimum atau maksimum bagi fungsi tersebut. Jika fungsi ditulis dalam sebutan koordinat bucu parabola, minimum atau maksimum sama dengan nilai pekali k (\gaya paparan k). Dalam contoh di atas:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\gaya paparan f(x)=2(x+1)^(2)-4). Di sini k = − 4 (\gaya paparan k=-4). Ini adalah nilai minimum fungsi kerana parabola menghala ke atas.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Di sini k = 2 (\gaya paparan k=2). Ini ialah nilai maksimum fungsi kerana parabola menghala ke bawah.

7. Cari koordinat bagi bucu parabola. Jika dalam masalah itu diperlukan untuk mencari bucu parabola, koordinatnya adalah (h , k) (\displaystyle (h,k)). Ambil perhatian bahawa apabila fungsi kuadratik ditulis dari segi koordinat bucu parabola, operasi tolak mesti disertakan dalam kurungan. (x − h) (\gaya paparan (x-h)), jadi nilai h (\gaya paparan h) diambil dengan tanda yang bertentangan.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\gaya paparan f(x)=2(x+1)^(2)-4). Di sini, operasi tambah (x+1) disertakan dalam kurungan, yang boleh ditulis semula seperti berikut: (x-(-1)). Oleh itu, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Oleh itu, koordinat bucu parabola bagi fungsi ini ialah (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Di sini dalam kurungan ialah ungkapan (x-2). Oleh itu, h = 2 (\displaystyle h=2). Koordinat puncak ialah (2,2).

Cara Mengira Minimum atau Maksimum Menggunakan Operasi Matematik

1. Mari kita pertimbangkan dahulu bentuk piawai persamaan tersebut. Tulis fungsi kuadratik dalam bentuk piawai: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Jika perlu, bawa istilah serupa dan susun semula untuk mendapatkan persamaan piawai.

   • Sebagai contoh: .

2. Cari terbitan pertama. Terbitan pertama bagi fungsi kuadratik, yang ditulis dalam bentuk piawai, adalah sama dengan f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\gaya paparan f(x)=2x^(2)-4x+1). Derivatif pertama bagi fungsi ini dikira seperti berikut:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Tetapkan terbitan kepada sifar. Ingat bahawa terbitan fungsi adalah sama dengan kecerunan fungsi dalam titik tertentu. Minimum atau maksimum cerun sama dengan sifar. Oleh itu, untuk mencari nilai minimum atau maksimum fungsi, terbitan mesti disamakan dengan sifar. Dalam contoh kita.

Bagaimana untuk membina parabola? Terdapat beberapa cara untuk membuat graf fungsi kuadratik. Setiap daripada mereka mempunyai kebaikan dan keburukan. Mari kita pertimbangkan dua cara.

Mari kita mulakan dengan memplot fungsi kuadratik seperti y=x²+bx+c dan y= -x²+bx+c.

Contoh.

Plotkan fungsi y=x²+2x-3.

Penyelesaian:

y=x²+2x-3 ialah fungsi kuadratik. Graf ialah parabola dengan cabang ke atas. Koordinat puncak parabola

Daripada bucu (-1;-4) kita membina graf parabola y=x² (seperti dari asal. Daripada (0;0) - bucu (-1;-4). Daripada (-1;- 4) kita pergi ke kanan dengan 1 unit dan ke atas dengan 1, kemudian kiri oleh 1 dan ke atas dengan 1, kemudian: 2 - kanan, 4 - atas, 2 - kiri, 4 - atas, 3 - kanan, 9 - atas, 3 - kiri, 9 - atas. 7 mata ini tidak mencukupi, kemudian - 4 ke kanan, 16 - atas, dsb.).

Graf bagi fungsi kuadratik y= -x²+bx+c ialah parabola yang cawangannya diarahkan ke bawah. Untuk membina graf, kita sedang mencari koordinat puncak dan daripadanya kita membina parabola y= -x².

Contoh.

Plotkan fungsi y= -x²+2x+8.

Penyelesaian:

y= -x²+2x+8 ialah fungsi kuadratik. Graf ialah parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat puncak parabola

Dari atas kita membina parabola y = -x² (1 - kanan, 1 - bawah; 1 - kiri, 1 - bawah; 2 - kanan, 4 - bawah; 2 - kiri, 4 - bawah, dsb.):

Kaedah ini membolehkan anda membina parabola dengan cepat dan tidak menyebabkan kesukaran jika anda tahu cara memplot fungsi y=x² dan y= -x². Kelemahan: jika koordinat bucu adalah nombor pecahan, merancang tidak begitu mudah. Jika anda ingin mengetahui nilai tepat titik persilangan graf dengan paksi-x, anda juga perlu menyelesaikan persamaan x² + bx + c = 0 (atau -x² + bx + c = 0), walaupun mata ini boleh ditentukan secara langsung daripada rajah.

Satu lagi cara untuk membina parabola adalah dengan titik, iaitu, anda boleh mencari beberapa titik pada graf dan melukis parabola melaluinya (dengan mengambil kira bahawa garis x=xₒ ialah paksi simetrinya). Biasanya, untuk ini, mereka mengambil bahagian atas parabola, titik persilangan graf dengan paksi koordinat, dan 1-2 titik tambahan.

Plotkan fungsi y=x²+5x+4.

Penyelesaian:

y=x²+5x+4 ialah fungsi kuadratik. Graf ialah parabola dengan cabang ke atas. Koordinat puncak parabola

iaitu bahagian atas parabola ialah titik (-2.5; -2.25).

Sedang mencari . Pada titik persilangan dengan paksi Ox y=0: x²+5x+4=0. Akar persamaan kuadratik x1=-1, x2=-4, iaitu, kita mendapat dua mata pada graf (-1; 0) dan (-4; 0).

Pada titik persilangan graf dengan paksi Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mendapat mata (0; 4).

Untuk memperhalusi graf, anda boleh mencari titik tambahan. Mari kita ambil x=1, kemudian y=1²+5∙1+4=10, iaitu, satu lagi titik graf - (1; 10). Tandakan titik ini pada satah koordinat. Dengan mengambil kira simetri parabola berkenaan dengan garis lurus yang melalui bucunya, kami menandakan dua lagi titik: (-5; 6) dan (-6; 10) dan melukis parabola melaluinya:

Plotkan fungsi y= -x²-3x.

Penyelesaian:

y= -x²-3x ialah fungsi kuadratik. Graf ialah parabola dengan cabang ke bawah. Koordinat puncak parabola

Bahagian atas (-1.5; 2.25) ialah titik pertama parabola.

Pada titik persilangan graf dengan paksi-x y=0, iaitu, kita menyelesaikan persamaan -x²-3x=0. Puncanya ialah x=0 dan x=-3, iaitu (0; 0) dan (-3; 0) ialah dua lagi titik pada graf. Titik (o; 0) juga merupakan titik persilangan parabola dengan paksi-y.

Pada x=1 y=-1²-3∙1=-4, iaitu (1; -4) ialah titik tambahan untuk memplot.

Membina parabola dari titik adalah kaedah yang lebih memakan masa berbanding dengan yang pertama. Jika parabola tidak bersilang dengan paksi Lembu, lebih banyak mata tambahan akan diperlukan.

Sebelum meneruskan memplot fungsi kuadratik dalam bentuk y=ax²+bx+c, pertimbangkan memplot fungsi menggunakan transformasi geometri. Graf fungsi dalam bentuk y=x²+c juga paling mudah untuk dibina menggunakan salah satu daripada transformasi ini - terjemahan selari.

Rubrik: |

Dalam pelajaran matematik di sekolah, anda telah pun mengenali sifat termudah dan graf fungsi y=x2. Jom luaskan ilmu fungsi kuadratik.

Latihan 1.

Plot fungsi y=x2. Skala: 1 = 2 cm Tandakan satu titik pada paksi Oy F(0; 1/4). Menggunakan kompas atau jalur kertas, ukur jarak dari titik F sampai satu tahap M parabola. Kemudian sematkan jalur pada titik M dan putarkannya di sekeliling titik ini supaya ia menjadi menegak. Hujung jalur akan jatuh sedikit di bawah paksi-x (Rajah 1). Tandai pada jalur sejauh mana ia melepasi paksi-x. Ambil satu lagi titik pada parabola dan ulangi pengukuran sekali lagi. Berapakah jumlah tepi jalur yang kini jatuh melepasi paksi-x?

Keputusan: tidak kira apa titik pada parabola y \u003d x 2 yang anda ambil, jarak dari titik ini ke titik F (0; 1/4) akan lebih besar daripada jarak dari titik yang sama ke paksi-x sentiasa sama. nombor - sebanyak 1/4.

Ia boleh dikatakan berbeza: jarak dari mana-mana titik parabola ke titik (0; 1/4) adalah sama dengan jarak dari titik parabola yang sama ke garis y = -1/4. Titik indah F(0; 1/4) ini dipanggil fokus parabola y \u003d x 2, dan garis lurus y \u003d -1/4 - guru besar parabola ini. Setiap parabola mempunyai directrix dan fokus.

Ciri-ciri menarik parabola:

1. Mana-mana titik parabola adalah sama jarak dari satu titik, dipanggil fokus parabola, dan beberapa garis, dipanggil directrixnya.

2. Jika anda memutarkan parabola di sekeliling paksi simetri (contohnya, parabola y \u003d x 2 di sekeliling paksi Oy), anda mendapat permukaan yang sangat menarik, yang dipanggil paraboloid revolusi.

Permukaan cecair dalam bekas berputar mempunyai bentuk paraboloid revolusi. Anda boleh melihat permukaan ini jika anda kacau kuat dengan sudu dalam segelas teh yang tidak lengkap, dan kemudian keluarkan sudu.

3. Jika anda membaling batu ke dalam kekosongan pada sudut tertentu ke ufuk, maka ia akan terbang di sepanjang parabola (Gamb. 2).

4. Jika anda memotong permukaan kon dengan satah selari dengan mana-mana penjananya, maka dalam bahagian itu anda mendapat parabola (Gamb. 3).

5. Di taman-taman hiburan, mereka kadangkala mengatur tarikan lucu yang dipanggil Paraboloid of Wonders. Bagi setiap orang yang berdiri di dalam paraboloid berputar, nampaknya dia berdiri di atas lantai, dan orang lain, dengan keajaiban, terus berada di dinding.

6. Dalam teleskop pantulan, cermin parabola juga digunakan: cahaya bintang yang jauh, bergerak dalam rasuk selari, jatuh pada cermin teleskop, dikumpulkan dalam fokus.

7. Untuk lampu sorot, cermin biasanya dibuat dalam bentuk paraboloid. Jika anda meletakkan sumber cahaya pada fokus paraboloid, maka sinar, yang dipantulkan dari cermin parabola, membentuk pancaran selari.

Memplot Fungsi Kuadratik

Dalam pelajaran matematik, anda mempelajari cara mendapatkan graf fungsi bentuk daripada graf fungsi y \u003d x 2:

1) y=ax2– pengembangan graf y = x 2 di sepanjang paksi Oy dalam |a| kali (untuk |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, nasi. 4).

2) y=x2+n– anjakan graf dengan n unit di sepanjang paksi Oy, dan jika n > 0, maka anjakan adalah ke atas, dan jika n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– anjakan graf dengan unit m sepanjang paksi Lembu: jika m< 0, то вправо, а если m >0, kemudian ke kiri, (Gamb. 5).

4) y=-x2- paparan simetri tentang paksi Ox graf y = x 2 .

Mari kita fikirkan tentang memplot graf fungsi dengan lebih terperinci. y = a(x - m) 2 + n.

Fungsi kuadratik bentuk y = ax 2 + bx + c sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk

y \u003d a (x - m) 2 + n, di mana m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Jom buktikan.

sungguh,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Mari kita perkenalkan notasi baharu.

biarlah m = -b/(2a), A n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

maka kita dapat y = a(x - m) 2 + n atau y - n = a(x - m) 2 .

Mari kita buat beberapa penggantian lagi: biarkan y - n = Y, x - m = X (*).

Kemudian kita mendapat fungsi Y = aX 2 , yang grafnya ialah parabola.

Puncak parabola berada di titik asal. x=0; Y = 0.

Menggantikan koordinat bucu dalam (*), kita memperoleh koordinat bucu graf y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Oleh itu, untuk memplot fungsi kuadratik yang diwakili sebagai

y = a(x - m) 2 + n

dengan transformasi, anda boleh meneruskan seperti berikut:

a) bina graf bagi fungsi y = x 2 ;

b) dengan terjemahan selari di sepanjang paksi Ox dengan unit m dan sepanjang paksi Oy dengan n unit - pindahkan bahagian atas parabola dari asal ke titik dengan koordinat (m; n) (Gamb. 6).

Tulis transformasi:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Contoh.

Menggunakan transformasi bina dalam Sistem kartesian graf koordinat bagi fungsi y = 2(x - 3) 2 – 2.

Penyelesaian.

Rantaian transformasi:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Pembinaan graf ditunjukkan dalam nasi. 7.

Anda boleh berlatih memplot fungsi kuadratik sendiri. Sebagai contoh, bina graf fungsi y = 2(x + 3) 2 + 2 dalam satu sistem koordinat menggunakan transformasi. Jika anda mempunyai sebarang soalan atau ingin mendapatkan nasihat daripada guru, maka anda berpeluang untuk sesi 25 minit percuma dengan tutor dalam talian selepas pendaftaran. Untuk kerja lanjut dengan guru, anda boleh memilih pelan tarif yang sesuai dengan anda.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan? Tidak tahu cara membuat graf fungsi kuadratik?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.