Menentukan jarak dari satu titik ke garisan dalam kedudukan umum. Menentukan jarak dari satu titik ke garis

Tugas-tugas ini termasuk: tugas untuk menentukan jarak dari titik ke garis lurus, ke satah, ke permukaan; antara garis selari dan bersilang; antara satah selari, dsb.

Semua tugas ini disatukan oleh tiga keadaan:

Pertama sekali, sejauh mana jarak terpendek antara rajah tersebut adalah serenjang, maka kesemuanya dikurangkan kepada pembinaan garis dan satah yang saling berserenjang.

Kedua, dalam setiap masalah ini adalah perlu untuk menentukan panjang semula jadi segmen, iaitu, untuk menyelesaikan masalah metrik utama kedua.

ketiga, ini adalah tugas yang kompleks, ia diselesaikan dalam beberapa peringkat, dan pada setiap peringkat tugas khusus yang berasingan dan kecil diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian salah satu masalah ini.

Tugasan: Tentukan jarak dari titik M kepada lurus kedudukan umum a(Rajah 4-26).

Algoritma:

Peringkat 1: Jarak dari titik ke garis adalah serenjang. Sejak langsung a- kedudukan umum, kemudian untuk membina serenjang dengannya, adalah perlu untuk menyelesaikan masalah yang serupa dengan yang diberikan pada halaman M4-4 modul ini, iaitu, pertama melalui titik M pegang kapal terbang S, berserenjang a. Kami menetapkan pesawat ini, seperti biasa, hÇ f, di mana h1^ a 1, a f2^ a 2

Peringkat 2: Untuk membina serenjang, anda perlu mencari titik kedua untuknya. Ini akan menjadi perkara utama Kepada tergolong dalam barisan a. Untuk mencarinya, anda perlu menyelesaikan masalah kedudukan, iaitu, mencari titik persilangan garis a dengan kapal terbang S. Kami menyelesaikan 1GPZ mengikut algoritma ketiga (Rajah 4-28):

Kami memperkenalkan pesawat - perantara G, G^^ P 1 , GÉ aÞ Г 1 = a 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2З a 2 = K 2Þ K 1.

Peringkat 3: Mencari saiz sebenar MK kaedah segi tiga tepat

Penyelesaian lengkap masalah ditunjukkan dalam rajah. 4-30.

Tatatanda algoritma penyelesaian:

1. S^a,S = hЗ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Kami memperkenalkan pesawat - perantara G,

- G^^ P 1 , GÉ aÞ Г 1 = a 1 ;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2З a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Mencari saiz sebenar MK.

Penemuan:

1. Penyelesaian semua masalah metrik dikurangkan kepada menyelesaikan masalah metrik asas pertama - pada keserenjang bersama garis dan satah.

2. Apabila menentukan jarak antara bentuk geometri masalah metrik utama kedua sentiasa digunakan - untuk menentukan saiz semula jadi segmen.

3. Satah tangen pada permukaan pada satu titik boleh ditakrifkan oleh dua garis bersilang, setiap satunya adalah tangen kepada permukaan yang diberikan.

soalan ujian

1. Apakah tugas yang dipanggil metrik?

2. Apakah dua tugas metrik utama yang anda tahu?

3. Apakah yang lebih berfaedah untuk menetapkan satah berserenjang dengan garis lurus dalam kedudukan umum?

4. Apakah nama satah yang berserenjang dengan salah satu garis aras?

5. Apakah nama satah berserenjang dengan salah satu garis unjuran?

6. Apakah yang dipanggil satah tangen kepada permukaan?

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang dari titik ke garis. AT geometri deskriptif ia ditakrifkan secara grafik mengikut algoritma di bawah.

Algoritma

1. Garis lurus dipindahkan ke kedudukan di mana ia akan selari dengan mana-mana satah unjuran. Untuk melakukan ini, gunakan kaedah transformasi unjuran ortogon.
2. Lukiskan serenjang dari satu titik ke garis. Pada intinya pembinaan ini ialah teorem unjuran sudut tepat.
3. Panjang serenjang ditentukan dengan menukar unjurannya atau menggunakan kaedah segi tiga tepat.

Rajah berikut menunjukkan lukisan kompleks titik M dan garis b yang ditakrifkan oleh CD segmen garis. Anda perlu mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mengalihkan garisan ke kedudukan selari dengan satah unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi, jarak sebenar antara titik dan garis tidak sepatutnya berubah. Itulah sebabnya adalah mudah untuk menggunakan kaedah penggantian pesawat di sini, yang tidak melibatkan angka bergerak di angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Rajah menunjukkan bagaimana satah hadapan tambahan P 4 diperkenalkan selari dengan b. AT sistem baru(P 1 , P 4) titik C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 dengan C"", D"", M"" dari paksi X.

Melakukan bahagian kedua algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan serenjang M"" 1 N"" 1 ke garis b"" 1, kerana sudut tepat MND antara b dan MN diunjurkan ke satah P 4 dalam saiz penuh. Kami menentukan kedudukan titik N" di sepanjang garis komunikasi dan melukis unjuran M"N" segmen MN.

Pada peringkat akhir adalah perlu untuk menentukan nilai segmen MN dengan unjurannya M"N" dan M"" 1 N"" 1 . Untuk melakukan ini, kami membina segitiga bersudut tegak M"" 1 N"" 1 N 0, di mana kaki N"" 1 N 0 adalah sama dengan perbezaan (Y M 1 - Y N 1) penyingkiran titik M " dan N" daripada paksi X 1. Panjang hipotenus M"" 1 N 0 segi tiga M"" 1 N"" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari M ke b.

Cara kedua untuk menyelesaikan

• Selari dengan CD kami memperkenalkan satah hadapan baharu П 4 . Ia bersilang P 1 di sepanjang paksi X 1, dan X 1 ∥C"D". Selaras dengan kaedah menggantikan satah, kami menentukan unjuran titik C "" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
• Serenjang dengan C "" 1 D "" 1 kita membina satah mendatar tambahan P 5 di mana garis lurus b diunjurkan ke titik C" 2 \u003d b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis lurus b ditentukan oleh panjang segmen M "2 C" 2 yang ditandakan dengan warna merah.

Tugas berkaitan:

Ia diperlukan untuk menentukan jarak dari satu titik ke garis. Rancangan keseluruhan penyelesaian masalah:

- melalui titik tertentu kita melukis satah berserenjang dengan garis lurus tertentu;

- cari titik pertemuan garisan itu

dengan kapal terbang;

- tentukan nilai semula jadi bagi jarak tersebut.

Melalui titik tertentu kita melukis satah berserenjang dengan garis AB. Satah ditetapkan oleh mendatar dan hadapan bersilang, unjuran yang dibina mengikut algoritma perpendicularity (masalah songsang).

Cari titik pertemuan garis AB dengan satah. Ini adalah tugas biasa tentang persilangan garis lurus dengan satah (lihat bahagian "Persilangan garis lurus dengan satah").

Serenjang satah

Satah adalah saling berserenjang jika salah satu daripadanya mengandungi garis yang berserenjang dengan satah yang satu lagi. Oleh itu, untuk melukis satah berserenjang dengan satah lain, anda mesti terlebih dahulu melukis satah berserenjang dengan satah, dan kemudian lukis satah yang dikehendaki melaluinya. Pada rajah, satah diberikan oleh dua garis lurus yang bersilang, satu daripadanya berserenjang dengan satah ABC.

Jika pesawat diberikan oleh jejak, maka kes berikut adalah mungkin:

- kalau dua satah serenjang sedang mengunjurkan, maka jejak kolektif mereka adalah saling berserenjang;

- satah dalam kedudukan am dan satah unjur adalah berserenjang jika jejak kolektif satah unjur berserenjang dengan jejak nama yang sama pada satah dalam kedudukan umum;

- jika seperti jejak dua satah dalam kedudukan umum adalah berserenjang, maka satah itu tidak berserenjang antara satu sama lain.

Kaedah untuk menggantikan satah unjuran

	penggantian satah unjuran
terletak pada hakikat bahawa pesawat
bahagian digantikan dengan flat lain
	supaya	geometri
objek dalam sistem pesawat baharu
unjuran mula mengambil swasta -oleh
kedudukan, yang memungkinkan untuk memudahkan semula
penyelesaian masalah. Pada skala spatial
ket menunjukkan penggantian satah V dengan
V 1 baharu. Ia juga ditunjukkan
titik A pada satah asal
unjuran dan satah unjuran baharu
V1. Apabila menggantikan satah unjuran
keortogonan sistem terpelihara.

Mari kita ubah susun atur spatial menjadi susun atur satah dengan memutarkan satah di sepanjang anak panah. Kami mendapat tiga satah unjuran digabungkan menjadi satu satah.

Kemudian kami mengeluarkan pesawat unjuran dan
		unjuran
Daripada plot titik mengikut peraturan: bila
menggantikan V dengan V 1 untuk
		hadapan
titik, ia adalah perlu dari paksi baru
ketepikan titik terpakai yang diambil daripada
sistem pesawat sebelumnya
saham. Begitu juga, seseorang boleh membuktikan
	menggantikan H dengan H 1 adalah perlu
tetapkan ordinat titik tersebut.

Masalah tipikal pertama kaedah menggantikan satah unjuran

Tugas biasa pertama kaedah menggantikan satah unjuran ialah transformasi garisan dalam kedudukan umum, mula-mula menjadi garisan aras, dan kemudian menjadi garisan unjuran. Masalah ini adalah antara yang utama, kerana ia digunakan dalam menyelesaikan masalah lain, contohnya, dalam menentukan jarak antara garis selari dan condong, dalam menentukan sudut dihedral dan lain-lain.

Kami membuat perubahan V → V 1 .
paksi dilukis selari dengan mengufuk
		unjuran.
unjuran hadapan terus, untuk
				menangguhkan
aplikasi titik. Depan baru
unjuran garis lurus ialah garis lurus HB.
Garis lurus itu sendiri menjadi frontal.
Sudut α ° ditentukan.

Kami membuat penggantian H → H 1. Lukiskan paksi baharu berserenjang unjuran hadapan lurus. Kami sedang membina yang baru unjuran mendatar garis lurus, yang mana kita mengetepikan ordinat garis lurus yang diambil daripada sistem satah unjuran sebelumnya dari paksi baharu. Garisan itu menjadi garisan mengunjur mendatar dan "merosot" menjadi satu titik.

Penentuan jarak

Jarak dari titik ke titik dan dari titik ke garis

Jarak dari titik ke titik ditentukan oleh panjang segmen garisan yang menghubungkan titik-titik ini. Seperti yang ditunjukkan di atas, masalah ini boleh diselesaikan sama ada dengan kaedah segi tiga bersudut tegak atau dengan menggantikan satah unjuran dengan menggerakkan segmen ke kedudukan garis aras.

Jarak dari titik ke garisan diukur dengan segmen serenjang yang dilukis dari satu titik ke garis. Segmen serenjang ini digambarkan dalam saiz penuh pada satah unjuran jika ia dilukis ke garis unjuran. Oleh itu, mula-mula garis lurus mesti dipindahkan ke kedudukan unjuran, dan kemudian dari titik yang diberikan jatuhkan serenjang di atasnya. Pada rajah. 1 menunjukkan penyelesaian kepada masalah ini. Untuk memindahkan garisan kedudukan am AB ke kedudukan garis aras, x14 IIA1 B1 dijalankan. Kemudian AB dipindahkan ke kedudukan unjuran dengan memperkenalkan satah unjuran tambahan P5, yang mana paksi unjuran baru x45 \ A4 B4 dijalankan.

Gambar 1

Begitu juga dengan titik A dan B, titik M diunjurkan pada satah unjuran P5.

Unjuran K5 tapak K serenjang jatuh dari titik M ke garis AB, pada satah unjuran P5, akan bertepatan dengan unjuran titik yang sepadan.

A dan B. Unjuran M5 K5 serenjang MK ialah nilai semula jadi bagi jarak dari titik M ke garis AB.

Dalam sistem satah unjuran P4 / P5, MK serenjang akan menjadi garis aras, kerana ia terletak dalam satah selari dengan satah unjuran P5. Oleh itu, unjurannya M4 K4 pada satah P4 adalah selari dengan x45 , i.e. berserenjang dengan unjuran A4 B4. Keadaan ini menentukan kedudukan unjuran K4 tapak serenjang K, yang ditemui dengan melukis garis lurus dari M4 selari dengan x45 sehingga ia bersilang dengan unjuran A4 B4. Baki unjuran serenjang ditemui dengan mengunjurkan titik K pada satah unjuran P1 dan P2.

Jarak dari titik ke satah

Penyelesaian kepada masalah ini ditunjukkan dalam Rajah. 2. Jarak dari titik M ke satah (ABC) diukur dengan segmen serenjang yang dijatuhkan dari titik ke satah.

Rajah 2

Memandangkan serenjang dengan satah unjuran ialah garis aras, kami terjemahkan ke dalam kedudukan ini kapal terbang yang diberi, akibatnya pada satah unjuran P4 yang baru diperkenalkan kita memperoleh unjuran merosot C4 B4 satah ABC. Seterusnya, kami mengunjurkan titik M ke P4. Nilai semula jadi jarak dari titik M ke satah ditentukan oleh segmen serenjang

[MK]=[M4 K4]. Unjuran baki serenjang dibina dengan cara yang sama seperti dalam masalah sebelumnya, i.e. mengambil kira hakikat bahawa segmen MK dalam sistem satah unjuran P1 / P4 adalah garis aras dan unjurannya M1 K1 selari dengan paksi

x14.

Jarak antara dua garis lurus

Jarak terpendek antara garis condong diukur dengan segmen serenjang biasa dengannya, dipotong oleh garisan ini. Masalahnya diselesaikan dengan memilih (hasil daripada dua perubahan berturut-turut) satah unjuran berserenjang dengan salah satu garis bersilang. Dalam kes ini, segmen serenjang yang dikehendaki akan selari dengan satah unjuran yang dipilih dan akan dipaparkan padanya tanpa herotan. Pada rajah. 3 menunjukkan dua garis lurus bersilang yang ditakrifkan oleh segmen AB dan CD.

Rajah 3

Garis lurus diunjurkan pada permulaan ke satah unjuran P4, selari dengan satu (mana-mana) daripadanya, contohnya, AB, dan berserenjang dengan P1.

Pada satah unjuran P4, segmen AB akan dipaparkan tanpa herotan. Kemudian segmen diunjurkan ke satah baru P5 berserenjang dengan garis lurus AB dan satah P4 yang sama. Pada satah unjuran P5, unjuran segmen AB berserenjang dengannya merosot ke titik A5 =B5, dan nilai yang dikehendaki N5 M5 segmen NM berserenjang dengan C5 D5 dan digambarkan dalam saiz penuh. Menggunakan talian komunikasi yang sesuai, unjuran segmen MN dibina pada permulaan

melukis. Seperti yang ditunjukkan sebelum ini, unjuran N4 M4 segmen yang dikehendaki pada satah P4 adalah selari dengan paksi unjuran x45, kerana ia adalah garis aras dalam sistem satah unjuran P4 / P5.

Tugas menentukan jarak D antara dua garis selari AB ke CD - kes istimewa yang sebelumnya (Rajah 4).

Rajah 4

Dengan penggantian dua satah unjuran, garis selari dipindahkan ke kedudukan unjuran, akibatnya pada satah unjuran P5 kita akan mempunyai dua unjuran merosot A5 = B5 dan C5 = D5 garis AB dan CD. Jarak antara mereka D akan sama dengan nilai semula jadinya.

Jarak dari garis lurus ke satah yang selari dengannya diukur dengan segmen serenjang yang dijatuhkan dari mana-mana titik pada garis lurus ke satah. Oleh itu, sudah cukup untuk mengubah satah kedudukan am ke kedudukan satah unjuran, mengambil titik terus, dan penyelesaian masalah akan dikurangkan untuk menentukan jarak dari titik ke satah.

Untuk menentukan jarak antara satah selari, adalah perlu untuk menterjemahkannya ke dalam kedudukan unjuran dan membina serenjang dengan unjuran merosot satah, segmen di antara mereka akan menjadi jarak yang diperlukan.

155*. Tentukan saiz sebenar segmen AB bagi garis lurus dalam kedudukan umum (Rajah 153, a).

Keputusan. Seperti yang anda ketahui, unjuran segmen garis lurus pada mana-mana satah adalah sama dengan segmen itu sendiri (dengan mengambil kira skala lukisan), jika ia selari dengan satah ini

(Gamb. 153, b). Ia berikutan daripada ini bahawa dengan menukar lukisan adalah perlu untuk mencapai keselarian segmen pl ini. V atau pl. H atau tambah sistem V, H dengan satah lain berserenjang dengan segi empat sama. V atau kepada pl. H dan pada masa yang sama selari dengan segmen yang diberikan.

Pada rajah. 153, c menunjukkan pengenalan satah tambahan S, berserenjang dengan segi empat sama. H dan selari segmen yang diberikan AB.

Unjuran a s b s adalah sama dengan nilai semula jadi bagi segmen AB.

Pada rajah. 153, d menunjukkan kaedah lain: segmen AB diputar mengelilingi garis lurus yang melalui titik B dan berserenjang dengan segi empat sama. H, kepada kedudukan selari

persegi V. Dalam kes ini, titik B kekal di tempatnya, dan titik A menduduki kedudukan baru A 1 . Horizon dalam kedudukan baharu. unjuran a 1 b || paksi x. Unjuran a "1 b" adalah sama dengan nilai semula jadi bagi segmen AB.

156. Piramid SABCD diberikan (Gamb. 154). Tentukan saiz semula jadi tepi piramid AS dan CS menggunakan kaedah menukar satah unjuran, dan tepi BS dan DS menggunakan kaedah putaran, dan ambil paksi putaran berserenjang dengan segi empat sama. H.

157*. Tentukan jarak dari titik A ke garis lurus BC (Rajah 155, a).

Keputusan. Jarak dari satu titik ke garisan diukur dengan segmen serenjang yang dilukis dari titik ke garis.

Jika garis itu berserenjang dengan mana-mana satah (Rajah 155.6), maka jarak dari titik ke garisan diukur dengan jarak antara unjuran titik dan titik unjuran garis lurus pada satah ini. Jika garis lurus menduduki kedudukan umum dalam sistem V, H, maka untuk menentukan jarak dari titik ke garis lurus dengan menukar satah unjuran, dua lagi satah tambahan mesti dimasukkan ke dalam sistem V, H.

Mula-mula (Rajah 155, c) kita memasuki petak. S, selari dengan segmen BC (paksi baharu S/H adalah selari dengan unjuran bс), dan kami membina unjuran b s c s dan a s . Kemudian (Rajah 155, d) kami memperkenalkan satu lagi segi empat sama. T berserenjang dengan garis BC (paksi T/S baharu berserenjang dengan b s c s). Kami membina unjuran garis lurus dan titik - dengan t (b t) dan t. Jarak antara titik a t dan c t (b t) adalah sama dengan jarak l dari titik A ke garis BC.

Pada rajah. 155e, tugas yang sama dicapai dengan kaedah putaran dalam bentuknya, yang dipanggil kaedah pergerakan selari. Mula-mula, garis BC dan titik A, mengekalkan kedudukan bersama mereka tidak berubah, pusingkan beberapa garis (tidak ditunjukkan dalam lukisan) berserenjang dengan segi empat sama. H, supaya garis lurus BC selari dengan segi empat sama. V. Ini bersamaan dengan titik bergerak A, B, C dalam satah selari dengan segi empat sama. H. Pada masa yang sama, ufuk. unjuran sistem yang diberikan(BC + A) tidak berubah sama ada dalam magnitud atau dalam konfigurasi, hanya kedudukannya berbanding paksi-x yang berubah. Sediakan ufuk. unjuran garis lurus BC selari dengan paksi x (kedudukan b 1 c 1) dan tentukan unjuran a 1, ketepikan c 1 1 1 \u003d c-1 dan a 1 1 1 \u003d a-1, dan a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Melukis garis lurus b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 selari dengan paksi x, kita dapati bahagian hadapannya. unjuran b "1, a" 1, c "1. Seterusnya, kita gerakkan titik B 1, C 1 dan A 1 dalam satah selari dengan petak V (juga tanpa mengubah kedudukan relatifnya), untuk mendapatkan B 2 C 2 ⊥ kawasan H. Dalam kes ini, unjuran garis lurus ke hadapan akan berserenjang dengan paksi x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, dan untuk membina unjuran a" 2, anda perlu mengambil b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, lukis 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 dan ketepikan a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Sekarang, dengan meleret daripada 1 kepada 2 dan 1 a 2 || x 1 kita mendapat unjuran b 2 c 2 dan a 2 dan jarak l yang dikehendaki dari titik A ke garis BC. Anda boleh menentukan jarak dari A ke BC dengan memusingkan satah yang ditakrifkan oleh titik A dan garis lurus BC mengelilingi mendatar satah ini ke kedudukan T || persegi H (Rajah 155, e).

Dalam satah yang diberikan oleh titik A dan garis lurus BC, kita lukis garis mendatar A-1 (Rajah 155, g) dan putarkan titik B di sekelilingnya. Titik B bergerak ke segi empat sama. R (diberikan dalam lukisan berikut R h), berserenjang dengan A-1; pada titik O ialah pusat putaran titik B. Sekarang kita tentukan nilai semula jadi jejari putaran VO, (Rajah 155, c). Dalam kedudukan yang diperlukan, iaitu apabila pl. T yang ditakrifkan oleh titik A dan garis BC akan menjadi || persegi H, titik B akan bertukar pada R h pada jarak Ob 1 dari titik O (mungkin terdapat kedudukan lain pada trek yang sama R h, tetapi di sisi lain O). Titik b 1 ialah ufuk. unjuran titik B selepas mengalihkannya ke kedudukan B 1 di angkasa, apabila satah yang ditakrifkan oleh titik A dan garis lurus BC telah mengambil kedudukan T.

Setelah melukis (Rajah 155, dan) garis lurus b 1 1, kita mendapat ufuk. unjuran garis lurus BC, sudah terletak || persegi H berada dalam satah yang sama dengan A. Dalam kedudukan ini, jarak dari a ke b 1 1 adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki. Satah P, di mana unsur-unsur yang diberikan terletak, boleh digabungkan dengan segi empat sama. H (Rajah 155, j), memusingkan segi empat sama. P di sekeliling ufuknya. jejak. Setelah berlalu daripada menetapkan satah dengan titik A dan garis BC kepada menetapkan garisan BC dan A-1 (Rajah 155, l), kita dapati kesan garisan ini dan melukis kesan P ϑ dan P h melaluinya. Kami sedang membina (Rajah 155, m) digabungkan dengan segi empat sama. Kedudukan H di hadapan. jejak - P ϑ0 .

Lukiskan ufuk melalui titik a. unjuran hadapan; gabungan hadapan melepasi titik 2 pada surih Р h selari dengan Р ϑ0 . Titik A 0 - digabungkan dengan pl. H ialah kedudukan titik A. Begitu juga, kita dapati titik B 0 . Matahari langsung digabungkan dengan pl. Kedudukan H melalui titik B 0 dan titik m (surih mendatar garis lurus).

Jarak dari titik A 0 ke garis lurus B 0 C 0 adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki.

Adalah mungkin untuk melaksanakan pembinaan yang ditunjukkan dengan mencari hanya satu jejak P h (Rajah 155, n dan o). Keseluruhan binaan adalah serupa dengan pusingan mendatar (lihat Rajah 155, f, c, i): jejak P h ialah salah satu daripada garisan mendatar segi empat sama. R.

Daripada kaedah untuk menukar lukisan yang diberikan untuk menyelesaikan masalah ini, kaedah putaran di sekeliling mendatar atau hadapan adalah lebih baik.

158. Piramid SABC diberikan (Rajah 156). Tentukan jarak:

a) dari atas B tapak ke sisi AC dengan kaedah pergerakan selari;

b) dari bahagian atas S piramid ke sisi BC dan AB tapak dengan cara putaran mengelilingi mengufuk;

c) dari S atas ke sisi AC tapak dengan menukar satah unjuran.

159. Diberi sebuah prisma (Gamb. 157). Tentukan jarak:

a) antara tepi AD dan CF dengan menukar satah unjuran;

b) antara rusuk BE dan CF secara putaran di sekeliling bahagian hadapan;

c) antara tepi AD dan BE dengan kaedah pergerakan selari.

160. Tentukan saiz sebenar segiempat ABCD (Rajah 158) dengan menggabungkan dengan segi empat sama. N. Gunakan hanya jejak mendatar satah.

161*. Tentukan jarak antara garis bersilang AB dan CD (Rajah 159, a) dan bina unjuran sepunya yang berserenjang dengannya.

Keputusan. Jarak antara garisan lintasan diukur dengan segmen (MN) yang berserenjang dengan kedua-dua garisan (Rajah 159, b). Jelas sekali, jika salah satu garisan diletakkan berserenjang dengan mana-mana segi empat sama. T kemudian

ruas MN yang berserenjang dengan kedua-dua garis akan selari dengan segi empat sama. Unjurannya pada pesawat ini akan memaparkan jarak yang diperlukan. Unjuran sudut tepat maenad MN n AB pada segi empat sama. T juga ternyata sudut tegak antara m t n t dan a t b t , kerana salah satu sisi sudut tegak AMN, iaitu MN. selari dengan segi empat sama. T.

Pada rajah. 159, c dan d, jarak yang dikehendaki l ditentukan dengan kaedah menukar satah unjuran. Pertama, kami memperkenalkan segi empat sama tambahan. unjuran S, berserenjang dengan segi empat sama. H dan selari dengan garis lurus CD (Rajah 159, c). Kemudian kami memperkenalkan satu lagi persegi tambahan. T, berserenjang dengan segi empat sama. S dan berserenjang dengan CD garis yang sama (Rajah 159, d). Kini anda boleh membina unjuran serenjang sepunya dengan melukis m t n t dari titik c t (d t) berserenjang dengan unjuran a t b t . Titik m t dan n t ialah unjuran bagi titik persilangan ini berserenjang dengan garis AB dan CD. Dari titik m t (Rajah 159, e) kita dapati m s pada a s b s: unjuran m s n s hendaklah selari dengan paksi T / S. Selanjutnya, dari m s dan n s kita dapati m dan n pada ab dan cd, dan daripada mereka m "dan n" pada "b" dan c "d".

Pada rajah. 159, dalam menunjukkan penyelesaian kepada masalah ini dengan kaedah pergerakan selari. Mula-mula, kami meletakkan CD garis lurus selari dengan segi empat sama. V: unjuran c 1 d 1 || X. Seterusnya, kita gerakkan garis CD dan AB dari kedudukan C 1 D 1 dan A 1 B 1 ke kedudukan C 2 B 2 dan A 2 B 2 supaya C 2 D 2 berserenjang dengan H: unjuran c "2 d" 2 ⊥ x. Segmen serenjang yang dikehendaki terletak || persegi H, dan, oleh itu, m 2 n 2 menyatakan jarak l yang dikehendaki antara AB dan CD. Kami mencari kedudukan unjuran m "2, dan n" 2 pada "2 b" 2 dan c "2 d" 2, kemudian unjuran dan m 1 dan m "1, n 1 dan n" 1, akhirnya, unjuran m "dan n", m dan n.

162. Piramid SABC diberikan (Gamb. 160). Tentukan jarak antara tepi SB dan AC sisi tapak piramid dan bina unjuran serenjang sepunya kepada SB dan AC, menggunakan kaedah menukar satah unjuran.

163. Piramid SABC diberikan (Gamb. 161). Tentukan jarak antara tepi SH dan sisi BC tapak piramid dan bina unjuran serenjang sepunya dengan SX dan BC menggunakan kaedah sesaran selari.

164*. Tentukan jarak dari titik A ke satah dalam kes di mana satah diberi: a) oleh segi tiga BCD (Rajah 162, a); b) jejak (Rajah 162, b).

Keputusan. Seperti yang anda ketahui, jarak dari titik ke satah diukur dengan magnitud serenjang yang dilukis dari titik ke satah. Jarak ini diunjurkan ke mana-mana petak. unjuran bersaiz hidup, jika satah yang diberi berserenjang dengan segi empat sama. unjuran (Rajah 162, c). Keadaan ini boleh dicapai dengan menukar lukisan, contohnya, dengan menukar segi empat sama. unjuran. Mari kita perkenalkan segi empat sama. S (Rajah 16ts, d), berserenjang dengan segi empat sama. segi tiga BCD. Untuk melakukan ini, kami berbelanja di dataran. segi tiga mendatar B-1 dan letakkan paksi unjuran S berserenjang dengan unjuran b-1 mengufuk. Kami membina unjuran titik dan satah - a s dan segmen c s d s . Jarak dari a s ke c s d s adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki bagi titik ke satah.

Pada rio. 162, d kaedah pergerakan selari digunakan. Kami menggerakkan keseluruhan sistem sehingga mendatar B-1 satah menjadi berserenjang dengan satah V: unjuran b 1 1 1 mestilah berserenjang dengan paksi-x. Dalam kedudukan ini, satah segi tiga akan menjadi unjuran hadapan, dan jarak l dari titik A ke ia akan menjadi segi empat sama. V tanpa herotan.

Pada rajah. 162b kapal terbang itu diberi oleh jejak. Kami memperkenalkan (Rajah 162, e) segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan segi empat sama. P: paksi S/H berserenjang dengan P h . Selebihnya jelas daripada lukisan. Pada rajah. 162, masalah itu diselesaikan dengan bantuan satu anjakan: pl. P masuk ke kedudukan P 1, iaitu, ia menjadi unjuran hadapan. Jejak. P 1h berserenjang dengan paksi-x. Kami membina bahagian hadapan dalam kedudukan pesawat ini. surih mendatar ialah titik n "1, n 1. Surih P 1ϑ akan melalui P 1x dan n 1. Jarak dari a" 1 hingga P 1ϑ adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki.

165. Piramid SABC diberikan (lihat rajah 160). Tentukan jarak dari titik A ke muka SBC piramid menggunakan kaedah sesaran selari.

166. Piramid SABC diberikan (lihat rajah 161). Tentukan ketinggian piramid menggunakan kaedah sesaran selari.

167*. Tentukan jarak antara garis bersilang AB dan CD (lihat Rajah 159, a) sebagai jarak antara satah selari yang dilukis melalui garisan ini.

Keputusan. Pada rajah. 163, dan satah P dan Q ditunjukkan selari antara satu sama lain, yang mana pl. Q dilukis melalui CD selari dengan AB, dan pl. P - melalui AB selari dengan segi empat sama. S. Jarak antara satah tersebut dianggap sebagai jarak antara garis pencong AB dan CD. Walau bagaimanapun, kita boleh mengehadkan diri kita untuk membina hanya satu satah, contohnya Q, selari dengan AB, dan kemudian menentukan jarak sekurang-kurangnya dari titik A ke satah ini.

Pada rajah. 163c menunjukkan satah Q melalui CD selari dengan AB; dalam unjuran yang dipegang dengan "e" || a"b" dan se || ab. Menggunakan kaedah menukar segi empat sama. unjuran (Rajah 163, c), kami memperkenalkan segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan segi empat sama. V dan pada masa yang sama

berserenjang dengan segi empat sama. S. Untuk melukis paksi S / V, kami mengambil D-1 hadapan dalam satah ini. Sekarang kita lukis S / V berserenjang dengan d "1" (Rajah 163, c). Pl. Q akan dipaparkan pada petak. S sebagai garis lurus dengan s d s . Selebihnya jelas daripada lukisan.

168. Pyramid SABC diberikan (lihat Rajah 160). Tentukan jarak antara tepi SC dan AB. Gunakan: 1) kaedah menukar luas. unjuran, 2) kaedah pergerakan selari.

169*. Tentukan jarak antara satah selari, satu daripadanya diberikan oleh garis lurus AB dan AC, dan satu lagi dengan garis lurus DE dan DF (Rajah 164, a). Juga lakukan pembinaan untuk kes apabila satah diberikan oleh jejak (Rajah 164, b).

Keputusan. Jarak (Rajah 164, c) antara satah selari boleh ditentukan dengan melukis serenjang dari mana-mana titik satu satah ke satah lain. Pada rajah. 164, g memperkenalkan segi empat sama tambahan. S berserenjang dengan segi empat sama. H dan kepada kedua-dua satah yang diberi. Paksi S.H berserenjang dengan ufuk. unjuran garis mendatar yang dilukis dalam salah satu satah. Kami membina unjuran satah ini dan mata Dalam satah lain di Sq. 5. Jarak titik d s ke garis l s a s adalah sama dengan jarak yang dikehendaki antara satah selari.

Pada rajah. 164, d pembinaan lain diberikan (mengikut kaedah pergerakan selari). Agar satah yang dinyatakan oleh garis bersilang AB dan AC berserenjang dengan segi empat sama. V, ufuk. kita tetapkan unjuran mendatar satah ini berserenjang dengan paksi-x: 1 1 2 1 ⊥ x. Jarak antara hadapan. unjuran d "1 titik D dan garis lurus a" 1 2 "1 (unjuran hadapan satah) adalah sama dengan jarak yang dikehendaki antara satah.

Pada rajah. 164, e menunjukkan pengenalan segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan pl.H dan satah P dan Q yang diberi (paksi S/H berserenjang dengan jejak P h dan Q h). Kami membina jejak Р s , dan Q s . Jarak antara mereka (lihat Rajah 164, c) adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki antara satah P dan Q.

Pada rajah. 164, g menunjukkan pergerakan satah P 1 n Q 1, ke kedudukan P 1 dan Q 1 apabila ufuk. surih ternyata berserenjang dengan paksi-x. Jarak antara hadapan baharu. jejak P 1ϑ dan Q 1ϑ adalah sama dengan jarak l yang diperlukan.

170. Diberi ABCDEFGH berpaip selari (Gamb. 165). Tentukan jarak: a) antara tapak selari paip - l 1; b) antara muka ABFE dan DCGH - l 2 ; c) antara muka ADHE dan BCGF-l 3.