Penentuan min harmonik. Min aritmetik dan min harmonik

Min harmonik - digunakan apabila maklumat statistik tidak mengandungi data tentang pemberat untuk varian individu populasi, tetapi hasil daripada nilai ciri yang berbeza-beza dan pemberat yang sepadan diketahui.

Formula umum bagi min harmonik berwajaran adalah seperti berikut:

x – nilai ciri yang berbeza-beza,

w – hasil darab nilai ciri yang berbeza-beza dan beratnya (xf)

Sekiranya jumlah isipadu fenomena, i.e. produk nilai ciri dan beratnya adalah sama, maka min mudah harmonik digunakan:

x - nilai individu ciri (pilihan),

n – jumlah bilangan pilihan.

Purata harmonik digunakan untuk pengiraan apabila bukan unit populasi - pembawa ciri - digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini dengan nilai ciri (iaitu m = Xf). Mudah harmonik purata harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap satu bahagian untuk dua (tiga, empat, dll.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan daripada jenis produk yang sama , bahagian yang sama, produk.

Min geometri dan min kronologi.

Purata geometri

Jika terdapat n pekali pertumbuhan, maka formula bagi pekali purata ialah:

Ini ialah formula min geometri.

Purata geometri adalah sama dengan punca darjah n daripada hasil pekali pertumbuhan yang mencirikan nisbah nilai setiap tempoh berikutnya kepada nilai yang sebelumnya.

Purata kronologi ialah purata yang dikira daripada nilai yang berubah dari semasa ke semasa. Digunakan untuk mengira tahap purata siri momen. Sekiranya data yang ada merujuk kepada titik tetap dalam masa c pada selang waktu yang sama, maka formula berikut digunakan:

X ialah nilai peringkat siri,

n – bilangan penunjuk yang tersedia.

Tahap purata siri momen dinamik dengan tarikh tidak sama jarak ditentukan oleh purata formula wajaran kronologi:

Di manakah tahap siri dinamik

— tempoh selang masa antara tahap

Min segi empat sama. Hubungan antara purata kuasa.

Jika nilai yang dinyatakan dalam borang tertakluk kepada purata fungsi kuadratik, purata terpakai kuadratik. Sebagai contoh, menggunakan kuasa dua min akar, anda boleh menentukan diameter paip, roda, dsb.

Purata min kuasa dua ditentukan dengan mengekstrak punca kuasa dua daripada hasil bagi hasil tambah kuasa dua nilai individu tandatangan pada nombor mereka.

Purata purata berwajaran adalah sama dengan:

Konsep fesyen. Pengiraan mod untuk siri taburan diskret dan selang.

Untuk mencirikan struktur populasi statistik, penunjuk yang dipanggil purata struktur digunakan. Ini termasuk mod dan median.

Fesyen (Mo) ialah pilihan yang paling biasa. Mod ialah nilai atribut yang sepadan dengan titik maksimum keluk taburan teori.

Fesyen mewakili makna yang paling kerap berlaku atau tipikal.

Fesyen digunakan dalam amalan komersial untuk mengkaji permintaan pengguna dan merekodkan harga.

DALAM siri diskret fesyen adalah pilihan dengan kekerapan tertinggi. Dalam siri variasi selang, mod dianggap sebagai varian tengah selang, yang mempunyai frekuensi tertinggi (kekhususan).

Dalam selang waktu, anda perlu mencari nilai atribut iaitu mod.

dengan xo ialah had bawah selang modal;

h – nilai selang modal;

fm - kekerapan selang modal;

ft-1 – kekerapan selang sebelum modal satu;

fm+1 – kekerapan selang selepas modal satu.

Mod bergantung pada saiz kumpulan dan pada kedudukan tepat sempadan kumpulan.

Mod ialah nombor yang paling kerap berlaku (ialah nilai
nnaya), dalam amalan mempunyai aplikasi terluas (jenis pembeli yang paling biasa).

Maksud harmonik— ϶ᴛᴏ salingan bagi min aritmetik, ᴛ.ᴇ. terdiri daripada nilai timbal balik tanda.

Contoh 5. Pengiraan purata peratusan penyiapan pelan. Data berikut tersedia:

Dalam contoh, penunjuk tahap pelaksanaan rancangan (pilihan) bertindak sebagai ciri yang berbeza-beza, dan pelan mengambil berat (frekuensi). Dalam kes ini, purata diperoleh sebagai purata aritmetik berwajaran:

Jika, apabila menentukan ijazah sederhana pelaksanaan rancangan, bukan tugas yang diambil sebagai berat, tetapi pelaksanaannya yang sebenarnya, kemudian purata aritmetik dalam dalam kes ini akan memberikan hasil yang salah:

Keputusan yang betul apabila menimbang mengikut penyiapan sebenar tugas akan diberikan oleh purata wajaran harmonik:

di mana w— berat purata wajaran harmonik.

Syarat untuk menggunakan min harmonik

Min harmonik digunakan apabila bukan unit populasi (pembawa ciri) digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini mengikut nilai ciri, ᴛ.ᴇ. .

Daripada peraturan ini, ia mengikut bahawa min harmonik dalam statistik pada asasnya ialah min aritmetik yang diubah, yang digunakan apabila saiz populasi tidak diketahui dan perlu untuk menimbang pilihan mengikut isipadu ciri.

2. Jika penimbang adalah nilai mutlak, sebarang tindakan perantaraan semasa mengira purata harus memberikan hasil yang ketara dari segi ekonomi.

Sebagai contoh, apabila mengira purata peratusan penyiapan pelan, kami mendarabkan penunjuk penyiapan pelan dengan sasaran pelan dan mendapatkan penyiapan pelan sebenar. Sekiranya penunjuk pelaksanaan rancangan didarabkan dengan pelaksanaannya yang sebenar, maka dari sudut ekonomi hasilnya akan menjadi tidak masuk akal. Ini bermakna bentuk tengah telah digunakan dengan salah).

Nilai purata dan penunjuk variasi

- Min harmonik.

Bersama-sama dengan min aritmetik, statistik menggunakan min harmonik, songsangan min aritmetik bagi nilai songsang atribut. Seperti min aritmetik, ia boleh menjadi mudah dan berwajaran. Oleh itu, formula untuk mengira purata... [baca lebih lanjut].

- Aritmetik min dan min kuantiti harmonik

Intipati dan makna nilai purata, jenisnya Bentuk yang paling biasa penunjuk statistik ialah nilai purata. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal tanda dalam agregat. Penggunaan medium secara meluas... [baca lebih lanjut].

- Min harmonik.

— Min harmonik, geometri, kuadratik, kuasa

Apabila menyelesaikan masalah, pengiraan saiz purata bermula dengan penyusunan hubungan awal - formula lisan logik purata. Ia disusun berdasarkan analisis teori dan logik. Kadangkala min aritmetik tidak boleh digunakan. Dalam kes ini, dalam... [baca lebih lanjut].

— Nilai min harmonik

Jika, mengikut keadaan masalah, adalah perlu bahawa jumlah nilai yang bersaling dengan nilai individu sesuatu ciri kekal tidak berubah semasa purata, maka nilai purata adalah purata harmonik. Formula untuk min harmonik ialah: Contohnya, kereta dengan... [baca lebih lanjut].

70. Min harmonik

Maksud harmonik nombor positif o, b ialah nombor yang songsangnya ialah min aritmetik antara , i.e. nombor

Masalah 358. Buktikan bahawa min harmonik tidak melebihi min geometri.

Nilai purata dalam statistik: intipati, sifat, jenis. Contoh penyelesaian masalah

Songsangan bagi min harmonik ialah min nombor aritmetik salingan bagi min geometri ialah min geometri bagi nombor, jadi ia kekal merujuk kepada ketaksamaan tentang min aritmetik dan geometri.

Masalah 359. Nombornya adalah positif. Buktikan itu

Penyelesaian. Ketaksamaan yang diperlukan boleh ditulis semula dalam bentuk

iaitu, adalah perlu untuk membuktikan bahawa min aritmetik nombor adalah lebih besar daripada atau sama dengan min harmoniknya. Ini menjadi jelas jika kita memasukkan min geometri di antara mereka:

ketaksamaan terakhir berkurangan kepada ketaksamaan tentang min aritmetik dan nombor geometri.

Penyelesaian lain menggunakan helah berikut. Kami akan membuktikan lebih banyak lagi ketidaksamaan umum(dipanggil ketidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky)

(jika kita menggantikannya, kita mendapat apa yang kita perlukan).

Untuk membuktikan ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky, pertimbangkan trinomial kuadratik

Membuka kurungan di dalamnya dan mengumpulkan istilah dengan kuasa x, kita mendapat trinomial

Untuk mana-mana x, trinomial ini bukan negatif - lagipun, ia adalah jumlah kuasa dua. Ini bermakna bahawa diskriminasinya tidak lebih besar daripada sifar, iaitu

Bagaimana anda menyukai helah ini?

Contoh : Akan ditentukan pertengahan umur pelajar borang surat menyurat latihan mengikut data yang dinyatakan dalam jadual berikut:

Umur pelajar, tahun ( X)	Bilangan pelajar, orang ( f)	nilai purata selang (x’,xcentral)	*xifi**





26 dan lebih tua
Jumlah:

Untuk mengira purata dalam siri selang, mula-mula tentukan nilai purata selang sebagai separuh jumlah had atas dan bawah, dan kemudian hitung purata menggunakan formula purata wajaran aritmetik.

Di atas ialah contoh dengan selang yang sama, dengan yang pertama dan terakhir terbuka.

Jawapan: Purata umur pelajar ialah 22.6 tahun, atau lebih kurang 23 tahun.

Maksud harmonik mempunyai struktur yang lebih kompleks daripada min aritmetik. Digunakan dalam kes di mana maklumat statistik tidak mengandungi frekuensi untuk individu nilai atribut, dan diwakili oleh hasil darab nilai atribut oleh kekerapan . Min harmonik sebagai jenis min kuasa kelihatan seperti ini:

Bergantung pada bentuk persembahan data sumber, min harmonik boleh dikira sebagai mudah atau berwajaran. Jika data sumber tidak dikumpulkan, maka purata harmonik ringkas :

Ia digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, bahan, dll.

Harmonik bermaksud mudah dan berwajaran

setiap unit pengeluaran merentasi beberapa perusahaan.

Apabila bekerja dengan data terkumpul, gunakan min harmonik berwajaran:

Purata geometriterpakai dalam kes di mana apabila jumlah isipadu ciri purata ialah kuantiti darab, mereka. ditentukan bukan dengan menjumlahkan, tetapi dengan mendarabkan nilai individu ciri.

Bentuk min berwajaran geometri dalam pengiraan praktikal tidak berkenaan .

Min segi empat sama digunakan dalam kes di mana, apabila menggantikan nilai individu ciri dengan nilai purata, adalah perlu untuk mengekalkan jumlah kuasa dua nilai asal tidak berubah .

Rumah skop penggunaannya – pengukuran tahap turun naik nilai individu daripada ciri relatif kepada min aritmetik(purata sisihan piawai). Di samping itu, min kuasa dua digunakan dalam kes di mana ia perlu untuk mengira nilai purata ciri yang dinyatakan dalam kuasa dua atau unit padu ukuran (apabila mengira saiz purata bahagian persegi, diameter purata paip, batang, dll.).

Purata purata kuasa dua dikira dalam dua bentuk:

Semua kuasa bermakna berbeza antara satu sama lain dalam nilai eksponen. Pada masa yang sama, semakin tinggi eksponen, semakin banyaknilai kuantitatif purata:

Sifat purata kuasa ini dipanggil harta majoriti purata.

Nilai min harmonik

Tertakluk kepada penggantian dalam formula am(6.1) nilai k= –1 boleh diperolehi nilai min harmonik, yang mempunyai bentuk yang ringkas dan berwajaran.

Untuk siri kedudukan, min harmonik digunakan ringkas nilai yang boleh ditulis seperti berikut.

di mana n – jumlah bilangan pilihan; – pilihan makna terbalik.

Katakan terdapat bukti bahawa apabila mengangkut kentang, kelajuan kereta dengan muatan ialah 30 km/j, tanpa muatan – 60 km/j. Perlu mencari kelajuan purata pergerakan kereta. Pada pandangan pertama, ia kelihatan seperti penyelesaian yang mudah sepenuhnya kepada masalah: gunakan kaedah purata aritmetik nilai mudah, i.e.

Walau bagaimanapun, jika kita ingat bahawa kelajuan pergerakan adalah sama dengan jarak perjalanan dibahagikan dengan masa yang dihabiskan, maka agak jelas bahawa keputusan (45 km/j) ternyata tidak tepat, kerana ia mengambil sebuah kereta dengan dan tanpa beban untuk menempuh laluan yang sama (perjalanan pergi balik) masa yang diperlukan akan berbeza dengan ketara. Akibatnya, kelajuan purata yang lebih tepat bagi kenderaan dengan dan tanpa beban boleh dikira menggunakan nilai mudah harmonik:

Oleh itu, kelajuan purata kereta dengan dan tanpa kargo bukanlah 45, tetapi 40 km/j.

Dalam siri diskret atau selang, min harmonik digunakan berwajaran saiz:

dengan W ialah hasil darab pilihan dan kekerapan (pilihan berwajaran, xf).

Mari kita pertimbangkan contoh. Keamatan buruh untuk menghasilkan 1 tan kentang di bahagian pertama organisasi pertanian ialah 10 jam kerja, dalam kedua - 30 jam kerja. Dalam kedua-dua bahagian, 30 ribu jam kerja dibelanjakan untuk pengeluaran kentang. Ia adalah perlu untuk mengira purata intensiti buruh aritmetik kentang dalam organisasi pertanian. Nampaknya purata keamatan buruh mudah didapati sebagai separuh daripada jumlah keamatan buruh kentang dalam dua bahagian, iaitu menggunakan kaedah purata mudah aritmetik:

Walau bagaimanapun, penyelesaian ini membuat dua kesilapan. Kesilapan asas yang pertama ialah apabila mengira purata intensiti buruh menggunakan kaedah purata mudah aritmetik, intipati intensiti buruh itu sendiri tidak diambil kira, yang didapati sebagai nisbah kos buruh langsung kepada jumlah pengeluaran. Kesilapan kedua ialah penyelesaian tidak mengambil kira jumlah khusus kos buruh untuk pengeluaran kentang yang diberikan mengikut keadaan masalah (30 ribu setiap satu).

Maksud harmonik

jam orang di kedua-dua jabatan). Ini membolehkan seseorang mengira frekuensi (penimbang) untuk keamatan buruh kentang dan dengan itu mencari purata keamatan buruh berwajaran aritmetik, yang akan berjaya digantikan dengan menggunakan min wajaran harmonik:

Oleh itu, purata intensiti buruh kentang dalam organisasi pertanian bukanlah 20, seperti yang dikira di atas, tetapi 15 orang. h/t

Nilai min harmonik digunakan terutamanya dalam kes di mana varian siri diwakili oleh nilai songsang, dan frekuensi (berat) tersembunyi dalam jumlah volum ciri yang sedang dikaji.

Purata struktur

Dalam sesetengah kes, untuk mendapatkan ciri umum populasi statistik atas sebarang asas, perlu menggunakan apa yang dipanggil purata struktur. Ini termasuk fesyen Dan median.

Fesyen mewakili varian yang paling kerap ditemui dalam populasi statistik tertentu. Dalam siri kedudukan, mod, sebagai peraturan, tidak ditentukan, kerana setiap pilihan sepadan dengan frekuensi yang sama dengan perpaduan.

Mod dalam siri diskret sepadan dengan varian dengan frekuensi tertinggi, manakala pembolehubah rawak mungkin mempunyai beberapa mod. Jika salah satu daripada mereka hadir, taburan populasi statistik biasanya dipanggil tidak bermodal, dengan kehadiran dua mod - bimodal, tiga atau lebih mod - multimodal. Kehadiran beberapa mod selalunya bermakna gabungan unit statistik kualiti yang berbeza dalam satu set.

Mod untuk siri selang dengan selang yang sama dikira dengan formula

(6.12)

dengan xmo sub> ialah had bawah selang modal; i mo – nilai selang;

f mo – kekerapan selang modal; f dmo – kekerapan selang pramodal; f zmo – kekerapan selang submodal.

Katakan harga pasaran epal di pusat serantau di rantau ini adalah seperti berikut (Jadual 6.8). Menggunakan data ini, adalah perlu untuk mengira trend harga pasaran untuk kentang.

Jadual 6.8. Harga pasaran untuk epal

Daripada data dalam jadual. 6.8 menunjukkan bahawa bilangan maksimum pasaran tertumpu pada selang ketiga, dan taburan populasi statistik adalah unimodal. Untuk mengira fesyen harga pasaran untuk epal, kami menggunakan formula (6.12):

Oleh itu, harga pasaran modal untuk epal di pusat serantau di rantau ini ialah 1690 rubel/kg.

Pilihan modal apabila mencirikan populasi statistik boleh digunakan dalam kes di mana pengiraan nilai purata adalah sukar atau mustahil, contohnya, dalam keadaan pasaran semasa mengkaji penawaran dan permintaan, tahap harga, dsb.

Median– pilihan terletak di tengah-tengah siri variasi. Median dalam siri kedudukan didapati seperti berikut. Mula-mula, hitung bilangan pilihan median:

di mana n saya ialah bilangan pilihan median; n ialah jumlah bilangan pilihan dalam siri itu.

Kedua, dalam siri kedudukan nilai median pilihan ditentukan: jika jumlah bilangan pilihan adalah ganjil, maka median sepadan dengan nombor yang dikira oleh formula (6.13).

Katakan siri peringkat terdiri daripada 99 unit yang diagihkan oleh hasil bit gula. Bilangan median pilihan didapati menggunakan formula (6.13): .

Ini bermakna nombor 50 ialah hasil median yang dikehendaki, yang sama dengan, sebagai contoh, 500 c/ha.

Jika jumlah bilangan varian adalah genap, maka median adalah sama dengan separuh hasil tambah dua varian median bersebelahan. Sebagai contoh, dalam siri kedudukan terdapat 100 unit statistik, sekali lagi diedarkan oleh hasil bit gula. Akibatnya, dalam siri sedemikian terdapat dua nombor median, seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan berikut menggunakan formula (6.13):

Ini bermakna dalam kes ini, nombor 50 dan 51 dianggap median, dan hasil median bit gula, sebagai contoh, boleh dikira sebagai separuh jumlah berikut dua hasil bersebelahan, i.e.

Untuk siri taburan diskret, median dikira daripada frekuensi terkumpul: pertama, separuh jumlah frekuensi terkumpul ditemui; kedua, mereka menentukan sama ada separuh jumlah ini sepadan dengan pilihan tertentu, yang akan menjadi median.

Sebagai contoh, hasil susu tahunan lembu diagihkan dalam bentuk siri diskret di mana jumlah kekerapan terkumpul ialah 200 unit dan, dengan itu, jumlah separuh ialah 100 unit.

Nombor median ini berada dalam kumpulan unit statistik siri diskret dan sepadan dengan hasil susu tahunan lembu sebanyak 5000 kg susu, iaitu median siri diskret.

Dalam siri variasi selang, median dikira menggunakan formula

, (6.14)

di mana M e ialah median bagi siri selang; x saya – had bawah selang median; i me – nilai selang median; Σf – jumlah kekerapan terkumpul dalam siri selang; f n – kekerapan terkumpul selang pra-median; f me – kekerapan selang median.

Untuk mengira median dalam siri selang, kami akan menggunakan data berikut (Jadual 6.9).

Jadual 6.9.

Hasil kentang dalam plot peribadi

isi rumah

Daripada data dalam jadual. 6.9, pertama sekali, adalah jelas bahawa selang keempat ialah median. Di samping itu, pengiraan mudah menunjukkan bahawa jumlah kekerapan terkumpul (jumlah bilangan ladang) ialah 200 unit, dan kekerapan terkumpul selang pra-median ialah 90 unit.

Mari kita gunakan formula (6.14) dan hitung median hasil kentang:

Oleh itu, hasil kentang median dalam plot rumah persendirian ialah 256 c/ha.

Penggunaan median mempunyai watak tertentu. Oleh itu, jika siri variasi agak kecil, maka nilai min aritmetik mungkin dipengaruhi oleh turun naik rawak varian ekstrem, yang tidak akan menjejaskan saiz median.

Sebelumnya45678910111213141516171819Seterusnya

Min harmonik ialah min aritmetik, dikira daripada nilai salingan ciri purata. Bergantung pada sifat bahan yang ada, ia digunakan apabila pemberat perlu dibahagikan kepada pilihan dan bukannya didarab, atau, perkara yang sama, didarab dengan nilai songsangnya. Oleh itu, min harmonik dikira apabila ciri isipadu diketahui (W=xf) Dan nilai individu atribut (x) dan pemberat tidak diketahui (φ). Memandangkan volum ciri adalah hasil daripada nilai ciri (X) kepada frekuensi f, maka frekuensi f ditentukan oleh boleh tanggal = W: x.

Rumus min harmonik yang mudah dan berwajaran ialah:

Seperti yang anda boleh lihat, min harmonik ialah bentuk perubahan min aritmetik. Daripada min harmonik, anda sentiasa boleh mengira min aritmetik dengan terlebih dahulu menentukan berat nilai atribut individu. Apabila mengira min harmonik, pemberat ialah isipadu ciri.

Min harmonik mudah digunakan dalam kes di mana isipadu fenomena untuk setiap peringkat atribut.

Sebagai contoh, tiga operator gabungan sedang berusaha untuk menuai tanaman bijirin. Penuai gabungan pertama menghabiskan 35 minit menuai 1 hektar semasa syif 7 jam, yang kedua - 31 minit, yang ketiga - 33 minit. Adalah perlu untuk menentukan purata kos buruh untuk menuai 1 hektar tanaman bijirin.

Mengira purata masa yang dihabiskan untuk menuai 1 hektar tanaman bijirin menggunakan formula purata aritmetik mudah adalah betul

maka, apabila semua operator gabungan menuai 1 hektar atau bilangan hektar tanaman bijirin yang sama semasa peralihan. Walau bagaimanapun, semasa peralihan, operator gabungan individu yang dikumpul kawasan yang berbeza tanaman bijirin.

Ketidaksesuaian menggunakan formula purata aritmetik juga dijelaskan oleh fakta bahawa penunjuk kos buruh seunit kerja (penuaian 1 hektar tanaman bijirin) adalah songsang penunjuk produktiviti buruh (penuaian tanaman bijirin seunit masa). .

Purata masa yang diperlukan untuk menuai 1 hektar tanaman bijirin menggunakan semua penggabung ditentukan sebagai nisbah masa yang dibelanjakan oleh semua penggabung kepada jumlah bilangan hektar yang dituai. Dalam contoh kami, tiada maklumat tentang bilangan hektar yang sebenarnya dituai oleh setiap operator gabungan. Walau bagaimanapun, nilai ini boleh dikira menggunakan hubungan berikut:

di mana jumlah masa yang dibelanjakan untuk setiap operator gabungan ialah 420 minit (7 tahun o 60 minit).

Kemudian purata masa yang dihabiskan untuk menuai 1 hektar tanaman bijirin boleh ditentukan dengan formula:

Pengiraan boleh dipermudahkan jika anda menggunakan rumus utama min harmonik:

Jadi, untuk set operator gabungan ini, ia mengambil masa purata 32.9 minit untuk menuai 1 hektar tanaman bijirin.

Kami akan mempertimbangkan prosedur untuk mengira purata harmonik berwajaran menggunakan contoh berikut (Jadual 4.3).

Jadual 4.3. Data untuk mengira min harmonik berwajaran

Oleh kerana hasil purata ialah nisbah tuaian kasar kepada kawasan yang disemai, kami mula-mula menentukan kawasan yang disemai kentang untuk setiap ladang, dan kemudian hasil purata:

Menurut salah satu sifat, min harmonik tidak akan berubah jika isipadu fenomena, yang merupakan berat pilihan individu, didarab atau dibahagikan dengan sebarang nombor arbitrari. Ini memungkinkan untuk menggunakan tidak secara mutlak, dan mereka graviti tentu. Katakan anda perlu menentukan harga jualan purata kentang menggunakan data berikut (Jadual 4.4).

Jadual 4.4. Data untuk mengira purata harga jualan kentang

Dalam contoh yang diberikan, tiada data tentang hasil daripada jualan jenis kentang individu, yang merupakan hasil daripada harga jualan 1 sen dengan bilangan kentang yang dijual. Oleh itu, bukannya isipadu fenomena, nisbahnya boleh digunakan, iaitu graviti tentu varieti kentang individu dalam jumlah hasil. Menggunakan data jadual, kami menentukan harga jualan purata kentang:

Purata harmonik juga digunakan untuk menentukan hasil purata bagi sekumpulan tanaman homogen, jika tuaian kasar dan hasil tanaman individu diketahui, untuk mengira purata peratusan pelaksanaan rancangan pengeluaran dan jualan produk untuk populasi homogen, jika data tentang produk yang benar-benar dihasilkan atau dijual dan peratusan pelaksanaan rancangan diketahui objek individu, dsb.

Bentuk penunjuk statistik yang paling biasa ialah puratamagnitud. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal ciri dalam agregat. Penggunaan meluas nilai purata dijelaskan oleh fakta bahawa mereka membenarkan seseorang membandingkan nilai ciri antara unit yang dimiliki oleh populasi yang berbeza. Sebagai contoh, anda boleh membandingkan purata tempoh hari bekerja, kategori gaji purata pekerja, peringkat pertengahan upah untuk pelbagai perusahaan.

Intipati nilai purata ialah mereka membatalkan penyimpangan dalam nilai ciri dalam unit individu populasi, yang disebabkan oleh tindakan faktor rawak. Oleh itu, nilai purata mesti dikira untuk populasi yang cukup besar (mengikut undang-undang nombor besar). Kebolehpercayaan nilai purata juga bergantung pada kebolehubahan nilai atribut dalam agregat. DALAM kes am, lebih kecil variasi atribut dan lebih besar populasi dari mana nilai purata ditentukan, lebih boleh dipercayai.

Kebiasaan nilai purata juga berkaitan secara langsung dengan kehomogenan populasi statistik. Nilai purata hanya akan mencerminkan tahap tipikal atribut apabila ia dikira daripada populasi homogen secara kualitatif. Jika tidak, kaedah purata digunakan dalam kombinasi dengan kaedah kumpulan. Jika populasi adalah heterogen, maka purata am digantikan atau ditambah dengan purata kumpulan yang dikira untuk kumpulan homogen secara kualitatif.

Memilih jenis purata ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji dan data sumber. Paling kerap digunakan dalam statistik jenis berikut purata: purata kuasa (aritmetik, harmonik, geometri, kuadratik, kubik, dll.), purata kronologi, serta purata struktur (mod dan median).

Min aritmetik paling kerap ditemui dalam penyelidikan sosio-ekonomi. Purata aritmetik digunakan dalam bentuk purata mudah dan purata wajaran.

Dikira daripada data tidak dikumpulkan berdasarkan formula (4.1):

di mana x- nilai individu ciri (pilihan);

n- bilangan unit dalam populasi.

Contoh. Diperlukan untuk mencari purata keluaran pekerja dalam briged yang terdiri daripada 15 orang, jika bilangan produk yang dihasilkan oleh seorang pekerja (kepingan) diketahui: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Min aritmetik mudah dikira daripada data tidak terkumpul berdasarkan formula (4.2):

di mana f ialah kekerapan pengulangan nilai yang sepadan bagi atribut (varian);

∑f ialah jumlah bilangan unit populasi (∑f = n).

Contoh. Berdasarkan data yang ada mengenai pengagihan pekerja dalam satu pasukan mengikut bilangan produk yang mereka hasilkan, adalah perlu untuk mencari purata output seorang pekerja dalam pasukan.

Nota 1. Nilai purata ciri dalam agregat boleh dikira berdasarkan nilai individu ciri dan berdasarkan purata kumpulan (swasta) yang dikira untuk bahagian individu populasi. Dalam kes ini, formula purata wajaran aritmetik digunakan, dan purata kumpulan (separa) ( x j).

Contoh. Terdapat data mengenai purata tempoh perkhidmatan pekerja di bengkel kilang. Ia diperlukan untuk menentukan purata tempoh perkhidmatan pekerja untuk kilang secara keseluruhan.

Nota 2. Dalam kes apabila nilai ciri yang dipuratakan dinyatakan dalam bentuk selang, apabila mengira purata nilai aritmetik nilai purata selang ini diambil sebagai nilai ciri dalam kumpulan ( X’). Oleh itu, siri selang ditukar kepada diskret. Dalam kes ini, nilai selang terbuka, jika ada (sebagai peraturan, ini adalah yang pertama dan terakhir), secara bersyarat disamakan dengan nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Contoh. Terdapat data mengenai pengagihan pekerja perusahaan mengikut tahap upah.

Nilai min harmonik ialah pengubahsuaian min aritmetik. Ia digunakan dalam kes di mana nilai individu bagi sesuatu ciri diketahui, iaitu varian ( x), dan hasil darab varian dan frekuensi (xf = M), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui ( f).

Min harmonik berwajaran dikira menggunakan formula (4.3):

Contoh. Perlu menentukan saiz sederhana gaji pekerja persatuan yang terdiri daripada tiga perusahaan, jika kumpulan wang gaji dan purata gaji pekerja bagi setiap perusahaan diketahui.

Min harmonik, yang mudah dalam amalan statistik, digunakan sangat jarang. Dalam kes di mana xf = Mm = const, min harmonik berwajaran bertukar menjadi min harmonik mudah (4.4):

Contoh. Dua buah kereta melalui laluan yang sama. Pada masa yang sama, salah seorang daripada mereka bergerak pada kelajuan 60 km/j, yang kedua - pada kelajuan 80 km/j. Ia diperlukan untuk menentukan kelajuan purata kereta di sepanjang jalan.

Jenis purata kuasa lain. Purata kronologi

Purata geometri digunakan untuk mengira purata dinamik. Purata geometri digunakan dalam bentuk purata mudah (untuk data tidak terkumpul) dan purata wajaran (untuk data terkumpul).

Purata geometri mudah (4.5):

di mana n ialah bilangan nilai atribut;

P ialah tanda produk.

Min geometri berwajaran(4.6):

Purata kuantiti kuadratik digunakan semasa mengira indeks variasi. Ia digunakan dalam bentuk yang mudah dan berwajaran.

Purata min kuasa dua mudah (4.7):

Purata purata berwajaran (4.8):

Purata padu digunakan dalam pengiraan kecondongan dan kurtosis. Ia digunakan dalam bentuk timbangan mudah.

Purata padu ringkas (4.9):

Purata wajaran padu (4.10):

Nilai kronologi purata digunakan untuk mengira tahap purata siri masa (4.11):

Purata struktur

Sebagai tambahan kepada nilai purata yang dibincangkan di atas, statistik menggunakan purata struktur, yang termasuk mod dan median.

Fesyen(Mo) ialah nilai ciri yang dikaji (varian), yang paling kerap ditemui dalam agregat. Dalam siri diskret Mod ditentukan dengan mudah - oleh penunjuk frekuensi maksimum. Dalam siri variasi selang, mod lebih kurang sepadan dengan pusat selang modal, iaitu selang yang mempunyai frekuensi tinggi (frekuensi).

Nilai mod khusus dikira menggunakan formula (4.12):

di manakah had bawah selang modal;

lebar selang modal;

kekerapan yang sepadan dengan selang modal;

kekerapan selang sebelum modal;

kekerapan selang selepas modal.

Median (Me) ialah nilai atribut yang terletak di tengah-tengah siri kedudukan. Dengan kedudukan yang kami maksudkan adalah siri yang disusun dalam susunan nilai atribut menaik atau menurun. Median membahagikan siri kedudukan kepada dua bahagian, satu daripadanya mempunyai nilai atribut tidak lebih besar daripada median, dan satu lagi tidak kurang.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan ahli yang ganjil, median ialah pilihan yang terletak di tengah-tengah siri. Kedudukan median ditentukan oleh nombor siri unit siri mengikut formula (4.13):

di mana n ialah bilangan ahli siri kedudukan.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan ahli genap, median ialah min aritmetik bagi dua nilai bersebelahan yang terletak di tengah siri.

Dalam siri variasi selang, formula berikut (4.14) digunakan untuk mencari median:

di manakah had bawah selang median;

lebar selang median;

kekerapan terkumpul selang sebelum median;
kekerapan selang median.

Contoh. Pasukan kerja yang terdiri daripada 9 orang, mempunyai tarif berikut digit: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Ia diperlukan untuk menentukan nilai modal dan median kategori tarif.

Memandangkan briged ini mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3, kategori ini akan menjadi modal, iaitu Mo = 3.

Untuk menentukan median Mari kita peringkatkan siri asal dalam tertib menaik bagi nilai atribut:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Nilai pusat dalam siri ini ialah nilai kelima atribut. Oleh itu, Saya = 4.

Contoh.Ia dikehendaki menentukan kategori tarif modal dan median pekerja kilang berdasarkan data daripada siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengedaran asal adalah diskret, nilai modal ditentukan oleh penunjuk frekuensi maksimum. Dalam contoh ini, kilang itu mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3 (f max = 30), i.e. nyahcas ini adalah modal (Mo = 3).

Mari kita tentukan kedudukan median. Siri pengedaran awal dibina berdasarkan siri kedudukan, disusun mengikut peningkatan nilai atribut. Bahagian tengah baris adalah antara ke-50 dan ke-51 nombor siri nilai ciri. Mari kita ketahui kumpulan mana pekerja yang mempunyai nombor siri ini. Untuk melakukan ini, mari kita mengira frekuensi terkumpul. Frekuensi terkumpul menunjukkan bahawa nilai median kategori tarif adalah sama dengan tiga (Me = 3), kerana nilai ciri dengan nombor siri dari 39 hingga 68, termasuk 50 dan 51, adalah sama dengan 3.

Contoh. Ia diperlukan untuk menentukan gaji modal dan median pekerja kilang berdasarkan data daripada siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengagihan awal adalah selang, nilai modal upah dikira menggunakan formula. Dalam kes ini, selang modal ialah 360-420 dengan kekerapan maksimum 30.

Nilai median gaji juga dikira menggunakan formula. Dalam kes ini, median ialah selang 360-420, kekerapan terkumpulnya ialah 70, manakala kekerapan terkumpul selang sebelumnya hanya 40 pada jumlah bilangan unit sama dengan 100.

Nilai purata dibahagikan kepada dua kelas besar: cara kuasa dan cara struktur

Purata kuasa:

Aritmetik

Harmonik

Geometrik

Kuadratik

Min aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan jumlah isipadu ciri tertentu dalam set data diagihkan sama rata antara semua unit yang termasuk dalam set ini. Oleh itu, purata keluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah jumlah keluaran yang akan dihasilkan oleh setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai mudah purata aritmetik dikira menggunakan formula:

Purata aritmetik mudah- Sama dengan nisbah jumlah nilai individu ciri kepada bilangan ciri dalam agregat

Wajaran purata aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dengan harga unit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Mari kita bayangkan ini dalam bentuk formula berikut:

Purata aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah hasil bagi nilai ciri kepada kekerapan pengulangan ciri ini) kepada (jumlah frekuensi semua ciri Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji). berlaku bilangan kali yang tidak sama.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan min bagi setiap selang sebagai separuh hasil bagi had atas dan bawah, dan kemudian min bagi keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh saiz selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri taburan seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja mutlak, tetapi juga nilai relatif(kekerapan):

Maksud harmonik- digunakan dalam kes di mana nilai individu atribut dan produk diketahui, tetapi frekuensinya tidak diketahui.

Dalam contoh di bawah - hasil diketahui, - kawasan tidak diketahui (walaupun ia boleh dikira dengan membahagikan tuaian bijirin kasar dengan hasil), - tuaian bijirin kasar diketahui.

Nilai min harmonik boleh ditentukan menggunakan formula berikut:

Rumus min harmonik:

Harmonik ringkas

Dalam kes di mana produk adalah sama atau sama dengan 1 (z = 1), min ringkas harmonik digunakan untuk pengiraan, dikira menggunakan formula:

Min ringkas harmonik ialah penunjuk yang merupakan songsang bagi min ringkas aritmetik, dikira daripada nilai salingan ciri.

Nilai min geometri membolehkan untuk mengekalkan tidak berubah bukan jumlah, tetapi hasil darab nilai individu bagi nilai tertentu. Ia boleh ditentukan dengan formula berikut:

Nilai min geometri paling kerap digunakan semasa menganalisis kadar pertumbuhan penunjuk ekonomi.

Maksud harmonik

Nama parameter	Maknanya
Topik artikel:	Maksud harmonik
Rubrik (kategori tematik)	budaya

Maksud harmonik- ϶ᴛᴏ salingan bagi min aritmetik, ᴛ.ᴇ. terdiri daripada nilai songsang ciri.

Contoh 5. Pengiraan purata peratusan penyiapan pelan. Data berikut tersedia:

Jika, apabila menentukan tahap purata pemenuhan pelan, kami tidak mengambil tugas sebagai berat, tetapi pelaksanaan sebenar, maka purata aritmetik dalam kes ini akan memberikan hasil yang salah:

Keputusan yang betul apabila menimbang mengikut penyiapan sebenar tugas akan diberikan oleh purata wajaran harmonik:

di mana w- berat purata wajaran harmonik.

Syarat untuk menggunakan min harmonik

1. Min harmonik digunakan apabila bukan unit populasi (pembawa ciri) digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini mengikut nilai ciri, ᴛ.ᴇ. .

2. Jika nilai mutlak digunakan sebagai pemberat, sebarang tindakan perantaraan semasa mengira purata harus memberikan hasil yang signifikan dari segi ekonomi.

Min harmonik - konsep dan jenis. Klasifikasi dan ciri kategori "Purata harmonik" 2017, 2018.

- Min harmonik.

- Min harmonik

- Min harmonik.

Bersama-sama dengan min aritmetik, statistik menggunakan min harmonik, songsangan min aritmetik bagi nilai songsang atribut. Seperti min aritmetik, ia boleh menjadi mudah dan berwajaran.

Ciri-ciri siri variasi, bersama-sama dengan... .

- Wajaran min harmonik

- Min harmonik.

Bersama-sama dengan min aritmetik, statistik menggunakan min harmonik, songsangan min aritmetik bagi nilai songsang atribut. Seperti min aritmetik, ia boleh menjadi mudah dan berwajaran.

Oleh itu, formula untuk mengira purata... .

- Min aritmetik dan min harmonik

Penentuan min harmonik. Min aritmetik dan min harmonik

Baca juga

Nilai purata dan penunjuk variasi

70. Min harmonik

Nilai purata dalam statistik: intipati, sifat, jenis. Contoh penyelesaian masalah

Harmonik bermaksud mudah dan berwajaran

Nilai min harmonik

Maksud harmonik

Jenis purata kuasa lain. Purata kronologi

Purata struktur

Min aritmetik untuk siri selang

Rumus min harmonik:

Harmonik ringkas