Algoritma penyelesaian kamiran pasti. Menyelesaikan kamiran yang pasti dalam talian

Kamiran pasti. Contoh penyelesaian

Hello lagi. Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis secara terperinci perkara yang begitu indah sebagai kamiran pasti. Perkenalan kali ini singkat sahaja. Semuanya. Kerana ribut salji di luar tingkap.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan kamiran tertentu, anda perlu:

1) boleh cari kamiran tak tentu.

2) boleh mengira kamiran pasti.

Seperti yang anda lihat, untuk menguasai kamiran pasti, anda perlu cukup mahir dalam kamiran tak tentu "biasa". Oleh itu, jika anda baru mula menyelam ke dalam kalkulus integral, dan cerek belum mendidih sama sekali, maka lebih baik untuk memulakan dengan pelajaran Kamiran tak tentu. Contoh penyelesaian. Selain itu, terdapat kursus pdf untuk latihan ultrafast- jika anda mempunyai sehari, tinggal setengah hari lagi.

Secara umum, kamiran pasti ditulis sebagai:

Apakah yang telah ditambah berbanding kamiran tak tentu? tambah had integrasi.

Had bawah penyepaduan
Had atas penyepaduan biasa dilambangkan dengan huruf .
Segmen itu dipanggil segmen integrasi.

Sebelum kita beralih kepada contoh praktikal, soalan kecil mengenai kamiran pasti.

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan kamiran pasti? Menyelesaikan kamiran pasti bermakna mencari nombor.

Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran pasti? Dengan bantuan formula Newton-Leibniz yang biasa dari sekolah:

Adalah lebih baik untuk menulis semula formula pada sekeping kertas yang berasingan; ia harus berada di hadapan mata anda sepanjang pelajaran.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan kamiran pasti adalah seperti berikut:

1) Mula-mula kita dapati fungsi antiterbitan (kamiran tak tentu). Perhatikan bahawa pemalar dalam kamiran pasti tidak ditambah. Penamaan adalah teknikal semata-mata, dan kayu menegak tidak membawa apa-apa makna matematik, malah ia hanya coretan. Mengapa rekod itu perlu? Persediaan untuk menggunakan formula Newton-Leibniz.

2) Kami menggantikan nilai had atas dalam fungsi antiterbitan: .

3) Kami menggantikan nilai had bawah ke dalam fungsi antiterbitan: .

4) Kami mengira (tanpa ralat!) perbezaannya, iaitu, kami mencari nombornya.

Adakah kamiran pasti sentiasa wujud? Tidak tidak selalu.

Sebagai contoh, kamiran tidak wujud, kerana selang kamiran tidak termasuk dalam domain kamiran dan (nilai di bawah punca kuasa dua tidak boleh negatif). Berikut ialah contoh yang kurang jelas: . Di sini, pada selang penyepaduan tangen bertahan rehat yang tidak berkesudahan pada titik , , dan oleh itu kamiran pasti sedemikian juga tidak wujud. Dengan cara ini, siapa yang belum membaca bahan metodologi Graf dan sifat asas bagi fungsi asas- Sekarang adalah masa untuk melakukannya. Ia akan menjadi bagus untuk membantu sepanjang kursus matematik yang lebih tinggi.

Untuk agar kamiran pasti wujud sama sekali, adalah memadai bahawa kamiran dan berterusan pada selang kamiran.

Daripada perkara di atas, pengesyoran penting pertama berikut: sebelum meneruskan penyelesaian SEBARANG kamiran pasti, anda perlu memastikan bahawa penyepaduan dan berterusan pada selang penyepaduan. Sebagai seorang pelajar, saya berulang kali mengalami insiden apabila saya menderita untuk masa yang lama dengan mencari primitif yang sukar, dan apabila saya akhirnya menemuinya, saya hairan dengan satu lagi soalan: "Apakah jenis karut yang berlaku?". Dalam versi ringkas, keadaan kelihatan seperti ini:

???! Anda tidak boleh menggantikan nombor negatif di bawah akar! Apa kejadahnya?! kecuaian awal.

Jika untuk penyelesaian (dalam ujian, dalam ujian, peperiksaan) anda ditawarkan kamiran seperti atau , maka anda perlu memberi jawapan bahawa kamiran pasti ini tidak wujud dan mewajarkan mengapa.

! Catatan : dalam kes kedua, perkataan "tertentu" tidak boleh ditinggalkan, kerana kamiran dengan ketakselanjaran titik dibahagikan kepada beberapa, dalam kes ini, kepada 3 kamiran tak wajar, dan rumusan "kamiran ini tidak wujud" menjadi tidak betul.

Bolehkah kamiran pasti sama dengan nombor negatif? Mungkin. Dan nombor negatif. Dan sifar. Ia mungkin berubah menjadi infiniti, tetapi ia akan menjadi kamiran tidak wajar, yang diberikan kuliah berasingan.

Bolehkah had bawah penyepaduan lebih besar daripada had atas penyepaduan? Mungkin keadaan sedemikian sebenarnya berlaku dalam amalan.

- kamiran dikira dengan tenang menggunakan formula Newton-Leibniz.

Apa yang tidak dilakukan oleh matematik yang lebih tinggi? Sudah tentu, tanpa semua jenis harta. Oleh itu, kami mempertimbangkan beberapa sifat kamiran pasti.

Dalam kamiran pasti, anda boleh menyusun semula had atas dan bawah, sambil menukar tanda:

Sebagai contoh, dalam kamiran pasti sebelum penyepaduan, adalah dinasihatkan untuk menukar had penyepaduan kepada susunan "biasa":

- dalam bentuk ini, penyepaduan adalah lebih mudah.

- ini benar bukan sahaja untuk dua, tetapi juga untuk sebarang bilangan fungsi.

Dalam kamiran pasti, seseorang boleh melaksanakan perubahan pembolehubah integrasi, bagaimanapun, berbanding dengan kamiran tak tentu, ini mempunyai kekhususannya sendiri, yang akan kita bincangkan kemudian.

Untuk kamiran pasti, formula untuk penyepaduan mengikut bahagian:

Contoh 1

Penyelesaian:

(1) Kami mengeluarkan pemalar daripada tanda kamiran.

(2) Kami menyepadukan di atas jadual menggunakan formula yang paling popular . Adalah dinasihatkan untuk memisahkan pemalar yang muncul dari dan meletakkannya keluar dari kurungan. Ia tidak perlu untuk melakukan ini, tetapi adalah wajar - mengapa pengiraan tambahan?

. Mula-mula kita gantikan dengan had atas, kemudian had bawah. Kami menjalankan pengiraan lanjut dan mendapat jawapan muktamad.

Contoh 2

Hitung kamiran pasti

Ini adalah contoh penyelesaian kendiri, penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita menjadikannya lebih sukar:

Contoh 3

Hitung kamiran pasti

Penyelesaian:

(1) Kami menggunakan sifat lineariti kamiran pasti.

(2) Kami menyepadukan di atas meja, sambil mengeluarkan semua pemalar - mereka tidak akan mengambil bahagian dalam penggantian had atas dan bawah.

(3) Untuk setiap tiga istilah, kami menggunakan formula Newton-Leibniz:

PAUTAN LEMAH dalam kamiran pasti ialah ralat pengiraan dan KEKELIRUAN TANDA biasa. Berhati-hati! Saya memberi tumpuan kepada penggal ketiga: - tempat pertama dalam perarakan melanda kesilapan kerana kurang perhatian, selalunya mereka menulis secara automatik (terutamanya apabila penggantian had atas dan bawah dilakukan secara lisan dan tidak ditandatangani secara terperinci). Sekali lagi, teliti contoh di atas.

Perlu diingatkan bahawa kaedah yang dipertimbangkan untuk menyelesaikan kamiran pasti bukanlah satu-satunya. Dengan beberapa pengalaman, penyelesaian boleh dikurangkan dengan ketara. Sebagai contoh, saya sendiri pernah menyelesaikan kamiran seperti ini:

Di sini saya menggunakan peraturan lineariti secara lisan, disepadukan secara lisan di atas jadual. Saya berakhir dengan hanya satu kurungan dengan had yang digariskan: (berbanding dengan tiga kurungan dalam kaedah pertama). Dan dalam fungsi antiderivatif "keseluruhan", saya mula-mula menggantikan 4 dahulu, kemudian -2, sekali lagi melakukan semua tindakan dalam fikiran saya.

Apakah kelemahan kaedah penyelesaian pendek? Segala-galanya tidak begitu baik di sini dari sudut pandangan rasional pengiraan, tetapi secara peribadi saya tidak peduli - Saya mengira pecahan biasa pada kalkulator.
Di samping itu, terdapat peningkatan risiko membuat kesilapan dalam pengiraan, jadi adalah lebih baik untuk pelajar-dummy menggunakan kaedah pertama, dengan kaedah penyelesaian "saya", tanda itu pasti akan hilang di suatu tempat.

Walau bagaimanapun, kelebihan kaedah kedua yang tidak diragukan ialah kelajuan penyelesaian, kekompakan notasi, dan fakta bahawa antiterbitan berada dalam satu kurungan.

Petua: sebelum menggunakan formula Newton-Leibniz, adalah berguna untuk menyemak: adakah antiderivatif itu sendiri ditemui dengan betul?

Jadi, berhubung dengan contoh yang sedang dipertimbangkan: sebelum menggantikan had atas dan bawah ke dalam fungsi antiterbitan, adalah dinasihatkan untuk menyemak pada draf sama ada kamiran tak tentu ditemui dengan betul sama sekali? Membezakan:

Kamiran asal telah diperolehi, yang bermaksud kamiran tak tentu ditemui dengan betul. Kini anda boleh menggunakan formula Newton-Leibniz.

Pemeriksaan sedemikian tidak akan berlebihan apabila mengira mana-mana kamiran pasti.

Contoh 4

Hitung kamiran pasti

Ini adalah contoh untuk menyelesaikan diri. Cuba selesaikan dengan cara yang ringkas dan terperinci.

Perubahan pembolehubah dalam kamiran pasti

Untuk kamiran pasti, semua jenis penggantian adalah sah, seperti kamiran tak tentu. Oleh itu, jika anda tidak begitu mahir dalam penggantian, anda harus membaca pelajaran dengan teliti. Kaedah penggantian dalam kamiran tak tentu.

Tiada apa-apa yang menakutkan atau rumit tentang perenggan ini. Kebaharuan terletak pada persoalannya bagaimana untuk menukar had penyepaduan apabila menggantikan.

Dalam contoh, saya akan cuba memberikan jenis pengganti yang belum lagi dilihat di mana-mana di tapak.

Contoh 5

Hitung kamiran pasti

Persoalan utama di sini sama sekali bukan dalam integral yang pasti, tetapi bagaimana untuk melaksanakan penggantian dengan betul. Kami melihat ke dalam jadual integral dan kami mengetahui rupa integrasi kami dan kebanyakannya? Jelas sekali, pada logaritma panjang: . Tetapi terdapat satu ketidakkonsistenan, dalam kamiran jadual di bawah akar, dan dalam kami - "x" hingga darjah keempat. Idea penggantian berikutan dari penalaran - adalah baik untuk mengubah darjah keempat kita menjadi segi empat sama. Ini adalah benar.

Pertama, kami menyediakan kamiran kami untuk penggantian:

Daripada pertimbangan di atas, penggantian secara semula jadi mencadangkan dirinya sendiri:
Oleh itu, semuanya akan baik dalam penyebut: .
Kami mengetahui apa yang akan berubah menjadi integrand yang lain, untuk ini kami dapati perbezaan:

Berbanding dengan penggantian dalam kamiran tak tentu, kami menambah langkah tambahan.

Mencari had penyepaduan baharu.

Ia cukup mudah. Kami melihat penggantian kami dan had lama integrasi, .

Pertama, kita menggantikan had bawah penyepaduan, iaitu, sifar, ke dalam ungkapan gantian:

Kemudian kita menggantikan had atas penyepaduan ke dalam ungkapan gantian, iaitu, akar tiga:

sedia. Dan hanya sesuatu…

Mari kita teruskan dengan penyelesaian.

(1) Mengikut penggantian tulis kamiran baharu dengan had kamiran baharu.

(2) Ini adalah kamiran jadual yang paling mudah, kami menyepadukan di atas jadual. Adalah lebih baik untuk meninggalkan pemalar di luar kurungan (anda tidak boleh melakukan ini) supaya ia tidak mengganggu pengiraan selanjutnya. Di sebelah kanan, kami melukis garisan yang menunjukkan had penyepaduan baharu - ini adalah persediaan untuk menggunakan formula Newton-Leibniz.

(3) Kami menggunakan formula Newton-Leibniz .

Kami berusaha untuk menulis jawapan dalam bentuk yang paling padat, di sini saya menggunakan sifat logaritma.

Satu lagi perbezaan daripada kamiran tak tentu ialah, selepas kita membuat penggantian, tiada penggantian diperlukan.

Dan kini beberapa contoh untuk keputusan bebas. Penggantian apa yang perlu dilakukan - cuba teka sendiri.

Contoh 6

Hitung kamiran pasti

Contoh 7

Hitung kamiran pasti

Ini adalah contoh bantuan diri. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dan pada akhir perenggan, beberapa perkara penting, analisis yang muncul terima kasih kepada pelawat tapak. Yang pertama membimbangkan legitimasi penggantian. Dalam beberapa kes, ia tidak boleh dilakukan! Jadi Contoh 6 nampaknya boleh diselesaikan dengan penggantian trigonometri sejagat, tetapi had atas penyepaduan ("pi") tidak termasuk dalam domain tangen ini dan oleh itu penggantian ini adalah haram! Dengan cara ini, fungsi "penggantian" mestilah berterusan dalam semua titik segmen integrasi.

Dalam e-mel lain, soalan berikut diterima: "Adakah kita perlu menukar had penyepaduan apabila kita membawa fungsi di bawah tanda pembezaan?". Pada mulanya saya ingin "menghapuskan perkara yang tidak masuk akal" dan secara automatik menjawab "sudah tentu tidak", tetapi kemudian saya berfikir tentang sebab untuk soalan sedemikian dan tiba-tiba mendapati bahawa maklumat itu kekurangan. Tetapi ia, walaupun jelas, tetapi sangat penting:

Jika kita membawa fungsi di bawah tanda pembezaan, maka tidak perlu mengubah had integrasi! kenapa? Kerana dalam kes ini tiada peralihan sebenar kepada pembolehubah baharu. Sebagai contoh:

Dan di sini penjumlahan adalah lebih mudah daripada penggantian akademik dengan "lukisan" berikutnya had integrasi baru. Dengan cara ini, jika kamiran pasti tidak begitu rumit, maka sentiasa cuba untuk membawa fungsi di bawah tanda pembezaan! Ia lebih pantas, ia lebih padat, dan ia adalah perkara biasa - seperti yang anda akan lihat berpuluh-puluh kali!

Terima kasih banyak atas surat anda!

Kaedah pengamiran mengikut bahagian dalam kamiran pasti

Terdapat lebih sedikit kebaharuan di sini. Semua siaran artikel Kamiran mengikut bahagian dalam kamiran tak tentu adalah sah sepenuhnya untuk kamiran pasti juga.
Selain itu, terdapat hanya satu perincian, dalam formula untuk penyepaduan mengikut bahagian, had penyepaduan ditambah:

Formula Newton-Leibniz mesti digunakan dua kali di sini: untuk produk dan, selepas kami mengambil kamiran.

Sebagai contoh, saya sekali lagi memilih jenis kamiran yang tidak pernah saya lihat di tempat lain di tapak. Contohnya bukanlah yang paling mudah, tetapi sangat, sangat bermaklumat.

Contoh 8

Hitung kamiran pasti

Kami membuat keputusan.

Mengintegrasikan mengikut bahagian:

Siapa yang mengalami kesukaran dengan kamiran, lihat pelajarannya Kamiran bagi fungsi trigonometri, di mana ia dibincangkan secara terperinci.

(1) Kami menulis penyelesaian mengikut formula untuk penyepaduan mengikut bahagian.

(2) Untuk produk, kami menggunakan formula Newton-Leibniz. Untuk kamiran yang tinggal, kami menggunakan sifat kelinearan, membahagikannya kepada dua kamiran. Jangan keliru dengan tanda-tanda!

(4) Kami menggunakan formula Newton-Leibniz untuk dua antiderivatif yang ditemui.

Sejujurnya, saya tidak suka formula itu dan, jika boleh, ... lakukan tanpa itu sama sekali! Pertimbangkan cara penyelesaian kedua, dari pandangan saya ia lebih rasional.

Hitung kamiran pasti

Dalam langkah pertama, saya dapati kamiran tak tentu:

Mengintegrasikan mengikut bahagian:

Fungsi antiderivatif telah ditemui. Tidak masuk akal untuk menambah pemalar dalam kes ini.

Apakah kelebihan perjalanan sedemikian? Tidak perlu "menyeret" had integrasi, sesungguhnya, anda boleh diseksa berbelas kali dengan menulis ikon kecil had integrasi

Pada langkah kedua, saya menyemak(biasanya pada draf).

Ia juga logik. Jika saya mendapati fungsi antiterbitan secara tidak betul, maka saya juga akan menyelesaikan kamiran pasti dengan tidak betul. Adalah lebih baik untuk mengetahui dengan segera, mari kita bezakan jawapannya:

Integrasi asal telah diperolehi, yang bermaksud bahawa fungsi antiterbitan telah ditemui dengan betul.

Peringkat ketiga ialah penggunaan formula Newton-Leibniz:

Dan terdapat faedah yang ketara di sini! Dalam cara penyelesaian "saya", terdapat risiko yang jauh lebih rendah untuk keliru dalam penggantian dan pengiraan - formula Newton-Leibniz digunakan sekali sahaja. Jika cerek menyelesaikan kamiran yang serupa menggunakan formula (cara pertama), kemudian stopudovo akan membuat kesilapan di suatu tempat.

Algoritma penyelesaian yang dipertimbangkan boleh digunakan untuk mana-mana kamiran pasti.

Pelajar yang dihormati, cetak dan simpan:

Apa yang perlu dilakukan jika kamiran pasti diberikan yang kelihatan rumit atau tidak jelas dengan segera cara menyelesaikannya?

1) Mula-mula kita mencari kamiran tak tentu (fungsi antiterbitan). Jika pada peringkat pertama terdapat kekecewaan, adalah sia-sia untuk mengayunkan bot dengan Newton dan Leibniz. Hanya ada satu cara - untuk meningkatkan tahap pengetahuan dan kemahiran anda dalam menyelesaikan kamiran tak tentu.

2) Kami menyemak fungsi antiderivatif yang ditemui dengan pembezaan. Jika didapati salah, langkah ketiga akan membuang masa.

3) Kami menggunakan formula Newton-Leibniz. Kami menjalankan semua pengiraan dengan TELITI - berikut adalah pautan paling lemah dalam tugas itu.

Dan, untuk snek, penting untuk penyelesaian bebas.

Contoh 9

Hitung kamiran pasti

Penyelesaian dan jawapannya ada di tempat yang berdekatan.

Tutorial yang disyorkan berikut mengenai topik ialah − Bagaimana untuk mengira luas rajah menggunakan kamiran pasti?
Mengintegrasikan mengikut bahagian:

Adakah anda pasti menyelesaikannya dan mendapat jawapan sedemikian? ;-) Dan ada lucah pada wanita tua itu.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan kamiran tertentu, anda perlu:

1) boleh cari kamiran tak tentu.

2) boleh mengira kamiran pasti.

Secara umum, kamiran pasti ditulis sebagai:

Apakah yang telah ditambah berbanding kamiran tak tentu? tambah had integrasi.

Had bawah penyepaduan
Had atas penyepaduan biasa dilambangkan dengan huruf .
Segmen itu dipanggil segmen integrasi.

Sebelum kita beralih kepada contoh praktikal, sedikit "persetan" pada kamiran pasti.

Apakah kamiran pasti? Saya boleh memberitahu anda tentang diameter pembahagian segmen, had jumlah kamiran, dsb., tetapi pelajarannya bersifat praktikal. Oleh itu, saya akan mengatakan bahawa kamiran pasti ialah NOMBOR. Ya, ya, nombor yang paling biasa.

Adakah kamiran pasti mempunyai makna geometri? Terdapat. Dan sangat baik. Tugas yang paling popular mengira luas menggunakan kamiran pasti.

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan kamiran pasti? Menyelesaikan kamiran pasti bermakna mencari nombor.

Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran pasti? Dengan bantuan formula Newton-Leibniz yang biasa dari sekolah:

Adalah lebih baik untuk menulis semula formula pada sekeping kertas yang berasingan; ia harus berada di hadapan mata anda sepanjang pelajaran.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan kamiran pasti adalah seperti berikut:

1) Mula-mula kita dapati fungsi antiterbitan (kamiran tak tentu). Perhatikan bahawa pemalar dalam kamiran pasti tidak pernah ditambah. Penamaan adalah teknikal semata-mata, dan kayu menegak tidak membawa apa-apa makna matematik, malah ia hanya coretan. Mengapa rekod itu perlu? Persediaan untuk menggunakan formula Newton-Leibniz.

2) Kami menggantikan nilai had atas dalam fungsi antiterbitan: .

3) Kami menggantikan nilai had bawah ke dalam fungsi antiterbitan: .

4) Kami mengira (tanpa ralat!) perbezaannya, iaitu, kami mencari nombornya.

Adakah kamiran pasti sentiasa wujud? Tidak tidak selalu.

Sebagai contoh, kamiran tidak wujud, kerana selang kamiran tidak termasuk dalam domain kamiran dan (nilai di bawah punca kuasa dua tidak boleh negatif). Berikut ialah contoh yang kurang jelas: . Kamiran sedemikian juga tidak wujud, kerana tiada tangen pada titik-titik segmen. Dengan cara ini, siapa yang belum membaca bahan metodologi Graf dan sifat asas bagi fungsi asas- Sekarang adalah masa untuk melakukannya. Ia akan menjadi bagus untuk membantu sepanjang kursus matematik yang lebih tinggi.

Agar kamiran pasti wujud sama sekali, kamiran dan kami perlu berterusan pada selang kamiran.

???!!!

Anda tidak boleh menggantikan nombor negatif di bawah akar!

Jika untuk penyelesaian (dalam ujian, dalam ujian, peperiksaan) anda ditawarkan kamiran yang tidak wujud seperti

maka anda perlu memberi jawapan bahawa kamiran tidak wujud dan mewajarkan mengapa.

Bolehkah had bawah penyepaduan lebih besar daripada had atas penyepaduan? Mungkin keadaan sedemikian sebenarnya berlaku dalam amalan.

- kamiran dikira dengan tenang menggunakan formula Newton-Leibniz.

Apa yang tidak dilakukan oleh matematik yang lebih tinggi? Sudah tentu, tanpa semua jenis harta. Oleh itu, kami mempertimbangkan beberapa sifat kamiran pasti.

Dalam kamiran pasti, anda boleh menyusun semula had atas dan bawah, sambil menukar tanda:

Sebagai contoh, dalam kamiran pasti sebelum penyepaduan, adalah dinasihatkan untuk menukar had penyepaduan kepada susunan "biasa":

- dalam bentuk ini, penyepaduan adalah lebih mudah.

Bagi kamiran tak tentu, sifat lineariti adalah sah untuk kamiran pasti:

- ini benar bukan sahaja untuk dua, tetapi juga untuk sebarang bilangan fungsi.

Untuk kamiran pasti, formula untuk penyepaduan mengikut bahagian:

Contoh 1

Penyelesaian:

(1) Kami mengeluarkan pemalar daripada tanda kamiran.

(3) Kami menggunakan formula Newton-Leibniz

Mula-mula kita gantikan dengan had atas, kemudian had bawah. Kami menjalankan pengiraan lanjut dan mendapat jawapan muktamad.

Contoh 2

Hitung kamiran pasti

Ini adalah contoh penyelesaian kendiri, penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita menjadikannya lebih sukar:

Contoh 3

Hitung kamiran pasti

Penyelesaian:

(1) Kami menggunakan sifat lineariti kamiran pasti.

(2) Kami menyepadukan di atas meja, sambil mengeluarkan semua pemalar - mereka tidak akan mengambil bahagian dalam penggantian had atas dan bawah.

- tempat pertama dalam perarakan melanda kesilapan kerana kurang perhatian, selalunya mereka menulis secara automatik

(terutamanya apabila penggantian had atas dan bawah dilakukan secara lisan dan tidak ditandatangani secara terperinci). Sekali lagi, teliti contoh di atas.

Di sini saya menggunakan peraturan lineariti secara lisan, disepadukan secara lisan di atas jadual. Saya berakhir dengan hanya satu kurungan dengan had yang digariskan:

(berbanding dengan tiga kurungan dalam kaedah pertama). Dan dalam fungsi antiderivatif "keseluruhan", saya mula-mula menggantikan 4 dahulu, kemudian -2, sekali lagi melakukan semua tindakan dalam fikiran saya.

Kelebihan kaedah kedua yang tidak diragukan ialah kelajuan penyelesaian, kekompakan notasi, dan fakta bahawa antiterbitan

berada dalam satu kurungan.

Proses penyelesaian kamiran dalam sains dipanggil "matematik" dipanggil kamiran. Dengan bantuan penyepaduan, anda boleh menemui beberapa kuantiti fizikal: luas, isipadu, jisim badan dan banyak lagi.

Kamiran adalah tak tentu dan pasti. Pertimbangkan bentuk kamiran pasti dan cuba fahami maksud fizikalnya. Ia kelihatan seperti berikut: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ciri tersendiri menulis kamiran pasti daripada kamiran tak tentu ialah terdapat had kamiran a dan b. Sekarang kita akan mengetahui untuk apa mereka, dan maksud kamiran pasti. Dalam erti kata geometri, kamiran sedemikian adalah sama dengan luas rajah yang dibatasi oleh lengkung f(x), garis a dan b, dan paksi Lembu.

Ia boleh dilihat daripada Rajah 1 bahawa kamiran pasti ialah kawasan yang dilorekkan dengan warna kelabu. Mari kita semak dengan contoh mudah. Mari cari luas rajah dalam imej di bawah menggunakan penyepaduan, dan kemudian mengiranya dengan cara biasa dengan mendarab panjang dengan lebar.

Rajah 2 menunjukkan bahawa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sekarang kita menggantikannya ke dalam takrif kamiran, kita mendapat bahawa $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Mari kita semak dengan cara biasa. Dalam kes kami, panjang = 3, lebar bentuk = 1. $$ S = \text(panjang) \cdot \text(lebar) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Seperti yang anda lihat, semuanya sepadan dengan sempurna.

Persoalannya timbul: bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu dan apakah maksudnya? Penyelesaian kamiran tersebut ialah penemuan fungsi antiterbitan. Proses ini adalah bertentangan dengan mencari derivatif. Untuk mencari antiterbitan, anda boleh menggunakan bantuan kami dalam menyelesaikan masalah dalam matematik, atau anda perlu menghafal dengan tepat sifat kamiran dan jadual penyepaduan fungsi asas termudah anda sendiri. Penemuan kelihatan seperti ini $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(di mana) F(x) $ ialah antiterbitan bagi $ f(x), C = const $.

Untuk menyelesaikan kamiran, anda perlu menyepadukan fungsi $ f(x) $ berkenaan dengan pembolehubah. Jika fungsi adalah jadual, maka jawapan ditulis dalam bentuk yang sesuai. Jika tidak, maka proses dikurangkan kepada mendapatkan fungsi jadual daripada fungsi $ f(x) $ melalui transformasi matematik yang rumit. Terdapat pelbagai kaedah dan sifat untuk ini, yang akan kita bincangkan di bawah.

Jadi, sekarang mari kita buat algoritma bagaimana untuk menyelesaikan kamiran untuk dummies?

Algoritma untuk mengira kamiran

Cari kamiran pasti atau tidak.
Jika tidak ditakrifkan, maka anda perlu mencari fungsi antiterbitan $ F(x) $ bagi penyepaduan dan $ f(x) $ menggunakan penjelmaan matematik yang membawa fungsi $ f(x) $ kepada bentuk jadual.
Jika ditakrifkan, maka langkah 2 mesti dilakukan, dan kemudian gantikan had $a$ dan $b$ ke dalam fungsi antiterbitan $F(x)$. Dengan formula apa untuk melakukan ini, anda akan belajar dalam artikel "Formula Newton Leibniz".

Contoh penyelesaian

Jadi, anda telah mempelajari cara menyelesaikan kamiran untuk dummies, contoh kamiran penyelesaian telah disusun di rak. Mereka mempelajari makna fizikal dan geometri mereka. Kaedah penyelesaian akan dibincangkan dalam artikel lain.

Contoh pengiraan kamiran tak tentu

Pengiraan Kamiran Jadual

Integrasi penggantian:

Contoh pengiraan kamiran

Formula asas Newton–Leibniz

Pengiraan penggantian

Bab 4 Persamaan Pembezaan.

persamaan pembezaan dipanggil persamaan yang mengaitkan pembolehubah bebas X , fungsi yang dikehendaki di dan terbitan atau pembezaannya.

Persamaan yang dibezakan secara simbolik ditulis seperti berikut:

Persamaan pembezaan dipanggil biasa jika fungsi yang dikehendaki bergantung pada satu pembolehubah bebas.

pesanan persamaan pembezaan dipanggil susunan terbitan tertinggi (atau pembezaan) yang termasuk dalam persamaan ini.

Keputusan(atau integral) bagi persamaan pembezaan ialah fungsi yang menjadikan persamaan ini sebagai identiti.

Penyelesaian umum(atau kamiran sepunya) bagi persamaan pembezaan ialah penyelesaian yang merangkumi seberapa banyak pemalar arbitrari bebas sebagai susunan persamaan. Oleh itu, penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tertib pertama mengandungi satu pemalar arbitrari.

Keputusan peribadi Persamaan pembezaan ialah penyelesaian yang diperoleh daripada yang umum untuk pelbagai nilai berangka pemalar arbitrari. Nilai pemalar arbitrari ditemui pada nilai awal tertentu hujah dan fungsi.

Graf penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan dipanggil lengkung integral.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan sepadan dengan set (keluarga) semua lengkung kamiran.

Persamaan pembezaan tertib pertama persamaan dipanggil, yang termasuk derivatif (atau pembezaan) tidak lebih tinggi daripada susunan pertama.

Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dipanggil persamaan bentuk

Untuk menyelesaikan persamaan ini, anda mesti terlebih dahulu memisahkan pembolehubah:

dan kemudian integrasikan kedua-dua bahagian kesamaan yang terhasil:

1. Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut

o Membahagikan pembolehubah, kita ada

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan yang terhasil:

Sejak pemalar sewenang-wenangnya DARI boleh mengambil sebarang nilai berangka, kemudian untuk kemudahan transformasi selanjutnya dan bukannya C kami menulis (1/2) ln C. Mengupayakan kesaksamaan terakhir, kita perolehi

Ini ialah penyelesaian umum persamaan ini.

kesusasteraan

V. G. Boltyansky, Apakah pembezaan, "Kuliah popular matematik",

Isu 17, Gostekhizdat 1955, 64 pp.

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich "Matematik"

G. M. Fikhtengolts "Kursus kalkulus pembezaan dan kamiran", jilid 1

V. M. Borodikhin, Matematik lebih tinggi, buku teks. manual, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky SM Bab 9. Kamiran Pasti Riemann // Kursus Analisis Matematik. - 1990. - T. 1.

Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Bab 6. Kamiran tak tentu // Asas Analisis Matematik. - 1998. - V. 1. - (Kursus matematik tinggi dan fizik matematik).

Demidovich B.P. Jabatan 3. Kamiran tak tentu // Pengumpulan masalah dan latihan dalam analisis matematik. - 1990. - (Kursus matematik tinggi dan fizik matematik).

Valutse I.I., Diligul G.D. Matematik untuk sekolah teknik berdasarkan sekolah menengah: Textbook-2nd ed.rev. dan tambahan M.6 Sains. 1989

Kolyagin Yu.M. Yakovlev G.N. matematik untuk sekolah teknik. Algebra dan Permulaan Analisis Bahagian 1 dan 2. Rumah penerbitan "Naukka" M., 1981.

Shchipachev V.S. Tugasan dalam matematik tinggi: Proc. Elaun untuk universiti. Lebih tinggi Sekolah 1997

Bogomolov N.V. Pelajaran praktikal dalam matematik: buku teks. Elaun sekolah teknik. Lebih tinggi Sekolah 1997