• Tutorial

Semua orang hari yang baik. Dalam artikel ini saya ingin menunjukkan salah satu kaedah pembinaan grafik model matematik untuk sistem dinamik, yang dipanggil graf bon("ikatan" - sambungan, "graf" - graf). Dalam kesusasteraan Rusia, saya mendapati penerangan kaedah ini hanya dalam Buku Teks Tomsky Universiti Politeknik, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 Tunjukkan juga kaedah klasik melalui persamaan Lagrange jenis ke-2.

Kaedah Lagrange

Saya tidak akan menerangkan teori, saya akan menunjukkan peringkat pengiraan dengan beberapa ulasan. Secara peribadi, lebih mudah untuk saya belajar daripada contoh daripada membaca teori 10 kali. Nampaknya saya dalam kesusasteraan Rusia, penjelasan kaedah ini, dan sememangnya matematik atau fizik secara umum, sangat kaya. formula kompleks, yang sewajarnya memerlukan latar belakang matematik yang serius. Semasa mempelajari kaedah Lagrange (saya belajar di Universiti Politeknik Turin, Itali), saya mempelajari kesusasteraan Rusia untuk membandingkan kaedah pengiraan, dan sukar bagi saya untuk mengikuti kemajuan penyelesaian kaedah ini. Malah teringat kursus modeling di Kharkov institut penerbangan", terbitan kaedah sedemikian sangat menyusahkan, dan tiada siapa yang mengganggu diri mereka sendiri dalam cuba memahami isu ini. Inilah yang saya putuskan untuk menulis, manual untuk membina model matematik mengikut Lagrange, kerana ternyata ia tidak sama sekali sukar, cukup untuk mengetahui cara mengira derivatif berkenaan dengan masa dan derivatif separa. Untuk model yang lebih kompleks, matriks putaran juga ditambah, tetapi tidak ada yang rumit di dalamnya.

Ciri kaedah pemodelan:

• Newton-Euler: persamaan vektor berdasarkan keseimbangan dinamik memaksa Dan detik-detik
• Lagrange: persamaan skalar berdasarkan fungsi keadaan yang dikaitkan dengan kinetik dan potensi tenaga
• Kiraan Bon: kaedah berasaskan aliran kuasa antara elemen sistem

Mari kita mulakan dengan contoh mudah. Jisim dengan spring dan peredam. Kami mengabaikan kuasa graviti.

Rajah 1. Jisim dengan spring dan peredam

Pertama sekali, kami menetapkan:

• sistem permulaan koordinat(NSK) atau sk tetap R0(i0,j0,k0). di mana? Anda boleh menuding jari anda ke langit, tetapi dengan menggerakkan hujung neuron di otak, idea itu berlalu untuk meletakkan NSC pada garis pergerakan badan M1.
• sistem koordinat bagi setiap jasad dengan jisim(kami ada M1 R1(i1,j1,k1)), orientasi boleh sewenang-wenangnya, tetapi mengapa merumitkan hidup anda, tetapkannya dengan perbezaan minimum daripada NSC
• koordinat umum q_i (jumlah minimum pembolehubah yang boleh menggambarkan pergerakan), dalam dalam contoh ini satu koordinat umum, pergerakan hanya sepanjang paksi j

Rajah 2. Kami meletakkan sistem koordinat dan koordinat umum

Rajah 3. Kedudukan dan kelajuan badan M1

Kemudian kita akan mencari tenaga kinetik (C) dan potensi (P) dan fungsi pelesapan (D) untuk peredam menggunakan formula:

Rajah 4. Formula lengkap tenaga kinetik

Dalam contoh kami tidak ada putaran, komponen kedua ialah 0.

Rajah 5. Pengiraan kinetik, tenaga keupayaan dan fungsi pelesapan

Persamaan Lagrange mempunyai bentuk berikut:

Rajah 6. Persamaan Lagrange dan Lagrangian

Delta W_i ini kerja maya disempurnakan oleh daya dan momen yang digunakan. Mari cari dia:

Rajah 7. Pengiraan kerja maya

di mana delta q_1 pergerakan maya.

Kami menggantikan semuanya ke dalam persamaan Lagrange:

Rajah 8. Model jisim yang terhasil dengan spring dan peredam

Di sinilah kaedah Lagrange berakhir. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu rumit, tetapi ia masih merupakan contoh yang sangat mudah, yang kemungkinan besar kaedah Newton-Euler akan menjadi lebih mudah. Untuk sistem yang lebih kompleks, di mana terdapat beberapa badan yang diputar secara relatif antara satu sama lain pada sudut yang berbeza, kaedah Lagrange akan menjadi lebih mudah.

Kaedah graf bon

Saya akan menunjukkan kepada anda dengan segera rupa model dalam graf ikatan sebagai contoh dengan jisim, spring dan peredam:

Rajah 9. Jisim graf ikatan dengan spring dan peredam

Di sini anda perlu memberitahu sedikit teori, yang cukup untuk membina model mudah. Jika ada yang berminat, boleh baca buku tersebut ( Metodologi Graf Bon) atau ( Voronin A.V. Pemodelan sistem mekatronik: tutorial. – Tomsk: Rumah Penerbitan Universiti Politeknik Tomsk, 2008).

Mari kita tentukan dahulu sistem yang kompleks terdiri daripada beberapa domain. Sebagai contoh, motor elektrik terdiri daripada bahagian atau domain elektrik dan mekanikal.

graf bon berdasarkan pertukaran kuasa antara domain ini, subsistem. Ambil perhatian bahawa pertukaran kuasa, dalam sebarang bentuk, sentiasa ditentukan oleh dua pembolehubah ( kuasa berubah-ubah) dengan bantuan yang mana kita boleh mengkaji interaksi pelbagai subsistem sebagai sebahagian daripada sistem dinamik (lihat jadual).

Seperti yang dapat dilihat dari jadual, ekspresi kuasa hampir sama di mana-mana. Secara ringkasnya, Kuasa- Kerja ini " aliran - f"pada" usaha - e».

Usaha(Bahasa Inggeris) usaha) dalam domain elektrik ini adalah voltan (e), dalam domain mekanikal ia adalah daya (F) atau tork (T), dalam hidraulik ia adalah tekanan (p).

Aliran(Bahasa Inggeris) aliran) dalam domain elektrik ia adalah arus (i), dalam domain mekanikal ia adalah kelajuan (v) atau halaju sudut(omega), dalam hidraulik – aliran bendalir atau kadar aliran (Q).

Mengambil notasi ini, kami memperoleh ungkapan untuk kuasa:

Rajah 10. Formula kuasa melalui pembolehubah kuasa

Dalam bahasa graf ikatan, hubungan antara dua subsistem yang bertukar kuasa diwakili oleh ikatan. ikatan). Itulah sebabnya ia dipanggil kaedah ini graf ikatan atau g raf-sambungan, graf bersambung. Mari kita pertimbangkan gambarajah blok sambungan dalam model dengan motor elektrik (ini bukan graf ikatan lagi):

Rajah 11. Gambar rajah blok aliran kuasa antara domain

Jika kita mempunyai sumber voltan, maka dengan itu ia menghasilkan voltan dan memindahkannya ke motor untuk penggulungan (inilah sebabnya anak panah diarahkan ke motor), bergantung pada rintangan belitan, arus muncul mengikut undang-undang Ohm (diarahkan dari motor ke sumber). Oleh itu, satu pembolehubah adalah input kepada subsistem, dan yang kedua mestilah keluar daripada subsistem. Di sini voltan ( usaha) – input, semasa ( aliran) - keluar.

Jika anda menggunakan sumber semasa, bagaimanakah rajah akan berubah? Betul. Arus akan diarahkan ke motor, dan voltan ke punca. Kemudian arus ( aliran) – input, voltan ( usaha) - keluar.

Mari kita lihat contoh dalam mekanik. Daya bertindak ke atas jisim.

Rajah 12. Daya dikenakan pada jisim

Rajah blok adalah seperti berikut:

Rajah 13. Gambarajah blok

Dalam contoh ini, Kekuatan ( usaha) – pembolehubah input untuk jisim. (Daya dikenakan pada jisim)
Menurut hukum kedua Newton:

Jisim bertindak balas dengan kelajuan:

Dalam contoh ini, jika satu pembolehubah ( memaksa - usaha) ialah pintu masuk ke dalam domain mekanikal, kemudian pembolehubah kuasa lain ( kelajuan - aliran) – secara automatik menjadi keluar.

Untuk membezakan di mana input dan di mana output, garis menegak digunakan pada hujung anak panah (sambungan) antara elemen, baris ini dipanggil tanda kausalitas atau sebab musabab (sebab musabab). Ternyata: daya yang dikenakan adalah punca, dan kelajuan adalah kesannya. Tanda ini sangat penting untuk pembinaan yang betul model sistem, kerana sebab akibat adalah akibat tingkah laku fizikal dan pertukaran kuasa dua subsistem, oleh itu pilihan lokasi tanda kausalitas tidak boleh sewenang-wenangnya.

Rajah 14. Penetapan sebab akibat

Garis menegak ini menunjukkan subsistem yang menerima daya ( usaha) dan sebagai hasilnya menghasilkan aliran ( aliran). Dalam contoh dengan jisim ia akan menjadi seperti ini:

Rajah 14. Hubungan sebab bagi daya yang bertindak ke atas jisim

Jelas daripada anak panah bahawa input untuk jisim ialah - memaksa, dan outputnya ialah kelajuan. Ini dilakukan supaya tidak mengacaukan rajah dengan anak panah dan mensistematikkan pembinaan model.

Seterusnya perkara penting. Dorongan umum(jumlah pergerakan) dan bergerak(pembolehubah tenaga).

Jadual pembolehubah kuasa dan tenaga dalam domain yang berbeza

Jadual di atas memperkenalkan dua kuantiti fizik tambahan yang digunakan dalam kaedah graf ikatan. Mereka dipanggil impuls umum (R) Dan pergerakan umum (q) atau pembolehubah tenaga, dan ia boleh diperoleh dengan menyepadukan pembolehubah kuasa dari semasa ke semasa:

Rajah 15. Hubungan antara pembolehubah kuasa dan tenaga

Dalam domain elektrik :

Berdasarkan hukum Faraday, voltan di hujung konduktor adalah sama dengan terbitan daripada fluks magnet melalui konduktor ini.

A Kekuatan semasa - kuantiti fizikal, sama dengan nisbah jumlah cas Q yang melalui beberapa masa t keratan rentas konduktor, kepada nilai tempoh masa ini.

Domain mekanikal:

Daripada hukum ke-2 Newton, Paksa– terbitan masa bagi impuls

Dan selaras dengan itu, kelajuan- terbitan masa bagi sesaran:

Mari kita ringkaskan:

Elemen asas

Semua elemen dalam sistem dinamik, boleh dibahagikan kepada komponen dua kutub dan empat kutub.
Mari kita pertimbangkan komponen bipolar:

Sumber
Terdapat sumber kedua-dua usaha dan aliran. Analogi dalam domain elektrik: sumber usaha – punca voltan, sumber aliran – sumber semasa. Tanda-tanda sebab untuk sumber hanya sepatutnya seperti ini.

Rajah 16. Sambungan sebab dan penetapan sumber

Komponen R - unsur pelesapan

Komponen I - unsur inersia

Komponen C – unsur kapasitif

Seperti yang dapat dilihat dari angka, unsur-unsur yang berbeza yang sama jenis R,C,I diterangkan oleh persamaan yang sama. HANYA terdapat perbezaan untuk kapasiti elektrik, anda hanya perlu mengingatinya!

Komponen quadrupole:

Mari kita lihat dua komponen: pengubah dan girator.

Terakhir komponen penting Dalam kaedah graf ikatan, sambungan digunakan. Terdapat dua jenis nod:

Itu sahaja dengan komponen.

Langkah-langkah utama untuk mewujudkan hubungan sebab akibat selepas membina graf ikatan:

1. Berikan hubungan sebab akibat kepada semua orang sumber
2. Pergi melalui semua nod dan letakkan hubungan sebab akibat selepas titik 1
3. Untuk komponen I tetapkan hubungan sebab input (usaha disertakan dalam komponen ini), untuk komponen C tetapkan kausalitas output (usaha keluar dari komponen ini)
4. Ulang titik 2
5. Sisipkan sambungan sebab untuk komponen R

Ini menyimpulkan kursus mini tentang teori. Kini kami mempunyai semua yang kami perlukan untuk membina model.
Mari kita selesaikan beberapa contoh. Mari kita mulakan dengan litar elektrik, adalah lebih baik untuk memahami analogi membina graf ikatan.

Contoh 1

Mari mulakan membina graf ikatan dengan sumber voltan. Hanya tulis Se dan letakkan anak panah.

Lihat, semuanya mudah! Mari kita lihat lebih jauh, R dan L disambungkan secara bersiri, yang bermaksud arus yang sama mengalir di dalamnya, jika kita bercakap dalam pembolehubah kuasa - aliran yang sama. Nod yang manakah mempunyai aliran yang sama? Jawapan yang betul ialah 1-nod. Kami menyambungkan sumber, rintangan (komponen - R) dan kearuhan (komponen - I) ke 1-nod.

Seterusnya, kami mempunyai kapasitans dan rintangan secara selari, yang bermaksud mereka mempunyai voltan atau daya yang sama. 0-nod adalah sesuai seperti yang lain. Kami menyambungkan kapasitansi (komponen C) dan rintangan (komponen R) ke 0-nod.

Kami juga menyambungkan nod 1 dan 0 antara satu sama lain. Arah anak panah dipilih sewenang-wenangnya; arah sambungan hanya mempengaruhi tanda dalam persamaan.

Anda akan mendapat graf sambungan berikut:

Sekarang kita perlu mewujudkan hubungan sebab akibat. Mengikuti arahan untuk urutan penempatan mereka, mari kita mulakan dengan sumber.

1. Kami mempunyai sumber voltan (usaha), sumber sedemikian hanya mempunyai satu pilihan kausaliti - output. Jom pakai.
2. Seterusnya terdapat komponen I, mari lihat apa yang mereka cadangkan. Kita letak
3. Kami meletakkannya untuk 1-nod. makan
4. Nod 0 mesti mempunyai satu input dan semua sambungan sebab keluaran. Kami mempunyai satu hari cuti buat masa ini. Kami sedang mencari komponen C atau I. Kami menjumpainya. Kita letak
5. Mari senaraikan apa yang tinggal

Itu sahaja. Graf bon dibina. Hore, Kawan-kawan!

Yang tinggal hanyalah menulis persamaan yang menerangkan sistem kami. Untuk melakukan ini, buat jadual dengan 3 lajur. Yang pertama akan mengandungi semua komponen sistem, yang kedua akan mengandungi pembolehubah input untuk setiap elemen, dan yang ketiga akan mengandungi pembolehubah output untuk komponen yang sama. Kami telah pun mentakrifkan input dan output mengikut hubungan sebab akibat. Jadi tidak sepatutnya ada masalah.

Mari kita nombor setiap sambungan untuk memudahkan merekod tahap. Kami mengambil persamaan untuk setiap elemen dari senarai komponen C, R, I.

Setelah menyusun jadual, kami menentukan pembolehubah keadaan, dalam contoh ini terdapat 2 daripadanya, p3 dan q5. Seterusnya anda perlu menulis persamaan keadaan:

Itu sahaja, model sudah siap.

Contoh 2. Saya ingin segera memohon maaf atas kualiti foto, perkara utama ialah anda boleh membaca

Mari kita selesaikan contoh lain untuk sistem mekanikal, yang sama yang kami selesaikan menggunakan kaedah Lagrange. Saya akan tunjukkan penyelesaiannya tanpa komen. Mari kita semak kaedah mana yang lebih mudah dan mudah.

Di Matbala, kedua-dua model matematik dengan parameter yang sama telah disusun, diperoleh dengan kaedah Lagrange dan graf ikatan. Hasilnya adalah di bawah: Tambah tag

KAEDAH LAGRANGE

Kaedah pemutus bentuk kuadratik kepada jumlah kuasa dua, ditunjukkan pada tahun 1759 oleh J. Lagrange. Biarlah diberi

daripada pembolehubah x 0 , x 1 ,..., x n. dengan pekali dari medan k ciri-ciri Ia diperlukan untuk membawa borang ini kepada yang kanonik. fikiran

menggunakan tidak merosot transformasi linear pembolehubah. L. m. terdiri daripada yang berikut. Kita boleh mengandaikan bahawa tidak semua pekali bentuk (1) adalah sama dengan sifar. Oleh itu, dua kes adalah mungkin.

1) Bagi sesetengah orang g, pepenjuru Kemudian

di mana bentuk f 1 (x) tidak mengandungi pembolehubah x g . 2) Jika semuanya Tetapi Itu

di mana bentuk f 2 (x) tidak mengandungi dua pembolehubah x g Dan x h . Bentuk di bawah tanda segi empat sama dalam (4) adalah bebas secara linear. Dengan menggunakan penjelmaan bentuk (3) dan (4) bentuk (1) selepas nombor terhingga langkah dikurangkan kepada jumlah kuasa dua bentuk linear bebas linear. Menggunakan terbitan separa, formula (3) dan (4) boleh ditulis dalam bentuk

Menyala.: G a n t m a k h e r F. R., Teori matriks, ed. ke-2, M., 1966; K u r o sh A. G., Kursus Algebra Tinggi, ed. ke-11, M., 1975; Alexandrov P.S., Kuliah mengenai geometri analitik..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Ensiklopedia matematik. - M.: Ensiklopedia Soviet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apakah "KAEDAH LAGRANGE" dalam kamus lain:

Kaedah Lagrange- Kaedah Lagrange - kaedah untuk menyelesaikan beberapa kelas masalah pengaturcaraan matematik dengan mencari titik pelana (x*, λ*) bagi fungsi Lagrange., yang dicapai dengan menyamakan kepada sifar terbitan separa bagi fungsi ini berkenaan dengan... ... Kamus ekonomi-matematik

Kaedah Lagrange- Kaedah untuk menyelesaikan beberapa kelas masalah pengaturcaraan matematik dengan mencari titik pelana (x*, ?*) bagi fungsi Lagrange, yang dicapai dengan menyamakan terbitan separa bagi fungsi ini berkenaan dengan xi dan?i kepada sifar . Lihat Lagrangian. )