Identiti asas trigonometri. Pembentangan untuk pelajaran dalam algebra (gred 9) mengenai topik: Pembentangan untuk pelajaran: "Identiti trigonometri asas

Fungsi trigonometri- Permintaan "dosa" dialihkan ke sini; lihat juga makna lain. Permintaan "saat" diubah hala ke sini; lihat juga makna lain. "Sine" diubah hala ke sini; lihat juga makna lain ... Wikipedia

Tan

nasi. 1 Graf fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri ialah sejenis fungsi asas. Biasanya mereka termasuk sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

kosinus- Nasi. 1 Graf fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri ialah sejenis fungsi asas. Biasanya mereka termasuk sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangen- Nasi. 1 Graf fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri ialah sejenis fungsi asas. Biasanya mereka termasuk sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Sekan- Nasi. 1 Graf fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, kotangen Fungsi trigonometri ialah sejenis fungsi asas. Biasanya mereka termasuk sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tg x), kotangen (ctg x), ... ... Wikipedia

Sejarah trigonometri- Pengukuran geodetik (abad XVII) ... Wikipedia

Formula tangen separuh sudut- Dalam trigonometri, formula untuk tangen separuh sudut mengaitkan tangen separuh sudut dengan fungsi trigonometri sudut penuh: Pelbagai variasi formula ini adalah seperti berikut ... Wikipedia

Trigonometri- (daripada Greek τρίγονο (segi tiga) dan Greek μετρειν (ukuran), iaitu ukuran segi tiga) satu cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya dalam geometri. Istilah ini pertama kali muncul pada tahun 1595 sebagai ... ... Wikipedia

Menyelesaikan Segitiga- (lat. solutio triangulorum) istilah sejarah yang bermaksud penyelesaian masalah trigonometri utama: menggunakan data yang diketahui tentang segi tiga (sisi, sudut, dll.), cari ciri-cirinya yang lain. Segitiga boleh terletak di ... ... Wikipedia

Buku

Satu set meja. Algebra dan permulaan analisis. Darjah 10. 17 jadual + metodologi, . Jadual dicetak pada kadbod poligrafi tebal berukuran 680 x 980 mm. Kit termasuk brosur dengan cadangan metodologi untuk guru. Album kajian 17 helaian.… Beli dengan harga 3944 rubel
Jadual Kamiran dan Rumus Matematik Lain, G. B. Dwight. Edisi kesepuluh buku rujukan terkenal mengandungi jadual kamiran tak tentu dan tak tentu yang sangat terperinci, serta sejumlah besar formula matematik lain: pengembangan siri, ...

Ini adalah pelajaran terakhir dan paling penting yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah B11. Kita sudah tahu cara menukar sudut daripada radian kepada darjah (lihat pelajaran " Radian dan ukuran darjah bagi suatu sudut”), dan kami juga tahu cara menentukan tanda fungsi trigonometri, memfokuskan pada sukuan koordinat (lihat pelajaran “ Tanda-tanda fungsi trigonometri »).

Perkara itu tetap kecil: untuk mengira nilai fungsi itu sendiri - nombor yang ditulis dalam jawapan. Di sini identiti trigonometri asas datang untuk menyelamatkan.

Identiti asas trigonometri. Untuk mana-mana sudut α, pernyataan adalah benar:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Formula ini mengaitkan sinus dan kosinus bagi satu sudut. Sekarang, mengetahui sinus, kita boleh mencari kosinus dengan mudah - dan sebaliknya. Ia cukup untuk mengambil punca kuasa dua:

Perhatikan tanda "±" di hadapan akar. Hakikatnya ialah dari identiti trigonometri asas tidak jelas apakah sinus dan kosinus asal: positif atau negatif. Lagipun, kuasa dua adalah fungsi genap yang "membakar" semua tolak (jika ada).

Itulah sebabnya dalam semua tugasan B11 yang terdapat dalam USE dalam matematik, semestinya terdapat syarat tambahan yang membantu menghilangkan ketidakpastian dengan tanda. Biasanya ini adalah petunjuk suku koordinat yang mana tanda itu boleh ditentukan.

Pembaca yang penuh perhatian pasti akan bertanya: "Bagaimana dengan tangen dan kotangen?" Adalah mustahil untuk mengira secara langsung fungsi-fungsi ini daripada formula di atas. Walau bagaimanapun, terdapat akibat penting daripada identiti trigonometri asas yang sudah mengandungi tangen dan kotangen. Iaitu:

Akibat penting: untuk mana-mana sudut α, identiti trigonometri asas boleh ditulis semula seperti berikut:

Persamaan ini mudah disimpulkan daripada identiti asas - ia cukup untuk membahagikan kedua-dua belah dengan cos 2 α (untuk mendapatkan tangen) atau dengan sin 2 α (untuk kotangen).

Mari kita lihat semua ini dengan contoh khusus. Berikut ialah masalah B11 sebenar yang diambil daripada percubaan PENGGUNAAN Matematik 2012.

Kita tahu kosinus, tetapi kita tidak tahu sinus. Identiti trigonometri utama (dalam bentuk "tulen") hanya menghubungkan fungsi ini, jadi kami akan bekerja dengannya. Kami ada:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.

Untuk menyelesaikan masalah, ia tetap untuk mencari tanda sinus. Oleh kerana sudut α ∈ (π /2; π ), maka dalam ukuran darjah ia ditulis seperti berikut: α ∈ (90°; 180°).

Oleh itu, sudut α terletak pada suku koordinat II - semua sinus di sana adalah positif. Oleh itu sin α = 0.1.

Jadi, kita tahu sinus, tetapi kita perlu mencari kosinus. Kedua-dua fungsi ini adalah dalam identiti trigonometri asas. Kami menggantikan:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

Ia kekal untuk menangani tanda di hadapan pecahan. Apa yang perlu dipilih: tambah atau tolak? Mengikut keadaan, sudut α tergolong dalam selang (π 3π /2). Mari kita tukar sudut daripada ukuran radian kepada ukuran darjah - kita dapat: α ∈ (180°; 270°).

Jelas sekali, ini ialah suku koordinat III, di mana semua kosinus adalah negatif. Oleh itu cosα = -0.5.

Satu tugas. Cari tg α jika anda mengetahui perkara berikut:

Tangen dan kosinus dikaitkan dengan persamaan berikutan daripada identiti trigonometri asas:

Kami dapat: tg α = ±3. Tanda tangen ditentukan oleh sudut α. Adalah diketahui bahawa α ∈ (3π /2; 2π ). Mari kita tukar sudut daripada ukuran radian kepada ukuran darjah - kita dapat α ∈ (270°; 360°).

Jelas sekali, ini adalah suku koordinat IV, di mana semua tangen adalah negatif. Oleh itu, tgα = −3.

Satu tugas. Cari cos α jika anda mengetahui perkara berikut:

Sekali lagi, sinus diketahui dan kosinus tidak diketahui. Kami menulis identiti trigonometri utama:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

Tanda ditentukan oleh sudut. Kami mempunyai: α ∈ (3π /2; 2π ). Mari kita tukarkan sudut daripada darjah kepada radian: α ∈ (270°; 360°) ialah suku koordinat IV, kosinus adalah positif di sana. Oleh itu, cos α = 0.6.

Satu tugas. Cari sin α jika anda mengetahui perkara berikut:

Mari kita tulis formula yang mengikuti daripada identiti trigonometri asas dan secara langsung menghubungkan sinus dan kotangen:

Dari sini kita mendapat bahawa dosa 2 α = 1/25, i.e. sin α = ±1/5 = ±0.2. Adalah diketahui bahawa sudut α ∈ (0; π /2). Dalam darjah, ini ditulis seperti berikut: α ∈ (0°; 90°) - I menyelaras suku.

Jadi, sudut berada dalam suku koordinat I - semua fungsi trigonometri adalah positif di sana, oleh itu sin α \u003d 0.2.

Dalam artikel ini, kami akan melihat secara menyeluruh. Identiti trigonometri asas ialah kesamaan yang mewujudkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut, dan membolehkan anda mencari mana-mana fungsi trigonometri ini melalui sudut lain yang diketahui.

Kami segera menyenaraikan identiti trigonometri utama, yang akan kami analisis dalam artikel ini. Kami menulisnya dalam jadual, dan di bawah kami memberikan terbitan formula ini dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan kosinus satu sudut

Kadang-kadang mereka tidak bercakap tentang identiti trigonometri utama yang disenaraikan dalam jadual di atas, tetapi tentang satu tunggal identiti asas trigonometri baik hati . Penjelasan untuk fakta ini agak mudah: kesamaan diperoleh daripada identiti trigonometri asas selepas membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan dan masing-masing, dan kesamaan dan ikut daripada takrif sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Kami akan membincangkan perkara ini dengan lebih terperinci dalam perenggan berikut.

Iaitu, kesamaan yang menjadi kepentingan khusus, yang diberi nama identiti trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identiti trigonometri asas, kami memberikan rumusannya: jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut adalah sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identiti trigonometri asas sangat kerap digunakan dalam transformasi ungkapan trigonometri. Ia membenarkan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut digantikan dengan satu. Tidak kurang kerap, identiti trigonometri asas digunakan dalam susunan terbalik: unit digantikan dengan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus mana-mana sudut.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus bagi satu sudut bentuk dan segera ikuti daripada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Sesungguhnya, mengikut takrifan, sinus ialah ordinat bagi y, kosinus ialah absis bagi x, tangen ialah nisbah ordinat kepada absis, iaitu, , dan kotangen ialah nisbah absis kepada ordinat, iaitu, .

Disebabkan ini jelas identiti dan selalunya takrifan tangen dan kotangen diberikan bukan melalui nisbah absis dan ordinat, tetapi melalui nisbah sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut ialah nisbah sinus kepada kosinus sudut ini, dan kotangen ialah nisbah kosinus kepada sinus.

Untuk menyimpulkan bahagian ini, perlu diingatkan bahawa identiti dan tahan untuk semua sudut yang mana fungsi trigonometri di dalamnya masuk akal. Jadi formula itu sah untuk mana-mana selain daripada (jika tidak, penyebutnya akan menjadi sifar, dan kami tidak mentakrifkan pembahagian dengan sifar), dan formula - untuk semua , berbeza daripada , di mana z ialah sebarang .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identiti trigonometri yang lebih jelas daripada dua sebelumnya ialah identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen satu sudut bentuk . Adalah jelas bahawa ia berlaku untuk mana-mana sudut selain daripada , jika tidak sama ada tangen atau kotangen tidak ditakrifkan.

Bukti formula sangat ringkas. Mengikut definisi dan dari mana . Buktinya boleh dilakukan dengan cara yang sedikit berbeza. Sejak dan , kemudian .

Jadi, tangen dan kotangen bagi satu sudut, di mana ia masuk akal, ialah.

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google (akaun) dan log masuk: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Biarkan bahasa Inggeris disayangi seseorang, Kimia penting bagi seseorang, Tanpa matematik, kita semua Tetapi tidak di sini mahupun di sana Kita mempunyai persamaan seperti puisi Dan sinus menyokong semangat Kita mempunyai kosinus, seperti lagu, Dan formula trigonometri Belai telinga !

Topik pelajaran: “Identiti trigonometri asas. Penyelesaian masalah". Tahu: Dapat: Tujuan pelajaran:

SAYA TAHU! SAYA BOLEH! SAYA KEPUTUSAN! saya

Apakah bulatan unit? x y α R

Apakah arah putaran jejari unit yang diketahui? x y α R

Dalam unit apakah sudut putaran jejari unit diukur? x y α R

Apakah sudut satu radian? Kira-kira berapa darjah kandungan sudut 1 radian? x y α R

Rumuskan peraturan untuk menukar daripada ukuran darjah sudut kepada ukuran radian dan sebaliknya.

Rumuskan peraturan untuk menukar daripada ukuran darjah sudut kepada ukuran radian dan sebaliknya. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Apakah fungsi trigonometri yang anda tahu?

Apakah fungsi trigonometri yang anda tahu? Apakah yang menentukan nilai fungsi trigonometri?

Sudut suku manakah ialah α jika: α =15° α =190° α =100°

Sudut suku mana ialah sudut α jika: α = -20° α = -110° α = 289°

Kerja kumpulan Peraturan untuk kerja kumpulan: Kumpulan berbincang dan memutuskan bersama sama ada untuk mengemukakan idea atau menyangkalnya. Setiap ahli kumpulan mesti bekerja dengan sebaik mungkin. Semasa bekerja, layan rakan anda dengan hormat: menerima atau menolak idea, lakukan dengan sopan. Ingatlah bahawa setiap orang berhak melakukan kesilapan. Ingat bahawa kejayaan kumpulan bergantung pada sejauh mana setiap orang menunjukkan nilai mereka.

Kerja berkumpulan

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Jadual nilai fungsi trigonometri

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 melalui K 8 L 9 melalui dan M 10 melalui dan N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteria penilaian: 10 tugasan - gred "5". 8-9 tugas - gred "4". 5-7 tugas - gred "3". 1-4 tugas - gred "2". Wujudkan surat-menyurat antara bahagian kiri dan kanan identiti.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 melalui A 8 K 9 melalui dan H 10 melalui dan D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteria penilaian: 10 tugasan - gred "5". 8-9 tugas - gred "4". 5-7 tugas - gred "3". 1-4 tugas - gred "2". Wujudkan surat-menyurat antara bahagian kiri dan kanan identiti.

Identiti trigonometri asas "unit trigonometri"

Identiti asas trigonometri "unit trigonometri" segi empat sama kosinus Sangat gembira. Brother Sinus Square akan datang kepadanya! Apabila mereka bertemu, Bulatan akan terkejut: Seisi keluarga akan keluar, Iaitu, satu!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) pada α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 - sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α dan dengan t P hingga y 1 cos 2 40 ° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dapatkan nama ahli matematik yang dalam bukunya istilah trigonometri pertama kali muncul. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i s k u s 2-2 cos(-60 0)

pitiscus

Al-Batuni Al-Khawarizmi

Bhaskara Naseereddin Tusi

Leonard Euler

Diberi nilai fungsi trigonometri, cari nilai fungsi lain Sukuan Diberi: Cari: Penyelesaian: I sinα= 0.6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

Diberi nilai fungsi trigonometri, cari nilai fungsi lain Suku Diberi: Cari: Penyelesaian: I sinα= 0.6

Diberi nilai fungsi trigonometri, cari nilai fungsi lain Suku Diberi: Cari: Penyelesaian: II cosα= sinα = =

Diberi nilai fungsi trigonometri, cari nilai fungsi lain Suku Diberi: Cari: Penyelesaian: III tgα= ctgα ctgα = = =

Diberi nilai fungsi trigonometri, cari nilai fungsi lain Sukuan Diberi: Cari: Penyelesaian: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Aplikasi trigonometri dalam kehidupan manusia.

Mesej Kerja Rumah: “Trigonometri dalam kehidupan manusia” Bil 304 p.111

y=sinx Terima kasih atas pelajaran!

1 sin 240° 8 cos 290 ° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 tg Tentukan tanda ungkapan - - - - - - + + + + + + + +

Mengenai topik: perkembangan metodologi, pembentangan dan nota

Pembentangan membentangkan penyelesaian kepada tugas utama kursus matematik sekolah untuk mencari semua jenis jarak dan sudut dalam ruang mengikut algoritma, yang membolehkan anda menggunakannya semasa belajar ...

Pembentangan untuk pelajaran: "Sudut antara satah. Menyelesaikan masalah dengan pelbagai kaedah"

Pembentangan ini boleh digunakan untuk kejelasan dalam pelajaran pengulangan, untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu apabila menyelesaikan masalah jenis C-2 ....