Kuliah No 1

pengenalan. Konsep model dan kaedah matematik

Bahagian 1. Pengenalan

2. Kaedah untuk membina model matematik. Konsep pendekatan sistem. 1

3. Konsep asas pemodelan matematik sistem ekonomi.. 4

4. Kaedah analisis, simulasi dan pemodelan skala penuh. 5

Soalan ujian.. 6

1. Kandungan, matlamat dan objektif disiplin "Kaedah Pemodelan"

Disiplin ini ditumpukan kepada kajian kaedah pemodelan dan aplikasi praktikal pengetahuan yang diperoleh. Tujuan disiplin adalah untuk melatih pelajar dalam isu umum teori pemodelan, kaedah untuk membina model matematik dan penerangan formal proses dan objek, penggunaan model matematik untuk menjalankan eksperimen pengiraan dan menyelesaikan masalah pengoptimuman menggunakan alat pengkomputeran moden.

Objektif disiplin termasuk:

Untuk membiasakan pelajar dengan konsep asas teori pemodelan matematik, teori sistem, teori persamaan, teori perancangan eksperimen dan pemprosesan data eksperimen yang digunakan untuk membina model matematik,

Untuk menyediakan pelajar dengan kemahiran dalam bidang menetapkan masalah pemodelan, penerangan matematik objek/proses/, kaedah berangka untuk melaksanakan model matematik pada komputer dan menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Hasil daripada mempelajari disiplin, pelajar mesti menguasai kaedah pemodelan matematik proses dan objek daripada perumusan masalah kepada pelaksanaan model matematik pada komputer dan pembentangan hasil kajian model.

Kursus disiplin terdiri daripada 12 kuliah dan 12 kerja amali. Hasil daripada mempelajari disiplin tersebut, pelajar mesti menguasai kaedah pemodelan matematik daripada rumusan masalah sehinggalah kepada pelaksanaan model matematik pada komputer.

2. Kaedah untuk membina model matematik. Konsep pendekatan sistem

5. Menyelesaikan masalah.

Penggunaan kaedah penyelidikan operasi yang konsisten dan pelaksanaannya pada teknologi maklumat dan pengkomputeran moden memungkinkan untuk mengatasi subjektiviti dan menghapuskan apa yang dipanggil keputusan sukarela berdasarkan bukan pada akaun yang ketat dan tepat tentang keadaan objektif, tetapi pada emosi rawak dan kepentingan peribadi pengurus di pelbagai peringkat, yang, lebih-lebih lagi, tidak boleh menyelaraskan keputusan kehendak ini.

Analisis sistem memungkinkan untuk mengambil kira dan menggunakan dalam pengurusan semua maklumat yang ada tentang objek yang diuruskan, untuk menyelaraskan keputusan yang dibuat dari sudut pandangan objektif, bukannya subjektif, kriteria kecekapan. Menjimatkan pengiraan semasa mengawal adalah sama seperti menjimatkan sasaran semasa menembak. Walau bagaimanapun, komputer bukan sahaja memungkinkan untuk mengambil kira semua maklumat, tetapi juga melegakan pengurus daripada maklumat yang tidak perlu, dan memintas semua maklumat yang diperlukan memintas orang itu, memberikannya hanya maklumat yang paling umum, intipati. Pendekatan sistem dalam ekonomi adalah berkesan dengan sendirinya, tanpa menggunakan komputer, sebagai kaedah penyelidikan, dan ia tidak mengubah undang-undang ekonomi yang ditemui sebelum ini, tetapi hanya mengajar cara terbaik untuk menggunakannya.

4. Kaedah analisis, simulasi dan pemodelan skala penuh

Pemodelan adalah kaedah pengetahuan saintifik yang berkuasa, di mana objek yang dikaji digantikan oleh objek yang lebih mudah dipanggil model. Jenis utama proses pemodelan boleh dianggap dua jenis - pemodelan matematik dan fizikal. Dalam pemodelan fizikal (skala penuh), sistem yang dikaji digantikan dengan sistem bahan lain yang sepadan dengannya, yang menghasilkan semula sifat sistem yang dikaji sambil mengekalkan sifat fizikalnya. Contoh jenis pemodelan ini ialah rangkaian perintis, dengan bantuan kemungkinan asas membina rangkaian berdasarkan komputer, peranti komunikasi, sistem pengendalian dan aplikasi tertentu dikaji.

Keupayaan pemodelan fizikal agak terhad. Ia membolehkan anda menyelesaikan masalah individu apabila menentukan sebilangan kecil kombinasi parameter sistem yang sedang dikaji. Sesungguhnya, dengan pemodelan skala penuh rangkaian komputer, hampir mustahil untuk menyemak operasinya untuk pilihan menggunakan pelbagai jenis peranti komunikasi - penghala, suis, dsb. Ujian dalam amalan kira-kira sedozen jenis penghala yang berbeza dikaitkan bukan sahaja dengan usaha yang besar dan kos masa, tetapi juga dengan kos material yang besar.

Tetapi walaupun dalam kes di mana, semasa pengoptimuman rangkaian, bukan jenis peranti dan sistem pengendalian yang diubah, tetapi hanya parameternya, menjalankan eksperimen dalam masa nyata untuk sejumlah besar pelbagai kombinasi parameter ini adalah mustahil dalam jangkaan yang boleh dijangka. masa. Walaupun hanya menukar saiz paket maksimum dalam mana-mana protokol memerlukan konfigurasi semula sistem pengendalian pada beratus-ratus komputer pada rangkaian, yang memerlukan banyak kerja di pihak pentadbir rangkaian.

Oleh itu, apabila mengoptimumkan rangkaian, dalam banyak kes adalah lebih baik untuk menggunakan pemodelan matematik. Model matematik ialah satu set hubungan (rumus, persamaan, ketaksamaan, keadaan logik) yang menentukan proses mengubah keadaan sistem bergantung pada parameternya, isyarat input, keadaan awal dan masa.

Kelas khas model matematik ialah model simulasi. Model sedemikian adalah program komputer yang, langkah demi langkah, menghasilkan semula peristiwa yang berlaku dalam sistem sebenar. Berkaitan dengan rangkaian komputer, model simulasi mereka menghasilkan semula proses penjanaan mesej oleh aplikasi, memecahkan mesej kepada paket dan bingkai protokol tertentu, kelewatan yang berkaitan dengan pemprosesan mesej, paket dan bingkai dalam sistem pengendalian, proses komputer mendapat akses kepada persekitaran rangkaian yang dikongsi, proses memproses paket masuk oleh penghala dsb. Apabila mensimulasikan rangkaian, tidak perlu membeli peralatan mahal - operasinya disimulasikan oleh program yang menghasilkan semula semua ciri dan parameter utama peralatan tersebut dengan agak tepat.

Kelebihan model simulasi ialah keupayaan untuk menggantikan proses perubahan peristiwa dalam sistem yang dikaji dalam masa nyata dengan proses dipercepatkan perubahan peristiwa mengikut rentak program. Akibatnya, dalam beberapa minit adalah mungkin untuk menghasilkan semula operasi rangkaian selama beberapa hari, yang memungkinkan untuk menilai operasi rangkaian dalam pelbagai parameter yang berbeza-beza.

Hasil daripada model simulasi ialah data statistik yang dikumpul semasa pemerhatian peristiwa yang sedang berlaku pada ciri-ciri rangkaian yang paling penting: masa tindak balas, kadar penggunaan saluran dan nod, kebarangkalian kehilangan paket, dsb.

Terdapat bahasa simulasi khas yang menjadikan proses mencipta model program lebih mudah daripada menggunakan bahasa pengaturcaraan tujuan umum. Contoh bahasa simulasi termasuk bahasa seperti SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Terdapat juga sistem pemodelan simulasi yang memfokuskan pada kelas sistem yang sempit yang sedang dikaji dan membolehkan anda membina model tanpa pengaturcaraan.

Soalan kawalan

Merumuskan definisi proses pemodelan. Apakah model? Sifat simulasi. Merumus peringkat utama membina model menggunakan kaedah klasik. Merumus peringkat utama membina model menggunakan pendekatan sistem. Namakan fungsi model tersebut. Apakah peringkat dalam proses menyelesaikan masalah ekonomi? Jenis utama proses pemodelan.

Model matematik

model matematik - anggaran opimaksud objek pemodelan, dinyatakan menggunakansimbolisme matematik.

Model matematik muncul bersama-sama dengan matematik berabad-abad yang lalu. Kemunculan komputer memberi dorongan besar kepada pembangunan pemodelan matematik. Penggunaan komputer telah membolehkan untuk menganalisis dan mengaplikasi dalam amalan banyak model matematik yang sebelum ini tidak sesuai dengan penyelidikan analitikal. Dilaksanakan pada komputer secara matematikmodel langit dipanggil model matematik komputer, A menjalankan pengiraan yang disasarkan menggunakan model komputer dipanggil eksperimen pengiraan.

Peringkat sains matematik komputerpembahagian ditunjukkan dalam rajah. Pertamapentas - menentukan matlamat pemodelan. Matlamat ini boleh berbeza:

1. model diperlukan untuk memahami bagaimana objek tertentu berfungsi, apakah strukturnya, sifat asasnya, undang-undang pembangunan dan interaksi
   dengan dunia luar (pemahaman);
2. model diperlukan untuk mempelajari cara mengurus objek (atau proses) dan menentukan kaedah pengurusan terbaik untuk matlamat dan kriteria tertentu (pengurusan);
3. model diperlukan untuk meramal akibat langsung dan tidak langsung pelaksanaan kaedah dan bentuk pengaruh yang diberikan ke atas objek (ramalan).

Mari kita jelaskan dengan contoh. Biarkan objek kajian adalah interaksi aliran cecair atau gas dengan jasad yang menjadi penghalang kepada aliran ini. Pengalaman menunjukkan bahawa daya rintangan untuk mengalir pada bahagian badan meningkat dengan peningkatan kelajuan aliran, tetapi pada beberapa kelajuan yang cukup tinggi daya ini berkurangan secara tiba-tiba untuk meningkat semula dengan peningkatan lagi dalam kelajuan. Apakah yang menyebabkan penurunan daya rintangan? Pemodelan matematik membolehkan kita mendapatkan jawapan yang jelas: pada saat penurunan mendadak dalam rintangan, vorteks yang terbentuk dalam aliran cecair atau gas di belakang badan yang diperkemas mula melepaskan diri daripadanya dan dibawa oleh aliran.

Contoh dari kawasan yang sama sekali berbeza: populasi dua spesies individu yang telah hidup bersama secara aman dengan nombor yang stabil dan mempunyai bekalan makanan yang sama, "tiba-tiba" mula menukar nombor mereka secara mendadak. Dan di sini pemodelan matematik membolehkan (dengan tahap kebolehpercayaan tertentu) untuk mewujudkan punca (atau sekurang-kurangnya menyangkal hipotesis tertentu).

Membangunkan konsep untuk mengurus objek adalah satu lagi matlamat pemodelan yang mungkin. Mod penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan itu selamat dan paling menguntungkan dari segi ekonomi? Bagaimana untuk menjadualkan ratusan jenis kerja pembinaan kemudahan yang besar supaya ia siap dalam masa yang sesingkat mungkin? Banyak masalah sedemikian secara sistematik timbul sebelum ahli ekonomi, pereka bentuk, dan saintis.

Akhir sekali, meramalkan akibat kesan tertentu pada objek boleh menjadi perkara yang agak mudah dalam sistem fizikal yang mudah, dan sangat kompleks - di ambang kemungkinan - dalam sistem biologi, ekonomi dan sosial. Walaupun agak mudah untuk menjawab soalan tentang perubahan dalam cara pengagihan haba dalam rod nipis disebabkan oleh perubahan dalam aloi konstituennya, ia adalah lebih sukar untuk mengesan (meramal) akibat alam sekitar dan iklim pembinaan besar. stesen janakuasa hidroelektrik atau akibat sosial daripada perubahan dalam perundangan cukai. Mungkin di sini juga, kaedah pemodelan matematik akan memberikan bantuan yang lebih penting pada masa hadapan.

Fasa kedua: penentuan parameter input dan output model; pembahagian parameter input mengikut tahap kepentingan pengaruh perubahannya ke atas output. Proses ini dipanggil ranking, atau pemisahan mengikut pangkat (lihat. "Formaltion dan pemodelan").

Peringkat ketiga: pembinaan model matematik. Pada peringkat ini, berlaku peralihan daripada rumusan abstrak model kepada rumusan yang mempunyai perwakilan matematik tertentu. Model matematik ialah persamaan, sistem persamaan, sistem ketaksamaan, persamaan pembezaan atau sistem persamaan tersebut, dsb.

Peringkat keempat: memilih kaedah untuk mengkaji model matematik. Selalunya, kaedah berangka digunakan di sini, yang sesuai untuk pengaturcaraan. Sebagai peraturan, beberapa kaedah sesuai untuk menyelesaikan masalah yang sama, berbeza dalam ketepatan, kestabilan, dll. Kejayaan keseluruhan proses pemodelan selalunya bergantung pada pilihan kaedah yang betul.

Peringkat kelima: membangunkan algoritma, menyusun dan menyahpepijat atur cara komputer adalah proses yang sukar untuk diformalkan. Di antara bahasa pengaturcaraan, ramai profesional lebih suka FORTRAN untuk pemodelan matematik: kedua-duanya disebabkan oleh tradisi dan kerana kecekapan penyusun yang tiada tandingan (untuk kerja pengiraan) dan ketersediaan perpustakaan program standard yang besar, dinyahpenyah dengan teliti dan dioptimumkan untuk kaedah matematik yang ditulis di dalamnya . Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, bergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pengaturcara.

Peringkat keenam: ujian program. Pengendalian program diuji pada masalah ujian dengan jawapan yang diketahui sebelum ini. Ini hanyalah permulaan prosedur ujian yang sukar untuk diterangkan secara komprehensif secara rasmi. Biasanya, ujian tamat apabila pengguna, berdasarkan ciri profesionalnya, menganggap program itu betul.

Peringkat ketujuh: eksperimen pengiraan sebenar, di mana ia ditentukan sama ada model itu sepadan dengan objek sebenar (proses). Model ini cukup memadai untuk proses sebenar jika beberapa ciri proses yang diperolehi pada komputer bertepatan dengan ciri yang diperoleh secara eksperimen dengan tahap ketepatan tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenar, kami kembali ke salah satu peringkat sebelumnya.

Klasifikasi model matematik

Pengelasan model matematik boleh berdasarkan pelbagai prinsip. Anda boleh mengklasifikasikan model mengikut cabang sains (model matematik dalam fizik, biologi, sosiologi, dll.). Boleh dikelaskan mengikut radas matematik yang digunakan (model berdasarkan penggunaan persamaan pembezaan biasa, persamaan pembezaan separa, kaedah stokastik, transformasi algebra diskret, dll.). Akhir sekali, jika kita meneruskan dari masalah umum pemodelan dalam sains yang berbeza, tanpa mengira alat matematik, klasifikasi berikut adalah paling semula jadi:

• model deskriptif (deskriptif);
• model pengoptimuman;
• model pelbagai kriteria;
• model permainan.

Mari kita jelaskan ini dengan contoh.

Model deskriptif (deskriptif).. Sebagai contoh, pemodelan gerakan komet yang telah menyerang sistem suria dijalankan untuk meramalkan laluan penerbangannya, jarak di mana ia akan berlalu dari Bumi, dsb. Dalam kes ini, matlamat pemodelan adalah bersifat deskriptif, kerana tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apa-apa di dalamnya.

Model pengoptimuman digunakan untuk menerangkan proses yang boleh dipengaruhi dalam usaha mencapai matlamat tertentu. Dalam kes ini, model termasuk satu atau lebih parameter yang boleh dipengaruhi. Sebagai contoh, apabila menukar rejim terma dalam jelapang, anda boleh menetapkan matlamat memilih rejim yang akan mencapai keselamatan bijirin maksimum, i.e. mengoptimumkan proses penyimpanan.

Model berbilang kriteria. Ia selalunya perlu untuk mengoptimumkan proses sepanjang beberapa parameter secara serentak, dan matlamat boleh menjadi agak bercanggah. Sebagai contoh, mengetahui harga makanan dan keperluan seseorang untuk makanan, adalah perlu untuk mengatur pemakanan untuk kumpulan besar orang (dalam tentera, kem musim panas kanak-kanak, dll.) Secara fisiologi dengan betul dan, pada masa yang sama, semurah mungkin. Adalah jelas bahawa matlamat ini tidak bertepatan sama sekali, i.e. Semasa pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, yang mana keseimbangan mesti dicari.

Model permainan mungkin berkaitan bukan sahaja dengan permainan komputer, tetapi juga dengan perkara yang sangat serius. Sebagai contoh, sebelum pertempuran, seorang komander, jika terdapat maklumat yang tidak lengkap tentang tentera lawan, mesti membuat rancangan: dalam urutan bagaimana untuk memperkenalkan unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mengambil kira kemungkinan reaksi musuh. Terdapat cabang khas matematik moden - teori permainan - yang mengkaji kaedah membuat keputusan dalam keadaan maklumat yang tidak lengkap.

Dalam kursus sains komputer sekolah, pelajar menerima pemahaman awal tentang pemodelan matematik komputer sebagai sebahagian daripada kursus asas. Di sekolah menengah, pemodelan matematik boleh dipelajari secara mendalam dalam kursus pendidikan am untuk kelas fizik dan matematik, serta sebagai sebahagian daripada kursus elektif khusus.

Bentuk utama pengajaran pemodelan matematik komputer di sekolah menengah ialah kuliah, makmal dan kelas ujian. Lazimnya, kerja mencipta dan menyediakan untuk mengkaji setiap model baharu mengambil masa 3-4 pelajaran. Semasa pembentangan bahan, masalah ditetapkan yang mesti diselesaikan oleh pelajar secara bebas pada masa hadapan, dan cara untuk menyelesaikannya digariskan secara umum. Soalan digubal, jawapan yang mesti diperolehi apabila menyelesaikan tugasan. Kesusasteraan tambahan ditunjukkan yang membolehkan anda mendapatkan maklumat tambahan untuk menyelesaikan tugas dengan lebih berjaya.

Bentuk organisasi kelas semasa mempelajari bahan baru biasanya merupakan kuliah. Setelah selesai perbincangan model seterusnya pelajar mempunyai maklumat teori yang diperlukan dan satu set tugasan untuk kerja selanjutnya. Sebagai persediaan untuk menyelesaikan tugasan, pelajar memilih kaedah penyelesaian yang sesuai dan menguji program yang dibangunkan menggunakan beberapa penyelesaian persendirian yang terkenal. Sekiranya terdapat kesukaran yang mungkin berlaku semasa menyelesaikan tugasan, perundingan diberikan, dan cadangan dibuat untuk mengkaji bahagian ini dengan lebih terperinci dalam sumber sastera.

Yang paling sesuai untuk bahagian praktikal pengajaran pemodelan komputer ialah kaedah projek. Tugasan ini dirumuskan untuk pelajar dalam bentuk projek pendidikan dan dijalankan dalam beberapa pelajaran, dengan bentuk organisasi utama ialah kerja makmal komputer. Permodelan pengajaran menggunakan kaedah projek pendidikan boleh dilaksanakan pada tahap yang berbeza. Yang pertama ialah pembentangan bermasalah proses menyiapkan projek, yang diketuai oleh guru. Kedua ialah pelaksanaan projek oleh pelajar di bawah bimbingan guru. Yang ketiga adalah untuk pelajar menyelesaikan projek penyelidikan pendidikan secara bebas.

Hasil kerja mesti dipersembahkan dalam bentuk berangka, dalam bentuk graf dan gambar rajah. Jika boleh, proses itu dibentangkan pada skrin komputer dalam dinamik. Setelah selesai pengiraan dan penerimaan keputusan, mereka dianalisis, berbanding dengan fakta yang diketahui dari teori, kebolehpercayaan disahkan dan tafsiran bermakna dijalankan, yang kemudiannya dicerminkan dalam laporan bertulis.

Jika hasilnya memuaskan hati pelajar dan guru, maka kerjalah dikira selesai, dan peringkat terakhirnya ialah penyediaan laporan. Laporan itu merangkumi maklumat teori ringkas mengenai topik yang dikaji, rumusan matematik masalah, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, keputusan program, analisis keputusan dan kesimpulan, dan senarai rujukan.

Apabila semua laporan telah disusun, semasa pelajaran ujian, pelajar memberikan laporan ringkas tentang kerja yang dilakukan dan mempertahankan projek mereka. Ini adalah satu bentuk laporan yang berkesan daripada kumpulan yang menjalankan projek kepada kelas, termasuk menetapkan masalah, membina model formal, memilih kaedah untuk bekerja dengan model, melaksanakan model pada komputer, bekerja dengan model siap, mentafsir keputusan, dan membuat ramalan. Akibatnya, pelajar boleh menerima dua gred: yang pertama - untuk penghuraian projek dan kejayaan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimum algoritmanya, antara muka, dll. Pelajar juga menerima gred semasa kuiz teori.

Soalan penting ialah alat apa yang perlu digunakan dalam kursus sains komputer sekolah untuk pemodelan matematik? Pelaksanaan model komputer boleh dijalankan:

• menggunakan pemproses hamparan (biasanya MS Excel);
• dengan mencipta program dalam bahasa pengaturcaraan tradisional (Pascal, BASIC, dll.), serta dalam versi moden mereka (Delphi, Visual).
  Asas untuk Permohonan, dsb.);
• menggunakan pakej aplikasi khas untuk menyelesaikan masalah matematik (MathCAD, dll.).

Di peringkat sekolah asas, kaedah pertama nampaknya lebih diutamakan. Walau bagaimanapun, di sekolah menengah, apabila pengaturcaraan, bersama-sama dengan pemodelan, topik utama dalam sains komputer, adalah dinasihatkan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Semasa proses pengaturcaraan, butiran prosedur matematik tersedia kepada pelajar; Lebih-lebih lagi, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini juga menyumbang kepada pendidikan matematik. Bagi penggunaan pakej perisian khas, ini sesuai dalam kursus sains komputer khusus sebagai tambahan kepada alat lain.

Senaman :

• Buat gambar rajah konsep utama.

Model matematik objek teknikal ialah satu set objek matematik dan hubungan di antara mereka, yang menggambarkan dengan secukupnya sifat objek yang dikaji yang menarik minat penyelidik (jurutera).

Model boleh diwakili dalam pelbagai cara.

Borang pembentangan model:

invarian - merekodkan hubungan model menggunakan bahasa matematik tradisional, tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan persamaan model;

analitikal - merekodkan model dalam bentuk hasil penyelesaian analisis persamaan awal model;

algoritma - merekodkan hubungan antara model dan kaedah penyelesaian berangka yang dipilih dalam bentuk algoritma.

skema (grafik) - perwakilan model dalam beberapa bahasa grafik (contohnya, bahasa graf, litar setara, gambar rajah, dll.);

fizikal

analog

Yang paling universal ialah penerangan matematik proses - pemodelan matematik.

Konsep pemodelan matematik juga merangkumi proses penyelesaian masalah pada komputer.

Model matematik umum

Model matematik menerangkan hubungan antara data awal dan kuantiti yang dikehendaki.

Unsur-unsur model matematik umum ialah (Rajah 1): satu set data input (pembolehubah) X,Y;

X ialah satu set pembolehubah berubah; Y - pembolehubah bebas (pemalar);

pengendali matematik L, yang mentakrifkan operasi pada data ini; yang kami maksudkan ialah sistem lengkap operasi matematik yang menerangkan perhubungan berangka atau logik antara set data input dan output (pembolehubah);

set data keluaran (pembolehubah) G(X,Y); ialah satu set fungsi kriteria, termasuk (jika perlu) fungsi objektif.

Model matematik ialah analog matematik bagi objek yang direka bentuk. Tahap kecukupannya kepada objek ditentukan oleh perumusan dan ketepatan penyelesaian kepada masalah reka bentuk.

Set parameter pelbagai (pembolehubah) X membentuk ruang parameter pelbagai Rx (ruang carian), iaitu metrik dengan dimensi n sama dengan bilangan parameter yang diubah.

Set pembolehubah tidak bersandar Y membentuk ruang data input metrik Ry. Dalam kes apabila setiap komponen ruang Ry ditentukan oleh julat nilai yang mungkin, set pembolehubah bebas dipetakan kepada beberapa subruang terhad ruang Ry.

Set pembolehubah bebas Y menentukan persekitaran operasi objek, i.e. keadaan luaran di mana objek yang direka bentuk akan beroperasi

Ia boleh menjadi:

• - parameter teknikal objek yang tidak tertakluk kepada perubahan semasa proses reka bentuk;
• - gangguan fizikal persekitaran yang mana objek reka bentuk berinteraksi;
• - parameter taktikal yang mesti dicapai oleh objek reka bentuk.

Data keluaran model umum yang sedang dipertimbangkan membentuk ruang metrik penunjuk kriteria RG.

Rajah untuk menggunakan model matematik dalam sistem reka bentuk berbantukan komputer ditunjukkan dalam Rajah 2.

Keperluan untuk model matematik

Keperluan utama untuk model matematik ialah keperluan kecukupan, serba boleh dan kecekapan.

Kecukupan. Model ini dianggap mencukupi jika ia mencerminkan sifat yang ditentukan dengan ketepatan yang boleh diterima. Ketepatan ditakrifkan sebagai tahap persetujuan antara nilai parameter output model dan objek.

Ketepatan model berbeza-beza di bawah keadaan operasi objek yang berbeza. Keadaan ini dicirikan oleh parameter luaran. Dalam ruang parameter luaran, pilih kawasan kecukupan model di mana ralat adalah kurang daripada ralat maksimum yang dibenarkan. Menentukan julat kecukupan model ialah prosedur kompleks yang memerlukan kos pengiraan yang besar, yang berkembang pesat dengan peningkatan dimensi ruang parameter luaran. Masalah dalam skop ini boleh melebihi masalah pengoptimuman parametrik model itu sendiri, dan oleh itu mungkin tidak dapat diselesaikan untuk objek yang baru direka bentuk.

Kesejagatan ditentukan terutamanya oleh bilangan dan komposisi parameter luaran dan keluaran yang diambil kira dalam model.

Keberkesanan kos model dicirikan oleh kos sumber pengkomputeran untuk pelaksanaannya - kos masa dan memori komputer.

Keperluan bercanggah untuk model mempunyai pelbagai kecukupan, tahap serba boleh yang tinggi dan kecekapan tinggi menentukan penggunaan beberapa model untuk objek dari jenis yang sama.

Kaedah untuk mendapatkan model

Mendapatkan model dalam kes umum adalah prosedur tidak rasmi. Keputusan utama mengenai pilihan jenis hubungan matematik, sifat pembolehubah dan parameter yang digunakan, dibuat oleh pereka bentuk. Pada masa yang sama, operasi seperti mengira nilai berangka parameter model, menentukan kawasan kecukupan dan lain-lain dialgoritkan dan diselesaikan pada komputer. Oleh itu, pemodelan unsur-unsur sistem yang direka bentuk biasanya dijalankan oleh pakar dalam bidang teknikal tertentu menggunakan kajian eksperimen tradisional.

Kaedah untuk mendapatkan model fungsi elemen dibahagikan kepada teori dan eksperimen.

Kaedah teori adalah berdasarkan mengkaji undang-undang fizik proses yang berlaku dalam objek, menentukan penerangan matematik yang sepadan dengan undang-undang ini, mewajarkan dan menerima andaian yang memudahkan, melakukan pengiraan yang diperlukan dan membawa hasilnya kepada bentuk perwakilan model yang diterima.

Kaedah eksperimen adalah berdasarkan penggunaan manifestasi luaran sifat objek, direkodkan semasa operasi objek jenis yang sama atau semasa eksperimen yang disasarkan.

Walaupun sifat heuristik banyak operasi, pemodelan mempunyai beberapa peruntukan dan teknik yang biasa untuk mendapatkan model pelbagai objek. Mereka agak umum sifatnya

teknik pemodelan makro,

kaedah matematik untuk merancang eksperimen,

algoritma untuk operasi rasmi untuk mengira nilai berangka parameter dan menentukan kawasan kecukupan.

Menggunakan Model Matematik

Kuasa pengkomputeran komputer moden, digabungkan dengan penyediaan semua sumber sistem kepada pengguna, kemungkinan mod interaktif apabila menyelesaikan masalah dan menganalisis keputusan, membolehkan kami meminimumkan masa yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

Semasa menyusun model matematik, penyelidik dikehendaki:

mengkaji sifat objek yang dikaji;

keupayaan untuk memisahkan sifat utama objek daripada yang sekunder;

menilai andaian yang dibuat.

Model ini menerangkan hubungan antara data awal dan kuantiti yang dikehendaki. Urutan tindakan yang mesti dilakukan untuk berpindah dari data awal ke nilai yang dikehendaki dipanggil algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan masalah pada komputer dikaitkan dengan pilihan kaedah berangka. Bergantung kepada bentuk perwakilan model matematik (bentuk algebra atau pembezaan), pelbagai kaedah berangka digunakan.

Intipati pemodelan ekonomi dan matematik adalah untuk menerangkan sistem dan proses sosio-ekonomi dalam bentuk model ekonomi dan matematik.

Mari kita pertimbangkan isu klasifikasi kaedah ekonomi dan matematik. Kaedah ini, seperti yang dinyatakan di atas, mewakili kompleks disiplin ekonomi dan matematik, yang merupakan gabungan ekonomi, matematik dan sibernetik.

Oleh itu, klasifikasi kaedah ekonomi dan matematik turun kepada klasifikasi disiplin saintifik yang membentuknya. Walaupun klasifikasi yang diterima umum bagi disiplin ini belum lagi dibangunkan, dengan tahap penghampiran tertentu, bahagian berikut boleh dibezakan sebagai sebahagian daripada kaedah ekonomi dan matematik:

• * sibernetik ekonomi: analisis sistem ekonomi, teori maklumat ekonomi dan teori sistem kawalan;
• * statistik matematik: aplikasi ekonomi disiplin ini - kaedah pensampelan, analisis varians, analisis korelasi, analisis regresi, analisis statistik multivariate, analisis faktor, teori indeks, dsb.;
• * ekonomi matematik dan ekonometrik, yang mengkaji isu yang sama dari segi kuantitatif: teori pertumbuhan ekonomi, teori fungsi pengeluaran, baki input, akaun negara, analisis permintaan dan penggunaan, analisis serantau dan spatial, pemodelan global, dsb.;
• * kaedah untuk membuat keputusan yang optimum, termasuk kajian operasi dalam ekonomi. Ini adalah bahagian yang paling banyak, termasuk disiplin dan kaedah berikut: pengaturcaraan optimum (matematik), termasuk kaedah cawangan dan terikat, kaedah rangkaian perancangan dan kawalan, kaedah perancangan dan kawalan sasaran program, teori dan kaedah pengurusan inventori, beratur. teori, teori permainan, teori dan kaedah membuat keputusan, teori penjadualan. Pengaturcaraan optimum (matematik) pula, termasuk pengaturcaraan linear, pengaturcaraan tak linear, pengaturcaraan dinamik, pengaturcaraan diskret (integer), pengaturcaraan linear pecahan, pengaturcaraan parametrik, pengaturcaraan boleh dipisahkan, pengaturcaraan stokastik, pengaturcaraan geometri;
• * kaedah dan disiplin khusus secara berasingan untuk kedua-dua ekonomi terancang pusat dan ekonomi pasaran (berdaya saing). Yang pertama termasuk teori fungsi ekonomi yang optimum, perancangan optimum, teori harga optimum, model bekalan bahan dan teknikal, dan lain-lain. Yang kedua termasuk kaedah yang membolehkan pembangunan model persaingan bebas, model kitaran kapitalis, model monopoli, model perancangan indikatif, model teori firma dll.

Banyak kaedah yang dibangunkan untuk ekonomi terancang pusat juga boleh berguna dalam pemodelan ekonomi dan matematik dalam ekonomi pasaran;

* kaedah kajian eksperimen fenomena ekonomi. Ini biasanya termasuk kaedah matematik analisis dan perancangan eksperimen ekonomi, kaedah tiruan mesin (pemodelan simulasi), dan permainan perniagaan. Ini juga termasuk kaedah penilaian pakar yang dibangunkan untuk menilai fenomena yang tidak boleh diukur secara langsung.

Sekarang mari kita beralih kepada isu klasifikasi model ekonomi dan matematik, dengan kata lain, model matematik sistem dan proses sosio-ekonomi.

Pada masa ini, tiada juga sistem pengelasan bersatu untuk model sedemikian, walau bagaimanapun, lebih daripada sepuluh ciri utama pengelasan mereka, atau tajuk pengelasan, biasanya dikenal pasti. Mari kita lihat beberapa tajuk ini.

Mengikut tujuan amnya, model ekonomi dan matematik dibahagikan kepada teori dan analitikal, digunakan dalam kajian sifat umum dan corak proses ekonomi, dan digunakan, digunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi khusus analisis, ramalan dan pengurusan. Pelbagai jenis model ekonomi dan matematik gunaan dibincangkan dalam buku teks ini.

Berdasarkan tahap pengagregatan objek pemodelan, model dibahagikan kepada makroekonomi dan mikroekonomi. Walaupun tidak ada perbezaan yang jelas antara mereka, yang pertama termasuk model yang mencerminkan fungsi ekonomi secara keseluruhan, manakala model mikroekonomi dikaitkan, sebagai peraturan, dengan bahagian ekonomi seperti perusahaan dan firma.

Mengikut tujuan khusus, iaitu, mengikut tujuan penciptaan dan penggunaan, model keseimbangan dibezakan yang menyatakan keperluan untuk surat-menyurat antara ketersediaan sumber dan penggunaannya; model trend, di mana pembangunan sistem ekonomi yang dimodelkan dicerminkan melalui trend (trend jangka panjang) penunjuk utamanya; model pengoptimuman yang direka untuk memilih pilihan terbaik daripada beberapa pilihan pengeluaran, pengedaran atau penggunaan tertentu; model simulasi yang dimaksudkan untuk digunakan dalam proses simulasi mesin bagi sistem atau proses yang sedang dikaji, dsb.

Berdasarkan jenis maklumat yang digunakan dalam model, model ekonomi-matematik dibahagikan kepada analitikal, dibina berdasarkan maklumat priori, dan boleh dikenal pasti, dibina di atas maklumat posterior.

Berdasarkan faktor masa, model dibahagikan kepada statik, di mana semua kebergantungan berkaitan dengan satu titik dalam masa, dan dinamik, menggambarkan sistem ekonomi dalam pembangunan.

Dengan mengambil kira faktor ketidakpastian, model jatuh ke dalam yang deterministik, jika hasil keluarannya ditentukan secara unik oleh tindakan kawalan, dan yang stokastik (kebarangkalian), jika apabila menentukan set nilai tertentu pada input model, hasil yang berbeza boleh diperoleh pada outputnya bergantung kepada tindakan faktor rawak.

Model ekonomi-matematik juga boleh dikelaskan mengikut ciri-ciri objek matematik yang termasuk dalam model, dengan kata lain, mengikut jenis radas matematik yang digunakan dalam model. Berdasarkan ciri ini, model matriks, model pengaturcaraan linear dan bukan linear, model regresi korelasi,

Konsep asas pemodelan matematik model teori beratur, model perancangan dan pengurusan rangkaian, model teori permainan, dsb.

Akhirnya, mengikut jenis pendekatan kepada sistem sosio-ekonomi yang dikaji, model deskriptif dan normatif dibezakan. Dengan pendekatan deskriptif, model diperolehi yang bertujuan untuk menerangkan dan menerangkan fenomena yang sebenarnya diperhatikan atau untuk meramalkan fenomena ini; Sebagai contoh model deskriptif, kita boleh memetik imbangan dan model trend yang dinyatakan sebelum ini. Dengan pendekatan normatif, seseorang tidak berminat tentang bagaimana sistem ekonomi disusun dan berkembang, tetapi bagaimana ia harus distrukturkan dan bagaimana ia harus beroperasi dalam erti kata kriteria tertentu. Khususnya, semua model pengoptimuman adalah daripada jenis normatif; Contoh lain ialah model normatif taraf hidup.

Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, model ekonomi-matematik bagi baki input-output (EMM IOB). Dengan mengambil kira tajuk pengelasan di atas, ini ialah model gunaan, makroekonomi, analitikal, deskriptif, deterministik, kunci kira-kira, matriks; terdapat kaedah statik dan dinamik

Pengaturcaraan linear ialah cabang khas pengaturcaraan optimum. Sebaliknya, pengaturcaraan optimum (matematik) ialah cabang matematik gunaan yang mengkaji masalah pengoptimuman bersyarat. Dalam ekonomi, masalah sedemikian timbul semasa pelaksanaan praktikal prinsip optimum dalam perancangan dan pengurusan.

Syarat yang perlu untuk menggunakan pendekatan yang optimum kepada perancangan dan pengurusan (prinsip optimum) ialah fleksibiliti dan alternatif situasi pengeluaran dan ekonomi di mana perancangan dan keputusan pengurusan perlu dibuat. Tepatnya situasi sedemikian yang, sebagai peraturan, membentuk amalan harian entiti ekonomi (pemilihan program pengeluaran, lampiran kepada pembekal, penghalaan, pemotongan bahan, penyediaan campuran, dll.).

Intipati prinsip optimum ialah keinginan untuk memilih penyelesaian perancangan dan pengurusan sedemikian X = (xi, X2 xn), di mana Xy, (y = 1. i) adalah komponennya, yang paling baik mengambil kira keupayaan dalaman dan keadaan luaran aktiviti pengeluaran sesebuah entiti ekonomi .

Perkataan "terbaik" di sini bermaksud pemilihan beberapa kriteria optimum, i.e. beberapa penunjuk ekonomi yang membolehkan anda membandingkan keberkesanan keputusan perancangan dan pengurusan tertentu. Kriteria optimum tradisional: "keuntungan maksimum", "kos minimum", "keuntungan maksimum", dll. Perkataan "akan mengambil kira keupayaan dalaman dan keadaan luaran aktiviti pengeluaran" bermakna beberapa syarat dikenakan ke atas pilihan perancangan dan keputusan pengurusan (tingkah laku), iaitu .e. pilihan X dijalankan dari kawasan tertentu penyelesaian yang mungkin (boleh diterima) D; kawasan ini juga dipanggil kawasan definisi masalah. masalah umum pengaturcaraan optimum (matematik), jika tidak - model matematik masalah pengaturcaraan optimum, pembinaan (pembangunan) yang berdasarkan prinsip optimum dan konsisten.

Vektor X (satu set pembolehubah kawalan Xj, j = 1, n) dipanggil penyelesaian boleh diterima, atau pelan, bagi masalah pengaturcaraan optimum jika ia memenuhi sistem kekangan. Dan pelan X (penyelesaian boleh diterima) yang menyampaikan maksimum atau minimum fungsi objektif f(xi, *2, ..., xn) dipanggil pelan optimum (tingkah laku optimum, atau ringkasnya penyelesaian) masalah pengaturcaraan optimum.

Oleh itu, pilihan tingkah laku pengurusan optimum dalam situasi pengeluaran tertentu dikaitkan dengan menjalankan pemodelan ekonomi-matematik dari sudut ketekalan dan optimum serta menyelesaikan masalah pengaturcaraan optimum. Masalah pengaturcaraan optimum dalam bentuk yang paling umum dikelaskan mengikut kriteria berikut.

• 1. Dengan sifat hubungan antara pembolehubah -
• a) linear,
• b) tak linear.

Dalam kes a) semua sambungan berfungsi dalam sistem kekangan dan fungsi matlamat adalah fungsi linear; kehadiran ketaklinearan dalam sekurang-kurangnya satu daripada elemen yang disebutkan membawa kepada kes b).

• 2. Dengan sifat perubahan dalam pembolehubah --
• a) berterusan,
• b) diskret.

Dalam kes a) nilai setiap pembolehubah kawalan boleh mengisi sepenuhnya kawasan tertentu nombor nyata; dalam kes b) semua atau sekurang-kurangnya satu pembolehubah boleh mengambil hanya nilai integer.

• 3. Mengambil kira faktor masa --
• a) statik,
• b) dinamik.

Dalam masalah a) pemodelan dan pembuatan keputusan dijalankan di bawah andaian bahawa unsur-unsur model adalah bebas daripada masa dalam tempoh masa yang mana keputusan perancangan dan pengurusan dibuat. Dalam kes b) andaian sedemikian tidak boleh diterima dengan alasan yang mencukupi dan perlu mengambil kira faktor masa.

• 4. Berdasarkan ketersediaan maklumat tentang pembolehubah --
• a) tugas di bawah syarat kepastian lengkap (deterministik),
• b) tugas di bawah keadaan maklumat yang tidak lengkap,
• c) tugas di bawah keadaan ketidakpastian.

Dalam masalah b) elemen individu adalah kuantiti kebarangkalian, tetapi undang-undang pengedarannya diketahui atau boleh ditubuhkan oleh kajian statistik tambahan. Dalam kes c) adalah mungkin untuk membuat andaian tentang kemungkinan hasil unsur rawak, tetapi tidak ada cara untuk membuat kesimpulan tentang kebarangkalian hasil.

• 5. Mengikut bilangan kriteria untuk menilai alternatif --
• a) tugasan mudah, kriteria tunggal,
• b) tugasan yang kompleks dan berbilang kriteria.

Dalam masalah a) boleh diterima secara ekonomi untuk menggunakan satu kriteria optimum atau boleh dicapai menggunakan prosedur khas (contohnya, "keutamaan timbang")

PRAKATA

Tujuan kursus pemodelan sistem angkat dan pengangkutan adalah untuk mengajar asas-asas pemodelan mesin angkat dan pengangkutan (HTM), yang merangkumi penyusunan model matematik HTM, pelaksanaan perisian model pada komputer, serta mendapatkan, pemprosesan. dan analisis hasil pemodelan.

Untuk membiasakan diri secara bebas dengan isu yang disenaraikan, kesusasteraan berikut disyorkan: Braude V.I., Ter-Mkhitarov M.S. "Kaedah sistem untuk mengira mesin angkat", Ignatiev N.B., Ilyevsky B.Z., Klaus L.P. "Sistem mesin pemodelan", Rachkov E.V., Silikov Yu. V. "Mesin dan mekanisme mengangkat dan mengangkut", serta buku rujukan dan tutorial tentang kaedah berangka matematik pengiraan dan penggunaan editor matematik MathCad.

§1. MATLAMAT UTAMA, DEFINISI DAN PRINSIP PEMODELAN MATEMATIK, JENIS-JENIS MODEL

1.1 Definisi asas

Pemodelan adalah kaedah teori dan eksperimen aktiviti kognitif; ia adalah kaedah mengkaji dan menerangkan fenomena, proses dan sistem (objek asal) berdasarkan penciptaan objek baru - model.

Permodelan ialah penggantian objek yang dikaji (asli) dengan imej konvensionalnya atau objek lain (model) dan kajian sifat-sifat asli dengan mengkaji sifat-sifat model tersebut.

Bergantung kepada kaedah pelaksanaan, semua model boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan: fizikal, matematik, subjek-matematik dan gabungan [, ].

Model fizikal ialah penjelmaan sebenar sifat-sifat asal yang menarik minat penyelidik. Model fizikal juga dipanggil susun atur, jadi pemodelan fizikal dipanggil prototaip.

Model matematik ialah penerangan rasmi sistem (atau proses) menggunakan beberapa bahasa abstrak (secara matematik), contohnya, dalam bentuk graf, persamaan, algoritma, korespondensi matematik, dsb.

Model subjek-matematik adalah analog, i.e. dalam kes ini, untuk pemodelan, prinsip perihalan proses matematik yang sama, sebenar dan berlaku dalam model, digunakan.

Model gabungan ialah gabungan model matematik atau subjek-matematik dan fizikal. Ia digunakan apabila penerangan matematik salah satu elemen sistem yang sedang dikaji tidak diketahui atau sukar, dan juga, mengikut keadaan pemodelan, adalah perlu untuk memperkenalkan model fizikal (contohnya, simulator) sebagai elemen.

Permodelan matematik ialah penggantian yang asal dengan model matematik dan kajian sifat-sifat asal menggunakan model ini.

Sistem ialah gabungan beberapa objek (elemen) yang saling berkaitan, membentuk integriti tertentu.

Elemen ialah bahagian sistem yang agak bebas, dipertimbangkan pada tahap analisis ini sebagai satu keseluruhan, bertujuan untuk melaksanakan fungsi tertentu.

Sistem ini mempunyai yang berikut, yang dipanggil sifat "sistem":

struktur, iaitu susunan yang ditetapkan dengan ketat untuk menggabungkan unsur-unsur ke dalam kumpulan;

tujuan atau kefungsian, i.e. kehadiran tujuan sistem dicipta;

kecekapan, keupayaan untuk mencapai matlamat dengan perbelanjaan sumber yang paling sedikit;

kestabilan, keupayaan untuk mengekalkan ciri-ciri sifatnya tidak berubah dalam had tertentu apabila keadaan luaran berubah.

Pada masa ini, dalam teknologi, konsep "sistem mesin manusia" (HMS) digunakan untuk mengkaji operasi kompleks mesin dan mesin, i.e. sistem bercampur, bahagian penting yang, bersama-sama dengan objek teknikal, adalah pengendali manusia [, ]. Selain itu, HMS berinteraksi dengan persekitaran. Oleh itu, untuk memodelkan PTS, adalah perlu untuk mempertimbangkan sistem Man-Machine-Environment, yang boleh dipaparkan oleh graf berikut (Rajah 1).

R
ialah. 1 Graf sistem Manusia-Mesin-Alam Sekitar.

Anak panah pada graf menggambarkan aliran tenaga, jirim dan maklumat yang ditukar antara unsur-unsur sistem.

Proses yang berlaku dalam sistem teknikal dibentuk oleh satu set operasi mudah. Operasi ialah transformasi kuantiti fizikal input kepada kuantiti keluaran dalam elemen tahap rendah sistem (Rajah 2).

Dalam setiap elemen sistem (E i), perubahan pengaruh input (X i) kepada pengaruh output (Y i) berlaku, dan pengaruh output satu elemen boleh menjadi input seterusnya. Sambungan unsur ke dalam gambar rajah struktur mengikut sifat pemindahan pengaruh berlaku secara berurutan atau selari.

nasi. 2 Gambar rajah blok sistem.

Sistem angkat dan pengangkutan (HTS), yang dipelajari dalam kursus ini, akan dipanggil sistem yang merangkumi seseorang, persekitaran dan mesin angkat dan pengangkutan (HTM).

PTM ialah mesin yang direka untuk memindahkan kargo pada jarak yang agak pendek tanpa memprosesnya. PTM digunakan untuk memudahkan, mempercepat dan meningkatkan kecekapan operasi tambah nilai.

1.2 Prinsip dan jenis pemodelan matematik

Model matematik mesti mempunyai sifat berikut:

kecukupan, sifat korespondensi antara model dan objek penyelidikan;

kebolehpercayaan, memastikan kebarangkalian keputusan pemodelan yang ditentukan jatuh ke dalam selang keyakinan,

ketepatan, percanggahan tidak ketara (dalam ralat yang dibenarkan) antara hasil simulasi dan penunjuk objek sebenar (proses);

kestabilan, sifat surat-menyurat perubahan kecil dalam parameter output kepada perubahan kecil dalam parameter input;

kecekapan, keupayaan untuk mencapai matlamat dengan perbelanjaan sumber yang rendah;

kebolehsuaian, keupayaan untuk menyesuaikan diri dengan mudah untuk menyelesaikan pelbagai masalah.

Untuk mencapai sifat ini, terdapat beberapa prinsip (peraturan) pemodelan matematik, beberapa daripadanya diberikan di bawah.

Prinsip bermatlamat ialah model mesti memastikan pencapaian matlamat yang ditetapkan dengan ketat dan, pertama sekali, mencerminkan sifat-sifat asal yang diperlukan untuk mencapai matlamat.

Prinsip kecukupan maklumat terdiri daripada mengehadkan jumlah maklumat tentang objek semasa mencipta modelnya dan mencari yang optimum antara maklumat input dan hasil pemodelan. Ia boleh digambarkan melalui rajah berikut.

Semua kemungkinan kes simulasi terletak di lajur 2.

Prinsip kebolehlaksanaan ialah model mesti memastikan pencapaian matlamat yang ditetapkan dengan kebarangkalian hampir 1 dan dalam masa yang terhad. Prinsip ini boleh dinyatakan dalam dua istilah

Dan
, (1)

di mana
- kebarangkalian untuk mencapai matlamat, - masa untuk mencapai matlamat,
dan - nilai kebarangkalian dan masa yang boleh diterima untuk mencapai matlamat.

Prinsip pengagregatan ialah model harus terdiri daripada subsistem peringkat pertama, yang seterusnya, terdiri daripada subsistem peringkat kedua, dsb. Subsistem mesti direka bentuk sebagai blok bebas yang berasingan. Pembinaan model sedemikian membolehkan penggunaan prosedur pengiraan standard, dan juga memudahkan untuk menyesuaikan model untuk menyelesaikan pelbagai masalah.

Prinsip parameterisasi terdiri daripada menggantikan, apabila memodelkan, parameter tertentu subsistem yang diterangkan oleh fungsi yang sepadan dengan ciri berangka.

Proses pemodelan menggunakan peraturan ini terdiri daripada 5 langkah (peringkat) berikut.

Tentukan matlamat pemodelan.

Pembangunan model konseptual (skim pengiraan).

Formalisasi.

Pelaksanaan model.

Analisis dan tafsiran hasil simulasi.

Perbezaan ketara dalam pelaksanaan peringkat 3-5 mencadangkan dua pendekatan untuk membina model.

Pemodelan Analitikal ialah penggunaan model matematik dalam bentuk persamaan yang ditambah dengan sistem kekangan yang menghubungkan pembolehubah input dengan parameter output. Pemodelan analitik digunakan jika terdapat rumusan lengkap masalah kajian dan perlu untuk mendapatkan satu keputusan akhir yang sepadan dengannya.

Pemodelan simulasi ialah penggunaan model matematik untuk menerangkan fungsi sistem dari semasa ke semasa di bawah pelbagai kombinasi parameter sistem dan pelbagai pengaruh luaran. Pemodelan simulasi digunakan jika tiada rumusan akhir masalah dan perlu mengkaji proses yang berlaku dalam sistem. Pemodelan simulasi menganggap pematuhan dengan skala masa. Itu. peristiwa pada model berlaku pada selang masa yang berkadar dengan peristiwa pada asal dengan pekali perkadaran malar.

Berdasarkan penggunaan alat untuk melaksanakan model, satu lagi jenis pemodelan boleh dibezakan, pemodelan komputer. Pemodelan komputer ialah pemodelan matematik menggunakan teknologi komputer.

1.3 Pengelasan model matematik

Semua model matematik boleh dibahagikan kepada beberapa kumpulan mengikut kriteria pengelasan berikut.

Bergantung pada jenis sistem yang dimodelkan, model boleh menjadi statik atau dinamik. Model statik digunakan untuk mengkaji sistem statik, model dinamik digunakan untuk mengkaji sistem dinamik. Sistem dinamik dicirikan dengan mempunyai beberapa keadaan yang berubah dari semasa ke semasa.

Mengikut tujuan pemodelan, model dibahagikan kepada beban, pengurusan dan berfungsi. Model beban digunakan untuk menentukan beban yang bertindak ke atas elemen sistem, model pengurusan digunakan untuk menentukan parameter kinematik sistem yang dikaji, termasuk kelajuan dan pergerakan elemen sistem, model berfungsi digunakan untuk menentukan koordinat model dalam ruang keadaan berfungsi sistem yang mungkin.

Berdasarkan tahap pendiskretan, model dibahagikan kepada diskret, bercampur dan berterusan. Model diskret mengandungi unsur yang saling berkaitan yang ciri-cirinya tertumpu pada titik. Ini boleh menjadi jisim, isipadu, daya dan pengaruh lain yang tertumpu pada titik. Model kontinum mengandungi elemen yang parameternya diedarkan sepanjang panjang, luas atau isipadu keseluruhan elemen. Model campuran mengandungi unsur kedua-dua jenis.

Model (dari modulus Latin - ukuran) dan pemodelan adalah konsep saintifik umum. Pemodelan dari sudut pandangan saintifik umum bertindak sebagai cara kognisi melalui pembinaan objek khas, sistem - model objek, fenomena atau proses yang dikaji. Dalam kes ini, satu atau objek lain dipanggil model apabila ia digunakan untuk mendapatkan maklumat mengenai objek lain - prototaip model.

Kaedah pemodelan digunakan dalam hampir semua sains tanpa pengecualian dan pada semua peringkat penyelidikan saintifik. Kuasa heuristik kaedah ini ditentukan oleh fakta bahawa dengan bantuan kaedah pemodelan adalah mungkin untuk mengurangkan kajian kompleks kepada yang mudah, tidak kelihatan dan tidak ketara, kelihatan dan ketara, dsb.

Apabila mengkaji objek (proses atau fenomena) menggunakan kaedah pemodelan, kita boleh memilih sebagai model sifat-sifat yang menarik minat kita pada masa ini. Kajian saintifik tentang sebarang objek sentiasa relatif. Dalam kajian khusus, adalah mustahil untuk mempertimbangkan objek dalam semua kepelbagaiannya. Akibatnya, objek yang sama boleh mempunyai banyak model yang berbeza, dan tiada satu pun daripada mereka boleh dikatakan sebagai satu-satunya model sebenar objek ini.

Ia adalah kebiasaan untuk membezakan empat utama harta benda model:

· penyederhanaan berbanding dengan objek yang dikaji;

· keupayaan untuk mencerminkan atau menghasilkan semula objek kajian;

· keupayaan untuk menggantikan objek penyelidikan pada peringkat tertentu kognisinya;

· keupayaan untuk mendapatkan maklumat baharu tentang objek yang sedang dikaji.

Kajian tentang pelbagai fenomena atau proses dengan kaedah matematik dijalankan menggunakan model matematik. Model matematik ialah penerangan rasmi dalam bahasa matematik bagi objek yang dikaji. Penerangan formal sedemikian boleh menjadi sistem persamaan linear, tak linear atau pembezaan, sistem ketaksamaan, kamiran pasti, polinomial dengan pekali yang tidak diketahui, dsb. Model matematik mesti merangkumi ciri-ciri terpenting objek yang dikaji dan mencerminkan hubungan antara mereka.

Sebelum mencipta model matematik objek (proses atau fenomena), ia dikaji untuk masa yang lama menggunakan pelbagai kaedah: pemerhatian, eksperimen yang dianjurkan khusus, analisis teori, dll., iaitu, sisi kualitatif fenomena dikaji dengan baik. , perhubungan di mana unsur-unsur objek terletak didedahkan. Kemudian objek dipermudahkan, dan yang paling penting dikhususkan daripada pelbagai sifat yang wujud. Jika perlu, andaian dibuat tentang hubungan sedia ada dengan dunia luar.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, mana-mana model tidak sama dengan fenomena itu sendiri; ia hanya memberikan beberapa anggaran kepada realiti. Tetapi model itu menyenaraikan semua andaian yang mendasarinya. Andaian ini mungkin kasar tetapi memberikan penghampiran yang memuaskan sepenuhnya kepada realiti. Beberapa model, termasuk model matematik, boleh dibina untuk fenomena yang sama. Sebagai contoh, anda boleh menerangkan pergerakan planet-planet sistem suria menggunakan:

8 Model Kepler, yang terdiri daripada tiga hukum, termasuk formula matematik (persamaan elips);

8 model Newton, yang terdiri daripada satu formula, tetapi ia lebih umum dan tepat.

Dalam optik, beberapa model cahaya telah dipertimbangkan: korpuskular, gelombang dan elektromagnet. Banyak corak kuantitatif telah diperolehi untuk mereka. Setiap model ini memerlukan pendekatan matematiknya sendiri dan alat matematik yang sesuai. Optik korpuskular menggunakan kaedah geometri Euclidean dan sampai kepada kesimpulan hukum pantulan dan pembiasan cahaya. Model gelombang teori cahaya memerlukan idea matematik baru dan, secara pengiraan semata-mata, fakta baru yang berkaitan dengan fenomena pembelauan dan gangguan cahaya yang tidak pernah diperhatikan sebelum ini ditemui. Optik geometri, yang dikaitkan dengan model korpuskular, ternyata tidak berkuasa di sini.

Model yang dibina mestilah sedemikian rupa sehingga boleh menggantikan objek (proses atau fenomena) dalam penyelidikan dan mesti mempunyai ciri yang serupa dengannya. Persamaan dicapai sama ada melalui persamaan dalam struktur (isomorphism) atau analogi dalam tingkah laku atau fungsi (isofunctionality). Berdasarkan persamaan struktur atau fungsi model dan teknologi moden yang asli menguji, mengira dan mereka bentuk sistem, mesin dan struktur yang kompleks.

Seperti yang dinyatakan di atas, banyak model berbeza boleh dibina untuk objek, proses atau fenomena yang sama. Sebahagian daripada mereka (tidak semestinya semua) mungkin isomorfik. Sebagai contoh, dalam geometri analisis, lengkung dalam satah digunakan sebagai model untuk persamaan yang sepadan dalam dua pembolehubah. Dalam kes ini, model (lengkung) dan prototaip (persamaan) adalah isomorfik kepada sistem (titik terletak pada lengkung dan pasangan nombor sepadan yang memenuhi persamaan),

Dalam buku "Matematik Menjalankan Eksperimen," ahli akademik N.N. Moiseev menulis bahawa mana-mana model matematik boleh timbul dalam tiga cara:

· Hasil daripada kajian dan pemahaman secara langsung tentang sesuatu objek (proses atau fenomena) (fenomenologi) (contoh - persamaan yang menerangkan dinamik atmosfera, lautan),

· Hasil daripada beberapa proses penolakan, apabila model baharu diperoleh sebagai kes khas model yang lebih umum (asimtomatik) (contoh - persamaan hidro-termodinamik atmosfera),

· Hasil daripada beberapa proses aruhan, apabila model baharu adalah generalisasi semula jadi bagi model “elementary” (model ensembel atau model umum).

Proses membangunkan model matematik terdiri daripada yang berikut peringkat:

· perumusan masalah;

· penentuan tujuan pemodelan;

· mengatur dan menjalankan penyelidikan kawasan subjek (penyelidikan sifat objek pemodelan);

· pembangunan model;

· menyemak ketepatan dan pematuhannya dengan realiti;

· kegunaan praktikal, i.e. pemindahan pengetahuan yang diperoleh menggunakan model kepada objek atau proses yang dikaji.

Pemodelan sebagai cara memahami undang-undang dan fenomena alam memperoleh kepentingan khusus dalam kajian objek yang tidak boleh diakses sepenuhnya untuk pemerhatian atau eksperimen langsung. Ini juga termasuk sistem sosial, satu-satunya cara yang mungkin untuk belajar yang sering menjadi model.

Tiada kaedah umum untuk membina model matematik. Dalam setiap kes tertentu, adalah perlu untuk meneruskan dari data yang tersedia, orientasi sasaran, mengambil kira objektif kajian, dan juga mengimbangi ketepatan dan perincian model. Ia harus mencerminkan ciri yang paling penting dalam fenomena, faktor penting yang bergantung kepada kejayaan pemodelan.

Apabila membangunkan model, adalah perlu untuk mematuhi prinsip metodologi asas berikut untuk memodelkan fenomena sosial:

· prinsip masalah, yang membayangkan pergerakan bukan dari model matematik "universal" siap pakai kepada masalah, tetapi dari masalah sebenar, sebenar - kepada pencarian dan pembangunan model khas;

· prinsip sistematik, yang mempertimbangkan semua hubungan fenomena yang dimodelkan dari segi unsur-unsur sistem dan persekitarannya;

· prinsip kebolehubahan dalam pemformalkan proses pengurusan yang berkaitan dengan perbezaan khusus dalam undang-undang pembangunan alam dan masyarakat. Untuk menjelaskannya, adalah perlu untuk mendedahkan perbezaan asas antara model proses sosial dan model yang menerangkan fenomena semula jadi.