Kuasa pecahan negatif. Menaikkan nombor kepada kuasa negatif

Dari sekolah, kita semua tahu peraturan tentang menaikkan kepada kuasa: sebarang nombor dengan eksponen N adalah sama dengan hasil pendaraban nombor yang diberi pada dirinya sendiri ke-N bilangan kali. Dalam erti kata lain, 7 kepada kuasa 3 ialah 7 didarab dengan sendirinya tiga kali, iaitu, 343. Peraturan lain - menaikkan sebarang nilai kepada kuasa 0 memberikan satu, dan menaikkan nilai negatif mewakili hasil eksponen biasa jika ia genap, dan hasil yang sama dengan tanda tolak jika ia ganjil.

Peraturan juga memberi jawapan tentang cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Untuk melakukan ini, anda perlu menaikkan nilai yang diperlukan oleh modul penunjuk dengan cara biasa, dan kemudian bahagikan unit dengan hasilnya.

Daripada peraturan ini, ia menjadi jelas bahawa pelaksanaan tugasan sebenar dengan kuantiti yang banyak akan memerlukan kehadiran cara teknikal. Secara manual adalah mungkin untuk mendarab dengan sendirinya julat maksimum nombor sehingga dua puluh atau tiga puluh, dan kemudian tidak lebih daripada tiga atau empat kali. Ini belum lagi fakta bahawa kemudian juga membahagikan unit dengan hasilnya. Oleh itu, bagi mereka yang tidak mempunyai istimewa kalkulator kejuruteraan, kami akan menerangkan cara menaikkan nombor kepada eksponen negatif dalam Excel.

Menyelesaikan masalah dalam Excel

Untuk menyelesaikan masalah dengan eksponen, Excel membenarkan anda menggunakan salah satu daripada dua pilihan.

Yang pertama ialah penggunaan formula dengan simbol topi standard. Masukkan data berikut dalam sel lembaran kerja:

Dengan cara yang sama, anda boleh menaikkan nilai yang dikehendaki kepada mana-mana kuasa - negatif, pecahan. Mari lakukan perkara berikut dan jawab soalan bagaimana untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif. Contoh:

Ia boleh dibetulkan secara langsung dalam formula =B2^-C2.

Pilihan kedua ialah menggunakan fungsi "Ijazah" siap pakai, yang mengambil dua hujah wajib - nombor dan penunjuk. Untuk mula menggunakannya, cukup untuk meletakkan tanda sama (=) dalam mana-mana sel bebas, menunjukkan permulaan formula, dan masukkan perkataan di atas. Ia kekal untuk memilih dua sel yang akan mengambil bahagian dalam operasi (atau tentukan nombor tertentu secara manual) dan tekan kekunci Enter. Mari lihat beberapa contoh mudah.

Formula

Hasilnya

KUASA(B2;C2)

KUASA(B3;C3)

0,002915

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit tentang cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif dan kepada yang biasa. menggunakan Excel. Lagipun, untuk menyelesaikan masalah ini, anda boleh menggunakan kedua-dua simbol "tudung" yang biasa dan fungsi terbina dalam program yang mudah diingati. Ini adalah kelebihan yang pasti!

Mari kita beralih kepada lebih banyak lagi contoh yang kompleks. Mari kita ingat peraturan tentang cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif aksara pecahan, dan kita akan melihat bahawa tugas ini diselesaikan dengan sangat mudah dalam Excel.

Penunjuk pecahan

Ringkasnya, algoritma untuk mengira nombor dengan penunjuk pecahan seterusnya.

Tukarkan eksponen pecahan kepada pecahan wajar atau tidak wajar.
Naikkan nombor kita kepada pengangka pecahan tertukar yang terhasil.
Daripada nombor yang diperolehi dalam perenggan sebelumnya, hitung punca, dengan syarat penunjuk punca akan menjadi penyebut pecahan yang diperoleh pada peringkat pertama.

Setuju bahawa walaupun beroperasi dengan nombor kecil dan pecahan wajar pengiraan sedemikian boleh mengambil masa yang lama. Bagus itu pemproses hamparan Excel tidak peduli apa nombor dan pada tahap mana untuk dinaikkan. Cuba selesaikan contoh berikut dalam lembaran kerja Excel:

Menggunakan peraturan di atas, anda boleh menyemak dan memastikan pengiraan adalah betul.

Pada akhir artikel kami, kami akan memberikan dalam bentuk jadual dengan formula dan hasil beberapa contoh cara menaikkan nombor kepada kuasa negatif, serta beberapa contoh dengan operasi nombor pecahan dan ijazah.

Contoh jadual

Semak pada lembaran kerja buku cemerlang contoh-contoh berikut. Untuk semuanya berfungsi dengan betul, anda perlu menggunakan rujukan bercampur semasa menyalin formula. Betulkan nombor lajur yang mengandungi nombor yang dinaikkan, dan nombor baris yang mengandungi penunjuk. Formula anda sepatutnya lebih kurang pandangan seterusnya: "=$B4^C$3".

Nombor / Ijazah

Sila ambil perhatian bahawa nombor positif (walaupun bukan integer) dikira tanpa masalah untuk mana-mana eksponen. Tiada masalah dengan menaikkan sebarang nombor kepada integer. Tetapi menaikkan nombor negatif kepada kuasa pecahan akan menjadi satu kesilapan untuk anda, kerana adalah mustahil untuk mengikuti peraturan yang ditunjukkan pada permulaan artikel kami tentang menaikkan nombor negatif, kerana kesamaan adalah ciri nombor INTEGER eksklusif.

Tahap pertama

Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukan mereka? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari semua tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda Kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, mengetahui ijazah akan membawa anda lebih dekat penghantaran berjaya OGE atau USE dan untuk memasuki universiti idaman anda.

Jom... (Jom!)

Nota PENTING! Jika bukannya formula yang anda lihat omong kosong, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia dengan contoh yang sangat mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap satu mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis dengan cara yang berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian menghasilkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Dan apakah helah pengiraan rumit lain yang dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Sekiranya anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor ini kepada kuasa kelima. Sebagai contoh, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima adalah. Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian dalam fikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ia akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa gelaran kedua dipanggil segi empat sama nombor, dan yang ketiga kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang baik. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan segi empat sama atau kuasa kedua nombor.

Bayangkan satu meter kolam persegi dengan saiz meter. Kolam itu ada di halaman rumah anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi ... kolam tanpa dasar! Ia adalah perlu untuk menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan dasar kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menusuk jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika jubin anda adalah meter demi meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda melihat jubin sedemikian? Jubin akan agak menjadi cm dengan cm. Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda". Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam, kami akan memuatkan jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Mendarab dengan, anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa kami mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apakah maksudnya? Oleh kerana nombor yang sama didarab, kita boleh menggunakan teknik eksponen. (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabkannya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkan kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga ralat yang lebih sedikit dalam pengiraan Untuk peperiksaan, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh hingga darjah kedua akan menjadi (). Atau anda boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut adalah tugas untuk anda, kira berapa banyak petak pada papan catur menggunakan petak nombor itu ... Di satu sisi sel dan di sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan, atau ... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tak sangka, kan?) Lukiskan kolam: saiz bawah satu meter dan dalam satu meter dan cuba kira jumlah kubus meter demi meter yang akan memasuki kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang berlaku? tak sesat ke? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Jadi itu! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya ... Dan apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh menggunakan ijazah. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus adalah sama. Ia ditulis seperti ini:

Kekal sahaja menghafal jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh kasut dan orang yang licik untuk menyelesaikan masalah mereka. masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh satu juta lagi untuk setiap juta. Iaitu, setiap juta anda pada awal setiap tahun berganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda kini duduk dan "mengira dengan jari", maka anda adalah seorang yang sangat rajin dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua kali dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya sekali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan bahawa anda mempunyai pertandingan dan orang yang mengira lebih cepat akan mendapat berjuta-juta ini ... Adakah patut mengingati darjah nombor, apa pendapat anda?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Ia hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain ... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kuasa keempat ialah sejuta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa, anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep...supaya tidak terkeliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Apa pendapat kamu, apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ini ialah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah? Lebih mudah lagi ialah nombor yang berada di bahagian bawah, di pangkal.

Ini gambar untuk anda pasti.

Baik dan dalam Pandangan umum untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik ... Ijazah dengan asas "" dan eksponen "" dibaca sebagai "kepada darjah" dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen semula jadi

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan item: satu, dua, tiga ... Apabila kita mengira item, kita tidak mengatakan: "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh". Kami tidak menyebut "satu pertiga" atau "sifar koma lima persepuluh" sama ada. Tidak integer. Pada pendapat anda, apakah nombor ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ini adalah apabila tiada apa-apa. Dan apakah maksud nombor negatif ("tolak")? Tetapi ia dicipta terutamanya untuk menandakan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan adalah nombor rasional. Bagaimana mereka muncul, adakah anda fikir? Sangat ringkas. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka tidak mempunyai nombor semula jadi yang mencukupi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional… Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, pecahan perpuluhan tak terhingga. Contohnya, jika lilitan bulatan dibahagikan dengan diameternya, maka nombor tak rasional.

Ringkasan:

Mari kita tentukan konsep darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
Untuk kuasa dua nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendiri:
Untuk menduakan nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Naikkan nombor ke ijazah semula jadi bermaksud untuk mendarab nombor dengan sendirinya kali:
.

Sifat ijazah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat apa yang ada Dan ?

A-priory:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah faktor kepada faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah darjah nombor dengan eksponen, iaitu: , yang diperlukan untuk dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti alasan yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. iaitu -kuasa ke- bagi suatu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarabkan dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Ijazah dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam darjah dari penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan apakah tanda (" " atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh amalan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika mereka ditukar, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kami menamakan nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda "") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Pertimbangkan beberapa kuasa dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor dengan, dan mendapat sama seperti -. Apakah nombor yang mesti didarabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor hingga darjah sifar, ia mestilah sama. Jadi apakah kebenaran ini? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita bukan sahaja boleh membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Mari pergi lebih jauh. Selain nombor asli dan nombor, integer termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu eksponen negatif, mari kita lakukan seperti dalam kali terakhir: darab beberapa nombor normal dengan yang sama dalam darjah negatif:

Dari sini sudah mudah untuk menyatakan yang dikehendaki:

Sekarang kita melanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama asas tidak boleh nol:(kerana mustahil untuk dibahagi).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis tugas untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombor itu menakutkan, tetapi pada peperiksaan anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar cara menanganinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan bulatan nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, lebih-lebih lagi.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang ingat peraturan "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke bagi nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama.

Iaitu, punca darjah ke ialah operasi songsang bagi eksponen: .

Ternyata begitu. Jelas sekali ini kes istimewa boleh dipanjangkan: .

Sekarang tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperolehi dengan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Ingat peraturan: sebarang nombor dinaikkan kepada walaupun ijazah ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak akar darjah genap daripada nombor negatif!

Dan ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana pula dengan ekspresi?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili sebagai pecahan terkecil yang lain, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, dan ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi sebaik sahaja kami menulis penunjuk dengan cara yang berbeza, kami sekali lagi mendapat masalah: (iaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi kalau:

- nombor asli;
ialah integer;

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh amalan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang - yang paling sukar. Sekarang kita akan menganalisis ijazah c penunjuk tidak rasional .

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti darjah dengan eksponen rasional, kecuali

Sesungguhnya, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...kuasa sifar- ini adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu bilangan;

...eksponen integer negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar bagaimana untuk menyelesaikan contoh sedemikian :))

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan ijazah ke ijazah:

Sekarang lihat markah. Adakah dia mengingatkan anda tentang apa-apa? Kami ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami memberikan pecahan dalam eksponen bagi k jenis yang sama: Sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-duanya normal. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP MAJU

Definisi ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

— asas ijazah;
- eksponen.

Darjah dengan eksponen semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Kuasa dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

ereksi kepada kuasa sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana mustahil untuk dibahagi).

Sekali lagi tentang nulls: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Ijazah dengan eksponen rasional

- nombor asli;
ialah integer;

Contoh:

Sifat ijazah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

A-priory:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi mengikut definisi, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mestilah atas dasar yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi Nota PENTING: peraturan ini ialah - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun saya tidak patut menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kita susun semula seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa ke-- nombor:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:!

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya indeks ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam darjah dari semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan apakah tanda (" " atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya, tanda akan berubah. Ia adalah mungkin untuk merumuskan sedemikian peraturan mudah:

malah ijazah, - nombor positif.
Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika anda ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud bahawa asas adalah kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya kepada satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum dibongkar peraturan terakhir Mari kita lihat beberapa contoh.

Kira nilai ungkapan:

Penyelesaian :

Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika ia diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ia kelihatan seperti ini:

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama! Ia tidak boleh digantikan dengan menukar hanya satu tolak yang tidak menyenangkan kepada kami!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita hendak membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan mudahkan:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - apakah rupanya? Ini tidak lain hanyalah takrifan operasi pendaraban: jumlah ternyata menjadi pengganda. Iaitu, mengikut takrifan, kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Ijazah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan penunjuk yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor hingga darjah sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan dirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu, hasilnya hanya "penyediaan nombor" tertentu, iaitu nombor; darjah dengan penunjuk negatif integer - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ia adalah objek matematik semata-mata yang telah dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Jawapan:

Ingat rumus perbezaan kuasa dua. Jawapan: .
Kami membawa pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan, atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kita dapat, contohnya: .
Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu integer dan positif).

Ijazah dengan eksponen rasional

darjah, penunjuknya ialah nombor negatif dan pecahan.

Ijazah dengan eksponen tidak rasional

eksponen yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat ijazah

Ciri-ciri darjah.

Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA ADA PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Beritahu saya dalam komen di bawah jika anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda dengan sifat kuasa.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dengan peperiksaan anda!

Nombor dinaikkan kepada kuasa memanggil nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali.

Kuasa nombor dengan nilai negatif (a - n) boleh ditakrifkan dengan cara yang sama seperti darjah nombor yang sama dengan eksponen positif ditentukan (an) . Walau bagaimanapun, ia juga memerlukan definisi tambahan. Formula ditakrifkan sebagai:

a-n = (1 / a n)

Sifat nilai negatif kuasa nombor adalah serupa dengan kuasa dengan eksponen positif. Persamaan yang diwakili a m / a n = a m-n boleh berlaku adil seperti

« Tidak ada tempat, seperti dalam matematik, kejelasan dan ketepatan kesimpulan tidak membenarkan seseorang melepaskan diri daripada jawapan dengan bercakap tentang soalan.».

A. D. Alexandrov

di n lebih m , serta m lebih n . Mari kita lihat contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Mula-mula anda perlu menentukan nombor yang bertindak sebagai definisi darjah. b=a(-n) . Dalam contoh ini -n adalah penunjuk darjah b - nilai berangka yang dikehendaki, a - asas darjah dalam bentuk semula jadi nilai berangka. Kemudian tentukan modul, i.e. nilai mutlak nombor negatif yang bertindak sebagai eksponen. Hitung darjah relatif nombor tertentu nombor mutlak, sebagai penunjuk. Nilai darjah didapati dengan membahagikan satu dengan nombor yang terhasil.

nasi. 1

Pertimbangkan kuasa nombor dengan eksponen pecahan negatif. Bayangkan bahawa nombor a ialah sebarang nombor positif, nombor n Dan m - integer. Mengikut takrifan a , yang dinaikkan kepada kuasa - sama dengan satu dibahagikan dengan nombor yang sama dengan darjah positif (Rajah 1). Apabila kuasa nombor ialah pecahan, maka dalam kes sedemikian hanya nombor dengan eksponen positif digunakan.

Patut diingati sifar itu tidak boleh menjadi eksponen bagi suatu nombor (peraturan pembahagian dengan sifar).

Penyebaran konsep seperti nombor memulakan manipulasi seperti pengiraan ukuran, serta perkembangan matematik sebagai sains. Pengenalan nilai negatif adalah disebabkan oleh perkembangan algebra, yang memberi penyelesaian umum masalah aritmetik, tanpa mengira makna khusus dan data berangka awalnya. Di India pada abad VI-XI nilai negatif nombor digunakan secara sistematik semasa menyelesaikan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti hari ini. DALAM sains Eropah nombor negatif mula digunakan secara meluas terima kasih kepada R. Descartes, yang memberikan tafsiran geometri nombor negatif, sebagai arah segmen garisan. Descarteslah yang mencadangkan bahawa nombor yang dinaikkan kepada kuasa dipaparkan sebagai formula dua tingkat a n .

Kami telah mengetahui tahap sesuatu nombor secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara mengiranya dengan betul, i.e. meningkatkan nombor kepada kuasa. Dalam bahan ini, kami akan menganalisis peraturan asas untuk mengira darjah dalam kes eksponen integer, semula jadi, pecahan, rasional dan tidak rasional. Semua definisi akan digambarkan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponen

Mari kita mulakan dengan perumusan definisi asas.

Definisi 1

Eksponensiasi ialah pengiraan nilai kuasa sesuatu nombor.

Maksudnya, perkataan "pengiraan nilai darjah" dan "pengeksponenan" bermaksud perkara yang sama. Jadi, jika tugasnya ialah "Naikkan nombor 0 , 5 kepada kuasa kelima", ini harus difahami sebagai "kira nilai kuasa (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan peraturan asas yang mesti diikuti dalam pengiraan sedemikian.

Ingat apa kuasa nombor dengan eksponen semula jadi. Untuk kuasa dengan asas a dan eksponen n, ini akan menjadi hasil darab ke-n bagi faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Ini boleh ditulis seperti ini:

Untuk mengira nilai darjah, anda perlu melakukan operasi pendaraban, iaitu, mendarabkan asas darjah nombor yang ditentukan sekali. Konsep ijazah dengan penunjuk semula jadi adalah berdasarkan keupayaan untuk membiak dengan cepat. Mari beri contoh.

Contoh 1

Keadaan: Naikkan - 2 kepada kuasa 4 .

Penyelesaian

Menggunakan takrifan di atas, kita tulis: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Seterusnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan dapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilai 3 2 7 2

Penyelesaian

Entri ini boleh ditulis semula sebagai 3 2 7 · 3 2 7 . Terdahulu kita melihat bagaimana untuk mendarab nombor bercampur yang disebut dalam keadaan dengan betul.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawapannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas itu menunjukkan keperluan untuk menaikkan nombor tidak rasional kepada kuasa semula jadi, kita perlu terlebih dahulu membundarkan pangkalannya kepada digit yang membolehkan kita mendapat jawapan tentang ketepatan yang diingini. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuasa dua nombor π .

Penyelesaian

Mari kita bundarkan kepada perseratus dahulu. Kemudian π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika π ≈ 3 . 14159 maka kita dapat lebih hasil yang tepat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Ambil perhatian bahawa keperluan untuk mengira kuasa nombor tidak rasional dalam amalan timbul agak jarang. Kita kemudian boleh menulis jawapan sebagai kuasa itu sendiri (ln 6) 3 atau tukar jika boleh: 5 7 = 125 5 .

Secara berasingan, ia harus ditunjukkan apakah kuasa pertama nombor. Di sini anda boleh ingat bahawa sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa pertama akan kekal dengan sendirinya:

Ini jelas daripada rekod. .

Ia tidak bergantung pada asas ijazah.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = − 9 , dan 7 3 dinaikkan ke kuasa pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk kemudahan, kami akan menganalisis tiga kes secara berasingan: jika eksponen ialah integer positif, jika ia sifar, dan jika ia adalah integer negatif.

Dalam kes pertama, ini adalah sama seperti menaikkan kepada kuasa semula jadi: lagipun, integer positif tergolong dalam set nombor asli. Kami telah menerangkan cara bekerja dengan ijazah sedemikian di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan kuasa sifar dengan betul. Dengan asas yang bukan sifar, pengiraan ini sentiasa menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelum ini telah menjelaskan bahawa kuasa ke-0 a boleh ditakrifkan untuk mana-mana nombor sebenar, tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditakrifkan.

Kita hanya tinggal kes ijazah dengan eksponen integer negatif. Kami telah membincangkan bahawa darjah sedemikian boleh ditulis sebagai pecahan 1 a z, dengan a ialah sebarang nombor, dan z ialah integer penunjuk negatif. Kami melihat bahawa penyebut pecahan ini tidak lebih daripada darjah biasa dengan integer positif, dan kami telah mempelajari cara mengiranya. Mari kita berikan contoh tugasan.

Contoh 6

Naikkan 3 kepada kuasa -2.

Penyelesaian

Menggunakan definisi di atas, kita tulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami mengira penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawapannya ialah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 kepada kuasa -2.

Penyelesaian

Merumus semula: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami mengira kuasa dua dalam penyebut: 1.43 1.43. Perpuluhan boleh didarab dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapat (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 . Tinggal untuk kita menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang mana perlu untuk mendarabkannya dengan 10 ribu (lihat bahan mengenai penukaran pecahan).

Jawapan: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Kes berasingan menaikkan nombor kepada tolak kuasa pertama. Nilai darjah sedemikian adalah sama dengan nombor yang bertentangan dengan nilai asal asas: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Bagaimana untuk menaikkan nombor kepada kuasa pecahan

Untuk melakukan operasi ini, kita perlu ingat definisi asas darjah dengan eksponen pecahan: a m n = a m n bagi sebarang positif a , integer m dan n asli.

Definisi 2

Oleh itu, pengiraan darjah pecahan mesti dilakukan dalam dua langkah: menaikkan kepada kuasa integer dan mencari punca darjah ke-n.

Kami mempunyai kesamaan a m n = a m n , yang, memandangkan sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m n = a n m . Ini bermakna jika kita menaikkan nombor a kepada kuasa pecahan m / n, maka mula-mula kita mengeluarkan punca darjah ke-n daripada a, kemudian kita menaikkan hasilnya kepada kuasa dengan eksponen integer m.

Mari kita gambarkan dengan contoh.

Contoh 9

Kira 8 - 2 3 .

Penyelesaian

Kaedah 1. Menurut definisi asas, kita boleh mewakili ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung darjah di bawah akar dan ekstrak punca ketiga daripada hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Kaedah 2. Mari kita ubah kesamaan asas: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Selepas itu, kami mengekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuasa dua hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahawa penyelesaian adalah sama. Anda boleh menggunakan apa-apa cara yang anda suka.

Terdapat kes apabila ijazah mempunyai penunjuk yang dinyatakan nombor bercampur atau perpuluhan. Untuk memudahkan pengiraan, lebih baik menggantikannya dengan pecahan biasa dan kira seperti di atas.

Contoh 10

Naikkan 44.89 kepada kuasa 2.5.

Penyelesaian

Tukar nilai penunjuk kepada pecahan sepunya - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas mengikut urutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 100 = 67 10 5 = 10 13 501, 25107

Jawapan: 13501, 25107.

Jika terdapat bilangan besar dalam pengangka dan penyebut bagi eksponen pecahan, maka pengiraan kuasa tersebut dengan penunjuk rasional- kerja yang agak sukar. Ia biasanya memerlukan teknologi komputer.

Secara berasingan, kita memikirkan darjah dengan asas sifar dan eksponen pecahan. Ungkapan bentuk 0 m n boleh diberi makna berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную darjah positif membawa kepada sifar: 0 7 12 \u003d 0, 0 3 2 5 \u003d 0, 0 0, 024 \u003d 0, dan kepada integer negatif - tidak mengapa: 0 - 4 3.

Bagaimana untuk menaikkan nombor kepada kuasa tidak rasional

Keperluan untuk mengira nilai darjah, dalam penunjuk yang terdapat nombor tidak rasional, tidak timbul begitu kerap. Dalam amalan, tugas biasanya terhad kepada mengira nilai anggaran (sehingga bilangan tempat perpuluhan tertentu). Ini biasanya dikira pada komputer kerana kerumitan pengiraan sedemikian, jadi kami tidak akan memikirkan perkara ini secara terperinci, kami hanya akan menunjukkan peruntukan utama.

Jika kita perlu mengira nilai darjah a dengan eksponen tidak rasional a , maka kita mengambil penghampiran perpuluhan bagi eksponen dan mengira daripadanya. Hasilnya akan menjadi jawapan anggaran. Lebih tepat anggaran perpuluhan yang diambil, lebih tepat jawapannya. Mari tunjukkan dengan contoh:

Contoh 11

Kirakan nilai anggaran 21 , 174367 ....

Penyelesaian

Kami menghadkan diri kami kepada penghampiran perpuluhan a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan pengiraan menggunakan nombor ini: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jika kita ambil, sebagai contoh, penghampiran a n = 1 , 1743 , maka jawapannya akan menjadi lebih tepat sedikit: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa Achilles berlari jarak ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan berterusan selama-lamanya, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kesemua mereka, satu cara atau yang lain, menganggap aporias Zeno. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan pada masa ini, untuk mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks komuniti saintifik belum berjaya lagi... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baharu; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima secara universal untuk masalah itu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada nilai kepada. Peralihan ini membayangkan penggunaan dan bukannya pemalar. Setakat yang saya faham, radas matematik penggunaan unit pembolehubah ukuran sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Penggunaan logik biasa membawa kita ke dalam perangkap. Kami, dengan inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada timbal balik. Dari sudut fizikal, ia kelihatan seperti masa semakin perlahan noktah pada saat Achilles mengejar kura-kura itu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh memintas kura-kura itu.

Jika kita putar logik yang biasa kita lakukan, semuanya akan menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kelajuan tetap. Setiap segmen laluan berikutnya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat memintas kura-kura."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? tinggal dalam unit tetap ukuran masa dan tidak beralih kepada nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ia tidak penyelesaian yang lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang ketidakbolehtahanan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami masih belum mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini paradoks logik ia diatasi dengan sangat mudah - ia cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang terletak pada titik yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah pergerakan. Terdapat satu lagi perkara yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya, adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan kereta, dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza diperlukan, tetapi ia tidak boleh digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil titik yang berbeza ruang pada satu titik dalam masa, tetapi adalah mustahil untuk menentukan fakta pergerakan daripada mereka (secara semula jadi, data tambahan untuk pengiraan masih diperlukan, trigonometri akan membantu anda). Apa yang saya mahu fokuskan Perhatian istimewa, adalah bahawa dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penerokaan.

Rabu, 4 Julai 2018

Sangat baik perbezaan antara set dan multiset diterangkan dalam Wikipedia. Kita tengok.

Seperti yang anda lihat, "set tidak boleh mempunyai dua elemen yang sama", tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset". Makhluk yang munasabah tidak akan pernah memahami logik yang tidak masuk akal seperti itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, di mana fikiran tidak hadir dari perkataan "sepenuhnya." Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, menyampaikan idea tidak masuk akal mereka kepada kami.

Pada suatu masa dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa ujian jambatan itu. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah", atau lebih tepat "kajian matematik konsep abstrak", terdapat satu tali pusat yang berkait rapat dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Berkenaan teori matematik ditetapkan kepada ahli matematik itu sendiri.

Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira keseluruhan jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Kami menerangkan matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "anda boleh menerapkannya kepada orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Selanjutnya, jaminan akan bermula bahawa terdapat nombor wang kertas yang berbeza pada wang kertas denominasi yang sama, yang bermaksud bahawa ia tidak boleh dianggap sebagai unsur yang sama. Nah, kami mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan mula sawan mengingat fizik: pada syiling yang berbeza ada jumlah yang berbeza Lumpur, struktur kristal dan susunan atom dalam setiap syiling adalah unik...

Dan sekarang saya mempunyai yang paling banyak minat Tanya: di manakah sempadan yang melampaui unsur multiset bertukar menjadi unsur set dan sebaliknya? Garis sedemikian tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains di sini tidak dekat.

Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan kawasan yang sama padang. Luas bidang adalah sama, yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita mengambil kira nama stadium yang sama, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset pada masa yang sama. Betul ke? Dan di sini ahli matematik-bomoh-shuller mengeluarkan trump ace dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan menunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

Ahad, 18 Mac 2018

Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi mereka adalah bomoh untuk itu, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah Digit Nombor". Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang membolehkan anda mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor adalah simbol grafik, dengan bantuannya kita menulis nombor dan dalam bahasa matematik tugasan berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya secara asas.

Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, katakan kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor kepada simbol grafik nombor. Ini bukan operasi matematik.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor berasingan. Memotong gambar bukan operasi matematik.

3. Tukar aksara grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.

Jumlah digit bagi nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor itu. Jadi, dalam sistem yang berbeza pengiraan, jumlah digit nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. DENGAN sebilangan besar 12345 Saya tidak mahu menipu kepala saya, pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Jom tengok hasilnya.

Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia seperti mencari luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter akan memberi anda hasil yang berbeza.

Sifar dalam semua sistem nombor kelihatan sama dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta bahawa . Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah ia ditandakan dalam matematik sebagai yang bukan nombor? Apa, bagi ahli matematik, tiada apa-apa selain nombor yang wujud? Untuk bomoh, saya boleh membenarkan ini, tetapi untuk saintis, tidak. Realiti bukan hanya tentang angka.

Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza dengan kuantiti yang sama membawa kepada keputusan yang berbeza selepas membandingkannya, maka ini tiada kaitan dengan matematik.

Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan tindakan matematik tidak bergantung pada nilai nombor, unit ukuran yang digunakan dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Oh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kekudusan jiwa-jiwa yang tidak terbatas semasa kenaikan ke syurga! Nimbus di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?

Perempuan... Halo di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.

Jika anda mempunyai karya seni reka bentuk yang berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,

Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menemui ikon pelik di dalam kereta anda:

Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang membuang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak fikir gadis itu bodoh, tidak siapa tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip arka persepsi imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.

1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam sistem nombor heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.