Nombor negatif pada bulatan nombor. Pelajaran "bulatan nombor"

Jika anda sudah biasa dengan bulatan trigonometri , dan anda hanya mahu menyegarkan ingatan anda tentang unsur-unsur tertentu, atau anda benar-benar tidak sabar, maka inilah:

Di sini kami akan menganalisis segala-galanya secara terperinci langkah demi langkah.

Bulatan trigonometri bukanlah satu kemewahan, tetapi satu keperluan

Trigonometri Ramai orang mengaitkannya dengan semak yang tidak dapat ditembusi. Tiba-tiba, begitu banyak nilai fungsi trigonometri, begitu banyak formula bertimbun... Tetapi ia seperti, ia tidak berjaya pada mulanya, dan... kita pergi... salah faham sepenuhnya...

Sangat penting untuk tidak berputus asa nilai fungsi trigonometri, - mereka berkata, anda sentiasa boleh melihat taji dengan jadual nilai.

Jika anda sentiasa melihat jadual dengan nilai formula trigonometri, mari buang tabiat ini!

Dia akan membantu kita! Anda akan bekerja dengannya beberapa kali, dan kemudian ia akan muncul di kepala anda. Bagaimanakah ia lebih baik daripada meja? Ya, dalam jadual anda akan menemui bilangan nilai yang terhad, tetapi pada bulatan - SEMUANYA!

Contohnya, sebut sambil melihat jadual nilai piawai formula trigonometri , apakah sinus yang sama dengan, katakan, 300 darjah, atau -45.

Tidak mungkin?.. anda boleh, sudah tentu, menyambung formula pengurangan... Dan melihat bulatan trigonometri, anda boleh menjawab soalan sedemikian dengan mudah. Dan tidak lama lagi anda akan tahu bagaimana!

Dan apabila menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan tanpa bulatan trigonometri, ia sama sekali tidak ke mana-mana.

Pengenalan kepada bulatan trigonometri

Jom ikut tertib.

Mula-mula, mari kita tulis siri nombor ini:

Dan sekarang ini:

Dan akhirnya ini:

Sudah tentu, adalah jelas bahawa, sebenarnya, di tempat pertama ialah , di tempat kedua ialah , dan di tempat terakhir ialah . Iaitu, kita akan lebih berminat dengan rantai.

Tetapi betapa indahnya ternyata! Jika sesuatu berlaku, kami akan memulihkan "tangga keajaiban" ini.

Dan mengapa kita memerlukannya?

Rantaian ini adalah nilai utama sinus dan kosinus pada suku pertama.

Mari kita lukis bulatan jejari unit dalam sistem koordinat segi empat tepat (iaitu, kita mengambil sebarang jejari panjang, dan mengisytiharkan panjangnya sebagai unit).

Dari rasuk "0-Start" kami meletakkan sudut ke arah anak panah (lihat rajah).

Kami mendapat mata yang sepadan pada bulatan. Jadi, jika kita menayangkan mata pada setiap paksi, maka kita akan mendapat nilai yang tepat dari rantai di atas.

Mengapa ini, anda bertanya?

Jangan kita menganalisis segala-galanya. Mari kita pertimbangkan prinsip, yang akan membolehkan anda menghadapi situasi lain yang serupa.

Segitiga AOB ialah segi empat tepat dan mengandungi . Dan kita tahu bahawa bertentangan dengan sudut b terletak satu kaki separuh saiz hipotenus (kita mempunyai hipotenus = jejari bulatan, iaitu, 1).

Ini bermakna AB= (dan oleh itu OM=). Dan mengikut teorem Pythagoras

Saya harap sesuatu sudah menjadi jelas?

Jadi titik B akan sepadan dengan nilai, dan titik M akan sepadan dengan nilai

Sama dengan nilai lain pada suku pertama.

Seperti yang anda faham, paksi biasa (lembu) akan menjadi paksi kosinus, dan paksi (oy) – paksi sinus . Nanti.

Di sebelah kiri sifar di sepanjang paksi kosinus (di bawah sifar di sepanjang paksi sinus) sudah tentu akan ada nilai negatif.

Jadi, inilah, Yang MAHA KUASA, tanpanya tiada tempat dalam trigonometri.

Tetapi kita akan bercakap tentang cara menggunakan bulatan trigonometri.

Bab 2
3) nombor

Mari kita letak titik dalam surat-menyurat.

Marilah kita memanggil bulatan unit dengan surat-menyurat yang telah ditetapkan

bulatan nombor.

Ini adalah model geometri kedua untuk set sebenar

nombor. Pelajar sudah mengetahui model pertama - garis nombor. makan

analogi: untuk garis nombor, peraturan surat-menyurat (dari nombor ke titik)

hampir sama secara literal. Tetapi terdapat perbezaan asas - sumbernya

kesukaran utama dalam bekerja dengan bulatan nombor: pada garis lurus, setiap satu

titik sepadan satu-satunya nombor, ini tidak berlaku pada bulatan. Jika

bulatan sepadan dengan nombor, maka ia sepadan dengan semua

nombor borang

Di manakah panjang bulatan unit, dan ialah integer

nasi. 1

nombor yang menunjukkan bilangan pusingan lengkap bulatan dalam satu atau yang lain

sebelah.

Detik ini sukar untuk pelajar. Mereka harus ditawarkan

memahami intipati perkara itu dan tugas sebenar:

Trek larian stadium adalah 400 m panjang, pelari adalah 100 m jauhnya

dari titik permulaan. Sejauh mana dia pergi? Jika dia baru mula berlari, maka

berlari 100 m; jika anda berjaya berlari satu pusingan, maka - (

Dua bulatan – () ; jika anda berjaya berlari

bulatan, maka laluan akan menjadi (

). Sekarang anda boleh membandingkan

hasil yang diperoleh dengan ungkapan

Contoh 1. Apakah nombor yang sepadan dengan titik itu?

bulatan nombor

Penyelesaian. Oleh kerana panjang keseluruhan bulatan

Itulah panjang sukunya

Dan oleh itu - kepada semua nombor borang

Begitu juga, ditentukan nombor yang sepadan dengan mata

dipanggil pertama, kedua, ketiga, masing-masing,

suku keempat bulatan nombor.

Semua trigonometri sekolah adalah berdasarkan model berangka

bulatan. Pengalaman menunjukkan bahawa kelemahan dengan model ini juga

pengenalan fungsi trigonometri yang tergesa-gesa tidak membenarkan penciptaan

asas yang boleh dipercayai untuk kejayaan pembelajaran bahan. Oleh itu, tidak

anda perlu tergesa-gesa dan mengambil sedikit masa untuk mempertimbangkan perkara berikut

lima jenis masalah bulatan nombor yang berbeza.

Jenis tugas pertama. Mencari titik pada bulatan nombor,

sepadan dengan nombor yang diberi, dinyatakan dalam pecahan nombor

Contoh 2.

nombor

Penyelesaian. Mari bahagikan arka

separuh dengan titik kepada tiga bahagian yang sama -

titik

(Gamb. 2). Kemudian

Jadi nombor

Mata perlawanan

Nombor
Contoh

3.
pada

berangka

bulatan

mata,

nombor yang sepadan:

Penyelesaian. Kami akan melaksanakan pembinaan

a) Mengetepikan arka

(panjangnya

) lima kali

dari titik

ke arah negatif,

kita dapat satu mata

b) Mengetepikan arka

(panjangnya

) tujuh kali daripada

ke arah positif, kita mendapat mata yang memisahkan

bahagian ketiga arka

Ia akan sepadan dengan nombor

c) Mengetepikan arka

(panjangnya

) lima kali dari titik

secara positif

arah, kita dapat mata

Memisahkan bahagian ketiga arka. Dia dan

akan sepadan dengan nombor

(pengalaman menunjukkan bahawa lebih baik tidak menangguhkan

lima kali

Dan 10 kali

Selepas contoh ini, adalah sesuai untuk memberikan dua susun atur berangka utama

bulatan: pada yang pertama (Rajah 3) semua sukuan dibahagikan kepada separuh, kepada

yang kedua (Rajah 4) - menjadi tiga bahagian yang sama. Reka letak ini berguna untuk ada di pejabat anda

matematik.

nasi. 2

nasi. 3 nasi. 4

Anda pasti perlu berbincang dengan pelajar soalan: apa yang akan berlaku jika

setiap susun atur tidak bergerak secara positif, tetapi secara negatif

arah tuju? Pada susun atur pertama, mata yang dipilih perlu diberikan

"nama" lain: masing-masing

dan lain-lain; pada susun atur kedua:

Jenis tugas kedua. Mencari titik pada bulatan nombor,

sepadan dengan nombor yang diberi yang tidak dinyatakan dalam pecahan nombor

Contoh 4. Cari titik pada bulatan nombor yang sepadan

nombor 1; 2; 3; -5.

Penyelesaian.

Di sini kita perlu bergantung pada fakta itu

Oleh itu poin 1

terletak pada lengkok

lebih dekat kepada intipati

Mata 2 dan 3 berada pada lengkok, yang pertama ialah

Yang kedua adalah lebih dekat kepada (Rajah 5).

Mari kita pergi ke lebih terperinci

untuk mencari titik yang sepadan dengan nombor - 5.

Anda perlu bergerak dari satu titik

ke arah negatif, i.e. mengikut arah jam

nasi. 5

anak panah. Jika anda pergi ke arah ini ke titik

Kami dapat

Ini bermakna titik yang sepadan dengan nombor - 5 terletak

sedikit ke kanan titik

(lihat Rajah 5).

Jenis tugas ketiga. Penyediaan rekod analisis (double

ketaksamaan) untuk lengkok bulatan nombor.

Malah, kami bertindak atas perkara ini

pelan yang sama yang digunakan dalam 5-8

kelas untuk mempelajari garis nombor:

mula-mula cari titik dengan nombor, kemudian dengan

titik - nombor, kemudian gandaan digunakan

ketaksamaan untuk menulis selang pada

garis nombor.

Pertimbangkan, sebagai contoh, terbuka

Di mana pertengahan yang pertama

sukuan bulatan nombor, dan

- tengahnya

suku kedua (Rajah 6).

Ketaksamaan mencirikan arka, i.e. mewakili

Adalah dicadangkan untuk menyusun model analisis arka dalam dua peringkat. Pada yang pertama

pentas membentuk teras rekod analisis(ini adalah perkara utama yang perlu diikuti

mengajar murid sekolah); untuk lengkok yang diberikan

Pada yang kedua

peringkat, buat rekod am:

Jika kita bercakap tentang arka

Kemudian apabila menulis kernel anda perlu mengambil kira itu

() terletak di dalam arka, dan oleh itu perlu bergerak ke permulaan arka

ke arah yang negatif. Ini bermakna bahawa inti tatatanda analisis arka

nampak macam

nasi. 6

Istilah "teras analisis

rekod arka", "rekod analisis

arka" tidak diterima umum,

pertimbangan.

Keempat

tugasan.

Cari

Cartesian

koordinat

nombor titik bulatan, pusat

yang digabungkan dengan permulaan sistem

koordinat

Mula-mula, mari kita lihat satu perkara yang agak halus, setakat ini

boleh dikatakan tidak disebut dalam buku teks sekolah semasa.

Bermula untuk mengkaji model “bulatan nombor pada koordinat

pesawat", guru mesti sedar dengan jelas kesukaran yang menanti

pelajar di sini. Kesukaran ini disebabkan oleh fakta bahawa apabila mengkaji ini

model, murid sekolah dikehendaki mempunyai tahap yang agak tinggi

budaya matematik, kerana mereka perlu bekerja serentak dalam

dua sistem koordinat - dalam satu "curvilinear", apabila maklumat tentang

kedudukan titik diambil sepanjang bulatan (nombor

sepadan dengan

titik bulatan

(); – “koordinat lengkung” sesuatu titik), dan dalam

Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian (pada titik

Seperti mana-mana titik

satah koordinat, terdapat absis dan ordinat). Tugas guru adalah membantu

warga sekolah dalam mengatasi kesukaran semula jadi ini. Malangnya,

biasanya buku teks sekolah tidak memberi perhatian kepada perkara ini dan sejak awal lagi

pelajaran pertama menggunakan rakaman

Tidak mengambil kira bahawa surat masuk

dalam fikiran pelajar jelas dikaitkan dengan absis dalam Cartesian

sistem koordinat segi empat tepat, dan bukan dengan jarak yang dilalui mengikut berangka

lilitan laluan. Oleh itu, apabila bekerja dengan bulatan nombor, anda tidak sepatutnya

menggunakan simbol

nasi. 7

Mari kita kembali kepada jenis tugasan keempat. Ia mengenai bergerak dari rekod

rekod

(), i.e. daripada koordinat lengkung kepada koordinat Cartesian.

Mari gabungkan bulatan nombor dengan sistem segi empat tepat Cartesian

koordinat seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 7. Kemudian mata

akan mempunyai

koordinat berikut:

() () () (). sangat penting

ajar murid sekolah untuk menentukan koordinat semua titik itu yang

ditandakan pada dua susun atur utama (lihat Rajah 3,4). Untuk satu titik

Semuanya berpunca

mempertimbangkan segi tiga tegak sama kaki dengan hipotenus

Kakinya sama

Jadi koordinat

). Keadaannya sama dengan mata

Tetapi satu-satunya perbezaan ialah anda perlu mengambil kira

tanda absis dan ordinat. Secara khusus:

Apakah yang perlu diingat oleh pelajar? Hanya bahawa modul adalah abscissa dan

koordinat di titik tengah semua suku adalah sama

Dan mereka sepatutnya boleh menandatangani

tentukan untuk setiap titik terus daripada lukisan.

Untuk satu titik

Semuanya bergantung kepada mempertimbangkan segi empat tepat

segi tiga dengan hipotenus 1 dan sudut

(Gamb.9). Kemudian kaki

sudut bertentangan

Akan sama

bersebelahan

√

Bermaksud,

koordinat titik

Situasinya sama dengan titik

hanya kaki "berubah tempat", dan oleh itu

nasi. 8

nasi. 9

kita dapat

). Ia adalah nilai-nilai

(tepat kepada tanda-tanda) dan akan

"melayan" semua titik susun atur kedua (lihat Rajah 4), kecuali mata

sebagai absis dan ordinat. Cara yang dicadangkan untuk menghafal: “pendek kata,

; di mana ia lebih lama, di sana

Contoh 5. Cari koordinat bagi suatu titik

(lihat Rajah 4).

Penyelesaian. titik

Terletak lebih dekat dengan paksi menegak daripada

mendatar, i.e. modulus absisnya kurang daripada modulus ordinatnya.

Ini bermakna modul abscissa adalah sama dengan

Modul ordinat adalah sama dengan

Tanda dalam kedua-duanya

kes adalah negatif (suku ketiga). Kesimpulan: titik

Mempunyai koordinat

Dalam jenis masalah keempat, koordinat Cartesan semua

mata yang dibentangkan dalam susun atur pertama dan kedua yang dinyatakan

Malah, dalam menjalankan tugas jenis ini kami menyediakan pelajar untuk

mengira nilai fungsi trigonometri. Jika semuanya ada di sini

berjaya dengan cukup pasti, kemudian peralihan ke tahap abstraksi baharu

(ordinat - sinus, abscissa - kosinus) akan menjadi kurang menyakitkan daripada

Jenis keempat termasuk tugas jenis ini: untuk satu mata

cari tanda-tanda koordinat Cartesan

Penyelesaian tidak boleh menyebabkan kesukaran kepada pelajar: nombor

sepadan dengan satu titik

Suku keempat, iaitu.

Jenis tugas kelima. Mencari titik pada bulatan nombor dengan

koordinat yang diberikan.

Contoh 6. Cari titik ordinat pada bulatan nombor

tulis nombor yang sepadan dengannya.

Penyelesaian. Lurus

Menyilang bulatan nombor pada titik
(Gamb. 11). Menggunakan susun atur kedua (lihat Rajah 4) kami menetapkan bahawa titik

sepadan dengan nombor

Jadi dia

sepadan dengan semua nombor borang
sepadan dengan nombor

Dan itu bermakna

semua nombor borang

Jawapan:

Contoh 7. Cari pada angka

titik bulatan dengan absis

tulis nombor yang sepadan dengannya.

Penyelesaian. Lurus
√

memotong bulatan nombor pada titik

– bahagian tengah suku kedua dan ketiga (Rajah 10). Menggunakan yang pertama

susun atur menetapkan titik itu

sepadan dengan nombor

Maksudnya semua orang

nombor borang

sepadan dengan nombor

Maksudnya semua orang

nombor borang

Jawapan:

Ia adalah perlu untuk menunjukkan pilihan kedua

nota jawapan contohnya 7. Lagipun, noktah

sepadan dengan nombor

Itu. semua nombor borang

kita dapat:

nasi. 10

Rajah 11

Marilah kita menekankan kepentingan yang tidak dapat dinafikan

jenis tugas kelima. Malah, kami mengajar

warga sekolah

keputusan

protozoa

persamaan trigonometri: dalam contoh 6

ia mengenai persamaan

Dan dalam contoh

– tentang persamaan

adalah penting untuk mengajar pemahaman tentang intipati perkara itu

murid sekolah menyelesaikan persamaan jenis

sepanjang bulatan nombor,

luangkan masa anda untuk beralih kepada formula

Pengalaman menunjukkan bahawa jika peringkat pertama (usahakan

bulatan nombor) belum diusahakan dengan cukup pasti, maka peringkat kedua

(kerja menggunakan formula) dirasakan oleh pelajar sekolah secara formal, yang,

Sememangnya, kita mesti mengatasinya.

Sama seperti contoh 6 dan 7, seseorang harus mencari pada bulatan nombor

mata dengan semua ordinat "pengetua" dan absis

Sebagai mata pelajaran khas, adalah wajar untuk mengetengahkan perkara berikut:

Nota 1. Dalam istilah propaedeutik, persediaan

mengerjakan topik "Panjang Bulatan" dalam kursus geometri gred 9. penting

nasihat: sistem latihan hendaklah merangkumi tugasan seperti yang dicadangkan

di bawah. Bulatan unit dibahagikan kepada empat bahagian yang sama dengan titik

lengkok dibelah dua dengan titik, dan lengkok dibelah dua

kepada tiga bahagian yang sama (Rajah 12). Berapakah panjang lengkok itu?

(adalah dipercayai bahawa bulatan dilalui dalam positif

arah)?

nasi. 12

Jenis tugas kelima juga termasuk bekerja dengan keadaan seperti

bermakna
Kepada

keputusan

protozoa

Kami juga "memilih" ketaksamaan trigonometri secara beransur-ansur.

lima pelajaran dan hanya dalam pelajaran keenam harus definisi sinus dan

kosinus sebagai koordinat titik pada bulatan nombor. Pada masa yang sama

Adalah dinasihatkan untuk menyelesaikan semua jenis masalah sekali lagi dengan pelajar sekolah, tetapi dengan

menggunakan tatatanda yang diperkenalkan, bercadang untuk melaksanakannya

sebagai contoh, tugasan: mengira

Selesaikan persamaan

ketidaksamaan

dll. Kami menekankan bahawa dalam pelajaran pertama

trigonometri persamaan trigonometri mudah dan ketaksamaan

bukan tujuan latihan, tetapi digunakan sebagai dana Untuk

menguasai perkara utama - takrif sinus dan kosinus sebagai koordinat titik

bulatan nombor.

Biar nombor

sepadan dengan satu titik

bulatan nombor. Kemudian absisnya

dipanggil kosinus nombor

dan ditetapkan

Dan ordinatnya dipanggil sinus nombor

dan ditetapkan. (Gamb. 13).

Daripada definisi ini kita boleh segera

tetapkan tanda sinus dan kosinus dengan

suku: untuk sinus

Untuk kosinus

Dedikasikan keseluruhan pelajaran untuk ini (seperti ini

diterima) tidak digalakkan. tidak sepatutnya

memaksa pelajar sekolah menghafal tanda-tanda ini: semua mekanikal

hafalan, hafalan adalah teknik ganas yang pelajar,

>> Bulatan nombor

Semasa mempelajari kursus algebra untuk gred 7-9, kami setakat ini telah berurusan dengan fungsi algebra, i.e. fungsi yang ditakrifkan secara analitik dengan ungkapan di mana operasi algebra pada nombor dan pembolehubah digunakan (penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, eksponen, punca kuasa dua). Tetapi model matematik situasi sebenar sering dikaitkan dengan fungsi jenis yang berbeza, bukan algebra. Kami akan berkenalan dengan wakil pertama kelas fungsi bukan algebra - fungsi trigonometri - dalam bab ini. Anda akan mempelajari fungsi trigonometri dan lain-lain jenis fungsi bukan algebra (eksponen dan logaritma) dengan lebih terperinci di sekolah menengah.
Untuk memperkenalkan fungsi trigonometri kita memerlukan yang baru model matematik- bulatan nombor yang belum anda temui, tetapi anda sangat biasa dengan garis nombor. Ingat bahawa garis nombor ialah garis lurus di mana titik permulaan O, skala (segmen unit) dan arah positif diberikan. Kita boleh membandingkan sebarang nombor nyata dengan titik pada garis dan sebaliknya.

Bagaimana untuk mencari titik M yang sepadan pada garis menggunakan nombor x? Nombor 0 sepadan dengan titik permulaan O. Jika x > 0, maka, bergerak sepanjang garis lurus dari titik 0 ke arah positif, anda perlu melepasi n^th panjang x; penghujung laluan ini akan menjadi titik yang dikehendaki M(x). Jika x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Dan bagaimana kita menyelesaikan masalah songsang, i.e. Bagaimanakah anda mencari koordinat x bagi titik M yang diberikan pada garis nombor? Kami mendapati panjang segmen OM dan mengambilnya dengan tanda "+" atau * - "bergantung pada sisi mana titik O titik M terletak pada garis lurus.

Tetapi dalam kehidupan sebenar anda perlu bergerak bukan sahaja dalam garis lurus. Selalunya, bergerak bersama bulatan. Berikut adalah contoh konkrit. Mari kita pertimbangkan trek larian stadium sebagai bulatan (sebenarnya, sudah tentu, ia bukan bulatan, tetapi ingat, seperti pengulas sukan biasanya berkata: "pelari telah berlari bulatan", "ada separuh bulatan yang tinggal untuk berlari sebelum penamat", dsb.), panjangnya ialah 400 m Permulaan ditanda - titik A (Rajah 97). Pelari dari titik A bergerak mengelilingi bulatan mengikut arah lawan jam. Di manakah dia akan berada dalam 200 m? dalam 400 m? dalam 800 m? dalam 1500 m? Di manakah dia harus melukis garisan penamat jika dia berlari dalam jarak maraton sejauh 42 km 195 m?

Selepas 200 m, dia akan berada di titik C, bertentangan secara diametrik dengan titik A (200 m ialah panjang separuh treadmill, iaitu panjang separuh bulatan). Selepas berlari 400 m (iaitu, "satu pusingan," seperti yang dikatakan atlet), dia akan kembali ke titik A. Selepas berlari 800 m (iaitu, "dua pusingan"), dia akan berada di titik A sekali lagi. Apakah 1500 m ? Ini ialah "tiga bulatan" (1200 m) ditambah 300 m lagi, i.e. 3

Treadmill - penamat jarak ini akan berada di titik 2) (Rajah 97).

Kami hanya perlu berurusan dengan maraton. Selepas berlari 105 pusingan, atlet akan menempuh jarak 105-400 = 42,000 m, i.e. 42 km. Terdapat 195 m lagi ke garisan penamat, iaitu 5 m kurang daripada separuh lilitan. Ini bermakna penamat jarak maraton akan berada di titik M, terletak berhampiran titik C (Rajah 97).

Komen. Anda, tentu saja, memahami konvensyen contoh terakhir. Tiada siapa yang berlari maraton di sekitar stadium, maksimum ialah 10,000 m, i.e. 25 pusingan.

Anda boleh berlari atau berjalan di sepanjang treadmill stadium. Ini bermakna bahawa sebarang nombor positif sepadan dengan beberapa titik - "penamat jarak". Selain itu, adalah mungkin untuk menetapkan titik pada bulatan kepada mana-mana nombor negatif: anda hanya perlu membuat atlet berlari ke arah yang bertentangan, i.e. bermula dari titik A bukan mengikut arah lawan jam, tetapi mengikut arah jam. Kemudian trek larian stadium boleh dianggap sebagai bulatan nombor.

Pada dasarnya, mana-mana bulatan boleh dianggap sebagai bulatan berangka, tetapi dalam matematik telah dipersetujui untuk menggunakan bulatan unit untuk tujuan ini - bulatan dengan jejari 1. Ini akan menjadi "treadmill" kami. Panjang b bulatan dengan jejari K dikira dengan formula Panjang separuh bulatan ialah n, dan panjang suku bulatan ialah AB, BC, SB, DA dalam Rajah. 98 - sama Mari kita bersetuju untuk memanggil lengkok AB suku pertama bulatan unit, lengkok BC suku kedua, lengkok CB suku ketiga, lengkok DA suku keempat (Gamb. 98). Dalam kes ini, kita biasanya bercakap tentang arka Terbuka, i.e. tentang lengkok tanpa hujungnya (sesuatu seperti selang pada garis nombor).

Definisi. Satu bulatan unit diberikan, dan titik permulaan A ditandakan di atasnya - hujung kanan diameter mendatar (Rajah 98). Mari kita kaitkan setiap nombor nyata I dengan titik pada bulatan mengikut peraturan berikut:

1) jika x > 0, maka, bergerak dari titik A dalam arah lawan jam (arah positif mengelilingi bulatan), kita akan menerangkan laluan sepanjang bulatan dengan panjang dan titik akhir M laluan ini akan menjadi yang diingini titik: M = M(x);

2) jika x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Mari kita kaitkan titik A dengan 0: A = A(0).

Bulatan unit dengan surat-menyurat yang telah ditetapkan (antara nombor nyata dan titik pada bulatan) akan dipanggil bulatan nombor.
Contoh 1. Cari pada bulatan nombor
Oleh kerana enam pertama daripada tujuh nombor yang diberikan adalah positif, maka untuk mencari titik yang sepadan pada bulatan, anda perlu berjalan di laluan sepanjang bulatan, bergerak dari titik A ke arah positif. Marilah kita mengambil kira itu

Nombor 2 sepadan dengan titik A, kerana, setelah melepasi bulatan jalan sepanjang 2, i.e. tepat satu bulatan, kita sekali lagi akan sampai ke titik permulaan A Jadi, A = A(2).
Apa dah jadi Ini bermakna bergerak dari titik A ke arah positif, anda perlu melalui seluruh bulatan.

Komen. Apabila kita berada di tingkatan 7 dan 8 bekerja dengan garis nombor, maka kami bersetuju, demi ringkasnya, bukan untuk mengatakan "titik pada garis yang sepadan dengan nombor x," tetapi untuk mengatakan "titik x." Kami akan mematuhi perjanjian yang sama apabila bekerja dengan bulatan nombor: "titik f" - ini bermakna kita bercakap tentang titik pada bulatan yang sepadan dengan nombor
Contoh 2.
Membahagikan suku pertama AB kepada tiga bahagian yang sama dengan titik K dan P, kita dapat:

Contoh 3. Cari titik pada bulatan nombor yang sepadan dengan nombor
Kami akan membuat pembinaan menggunakan Rajah. 99. Mendepositkan arka AM (panjangnya -) dari titik A lima kali ke arah negatif, kita memperoleh titik!, - tengah arka BC. Jadi,

Komen. Perhatikan beberapa kebebasan yang kita ambil dalam menggunakan bahasa matematik. Adalah jelas bahawa lengkok AK dan panjang lengkok AK adalah perkara yang berbeza (konsep pertama ialah angka geometri, dan konsep kedua ialah nombor). Tetapi kedua-duanya ditetapkan dengan cara yang sama: AK. Selain itu, jika titik A dan K disambungkan oleh segmen, maka kedua-dua segmen yang terhasil dan panjangnya dilambangkan dengan cara yang sama: AK. Ia biasanya jelas daripada konteks maksud yang dimaksudkan dalam penetapan (arka, panjang lengkok, segmen atau panjang segmen).

Oleh itu, susun atur bulatan dua nombor akan sangat berguna kepada kami.

SUSUN ATUR PERTAMA
Setiap empat suku bulatan nombor dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, dan berhampiran setiap lapan titik yang tersedia "nama" mereka ditulis (Rajah 100).

SUSUN ATUR KEDUA Setiap empat suku bulatan nombor dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama, dan berhampiran setiap dua belas titik yang tersedia "nama" mereka ditulis (Rajah 101).

Sila ambil perhatian bahawa pada kedua-dua susun atur kami boleh menetapkan "nama" lain kepada mata yang diberikan.
Adakah anda perasan bahawa dalam semua contoh panjang arka yang dianalisis
dinyatakan oleh beberapa pecahan nombor n? Ini tidak menghairankan: selepas semua, panjang bulatan unit ialah 2n, dan jika kita membahagi bulatan atau sukunya kepada bahagian yang sama, kita mendapat lengkok yang panjangnya dinyatakan dalam pecahan nombor dan. Adakah anda fikir adalah mungkin untuk mencari titik E pada bulatan unit supaya panjang lengkok AE adalah sama dengan 1? Mari kita fikirkan:

Penaakulan dengan cara yang sama, kita membuat kesimpulan bahawa pada bulatan unit seseorang boleh mencari titik Eg, yang mana AE = 1, dan titik E2, yang mana AEr = 2, dan titik E3, yang mana AE3 = 3, dan titik E4, untuk yang mana AE4 = 4, dan titik Eb, yang mana AEb = 5, dan titik E6, yang mana AE6 = 6. Dalam Rajah. 102 titik yang sepadan ditandakan (lebih kurang) (untuk orientasi, setiap sukuan bulatan unit dibahagikan dengan sempang kepada tiga bahagian yang sama).

Contoh 4. Cari titik pada bulatan nombor yang sepadan dengan nombor -7.

Kita perlu, bermula dari titik A(0) dan bergerak ke arah negatif (arah jam), untuk mengikut bulatan sepanjang 7. Jika kita melalui satu bulatan, kita mendapat (kira-kira) 6.28, yang bermaksud kita masih perlu melalui ( dalam arah yang sama) laluan sepanjang 0.72. Apakah jenis arka ini? Kurang sedikit daripada setengah suku bulatan, i.e. panjangnya kurang daripada nombor -.

Jadi, pada bulatan nombor, seperti pada garis nombor, setiap nombor nyata sepadan dengan satu titik (hanya, sudah tentu, lebih mudah untuk mencarinya pada garis daripada pada bulatan). Tetapi untuk garis lurus, sebaliknya juga benar: setiap titik sepadan dengan nombor tunggal. Untuk bulatan nombor, pernyataan sedemikian adalah tidak benar; Pernyataan berikut adalah benar untuk bulatan nombor.
Jika titik M bulatan nombor sepadan dengan nombor I, maka ia juga sepadan dengan nombor bentuk I + 2k, di mana k ialah sebarang integer (k e 2).

Sebenarnya, 2n ialah panjang bulatan berangka (unit), dan integer |th| boleh dianggap sebagai bilangan pusingan lengkap bulatan dalam satu arah atau yang lain. Jika, sebagai contoh, k = 3, maka ini bermakna kita membuat tiga pusingan bulatan ke arah positif; jika k = -7, maka ini bermakna kita sedang melakukan tujuh (| k | = | -71 = 7) pusingan bulatan ke arah negatif. Tetapi jika kita berada di titik M(1), maka, setelah juga menyelesaikan | kepada | bulatan penuh mengelilingi bulatan, kita sekali lagi akan mendapati diri kita di titik M.

A.G. Algebra Mordkovich gred ke-10

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rancangan kalendar untuk tahun cadangan metodologi; Pelajaran Bersepadu

Apabila belajar trigonometri di sekolah, setiap pelajar berhadapan dengan konsep "bulatan nombor" yang sangat menarik. Sejauh mana pelajar akan mempelajari trigonometri nanti bergantung kepada keupayaan guru sekolah untuk menerangkan apa itu dan mengapa ia diperlukan. Malangnya, tidak semua guru dapat menerangkan bahan ini dengan jelas. Akibatnya, ramai pelajar keliru tentang cara menanda titik pada bulatan nombor. Jika anda membaca artikel ini hingga akhir, anda akan belajar cara melakukannya tanpa sebarang masalah.

Jadi mari kita mulakan. Mari kita lukis bulatan yang jejarinya ialah 1. Mari kita nyatakan titik “paling kanan” bagi bulatan ini dengan huruf O:

Tahniah, anda baru sahaja melukis bulatan unit. Oleh kerana jejari bulatan ini ialah 1, panjangnya ialah .

Setiap nombor nyata boleh dikaitkan dengan panjang trajektori sepanjang bulatan nombor dari titik O. Arah pergerakan lawan jam diambil sebagai arah positif. Untuk negatif – mengikut arah jam:

Lokasi titik pada bulatan nombor

Seperti yang telah kita perhatikan, panjang bulatan nombor (bulatan unit) adalah sama dengan . Di manakah nombor itu akan terletak pada bulatan ini? Jelas sekali, dari sudut O lawan jam kita perlu pergi separuh panjang bulatan, dan kita akan mendapati diri kita berada di titik yang dikehendaki. Mari kita nyatakan dengan huruf B:

Ambil perhatian bahawa titik yang sama boleh dicapai dengan berjalan separuh bulatan ke arah negatif. Kemudian kami akan memplot nombor pada bulatan unit. Iaitu, nombor sepadan dengan titik yang sama.

Selain itu, titik yang sama ini juga sepadan dengan nombor , , , dan, secara umum, kepada set nombor tak terhingga yang boleh ditulis dalam bentuk , di mana , iaitu, tergolong dalam set integer. Semua ini kerana dari sudut B anda boleh membuat perjalanan "keliling dunia" ke mana-mana arah (tambah atau tolak lilitan) dan sampai ke titik yang sama. Kami mendapat kesimpulan penting yang perlu difahami dan diingati.

Setiap nombor sepadan dengan satu titik pada bulatan nombor. Tetapi setiap titik pada bulatan nombor sepadan dengan bilangan nombor yang tidak terhingga.

Mari kita bahagikan separuh bulatan atas bulatan nombor kepada lengkok yang sama panjang dengan satu titik C. Ia adalah mudah untuk melihat bahawa panjang arka O.C. sama dengan . Marilah kita menangguhkan dari titik itu C lengkok yang sama panjang dalam arah lawan jam. Akibatnya, kita akan sampai ke titik B. Hasilnya agak dijangka, sejak . Mari letakkan arka ini dalam arah yang sama sekali lagi, tetapi sekarang dari titik itu B. Akibatnya, kita akan sampai ke titik D, yang sudah sepadan dengan nombor:

Perhatikan sekali lagi bahawa titik ini bukan sahaja sepadan dengan nombor, tetapi juga, sebagai contoh, dengan nombor, kerana titik ini boleh dicapai dengan bergerak menjauhi titik itu. O suku bulatan mengikut arah jam (arah negatif).

Dan, secara umum, kami perhatikan sekali lagi bahawa titik ini sepadan dengan banyak nombor yang tidak terhingga yang boleh ditulis dalam bentuk . Tetapi mereka juga boleh ditulis dalam bentuk . Atau, jika anda lebih suka, dalam bentuk . Semua rekod ini benar-benar setara, dan ia boleh diperoleh daripada satu sama lain.

Sekarang mari kita bahagikan arka kepada O.C. separuh titik M. Sekarang tentukan berapa panjang lengkok itu OM? Betul, separuh lengkok O.C.. iaitu . Apakah nombor yang sepadan dengan titik itu? M pada bulatan nombor? Saya pasti bahawa kini anda akan menyedari bahawa nombor ini boleh ditulis sebagai .

Tetapi ia boleh dilakukan secara berbeza. Jom ambil. Kemudian kita mendapat itu . Iaitu, nombor ini boleh ditulis dalam bentuk . Keputusan yang sama boleh didapati menggunakan bulatan nombor. Seperti yang telah saya katakan, kedua-dua rekod adalah setara, dan mereka boleh diperolehi daripada satu sama lain.

Kini anda boleh dengan mudah memberikan contoh nombor yang sepadan dengan mata tersebut N, P Dan K pada bulatan nombor. Contohnya, nombor , dan :

Selalunya nombor positif minimum yang diambil untuk menetapkan titik yang sepadan pada bulatan nombor. Walaupun ini tidak perlu sama sekali, tempoh N, seperti yang anda sedia maklum, sepadan dengan bilangan nombor lain yang tidak terhingga. Termasuk, sebagai contoh, nombor.

Jika anda memecahkan arka O.C. menjadi tiga lengkok yang sama dengan mata S Dan L, jadi itulah maksudnya S akan terletak di antara mata O Dan L, kemudian panjang lengkok OS akan sama dengan , dan panjang lengkok OL akan sama dengan . Menggunakan pengetahuan yang anda perolehi dalam bahagian pelajaran sebelumnya, anda boleh dengan mudah mengetahui bagaimana mata yang tinggal pada bulatan nombor ternyata:

Nombor bukan gandaan π pada bulatan nombor

Sekarang marilah kita bertanya kepada diri sendiri: di manakah pada garis nombor harus kita tandakan titik yang sepadan dengan nombor 1? Untuk melakukan ini, anda perlu bermula dari titik paling "kanan" bulatan unit O plot lengkok yang panjangnya akan sama dengan 1. Kita hanya boleh menunjukkan lokasi titik yang dikehendaki. Mari kita teruskan seperti berikut.

Bulatan nombor ialah bulatan unit yang titiknya sepadan dengan nombor nyata tertentu.

Bulatan unit ialah bulatan berjejari 1.

Pandangan umum bulatan nombor.

1) Jejarinya diambil sebagai unit ukuran.

2) Diameter mendatar dan menegak membahagi bulatan nombor kepada empat suku. Mereka masing-masing dipanggil suku pertama, kedua, ketiga dan keempat.

3) Diameter mendatar dilambangkan dengan AC, dengan A adalah ekstrem betul titik.
Diameter menegak ditetapkan BD, dengan B sebagai titik tertinggi.
Masing-masing:

suku pertama ialah lengkok AB

suku kedua - arka BC

suku ketiga - arka CD

suku keempat - arka DA

4) Titik permulaan bulatan nombor ialah titik A.

Membilang sepanjang bulatan nombor boleh dilakukan sama ada mengikut arah jam atau lawan jam.

Mengira dari titik A terhadap mengikut arah jam dipanggil arah yang positif.

Mengira dari titik A Oleh dipanggil mengikut arah jam arah negatif.

Bulatan nombor pada satah koordinat.

Pusat jejari bulatan nombor sepadan dengan asal (nombor 0).

Diameter mendatar sepadan dengan paksi x, menegak - paksi y.

Titik permulaan A bulatan nombortee berada pada paksixdan mempunyai koordinat (1; 0).

Nama dan lokasi titik utama pada bulatan nombor:

Bagaimana untuk mengingati nama bulatan nombor.

Terdapat beberapa corak mudah yang akan membantu anda mengingati nama asas bulatan nombor dengan mudah.

Sebelum kita mula, mari kita ingatkan anda: pengiraan dijalankan ke arah positif, iaitu, dari titik A (2π) lawan jam.

1) Mari kita mulakan dengan titik ekstrem pada paksi koordinat.

Titik permulaan ialah 2π (titik paling kanan pada paksi X, sama dengan 1).

Seperti yang anda ketahui, 2π ialah lilitan bulatan. Ini bermakna separuh bulatan ialah 1π atau π. paksi X membahagi bulatan tepat kepada separuh. Sehubungan itu, titik paling kiri pada paksi X sama dengan -1 dipanggil π.

Titik tertinggi pada paksi di, sama dengan 1, membahagi separuh bulatan atas kepada separuh. Ini bermakna jika separuh bulatan ialah π, maka separuh separuh bulatan ialah π/2.

Pada masa yang sama, π/2 juga ialah suku bulatan. Mari kita hitung tiga suku dari yang pertama hingga yang ketiga - dan kita akan sampai ke titik terendah pada paksi di, sama dengan -1. Tetapi jika ia termasuk tiga suku, maka namanya ialah 3π/2.

2) Sekarang mari kita beralih kepada mata yang tinggal. Sila ambil perhatian: semua titik bertentangan mempunyai penyebut yang sama - dan ini adalah titik bertentangan berbanding paksi di, kedua-duanya relatif kepada pusat paksi, dan relatif kepada paksi X. Ini akan membantu kami mengetahui nilai mata mereka tanpa menjejalkan.

Anda hanya perlu mengingati maksud mata suku pertama: π/6, π/4 dan π/3. Dan kemudian kita akan "melihat" beberapa corak:

- Berbanding dengan paksi di pada titik suku kedua, bertentangan dengan mata suku pertama, nombor dalam pengangka adalah 1 kurang daripada saiz penyebut. Sebagai contoh, ambil titik π/6. Titik bertentangan dengannya relatif kepada paksi di juga mempunyai 6 dalam penyebut dan 5 dalam pengangka (1 kurang). Iaitu, nama titik ini ialah: 5π/6. Titik bertentangan π/4 juga mempunyai 4 dalam penyebut, dan 3 dalam pengangka (1 kurang daripada 4) - iaitu, ia adalah titik 3π/4.
Titik bertentangan π/3 juga mempunyai 3 dalam penyebut, dan 1 kurang dalam pengangka: 2π/3.

- Berbanding dengan pusat paksi koordinat semuanya adalah sebaliknya: nombor dalam pengangka titik bertentangan (pada suku ketiga) adalah 1 lebih besar daripada nilai penyebut. Mari kita ambil titik π/6 sekali lagi. Titik yang bertentangan dengannya berbanding dengan pusat juga mempunyai 6 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya ialah 1 lagi - iaitu, ia adalah 7π/6.
Titik yang bertentangan dengan titik π/4 juga mempunyai 4 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya ialah 1 lagi: 5π/4.
Titik yang bertentangan dengan titik π/3 juga mempunyai 3 dalam penyebut, dan dalam pengangka nombornya ialah 1 lagi: 4π/3.

- Berbanding dengan paksi X(suku keempat) perkara itu lebih rumit. Di sini anda perlu menambah kepada nilai penyebut nombor yang kurang 1 - jumlah ini akan sama dengan bahagian berangka pengangka titik bertentangan. Mari kita mulakan semula dengan π/6. Mari tambahkan kepada nilai penyebut bersamaan dengan 6 nombor yang 1 kurang daripada nombor ini - iaitu, 5. Kita dapat: 6 + 5 = 11. Ini bermakna ia bertentangan dengan paksi X titik akan mempunyai 6 dalam penyebut dan 11 dalam pengangka - iaitu, 11π/6.

Titik π/4. Kami menambah kepada nilai penyebut nombor 1 kurang: 4 + 3 = 7. Ini bermakna ia bertentangan dengan paksi X titik mempunyai 4 dalam penyebut dan 7 dalam pengangka - iaitu, 7π/4.
Titik π/3. Penyebutnya ialah 3. Kami menambah kepada 3 nombor yang lebih kecil dengan satu - iaitu, 2. Kami mendapat 5. Ini bermakna titik yang bertentangan dengannya mempunyai 5 dalam pengangka - dan ini ialah titik 5π/3.

3) Satu lagi corak untuk titik titik tengah suku. Jelas bahawa penyebutnya ialah 4. Mari kita perhatikan pengangkanya. Pengangka pertengahan suku pertama ialah 1π (tetapi bukan kebiasaan untuk menulis 1). Pengangka pertengahan suku kedua ialah 3π. Pengangka pertengahan suku ketiga ialah 5π. Pengangka bagi pertengahan suku keempat ialah 7π. Ternyata pengangka bagi suku tengah mengandungi empat nombor ganjil pertama dalam tertib menaik:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Ini juga sangat mudah. Oleh kerana titik tengah semua suku mempunyai 4 dalam penyebutnya, kita sudah mengetahui nama penuhnya: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Ciri-ciri bulatan nombor. Perbandingan dengan garis nombor.

Seperti yang anda ketahui, pada garis nombor, setiap titik sepadan dengan nombor tunggal. Sebagai contoh, jika titik A pada garis adalah sama dengan 3, maka ia tidak lagi boleh sama dengan mana-mana nombor lain.

Ia berbeza pada bulatan nombor kerana ia adalah bulatan. Sebagai contoh, untuk datang dari titik A bulatan ke titik M, anda boleh melakukannya seolah-olah pada garis lurus (hanya melepasi lengkok), atau anda boleh mengelilingi seluruh bulatan, dan kemudian datang ke titik M. Kesimpulan:

Biarkan titik M sama dengan beberapa nombor t. Seperti yang kita ketahui, lilitan bulatan ialah 2π. Ini bermakna kita boleh menulis titik t pada bulatan dalam dua cara: t atau t + 2π. Ini adalah nilai yang setara.
Iaitu, t = t + 2π. Satu-satunya perbezaan ialah dalam kes pertama anda datang ke titik M serta-merta tanpa membuat bulatan, dan dalam kes kedua anda membuat bulatan, tetapi berakhir di titik yang sama M. Anda boleh membuat dua, tiga atau dua ratus seperti itu. bulatan . Jika kita menyatakan bilangan bulatan dengan huruf n, maka kita mendapat ungkapan baharu:
t = t + 2π n.

Oleh itu formula: