The bahan berkaedah adalah untuk tujuan rujukan dan merangkumi pelbagai topik. Artikel ini memberikan gambaran keseluruhan graf fungsi asas utama dan pertimbangan soalan yang paling penting – cara betul dan CEPAT membina graf. Semasa kajian matematik yang lebih tinggi tanpa pengetahuan tentang carta asas fungsi asas ia akan menjadi sukar, jadi adalah sangat penting untuk mengingati bagaimana graf parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll. kelihatan seperti, ingat beberapa nilai fungsi. Juga kita akan bercakap pada beberapa sifat fungsi asas.

Saya tidak berpura-pura kepada kesempurnaan dan ketelitian saintifik bahan, penekanan akan diletakkan, pertama sekali, pada amalan - perkara-perkara yang seseorang itu perlu menghadapi secara literal pada setiap langkah, dalam mana-mana topik matematik yang lebih tinggi. Carta untuk dummies? Anda boleh berkata begitu.

Atas permintaan ramai pembaca jadual kandungan yang boleh diklik:

Di samping itu, terdapat abstrak ultra pendek mengenai topik tersebut
– kuasai 16 jenis carta dengan mempelajari ENAM muka surat!

Serius enam, malah saya sendiri terkejut. Abstrak ini mengandungi grafik yang lebih baik dan tersedia dengan bayaran nominal, versi demo boleh dilihat. Ia adalah mudah untuk mencetak fail supaya graf sentiasa berada di tangan. Terima kasih kerana menyokong projek ini!

Dan kita mulakan segera:

Bagaimana untuk membina paksi koordinat dengan betul?

Dalam amalan, ujian hampir selalu disediakan oleh pelajar dalam buku nota berasingan, berbaris dalam sangkar. Mengapa anda memerlukan tanda berkotak-kotak? Lagipun, kerja, pada dasarnya, boleh dilakukan pada helaian A4. Dan sangkar itu diperlukan hanya untuk reka bentuk lukisan yang berkualiti tinggi dan tepat.

Sebarang lukisan graf fungsi bermula dengan paksi koordinat.

Lukisan adalah dua dimensi dan tiga dimensi.

Mari kita pertimbangkan dahulu kes dua dimensi Cartesian sistem segi empat tepat koordinat:

1) Kami melukis paksi koordinat. Paksi dipanggil paksi-x , dan paksi paksi-y . Kami sentiasa cuba melukis mereka kemas dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak sepatutnya menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani paksi dengan huruf besar "x" dan "y". Jangan lupa untuk menandatangani kapak.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi: lukis sifar dan dua satu. Apabila membuat lukisan, skala yang paling mudah dan biasa ialah: 1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri) - melekat padanya jika boleh. Walau bagaimanapun, dari semasa ke semasa ia berlaku bahawa lukisan tidak sesuai pada helaian buku nota - maka kami mengurangkan skala: 1 unit = 1 sel (lukisan di sebelah kanan). Jarang, tetapi ia berlaku bahawa skala lukisan perlu dikurangkan (atau ditingkatkan) lebih banyak lagi

JANGAN contengan dari mesingan ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Untuk satah koordinat bukanlah monumen kepada Descartes, dan pelajar itu bukan merpati. Kita letak sifar dan dua unit di sepanjang paksi. Kadang-kadang bukannya unit, adalah mudah untuk "mengesan" nilai lain, sebagai contoh, "dua" pada paksi abscissa dan "tiga" pada paksi ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan menetapkan grid koordinat secara unik.

Adalah lebih baik untuk menganggarkan anggaran dimensi lukisan SEBELUM lukisan dilukis.. Jadi, sebagai contoh, jika tugas itu memerlukan lukisan segi tiga dengan bucu , , , maka agak jelas bahawa skala popular 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. kenapa? Mari kita lihat perkara itu - di sini anda perlu mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas sekali, lukisan itu tidak sesuai (atau hampir tidak sesuai) pada helaian buku nota. Oleh itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil 1 unit = 1 sel.

By the way, kira-kira sentimeter dan sel notebook. Adakah benar terdapat 15 sentimeter dalam 30 sel buku nota? Ukur dalam buku nota untuk faedah 15 sentimeter dengan pembaris. Di USSR, mungkin ini benar ... Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda mengukur sentimeter yang sama secara mendatar dan menegak, maka keputusan (dalam sel) akan berbeza! Tegasnya, buku nota moden tidak berkotak-kotak, tetapi segi empat tepat. Ia mungkin kelihatan seperti karut, tetapi lukisan, sebagai contoh, bulatan dengan kompas dalam situasi sedemikian sangat menyusahkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu anda mula berfikir tentang ketepatan Komrad Stalin, yang dihantar ke kem untuk kerja-kerja penggodaman dalam pengeluaran, apatah lagi industri automotif domestik, pesawat jatuh atau loji kuasa yang meletup.

Bercakap tentang kualiti, atau cadangan ringkas tentang alat tulis. Sehingga kini, kebanyakan buku nota yang dijual, tanpa mengeluarkan kata-kata buruk, adalah jembalang lengkap. Atas alasan bahawa mereka basah, dan bukan sahaja dari pen gel, tetapi juga dari pen bola! Simpan atas kertas. Untuk pelepasan kerja-kerja kawalan Saya mengesyorkan menggunakan buku nota Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 helaian, sangkar) atau Pyaterochka, walaupun ia lebih mahal. Adalah dinasihatkan untuk memilih pen gel, malah isi semula gel Cina yang paling murah adalah lebih baik daripada pen mata bola, yang sama ada mengoyak atau mengoyakkan kertas. Satu-satunya pen "berdaya saing" dalam ingatan saya ialah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, cantik dan stabil - sama ada dengan batang penuh, atau dengan hampir kosong.

Selain itu: penglihatan sistem koordinat segi empat tepat melalui mata geometri analitik diliputi dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor, maklumat terperinci kira-kira kuarters selaras boleh didapati dalam perenggan kedua pelajaran Ketaksamaan linear.

kes 3D

Ia hampir sama di sini.

1) Kami melukis paksi koordinat. Standard: pakai paksi – diarahkan ke atas, paksi – diarahkan ke kanan, paksi – ke bawah ke kiri dengan tegas pada sudut 45 darjah.

2) Kami menandatangani paksi.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi. Skala sepanjang paksi - dua kali lebih kecil daripada skala sepanjang paksi yang lain. Juga ambil perhatian bahawa dalam lukisan yang betul, saya menggunakan "serif" bukan standard di sepanjang paksi (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandangan saya, ia lebih tepat, lebih pantas dan lebih menyenangkan dari segi estetik - anda tidak perlu mencari bahagian tengah sel di bawah mikroskop dan "mengukir" unit sehingga ke asalnya.

Apabila membuat lukisan 3D sekali lagi - beri keutamaan kepada skala
1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Peraturan ada untuk dilanggar. Apa yang saya akan buat sekarang. Hakikatnya ialah lukisan artikel seterusnya akan saya buat dalam Excel, dan paksi koordinat akan kelihatan tidak betul dari segi reka bentuk yang betul. Saya boleh melukis semua graf dengan tangan, tetapi sangat menakutkan untuk melukisnya, kerana Excel enggan melukisnya dengan lebih tepat.

Graf dan sifat asas bagi fungsi asas

Fungsi linear diberikan oleh persamaan. Graf fungsi linear ialah langsung. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mengetahui dua titik.

Contoh 1

Plot fungsi. Mari cari dua mata. Adalah berfaedah untuk memilih sifar sebagai salah satu mata.

Jika , maka

Kami mengambil beberapa perkara lain, sebagai contoh, 1.

Jika , maka

Semasa menyediakan tugasan, koordinat titik biasanya diringkaskan dalam jadual:

Dan nilai itu sendiri dikira secara lisan atau pada draf, kalkulator.

Dua mata ditemui, mari kita lukis:

Apabila melukis lukisan, kami sentiasa menandatangani grafik.

Ia tidak akan berlebihan untuk mengingati kes khas fungsi linear:

Perhatikan cara saya meletakkan kapsyen, tandatangan tidak boleh samar-samar semasa mengkaji lukisan. AT kes ini adalah amat tidak diingini untuk meletakkan tandatangan di sebelah titik persilangan garisan, atau di bahagian bawah sebelah kanan antara graf.

1) Fungsi linear bentuk () dipanggil kekadaran langsung. Sebagai contoh, . Graf perkadaran langsung sentiasa melalui asalan. Oleh itu, pembinaan garis lurus dipermudahkan - cukup untuk mencari hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk mentakrifkan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi dibina serta-merta, tanpa mencari sebarang titik. Iaitu, entri harus difahami seperti berikut: "y sentiasa sama dengan -4, untuk sebarang nilai x."

3) Persamaan bentuk mentakrifkan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi juga dibina serta-merta. Entri harus difahami seperti berikut: "x sentiasa, untuk sebarang nilai y, sama dengan 1."

Ada yang akan bertanya, kenapa ingat darjah 6?! Begitulah, mungkin begitu, hanya selama bertahun-tahun latihan saya bertemu dengan sedozen pelajar yang bingung dengan tugas membina graf seperti atau .

Melukis garis lurus adalah tindakan yang paling biasa semasa membuat lukisan.

Garis lurus dibincangkan secara terperinci dalam perjalanan geometri analitik, dan mereka yang ingin boleh merujuk kepada artikel Persamaan garis lurus pada satah.

Graf fungsi kuadratik, graf fungsi padu, graf polinomial

Parabola. Jadual fungsi kuadratik () ialah parabola. Pertimbangkan kes terkenal:

Mari kita ingat beberapa sifat fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian kepada persamaan kita: - pada titik inilah puncak parabola terletak. Mengapa ini boleh dipelajari daripada artikel teori tentang terbitan dan pelajaran tentang ekstrem fungsi. Sementara itu, kami mengira nilai sepadan "y":

Jadi puncak berada pada titik

Sekarang kita dapati titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi – tidak sekata, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang membatalkan simetri parabola.

Dalam susunan untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan jelas dari jadual akhir:

Algoritma ini pembinaan boleh secara kiasan dipanggil "perjalanan ulang-alik" atau prinsip "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari buat lukisan:

Daripada graf yang dipertimbangkan, satu lagi ciri berguna muncul dalam fikiran:

Untuk fungsi kuadratik () yang berikut adalah benar:

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke atas.

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke bawah.

Pengetahuan yang mendalam tentang lengkung boleh diperolehi dalam pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola padu diberikan oleh fungsi . Berikut adalah lukisan yang biasa di sekolah:

Jom senaraikan sifat asas fungsi

Graf Fungsi

Ia mewakili salah satu cabang parabola. Mari buat lukisan:

Ciri-ciri utama fungsi:

Dalam kes ini, paksi adalah asimtot menegak bagi graf hiperbola pada .

Akan jadi kesilapan TERUK, jika, apabila membuat lukisan, dengan kecuaian, kami membenarkan graf bersilang dengan asimtot .

Juga had berat sebelah, beritahu kami bahawa hiperbola tidak terhad dari atas dan tidak terhad dari bawah.

Mari kita terokai fungsi pada infiniti: , iaitu, jika kita mula bergerak sepanjang paksi ke kiri (atau kanan) ke infiniti, maka "permainan" akan menjadi langkah yang langsing dekat tak terhingga mendekati sifar, dan, dengan itu, cabang hiperbola dekat tak terhingga mendekati paksi.

Jadi paksi adalah asimtot mendatar untuk graf fungsi, jika "x" cenderung kepada tambah atau tolak infiniti.

Fungsinya ialah ganjil, yang bermaksud bahawa hiperbola adalah simetri berkenaan dengan asalan. Fakta ini jelas daripada lukisan, lebih-lebih lagi, ia boleh disahkan secara analitikal dengan mudah: .

Graf bagi fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola terletak dalam kuadran koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola terletak dalam kuadran koordinat kedua dan keempat.

Tidak sukar untuk menganalisis keteraturan yang ditentukan tempat kediaman hiperbola dari sudut pandangan transformasi geometri graf.

Contoh 3

Bina cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan kaedah pembinaan mengikut arah, manakala ia adalah berfaedah untuk memilih nilai supaya ia membahagikan sepenuhnya:

Mari buat lukisan:

Tidak sukar untuk membina cawangan kiri hiperbola, di sini keanehan fungsi hanya akan membantu. Secara kasarnya, dalam jadual pembinaan secara bertitik tolak, secara mental tambahkan tolak pada setiap nombor, letakkan titik yang sepadan dan lukis cawangan kedua.

Maklumat geometri terperinci tentang garis yang dipertimbangkan boleh didapati dalam artikel Hiperbola dan parabola.

Graf bagi fungsi eksponen

Dalam perenggan ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponen, kerana dalam masalah matematik yang lebih tinggi dalam 95% kes, ia adalah eksponen yang berlaku.

Saya mengingatkan anda bahawa ini adalah nombor tak rasional: , ini akan diperlukan apabila membina graf, yang, sebenarnya, saya akan membina tanpa upacara. Tiga mata mungkin cukup:

Mari kita biarkan graf fungsi sahaja buat masa ini, mengenainya kemudian.

Ciri-ciri utama fungsi:

Pada asasnya, graf fungsi kelihatan sama, dsb.

Saya mesti mengatakan bahawa kes kedua adalah kurang biasa dalam amalan, tetapi ia berlaku, jadi saya rasa perlu untuk memasukkannya dalam artikel ini.

Graf fungsi logaritma

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma semula jadi.
Mari buat lukisan garisan:

Jika anda terlupa apa itu logaritma, sila rujuk buku teks sekolah.

Ciri-ciri utama fungsi:

Domain:

Julat nilai: .

Fungsi ini tidak terhad dari atas: , walaupun perlahan-lahan, tetapi cabang logaritma naik ke infiniti.
Mari kita periksa kelakuan fungsi berhampiran sifar di sebelah kanan: . Jadi paksi adalah asimtot menegak untuk graf fungsi dengan "x" cenderung kepada sifar di sebelah kanan.

Pastikan anda mengetahui dan mengingati nilai tipikal logaritma: .

Pada asasnya, graf logaritma pada asas kelihatan sama: , , ( logaritma perpuluhan dalam asas 10), dsb. Pada masa yang sama, lebih besar pangkalan, lebih rata carta itu.

Kami tidak akan mempertimbangkan kes itu, sesuatu yang saya tidak ingat bila kali terakhir saya membina graf dengan asas sedemikian. Ya, dan logaritma nampaknya menjadi tetamu yang sangat jarang dalam masalah matematik yang lebih tinggi.

Sebagai kesimpulan perenggan, saya akan mengatakan satu lagi fakta: Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua bersama fungsi songsang . Jika anda melihat dengan teliti pada graf logaritma, anda boleh melihat bahawa ini adalah eksponen yang sama, cuma ia terletak sedikit berbeza.

Graf fungsi trigonometri

Bagaimanakah seksa trigonometri bermula di sekolah? dengan betul. Dari sinus

Mari kita plot fungsi

Barisan ini dipanggil sinusoid.

Saya mengingatkan anda bahawa "pi" ialah nombor tidak rasional:, dan dalam trigonometri ia mempesonakan di mata.

Ciri-ciri utama fungsi:

Fungsi ini ialah berkala dengan tempoh. Apakah maksudnya? Mari lihat potongannya. Di sebelah kiri dan di sebelah kanannya, sekeping graf yang sama berulang tanpa henti.

Domain: , iaitu, untuk sebarang nilai "x" terdapat nilai sinus.

Julat nilai: . Fungsinya ialah terhad: , iaitu, semua "permainan" duduk dengan ketat dalam segmen .
Ini tidak berlaku: atau, lebih tepat lagi, ia berlaku, tetapi berkata persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Skop dan julat fungsi. Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata R.Ini bermakna hujah fungsi hanya boleh mengambil nilai sebenar yang fungsinya ditakrifkan, i.e. ia juga hanya menerima nilai sebenar. Banyak X semua nilai sah hujah yang sah x, yang mana fungsinya y= f(x) ditakrifkan, dipanggil skop fungsi. Banyak Y semua nilai sebenar y yang diterima oleh fungsi dipanggil julat fungsi. Sekarang anda boleh memberi lebih banyak definisi yang tepat ciri-ciri: peraturan(undang-undang) kesesuaian antara set X dan Y, yang mana bagi setiap elemen daripada setX boleh mencari satu dan hanya satu elemen daripada set Y, dipanggil fungsi.

Daripada definisi ini, fungsi dianggap diberikan jika:

Skop fungsi ditetapkan X ;

Skop fungsi ditetapkan Y ;

Peraturan (undang-undang) surat-menyurat diketahui, dan sedemikian rupa untuk setiap

Hanya satu nilai fungsi boleh ditemui untuk nilai argumen.

Keperluan keunikan fungsi ini adalah wajib.

fungsi monotonik. Jika untuk mana-mana dua nilai hujah x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) > f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil semakin meningkat; jika ada x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) < f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil amaran. Fungsi yang hanya bertambah atau berkurang sahaja dipanggil membosankan.

Fungsi terhad dan tidak terhad. Fungsi itu dipanggil terhad kalau ada macam tu nombor positif M apa | f(x) | M untuk semua nilai x . Jika tiada nombor sedemikian wujud, maka fungsinya ialah tidak terhad.

CONTOH.

Fungsi yang digambarkan dalam Rajah 3 adalah bersempadan, tetapi tidak monotonic. Fungsi dalam Rajah 4 adalah sebaliknya, monotonik, tetapi tidak terhad. (Tolong jelaskan ini!)

Fungsi berterusan dan tidak berterusan. Fungsi y = f (x) dipanggil berterusan pada titikx = a, jika:

1) fungsi ditakrifkan untuk x = a, iaitu f (a) wujud;

2) wujud terhingga had lim f (x) ;

x→a

(Lihat "Had Fungsi")

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi itu dipanggil tidak berterusan pada titik x = a.

Jika fungsi berterusan dalam semua titik domain definisinya, maka ia dipanggil fungsi berterusan.

Fungsi genap dan ganjil. Jika untuk mana-mana x f(- x) = f (x), maka fungsi itu dipanggil malah; jika ia berlaku: f(- x) = - f (x), maka fungsi itu dipanggil ganjil. Jadual malah berfungsisimetri tentang paksi Y(Gamb.5), graf fungsi ganjil Simmetrik tentang asal usul(Gamb. 6).

Fungsi berkala. Fungsi f (x) - berkala kalau ada macam tu bukan sifar nombor T untuk apa mana-mana x daripada skop definisi fungsi berlaku: f (x + T) = f (x). begitu paling kurang nombor itu dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala.

CONTOH 1. Buktikan dosa itu x mempunyai tempoh 2.

PENYELESAIAN Kita tahu bahawa dosa ( x+ 2n) = dosa x, di mana n= 0, ± 1, ± 2, …

Oleh itu, menambah 2 n kepada hujah sinus

Mengubah nilainya. Adakah terdapat nombor lain dengan ini

Harta yang sama?

Mari kita berpura-pura itu P- nombor sedemikian, i.e. kesaksamaan:

dosa ( x+ P) = dosa x,

Sah untuk sebarang nilai x. Tetapi kemudian ia telah

Lokasi dan x= / 2 , i.e.

dosa(/2 + P) = dosa / 2 = 1.

Tetapi mengikut formula pengurangan sin ( / 2 + P) = cos P. Kemudian

Ia mengikuti daripada dua kesamaan terakhir bahawa cos P= 1, tetapi kita

Kita tahu bahawa ini benar hanya apabila P = 2n. Sejak terkecil

Nombor bukan sifar daripada 2 n ialah 2, maka nombor ini

Dan ada tempoh dosa x. Begitu juga dibuktikan bahawa 2 daripada n ialah , jadi ini adalah tempoh dosa 2 x.

Fungsi nol. Nilai hujah yang fungsinya sama dengan 0 dipanggil sifar (akar) fungsi. Fungsi boleh mempunyai berbilang sifar. Contohnya, fungsi y = x (x + 1) (x-3) mempunyai tiga sifar: x= 0, x= -1, x= 3. Secara geometri fungsi null - ialah absis bagi titik persilangan graf fungsi dengan paksi X .

Rajah 7 menunjukkan graf bagi fungsi dengan sifar: x= a, x = b dan x= c.

Asimtot. Jika graf fungsi menghampiri garis lurus tertentu selama-lamanya semasa ia bergerak menjauhi asalan, maka garis lurus ini dipanggil asimtot.

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

gimnasium Rusia

ABSTRAK

Dipenuhi

pelajar kelas 10"F" Burmistrov Sergey

Penyelia

guru matematik

Yulina O.A.

Nizhny Novgorod

Fungsi dan sifatnya

fungsi- kebergantungan berubah-ubah di daripada pembolehubah x , jika setiap nilai X sepadan dengan satu nilai di .

Pembolehubah x- pembolehubah bebas atau hujah.

Pembolehubah y- pembolehubah bersandar

Nilai fungsi- maksudnya di sepadan tetapkan nilai X .

Skop fungsi- semua nilai yang diambil oleh pembolehubah bebas.

Julat fungsi (set nilai) - semua nilai yang diambil oleh fungsi itu.

Fungsinya adalah sama- jika ada X f(x)=f(-x)

Fungsinya ganjil- jika ada X daripada skop fungsi, kesamarataan f(-x)=-f(x)

Meningkatkan fungsi- jika ada x 1 dan x 2, seperti itu x 1 < x 2, ketidaksamaan f( x 1 ) x 2 )

Mengurangkan fungsi- jika ada x 1 dan x 2, seperti itu x 1 < x 2, ketidaksamaan f( x 1 )>f( x 2 )

Cara untuk menetapkan fungsi

¨ Untuk menentukan fungsi, anda perlu menentukan cara untuk setiap nilai hujah anda boleh mencari nilai fungsi yang sepadan. Yang paling biasa ialah cara untuk mentakrifkan fungsi menggunakan formula di =f(x), di mana f(x)- beberapa ungkapan dengan pembolehubah X. Dalam kes ini, kita mengatakan bahawa fungsi diberikan oleh formula atau fungsi itu diberikan oleh secara analitikal.

¨ Dalam amalan, ia sering digunakan jadual cara fungsi ditakrifkan. Dengan kaedah ini, jadual disediakan yang menunjukkan nilai fungsi untuk nilai argumen yang terdapat dalam jadual. Contoh definisi fungsi jadual ialah jadual segi empat sama, jadual kubus.

Jenis fungsi dan sifatnya

1) Fungsi tetap- fungsi, diberikan oleh formula y= b , di mana b- beberapa nombor. jadual fungsi kekal y \u003d b ialah garis lurus selari dengan paksi-x dan melalui titik (0; b) pada paksi-y

2) Perkadaran langsung- fungsi yang diberikan oleh formula y= kx , di mana k¹0. Nombor k dipanggil pekali perkadaran .

Sifat fungsi y=kx :

1. Domain definisi fungsi - ditetapkan semua nombor nyata

2. y=kx- fungsi ganjil

3. Untuk k>0, fungsi meningkat, dan untuk k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Fungsi linear- fungsi yang diberikan oleh formula y=kx+b, di mana k dan b - nombor nyata. Jika, khususnya, k=0, maka kita mendapat fungsi malar y=b; jika b=0, maka kita mendapat perkadaran langsung y=kx .

Ciri Fungsi y=kx+b :

1. Domain definisi - set semua nombor nyata

2. Fungsi y=kx+b pandangan umum, i.e. tidak genap mahupun ganjil.

3. Untuk k>0, fungsi meningkat, dan untuk k<0 убывает на всей числовой прямой

Graf bagi fungsi tersebut ialah lurus .

4)Perkadaran songsang- fungsi yang diberikan oleh formula y=k /X, di mana k¹0 Nombor k dipanggil faktor perkadaran songsang.

Ciri Fungsi y=k / x:

1. Domain definisi - set semua nombor nyata kecuali sifar

2. y=k / x - fungsi ganjil

3. Jika k>0, maka fungsi berkurangan pada selang (0;+¥) dan pada selang (-¥;0). Jika k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Graf bagi fungsi tersebut ialah hiperbola .

5)Fungsi y=x2

Ciri Fungsi y=x2:

2. y=x2 - malah berfungsi

3. Fungsi berkurangan pada selang waktu

Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola .

6)Fungsi y=x 3

Ciri Fungsi y=x3:

1. Domain definisi ialah keseluruhan garis nombor

2. y=x 3 - fungsi ganjil

3. Fungsi bertambah pada keseluruhan garis nombor

Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola padu

7)Fungsi kuasa dengan eksponen semula jadi - fungsi yang diberikan oleh formula y=xn, di mana n- nombor asli. Untuk n=1 kita mendapat fungsi y=x, sifatnya dipertimbangkan dalam Bahagian 2. Untuk n=2;3 kita mendapat fungsi y=x 2 ; y=x 3 . Sifat mereka dibincangkan di atas.

Biarkan n menjadi nombor genap arbitrari yang lebih besar daripada dua: 4,6,8... Dalam kes ini, fungsi y=xn mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=x 2 . Graf fungsi menyerupai parabola y=x 2 , hanya cabang graf untuk |x|>1 naik semakin curam, semakin besar n, dan untuk |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Biarkan n menjadi nombor ganjil arbitrari yang lebih besar daripada tiga: 5,7,9... Dalam kes ini, fungsi y=xn mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=x 3 . Graf fungsi menyerupai parabola padu.

8)Fungsi kuasa dengan eksponen negatif integer - fungsi yang diberikan oleh formula y=x-n , di mana n- nombor asli. Untuk n=1 kita dapat y=1/x, sifat-sifat fungsi ini dipertimbangkan dalam Bahagian 4.

Biarkan n ialah nombor ganjil yang lebih besar daripada satu: 3,5,7... Dalam kes ini, fungsi y=x-n pada dasarnya mempunyai sifat yang sama dengan fungsi y=1/x.

Biarkan n ialah nombor genap, contohnya n=2.

Ciri Fungsi y=x -2 :

1. Fungsi ditakrifkan untuk semua x¹0

2. y=x -2 - malah berfungsi

3. Fungsi berkurangan sebanyak (0;+¥) dan meningkat sebanyak (-¥;0).

Mana-mana fungsi dengan genap n lebih besar daripada dua mempunyai sifat yang sama.

9)Fungsi y= Ö X

Ciri Fungsi y= Ö X :

1. Domain definisi ialah sinar dan bertambah pada selang )