Syarat pertama untuk keseimbangan jasad tegar. Statik

Keseimbangan sistem mekanikal ialah keadaan di mana semua titik sistem mekanikal berada dalam keadaan rehat berkenaan dengan kerangka rujukan yang sedang dipertimbangkan. Jika kerangka rujukan adalah inersia, keseimbangan dipanggil mutlak, jika bukan inersia - relatif.

Untuk mencari keadaan keseimbangan bagi jasad yang benar-benar tegar, adalah perlu untuk membahagikannya secara mental kepada sejumlah besar unsur yang cukup kecil, setiap satunya boleh diwakili oleh titik material. Semua elemen ini berinteraksi antara satu sama lain - daya interaksi ini dipanggil dalaman. Di samping itu, kuasa luar boleh bertindak pada beberapa titik badan.

Mengikut undang-undang kedua Newton, untuk pecutan titik menjadi sifar (dan pecutan titik pada keadaan diam menjadi sifar), jumlah geometri daya yang bertindak pada titik itu mestilah sifar. Jika badan dalam keadaan rehat, maka semua titik (elemen)nya juga dalam keadaan rehat. Oleh itu, untuk mana-mana titik badan, kita boleh menulis:

di manakah jumlah geometri semua daya luaran dan dalaman yang bertindak i unsur tubuh badan.

Persamaan bermaksud bahawa untuk keseimbangan jasad adalah perlu dan mencukupi bahawa jumlah geometri semua daya yang bertindak ke atas mana-mana unsur jasad ini adalah sama dengan sifar.

Daripadanya mudah untuk mendapatkan syarat pertama untuk keseimbangan badan (sistem badan). Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk menjumlahkan persamaan ke atas semua elemen badan:

.

Jumlah kedua adalah sama dengan sifar mengikut undang-undang ketiga Newton: jumlah vektor semua daya dalaman sistem adalah sama dengan sifar, kerana sebarang daya dalaman sepadan dengan daya yang sama dengan nilai mutlak dan bertentangan arah.

Akibatnya,

.

Syarat pertama untuk keseimbangan jasad tegar(sistem badan) ialah kesamaan kepada sifar daripada jumlah geometri semua daya luar yang dikenakan pada jasad itu.

Syarat ini perlu tetapi tidak mencukupi. Adalah mudah untuk mengesahkan ini dengan mengingati tindakan berputar sepasang daya, yang jumlah geometrinya juga sama dengan sifar.

Syarat kedua bagi keseimbangan jasad tegar ialah kesamaan kepada sifar daripada jumlah momen semua daya luar yang bertindak ke atas jasad, berbanding dengan sebarang paksi.

Oleh itu, keadaan keseimbangan untuk jasad tegar dalam kes bilangan daya luaran yang sewenang-wenangnya kelihatan seperti ini:

.

Statik ialah cabang mekanik yang mengkaji keseimbangan jasad. Statik membolehkan anda menentukan keadaan keseimbangan badan dan menjawab beberapa soalan yang berkaitan dengan pergerakan badan, sebagai contoh, memberikan jawapan ke arah mana pergerakan berlaku jika keseimbangan terganggu. Perlu melihat sekeliling dan anda akan dapati bahawa kebanyakan badan berada dalam keseimbangan - mereka sama ada bergerak pada kelajuan tetap atau dalam keadaan rehat. Kesimpulan ini boleh dibuat daripada hukum Newton.

Contohnya ialah orang itu sendiri, gambar yang tergantung di dinding, kren, pelbagai bangunan: jambatan, gerbang, menara, bangunan. Badan di sekeliling kita terdedah kepada sejenis kuasa. Bilangan daya yang berbeza bertindak ke atas jasad, tetapi jika kita mendapati daya yang terhasil, untuk jasad dalam keseimbangan, ia akan sama dengan sifar.
Bezakan:

• keseimbangan statik - badan dalam keadaan rehat;
• keseimbangan dinamik - badan bergerak pada kelajuan yang tetap.

imbangan statik. Jika daya F1, F2, F3, dan seterusnya, bertindak ke atas jasad, maka keperluan utama untuk kewujudan keadaan keseimbangan ialah (equilibrium). Ini ialah persamaan vektor dalam ruang 3D, dan mewakili tiga persamaan berasingan, satu untuk setiap arah dalam ruang. .

Unjuran semua daya yang dikenakan pada jasad dalam mana-mana arah mesti diberi pampasan, iaitu, jumlah algebra bagi unjuran semua daya dalam sebarang arah mestilah sama dengan 0.

Apabila mencari daya paduan, anda boleh memindahkan semua daya dan meletakkan titik aplikasinya di pusat jisim. Pusat jisim ialah titik yang diperkenalkan untuk mencirikan pergerakan badan atau sistem zarah secara keseluruhan, mencirikan taburan jisim dalam badan.

Dalam amalan, kita sering menghadapi kes kedua-dua pergerakan translasi dan putaran pada masa yang sama: tong bergolek ke bawah satah condong, pasangan menari. Dengan pergerakan sedemikian, satu keadaan keseimbangan tidak mencukupi.

Keadaan keseimbangan yang diperlukan dalam kes ini ialah:

Dalam amalan dan dalam kehidupan memainkan peranan penting kestabilan badan mencirikan keseimbangan.

Terdapat jenis keseimbangan:

• Imbangan stabil;
• Keseimbangan yang tidak stabil;
• Imbangan acuh tak acuh.

keseimbangan yang mampan- ini ialah keseimbangan, apabila, dengan sisihan kecil dari kedudukan keseimbangan, timbul daya yang mengembalikannya kepada keadaan keseimbangan (bandul jam terhenti, bola tenis digulung ke dalam lubang, roly-poli atau gelas, linen pada tali berada dalam keadaan keseimbangan yang stabil).

Keseimbangan yang tidak stabil- ini adalah keadaan apabila jasad, selepas dialihkan daripada kedudukan keseimbangan, menyimpang lebih banyak lagi daripada kedudukan keseimbangan disebabkan oleh daya yang timbul (bola tenis pada permukaan cembung).

Imbangan acuh tak acuh- dibiarkan begitu sahaja, badan tidak mengubah kedudukannya selepas dikeluarkan dari keadaan keseimbangan (bola tenis terletak di atas meja, gambar di dinding, gunting, pembaris yang digantung pada carnation berada dalam keadaan acuh tak acuh keseimbangan). Paksi putaran dan pusat graviti adalah sama.

Untuk dua badan, badan akan lebih stabil, yang mempunyai jejak yang lebih besar.

Jasad berada dalam keadaan rehat (atau bergerak secara seragam dan dalam garis lurus) jika jumlah vektor semua daya yang bertindak ke atasnya adalah sifar. Kekuatan dikatakan mengimbangi antara satu sama lain. Apabila kita berurusan dengan jasad bentuk geometri tertentu, apabila mengira daya paduan, semua daya boleh digunakan pada pusat jisim badan.

Syarat untuk keseimbangan badan

Agar jasad yang tidak berputar berada dalam keseimbangan, adalah perlu bahawa paduan semua daya yang bertindak ke atasnya adalah sama dengan sifar.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

Rajah di atas menunjukkan keseimbangan jasad tegar. Bongkah itu berada dalam keadaan keseimbangan di bawah tindakan tiga daya yang bertindak ke atasnya. Garis tindakan daya F 1 → dan F 2 → bersilang pada titik O. Titik penggunaan graviti ialah pusat jisim badan C. Titik-titik ini terletak pada satu garis lurus, dan apabila mengira daya paduan F 1 → , F 2 → dan m g → dikurangkan kepada titik C .

Keadaan bahawa paduan semua daya adalah sama dengan sifar tidak mencukupi jika jasad boleh berputar mengelilingi beberapa paksi.

Bahu daya d ialah panjang serenjang yang dilukis dari garis tindakan daya ke titik penggunaannya. Momen daya M ialah hasil darab lengan daya dan modulusnya.

Momen daya cenderung untuk memutar badan di sekeliling paksinya. Detik-detik yang memusingkan badan mengikut lawan jam dianggap positif. Unit ukuran momen daya dalam sistem SI antarabangsa ialah 1 Newton meter.

Definisi. peraturan detik

Jika jumlah algebra bagi semua momen yang digunakan pada jasad berbanding dengan paksi tetap putaran adalah sama dengan sifar, maka jasad itu berada dalam keseimbangan.

M1 + M2 + . . + M n = 0

Penting!

Dalam kes umum, untuk keseimbangan badan, dua syarat mesti dipenuhi: daya paduan adalah sama dengan sifar dan peraturan momen diperhatikan.

Terdapat pelbagai jenis keseimbangan dalam mekanik. Oleh itu, perbezaan dibuat antara stabil dan tidak stabil, serta keseimbangan acuh tak acuh.

Contoh tipikal keseimbangan acuh tak acuh ialah roda bergolek (atau bola), yang, jika dihentikan pada sebarang titik, akan berada dalam keadaan keseimbangan.

Keseimbangan stabil ialah keseimbangan jasad apabila, dengan sisihan kecilnya, timbul daya atau momen daya yang cenderung untuk mengembalikan jasad kepada keadaan keseimbangan.

Keseimbangan tidak stabil - keadaan keseimbangan, dengan sisihan kecil dari mana daya dan momen daya cenderung untuk membawa badan menjadi tidak seimbang.

Dalam rajah di atas, kedudukan bola ialah (1) - keseimbangan acuh tak acuh, (2) - keseimbangan tidak stabil, (3) - keseimbangan stabil.

Jasad dengan paksi putaran tetap boleh berada dalam mana-mana kedudukan keseimbangan yang diterangkan. Jika paksi putaran melalui pusat jisim, terdapat keseimbangan acuh tak acuh. Dalam keseimbangan yang stabil dan tidak stabil, pusat jisim terletak pada garis menegak yang melalui paksi putaran. Apabila pusat jisim berada di bawah paksi putaran, keseimbangan adalah stabil. Jika tidak, sebaliknya.

Kes keseimbangan khas ialah keseimbangan jasad pada sokongan. Dalam kes ini, daya keanjalan diagihkan ke seluruh pangkalan badan, dan tidak melalui satu titik. Jasad berada dalam keseimbangan apabila garis menegak yang dilukis melalui pusat jisim bersilang dengan kawasan sokongan. Jika tidak, jika garisan dari pusat jisim tidak jatuh ke dalam kontur yang dibentuk oleh garisan yang menghubungkan titik sokongan, badan terbalik.

Contoh keseimbangan badan pada sokongan ialah Menara Condong Pisa yang terkenal. Menurut legenda, Galileo Galilei menjatuhkan bola daripadanya apabila dia menjalankan eksperimennya mengenai kajian jatuh bebas mayat.

Satu garisan yang ditarik dari pusat jisim menara itu memotong tapaknya kira-kira 2.3 m dari pusatnya.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Pengiraan statik struktur kejuruteraan dalam banyak kes dikurangkan kepada pertimbangan keadaan keseimbangan untuk struktur daripada sistem badan yang disambungkan oleh beberapa jenis sambungan. Sambungan yang menghubungkan bahagian pembinaan ini akan dipanggil dalaman Tidak seperti luaran sambungan yang mengikat struktur dengan badan yang tidak termasuk di dalamnya (contohnya, dengan sokongan).

Jika, selepas membuang ikatan luaran (sokongan), struktur kekal tegar, maka masalah statik diselesaikan untuknya seperti untuk badan yang benar-benar tegar. Walau bagaimanapun, mungkin terdapat struktur kejuruteraan sedemikian yang, selepas membuang pautan luar, tidak kekal tegar. Contoh reka bentuk sedemikian ialah gerbang tiga berengsel. Jika penyokong A dan B dibuang, maka gerbang tidak akan tegar: bahagiannya boleh berputar di sekeliling engsel C.

Berdasarkan prinsip pemejalan, sistem daya yang bertindak pada struktur sedemikian mesti, pada keseimbangan, memenuhi keadaan keseimbangan jasad pepejal. Tetapi syarat-syarat ini, seperti yang telah ditunjukkan, walaupun perlu, tidak akan mencukupi; oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan semua kuantiti yang tidak diketahui daripadanya. Untuk menyelesaikan masalah itu, perlu juga mempertimbangkan keseimbangan satu atau lebih bahagian struktur.

Sebagai contoh, menyusun keadaan keseimbangan untuk daya yang bertindak pada gerbang tiga berengsel, kita mendapat tiga persamaan dengan empat tidak diketahui X A, Y A, X B, Y B . Setelah mempertimbangkan tambahan keadaan keseimbangan untuk separuh kiri (atau kanan), kami memperoleh tiga lagi persamaan yang mengandungi dua tidak diketahui baru X C, Y C, dalam rajah. 61 tidak ditunjukkan. Menyelesaikan sistem enam persamaan yang terhasil, kita dapati kesemua enam tidak diketahui.

14. Kes-kes tertentu mengurangkan sistem spatial kuasa

Jika, apabila sistem daya dikurangkan kepada skru dinamik, momen utama dinamo ternyata sama dengan sifar, dan vektor utama berbeza daripada sifar, maka ini bermakna sistem daya dikurangkan kepada paduan. , dan paksi pusat ialah garis tindakan paduan ini. Mari kita ketahui dalam keadaan apa, berkaitan dengan vektor utama Fp dan momen utama M 0, ini boleh berlaku. Oleh kerana momen utama dinamo M * adalah sama dengan komponen momen utama M 0 yang diarahkan sepanjang vektor utama, maka kes yang dipertimbangkan M * \u003d O bermakna momen utama M 0 adalah berserenjang dengan vektor utama, iaitu / 2 \u003d Fo * M 0 \u003d 0. Ini secara langsung membayangkan bahawa jika vektor utama F 0 tidak sama dengan sifar, dan invarian kedua adalah sama dengan sifar, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9) maka dipertimbangkan sistem dikurangkan kepada paduan.

Khususnya, jika untuk mana-mana pusat pengurangan F 0 ≠0, dan M 0 = 0, maka ini bermakna sistem daya dikurangkan kepada paduan, melalui pusat pengurangan ini; dalam kes ini, keadaan (7.9) juga akan dipenuhi.Mari kita umumkan teorem pada momen paduan (teorem Varignon) yang dibentangkan dalam Bab V kepada kes sistem spatial daya. Jika sistem spatial. daya dikurangkan kepada paduan, maka momen paduan berkenaan dengan titik arbitrari adalah sama dengan jumlah geometri momen semua daya berkenaan dengan titik yang sama. P
biarkan sistem daya mempunyai paduan R dan satu titik O terletak pada garis tindakan yang terhasil ini. Jika kita membawa sistem daya yang diberikan ke tahap ini, maka kita mendapat bahawa momen utama adalah sama dengan sifar.
Mari kita ambil beberapa pusat rujukan lain O1; (7.10)C
sebaliknya, berdasarkan formula (4.14) kita mempunyai Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11) kerana М 0 = 0. Membandingkan ungkapan (7.10) dan (7.11) dan mengambil kira bahawa dalam kes ini F 0 = R, kita dapat (7.12).

Oleh itu, teorem dibuktikan.

Biarkan pada mana-mana pilihan pusat pengurangan Fo=O, M ≠0. Oleh kerana vektor utama tidak bergantung pada pusat pengurangan, ia adalah sama dengan sifar untuk sebarang pilihan lain pusat pengurangan. Oleh itu, momen utama juga tidak berubah dengan perubahan dalam pusat pengurangan, dan, oleh itu, dalam kes ini, sistem daya dikurangkan kepada sepasang daya dengan momen sama dengan M0.

Sekarang mari kita buat jadual semua kemungkinan kes pengurangan sistem spatial daya:

Jika semua daya berada dalam satah yang sama, contohnya, dalam satah Ohu kemudian unjuran mereka pada paksi G dan detik tentang paksi X dan di akan sama dengan sifar. Oleh itu, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Memasukkan nilai-nilai ini ke dalam formula (7.5), kita dapati bahawa invarian kedua sistem daya satah adalah sama dengan sifar. Kami memperoleh hasil yang sama untuk sistem spatial daya selari. Sesungguhnya, hendaklah semua daya selari dengan paksi z. Kemudian unjuran mereka pada paksi X dan di dan momen tentang paksi z akan sama dengan 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Berdasarkan apa yang telah dibuktikan, boleh dikatakan bahawa sistem daya rata dan sistem daya selari tidak dikurangkan kepada skru dinamik.

11. Keseimbangan badan dengan adanya geseran gelongsor Jika dua badan / dan // (Rajah 6.1) berinteraksi antara satu sama lain, bersentuhan pada satu titik TAPI, maka sentiasa tindak balas R A, bertindak, sebagai contoh, dari sisi badan // dan digunakan pada badan /, boleh diuraikan kepada dua komponen: N.4, diarahkan sepanjang normal biasa ke permukaan badan bersentuhan di titik L, dan T 4, terletak pada satah tangen . Komponen N.4 dipanggil tindak balas biasa, daya T l dipanggil daya geseran gelongsor - ia menghalang " gelongsor badan / atas badan //. Sesuai dengan aksiom 4 (3 Hukum Newton) pada jasad // dari sisi jasad / terdapat daya tindak balas yang sama besar dan arahnya bertentangan. Komponennya berserenjang dengan satah tangen dipanggil daya tekanan normal. Seperti yang dinyatakan di atas, daya geseran T TAPI = Oh, jika permukaan mengawan sangat licin. Di bawah keadaan sebenar, permukaannya kasar dan dalam banyak kes daya geseran tidak boleh diabaikan. 6.2, a. Pada badan 5, terletak pada plat D tetap, dipasangkan benang yang dilemparkan ke atas blok C, hujung bebasnya disediakan dengan platform sokongan TAPI. Jika pad TAPI beban secara beransur-ansur, kemudian dengan peningkatan jumlah beratnya, ketegangan benang akan meningkat S, yang cenderung untuk menggerakkan badan ke kanan. Walau bagaimanapun, selagi jumlah beban tidak terlalu besar, daya geseran T akan menahan badan AT sedang berehat. Pada rajah. 6.2, b digambarkan bertindak pada badan AT daya, dan P ialah daya graviti, dan N ialah tindak balas normal plat D. Jika beban tidak mencukupi untuk memecahkan selebihnya, persamaan keseimbangan berikut adalah sah: N- P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) Ia berikutan dari sini bahawa N = Pdan T = S. Oleh itu, semasa jasad dalam keadaan rehat, daya geseran kekal sama dengan daya tegangan benang S. Nyatakan dengan Tmax daya geseran pada saat kritikal proses pemuatan, apabila badan AT kehilangan keseimbangan dan mula menggelongsor pada papak D. Oleh itu, jika jasad berada dalam keseimbangan, maka T≤Tmax.Daya geseran maksimum T maks bergantung pada sifat bahan dari mana badan dibuat, keadaannya (contohnya, pada sifat rawatan permukaan), serta pada magnitud tekanan normal N. Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, daya geseran maksimum adalah lebih kurang berkadar dengan tekanan normal, i.e. e. ada persamaan Tmax= fN. (6.4) Hubungan ini dipanggil Undang-undang Amonton-Coulomb. Pekali tak berdimensi / dipanggil pekali geseran gelongsor. Seperti berikut dari pengalaman, ia nilai dalam julat yang luas tidak bergantung pada kawasan permukaan yang bersentuhan, tetapi bergantung pada bahan dan tahap kekasaran permukaan yang bersentuhan. Nilai pekali geseran ditentukan secara empirik dan boleh didapati dalam jadual rujukan. Ketaksamaan" (6.3) kini boleh ditulis sebagai T≤fN (6.5) Kes kesamaan ketat dalam (6.5) sepadan dengan nilai maksimum daya geseran. Ini bermakna daya geseran boleh dikira dengan formula T = fN hanya dalam kes-kes yang diketahui terlebih dahulu bahawa terdapat kes kritikal. Dalam semua kes lain, daya geseran hendaklah ditentukan daripada persamaan keseimbangan. Pertimbangkan jasad yang terletak pada permukaan kasar. Kami akan menganggap bahawa akibat daripada tindakan daya aktif dan daya tindak balas, badan berada dalam keseimbangan yang mengehadkan. Pada rajah. 6.6, a tindak balas pengehad R dan komponennya N dan T max ditunjukkan (dalam kedudukan yang ditunjukkan dalam rajah ini, daya aktif cenderung untuk menggerakkan badan ke kanan, daya geseran maksimum T max diarahkan ke kiri). Sudut f antara tindak balas had R dan normal kepada permukaan dipanggil sudut geseran. Jom cari sudut ni. Daripada rajah. 6.6, tetapi kami mempunyai tgφ \u003d Tmax / N atau, menggunakan ungkapan (6.4), tgφ \u003d f (6-7)

kedua-dua kuantiti diberi).