Antiderivatif fungsi dan rupa umum.

A)Penyepaduan langsung.

Mencari kamiran fungsi berdasarkan aplikasi langsung sifat kamiran tak tentu dan jadual formula kamiran asas. Mari kita pertimbangkan contoh mencari kamiran fungsi dengan pengamiran langsung.

Contoh:

∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2 d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.

Dalam kebanyakan kes, kita berurusan dengan kamiran fungsi yang tidak boleh ditemui melalui penyepaduan langsung. Dalam kes ini, adalah perlu untuk membuat penggantian (menggantikan pembolehubah).

b)Integrasi dengan penggantian (penggantian pembolehubah).

Penyepaduan melalui penggantian, atau seperti yang sering dipanggil, kaedah penggantian berubah-ubah, adalah salah satu kaedah penyepaduan yang lebih berkesan dan biasa. Kaedah penggantian adalah untuk beralih daripada pembolehubah kamiran yang diberikan kepada pembolehubah lain untuk memudahkan ungkapan kamiran dan dan mengurangkannya kepada salah satu jenis kamiran jadual. Dalam kes ini, pilihan penggantian diputuskan oleh pelaku secara individu, kerana tiada peraturan am yang menunjukkan penggantian dalam dalam kes ini ambil.

Contoh: Cari kamiran ∫ e 2х+3 d X.

Marilah kita memperkenalkan pembolehubah baru t yang dikaitkan dengan X mengikut pergantungan 2 X+ 3 =t.

Mari kita ambil perbezaan sisi kiri dan kanan kesamaan ini: 2d X=dt;d X=dt/2.

Sekarang bukannya 2 X+ 3 dan d X Marilah kita menggantikan nilai mereka ke dalam integrand. Kemudian kita dapat: ∫ e 2х+3 d X=∫e t dt= e t + C. Kembali kepada pembolehubah sebelumnya, kami akhirnya memperoleh ungkapan:

∫e 2х+3 d X=e 2x+3 + C.

Untuk memastikan kamiran diambil dengan betul, anda memerlukan fungsi antiterbitan e 2x+ 3 bezakan dan semak sama ada akan ada Adakah terbitannya sama dengan fungsi integrand:

(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .

3. Kamiran pasti dan sifatnya.

Konsep kamiran pasti digunakan secara meluas dalam banyak bidang sains dan teknologi. Dengan bantuannya, kawasan yang dibatasi oleh lengkung, isipadu bentuk sewenang-wenangnya, kuasa dan kerja daya berubah-ubah, laluan jasad yang bergerak, momen inersia dan banyak kuantiti lain dikira.

DALAM
Dalam kebanyakan kes, konsep kamiran pasti diperkenalkan apabila menyelesaikan masalah menentukan luas trapezium melengkung. Biarkan terdapat fungsi selanjar y =f( X) pada segmen [ a,c]. Rajah yang dibatasi oleh lengkung y=f( X) ordinat A Oh, V A n dan segmen [ a,c] paksi-x dipanggil trapezoid lengkung (Rajah 1).

Marilah kita menetapkan sendiri tugas: tentukan luas S trapezium melengkung A A o A n V. Untuk melakukan ini, kami membahagikan segmen [ a,c] pada n tidak perlu bahagian yang sama dan tetapkan titik pembahagian seperti berikut: A=X O < X 1 ‹ X 2 ‹ … ‹ X n = dalam.

Dari titik pembahagian kita memulihkan serenjang ke persilangan dengan lengkung y = f( X). Oleh itu, kami membahagikan keseluruhan kawasan yang dibatasi oleh lengkung ke dalam n trapezoid lengkung asas. Mari kita pulihkan dari mata sewenang-wenangnya setiap segmen ∆ X i ordinatef(C i) sehingga ia bersilang dengan lengkung y =f( X). Seterusnya, kita akan membina rajah bertingkat yang terdiri daripada segi empat tepat dengan tapak ∆ X i dan ketinggian f(C i). Dataran Rendah ike segi empat tepat akan menjadi S i =f(C i)(X i -X i -1 ), dan seluruh kawasan S n angka berlangkah yang terhasil akan sama dengan jumlah luas segi empat tepat:

S n=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C p- 1)(X n -X p- 1).

Untuk meringkaskan kemasukan jumlah ini, masukkan simbol
(sigma) – tanda yang bermaksud penjumlahan kuantiti. Kemudian

S n =
.

Jumlah S ini p, yang dipanggil jumlah kamiran, boleh sama ada lebih besar atau kurang daripada nilai sebenar kawasan tertentu. Nilai yang paling hampir dengan nilai sebenar kawasan itu ialah had jumlah, dengan syarat segmen asas akan dihancurkan ( p→
), dan panjangnya sendiri segmen besar ∆X maks akan cenderung kepada sifar, iaitu:

S=
(4)

Had jumlah kumulatif ini (jika wujud) dipanggil kamiran pasti daripada functionf( X) pada segmen [ A,V] dan menandakan:
=
(5)

(dibaca “kamiran pasti bagi A kepada V ef daripada x de x”).

Nombor A Dan V dipanggil had bawah dan atas penyepaduan, masing-masing, f( X) – fungsi subintegral; X– pembolehubah integrasi. Menggunakan formula (4) dan (5) kita boleh menulis. Bahawa luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran fungsi yang mengehadkan trapezoid, diambil alih selang penyepaduan [A,V]:

Fakta ini menyatakan makna geometri bagi kamiran pasti.

Mari kita pertimbangkan sifat-sifat kamiran pasti.

1. Kamiran pasti tidak bergantung pada penetapan pembolehubah, iaitu:
=
.

2. Kamiran pasti bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi kamiran pasti bagi setiap sebutan:

= f 1 ( X)d x + f 2 ( X)d X+ ….

Permohonan

Kamiran dalam talian di tapak untuk pelajar dan pelajar sekolah untuk menyatukan bahan yang telah mereka bincangkan. Dan melatih kemahiran praktikal anda. Penyelesaian kamiran lengkap dalam talian untuk anda dalam beberapa saat akan membantu anda menentukan semua peringkat proses Setiap kali anda mula menyelesaikan kamiran dalam talian, anda perlu mengenal pasti jenisnya tanpa ini, anda tidak boleh menggunakan satu kaedah, melainkan anda menganggap kamiran sebagai satu jadual. Tidak setiap kamiran jadual boleh dilihat dengan jelas daripada diberi contoh, kadangkala anda perlu mengubah fungsi asal untuk mencari antiderivatif. Dalam praktiknya, penyelesaian kamiran datang kepada mentafsir masalah mencari asal, iaitu antiterbitan daripada keluarga fungsi tak terhingga, tetapi jika had penyepaduan diberikan, maka menurut formula Newton-Leibniz hanya terdapat satu fungsi tunggal. dibiarkan untuk menggunakan pengiraan. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Kamiran fungsi dalam talian ialah jumlah sebarang nombor yang dimaksudkan untuk penyepaduan mereka. Oleh itu, secara tidak rasmi, kamiran pasti dalam talian ialah luas antara graf fungsi dan paksi-x dalam had pengamiran. Contoh penyelesaian masalah dengan kamiran. Marilah kita menilai kamiran kompleks ke atas satu pembolehubah dan mengaitkan jawapannya dengan penyelesaian masalah selanjutnya. Adalah mungkin, seperti yang mereka katakan, untuk mencari secara langsung kamiran bagi integrand. Sebarang kamiran menentukan kawasan dengan ketepatan yang tinggi terhad oleh garisan angka. Ini adalah salah satu daripadanya makna geometri. Kaedah ini memudahkan pelajar. Beberapa peringkat, sebenarnya, tidak akan memberi banyak kesan analisis vektor. Kamiran bagi fungsi dalam talian ialah konsep asas kalkulus kamiran Menyelesaikan kamiran tak tentu. Menurut teorem utama analisis, integrasi ialah operasi songsang pembezaan, yang membantu menyelesaikan persamaan pembezaan. Terdapat beberapa definisi yang berbeza operasi penyepaduan yang berbeza dalam butiran teknikal. Walau bagaimanapun, mereka semua serasi, iaitu, mana-mana dua kaedah penyepaduan, jika ia boleh digunakan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling mudah ialah kamiran Riemann - kamiran pasti atau kamiran tak tentu. Secara tidak formal, kamiran fungsi satu pembolehubah boleh diperkenalkan sebagai kawasan di bawah graf (angka yang disertakan di antara graf fungsi dan paksi-x). Sebarang submasalah sedemikian boleh mewajarkan bahawa pengiraan kamiran akan sangat diperlukan pada permulaan pendekatan penting. Jangan lupa ini! Cuba untuk mencari kawasan ini, kita boleh mempertimbangkan angka yang terdiri daripada bilangan segi empat tepat menegak tertentu, asas yang bersama-sama membentuk segmen penyepaduan dan diperoleh dengan membahagikan segmen ke dalam bilangan segmen kecil yang sesuai. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Menyelesaikan kamiran dalam talian: kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Kalkulator menyelesaikan kamiran dengan penerangan terperinci tentang tindakan dan secara percuma! Kamiran tak tentu dalam talian untuk fungsi ialah set semua antiterbitan bagi fungsi tertentu. Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang waktu, maka terdapat fungsi antiterbitan (atau keluarga antiterbitan) untuknya. Integral hanya mentakrifkan ungkapan, syarat yang ditetapkan oleh anda apabila berlakunya keperluan sedemikian. Adalah lebih baik untuk mendekati perkara ini dengan teliti dan merasai kepuasan dalaman daripada kerja yang dilakukan. Tetapi pengiraan kamiran menggunakan kaedah yang berbeza daripada kaedah klasik kadang-kadang membawa kepada keputusan yang tidak dijangka dan seseorang tidak perlu terkejut dengan ini. Saya gembira bahawa fakta ini akan mempunyai resonans positif terhadap apa yang berlaku. Senarai kamiran pasti dan kamiran tak tentu kamiran dengan penyelesaian langkah demi langkah terperinci yang lengkap. Semua kamiran dengan penyelesaian terperinci dalam talian. Kamiran tak tentu. Mencari kamiran tak tentu dalam talian adalah tugas yang sangat biasa dalam matematik yang lebih tinggi dan lain-lain bahagian teknikal sains. Kaedah asas integrasi. Takrif kamiran, kamiran pasti dan tak tentu, jadual kamiran, formula Newton-Leibniz. Sekali lagi, anda boleh mencari kamiran anda menggunakan jadual ungkapan kamiran, tetapi ini masih perlu dicapai, kerana tidak semuanya semudah yang kelihatan pada pandangan pertama. Fikirkan tentang bangunan yang telah siap sebelum kesilapan ditemui. Kamiran pasti dan kaedah pengiraannya. Kamiran pasti dalam talian dengan pembolehubah had atas. Menyelesaikan kamiran dalam talian. Mana-mana contoh yang akan membantu mengira kamiran menggunakan formula jadual akan menjadi panduan berguna untuk bertindak untuk pelajar dari mana-mana peringkat latihan. Langkah paling penting dalam perjalanan ke jawapan yang betul.. Kamiran dalam talian. tidak kamiran pasti, mengandungi eksponen dan fungsi logaritma. Menyelesaikan kamiran dalam talian - anda akan menerima penyelesaian terperinci Untuk jenis yang berbeza kamiran: tidak tentu, pasti, tidak wajar. Kalkulator Kamiran Pasti mengira kamiran pasti dalam talian bagi suatu fungsi pada selang penggunaan penyepaduan berangka. Kamiran bagi suatu fungsi ialah analog daripada hasil tambah suatu jujukan. Secara tidak formal, kamiran pasti ialah luas sebahagian daripada graf fungsi. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Selalunya, kamiran sedemikian menentukan berapa berat badan daripada objek dengan ketumpatan yang sama berbanding dengannya, dan tidak kira apa bentuknya, kerana permukaannya tidak menyerap air. Menyelesaikan kamiran dalam talian.. Kamiran dalam talian - kamiran tak tentu dalam talian dan kamiran pasti dalam talian. Setiap pelajar junior tahu cara mencari kamiran dalam talian. Berdasarkan kurikulum sekolah, bahagian matematik ini juga dipelajari, tetapi tidak secara terperinci, tetapi hanya asas-asas topik yang kompleks dan penting itu. Dalam kebanyakan kes, pelajar mula mempelajari kamiran dengan teori yang meluas, yang juga didahului oleh topik penting, seperti terbitan dan laluan kepada had - ia juga adalah had. Penyelesaian kamiran secara beransur-ansur bermula dari sangat contoh asas daripada fungsi mudah, dan berakhir dengan penggunaan banyak pendekatan dan peraturan yang dicadangkan pada abad lalu dan lebih awal lagi. kalkulus kamiran adalah bersifat pengenalan di lyceum dan sekolah, iaitu di menengah institusi pendidikan. Laman web kami akan sentiasa membantu anda dan menyelesaikan kamiran dalam talian akan menjadi perkara biasa untuk anda, dan yang paling penting, tugas yang boleh difahami. Berdasarkan sumber ini, anda boleh dengan mudah mencapai kesempurnaan dalam hal ini bahagian matematik. Dengan memahami peraturan yang anda pelajari langkah demi langkah, seperti penyepaduan mengikut bahagian atau penggunaan kaedah Chebyshev, anda boleh membuat keputusan dengan mudah kuantiti maksimum mata untuk sebarang ujian. Jadi bagaimana kita masih boleh mengira kamiran, menggunakan jadual kamiran yang terkenal, tetapi dengan cara penyelesaiannya betul, betul dan dengan jawapan yang paling tepat? Bagaimana untuk mempelajari ini dan adakah mungkin untuk pelajar baru biasa melakukannya dalam masa yang sesingkat mungkin? Mari jawab soalan ini secara afirmatif - anda boleh! Pada masa yang sama, anda bukan sahaja dapat menyelesaikan sebarang contoh, tetapi juga mencapai tahap jurutera yang berkelayakan tinggi. Rahsianya lebih mudah berbanding sebelum ini - anda perlu berusaha maksimum, berbakti kuantiti yang diperlukan masa untuk persediaan diri. Malangnya, belum ada sesiapa yang mencipta cara lain! Tetapi tidak semuanya mendung seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Jika anda menghubungi tapak perkhidmatan kami dengan soalan ini, kami akan menjadikan hidup anda lebih mudah, kerana tapak kami boleh mengira kamiran dalam talian secara terperinci, pada kelajuan yang sangat tinggi dan dengan jawapan yang sangat tepat. Pada terasnya, kamiran tidak menentukan bagaimana nisbah hujah mempengaruhi kestabilan sistem secara keseluruhan. Kalaulah semuanya seimbang. Bersama-sama dengan bagaimana anda akan mempelajari asas-asas ini topik matematik, perkhidmatan boleh mencari kamiran mana-mana kamiran dan jika kamiran ini boleh diselesaikan dalam fungsi asas. Jika tidak, untuk kamiran yang tidak diambil dalam fungsi asas, dalam praktiknya ia tidak perlu mencari jawapan dalam analisis atau, dengan kata lain, dalam bentuk eksplisit. Semua pengiraan kamiran turun untuk menentukan fungsi antiterbitan bagi kamiran tertentu. Untuk melakukan ini, mula-mula hitung kamiran tak tentu mengikut semua undang-undang matematik dalam talian. kemudian, jika perlu, gantikan nilai atas dan bawah kamiran. Jika anda tidak perlu menentukan atau mengira nilai angka kamiran tak tentu, kemudian pemalar ditambah kepada fungsi antiterbitan yang terhasil, dengan itu mentakrifkan satu keluarga fungsi antiterbitan. Tempat yang istimewa dalam sains dan secara amnya dalam mana-mana bidang kejuruteraan, termasuk mekanik kontinum, integrasi menerangkan keseluruhan sistem mekanikal, pergerakannya dan banyak lagi. Dalam banyak kes, kamiran terkumpul menentukan hukum pergerakan titik material. Ini sangat alat penting dalam belajar sains gunaan. Berdasarkan ini, seseorang tidak boleh tidak menyebut pengiraan berskala besar untuk menentukan undang-undang kewujudan dan tingkah laku sistem mekanikal. Kalkulator untuk menyelesaikan kamiran dalam talian di tapak web ialah alat yang berkuasa untuk jurutera profesional. Kami pasti menjamin ini kepada anda, tetapi kami akan dapat mengira kamiran anda hanya selepas anda memasukkan ungkapan yang betul ke dalam domain integrand. Jangan takut untuk membuat kesilapan, semuanya boleh diperbetulkan dalam perkara ini! Biasanya menyelesaikan kamiran datang kepada menggunakan fungsi jadual daripada buku teks atau ensiklopedia terkenal. Seperti mana-mana kamiran tak tentu yang lain, ia akan dikira menggunakan formula piawai tanpa sebarang kritikan besar. Pelajar tahun satu dengan mudah dan semulajadi memahami bahan yang telah mereka pelajari dengan cepat, dan bagi mereka, mencari integral kadangkala mengambil masa tidak lebih daripada dua minit. Dan jika pelajar telah mempelajari jadual kamiran, maka dia secara amnya boleh menentukan jawapan dalam kepalanya. Mengembangkan fungsi oleh pembolehubah berbanding dengan permukaan pada mulanya bermakna betul arah vektor pada beberapa titik absis. Tingkah laku garis permukaan yang tidak dapat diramalkan mengambil kamiran yang pasti sebagai asas dalam sumber tindak balas fungsi matematik. Tepi kiri bola tidak menyentuh silinder di mana bulatan tertulis, jika anda melihat potongan dalam satah. Jumlah kawasan kecil yang dibahagikan kepada ratusan fungsi berterusan sekeping adalah kamiran dalam talian fungsi yang diberikan. Makna mekanikal integral terdiri daripada banyak masalah yang diterapkan, ini adalah kedua-dua penentuan isipadu jasad dan pengiraan jisim badan. Bertiga dan kamiran berganda hanya terlibat dalam pengiraan ini. Kami menegaskan bahawa penyelesaian kamiran dalam talian dijalankan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui pelbagai pemeriksaan Kami sering ditanya tentang prestasi pelajar yang tidak menghadiri kuliah, melangkau mereka tanpa sebab, dan bagaimana mereka berjaya mencari. integral itu sendiri. Kami menjawab bahawa pelajar adalah orang yang bebas dan cukup mampu untuk belajar secara luaran, membuat persediaan untuk ujian atau peperiksaan dalam keselesaan rumah mereka sendiri. Dalam masa beberapa saat, perkhidmatan kami akan membantu sesiapa sahaja mengira kamiran mana-mana fungsi tertentu ke atas pembolehubah. Keputusan yang diperolehi hendaklah disemak dengan mengambil derivatif fungsi antiterbitan. Dalam kes ini, pemalar daripada penyelesaian kamiran menjadi sifar. Peraturan ini jelas terpakai kepada semua orang. Oleh kerana operasi berbilang arah adalah wajar, kamiran tak tentu selalunya dikurangkan kepada membahagikan domain kepada bahagian-bahagian kecil. Walau bagaimanapun, sesetengah pelajar dan pelajar sekolah mengabaikan keperluan ini. Seperti biasa, kamiran dalam talian boleh diselesaikan secara terperinci oleh tapak web perkhidmatan kami dan tiada sekatan pada bilangan permintaan, semuanya percuma dan tersedia untuk semua orang. Tidak banyak tapak yang memberikan jawapan langkah demi langkah dalam beberapa saat, dan yang paling penting dengan ketepatan yang tinggi dan dalam bentuk yang selesa. DALAM contoh terakhir pada muka surat lima kerja rumah Saya menjumpai satu yang menunjukkan keperluan untuk mengira langkah kamiran demi langkah. Tetapi kita tidak boleh lupa tentang bagaimana mungkin untuk mencari integral menggunakan perkhidmatan sedia, diuji masa dan diuji pada beribu-ribu contoh yang diselesaikan dalam talian. Bagaimana kamiran sedemikian menentukan gerakan sistem ditunjukkan dengan jelas dan jelas kepada kita oleh sifat gerakan bendalir likat, yang diterangkan oleh sistem persamaan ini.

Kita telah melihat bahawa derivatif mempunyai banyak kegunaan: derivatif ialah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); terbitan ialah cerun tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; derivatif membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Tetapi dalam kehidupan sebenar perlu membuat keputusan dan masalah songsang: sebagai contoh, bersama-sama dengan masalah mencari kelajuan mengikut hukum gerakan yang diketahui, terdapat juga masalah memulihkan hukum gerakan mengikut kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini.

Contoh 1. Bergerak dalam garis lurus titik material, kelajuan pergerakannya pada masa t diberikan oleh formula u = tg. Cari hukum gerakan.

Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah undang-undang gerakan yang dikehendaki. Adalah diketahui bahawa s"(t) = u"(t). Ini bermakna bahawa untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), yang terbitannya sama dengan tg. Tidak sukar untuk meneka itu

Marilah kita segera ambil perhatian bahawa contoh itu diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapati bahawa, sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi bentuk pemalar arbitrari boleh berfungsi sebagai undang-undang gerakan, kerana

Untuk menjadikan tugasan lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu ketika dalam masa, contohnya, pada t=0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka daripada kesamaan itu kita perolehi s(0) = 0 + C, iaitu S 0 = C. Sekarang hukum gerakan ditakrifkan secara unik:
Dalam matematik, operasi saling songsang ditetapkan nama yang berbeza, tampil dengan tatatanda khas: contohnya, kuasa dua (x 2) dan mengekstrak punca kuasa dua sinus(sinх) dan arcsine(arcsin x), dsb. Proses mencari terbitan bagi fungsi tertentu dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, i.e. proses mencari fungsi daripada derivatif tertentu - integrasi.
Istilah "derivatif" itu sendiri boleh dibenarkan "dalam istilah harian": fungsi y - f(x) "menghasilkan kewujudan" ciri baharu y"= f"(x) Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "ibu bapa", tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya sebagai "ibu bapa" atau "pengeluar", mereka mengatakan bahawa ia adalah, berhubung dengan fungsi y"=f"(x), imej primer, atau ringkasnya, antiterbitan.

Definisi 1. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X tertentu jika untuk semua x daripada X kesamaan F"(x)=f(x) dipegang.

Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).

Berikut adalah beberapa contoh:

1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana untuk semua x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar.
2) fungsi y - x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y-3x 2, kerana untuk semua x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar.
3) Fungsi y-sinх adalah antiterbitan untuk fungsi y = cosx, kerana untuk semua x kesamaan (sinx)" = cosx adalah benar.
4) Fungsi adalah antiterbitan untuk fungsi pada selang kerana untuk semua x > 0 kesamaan adalah benar
Secara umum, mengetahui formula untuk mencari derivatif, tidak sukar untuk menyusun jadual formula untuk mencari antiderivatif.

Kami harap anda memahami cara jadual ini disusun: derivatif fungsi, yang ditulis dalam lajur kedua, adalah sama dengan fungsi yang ditulis dalam baris yang sepadan pada lajur pertama (semak ia, jangan malas, ia sangat berguna). Sebagai contoh, untuk fungsi y = x 5 antiterbitan, seperti yang anda akan tetapkan, ialah fungsi (lihat baris keempat jadual).

Nota: 1. Di bawah ini kita akan membuktikan teorem bahawa jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x ) + C. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk menambah istilah C di mana-mana dalam lajur kedua jadual, dengan C ialah nombor nyata arbitrari.
2. Demi ringkasnya, kadangkala bukannya frasa "fungsi y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x)," mereka mengatakan F(x) ialah antiterbitan bagi f(x) .”

2. Peraturan untuk mencari antiderivatif

Apabila mencari antiderivatif, serta apabila mencari derivatif, bukan sahaja formula digunakan (ia disenaraikan dalam jadual pada ms 196), tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.

Kita tahu bahawa terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.

Kami menarik perhatian anda kepada "ringan" rumusan ini. Malah, seseorang harus merumuskan teorem: jika fungsi y = f(x) dan y = g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, masing-masing y-F(x) dan y-G(x), maka jumlah fungsi y = f(x)+g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, dan antiterbitan ini ialah fungsi y = F(x)+G(x). Tetapi biasanya, apabila merumuskan peraturan (dan bukan teorem), mereka meninggalkan sahaja kata kunci- ini menjadikannya lebih mudah untuk menggunakan peraturan dalam amalan

Contoh 2. Cari antiterbitan bagi fungsi y = 2x + cos x.

Penyelesaian. Antiterbitan untuk 2x ialah x"; antiterbitan untuk cox ialah sin x. Ini bermakna antiterbitan untuk fungsi y = 2x + cos x akan menjadi fungsi y = x 2 + sin x (dan secara amnya sebarang fungsi bentuk Y = x 1 + sinx + C) .
Kita tahu bahawa faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda antiderivatif.

Contoh 3.

Penyelesaian. a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bagi fungsi y = 5 sin x fungsi antiterbitan ialah fungsi y = -5 cos x.

b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi
c) Antiterbitan bagi x 3 ialah antiterbitan bagi x, antiterbitan bagi fungsi y = 1 ialah fungsi y = x. Menggunakan peraturan pertama dan kedua untuk mencari antiterbitan, kita dapati bahawa antiterbitan untuk fungsi y = 12x 3 + 8x-1 ialah fungsi
Komen. Seperti yang diketahui, derivatif produk tidak sama dengan hasil derivatif (peraturan untuk membezakan produk adalah lebih kompleks) dan terbitan hasil bahagi tidak sama dengan hasil bahagi. Oleh itu, tiada peraturan untuk mencari antiterbitan produk atau antiterbitan bagi hasil bagi dua fungsi. Hati-hati!
Mari kita dapatkan peraturan lain untuk mencari antiderivatif. Kita tahu bahawa terbitan bagi fungsi y = f(kx+m) dikira dengan formula

Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 3. Jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y=f(kx+m) ialah fungsi

sebenarnya,

Ini bermakna ia adalah antiterbitan untuk fungsi y = f(kx+m).
Maksud peraturan ketiga adalah seperti berikut. Jika anda tahu bahawa antiterbitan bagi fungsi y = f(x) ialah fungsi y = F(x), dan anda perlu mencari antiterbitan bagi fungsi y = f(kx+m), kemudian teruskan seperti ini: ambil fungsi yang sama F, tetapi bukannya hujah x, gantikan ungkapan kx+m; sebagai tambahan, jangan lupa untuk menulis "faktor pembetulan" sebelum tanda fungsi
Contoh 4. Cari antiderivatif untuk fungsi tertentu:

Penyelesaian, a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bahawa untuk fungsi y = sin2x antiterbitan akan menjadi fungsi
b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi

c) Antiterbitan untuk x 7 bermakna bagi fungsi y = (4-5x) 7 antiterbitan akan menjadi fungsi

3. Kamiran tak tentu

Kami telah menyatakan di atas bahawa masalah mencari antiterbitan untuk fungsi tertentu y = f(x) mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. Mari kita bincangkan isu ini dengan lebih terperinci.

Bukti. 1. Biarkan y = F(x) menjadi antiterbitan bagi fungsi y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x daripada X kesamaan x"(x) = f(x) dipegang. Mari kita cari terbitan sebarang fungsi bagi bentuk y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Jadi, (F(x)+C) = f(x). Ini bermakna y = F(x) + C ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x).
Oleh itu, kita telah membuktikan bahawa jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y=F(x), maka fungsi (f = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, contohnya, sebarang fungsi dalam bentuk y = F(x) +C ialah antiterbitan.
2. Mari kita buktikan sekarang jenis yang ditentukan berfungsi, keseluruhan set antiderivatif telah habis.

Biarkan y=F 1 (x) dan y=F(x) ialah dua antiterbitan bagi fungsi Y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x daripada selang X hubungan berikut dipegang: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Mari kita pertimbangkan fungsi y = F 1 (x) -.F(x) dan cari terbitannya: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Adalah diketahui bahawa jika terbitan fungsi pada selang X adalah sama dengan sifar, maka fungsi itu adalah malar pada selang X (lihat Teorem 3 daripada § 35). Ini bermakna F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.

Teorem terbukti.

Contoh 5. Hukum perubahan laju dengan masa diberikan: v = -5sin2t. Cari hukum gerakan s = s(t), jika diketahui bahawa pada masa t=0 koordinat titik adalah sama dengan nombor 1.5 (iaitu s(t) = 1.5).

Penyelesaian. Memandangkan kelajuan ialah terbitan koordinat sebagai fungsi masa, pertama sekali kita perlu mencari antiterbitan kelajuan, i.e. antiterbitan untuk fungsi v = -5sin2t. Salah satu antiderivatif tersebut ialah fungsi , dan set semua antiderivatif mempunyai bentuk:

Untuk mencari nilai khusus pemalar C, kita gunakan syarat awal, mengikut mana, s(0) = 1.5. Menggantikan nilai t=0, S = 1.5 ke dalam formula (1), kita memperoleh:

Menggantikan nilai C yang ditemui ke dalam formula (1), kita memperoleh hukum gerakan yang menarik minat kita:

Definisi 2. Jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y = F(x) pada selang X, maka set semua antiterbitan, i.e. set fungsi bentuk y = F(x) + C dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi y = f(x) dan dilambangkan dengan:

(baca: “kamiran tak tentu ef daripada x de x”).
Dalam perenggan seterusnya kita akan mengetahui apa itu maksud tersembunyi sebutan yang ditunjukkan.
Berdasarkan jadual antiterbitan yang terdapat dalam bahagian ini, kami akan menyusun jadual kamiran tak tentu utama:

Berdasarkan tiga peraturan di atas untuk mencari antiderivatif, kita boleh merumuskan peraturan penyepaduan yang sepadan.

Peraturan 1. Kamiran bagi hasil tambah fungsi sama dengan jumlah kamiran fungsi ini:

Peraturan 2. Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:

Peraturan 3. Jika

Contoh 6. Cari kamiran tak tentu:

Penyelesaian, a) Dengan menggunakan peraturan penyepaduan pertama dan kedua, kami memperoleh:

Sekarang mari kita gunakan formula penyepaduan ke-3 dan ke-4:

Hasilnya kami mendapat:

b) Dengan menggunakan peraturan kamiran ketiga dan formula 8, kita memperoleh:

c) Untuk mencari secara langsung kamiran yang diberikan, kita tidak mempunyai formula yang sepadan mahupun peraturan yang sepadan. Dalam kes sedemikian, pra-dilaksanakan transformasi identiti ungkapan yang terkandung di bawah tanda kamiran.

Jom ambil kesempatan formula trigonometri Pengurangan darjah:

Kemudian kita dapati secara berurutan:

A.G. Algebra Mordkovich gred ke-10

Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, Matematik di sekolah

Pelajaran ini adalah yang pertama dalam siri video mengenai penyepaduan. Di dalamnya kita akan mengetahui apa itu antiderivatif fungsi, dan juga mengkaji kaedah asas untuk mengira antiderivatif ini.

Sebenarnya, tidak ada yang rumit di sini: pada dasarnya semuanya berpunca dari konsep derivatif, yang anda sepatutnya sudah biasa dengannya.

Saya akan ambil perhatian segera bahawa kerana ini adalah pelajaran pertama dalam kami topik baru, hari ini tidak akan ada pengiraan dan formula yang rumit, tetapi apa yang akan kita kaji hari ini akan menjadi asas untuk pengiraan dan pembinaan yang lebih kompleks apabila mengira kamiran kompleks dan segi empat sama.

Di samping itu, apabila mula mengkaji pengamiran dan kamiran khususnya, kami secara tersirat menganggap bahawa pelajar itu sudah sekurang-kurangnya biasa dengan konsep terbitan dan mempunyai sekurang-kurangnya kemahiran asas dalam mengiranya. Tanpa pemahaman yang jelas tentang perkara ini, tiada apa yang perlu dilakukan dalam integrasi.

Walau bagaimanapun, di sini terletak salah satu masalah yang paling biasa dan berbahaya. Hakikatnya, apabila mula mengira antiderivatif pertama mereka, ramai pelajar mengelirukan mereka dengan derivatif. Akibatnya, dalam peperiksaan dan kerja bebas kesilapan bodoh dan menyakitkan hati dibuat.

Oleh itu, sekarang saya tidak akan memberikan definisi yang jelas tentang antiderivatif. Sebagai balasan, saya cadangkan anda melihat bagaimana ia dikira menggunakan contoh khusus yang mudah.

Apakah antiderivatif dan bagaimana ia dikira?

Kami tahu formula ini:

\[((\kiri(((x)^(n)) \kanan))^(\prima ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Derivatif ini dikira secara ringkas:

\[(f)"\kiri(x \kanan)=((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))=3((x)^(2))\ ]

Mari kita lihat dengan teliti pada ungkapan yang terhasil dan nyatakan $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prima )))(3)\]

Tetapi kita boleh menulisnya dengan cara ini, mengikut takrifan derivatif:

\[((x)^(2))=((\kiri(\frac(((x)^(3)))(3) \kanan))^(\prima ))\]

Dan sekarang perhatian: apa yang baru kami tulis ialah definisi antiderivatif. Tetapi untuk menulisnya dengan betul, anda perlu menulis perkara berikut:

Mari kita tulis ungkapan berikut dengan cara yang sama:

Jika kita umumkan peraturan ini, kita boleh memperoleh formula berikut:

\[((x)^(n))\kepada \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sekarang kita boleh merumuskan definisi yang jelas.

Antiderivatif bagi fungsi ialah fungsi yang terbitannya sama dengan fungsi asal.

Soalan tentang fungsi antiterbitan

Ia akan kelihatan agak mudah dan definisi yang jelas. Walau bagaimanapun, apabila mendengarnya, pelajar yang penuh perhatian akan segera mempunyai beberapa soalan:

Katakan, okay, formula ini betul. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, dengan $n=1$, kami menghadapi masalah: "sifar" muncul dalam penyebut, dan kami tidak boleh membahagikan dengan "sifar".
Formula terhad kepada darjah sahaja. Bagaimana untuk mengira antiterbitan, sebagai contoh, sinus, kosinus dan sebarang trigonometri lain, serta pemalar.
Soalan kewujudan: adakah selalu mungkin untuk mencari antiderivatif? Jika ya, maka bagaimana pula dengan antiterbitan jumlah, perbezaan, hasil, dsb.?

Saya akan menjawab soalan terakhir dengan segera. Malangnya, antiderivatif, tidak seperti derivatif, tidak selalu dipertimbangkan. Tiada formula universal yang mana daripada mana-mana pembinaan awal kita akan memperoleh fungsi yang akan sama dengan pembinaan serupa ini. Bagi kuasa dan pemalar, kita akan membincangkannya sekarang.

Menyelesaikan masalah dengan fungsi kuasa

\[((x)^(-1))\kepada \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Seperti yang kita lihat, formula ini untuk $((x)^(-1))$ tidak berfungsi. Persoalannya timbul: apa yang berfungsi kemudian? Tidakkah kita boleh mengira $((x)^(-1))$? Sudah tentu kita boleh. Mari kita ingat ini dahulu:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sekarang mari kita fikirkan: derivatif fungsi yang sama dengan $\frac(1)(x)$. Jelas sekali, mana-mana pelajar yang telah mempelajari topik ini sekurang-kurangnya sedikit akan ingat bahawa ungkapan ini adalah sama dengan terbitan logaritma asli:

\[((\kiri(\ln x \kanan))^(\prima ))=\frac(1)(x)\]

Oleh itu, kami dengan yakin boleh menulis perkara berikut:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\kepada \ln x\]

Anda perlu tahu formula ini, sama seperti terbitan fungsi kuasa.

Jadi apa yang kita tahu setakat ini:

Untuk fungsi kuasa - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Untuk pemalar - $=const\to \cdot x$
Kes khas fungsi kuasa ialah $\frac(1)(x)\to \ln x$

Dan jika kita mula mendarab dan membahagikan fungsi yang paling mudah, bagaimana kita boleh mengira antiterbitan produk atau hasil bahagi. Malangnya, analogi dengan terbitan produk atau hasil bagi tidak berfungsi di sini. mana-mana formula standard tidak wujud. Untuk sesetengah kes, terdapat formula khas yang rumit - kita akan berkenalan dengannya dalam pelajaran video akan datang.

Walau bagaimanapun, ingat: formula am, formula serupa untuk mengira terbitan hasil bagi dan produk tidak wujud.

Menyelesaikan masalah sebenar

Tugasan No 1

Mari kita masing-masing fungsi kuasa Mari kita mengira secara berasingan:

\[((x)^(2))\kepada \frac(((x)^(3)))(3)\]

Kembali kepada ungkapan kami, kami menulis pembinaan umum:

Masalah No 2

Seperti yang telah saya katakan, prototaip karya dan butiran "to the point" tidak dipertimbangkan. Walau bagaimanapun, di sini anda boleh melakukan perkara berikut:

Kami memecahkan pecahan itu kepada jumlah dua pecahan.

Mari kita buat matematik:

Berita baiknya ialah mengetahui formula untuk mengira antiderivatif, anda sudah boleh mengira struktur yang lebih kompleks. Namun, mari kita pergi lebih jauh dan kembangkan sedikit lagi ilmu kita. Hakikatnya ialah banyak binaan dan ungkapan, yang, pada pandangan pertama, tiada kaitan dengan $((x)^(n))$, boleh diwakili sebagai kuasa dengan penunjuk rasional, iaitu:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Semua teknik ini boleh dan harus digabungkan. Ungkapan kuasa boleh

darab (darjah tambah);
bahagi (darjah ditolak);
darab dengan pemalar;
dll.

Menyelesaikan ungkapan kuasa dengan eksponen rasional

Contoh #1

Mari kita mengira setiap punca secara berasingan:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Secara keseluruhan, keseluruhan pembinaan kami boleh ditulis seperti berikut:

Contoh No. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \kanan))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Oleh itu kita mendapat:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\kepada \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Secara keseluruhan, mengumpul segala-galanya menjadi satu ungkapan, kita boleh menulis:

Contoh No. 3

Sebagai permulaan, kami ambil perhatian bahawa kami telah mengira $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Mari kita tulis semula:

Saya harap saya tidak akan mengejutkan sesiapa pun jika saya mengatakan bahawa apa yang baru kita pelajari hanyalah pengiraan paling mudah bagi antiderivatif, pembinaan paling asas. Mari kita lihat sedikit lagi contoh yang kompleks, di mana, sebagai tambahan kepada antiderivatif jadual, anda juga perlu ingat kurikulum sekolah, iaitu, rumus pendaraban yang disingkatkan.

Menyelesaikan contoh yang lebih kompleks

Tugasan No 1

Mari kita ingat formula untuk perbezaan kuasa dua:

\[((\kiri(a-b \kanan))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Mari kita tulis semula fungsi kita:

Sekarang kita perlu mencari prototaip fungsi sedemikian:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Mari kita susun semuanya menjadi reka bentuk yang sama:

Masalah No 2

Dalam kes ini, kita perlu mengembangkan kiub perbezaan. Mari kita ingat:

\[((\kiri(a-b \kanan))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Dengan mengambil kira fakta ini, kita boleh menulisnya seperti ini:

Mari kita ubah fungsi kita sedikit:

Kami mengira seperti biasa - untuk setiap penggal secara berasingan:

\[((x)^(-3))\kepada \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\kepada \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\kepada \ln x\]

Mari kita tulis pembinaan yang terhasil:

Masalah No 3

Di bahagian atas kita mempunyai kuasa dua jumlah, mari kita kembangkan:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Mari kita tulis penyelesaian akhir:

Sekarang perhatian! sangat perkara penting, yang dikaitkan dengan bahagian terbesar kesilapan dan salah faham. Hakikatnya sehingga kini, mengira antiderivatif menggunakan derivatif dan membawa transformasi, kami tidak memikirkan apa yang sama dengan terbitan pemalar. Tetapi terbitan pemalar adalah sama dengan "sifar". Ini bermakna anda boleh menulis pilihan berikut:

$((x)^(2))\kepada \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\kepada \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ini sangat penting untuk difahami: jika terbitan fungsi sentiasa sama, maka fungsi yang sama mempunyai bilangan antiterbitan yang tidak terhingga. Kami hanya boleh menambah sebarang nombor tetap pada antiderivatif kami dan mendapatkan nombor baharu.

Bukan kebetulan bahawa dalam penjelasan masalah yang baru kami selesaikan itu tertulis “Tulis pandangan umum primitif." Itu. Ia sudah diandaikan terlebih dahulu bahawa tidak ada satu daripada mereka, tetapi keseluruhan kumpulan. Tetapi, sebenarnya, mereka hanya berbeza dalam $C$ malar pada akhirnya. Oleh itu, dalam tugasan kami, kami akan membetulkan apa yang tidak kami selesaikan.

Sekali lagi kami menulis semula pembinaan kami:

Dalam kes sedemikian, anda harus menambah bahawa $C$ ialah pemalar - $C=const$.

Dalam fungsi kedua kami, kami mendapat pembinaan berikut:

Dan yang terakhir:

Dan kini kami benar-benar mendapat apa yang diperlukan daripada kami dalam keadaan asal masalah itu.

Menyelesaikan masalah mencari antiderivatif dengan titik tertentu

Sekarang setelah kita tahu tentang pemalar dan keanehan menulis antiderivatif, agak logik bahawa jenis masalah berikut timbul, apabila dari set semua antiderivatif diperlukan untuk mencari satu yang akan melaluinya. titik yang diberikan. Apakah tugasan ini?

Hakikatnya ialah semua antiderivatif bagi fungsi tertentu berbeza hanya kerana ia dialihkan secara menegak oleh nombor tertentu. Dan ini bermakna bahawa tidak kira apa titik pada satah koordinat kami tidak mengambilnya, satu antiderivatif pasti akan lulus, dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.

Jadi, masalah yang akan kita selesaikan sekarang dirumuskan seperti berikut: bukan sahaja mencari antiderivatif, mengetahui formula fungsi asal, tetapi pilih betul-betul yang melalui titik yang diberikan, koordinat yang akan diberikan dalam masalah kenyataan.

Contoh #1

Pertama, mari kita kira setiap istilah:

\[((x)^(4))\kepada \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\kepada \frac(((x)^(4)))(4)\]

Sekarang kami menggantikan ungkapan ini ke dalam pembinaan kami:

Fungsi ini mesti melalui titik $M\left(-1;4 \right)$. Apakah maksudnya ia melalui satu titik? Ini bermakna jika bukannya $x$ kita meletakkan $-1$ di mana-mana sahaja, dan bukannya $F\left(x \right)$ - $-4$, maka kita harus mendapatkan kesamaan berangka yang betul. Mari lakukan ini:

Kami melihat bahawa kami mempunyai persamaan untuk $C$, jadi mari kita cuba menyelesaikannya:

Mari tuliskan penyelesaian yang kami cari:

Contoh No. 2

Pertama sekali, adalah perlu untuk mendedahkan kuasa dua perbezaan menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

\[((x)^(2))\kepada \frac(((x)^(3)))(3)\]

Pembinaan asal akan ditulis seperti berikut:

Sekarang mari kita cari $C$: gantikan koordinat titik $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Kami menyatakan $C$:

Ia kekal untuk memaparkan ungkapan akhir:

Menyelesaikan masalah trigonometri

Sebagai kord akhir Sebagai tambahan kepada apa yang baru kita bincangkan, saya mencadangkan untuk mempertimbangkan dua lagi tugasan yang kompleks, yang mengandungi trigonometri. Di dalamnya, dengan cara yang sama, anda perlu mencari antiderivatif untuk semua fungsi, kemudian pilih daripada set ini satu-satunya yang melalui titik $M$ pada satah koordinat.

Memandang ke hadapan, saya ingin ambil perhatian bahawa teknik yang kita akan gunakan sekarang untuk mencari antiderivatif fungsi trigonometri, sebenarnya, adalah teknik universal untuk ujian kendiri.

Tugasan No 1

Mari kita ingat formula berikut:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Berdasarkan ini, kita boleh menulis:

Mari kita gantikan koordinat titik $M$ ke dalam ungkapan kita:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Mari kita tulis semula ungkapan dengan mengambil kira fakta ini:

Masalah No 2

Ini akan menjadi sedikit lebih sukar. Sekarang anda akan melihat mengapa.

Mari kita ingat formula ini:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Untuk menghilangkan "tolak", anda perlu melakukan perkara berikut:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Inilah reka bentuk kami

Mari kita gantikan koordinat titik $M$:

Secara keseluruhan, kami menulis pembinaan akhir:

Itu sahaja yang saya ingin beritahu anda hari ini. Kami mengkaji istilah antiderivatif itu sendiri, cara mengiranya fungsi asas, serta cara mencari antiderivatif yang melalui titik tertentu pada satah koordinat.

Saya harap pelajaran ini akan membantu anda sekurang-kurangnya untuk memahami perkara ini topik yang kompleks. Dalam apa jua keadaan, kamiran tak tentu dan tak tentu adalah pada antiterbitan, jadi adalah perlu untuk mengiranya. Itu sahaja untuk saya. jumpa lagi!