Luas permukaan sisi piramid. Bagaimana untuk mengira luas piramid: asas, sisi dan penuh

- Ini ialah angka polihedral, di pangkalnya terdapat poligon, dan muka yang selebihnya diwakili oleh segi tiga dengan bucu sepunya.

Jika tapaknya adalah segi empat sama, maka piramid dipanggil segi empat, jika segi tiga ialah segi tiga. Ketinggian piramid dilukis dari atasnya berserenjang ke pangkalan. Juga digunakan untuk mengira luas apotema ialah ketinggian muka sisi diturunkan dari bucunya.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid ialah jumlah kawasan muka sisinya, yang sama antara satu sama lain. Walau bagaimanapun, kaedah pengiraan ini sangat jarang digunakan. Pada asasnya, luas piramid dikira melalui perimeter pangkalan dan apotema:

Pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid.

Biarkan piramid dengan tapak ABCDE dan puncak F diberi. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotema a = 5 cm. Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mari cari perimeter. Oleh kerana semua muka tapak adalah sama, maka perimeter pentagon akan sama dengan:
Kini anda boleh mencari kawasan sisi piramid:

Kawasan piramid segi tiga biasa

Piramid segi tiga sekata terdiri daripada tapak di mana segitiga sekata terletak dan tiga muka sisi yang sama luas.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa boleh dikira dalam banyak cara. Anda boleh menggunakan formula biasa untuk mengira melalui perimeter dan apotema, atau anda boleh mencari luas muka tulang dan darabkannya dengan tiga. Oleh kerana muka piramid ialah segi tiga, kami menggunakan formula untuk luas segi tiga. Ia akan memerlukan apotema dan panjang pangkalan. Pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa.

Diberi piramid dengan apotema a = 4 cm dan muka tapak b = 2 cm. Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mula-mula, cari luas salah satu muka sisi. Dalam kes ini ia akan menjadi:
Gantikan nilai dalam formula:
Oleh kerana dalam piramid biasa semua sisi adalah sama, luas permukaan sisi piramid akan sama dengan jumlah luas tiga muka. Masing-masing:

Kawasan piramid terpotong

dipenggal Piramid ialah polihedron yang dibentuk oleh piramid dan bahagiannya selari dengan tapak.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong adalah sangat mudah. Luasnya adalah sama dengan hasil darab separuh jumlah perimeter tapak dan apotema:

Parallelepiped ialah prisma segi empat dengan segi empat selari di tapaknya. Terdapat formula siap pakai untuk mengira sisi dan jumlah luas permukaan angka itu, yang mana hanya panjang tiga dimensi parallelepiped diperlukan.

Bagaimana untuk mencari luas permukaan sisi kuboid

Ia adalah perlu untuk membezakan antara segi empat tepat dan selari kanan. Asas rajah lurus boleh menjadi sebarang segi empat selari. Luas angka tersebut mesti dikira menggunakan formula lain.

Jumlah S muka sisi kuboid dikira menggunakan formula mudah P*h, dengan P ialah perimeter dan h ialah ketinggian. Rajah menunjukkan bahawa muka bertentangan bagi sebuah selari segi empat tepat adalah sama, dan ketinggian h bertepatan dengan panjang tepi yang berserenjang dengan tapak.

Luas permukaan kuboid

Jumlah kawasan angka itu terdiri daripada sisi dan luas 2 tapak. Bagaimana untuk mencari luas selari segi empat tepat:

Di mana a, b dan c ialah dimensi badan geometri.
Formula yang diterangkan mudah difahami dan berguna dalam menyelesaikan banyak masalah geometri. Contoh tugas biasa ditunjukkan dalam imej berikut.

Apabila menyelesaikan masalah seperti ini, harus diingat bahawa asas prisma segi empat dipilih secara sewenang-wenangnya. Jika kita mengambil muka dengan dimensi x dan 3 sebagai asas, maka nilai Sside akan berbeza, dan Stot akan kekal 94 cm2.

Luas permukaan kubus

Kubus ialah sebuah segi empat selari berpipet dengan semua 3 dimensi sama. Dalam hal ini, formula untuk jumlah dan luas sisi kubus berbeza daripada yang standard.

Perimeter kubus itu ialah 4a, oleh itu, Sside = 4*a*a = 4*a2. Ungkapan ini tidak diperlukan untuk menghafal, tetapi mempercepatkan penyelesaian tugas dengan ketara.

Piramid- salah satu jenis polihedron yang terbentuk daripada poligon dan segi tiga yang terletak di pangkal dan merupakan mukanya.

Selain itu, di bahagian atas piramid (iaitu pada satu titik), semua muka digabungkan.

Untuk mengira luas piramid, adalah bernilai menentukan bahawa permukaan sisinya terdiri daripada beberapa segi tiga. Dan kita boleh mencari kawasan mereka dengan mudah

pelbagai formula. Bergantung pada data segi tiga yang kita ketahui, kita sedang mencari kawasannya.

Kami menyenaraikan beberapa formula yang anda boleh mencari luas segi tiga:

S = (a*h)/2 . Dalam kes ini, kita tahu ketinggian segi tiga h , yang diturunkan ke tepi a .
S = a*b*sinβ . Di sini sisi segi tiga a , b , dan sudut di antara mereka ialah β .
S = (r*(a + b + c))/2 . Di sini sisi segi tiga a, b, c . Jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga ialah r .
S = (a*b*c)/4*R . Jejari bulatan berhad mengelilingi segi tiga itu ialah R .
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Formula ini hanya boleh digunakan jika segi tiga ialah segi tiga tegak.
S = (a²*√3)/4 . Kami menggunakan formula ini pada segi tiga sama sisi.

Hanya selepas kita mengira kawasan semua segi tiga yang merupakan muka piramid kita, kita boleh mengira luas permukaan sisi. Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan formula di atas.

Untuk mengira luas permukaan sisi piramid, tiada kesukaran timbul: anda perlu mengetahui jumlah kawasan semua segi tiga. Mari kita nyatakan ini dengan formula:

Sp = ΣSi

Di sini Si ialah luas segi tiga pertama, dan S P ialah luas permukaan sisi piramid.

Mari kita lihat satu contoh. Diberikan sebuah piramid sekata, muka sisinya dibentuk oleh beberapa segi tiga sama sisi,

« Geometri ialah alat yang paling berkuasa untuk memperhalusi fakulti mental kita.».

Galileo Galilei.

dan segi empat sama ialah tapak piramid. Selain itu, tepi piramid mempunyai panjang 17 cm. Mari cari luas permukaan sisi piramid ini.

Kami beralasan seperti ini: kami tahu bahawa muka piramid adalah segi tiga, mereka adalah sama sisi. Kita juga tahu berapa panjang tepi piramid ini. Ia berikutan bahawa semua segi tiga mempunyai sisi yang sama, panjangnya ialah 17 cm.

Untuk mengira luas setiap segi tiga ini, anda boleh menggunakan formula berikut:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Oleh kerana kita tahu bahawa segi empat sama terletak di dasar piramid, ternyata kita mempunyai empat segi tiga sama sisi. Ini bermakna bahawa luas permukaan sisi piramid boleh dikira dengan mudah menggunakan formula berikut: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

Jawapan kami adalah seperti berikut: 500.548 cm² - ini adalah kawasan permukaan sisi piramid ini.

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting kepada anda.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Definisi. Muka sebelah- ini adalah segi tiga di mana satu sudut terletak di bahagian atas piramid, dan sisi bertentangannya bertepatan dengan sisi tapak (poligon).

Definisi. Tulang rusuk sebelah ialah sisi biasa muka sisi. Piramid mempunyai banyak tepi seperti terdapat sudut dalam poligon.

Definisi. ketinggian piramid ialah serenjang dijatuhkan dari atas ke pangkal piramid.

Definisi. Apothem- ini adalah serenjang muka sisi piramid, diturunkan dari bahagian atas piramid ke sisi tapak.

Definisi. Bahagian pepenjuru- ini ialah bahagian piramid dengan satah yang melalui bahagian atas piramid dan pepenjuru tapak.

Definisi. Piramid yang betul- Ini ialah piramid di mana tapaknya ialah poligon sekata, dan ketinggiannya turun ke tengah tapak.

Isipadu dan luas permukaan piramid

Formula. isipadu piramid melalui luas tapak dan ketinggian:

sifat piramid

Jika semua tepi sisi adalah sama, maka bulatan boleh dihadkan di sekeliling pangkal piramid, dan pusat tapak bertepatan dengan pusat bulatan. Juga, serenjang yang dijatuhkan dari atas melepasi pusat pangkalan (bulatan).

Jika semua rusuk sisi adalah sama, maka ia condong ke satah asas pada sudut yang sama.

Rusuk sisi adalah sama apabila ia membentuk sudut yang sama dengan satah tapak, atau jika bulatan boleh diterangkan di sekeliling tapak piramid.

Jika muka sisi condong ke satah tapak pada satu sudut, maka bulatan boleh ditulis di dasar piramid, dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengahnya.

Jika muka sisi condong ke satah tapak pada satu sudut, maka apotema muka sisi adalah sama.

Sifat piramid biasa

1. Bahagian atas piramid adalah sama jarak dari semua penjuru tapak.

2. Semua tepi sisi adalah sama.

3. Semua rusuk sisi condong pada sudut yang sama ke tapak.

4. Apothems semua muka sisi adalah sama.

5. Luas semua muka sisi adalah sama.

6. Semua muka mempunyai sudut dihedral (rata) yang sama.

7. Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid. Pusat sfera yang diterangkan akan menjadi titik persilangan serenjang yang melalui bahagian tengah tepi.

8. Sfera boleh ditulis dalam piramid. Pusat sfera yang ditulis akan menjadi titik persilangan pembahagi dua yang terpancar dari sudut antara tepi dan tapak.

9. Jika pusat sfera yang digariskan bertepatan dengan pusat sfera yang dihadkan, maka jumlah sudut rata pada puncak adalah sama dengan π atau sebaliknya, satu sudut adalah sama dengan π / n, di mana n ialah nombor sudut di dasar piramid.

Sambungan piramid dengan sfera

Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid apabila di dasar piramid terletak polihedron di mana bulatan boleh diterangkan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui secara tegak lurus melalui titik tengah tepi sisi piramid.

Sfera sentiasa boleh digambarkan di sekeliling mana-mana piramid segi tiga atau biasa.

Sfera boleh ditulis dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada satu titik (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.

Sambungan piramid dengan kon

Sebuah kon dipanggil tertulis dalam piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu tertulis di dasar piramid.

Sebuah kon boleh ditulis dalam piramid jika apotema piramid adalah sama.

Sebuah kon dikatakan dihadkan mengelilingi piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu dihadkan mengelilingi pangkal piramid.

Sebuah kon boleh diterangkan mengelilingi piramid jika semua tepi sisi piramid adalah sama antara satu sama lain.

Sambungan piramid dengan silinder

Piramid dikatakan ditulis dalam silinder jika bahagian atas piramid terletak pada satu tapak silinder, dan tapak piramid ditulis pada tapak silinder yang lain.

Silinder boleh dikelilingi di sekeliling piramid jika bulatan boleh dikelilingi di sekeliling dasar piramid.

Definisi. Piramid terpotong (prisma piramid)- Ini adalah polihedron yang terletak di antara tapak piramid dan satah keratan selari dengan tapak. Oleh itu piramid mempunyai tapak yang besar dan tapak yang lebih kecil yang serupa dengan yang lebih besar. Muka sisi adalah trapezoid.

Definisi. Piramid segi tiga (tetrahedron)- ini ialah piramid di mana tiga muka dan tapak adalah segi tiga sewenang-wenangnya.

Tetrahedron mempunyai empat muka dan empat bucu dan enam tepi, di mana mana-mana dua tepi tidak mempunyai bucu sepunya tetapi tidak bersentuhan.

Setiap bucu terdiri daripada tiga muka dan tepi yang terbentuk sudut trihedral.

Segmen yang menghubungkan puncak tetrahedron dengan pusat muka bertentangan dipanggil median tetrahedron(GM).

Bimedian dipanggil segmen yang menghubungkan titik tengah tepi bertentangan yang tidak bersentuhan (KL).

Semua bimedian dan median tetrahedron bersilang pada satu titik (S). Dalam kes ini, bimedian dibahagikan kepada separuh, dan median dalam nisbah 3: 1 bermula dari atas.

Definisi. piramid condong ialah piramid di mana salah satu tepi membentuk sudut tumpul (β) dengan tapak.

Definisi. Piramid segi empat tepat ialah piramid di mana salah satu muka sisinya berserenjang dengan tapak.

Definisi. Piramid Sudut Akut ialah piramid di mana apotemanya lebih daripada separuh panjang sisi tapak.

Definisi. piramid tumpul ialah piramid di mana apotemanya kurang daripada separuh panjang sisi tapak.

Definisi. tetrahedron biasa Tetrahedron yang empat mukanya ialah segi tiga sama sisi. Ia adalah salah satu daripada lima poligon sekata. Dalam tetrahedron biasa, semua sudut dihedral (antara muka) dan sudut trihedral (pada bucu) adalah sama.

Definisi. Tetrahedron segi empat tepat tetrahedron dipanggil yang mempunyai sudut tegak antara tiga tepi di bucu (tepinya berserenjang). Tiga muka terbentuk sudut tiga segi empat tepat dan mukanya ialah segi tiga tepat, dan tapaknya ialah segi tiga arbitrari. Apotema mana-mana muka adalah sama dengan separuh bahagian pangkal di mana apotema jatuh.

Definisi. Tetrahedron isohedral Tetrahedron dipanggil di mana muka sisi adalah sama antara satu sama lain, dan tapaknya ialah segitiga biasa. Muka-muka tetrahedron tersebut ialah segi tiga sama kaki.

Definisi. Tetrahedron ortosentrik tetrahedron dipanggil di mana semua ketinggian (serenjang) yang diturunkan dari atas ke muka bertentangan bersilang pada satu titik.

Definisi. piramid bintang Polihedron yang tapaknya ialah bintang dipanggil.

Definisi. Bipiramid- polihedron yang terdiri daripada dua piramid berbeza (piramid juga boleh dipotong), mempunyai tapak yang sama, dan bucu terletak pada sisi bertentangan satah asas.