Luas permukaan sisi sfera dan kon. Luas permukaan sisi dan penuh kon

Luas permukaan kon (atau hanya permukaan kon) adalah sama dengan jumlah luas tapak dan permukaan sisi.

Luas permukaan sisi kon dikira dengan formula: S = πR l, dengan R ialah jejari tapak kon, dan l- generatrik kon.

Oleh kerana luas tapak kon ialah πR 2 (sebagai luas bulatan), maka luas permukaan penuh kon akan sama dengan : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Mendapatkan formula untuk luas permukaan sisi kon boleh dijelaskan dengan alasan sedemikian. Biarkan lukisan menunjukkan perkembangan permukaan sisi kon. Kami membahagikan lengkok AB kepada sebanyak mungkin bahagian yang sama dan menghubungkan semua titik pembahagian dengan pusat lengkok, dan titik berjiran antara satu sama lain dengan kord.

Kami mendapat satu siri segi tiga sama. Luas setiap segi tiga ialah Ah / 2, di mana a- panjang tapak segi tiga, a h- tingginya.

Jumlah luas semua segi tiga ialah: Ah / 2 n = anh / 2, di mana n ialah bilangan segi tiga.

Dengan bilangan pembahagian yang besar, jumlah kawasan segi tiga menjadi sangat dekat dengan kawasan pembangunan, iaitu, luas permukaan sisi kon. Hasil tambah tapak segi tiga, i.e. an, menjadi sangat hampir dengan panjang lengkok AB, iaitu, dengan lilitan tapak kon. Ketinggian setiap segi tiga menjadi sangat hampir dengan jejari lengkok, iaitu, dengan generatriks kon.

Mengabaikan sedikit perbezaan dalam saiz kuantiti ini, kami memperoleh formula untuk luas permukaan sisi kon (S):

S=C l / 2, dengan C ialah lilitan tapak kon, l- generatrik kon.

Mengetahui bahawa C \u003d 2πR, di mana R ialah jejari bulatan asas kon, kami memperoleh: S \u003d πR l.

Catatan. Dalam formula S = C l / 2, tanda kesamaan tepat, dan bukan anggaran, diberikan, walaupun berdasarkan alasan di atas, kita boleh menganggap kesamaan ini sebagai anggaran. Tetapi di sekolah menengah, terbukti bahawa kesaksamaan

S=C l / 2 adalah tepat, bukan anggaran.

Teorem. Permukaan sisi kon adalah sama dengan hasil lilitan tapak dan separuh generatrik.

Kami menulis dalam kon (Gamb.) Beberapa piramid biasa dan menandakan dengan huruf R dan l nombor yang menyatakan panjang perimeter tapak dan apotema piramid ini.

Kemudian permukaan sisinya akan dinyatakan oleh hasil 1/2 R l .

Sekarang mari kita andaikan bahawa bilangan sisi poligon yang tertera dalam tapak bertambah tanpa had. Kemudian perimeter R akan cenderung kepada had yang diambil sebagai panjang C lilitan tapak, dan apotema l akan mempunyai penjana kon sebagai hadnya (kerana ΔSAK membayangkan bahawa SA - SK
1 / 2 R l, akan cenderung kepada had 1/2 C L. Had ini diambil sebagai nilai permukaan sisi kon. Menandakan permukaan sisi kon dengan huruf S, kita boleh menulis:

S = 1 / 2 C L = C 1/2L

Akibat.
1) Sejak C \u003d 2 π R, maka permukaan sisi kon dinyatakan dengan formula:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Kami mendapat permukaan penuh kon jika kami menambah permukaan sisi ke kawasan asas; oleh itu, menandakan permukaan lengkap dengan T, kita akan mempunyai:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorem. Permukaan sisi kon terpenggal adalah sama dengan hasil darab separuh jumlah lilitan tapak dan generatrik.

Kami menulis dalam kon terpenggal (Gamb.) Beberapa piramid terpotong biasa dan menandakan dengan huruf r, r 1 dan l nombor yang menyatakan dalam unit linear yang sama panjang perimeter tapak bawah dan atas dan apotema piramid ini.

Kemudian permukaan sisi piramid bertulis ialah 1/2 ( p + p 1) l

Dengan pertambahan tanpa had dalam bilangan muka sisi piramid bertulis, perimeter R dan R 1 cenderung kepada had yang diambil sebagai panjang C dan C 1 bulatan tapak, dan apotema l mempunyai sebagai hadnya generatrik L bagi kon terpenggal. Akibatnya, nilai permukaan sisi piramid bertulis cenderung kepada had yang sama dengan (С + С 1) L. Had ini diambil sebagai nilai permukaan sisi kon terpenggal. Menandakan permukaan sisi kon terpenggal dengan huruf S, kita akan mempunyai:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Akibat.
1) Jika R dan R 1 bermaksud jejari bulatan tapak bawah dan atas, maka permukaan sisi kon terpotong ialah:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Jika dalam trapezoid OO 1 A 1 A (Rajah), Dari putaran yang diperolehi kon terpenggal, kita lukis garis tengah BC, maka kita dapat:

SM \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Akibatnya,

S=2 π BC L,

i.e. permukaan sisi kon terpenggal adalah sama dengan hasil lilitan keratan purata dan generatrik.

3) Jumlah permukaan T kon terpenggal dinyatakan seperti berikut:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili tahap penuh pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Jenis pelajaran: pengajaran dalam mengkaji bahan baharu menggunakan unsur kaedah pengajaran yang membina masalah.

Objektif Pelajaran:

kognitif:
- membiasakan diri dengan konsep matematik baharu;
- pembentukan ZUN baru;
- pembentukan kemahiran praktikal untuk menyelesaikan masalah.
membangun:
- pembangunan pemikiran bebas pelajar;
- pembangunan kemahiran pertuturan yang betul murid sekolah.
pendidikan:
- pembangunan kemahiran kerja berpasukan.

Peralatan pelajaran: papan magnetik, komputer, skrin, projektor multimedia, model kon, pembentangan pelajaran, kertas edaran.

Objektif pelajaran (untuk pelajar):

berkenalan dengan konsep geometri baru - kon;
memperoleh formula untuk mengira luas permukaan kon;
belajar mengaplikasikan pengetahuan yang diperoleh dalam menyelesaikan masalah praktikal.

Semasa kelas

saya pentas. berorganisasi.

Penyerahan buku nota dengan kerja ujian rumah mengenai topik yang dibincangkan.

Pelajar dijemput untuk mengetahui topik pelajaran yang akan datang dengan menyelesaikan rebus (slaid 1):

Gambar 1.

Pengumuman kepada pelajar tentang topik dan objektif pelajaran (slaid 2).

peringkat II. Penjelasan bahan baru.

1) Syarahan guru.

Di atas papan adalah meja dengan imej kon. Bahan baru dijelaskan disertai dengan bahan program "Stereometri". Imej tiga dimensi kon muncul pada skrin. Guru memberikan definisi kon, bercakap tentang unsur-unsurnya. (slaid 3). Dikatakan bahawa kon ialah jasad yang dibentuk oleh putaran segi tiga tegak berbanding kaki. (slaid 4, 5). Imej perkembangan permukaan sisi kon muncul. (slaid 6)

2) Kerja amali.

Aktualisasi pengetahuan asas: ulangi formula untuk mengira luas bulatan, luas sektor, panjang bulatan, panjang lengkok bulatan. (slaid 7-10)

Kelas dibahagikan kepada kumpulan. Setiap kumpulan menerima imbasan permukaan sisi kon yang dipotong daripada kertas (sektor bulatan dengan nombor yang ditetapkan). Pelajar mengambil ukuran yang diperlukan dan mengira kawasan sektor yang terhasil. Arahan untuk melakukan kerja, soalan - pernyataan masalah - muncul pada skrin (slaid 11-14). Wakil setiap kumpulan menulis hasil pengiraan dalam jadual yang disediakan di papan tulis. Peserta setiap kumpulan melekatkan model kon daripada perkembangan yang mereka ada. (slaid 15)

3) Pernyataan dan penyelesaian masalah.

Bagaimana untuk mengira luas permukaan sisi kon jika hanya jejari tapak dan panjang generatriks kon itu diketahui? (slaid 16)

Setiap kumpulan membuat ukuran yang diperlukan dan cuba mendapatkan formula untuk mengira kawasan yang diperlukan menggunakan data yang ada. Semasa melakukan kerja ini, pelajar harus menyedari bahawa lilitan tapak kon adalah sama dengan panjang lengkok sektor - perkembangan permukaan sisi kon ini. (slaid 17-21) Menggunakan formula yang diperlukan, formula yang dikehendaki diperolehi. Penaakulan pelajar sepatutnya kelihatan seperti ini:

Jejari sektor - sapuan adalah sama dengan l, ukuran darjah lengkok ialah φ. Luas sektor dikira dengan formula: panjang lengkok yang mengikat sektor ini adalah sama dengan Jejari tapak kon R. Panjang bulatan yang terletak di dasar kon ialah C = 2πR . Perhatikan bahawa Oleh kerana luas permukaan sisi kon adalah sama dengan luas perkembangan permukaan sisinya, maka

Jadi, luas permukaan sisi kon dikira dengan formula S BOD = πRl.

Selepas mengira luas permukaan sisi model kon mengikut formula yang diperoleh secara bebas, wakil setiap kumpulan menulis hasil pengiraan dalam jadual di papan tulis mengikut nombor model. Keputusan pengiraan dalam setiap baris mestilah sama. Atas dasar ini, guru menentukan ketepatan kesimpulan setiap kumpulan. Jadual keputusan sepatutnya kelihatan seperti ini:

model no.	saya tugaskan	II tugas

	(125/3)π ~ 41.67π

	(425/9)π ~ 47.22π
	(539/9)π ~ 59.89π

Parameter model:

l=12 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=150°
l=15 cm, φ=120°
l=10 cm, φ=170°
l=14 cm, φ=110°

Anggaran pengiraan dikaitkan dengan ralat pengukuran.

Selepas menyemak keputusan, keluaran formula untuk kawasan permukaan sisi dan penuh kon muncul pada skrin (slaid 22-26) pelajar menyimpan nota dalam buku nota.

Peringkat III. Penyatuan bahan yang dipelajari.

1) Pelajar ditawarkan tugas untuk penyelesaian lisan pada lukisan siap sedia.

Cari luas bagi jumlah permukaan kon yang ditunjukkan dalam rajah (slaid 27-32).

2) Soalan: Adakah luas permukaan kon yang dibentuk oleh putaran satu segi tiga tepat mengenai kaki yang berbeza sama? Pelajar membuat hipotesis dan mengujinya. Pengujian hipotesis dijalankan dengan menyelesaikan masalah dan ditulis oleh pelajar di papan hitam.

Diberi:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - badan revolusi.

Cari: S PPC 1 , S PPC 2 .

Rajah 5 (slaid 33)

Penyelesaian:

1) R=BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S utama 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S utama 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Jika S PPC 1 = S PPC 2, maka a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Kerana a, b, c nombor positif (panjang sisi segi tiga), kesamaan koyak adalah benar hanya jika a =b.

Kesimpulan: Luas permukaan dua kon adalah sama hanya jika kaki segi tiga adalah sama. (slaid 34)

3) Penyelesaian masalah daripada buku teks: No. 565.

peringkat IV. Merumuskan pelajaran.

Kerja rumah: hlm.55, 56; No. 548, No. 561. (slaid 35)

Pengumuman gred.

Kesimpulan semasa pelajaran, pengulangan maklumat utama yang diterima dalam pelajaran.

kesusasteraan (slaid 36)

Gred geometri 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Pencerahan, 2008.
"Teka-teki dan sandiwara matematik" - N.V. Udaltsov, perpustakaan "Pertama September", siri "MATEMATIK", keluaran 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Kita tahu apa itu kon, mari kita cuba cari luas permukaannya. Mengapa perlu menyelesaikan masalah sedemikian? Sebagai contoh, anda perlu memahami berapa banyak doh yang akan digunakan untuk membuat kon wafel? Atau berapa banyak bata yang diperlukan untuk meletakkan bumbung bata sebuah istana?

Tidak mudah untuk mengukur luas permukaan sisi kon. Tetapi bayangkan tanduk yang sama dibalut kain. Untuk mencari luas sekeping kain, anda perlu memotong dan membentangkannya di atas meja. Kami mendapat angka rata, kami boleh mencari kawasannya.

nasi. 1. Bahagian kon di sepanjang generatrik

Mari kita lakukan perkara yang sama dengan kon. Mari kita "memotong" permukaan sisinya di sepanjang mana-mana generatrix, sebagai contoh, (lihat Rajah 1).

Sekarang kita "melepaskan" permukaan sisi ke atas kapal terbang. Kami mendapat sektor. Pusat sektor ini ialah bahagian atas kon, jejari sektor adalah sama dengan generatriks kon, dan panjang lengkoknya bertepatan dengan lilitan tapak kon. Sektor sedemikian dipanggil pembangunan permukaan sisi kon (lihat Rajah 2).

nasi. 2. Perkembangan permukaan sisi

nasi. 3. Ukuran sudut dalam radian

Mari cuba cari kawasan sektor mengikut data yang ada. Mula-mula, mari kita perkenalkan notasi: biarkan sudut di bahagian atas sektor dalam radian (lihat Rajah 3).

Kita akan sering menghadapi sudut di bahagian atas sapuan dalam tugasan. Sementara itu, mari kita cuba menjawab soalan: tidak bolehkah sudut ini menjadi lebih daripada 360 darjah? Iaitu, tidakkah ternyata sapuan itu akan menimpa dirinya? Sudah tentu tidak. Mari kita buktikan secara matematik. Biarkan sapuan "bertindih" dengan sendirinya. Ini bermakna panjang lengkok sapuan adalah lebih besar daripada lilitan jejari . Tetapi, seperti yang telah disebutkan, panjang lengkok sapuan ialah lilitan jejari. Dan jejari tapak kon, tentu saja, kurang daripada generatriks, sebagai contoh, kerana kaki segi tiga tepat adalah kurang daripada hipotenus.

Kemudian mari kita ingat dua formula dari kursus planimetri: panjang arka. Kawasan sektor: .

Dalam kes kami, peranan dimainkan oleh generatrix , dan panjang lengkok adalah sama dengan lilitan tapak kon, iaitu. Kami ada:

Akhirnya kita dapat:

Bersama-sama dengan luas permukaan sisi, jumlah luas permukaan juga boleh didapati. Untuk melakukan ini, tambahkan kawasan asas ke kawasan permukaan sisi. Tetapi tapaknya ialah bulatan jejari , yang luasnya, mengikut formula, ialah .

Akhirnya kami mempunyai: , di mana jejari tapak silinder, ialah generatrik.

Mari kita selesaikan beberapa masalah pada formula yang diberikan.

nasi. 4. Sudut yang dikehendaki

Contoh 1. Perkembangan permukaan sisi kon adalah sektor dengan sudut di puncak. Cari sudut ini jika ketinggian kon ialah 4 cm dan jejari tapak ialah 3 cm (lihat Rajah 4).

nasi. 5. Segitiga tegak membentuk kon

Dengan tindakan pertama, mengikut teorem Pythagoras, kita dapati generatriks: 5 cm (lihat Rajah 5). Selanjutnya, kita tahu itu .

Contoh 2. Luas bahagian paksi kon ialah , tinggi ialah . Cari jumlah luas permukaan (lihat Rajah 6).