Formula kawasan Pythagoras. Sejarah teorem Pythagoras

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan angka

Jadi mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak yang anda suka (dalam kes kami, mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan angka
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk satu nombor urutan sahaja. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor -th) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-- bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dan lain-lain.
Urutan berangka sedemikian dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" telah diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius seawal abad ke-6 dan difahami secara lebih pengertian yang luas, sebagai urutan nombor tak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang mana orang Yunani kuno terlibat.

Ini ialah urutan berangka, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan dilambangkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
Tidak janjang aritmetik - a, d.

Kembali kepada perkembangan yang diberikan() dan cuba cari nilai ahli ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nilai sebelumnya bagi nombor janjang sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, ahli -th bagi janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kami tidak akan melakukan kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan cara di mana anda tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Lihatlah dengan teliti pada gambar yang dilukis ... Pastinya anda telah melihat corak tertentu, iaitu:

Sebagai contoh, mari lihat apa yang membentuk nilai ahli -th bagi janjang aritmetik ini:

Dalam kata lain:

Cuba cari secara bebas dengan cara ini nilai ahli janjang aritmetik ini.

dikira? Bandingkan penyertaan anda dengan jawapan:

Perhatikan bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah ahli janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya secara berturut-turut.
Mari cuba "menyahperibadi" formula ini- bawa dia ke bentuk umum dan dapat:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik sama ada meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita periksa apakah nombor -th bagi janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita semasa mengiranya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula berfungsi dalam penurunan dan peningkatan janjang aritmetik.
Cuba cari sendiri ahli -th dan -th bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari kita rumitkan tugas - kita memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah sahaja, kata anda, dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:

Biarkan, a, kemudian:

Betul sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan, adakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu, ya, dan kami akan cuba mengeluarkannya sekarang.

Mari kita nyatakan istilah yang dikehendaki bagi janjang aritmetik sebagai, kita tahu formula untuk mencarinya - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

ahli kemajuan sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita jumlahkan ahli perkembangan sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah ahli janjang sebelumnya dan seterusnya adalah dua kali ganda nilai ahli janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan diketahui sebelumnya dan nilai berturut-turut, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari kita betulkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, kerana ia tidak sukar sama sekali.

Bagus! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Ia tetap untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss, mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya tugas berikut pada pelajaran: "Kira jumlah semua nombor asli dari kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk. Apa yang mengejutkan guru apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) selepas seminit memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil selepas pengiraan yang panjang menerima keputusan yang salah ...

Carl Gauss muda melihat corak yang anda boleh perhatikan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada ahli -ti: Kita perlu mencari jumlah ahli janjang aritmetik yang diberikan. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu mencari jumlah istilahnya dalam tugasan, seperti yang dicari oleh Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti pada nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengan mereka.

Dah cuba? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan sebegitu yang akan ada dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua ahli janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita dapati bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah, kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan kemajuan. Cuba gantikan dalam formula jumlah, formula ahli ke.
Apa yang kamu dapat?

Bagus! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor bermula dari -th, dan jumlah nombor bermula dari -th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss ternyata bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu cara anda membuat keputusan?

Malah, formula untuk jumlah ahli janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini orang cerdik menggunakan sifat janjang aritmetik dengan kekuatan dan utama.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan tapak pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid ... Rajah menunjukkan sebelahnya.

Di manakah perkembangan di sini yang anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.

Mengapa tidak janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira dengan menggerakkan jari anda pada monitor, adakah anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?

DALAM kes ini perkembangannya kelihatan seperti ini:
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan ahli sesuatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kami ke dalam formula terakhir (kami mengira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Dan kini anda juga boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperolehi dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. Adakah ia bersetuju? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke satu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan mencangkung dalam beberapa minggu jika dia melakukan squats pada latihan pertama.
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan balak, penebang kayu menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak.

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu mencangkung sekali sehari.
Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Walau bagaimanapun, bilangan nombor ganjil dalam separuh, semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari ahli ke-- bagi janjang aritmetik:
Nombor itu memang mengandungi nombor ganjil.
Kami menggantikan data yang tersedia ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama dengan.
Ingat kembali masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, terdapat hanya sekumpulan lapisan, iaitu.
Gantikan data dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Menjumlahkan

- urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia semakin meningkat dan semakin berkurangan.
Mencari formula ahli ke atas suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di mana - bilangan nombor dalam janjang.
Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. TAHAP PURATA

Urutan angka

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak yang anda suka. Tetapi anda sentiasa boleh memberitahu yang mana antara mereka yang pertama, yang kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.

Urutan angka ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-- bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika ahli -th bagi jujukan boleh diberikan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah -th, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang dengan menggunakan formula sedemikian, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apakah formulanya?

Dalam setiap baris, kami menambah, didarab dengan beberapa nombor. Untuk apa? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih selesa sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Dan apakah perbezaannya? Dan inilah yang:

(lagipun, ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan ahli berturut-turut perkembangan).

Jadi formulanya ialah:

Maka sebutan keseratus ialah:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik yang hebat Carl Gauss, seorang budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah bilangan pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari jumlah semua nombor dua digit, gandaan.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap yang berikut diperoleh dengan menambah kepada nombor sebelumnya. Oleh itu, bilangan yang menarik kepada kami terbentuk janjang aritmetik dengan penggal pertama dan perbezaan.

Formula untuk sebutan ke- untuk janjang ini ialah:

Berapakah bilangan dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari 1m lebih daripada hari sebelumnya. Berapa kilometer dia akan berlari dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang penunggang basikal menunggang lebih banyak batu setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu memandu untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan itu?
Harga peti sejuk di kedai dikurangkan dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan:, ia adalah perlu untuk mencari.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya.
Mari kita hitung jarak yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula sebutan ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Ini ialah urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Formula untuk mencari ahli ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis sebagai formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia memudahkan untuk mencari ahli janjang jika ahli jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Tahap pertama

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan angka

Urutan angka
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dan lain-lain.
Urutan berangka sedemikian dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" telah diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius seawal abad ke-6 dan difahami dalam erti kata yang lebih luas sebagai urutan berangka yang tidak berkesudahan. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang mana orang Yunani kuno terlibat.

Ini ialah urutan berangka, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan dilambangkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
Tidak janjang aritmetik - a, d.

Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai ahli ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nilai sebelumnya bagi nombor janjang sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, ahli -th bagi janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Sebagai contoh, mari lihat apa yang membentuk nilai ahli -th bagi janjang aritmetik ini:

Dalam kata lain:

Cuba cari secara bebas dengan cara ini nilai ahli janjang aritmetik ini.

dikira? Bandingkan penyertaan anda dengan jawapan:

Perhatikan bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah ahli janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya secara berturut-turut.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - kami membawanya ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik sama ada meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula berfungsi dalam penurunan dan peningkatan janjang aritmetik.
Cuba cari sendiri ahli -th dan -th bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Biarkan, a, kemudian:

Mari kita nyatakan istilah yang dikehendaki bagi janjang aritmetik sebagai, kita tahu formula untuk mencarinya - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

ahli kemajuan sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita jumlahkan ahli perkembangan sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah ahli janjang sebelumnya dan seterusnya adalah dua kali ganda nilai ahli janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai ahli kemajuan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, adalah perlu untuk menambah dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari kita betulkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, kerana ia tidak sukar sama sekali.

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, guru, sibuk memeriksa kerja pelajar dari kelas lain, bertanya tugas berikut pada pelajaran: "Kira jumlah semua nombor asli dari sehingga (mengikut sumber lain hingga) termasuk. " Apa yang mengejutkan guru apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) selepas seminit memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil selepas pengiraan yang panjang menerima keputusan yang salah ...

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan sebegitu yang akan ada dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang sama, kita dapati bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah, kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan kemajuan. Cuba gantikan dalam formula jumlah, formula ahli ke.
Apa yang kamu dapat?

Bagus! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor bermula dari -th, dan jumlah nombor bermula dari -th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss ternyata bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu cara anda membuat keputusan?

Malah, formula untuk jumlah ahli janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini, orang cerdik menggunakan sifat janjang aritmetik dengan kekuatan dan utama.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan tapak pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid ... Rajah menunjukkan sebelahnya.

Dalam kes ini, perkembangannya kelihatan seperti ini:
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan ahli sesuatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kami ke dalam formula terakhir (kami mengira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan mencangkung dalam beberapa minggu jika dia melakukan squats pada latihan pertama.
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan balak, penebang kayu menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak.

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu mencangkung sekali sehari.
Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Walau bagaimanapun, bilangan nombor ganjil dalam separuh, semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari ahli ke-- bagi janjang aritmetik:
Nombor itu memang mengandungi nombor ganjil.
Kami menggantikan data yang tersedia ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama dengan.
Ingat kembali masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, terdapat hanya sekumpulan lapisan, iaitu.
Gantikan data dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Menjumlahkan

- urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia semakin meningkat dan semakin berkurangan.
Mencari formula ahli ke atas suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di mana - bilangan nombor dalam janjang.
Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. TAHAP PURATA

Urutan angka

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Urutan angka ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-- bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika ahli -th bagi jujukan boleh diberikan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah -th, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang dengan menggunakan formula sedemikian, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apakah formulanya?

Dalam setiap baris, kami menambah, didarab dengan beberapa nombor. Untuk apa? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih selesa sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Dan apakah perbezaannya? Dan inilah yang:

(lagipun, ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan ahli berturut-turut perkembangan).

Jadi formulanya ialah:

Maka sebutan keseratus ialah:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik hebat Carl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah bilangan pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari hasil tambah semua gandaan dua digit.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap seterusnya diperoleh dengan menambah nombor kepada yang sebelumnya. Oleh itu, bilangan yang menarik kepada kita membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.

Formula untuk sebutan ke- untuk janjang ini ialah:

Berapakah bilangan dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari 1m lebih daripada hari sebelumnya. Berapa kilometer dia akan berlari dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang penunggang basikal menunggang lebih banyak batu setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu memandu untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan itu?
Harga peti sejuk di kedai dikurangkan dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan:, ia adalah perlu untuk mencari.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya.
Mari kita hitung jarak yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula sebutan ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Ini ialah urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Formula untuk mencari ahli ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis sebagai formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia memudahkan untuk mencari ahli janjang jika ahli jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.

Objektif Pelajaran:

pengembangan dan pendalaman idea pelajar tentang tugasan yang diselesaikan menggunakan janjang aritmetik; organisasi aktiviti carian pelajar apabila memperoleh formula untuk jumlah n ahli pertama suatu janjang aritmetik;
pembangunan kemahiran untuk memperoleh pengetahuan baharu secara bebas, menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas;
perkembangan keinginan dan keperluan untuk menggeneralisasikan fakta yang diperolehi, pembangunan kemerdekaan.

Tugasan:

generalisasi dan sistematikkan pengetahuan sedia ada mengenai topik "Janjang aritmetik";
terbitkan formula untuk mengira jumlah n ahli pertama suatu janjang aritmetik;
mengajar cara mengaplikasikan formula yang diperolehi dalam menyelesaikan pelbagai masalah;
menarik perhatian pelajar kepada prosedur mencari nilai ungkapan berangka.

peralatan:

kad dengan tugas untuk bekerja dalam kumpulan dan berpasangan;
kertas penilaian;
pembentangan"Janjang aritmetik".

I. Aktualisasi pengetahuan asas.

1. Kerja bebas berpasangan.

Pilihan pertama:

Tentukan janjang aritmetik. menulis formula berulang, yang mentakrifkan janjang aritmetik. Berikan satu contoh janjang aritmetik dan nyatakan perbezaannya.

pilihan ke-2:

Tuliskan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Cari sebutan ke-100 bagi janjang aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Pada masa ini, dua orang pelajar sisi terbalik papan menyediakan jawapan kepada soalan yang sama.
Pelajar menilai hasil kerja rakan kongsi dengan membandingkannya dengan papan. (Risalah berserta jawapan diserahkan).

2. Detik permainan.

Latihan 1.

cikgu. Saya membayangkan beberapa janjang aritmetik. Tanya saya hanya dua soalan supaya selepas jawapan anda boleh menamakan ahli ke-7 perkembangan ini dengan cepat. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Soalan daripada pelajar.

Apakah sebutan keenam janjang itu dan apakah perbezaannya?
Apakah sebutan kelapan janjang itu dan apakah perbezaannya?

Sekiranya tidak ada lagi soalan, maka guru boleh merangsang mereka - "larangan" pada d (perbezaan), iaitu, tidak dibenarkan bertanya apa perbezaannya. Anda boleh bertanya soalan: apakah penggal ke-6 janjang itu dan apakah sebutan ke-8 janjang itu?

Tugasan 2.

Terdapat 20 nombor yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan hitam. Pelajar menyebut nombor nombor, dan guru segera memanggil nombor itu sendiri. Terangkan bagaimana saya boleh melakukannya?

Guru mengingati rumus penggal ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, menggantikan nilai n yang diberikan, mencari nilai yang sepadan a n .

II. Penyataan tugas pendidikan.

Saya bercadang untuk menyelesaikan masalah lama sejak alaf ke-2 SM, yang terdapat dalam papirus Mesir.

Tugasan:“Hendaklah dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar barli kepada 10 orang, selisih antara setiap orang dengan jirannya adalah 1/8 dari takaran”.

Bagaimanakah masalah ini berkaitan dengan topik janjang aritmetik? (Setiap orang seterusnya mendapat 1/8 daripada ukuran lebih banyak, jadi perbezaannya ialah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
Pada pendapat anda, apakah maksud nombor 10? (Jumlah semua ahli perkembangan.)
Apa lagi yang anda perlu tahu untuk memudahkan dan mudah membahagi barli mengikut keadaan masalah? (Penggal pertama janjang.)

Objektif pelajaran- mendapatkan pergantungan jumlah syarat janjang pada bilangannya, sebutan pertama dan perbezaannya, dan menyemak sama ada masalah itu diselesaikan dengan betul pada zaman dahulu.

Sebelum mendapatkan formula, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno menyelesaikan masalah itu.

Dan mereka menyelesaikannya seperti ini:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran - bahagian purata;
2) 1 sukatan ∙ = 2 sukatan - digandakan purata kongsi.
berganda purata bahagian itu ialah jumlah saham orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 sukatan - 1/8 sukatan = 1 7/8 sukatan - dua kali ganda bahagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bahagian kelima; dan seterusnya, anda boleh mencari bahagian setiap orang sebelumnya dan seterusnya.

Kami mendapat urutan:

III. Penyelesaian tugas.

1. Bekerja dalam kumpulan

kumpulan pertama: Cari hasil tambah 20 nombor asli berturut-turut: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Secara umum

Kumpulan II: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

Kumpulan III: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

Kumpulan IV: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Kaedah menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan ini dipanggil "kaedah Gauss".

2. Setiap kumpulan membentangkan penyelesaian masalah di papan tulis.

3. Generalisasi penyelesaian yang dicadangkan untuk janjang aritmetik arbitrari:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami mendapati jumlah ini dengan berhujah sama:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penggunaan formula yang diperolehi dalam menyelesaikan masalah.

1. Menyemak penyelesaian masalah lama dengan formula.

2. Aplikasi formula dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

3. Latihan untuk pembentukan kebolehan mengaplikasi rumus dalam menyelesaikan masalah.

A) No. 613

Diberi :( dan n) - janjang aritmetik;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Cari: S 1500

Penyelesaian: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberi: ( dan n) - janjang aritmetik;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Cari: n
Penyelesaian:

V. Kerja bebas dengan pengesahan bersama.

Denis pergi bekerja sebagai kurier. Pada bulan pertama, gajinya ialah 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya ia meningkat sebanyak 30 rubel. Berapakah pendapatannya dalam setahun?

Diberi :( dan n) - janjang aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Cari: S 12
Penyelesaian:

Jawapan: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Arahan kerja rumah.

ms 4.3 - pelajari terbitan formula.
№№ 585, 623 .
Susun masalah yang akan diselesaikan menggunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik.

VII. Merumuskan pelajaran.

1. Lembaran markah

2. Sambung ayat

Hari ini dalam kelas saya belajar...
Formula yang dipelajari...
Saya percaya bahawa…

3. Bolehkah anda mencari jumlah nombor dari 1 hingga 500? Apakah kaedah yang akan anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Algebra, darjah 9. Tutorial untuk institusi pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscow: Pencerahan, 2009.

Tahap pertama

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan angka

Urutan angka
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

Ini ialah urutan berangka, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan dilambangkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
Tidak janjang aritmetik - a, d.

Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai ahli ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nilai sebelumnya bagi nombor janjang sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, ahli -th bagi janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Sebagai contoh, mari lihat apa yang membentuk nilai ahli -th bagi janjang aritmetik ini:

Dalam kata lain:

Cuba cari secara bebas dengan cara ini nilai ahli janjang aritmetik ini.

dikira? Bandingkan penyertaan anda dengan jawapan:

Perhatikan bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah ahli janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya secara berturut-turut.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - kami membawanya ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik sama ada meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula berfungsi dalam penurunan dan peningkatan janjang aritmetik.
Cuba cari sendiri ahli -th dan -th bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Biarkan, a, kemudian:

Mari kita nyatakan istilah yang dikehendaki bagi janjang aritmetik sebagai, kita tahu formula untuk mencarinya - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

ahli kemajuan sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita jumlahkan ahli perkembangan sebelumnya dan seterusnya:

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari kita betulkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, kerana ia tidak sukar sama sekali.

Sekarang jawab, berapa banyak pasangan sebegitu yang akan ada dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang sama, kita dapati bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah, kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan kemajuan. Cuba gantikan dalam formula jumlah, formula ahli ke.
Apa yang kamu dapat?

Bagus! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor bermula dari -th, dan jumlah nombor bermula dari -th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss ternyata bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu cara anda membuat keputusan?

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan mencangkung dalam beberapa minggu jika dia melakukan squats pada latihan pertama.
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan balak, penebang kayu menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak.

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu mencangkung sekali sehari.
Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Walau bagaimanapun, bilangan nombor ganjil dalam separuh, semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari ahli ke-- bagi janjang aritmetik:
Nombor itu memang mengandungi nombor ganjil.
Kami menggantikan data yang tersedia ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama dengan.
Ingat kembali masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, terdapat hanya sekumpulan lapisan, iaitu.
Gantikan data dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Menjumlahkan

- urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia semakin meningkat dan semakin berkurangan.
Mencari formula ahli ke atas suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di mana - bilangan nombor dalam janjang.
Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. TAHAP PURATA

Urutan angka

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Urutan angka ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-- bagi jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika ahli -th bagi jujukan boleh diberikan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah -th, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang dengan menggunakan formula sedemikian, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apakah formulanya?

Dalam setiap baris, kami menambah, didarab dengan beberapa nombor. Untuk apa? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih selesa sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Dan apakah perbezaannya? Dan inilah yang:

(lagipun, ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan ahli berturut-turut perkembangan).

Jadi formulanya ialah:

Maka sebutan keseratus ialah:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari hasil tambah semua gandaan dua digit.

Penyelesaian:

Formula untuk sebutan ke- untuk janjang ini ialah:

Berapakah bilangan dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari 1m lebih daripada hari sebelumnya. Berapa kilometer dia akan berlari dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang penunggang basikal menunggang lebih banyak batu setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu memandu untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan itu?
Harga peti sejuk di kedai dikurangkan dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan:, ia adalah perlu untuk mencari.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya.
Mari kita hitung jarak yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula sebutan ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Ini ialah urutan berangka di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Formula untuk mencari ahli ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis sebagai formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia memudahkan untuk mencari ahli janjang jika ahli jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah ahli sesuatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.