Luas rombus ialah hasil daripada pepenjuru. Empat formula untuk mengira luas rombus

Rombus ialah kes khas segi empat selari. Ia adalah rajah empat segi empat rata di mana semua sisi adalah sama. Sifat ini menentukan bahawa belah ketupat mempunyai sisi bertentangan yang selari dan sudut bertentangan yang sama. Diagonal rombus bersilang pada sudut tepat, titik persilangan mereka berada di tengah setiap pepenjuru, dan sudut dari mana mereka keluar dibahagikan kepada separuh. Iaitu, mereka adalah pepenjuru bagi rombus ialah pembahagi dua sudut. Berdasarkan definisi di atas dan sifat-sifat yang disenaraikan bagi rombus, luasnya boleh ditentukan dengan pelbagai cara.

1. Jika kedua-dua pepenjuru rombus AC dan BD diketahui, maka luas rombus boleh ditentukan sebagai separuh hasil darab pepenjuru.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

dengan AC, BD ialah panjang pepenjuru rombus.

Untuk memahami mengapa demikian, anda boleh menulis segi empat tepat dalam rombus secara mental dengan cara yang sisi yang kedua berserenjang dengan pepenjuru rombus. Ia menjadi jelas bahawa luas rombus akan sama dengan separuh luas segi empat tepat yang ditulis dengan cara ini ke dalam rombus, panjang dan lebarnya akan sepadan dengan saiz pepenjuru rombus.

2. Dengan analogi dengan parallelepiped, luas rombus boleh didapati sebagai hasil darab sisinya, dengan ketinggian serenjang dari sisi bertentangan diturunkan ke sisi yang diberikan.

S = a ∙ h

di mana a ialah sisi rombus;
h ialah ketinggian serenjang yang dijatuhkan ke sisi yang diberi.

3. Luas rombus juga sama dengan segi empat sama sisinya didarab dengan sinus sudut α.

S = a2 ∙ dosa α

di mana, a ialah sisi rombus;
α ialah sudut antara sisi.

4. Juga, luas rombus boleh didapati melalui sisinya dan jejari bulatan yang tertulis di dalamnya.

S=2 ∙ a ∙ r

di mana, a ialah sisi rombus;
r ialah jejari bulatan yang tertulis dalam rombus.

Fakta menarik
Perkataan rombus berasal dari bahasa Yunani kuno rombus, yang bermaksud "tamborin". Pada zaman itu, rebana benar-benar mempunyai bentuk berlian, dan tidak bulat, seperti yang biasa kita lihat pada masa sekarang. Sejak itu, nama saman kad "tamborin" juga berlaku. Ketupat yang sangat meluas dari pelbagai jenis digunakan dalam heraldik.

Ketupat ialah satu angka khas dalam geometri. Oleh kerana sifat istimewanya, tidak ada satu, tetapi beberapa formula yang mengira luas rombus. Apakah sifat-sifat ini dan apakah formula yang paling biasa untuk mencari luas angka ini wujud? Mari kita fikirkan.

Apakah rajah geometri yang dipanggil rombus

Sebelum mengetahui apakah luas rombus itu, adalah wajar mengetahui jenis angka itu.

Sejak zaman geometri Euclidean, belah ketupat telah dipanggil segiempat simetri, keempat-empat sisinya adalah sama panjang dan selari secara berpasangan.

Asal usul istilah

Nama tokoh ini datang ke kebanyakan bahasa moden dari Yunani, melalui pengantaraan Latin. "Leluhur" perkataan "Rhombus" ialah kata nama Yunani ῥόμβος (tamborin). Walaupun penduduk abad kedua puluh, terbiasa dengan tamborin bulat, sukar untuk membayangkannya dalam bentuk yang berbeza, tetapi di kalangan orang Hellene alat muzik ini secara tradisinya dibuat bukan dalam bentuk bulat, tetapi dalam bentuk berlian.

Dalam kebanyakan bahasa moden, istilah matematik ini digunakan, seperti dalam bahasa Latin: rombus. Walau bagaimanapun, dalam bahasa Inggeris, berlian kadang-kadang dipanggil berlian (berlian atau berlian). Angka ini menerima nama samaran sedemikian kerana bentuknya yang istimewa, mengingatkan batu berharga. Sebagai peraturan, istilah yang sama tidak digunakan untuk semua rombus, tetapi hanya untuk mereka yang sudut persilangan dua sisinya ialah enam puluh atau empat puluh lima darjah.

Buat pertama kali angka ini disebut dalam tulisan ahli matematik Yunani yang hidup pada abad pertama era baru - Heron of Alexandria.

Apakah sifat bagi rajah geometri ini

Untuk mencari luas belah ketupat, anda perlu terlebih dahulu mengetahui ciri-ciri yang ada pada rajah geometri tertentu.

Dalam keadaan apakah segi empat selari ialah rombus?

Seperti yang anda ketahui, setiap rombus ialah segi empat selari, tetapi tidak setiap segi empat selari ialah rombus. Untuk menegaskan dengan tepat bahawa rajah yang dibentangkan sememangnya rombus, dan bukan selari yang mudah, ia mesti sepadan dengan salah satu daripada tiga ciri utama yang membezakan rombus. Atau ketiga-tiganya sekali gus.

1. Diagonal bagi segi empat selari bersilang pada sudut sembilan puluh darjah.
2. Diagonal membahagikan sudut kepada dua, bertindak sebagai pembahagi duanya.
3. Bukan sahaja selari, tetapi juga sisi bersebelahan mempunyai panjang yang sama. Ini, dengan cara ini, adalah salah satu perbezaan utama antara rombus dan segi empat selari, kerana angka kedua hanya mempunyai sisi selari yang sama panjangnya, tetapi bukan yang bersebelahan.

Dalam keadaan apakah belah ketupat ialah segi empat sama?

Mengikut sifatnya, dalam beberapa kes, belah ketupat boleh menjadi segi empat sama secara serentak. Untuk mengesahkan kenyataan ini secara visual, cukup dengan memutarkan segi empat sama ke mana-mana arah sebanyak empat puluh lima darjah. Angka yang dihasilkan akan menjadi rombus, setiap sudutnya sama dengan sembilan puluh darjah.

Juga, untuk mengesahkan bahawa segi empat sama ialah rombus, anda boleh membandingkan tanda-tanda angka ini: dalam kedua-dua kes, semua sisi adalah sama, dan pepenjuru adalah pembahagi dua dan bersilang pada sudut sembilan puluh darjah.

Bagaimana untuk mencari luas rombus menggunakan pepenjurunya

Di dunia moden, di Internet anda boleh menemui hampir semua bahan untuk melakukan pengiraan yang diperlukan. Oleh itu, terdapat banyak sumber yang dilengkapi dengan program untuk mengira secara automatik kawasan angka tertentu. Lebih-lebih lagi, jika (seperti dalam kes rombus) terdapat beberapa formula untuk ini, maka anda boleh memilih mana yang paling mudah digunakan. Walau bagaimanapun, pertama sekali, anda sendiri perlu dapat mengira luas rombus tanpa bantuan komputer dan menavigasi formula. Terdapat banyak daripada mereka untuk ketupat, tetapi yang paling terkenal daripada mereka adalah empat.

Salah satu cara yang paling mudah dan paling biasa untuk mengetahui luas angka ini adalah jika anda mempunyai maklumat tentang panjang pepenjurunya. Jika masalah mempunyai data ini, dalam kes ini, anda boleh menggunakan formula berikut untuk mencari luas: S = KM x LN / 2 (KM dan LN ialah pepenjuru bagi rombus KLMN).

Anda boleh menyemak kesahihan formula ini dalam amalan. Katakan rombus KLMN mempunyai panjang salah satu pepenjurunya KM - 10 cm, dan LN kedua - 8 cm Kemudian kami menggantikan data ini ke dalam formula di atas, dan kami mendapat hasil berikut: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formula untuk mengira luas segi empat selari

Ada formula lain. Seperti yang dinyatakan di atas dalam definisi rombus, ia bukan hanya segiempat, tetapi juga selari, dan mempunyai semua ciri angka ini. Dalam kes ini, untuk mencari kawasannya, agak dinasihatkan untuk menggunakan formula yang digunakan untuk segi empat selari: S \u003d KL x Z. Dalam kes ini, KL ialah panjang sisi segi empat selari (rombus), dan Z ialah panjang ketinggian yang dilukis ke sisi ini.

Dalam beberapa masalah, panjang sisi tidak diberikan, tetapi perimeter rombus diketahui. Oleh kerana formula untuk mencarinya telah ditunjukkan di atas, ia juga boleh digunakan untuk mengetahui panjang sisi. Jadi, perimeter rajah itu ialah 10 cm Panjang sisi boleh didapati dengan menyongsangkan formula perimeter dan membahagikan 10 dengan 4. Hasilnya ialah 2.5 cm - ini ialah panjang sisi yang dikehendaki bagi rombus.

Sekarang patut cuba menggantikan nombor ini ke dalam formula, mengetahui bahawa panjang ketinggian yang dilukis ke sisi juga 2.5 cm. Sekarang mari cuba masukkan nilai ini ke dalam formula di atas untuk luas \u200b\ u200b segi empat selari. Ternyata luas belah ketupat ialah S = 2.5 x 2.5 = 6.25 cm 2.

Cara lain untuk mengira luas rombus

Mereka yang telah menguasai sinus dan kosinus boleh menggunakan formula yang mengandunginya untuk mencari luas rombus. Contoh klasik ialah formula berikut: S = KM 2 x Sin KLM. Dalam kes ini, luas rajah adalah sama dengan hasil darab kedua-dua belah rombus, didarab dengan sinus sudut di antara mereka. Dan kerana dalam rombus semua sisi adalah sama, lebih mudah untuk segera membuat satu sisi menjadi segi empat sama, seperti yang ditunjukkan dalam formula.

Kami menyemak skema ini dalam amalan, dan bukan hanya ke belah ketupat, tetapi ke segi empat sama, di mana, seperti yang anda ketahui, semua sudut adalah betul, yang bermaksud ia sama dengan sembilan puluh darjah. Katakan salah satu sisi ialah 15 cm. Ia juga diketahui bahawa sinus sudut 90 ° adalah sama dengan satu. Kemudian, mengikut formula, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

Sebagai tambahan kepada perkara di atas, dalam beberapa kes, formula lain digunakan, menggunakan sinus untuk menentukan luas rombus: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. Dalam versi ini, jejari bulatan yang tertulis dalam rombus digunakan. Ia dinaikkan kepada kuasa segi empat sama dan didarab dengan empat. Dan keseluruhan hasil dibahagikan dengan sinus sudut bersebelahan dengan angka yang tertulis.

Sebagai contoh, untuk kesederhanaan pengiraan, mari kita ambil segi empat sama sekali lagi (sinus sudutnya akan sentiasa sama dengan satu). Jejari bulatan yang tertulis di dalamnya ialah 4.4 cm. Kemudian luas rombus akan dikira seperti berikut: S \u003d 4 x 4.4 2 / Sin 90 ° \u003d 77.44 cm 2

Formula di atas untuk mencari jejari rombus adalah jauh dari satu-satunya jenisnya, tetapi ia adalah yang paling mudah untuk difahami dan melakukan pengiraan.

Apa itu Rhombus? Rombus ialah segi empat selari dengan semua sisi sama.

Ketupat, angka pada satah, segiempat dengan sisi yang sama. Ketupat ialah kes khas SELARI, di mana sama ada dua sisi bersebelahan adalah sama, atau pepenjuru bersilang pada sudut tepat, atau pepenjuru membelah sudut. Rombus dengan sudut tegak dipanggil segi empat sama.

Formula klasik untuk luas rombus ialah pengiraan nilai melalui ketinggian. Luas rombus adalah sama dengan hasil darab sisi dan tinggi yang dilukis pada sisi itu.

1. Luas rombus adalah sama dengan hasil darab sisi dan ketinggian yang dilukis pada sisi ini:

\[ S = a \cdot h \]

2. Jika sisi rombus diketahui (semua sisi rombus adalah sama) dan sudut antara sisi, maka luasnya boleh dicari menggunakan formula berikut:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Luas rombus juga sama dengan produk separuh pepenjuru, iaitu:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Jika jejari r bulatan yang tertulis dalam rombus diketahui, dan sisi rombus a, maka luasnya dikira dengan formula:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Sifat Ketupat

Dalam gambar di atas, \(ABCD \) ialah berlian, \(AC = DB = CD = AD \) . Memandangkan rombus ialah segi empat selari, ia mempunyai semua sifat segi empat selari, tetapi terdapat juga sifat yang unik kepada rombus.

Satu bulatan boleh ditulis dalam mana-mana belah ketupat. Pusat bulatan yang ditulis dalam rombus ialah titik persilangan pepenjurunya. Jejari bulatan sama dengan separuh ketinggian rombus:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Sifat Ketupat

Diagonal rombus adalah berserenjang;

Diagonal bagi rombus ialah pembahagi dua sudutnya.

Tanda-tanda rombus

Jajaran selari yang pepenjurunya bersilang pada sudut tepat ialah rombus;

Sebuah segi empat selari yang pepenjurunya ialah pembahagi dua sudutnya ialah rombus.

Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Kawalan ActiveX mesti didayakan untuk membuat pengiraan!

- ini ialah segi empat selari, di mana semua sisi adalah sama, maka semua formula yang sama digunakan untuknya seperti segi empat selari, termasuk formula untuk mencari kawasan melalui hasil darab ketinggian dan sisi.

Luas rombus boleh didapati dengan juga mengetahui pepenjurunya. Diagonal membahagikan belah ketupat kepada empat segi tiga tepat yang sama. Jika kita menyusunnya untuk mendapatkan segi empat tepat, maka panjang dan lebarnya akan sama dengan satu pepenjuru keseluruhan dan separuh pepenjuru kedua. Oleh itu, luas rombus ditemui dengan mendarab pepenjuru rombus, dikurangkan dengan dua (sebagai luas segi empat tepat yang terhasil).

Jika hanya sudut dan sisi yang tersedia, maka anda boleh melengkapkan diri anda dengan pepenjuru sebagai pembantu dan melukisnya bertentangan dengan sudut yang diketahui. Kemudian dia akan membahagikan belah ketupat kepada dua segi tiga yang kongruen, kawasan yang jumlahnya akan memberi kita luas belah ketupat. Luas setiap segi tiga akan sama dengan separuh hasil darab segiempat sama sisi dan sinus sudut yang diketahui, sebagai luas segi tiga sama kaki. Oleh kerana terdapat dua segi tiga sedemikian, pekali dibatalkan, hanya meninggalkan sisi ke darjah kedua dan sinus:

Jika bulatan ditulis di dalam rombus, maka jejarinya akan merujuk kepada sisi pada sudut 90 °, yang bermaksud bahawa dua kali jejari akan sama dengan ketinggian rombus. Menggantikan daripada ketinggian h=2r dalam formula sebelumnya, kita mendapat luas S=ha=2ra

Jika, bersama-sama dengan jejari bulatan yang tertulis, bukan sisi, tetapi sudut, diberikan, maka anda mesti terlebih dahulu mencari sisi dengan melukis ketinggian sedemikian rupa untuk mendapatkan segitiga bersudut tegak dengan sudut tertentu. Kemudian sisi a boleh didapati daripada hubungan trigonometri dengan formula . Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula standard yang sama untuk kawasan rombus, ternyata

Rhombus (dari bahasa Yunani kuno ῥόμβος dan dari bahasa Latin rombus "tamborin") ialah segi empat selari, yang dicirikan oleh kehadiran sisi yang sama panjang. Dalam kes apabila sudut adalah 90 darjah (atau sudut tepat), angka geometri sedemikian dipanggil segi empat sama. Ketupat ialah rajah geometri, sejenis segi empat. Ia boleh menjadi segi empat sama dan segi empat selari.

Asal usul istilah

Mari kita bercakap sedikit tentang sejarah tokoh ini, yang akan membantu untuk mendedahkan sedikit rahsia misteri dunia purba. Perkataan biasa untuk kita, sering dijumpai dalam kesusasteraan sekolah, "rhombus", berasal dari perkataan Yunani kuno "tamborin". Di Yunani kuno, alat muzik ini dibuat dalam bentuk rombus atau persegi (berbanding dengan lekapan moden). Pasti anda perasan bahawa sut kad - rebana - mempunyai bentuk rombik. Pembentukan sut ini bermula sejak zaman berlian bulat tidak digunakan dalam kehidupan seharian. Oleh itu, belah ketupat adalah tokoh sejarah tertua yang dicipta oleh manusia jauh sebelum kemunculan roda.

Buat pertama kalinya, perkataan seperti "rhombus" digunakan oleh personaliti terkenal seperti Heron dan Pope Alexandria.

Sifat Ketupat

1. Oleh kerana sisi rombus bertentangan antara satu sama lain dan selari berpasangan, rombus sudah pasti ialah segiempat selari (AB || CD, AD || BC).
2. pepenjuru belah ketupat bersilang pada sudut tepat (AC ⊥ BD), dan oleh itu berserenjang. Oleh itu, persilangan membelah pepenjuru.
3. Pembelah dua bagi sudut rombik ialah pepenjuru bagi rombus (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, dsb.).
4. Daripada identiti segiempat selari ia menunjukkan bahawa jumlah semua kuasa dua pepenjuru bagi rombus ialah bilangan segi empat sama sisi, yang didarab dengan 4.

Tanda-tanda rombus

Rombus dalam kes tersebut ialah segi empat selari apabila ia memenuhi syarat berikut:

1. Semua sisi segi empat selari adalah sama.
2. Diagonal rombus bersilang sudut tegak, iaitu, ia berserenjang antara satu sama lain (AC⊥BD). Ini membuktikan peraturan tiga sisi (sisi adalah sama dan berada pada sudut 90 darjah).
3. Diagonal bagi segi empat selari berkongsi sudut sama, kerana sisi adalah sama.

Kawasan ketupat

1. Luas rombus adalah sama dengan bilangan yang merupakan separuh hasil darab semua pepenjurunya.
2. Oleh kerana rombus ialah sejenis segi empat selari, luas rombus (S) ialah bilangan hasil darab sisi segi empat selari dan ketinggiannya (h).
3. Di samping itu, luas rombus boleh dikira menggunakan formula iaitu hasil darab sisi kuasa dua rombus dan sinus sudut. Sinus sudut ialah alfa - sudut antara sisi rombus asal.
4. Formula yang merupakan hasil darab dua kali sudut alfa dan jejari bulatan tersurat (r) dianggap agak boleh diterima untuk penyelesaian yang betul.