Apabila anda mula belajar punca kuasa dua dan cara menyelesaikannya persamaan tidak rasional(persamaan yang mengandungi yang tidak diketahui di bawah tanda akar), anda mungkin mendapat idea pertama tentangnya kegunaan praktikal. Keupayaan untuk mengekstrak Punca kuasa dua bilangan nombor juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah mengenai aplikasi teorem Pythagoras. Teorem ini mengaitkan panjang sisi mana-mana segi tiga tegak.

Biarkan panjang kaki segi tiga tegak (dua sisi yang menumpu pada sudut tegak) dilambangkan dengan huruf dan , dan panjang hipotenus (sisi terpanjang segitiga bertentangan sudut tepat) akan dilambangkan dengan huruf . Kemudian panjang yang sepadan dikaitkan dengan hubungan berikut:

Persamaan ini membolehkan anda mencari panjang sisi segi tiga tepat dalam kes apabila panjang dua sisi yang lain diketahui. Di samping itu, ia membolehkan anda untuk menentukan sama ada segitiga yang dianggap adalah segi tiga tepat, dengan syarat bahawa panjang semua tiga pihak diketahui terlebih dahulu.

Menyelesaikan masalah menggunakan teorem Pythagoras

Untuk menyatukan bahan, kami akan menyelesaikan masalah berikut untuk aplikasi teorem Pythagoras.

Jadi diberikan:

1. Panjang salah satu kaki ialah 48, hipotenus ialah 80.
2. Panjang kaki ialah 84, hipotenus ialah 91.

Mari kita dapatkan penyelesaiannya:

a) Menggantikan data ke dalam persamaan di atas memberikan keputusan berikut:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 atau b = -64

Oleh kerana panjang sisi segitiga tidak dapat dinyatakan nombor negatif, pilihan kedua dibuang secara automatik.

Jawapan untuk gambar pertama: b = 64.

b) Panjang kaki segi tiga kedua didapati dengan cara yang sama:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 atau b = -35

Seperti dalam kes sebelumnya, penyelesaian negatif dibuang.

Jawapan untuk gambar kedua: b = 35

Kami diberi:

1. Panjang sisi segitiga yang lebih kecil ialah 45 dan 55, masing-masing, dan yang lebih besar ialah 75.
2. Panjang sisi segitiga yang lebih kecil ialah 28 dan 45, masing-masing, dan yang lebih besar ialah 53.

Kami menyelesaikan masalah:

a) Adalah perlu untuk menyemak sama ada jumlah segi empat sama panjang sisi yang lebih kecil bagi segi tiga yang diberikan adalah sama dengan kuasa dua panjang yang lebih besar:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Oleh itu, segitiga pertama bukan segi tiga tegak.

b) Operasi yang sama dilakukan:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Oleh itu, segitiga kedua ialah segi tiga tegak.

Mula-mula kita cari panjangnya segmen terpanjang, dibentuk oleh titik dengan koordinat (-2, -3) dan (5, -2). Untuk ini kami gunakan formula yang diketahui untuk mencari jarak antara titik dalam sistem segi empat tepat koordinat:

Begitu juga, kita dapati panjang segmen yang disertakan di antara titik dengan koordinat (-2, -3) dan (2, 1):

Akhir sekali, kami menentukan panjang segmen antara titik dengan koordinat (2, 1) dan (5, -2):

Oleh kerana terdapat persamaan:

maka segi tiga yang sepadan ialah segi tiga tegak.

Oleh itu, kita boleh merumuskan jawapan kepada masalah itu: kerana jumlah segi empat sama sisi dengan panjang terkecil adalah sama dengan kuasa dua sisi dengan panjang paling besar, titik ialah bucu bagi segi tiga tepat.

Tapak (terletak betul-betul mendatar), jamb (terletak betul-betul menegak) dan kabel (diregangkan menyerong) membentuk segi tiga tepat, teorem Pythagoras boleh digunakan untuk mencari panjang kabel:

Oleh itu, panjang kabel adalah kira-kira 3.6 meter.

Diberi: jarak dari titik R ke titik P (kaki segitiga) ialah 24, dari titik R ke titik Q (hipotenus) - 26.

Jadi, kami membantu Vitya menyelesaikan masalah tersebut. Oleh kerana sisi segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah sepatutnya membentuk segi tiga tepat, anda boleh menggunakan teorem Pythagoras untuk mencari panjang sisi ketiga:

Jadi, lebar kolam itu ialah 10 meter.

Sergey Valerievich

Teorem Pythagoras

Nasib teorem dan masalah lain adalah pelik... Bagaimanakah seseorang boleh menjelaskan, sebagai contoh, perhatian yang luar biasa daripada ahli matematik dan ahli matematik kepada teorem Pythagoras? Mengapa ramai daripada mereka belum berpuas hati bukti yang diketahui, tetapi mendapati mereka sendiri, membawa jumlah bukti kepada beberapa ratus dalam dua puluh lima abad yang boleh dilihat secara perbandingan?
Bila kita bercakap tentang teorem Pythagoras, yang luar biasa sudah bermula dengan namanya. Adalah dipercayai bahawa bukan Pythagoras yang merumuskannya buat kali pertama. Ia juga meragukan bahawa dia memberikan bukti kepadanya. Jika Pythagoras - muka sebenar(ada juga yang meragui ini!), maka kemungkinan besar dia hidup pada abad ke-6-5. BC e. Dia sendiri tidak menulis apa-apa, dia memanggil dirinya seorang ahli falsafah, yang bermaksud, dalam pemahamannya, "bercita-cita untuk kebijaksanaan", mengasaskan Kesatuan Pythagorean, yang ahlinya terlibat dalam muzik, gimnastik, matematik, fizik dan astronomi. Rupa-rupanya, dia juga seorang pemidato yang hebat, seperti yang dibuktikan oleh legenda berikut yang berkaitan dengan tinggalnya di kota Croton: menggariskan tugas-tugas para pemuda, bahawa para penatua di kota itu meminta untuk tidak meninggalkan mereka tanpa mengajar. Dalam ucapan kedua ini, beliau menunjukkan keabsahan dan kesucian akhlak, sebagai asas keluarga; dalam dua seterusnya dia bercakap kepada kanak-kanak dan wanita. Akibat ucapan terakhir di mana dia terutama mengutuk kemewahan adalah bahawa beribu-ribu pakaian berharga telah dihantar ke kuil Hera, kerana tidak seorang wanita pun berani menunjukkan diri mereka di jalanan lagi ... "Namun begitu, pada abad kedua era kita, iaitu selepas 700 tahun, mereka hidup dan bekerja sepenuhnya orang sebenar, saintis cemerlang yang jelas dipengaruhi oleh kesatuan Pythagorean dan dengan sangat menghormati apa yang, menurut legenda, dicipta oleh Pythagoras.
Ia juga tidak dinafikan bahawa minat dalam teorem disebabkan oleh fakta bahawa ia menduduki salah satu tempat utama dalam matematik, dan oleh kepuasan pengarang bukti yang mengatasi kesukaran, yang mana penyair Rom Quintus Horace Flaccus , yang hidup sebelum zaman kita, berkata dengan baik: “Sukar untuk menyatakan fakta yang diketahui umum” .
Pada mulanya, teorem mewujudkan hubungan antara luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus dan kaki segi tiga tegak:
.
Perumusan algebra:
AT segi tiga tepat segi empat sama panjang hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama panjang kaki.
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas, ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.
Teorem songsang Pythagoras. Untuk setiap trio nombor positif a, b dan c sedemikian rupa
a 2 + b 2 = c 2 , terdapat segi tiga tegak dengan kaki a dan b serta hipotenus c.

Bukti kepada

Pada masa ini dalam sastera saintifik 367 bukti teorem ini telah direkodkan. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Variasi sedemikian hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal ialah: bukti kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segi tiga yang serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
Biarkan ABC ialah segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Lukis ketinggian dari C dan nyatakan tapaknya dengan H. Segitiga ACH serupa dengan segitiga ABC dalam dua sudut.
Begitu juga, segi tiga CBH adalah serupa dengan ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara

Menambah, kita dapat

atau

Bukti kawasan

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemua mereka menggunakan sifat-sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
2. Sisi empat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan sudut lurus ialah 180°.
3. Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, dengan jumlah empat segi tiga dan segi empat sama dalam.



Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Contoh salah satu daripada bukti ini ditunjukkan dalam lukisan di sebelah kanan, di mana segi empat sama yang dibina pada hipotenus ditukar dengan pilih atur kepada dua petak yang dibina pada kaki.

Bukti Euclid

Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama. Pertimbangkan lukisan di sebelah kiri. Kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga bersudut tegak di atasnya dan melukis sinar s dari bucu sudut tegak C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina pada hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ , masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan. Mari kita cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama seperti yang diberikan segi empat tepat sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberikan. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, ia mengikuti bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan), yang, seterusnya, adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK. Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat dengan harta di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: mari kita putar segitiga CAK 90 ° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi dua segi tiga yang sedang dipertimbangkan akan bertepatan (disebabkan oleh fakta bahawa sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°). Hujah tentang kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya. Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus ialah jumlah luas segi empat yang dibina di atas kaki.

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian ialah simetri dan pergerakan.

Pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CI memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (kerana segi tiga ABC dan JHI adalah sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJI dan GDAB. Kini jelas bahawa luas rajah yang dilorek oleh kami adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Teorem Pythagoras- salah satu teorem asas geometri Euclidean, mewujudkan hubungan

antara sisi segi tiga tegak.

Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang dinamakan sempena namanya.

Rumusan geometri teorem Pythagoras.

Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:

Dalam segi tiga tegak, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat sama,

dibina di atas kateter.

Rumusan algebra bagi teorem Pythagoras.

Dalam segi tiga tegak, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki.

Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b:

Kedua-dua formulasi teorem pythagoras adalah setara, tetapi rumusan kedua adalah lebih asas, ia tidak

memerlukan konsep kawasan. Maksudnya, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang kawasan dan

dengan hanya mengukur panjang sisi segi tiga tegak.

Teorem Pythagoras songsang.

Jika segi empat sama satu sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka

segi tiga ialah segi empat tepat.

Atau, dengan kata lain:

Untuk sebarang tiga kali ganda nombor positif a, b dan c, seperti itu

terdapat segi tiga tepat dengan kaki a dan b dan hipotenus c.

Teorem Pythagoras bagi segi tiga sama kaki.

Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama sisi.

Bukti teorem Pythagoras.

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin teorem

Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian sedemikian

hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antara mereka:

bukti kepada kaedah kawasan, aksiomatik dan bukti eksotik(sebagai contoh,

dengan menggunakan persamaan pembezaan).

1. Bukti teorem Pythagoras dari segi segi tiga yang serupa.

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina

terus dari aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.

biarlah ABC terdapat segi tiga bersudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan menandakan

asasnya melalui H.

Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga AB C pada dua penjuru. Begitu juga segi tiga CBH serupa ABC.

Dengan memperkenalkan notasi:

kita mendapatkan:

,

yang sepadan -

Setelah dilipat a 2 dan b 2, kita dapat:

atau , yang perlu dibuktikan.

2. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah luas.

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemuanya

gunakan sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

• Bukti melalui ekuipelengkap.

Susun empat segi empat sama

segi tiga seperti yang ditunjukkan dalam gambar

di sebelah kanan.

Segiempat dengan sisi c- persegi,

kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan

sudut yang dibangunkan ialah 180°.

Luas keseluruhan rajah adalah, di satu pihak,

luas segi empat sama dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, jumlah kawasan empat segi tiga dan

Q.E.D.

3. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah infinitesimal.

​

Memandangkan lukisan yang ditunjukkan dalam rajah, dan

melihat perubahan sisia, kita boleh

tulis hubungan berikut untuk infiniti

kecil kenaikan sampinganDengan dan a(menggunakan persamaan

segi tiga):

Dengan menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati:

Ungkapan yang lebih umum untuk menukar hipotenus dalam kes kenaikan kedua-dua kaki:

menyepadukan persamaan yang diberikan dan menggunakan syarat awal, kita dapat:

Oleh itu, kami sampai pada jawapan yang dikehendaki:

Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh linear

perkadaran antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala hasil tambah adalah berkaitan dengan bebas

sumbangan daripada kenaikan kaki yang berbeza.

Bukti yang lebih mudah boleh diperolehi jika kita mengandaikan bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan

(dalam kes ini kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan kita dapat:

(menurut Papyrus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "string tensioners," membina sudut tegak menggunakan segi tiga tepat dengan sisi 3, 4 dan 5.

Ia sangat mudah untuk menghasilkan semula kaedah pembinaan mereka. Mari kita ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat padanya sepanjang jalur berwarna pada jarak 3 m dari satu hujung dan 4 meter dari hujung yang lain. Sudut tegak akan ditutup di antara sisi 3 dan 4 meter panjang. Ia mungkin membantah Harpedonapts bahawa kaedah pembinaan mereka menjadi berlebihan jika, sebagai contoh, persegi kayu yang digunakan oleh semua tukang kayu digunakan. Malah, lukisan Mesir diketahui di mana alat sedemikian ditemui - contohnya, lukisan yang menggambarkan bengkel pertukangan.

Lebih banyak diketahui tentang teorem Pythagoras di kalangan orang Babylon. Dalam satu teks sejak zaman Hammurabi, iaitu 2000 SM. e. , pengiraan anggaran hipotenus segi tiga tegak diberikan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa di Mesopotamia mereka dapat melakukan pengiraan dengan segi tiga bersudut tegak, sekurang-kurangnya dalam beberapa kes. Berdasarkan, di satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa matematik Mesir dan Babylon, dan sebaliknya, pada kajian kritikal sumber Yunani, van der Waerden (seorang ahli matematik Belanda) menyimpulkan bahawa terdapat kebarangkalian yang tinggi bahawa Teorem segi empat sama hipotenus telah diketahui di India sekitar abad ke-18 SM. e.

Sekitar 400 SM. e., menurut Proclus, Plato memberikan kaedah untuk mencari tiga kali ganda Pythagoras, menggabungkan algebra dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Elemen Euclid mengandungi bukti aksiomatik tertua bagi teorem Pythagoras.

Perkataan

Formulasi geometri:

Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:

Perumusan algebra:

Iaitu, menandakan panjang hipotenus segitiga melalui, dan panjang kaki melalui dan:

Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas, ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.

Teorem Pythagoras songsang:

Bukti kepada

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Variasi sedemikian hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal daripada mereka: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segi tiga yang serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.

biarlah ABC terdapat segi tiga bersudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan nyatakan pangkalannya dengan H. Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga ABC di dua sudut. Begitu juga segi tiga CBH serupa ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara

Menambah, kita dapat

, yang perlu dibuktikan

Bukti kawasan

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemua mereka menggunakan sifat-sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
2. Segiempat dengan sisi c ialah segi empat sama kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90° dan sudut lurus ialah 180°.
3. Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segi tiga dan luas daripada segi empat sama dalam.

Q.E.D.

Bukti Euclid

Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama.

Pertimbangkan lukisan di sebelah kiri. Kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga bersudut tegak di atasnya dan melukis sinar s dari bucu sudut tegak C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina pada hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ , masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan.

Mari kita cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama seperti yang diberikan segi empat tepat sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberikan. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, ia mengikuti bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan), yang, seterusnya, adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK.

Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat dengan harta di atas). Kesamaan ini jelas: segi tiga adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK, AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: mari kita putar segitiga CAK 90 ° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga yang dianggap akan bertepatan. (disebabkan oleh fakta bahawa sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°).

Hujah tentang kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya.

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus ialah jumlah luas segi empat yang dibina di atas kaki. Idea bukti ini diilustrasikan lagi dengan animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian ialah simetri dan pergerakan.

Pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen memotong segi empat sama kepada dua bahagian yang sama (sejak segi tiga dan sama dalam pembinaan).

Dengan menggunakan putaran lawan jam 90 darjah di sekeliling titik , kita melihat kesamaan angka berlorek dan .

Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak kecil (dibina pada kaki) dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia sama dengan separuh luas segi empat sama besar (dibina pada hipotenus) ditambah dengan luas segi tiga asal. Oleh itu, separuh jumlah luas segi empat sama kecil adalah sama dengan separuh luas segi empat sama besar, dan oleh itu jumlah luas segi empat sama yang dibina di atas kaki adalah sama dengan luas segi empat sama yang dibina. pada hipotenus.

Bukti dengan kaedah paling kecil

Bukti berikut melalui persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan yang terkenal ahli matematik Inggeris Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.

Mengambil kira lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan memerhatikan perubahan di sebelah a, kita boleh menulis hubungan berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil Dengan dan a(menggunakan segi tiga yang serupa):

Menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati

Ungkapan yang lebih umum untuk menukar hipotenus dalam kes kenaikan kedua-dua kaki

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan keadaan awal, kami memperoleh

Oleh itu, kita sampai pada jawapan yang dikehendaki

Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh perkadaran linear antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala jumlahnya adalah disebabkan oleh sumbangan bebas daripada kenaikan kaki yang berbeza.

Bukti yang lebih mudah boleh diperolehi jika kita menganggap bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam kes ini, kaki). Kemudian untuk pemalar penyepaduan yang kita dapat

Variasi dan Generalisasi

Bentuk geometri yang serupa pada tiga sisi

Generalisasi untuk segi tiga yang serupa, luas angka hijau A + B = luas biru C

Teorem Pythagoras menggunakan segi tiga tepat serupa

Generalisasi teorem Pythagoras telah dibuat oleh Euclid dalam karyanya Permulaan, memperluaskan kawasan segi empat sama pada sisi ke kawasan yang serupa bentuk geometri :

Jika kita membina angka geometri yang serupa (lihat geometri Euclidean) pada sisi segi tiga tepat, maka jumlah dua angka yang lebih kecil akan sama dengan luas angka yang lebih besar.

Idea utama generalisasi ini adalah bahawa luas rajah geometri sedemikian adalah berkadar dengan kuasa dua mana-mana dimensi linearnya dan, khususnya, dengan kuasa dua panjang mana-mana sisi. Oleh itu, untuk angka yang sama dengan kawasan A, B dan C dibina pada sisi dengan panjang a, b dan c, kami ada:

Tetapi, menurut teorem Pythagoras, a 2 + b 2 = c 2, kemudian A + B = C.

Sebaliknya, jika kita boleh membuktikannya A + B = C untuk tiga angka geometri yang serupa tanpa menggunakan teorem Pythagoras, maka kita boleh membuktikan teorem itu sendiri, bergerak ke arah terbalik. Sebagai contoh, segitiga pusat permulaan boleh digunakan semula sebagai segi tiga C pada hipotenus, dan dua segi tiga tepat serupa ( A dan B) dibina pada dua sisi yang lain, yang terbentuk hasil pembahagian segi tiga pusat dengan ketinggiannya. Jumlah dua kawasan segitiga yang lebih kecil kemudiannya jelas sama dengan luas ketiga, oleh itu A + B = C dan, berikutan bukti sebelumnya dalam susunan terbalik, kita mendapat teorem Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 .

Teorem kosinus

Teorem Pythagoras ialah kes istimewa lebih teorem am kosinus, yang mengaitkan panjang sisi dalam segitiga arbitrari:

di mana θ ialah sudut antara sisi a dan b.

Jika θ ialah 90 darjah maka cos θ = 0 dan formula dipermudahkan kepada teorem Pythagoras biasa.

Segitiga sewenang-wenangnya

Ke mana-mana sudut pilihan bagi segi tiga sewenang-wenangnya dengan sisi a, b, c tulis segi tiga sama kaki sedemikian rupa sehingga sudut yang sama pada tapaknya, θ menyamai sudut yang dipilih. Mari kita andaikan bahawa sudut θ yang dipilih terletak bertentangan dengan sisi yang ditunjukkan c. Akibatnya, kami mendapat segitiga ABD dengan sudut θ, yang terletak bertentangan dengan sisi a dan parti r. Segitiga kedua dibentuk oleh sudut θ, yang bertentangan dengan sisi b dan parti Dengan panjang s, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Thabit Ibn Qurra menyatakan bahawa sisi-sisi dalam tiga segi tiga ini adalah berkaitan seperti berikut:

Apabila sudut θ menghampiri π/2, tapaknya segi tiga sama kaki berkurangan, dan kedua-dua belah r dan s bertindih antara satu sama lain semakin kurang. Apabila θ = π/2, ADB bertukar menjadi segi tiga tegak, r + s = c dan kita mendapat teorem Pythagoras awal.

Mari kita lihat salah satu hujah. Segi tiga ABC mempunyai sudut yang sama dengan segi tiga ABD, tetapi dalam susunan terbalik. (Kedua-dua segi tiga mempunyai sudut sepunya pada bucu B, kedua-duanya mempunyai sudut θ, dan juga mempunyai sudut ketiga yang sama, dengan jumlah sudut segi tiga) Sehubungan itu, ABC adalah serupa dengan pantulan ABD bagi segi tiga DBA, seperti yang ditunjukkan dalam rajah bawah. Mari kita tulis hubungan antara sisi bertentangan dan bersebelahan dengan sudut θ,

Begitu juga pantulan segitiga yang lain,

Darabkan pecahan dan tambah dua nisbah ini:

Q.E.D.

Generalisasi untuk segi tiga arbitrari melalui segi empat selari

Generalisasi untuk segi tiga sewenang-wenangnya,
kawasan hijau plot = kawasan biru

Bukti tesis bahawa dalam rajah di atas

Mari kita buat generalisasi lanjut untuk segi tiga bukan segi empat tepat, menggunakan segi empat selari pada tiga sisi dan bukannya segi empat sama. (petak adalah kes khas.) Angka atas menunjukkan bahawa untuk segi tiga akut luas segi empat selari pada sisi panjang adalah sama dengan jumlah segiempat selari pada dua sisi yang lain, dengan syarat bahawa segi empat selari pada sisi panjang dibina seperti yang ditunjukkan dalam rajah (dimensi yang ditandakan dengan anak panah adalah sama dan tentukan sisi segiempat selari bawah). Penggantian segi empat sama dengan segi empat selari ini mempunyai persamaan yang jelas dengan teorem Pythagoras awal dan dipercayai telah dirumuskan oleh Pappus dari Alexandria pada 4 CE. e.

Angka bawah menunjukkan kemajuan bukti. Mari lihat bahagian kiri segi tiga. Jajaran selari hijau kiri mempunyai luas yang sama dengan sisi kiri segi empat selari biru kerana mereka mempunyai tapak yang sama b dan ketinggian h. Juga, kotak hijau kiri mempunyai kawasan yang sama dengan kotak hijau kiri dalam gambar atas kerana mereka mempunyai titik persamaan(atas sebelah kiri segi tiga) dan jumlah ketinggian yang berserenjang dengan sisi segi tiga itu. Berhujah yang sama untuk sisi kanan segi tiga, kami membuktikan bahawa segi empat selari bawah mempunyai luas yang sama dengan dua segi empat selari hijau.

Nombor kompleks

Teorem Pythagoras digunakan untuk mencari jarak antara dua titik dalam sistem koordinat Cartes, dan teorem ini benar untuk semua koordinat sebenar: jarak s antara dua titik ( a, b) dan ( c, d) sama

Tiada masalah dengan formula jika nombor kompleks dianggap sebagai vektor dengan komponen sebenar x + saya y = (x, y). . Sebagai contoh, jarak s antara 0 + 1 i dan 1 + 0 i hitung sebagai modulus vektor (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), atau

Walau bagaimanapun, untuk operasi dengan vektor dengan koordinat kompleks, adalah perlu untuk membuat penambahbaikan tertentu kepada formula Pythagoras. Jarak antara titik dengan nombor kompleks (a, b) dan ( c, d); a, b, c, dan d semuanya kompleks, kami rumuskan menggunakan nilai mutlak. Jarak s berdasarkan perbezaan vektor (a − c, b − d) dalam borang berikut: biarkan perbezaan a − c = hlm+i q, di mana hlm adalah bahagian sebenar perbezaan, q ialah bahagian khayalan, dan i = √(−1). Begitu juga, biarkan b − d = r+i s. Kemudian:

di manakah konjugat kompleks bagi . Sebagai contoh, jarak antara titik (a, b) = (0, 1) dan (c, d) = (i, 0) , kira bezanya (a − c, b − d) = (−i, 1) dan hasilnya akan menjadi 0 jika konjugat kompleks tidak digunakan. Oleh itu, menggunakan formula yang dipertingkatkan, kita dapat

Modul ditakrifkan seperti ini:

Stereometri

Generalisasi penting teorem Pythagoras untuk ruang tiga dimensi ialah teorem de Gua, dinamakan sempena J.-P. de Gua: jika tetrahedron mempunyai sudut tegak (seperti dalam kubus), maka segi empat sama luas muka yang bertentangan dengan sudut tepat adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kawasan tiga muka yang lain. Kesimpulan ini boleh diringkaskan sebagai " n-teorem Pythagoras dimensi":

Teorem Pythagoras ruang tiga dimensi menghubungkan AD pepenjuru dengan tiga sisi.

Satu lagi generalisasi: Teorem Pythagoras boleh digunakan untuk stereometri dalam bentuk berikut. Pertimbangkan kuboid, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Cari panjang pepenjuru BD menggunakan teorem Pythagoras:

di mana tiga sisi membentuk segi tiga tepat. Gunakan pepenjuru mendatar BD dan tepi menegak AB untuk mencari panjang pepenjuru AD, sekali lagi menggunakan teorem Pythagoras:

atau, jika semuanya ditulis dalam satu persamaan:

Keputusan ini ialah ungkapan 3D untuk menentukan magnitud vektor v(AD pepenjuru) dinyatakan dari segi komponen serenjangnya ( v k) (tiga sisi yang saling berserenjang):

Persamaan ini boleh dilihat sebagai generalisasi teorem Pythagoras untuk ruang berbilang dimensi. Walau bagaimanapun, hasilnya sebenarnya tidak lebih daripada penggunaan berulang teorem Pythagoras kepada urutan segi tiga tegak dalam satah berserenjang berturut-turut.

ruang vektor

Dalam kes sistem vektor ortogon, kesamaan berlaku, yang juga dipanggil teorem Pythagoras:

Jika ialah unjuran vektor ke paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean - dan bermakna panjang vektor adalah sama dengan punca jumlah persegi segi empat sama komponennya.

Analog persamaan ini dalam kes itu sistem yang tidak berkesudahan vektor dipanggil kesamaan Parseval.

Geometri bukan Euclidean

Teorem Pythagoras diperoleh daripada aksiom geometri Euclidean dan, sebenarnya, tidak sah untuk geometri bukan Euclidean, dalam bentuk yang ditulis di atas. (Iaitu, teorem Pythagoras ternyata menjadi sejenis setara dengan postulat keselarian Euclid) Dalam erti kata lain, dalam geometri bukan Euclidean, nisbah antara sisi segi tiga semestinya akan dalam bentuk yang berbeza daripada teorem Pythagoras . Contohnya, dalam geometri sfera, ketiga-tiga sisi segi tiga tegak (katakan a, b dan c) yang mengikat oktan (perlapan) sfera unit mempunyai panjang π/2, yang bercanggah dengan teorem Pythagoras kerana a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Pertimbangkan di sini dua kes geometri bukan Euclidean - geometri sfera dan hiperbolik; dalam kedua-dua kes, bagi ruang Euclidean untuk segi tiga tegak, keputusan yang menggantikan teorem Pythagoras mengikuti daripada teorem kosinus.

Walau bagaimanapun, teorem Pythagoras kekal sah untuk geometri hiperbolik dan eliptik jika keperluan bahawa segi tiga itu bersudut tegak digantikan dengan syarat bahawa jumlah dua sudut segitiga mestilah sama dengan yang ketiga, katakan. A+B = C. Kemudian nisbah antara sisi kelihatan seperti ini: jumlah kawasan bulatan dengan diameter a dan b sama dengan luas bulatan dengan diameter c.

geometri sfera

Untuk sebarang segi tiga tepat pada sfera dengan jejari R(contohnya, jika sudut γ dalam segi tiga adalah betul) dengan sisi a, b, c hubungan antara pihak akan kelihatan seperti ini:

Persamaan ini boleh diperolehi sebagai kes khas teorem kosinus sfera, yang sah untuk semua segi tiga sfera:

di mana kosh ialah kosinus hiperbolik. Formula ini ialah kes khas teorem kosinus hiperbolik, yang sah untuk semua segi tiga:

di mana γ ialah sudut yang bucunya bertentangan dengan sisi c.

di mana g ij dipanggil tensor metrik. Ia boleh menjadi fungsi kedudukan. Ruang lengkung tersebut termasuk geometri Riemannian sebagai contoh umum. Rumusan ini juga sesuai untuk ruang Euclidean apabila menggunakan koordinat curvilinear. Sebagai contoh, untuk koordinat kutub:

produk vektor

Teorem Pythagoras menghubungkan dua ungkapan untuk magnitud produk vektor. Satu pendekatan untuk mentakrifkan hasil silang memerlukan ia memenuhi persamaan:

formula ini menggunakan produk titik. Bahagian kanan persamaan dipanggil penentu Gram untuk a dan b, yang sama dengan luas segi empat selari yang dibentuk oleh kedua-dua vektor ini. Berdasarkan keperluan ini, serta keperluan bahawa produk vektor berserenjang dengan komponennya a dan b ia berikutan bahawa, kecuali untuk kes remeh ruang 0 dan 1 dimensi, produk vektor hanya ditakrifkan dalam tiga dan tujuh dimensi. Kami menggunakan definisi sudut dalam n-ruang dimensi:

sifat produk vektor ini memberikan nilainya dalam bentuk berikut:

Melalui asas identiti trigonometri Pythagoras, kita mendapat bentuk penulisan yang berbeza nilainya:

Pendekatan alternatif untuk mentakrifkan produk silang menggunakan ungkapan untuk magnitudnya. Kemudian, berhujah dalam susunan terbalik, kami memperoleh sambungan dengan produk skalar:

lihat juga

Nota

1. Topik sejarah: Teorem Pythagoras dalam matematik Babylon
2. ( , ms 351) ms 351
3. ( , Jilid I, hlm. 144)
4. Perbincangan fakta sejarah diberikan dalam (, ms 351) ms 351
5. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "Penemuan Incommensurability oleh Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Siri Kedua(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "The story with knots", M., Mir, 1985, hlm. 7
7. Asger Aaboe Episod dari sejarah awal matematik. - Persatuan Matematik Amerika, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Proposisi Pythagoras oleh Elisha Scott Loomis
9. milik Euclid elemen: Buku VI, Proposisi VI 31: "Dalam segi tiga bersudut tegak, rajah pada sisi yang mencakar sudut tegak adalah sama dengan rajah yang serupa dan diterangkan serupa pada sisi yang mengandungi sudut tepat."
10. Lawrence S. Leff karya yang dipetik. - Siri Pendidikan Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalisasi teorem Pythagoras // Detik hebat dalam matematik (sebelum 1650) . - Persatuan Matematik Amerika, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (nama penuh Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) adalah seorang doktor yang tinggal di Baghdad yang menulis secara meluas mengenai Elemen Euclid. dan lain lain mata pelajaran matematik.
13. Aydin Sayili (Mac. 1960). "Generalisasi Teorem Pythagoras oleh Thabit ibn Qurra". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Latihan 2.10(ii) // Kerja yang dipetik . - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Untuk butiran pembinaan sedemikian, lihat George Jennings Rajah 1.32: Teorem Pythagoras umum // Geometri moden dengan aplikasi: dengan 150 angka . - ke-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy item C: Norma untuk sewenang-wenangnya n-tuple ... // Pengenalan kepada analisis . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Lihat juga muka surat 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometri pembezaan moden lengkung dan permukaan dengan Mathematica . - ke-3. - CRC Press, 2006. - H. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia analisis matriks. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking karya yang dipetik. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC ensiklopedia ringkas matematik. - ke-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Tahap purata

Segitiga kanan. Panduan bergambar lengkap (2019)

SEGITIGA KANAN. PERINGKAT PERTAMA.

Dalam masalah, sudut tepat tidak diperlukan sama sekali - sudut kiri bawah, jadi anda perlu belajar cara mengenali segi tiga tepat dalam bentuk ini,

dan sedemikian

dan sedemikian

Apakah yang baik tentang segi tiga tepat? Nah... pertama sekali, ada yang istimewa nama yang indah untuk pihaknya.

Perhatian kepada lukisan!

Ingat dan jangan keliru: kaki - dua, dan hipotenus - hanya satu(satu-satunya, unik dan terpanjang)!

Nah, kami membincangkan nama-nama, kini perkara yang paling penting: Teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras.

Teorem ini adalah kunci untuk menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan segi tiga tepat. Ia telah dibuktikan oleh Pythagoras pada zaman dahulu lagi, dan sejak itu ia telah membawa banyak faedah kepada mereka yang mengetahuinya. Dan perkara terbaik tentang dia ialah dia sederhana.

Jadi, Teorem Pythagoras:

Adakah anda masih ingat jenaka: "Seluar Pythagoras adalah sama di semua sisi!"?

Mari kita lukis seluar Pythagoras ini dan lihatnya.

Adakah ia benar-benar kelihatan seperti seluar pendek? Nah, di mana pihak dan di manakah mereka sama? Mengapa dan dari mana gurauan itu datang? Dan jenaka ini bersambung dengan tepat dengan teorem Pythagoras, lebih tepat lagi dengan cara Pythagoras sendiri merumuskan teoremnya. Dan dia merumuskannya seperti ini:

"Jumlah luas segi empat sama, dibina di atas kaki, adalah sama dengan kawasan persegi dibina pada hipotenus.

Tidakkah bunyinya sedikit berbeza, bukan? Oleh itu, apabila Pythagoras melukis pernyataan teoremnya, gambaran seperti itu ternyata.

Dalam gambar ini, jumlah kawasan petak kecil adalah sama dengan luas petak besar. Dan supaya kanak-kanak lebih ingat bahawa jumlah segi empat sama kaki adalah sama dengan segi empat sama hipotenus, seseorang yang bijak mencipta jenaka tentang seluar Pythagoras ini.

Mengapa kita sekarang merumuskan teorem Pythagoras

Adakah Pythagoras menderita dan bercakap tentang segi empat sama?

Anda lihat, pada zaman dahulu tidak ada ... algebra! Tiada tanda-tanda dan sebagainya. Tidak ada inskripsi. Bolehkah anda bayangkan betapa dahsyatnya pelajar zaman dahulu yang miskin untuk menghafal semuanya dengan perkataan??! Dan kita boleh gembira kerana kita mempunyai rumusan mudah teorem Pythagoras. Mari kita ulangi lagi untuk lebih mengingati:

Sekarang ia sepatutnya mudah:

Kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki.

Nah, teorem yang paling penting tentang segi tiga tepat telah dibincangkan. Jika anda tertanya-tanya bagaimana ia terbukti, baca terus. peringkat seterusnya teori, dan sekarang mari kita teruskan ... ke hutan gelap... trigonometri! Kepada perkataan yang dahsyat sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segi tiga tegak.

Malah, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Sudah tentu, definisi "sebenar" sinus, kosinus, tangen dan kotangen harus dilihat dalam artikel. Tetapi anda benar-benar tidak mahu, bukan? Kita boleh bergembira: untuk menyelesaikan masalah tentang segi tiga tepat, anda boleh mengisi perkara mudah berikut:

Kenapa semua tentang sudut? Di manakah sudut? Untuk memahami perkara ini, anda perlu tahu bagaimana pernyataan 1 - 4 ditulis dalam perkataan. Lihat, fahami dan ingat!

1.
Ia sebenarnya berbunyi seperti ini:

Bagaimana dengan sudut? Adakah terdapat kaki yang bertentangan dengan bucu iaitu kaki yang bertentangan (untuk bucu)? Sudah tentu ada! Ini adalah kate!

Tetapi bagaimana dengan sudut? Lihat dengan teliti. Kaki yang manakah bersebelahan dengan sudut? Sudah tentu, kucing. Jadi, untuk sudut, kaki adalah bersebelahan, dan

Dan sekarang, perhatian! Lihat apa yang kami dapat:

Lihat betapa hebatnya:

Sekarang mari kita beralih kepada tangen dan kotangen.

Bagaimana untuk meletakkannya dalam perkataan sekarang? Apakah kaki yang berkaitan dengan sudut? Bertentangan, sudah tentu - ia "berbaring" bertentangan dengan sudut. Dan kate? Bersebelahan dengan sudut. Jadi apa yang kita dapat?

Lihat bagaimana pengangka dan penyebut diterbalikkan?

Dan sekarang sekali lagi sudut dan membuat pertukaran:

Ringkasan

Mari kita tulis secara ringkas apa yang telah kita pelajari.

Teorem Pythagoras:

Teorem segitiga tegak utama ialah teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras

By the way, adakah anda masih ingat apa itu kaki dan hipotenus? Jika tidak, lihat gambar - segarkan pengetahuan anda

Ada kemungkinan anda telah menggunakan teorem Pythagoras berkali-kali, tetapi pernahkah anda terfikir mengapa teorem tersebut adalah benar. Bagaimana anda akan membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita lukis segi empat sama dengan sisi.

Anda lihat betapa liciknya kami membahagikan sisinya kepada segmen-segmen panjang dan!

Sekarang mari kita sambungkan titik yang ditanda

Di sini kami, bagaimanapun, mencatat sesuatu yang lain, tetapi anda sendiri melihat gambar itu dan fikirkan mengapa.

Berapakah luas segi empat sama yang lebih besar? Betul, . Bagaimana dengan kawasan yang lebih kecil? Sudah tentu, . Jumlah kawasan empat penjuru kekal. Bayangkan bahawa kami mengambil dua daripadanya dan bersandar antara satu sama lain dengan hipotenus. Apa yang berlaku? Dua segi empat tepat. Jadi, kawasan "keratan" adalah sama.

Mari kita susun semuanya sekarang.

Mari kita ubah:

Jadi kami melawat Pythagoras - kami membuktikan teoremnya dengan cara kuno.

Segitiga kanan dan trigonometri

Untuk segi tiga tegak, hubungan berikut berlaku:

Resdung sudut akut sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus

Kosinus sudut akut adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.

Tangen bagi sudut akut adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan kaki bersebelahan.

Kotangen bagi sudut akut adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan kaki bertentangan.

Dan sekali lagi, semua ini dalam bentuk pinggan:

Ia sangat selesa!

Tanda-tanda kesamaan segi tiga tepat

I. Pada dua kaki

II. Dengan kaki dan hipotenus

III. Mengikut hipotenus dan sudut akut

IV. Sepanjang kaki dan sudut akut

a)

b)

Perhatian! Di sini adalah sangat penting bahawa kaki adalah "sesuai". Sebagai contoh, jika ia berlaku seperti ini:

MAKA SEGITIGA ITU TIDAK SAMA, walaupun pada hakikatnya ia mempunyai satu sudut akut yang sama.

Perlu dalam kedua-dua segi tiga kaki adalah bersebelahan, atau dalam kedua-duanya - bertentangan.

Pernahkah anda perasan bagaimana tanda-tanda kesamaan segi tiga tegak berbeza daripada tanda-tanda kesamaan segi tiga biasa? Lihat topik "dan perhatikan fakta bahawa untuk kesamaan segitiga "biasa", anda memerlukan kesamaan tiga elemen mereka: dua sisi dan sudut di antara mereka, dua sudut dan satu sisi di antara mereka, atau tiga sisi. Tetapi untuk kesamaan segi tiga bersudut tegak, hanya dua elemen sepadan yang mencukupi. Ia hebat, bukan?

Keadaan yang lebih kurang sama dengan tanda-tanda persamaan segi tiga tepat.

Tanda-tanda persamaan segi tiga tegak

I. Sudut akut

II. Pada dua kaki

III. Dengan kaki dan hipotenus

Median dalam segi tiga tepat

Kenapa jadi begitu?

Pertimbangkan sebuah segi empat tepat dan bukannya segi tiga tepat.

Mari kita lukis pepenjuru dan pertimbangkan satu titik - titik persilangan pepenjuru. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat?

Dan apa yang berikut daripada ini?

Jadi ia berlaku begitu

1. - median:

Ingat fakta ini! Sangat membantu!

Apa yang lebih memeranjatkan ialah sebaliknya juga benar.

Apakah kebaikan yang boleh diperoleh daripada fakta bahawa median yang ditarik ke hipotenus adalah sama dengan separuh hipotenus? Jom tengok gambar

Lihat dengan teliti. Kami mempunyai: , iaitu, jarak dari titik ke ketiga-tiga bucu segitiga ternyata sama. Tetapi dalam segi tiga hanya terdapat satu titik, jarak darinya kira-kira ketiga-tiga bucu segitiga itu adalah sama, dan ini ialah PUSAT LINGKAR yang diterangkan. Jadi apa yang berlaku?

Jadi mari kita mulakan dengan ini "selain itu...".

Mari lihat i.

Tetapi dalam segi tiga yang serupa semua sudut adalah sama!

Perkara yang sama boleh dikatakan tentang dan

Sekarang mari kita lukiskannya bersama-sama:

Apakah kegunaan yang boleh diambil daripada persamaan "triple" ini.

Nah, sebagai contoh - dua formula untuk ketinggian segi tiga tepat.

Kami menulis hubungan pihak yang sepadan:

Untuk mencari ketinggian, kita selesaikan perkadaran dan dapatkan formula pertama "Ketinggian dalam segi tiga tepat":

Jadi, mari kita terapkan persamaan: .

Apa yang akan berlaku sekarang?

Sekali lagi kami menyelesaikan perkadaran dan dapatkan formula kedua:

Kedua-dua formula ini mesti diingati dengan baik dan yang lebih mudah untuk digunakan. Mari kita tulis mereka sekali lagi.

Teorem Pythagoras:

Dalam segi tiga tepat, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki:.

Tanda-tanda kesamaan segi tiga tepat:

• pada dua kaki:
• sepanjang kaki dan hipotenus: atau
• sepanjang kaki dan sudut akut bersebelahan: atau
• sepanjang kaki dan sudut akut yang bertentangan: atau
• oleh hipotenus dan sudut akut: atau.

Tanda-tanda persamaan segi tiga tegak:

• satu sudut tajam: atau
• daripada perkadaran dua kaki:
• daripada perkadaran kaki dan hipotenus: atau.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen dalam segi tiga tegak

• Sinus sudut akut segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus:
• Kosinus sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:
• Tangen sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan:
• Kotangen bagi sudut akut segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan bertentangan:.

Ketinggian segi tiga tepat: atau.

Dalam segi tiga tegak, median yang dilukis dari bucu sudut tegak adalah sama dengan separuh hipotenus: .

Luas segi tiga tepat:

• melalui kateter: