Mengapa dua formula dot produk. pengenalan

Produk skalar vektor (selepas ini dirujuk sebagai SP). rakan-rakan yang dikasihi! Peperiksaan matematik termasuk sekumpulan masalah untuk menyelesaikan vektor. Kami telah mempertimbangkan beberapa masalah. Anda boleh melihatnya dalam kategori "Vektor". Secara umum, teori vektor adalah mudah, perkara utama ialah mengkajinya secara konsisten. Pengiraan dan operasi dengan vektor masuk kursus sekolah Matematiknya mudah, formulanya tidak rumit. Melihat kedalam . Dalam artikel ini, kami akan menganalisis tugasan pada usaha sama vektor (termasuk dalam peperiksaan). Sekarang "perendaman" dalam teori:

H Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak daripada koordinat penghujungnyakoordinat yang sepadan dengan permulaannya

Dan selanjutnya:

*Panjang vektor (modulus) ditakrifkan seperti berikut:

Formula ini mesti dihafal!!!

Mari tunjukkan sudut antara vektor:

Jelas bahawa ia boleh berbeza dari 0 hingga 180 0(atau dalam radian dari 0 hingga Pi).

Kita boleh membuat beberapa kesimpulan tentang tanda produk skalar. Panjang vektor mempunyai nilai positif, Ia adalah jelas. Jadi tanda hasil kali skalar bergantung kepada nilai kosinus sudut antara vektor.

Kes yang mungkin:

1. Jika sudut antara vektor adalah tajam (dari 0 0 hingga 90 0), maka kosinus sudut akan mempunyai nilai positif.

2. Jika sudut antara vektor adalah tumpul (dari 90 0 hingga 180 0), maka kosinus sudut tersebut akan mempunyai nilai negatif.

*Pada sifar darjah, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang sama, kosinus sama dengan satu dan akibatnya hasilnya akan positif.

Pada 180 o, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang bertentangan, kosinus adalah sama dengan tolak satu,dan hasilnya akan negatif.

Sekarang TITIK PENTING!

Pada 90 o, iaitu, apabila vektor berserenjang antara satu sama lain, kosinus adalah sifar, dan oleh itu usaha sama adalah sifar. Fakta ini (akibat, kesimpulan) digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah di mana kita bercakap tentang kedudukan relatif vektor, termasuk dalam tugas yang termasuk dalam bank terbuka tugasan dalam matematik.

Kami merumuskan pernyataan: hasil kali skalar adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika vektor yang diberikan terletak pada garis serenjang.

Jadi, formula untuk vektor SP ialah:

Jika koordinat vektor atau koordinat titik permulaan dan penghujungnya diketahui, maka kita sentiasa boleh mencari sudut antara vektor:

Pertimbangkan tugas:

27724 Cari hasil darab dalam bagi vektor a dan b .

Kita boleh mencari hasil kali skalar bagi vektor menggunakan salah satu daripada dua formula:

Sudut antara vektor tidak diketahui, tetapi kita boleh mencari koordinat vektor dengan mudah dan kemudian menggunakan formula pertama. Oleh kerana permulaan kedua-dua vektor bertepatan dengan asal, koordinat vektor ini adalah sama dengan koordinat hujungnya, iaitu

Bagaimana untuk mencari koordinat vektor diterangkan dalam.

Kami mengira:

Jawapan: 40

Cari koordinat vektor dan gunakan formula:

Untuk mencari koordinat vektor, adalah perlu untuk menolak koordinat yang sepadan permulaannya daripada koordinat penghujung vektor, yang bermaksud

Kami mengira hasil skalar:

Jawapan: 40

Cari sudut antara vektor a dan b . Berikan jawapan anda dalam darjah.

Biarkan koordinat vektor mempunyai bentuk:

Untuk mencari sudut antara vektor, kami menggunakan formula untuk hasil darab skalar bagi vektor:

Kosinus sudut antara vektor:

Akibatnya:

Koordinat vektor ini ialah:

Mari masukkannya ke dalam formula:

Sudut antara vektor ialah 45 darjah.

Jawapan: 45

Permohonan. 1. Hasil darab skalar bagi fungsi.

1. Hasil darab titik bagi fungsi.

Biarkan pada selang [ a, b] sistem fungsi boleh integrasi segi empat sama pada [ a, b]:

u 0 (x), u 1 (x), u 2 (x), …, u n(x), …, (1)

Sama seperti antara elemen ruang vektor diperkenalkan operasi produk titik vektor yang memetakan kepada sepasang vektor diberi ruang beberapa nombor - skalar , dan antara unsur-unsur sistem fungsi ini u i(x), u j(x) operasi hasil darab skalar bagi fungsi boleh ditakrifkan, dinyatakan di bawah sebagai ( u i(x), u j(x)).

Mengikut definisi, operasi produk titik antara elemen x , y dan z beberapa ruang (termasuk antara unsur-unsur sistem fungsi) mesti ada sifat-sifat berikut:

Hasilkan titik antara elemen ruang ciri u i(x), u j(x) i, j= 0, 1, 2,..., boleh disepadukan pada [ a, b] dengan segi empat sama diperkenalkan menggunakan operasi penyepaduan:

Definisi 1. Sistem (1) ialah sistem fungsi ortogonal pada segmen [ a, b], jika mana-mana dua fungsi u i(x), u j(x), i, j= 0, 1, 2, ... sistem ini
ortogon (antara mereka) pada [ a, b].

Definisi 2. Mari kita namakan dua fungsi u i(x), u j(x), i, j= 0, 1, 2, ... sistem (1)
ortogon pada segmen [ a, b], jika produk skalar mereka memenuhi syarat:

(4)

Nombor - dipanggil norma fungsi u i(x).

Jika semua berfungsi u i(x) mempunyai norma tunggal , iaitu

l i = 1, i = 0, 1, 2, ... (5)

dan sistem fungsi (1) adalah ortogon pada [ a, b], maka sistem sedemikian dipanggil
ortonormal atau biasa sistem ortogon pada segmen [ a, b].

Jika syarat untuk kenormalan fungsi pada mulanya tidak dipenuhi, dari sistem (1), jika perlu, adalah mungkin untuk beralih ke sistem (6), yang sudah diketahui sebagai normal:

, i = 0, 1, 2, ... (6)

Ambil perhatian bahawa dari harta itu ortogonal elemen beberapa sistem, mengikutinya kemerdekaan linear , iaitu kenyataan itu benar: Mana-mana sistem ortogon bagi vektor bukan sifar(elemen)adalah bebas secara linear.

2 .Konsep fungsi asas.

Daripada kursus algebra linear, anda tahu bahawa dalam ruang vektor anda boleh memperkenalkan asas vektor- satu set vektor supaya mana-mana vektor ruang vektor tertentu boleh satu-satunya cara diwakili sebagai gabungan linear vektor asas. Di mana tiada vektor asas boleh diwakili sebagai gabungan linear terhingga bagi baki vektor asas (kebebasan linear bagi vektor asas).

Jadi, sebagai contoh, mana-mana vektor ruang tiga dimensi boleh diwakili secara unik sebagai gabungan linear vektor asas :

= .

di mana a, b, dan c- beberapa nombor. Dan dengan kekerasan kemerdekaan linear(ortogonal) bagi vektor asas tiada vektor secara individu boleh diwakili sebagai gabungan linear bagi vektor asas yang tinggal.

Seperti yang diterangkan di atas, dalam ruang fungsi polinomial, iaitu dalam ruang polinomial darjah paling banyak n:

P n(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n. (7)

asas boleh diperkenalkan daripada polinomial asas (demonstrasi) fungsi :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, x n(8)

dalam kes ini, adalah jelas bahawa fungsi asas (8) adalah bebas secara linear, i.e. tiada satu pun fungsi asas (8) boleh diwakili sebagai gabungan linear bagi fungsi asas yang selebihnya. Lebih-lebih lagi, adalah jelas bahawa mana-mana polinomial darjah paling banyak n boleh diwakili secara unik dalam bentuk (7), i.e. dalam bentuk gabungan linear fungsi asas (8).

j i(x) = g i(x-a) i + (x-a)i+ 1 , i= 1, 2, …, n(9)

Ini sebahagiannya dijelaskan oleh yang terkenal analisis matematik oleh teorem Weierstrass, mengikut mana mana-mana berterusan pada segmen [ a, b] fungsi f(x) mungkin " Baik» dianggarkan pada selang ini dengan beberapa polinomial P n(x) ijazah n, iaitu meningkatkan darjat n polinomial P n(x), ia sentiasa boleh rapat sewenang-wenangnya sesuai dengan fungsi berterusan f(x).

Oleh kerana mana-mana polinomial boleh diwakili sebagai gabungan linear bagi fungsi polinomial asas jenis (8) atau (9), maka, berdasarkan teorem Weierstrass, selanjar (iaitu, dua kali fungsi boleh dibezakan iaitu penyelesaian. persamaan pembezaan tertib kedua) boleh diwakili sebagai gabungan linear bagi fungsi asas (9), yang dua kali boleh dibezakan dan berpasangan bebas linear.

Soalan berkaitan

"Kaedah untuk penyelesaian anggaran masalah nilai sempadan untuk biasa
persamaan pembezaan".

(Kuliah 25 - 26)

1. Definisi asas: Perumusan masalah nilai sempadan linear untuk ODE tertib kedua; jenis dan klasifikasi masalah nilai sempadan.

2. Kaedah untuk mengurangkan masalah nilai sempadan kepada masalah awal: perumusan masalah; kaedah menembak; kaedah pengurangan; kaedah sapuan perbezaan.

3. Kaedah perbezaan terhingga: perumusan masalah; kesejagatan kaedah perbezaan terhingga untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan; pilihan jenis penghampiran terbitan untuk mengurangkan masalah nilai sempadan kepada SAAL dengan matriks yang mempunyai struktur tridiagonal.

4. Kaedah interpolasi atau kaedah kolokasi: mencari penyelesaian anggaran dalam bentuk gabungan linear fungsi asas, keperluan untuk fungsi asas untuk memenuhi syarat sempadan; cari pekali gabungan linear berdasarkan keadaan kebetulan penyelesaian tepat dan anggaran pada nod kolokasi; pilihan fungsi asas.

5. Kaedah Galerkin- konsep asas teori kaedah Galerkin. Mencari Penyelesaian Anggaran dalam Bentuk Gabungan Linear fungsi asas , keperluan untuk fungsi asas. Pilihan pekali gabungan linear yang menentukan bentuk penyelesaian anggaran daripada keadaan pengecilan sisa kerana penggantian penyelesaian yang tepat masalah pembezaan penyelesaian anggaran yang dikehendaki.

Agensi Pendidikan Persekutuan

Institusi Pendidikan Negeri Pendidikan Profesional Tinggi St. Petersburg State Mining Institute. G.V. Plekhanov

(Universiti Teknikal)

A.P. Gospodarikov, G.A. Colton, S.A. Khachatryan

Siri Fourier. Kamiran Fourier.

Kalkulus operasi

Alat bantu mengajar

SAINT PETERSBURG

UDC 512 + 517.2 (075.80)

Alat bantu mengajar memberi peluang untuk memperoleh kemahiran praktikal dalam menganalisis fungsi menggunakan pengembangan siri Fourier atau perwakilan integral Fourier dan bertujuan untuk kerja bebas pelajar kepakaran sepenuh masa dan separuh masa.

Manual ini membincangkan isu utama kalkulus operasi dan kelas masalah teknikal yang luas menggunakan asas kalkulus operasi.

Editor saintifik prof. . A.P. Gospodarikov

Penyemak: jabatan matematik yang lebih tinggi No. 1 Universiti Elektroteknik Negeri St. Petersburg; Doktor Fizik dan Matematik Sains V.M. Chistyakov(Universiti Politeknik Negeri St. Petersburg).

Gospodarikov A.P.

G723. Siri Fourier. Kamiran Fourier. Kalkulus operasi: Manual pendidikan dan kaedah / A.P. Gospodarikov,G.A. Colton,S.A. Khachatryan; Institut Perlombongan Negeri St. Petersburg (Universiti Teknikal). St Petersburg, 2005. 102 p.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBC 22.161.5

pengenalan

Dari teori Fourier diketahui bahawa dengan beberapa kesan ke atas sistem fizikal, teknikal dan lain-lain, hasilnya mengulangi bentuk isyarat input awal, hanya berbeza dalam faktor skala. Adalah jelas bahawa sistem bertindak balas terhadap isyarat tersebut (ia dipanggil sendiri) dengan cara yang paling mudah. Jika isyarat masukan sewenang-wenang adalah gabungan linear isyaratnya sendiri, dan sistem adalah linear, maka tindak balas sistem kepada isyarat sewenang-wenang ini ialah jumlah tindak balas kepada isyaratnya sendiri. Dan oleh itu maklumat penuh mengenai sistem boleh diperolehi oleh "bata" - tindak balas sistem kepada isyarat inputnya sendiri. Ini dilakukan, sebagai contoh, dalam kejuruteraan elektrik, apabila tindak balas frekuensi sistem (fungsi pemindahan) diperkenalkan. Bagi sistem linear termudah, sistem invarian masa (contohnya, yang diterangkan oleh persamaan pembezaan biasa dengan pekali malar), dalam beberapa kes harmonik bentuk adalah fungsi eigen. Oleh itu, hasil daripada tindakan sewenang-wenangnya pada sistem juga boleh diperolehi jika yang terakhir ini dibentangkan sebagai gabungan linear harmonik (dalam kes umum, sebagai siri Fourier atau kamiran Fourier). Ini adalah salah satu sebab mengapa dalam teori dan aplikasi perlu menggunakan konsep siri trigonometri (Siri Fourier) atau kamiran Fourier.

Bab 1. Siri Fourier

§ 1. Ruang vektor

Disini adalah maklumat ringkas daripada algebra vektor, diperlukan untuk pemahaman yang lebih baik tentang peruntukan asas teori siri Fourier.

Pertimbangkan set  vektor geometri (ruang vektor), yang mana konsep kesamaan vektor diperkenalkan dengan cara biasa, operasi linear(penambahan dan penolakan vektor, pendaraban vektor dengan nombor) dan operasi pendaraban skalar bagi vektor.

Mari kita perkenalkan dalam ruang  asas ortogon yang terdiri daripada tiga vektor ortogon berpasangan ,dan . Vektor sewenang-wenangnya
ialah gabungan linear vektor asas:

. (1.1)

Pekali  i (i= 1, 2, 3), dipanggil koordinat vektor relatif kepada asas
, boleh ditakrifkan seperti berikut. Hasil darab titik vektor dan salah satu vektor asas

Disebabkan oleh keortogonan asas, hasil skalar
di
, oleh itu, di sebelah kanan kesamaan terakhir, hanya satu istilah yang sepadan dengan
, sebab tu
, di mana

, (1.2)

di mana
.

Jika vektor dan ditetapkan oleh koordinat mereka
dan
, maka hasil skalar mereka

Sejak pada
produk skalar
, maka dalam jumlah berganda hanya sebutan dengan indeks yang sama adalah bukan sifar, oleh itu

Terutamanya apabila
daripada (1.3) ia berikut

. (1.4)

§ 2. Hasil kali skalar dan norma fungsi

Nyatakan dengan simbol
set fungsi berterusan sekeping pada selang [ a, b], iaitu fungsi yang mempunyai pada selang [ a, b] bilangan terhingga titik ketakselanjaran jenis pertama dan berterusan pada semua titik lain selang ini.

Hasil darab skalar bagi fungsi
dipanggil nombor

Sifat hasil darab titik bagi fungsi sepenuhnya bertepatan dengan sifat produk skalar vektor:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Oleh itu, produk titik bergantung secara linear pada komponennya. Sifat ini dipanggil kebolehduaan produk titik.

Fungsi
dipanggil ortogonal
pada [ a, b], jika
.

Norma fungsi
di antara [a, b] dipanggil nombor bukan negatif , yang kuasa duanya adalah sama dengan hasil darab skalar bagi fungsi itu kepada diri saya sendiri:

Fungsi Norm Properties sebahagian besarnya bertepatan dengan sifat modulus vektor:

1.
.

2. Jika fungsi
berterusan pada [ a, b] dan
, kemudian
. Kerana
, kemudian pada

di mana
. Membezakan hubungan terakhir berkenaan dengan dan menggunakan teorem Barrow, kita dapat
dan, akibatnya,
.

3. tteorem kosinus .

.

Akibat. Sekiranya
, kemudian
(Teorem Pythagoras).

4. Teorem Pythagoras umum. Jika fungsi (k = = 1, 2, …, n) adalah ortogonal berpasangan pada selang
, kemudian

Dengan menggunakan sifat bilinear produk skalar, kami memperoleh

Disebabkan oleh keortogonan fungsi produk titik
di
, sebab tu

5. nKesamaan Cauchy–Bunyakovsky
, atau, yang sama,

Untuk apa-apa yang sebenar

Dengan cara ini, trinomial segi empat sama di sebelah kiri bukan kesamaan terakhir, ia mengekalkan tanda pada keseluruhan paksi sebenar, oleh itu, diskriminasinya
.