Mencari punca persamaan tak linear menggunakan kaedah tangen dalam Excel. Menyelesaikan sistem persamaan tak linear menggunakan kaedah lelaran

n Contoh 2.3. Cari punca-punca persamaan

x- tg (x)= 0. (2.18)

Peringkat pertama penyelesaian (peringkat pemisahan akar) telah dilaksanakan dalam bahagian 2.1 (contoh 2.2). Punca persamaan yang diperlukan terletak pada segmen xÎ, seperti yang boleh dilihat pada graf (Rajah 2.9).

Rajah 2.9. Peringkat pemisahan akar

Peringkat penghalusan akar kami akan laksanakan menggunakan Excel. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh kaedah separuh bahagian . Skim pengiraan untuk kaedah tangen Dan kord tidak jauh berbeza dengan rajah di bawah.

Urutan tindakan:

1. Sediakan jadual seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.10 dan masukkan nilai a, b, ε masing-masing dalam sel B3, B4, B5.

2. Isikan baris pertama jadual:

D4=0 nombor lelaran;

E4=B3, F4=B4, untuk pengiraan f(a): G4=E4-TAN(E4),

Begitu juga, dalam sel H4, I4, J4 kita masukkan formula untuk mengira, masing-masing f(b), x n=(a+b)/2 dan f(x n);

Dalam sel K4 kita mengira panjang segmen [ a, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, untuk membentuk nombor lelaran.

4. Dalam sel E5, F5 kami memasukkan formula untuk membentuk hujung segmen bersarang mengikut algoritma yang digariskan dalam bahagian 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Pilih sel G4:K4 dan salinnya ke satu baris.

6. Pilih sel D5:K5 dan salinnya ke hujung jadual.

Rajah.2.10. Gambar rajah penyelesaian persamaan tak linear kaedah belah dua

Kami terus membahagikan segmen sehingga panjang yang terakhir menjadi kurang daripada ε yang diberikan, i.e. sehingga syarat dipenuhi.

Untuk membuat akhir proses lelaran jelas, kami akan menggunakan Pemformatan bersyarat

Pemformatan Bersyarat – Ini ialah pemformatan sel terpilih berdasarkan beberapa kriteria, yang akan menghasilkan pewarnaan sel yang kandungannya memenuhi syarat tertentu (dalam kes kami).

Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:

Mari kita pilih sel lajur terakhir (K) skema pengiraan (Rajah 2.10), di mana kriteria untuk menamatkan proses lelaran akan ditetapkan;

Mari kita laksanakan arahan

Home\Styles\ Pemformatan Bersyarat;

Rajah.2.11. Tetingkap di pemformatan perkataan

Dalam tetingkap yang muncul (Gamb. 2.11), pilih baris:

Peraturan untuk memilih sel\Kurang;

Di sebelah kiri kotak dialog yang muncul Kurang (Gamb. 2.12) kami menetapkan nilai yang akan digunakan sebagai kriteria (dalam contoh kami ini ialah alamat sel B5, di mana nilai itu terletak ε ).

Rajah.2.12. Kotak dialog Kurang

Di sebelah kanan tingkap Kurang pilih warna yang akan digunakan untuk mewarnakan sel yang memenuhi syarat yang ditentukan; dan tekan butang OK.

Hasil daripada pemformatan ini, sel dalam lajur K , nilai siapa kurang daripada 0.1, berwarna, Rajah 2.10.

Oleh itu, untuk nilai anggaran punca persamaan x- tg (x)= 0 dengan ketepatan e=0.1, lelaran ke-3 diterima, i.e. x * "4.46875. Untuk e=0.01 - x * » 4.49609(lelaran ke-6).

Menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan tambahan "Pemilihan Parameter".

Menyelesaikan persamaan tak linear boleh dilaksanakan dalam aplikasi MS Excel menggunakan pemilihan parameter tambahan, di mana beberapa proses berulang dilaksanakan.

Mari kita cari punca-punca persamaan (2.18) yang dibincangkan di atas.

Sebagai penghampiran sifar bagi penyelesaian kepada persamaan, seperti yang boleh dilihat daripada Rajah 2.13, kita boleh mengambil X 0 =4 atau X 0 =4,5.

Urutan tindakan

1. Sediakan jadual seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.13. Ke sel A2 mari kita masukkan beberapa nilai x 0 (Sebagai contoh X 0 =4) daripada fungsi ODZ y=f(x). Ini akan menjadi anggaran awal untuk proses berulang yang dilaksanakan oleh aplikasi Pemilihan parameter.

2. Sel B2 ialah sel berubah-ubah semasa add-on sedang berjalan. Mari masukkan nilai ini ke dalamnya x 0 , dan dalam sel C3 mari kita hitung nilai fungsi tersebut f(xn) untuk anggaran ini.

3. Pilih arahan:

Data\Bekerja dengan data\What-if analysis\Parameter selection.

4. Dalam tetingkap "Pemilihan Parameter", buat tetapan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.13 dan klik OK.

Rajah.2.13. Menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan tambahan "Pemilihan Parameter".

Jika semuanya dilakukan dengan betul, maka dalam sel B2 (Rajah 2.13) nilai anggaran punca persamaan kita akan diperolehi.

Lakukan semua operasi ini sekali lagi dengan nilai tekaan awal yang berbeza, sebagai contoh x 0 =4.5.

Soalan keselamatan

1. Persamaan yang manakah dipanggil tak linear. Apakah penyelesaian kepada persamaan tak linear.

2. Tafsiran geometri bagi penyelesaian kepada persamaan tak linear.

3. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear (langsung dan berulang), apakah perbezaannya.

4. Dua peringkat penyelesaian berangka persamaan tak linear. Apakah tugas yang ditetapkan pada peringkat pertama dan kedua.

5. Peringkat pertama menyelesaikan persamaan tak linear. Bagaimana anggaran sifar (lelaran sifar) dipilih.

6. Pembinaan urutan berulang. Konsep penumpuan bagi urutan lelaran. Mencari nilai anggaran punca persamaan tak linear dengan ketepatan ε.

7. Tafsiran geometri kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan tak linear: separuh bahagian, Newton (tangen), kord.

Bab 3.

Semasa bergelut di sekolah dengan menyelesaikan persamaan dalam pelajaran matematik, ramai pelajar sering yakin bahawa mereka membuang masa mereka sepenuhnya dengan sia-sia, namun kemahiran sedemikian akan berguna dalam kehidupan bukan sahaja kepada mereka yang memutuskan untuk mengikuti jejak Descartes, Euler atau Lobachevsky.

Dalam amalan, contohnya dalam bidang perubatan atau ekonomi, selalunya terdapat situasi apabila pakar perlu mengetahui bila kepekatan bahan aktif ubat tertentu akan mencapai tahap yang diperlukan dalam darah pesakit, atau adalah perlu untuk mengira masa yang diperlukan untuk perniagaan tertentu menjadi menguntungkan.

Lebih kerap kita bercakap tentang untuk menyelesaikan persamaan tak linear pelbagai jenis. Kaedah berangka membolehkan ini dilakukan secepat mungkin, terutamanya menggunakan komputer. Mereka telah dikaji dengan baik dan telah lama membuktikan keberkesanannya. Ini termasuk kaedah tangen Newton, yang menjadi subjek artikel ini.

Pernyataan masalah

DALAM dalam kes ini terdapat fungsi g, yang ditakrifkan pada selang (a, b) dan mengambilnya nilai-nilai tertentu, iaitu, setiap x kepunyaan (a, b) boleh dikaitkan nombor tertentu g(x).

Ia diperlukan untuk mewujudkan semua punca persamaan dari selang antara titik a dan b (termasuk hujung), yang mana fungsi ditetapkan kepada sifar. Jelas sekali, ini akan menjadi titik persilangan y = g(x) dengan OX.

Dalam sesetengah kes, adalah lebih mudah untuk menggantikan g(x)=0 dengan yang serupa, seperti g 1 (x) = g 2 (x). Dalam kes ini, absis (nilai x) bagi titik persilangan graf g 1 (x) dan g 2 (x) bertindak sebagai punca.

Penyelesaian persamaan tak linear juga penting untuk masalah pengoptimuman yang keadaannya ekstrem tempatan- menukarkan terbitan fungsi kepada 0. Dalam erti kata lain, masalah sedemikian boleh dikurangkan kepada mencari punca persamaan p(x) = 0, di mana p(x) adalah sama dengan g"(x).

Kaedah penyelesaian

Untuk beberapa jenis persamaan tak linear, seperti persamaan trigonometri kuadratik atau mudah, punca boleh didapati dengan cara yang agak mudah. Khususnya, setiap pelajar sekolah mengetahui formula yang boleh digunakan untuk mencari nilai hujah titik di mana trinomial kuadratik lenyap dengan mudah.

Kaedah untuk mengekstrak punca persamaan tak linear biasanya dibahagikan kepada analitikal (langsung) dan berulang. Dalam kes pertama, penyelesaian yang dikehendaki mempunyai bentuk formula, menggunakan mana, dalam beberapa operasi aritmetik tertentu, seseorang dapat mencari nilai akar yang dikehendaki. Kaedah yang serupa telah dibangunkan untuk eksponen, trigonometri, logaritma dan mudah persamaan algebra. Untuk selebihnya, anda perlu menggunakan kaedah berangka khas. Mereka mudah dilaksanakan menggunakan komputer, yang membolehkan anda mencari akar dengan ketepatan yang diperlukan.

Ini termasuk apa yang dipanggil kaedah tangen berangka Yang terakhir dicadangkan oleh yang hebat saintis Isaac Newton masuk lewat XVII abad. Pada abad-abad berikutnya, kaedah itu berulang kali diperbaiki.

Penyetempatan

Penyelesaian berangka persamaan kompleks, yang tidak mempunyai penyelesaian analisis, biasanya dijalankan dalam 2 peringkat. Mula-mula anda perlu menyetempatkan mereka. Operasi ini terdiri daripada mencari segmen pada OX yang mana terdapat satu punca persamaan yang sedang diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan segmen. Jika g(x) tidak mempunyai ketakselanjaran padanya dan mengambil nilai tanda yang berbeza pada titik akhir, maka antara a dan b atau di dalamnya terdapat sekurang-kurangnya 1 punca persamaan g(x) = 0. Untuk itu menjadi unik, ia dikehendaki bahawa g(x) tidak monoton. Seperti yang diketahui, ia akan mempunyai sifat ini dengan syarat tanda g’(x) adalah malar.

Dalam erti kata lain, jika g(x) tidak mempunyai ketakselanjaran dan meningkat atau menurun secara monoton, dan nilainya pada titik akhir tidak mempunyai tanda yang sama, maka terdapat 1 dan hanya 1 punca g(x).

Walau bagaimanapun, anda harus tahu bahawa kriteria ini tidak akan digunakan pada punca persamaan yang berbilang.

Menyelesaikan persamaan dengan separuh

Sebelum mempertimbangkan tangen berangka yang lebih kompleks dan varietinya, adalah wajar untuk mengetahui dengan lebih mendalam dengan cara yang mudah mengenal pasti akar. Ia dipanggil dikotomi dan merujuk kepada penemuan intuitif akar berdasarkan teorem bahawa jika untuk g(x), yang berterusan, keadaan tanda yang berbeza dipenuhi, maka pada segmen yang dipertimbangkan terdapat sekurang-kurangnya 1 punca g( x) = 0.

Untuk mencarinya, anda perlu membahagikan segmen kepada separuh dan menetapkan titik tengah sebagai x 2. Kemudian dua pilihan adalah mungkin: g(x 0) * g(x 2) atau g(x 2) * g(x 1) adalah sama dengan atau kurang daripada 0. Kami memilih yang mana satu daripada ketaksamaan ini adalah benar. Kami mengulangi prosedur yang diterangkan di atas sehingga panjang menjadi kurang daripada nilai pra-pilihan tertentu yang menentukan ketepatan menentukan punca persamaan pada .

Kelebihan kaedah termasuk kebolehpercayaan dan kesederhanaannya, tetapi kelemahannya ialah keperluan untuk mengenal pasti titik-titik di mana g(x) mengambil. tanda yang berbeza, oleh itu ia tidak boleh digunakan untuk akar dengan kepelbagaian walaupun. Di samping itu, ia tidak digeneralisasikan kepada kes sistem persamaan atau jika kita bercakap tentang punca kompleks.

Contoh 1

Mari kita mahu menyelesaikan persamaan g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Untuk tidak menghabiskan masa yang lama mencari segmen yang sesuai, kita membina graf menggunakan, sebagai contoh, program Excel yang terkenal . Kami melihat bahawa lebih baik untuk mengambil nilai dari selang sebagai segmen untuk menyetempatkan akar. Kita boleh yakin bahawa sekurang-kurangnya satu punca persamaan yang diperlukan wujud di atasnya.

g"(x) = 10x 4 + 1, iaitu ia adalah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi hanya terdapat 1 punca pada segmen yang dipilih.

Kami menggantikan titik akhir ke dalam persamaan. Kami mempunyai 0 dan 1 masing-masing. Pada langkah pertama, kami mengambil titik 0.5 sebagai penyelesaian. Kemudian g(0.5) = -0.4375. Ini bermakna segmen seterusnya untuk separuh adalah . Titik tengahnya ialah 0.75. Di dalamnya, nilai fungsi ialah 0.226. Kami mengambil kira segmen dan bahagian tengahnya, yang terletak pada titik 0.625. Kami mengira nilai g(x) menjadi 0.625. Ia bersamaan dengan -0.11, iaitu negatif. Berdasarkan hasil ini, kami memilih segmen. Kami mendapat x = 0.6875. Maka g(x) = -0.00532. Jika ketepatan penyelesaian ialah 0.01, maka kita boleh mengandaikan bahawa hasil yang dikehendaki ialah 0.6875.

Asas teori

Kaedah mencari akar menggunakan kaedah tangen Newton ini popular kerana penumpuannya yang sangat cepat.

Ia berdasarkan fakta terbukti bahawa jika x n ialah penghampiran kepada punca f(x) = 0, supaya f" C 1, maka penghampiran seterusnya adalah pada titik di mana persamaan tangen kepada f(x) disifarkan, i.e.

Gantikan x = x n+1 dan tetapkan y kepada sifar.

Kemudian tangen kelihatan seperti ini:

Contoh 2

Mari cuba gunakan kaedah tangen klasik Newton dan cari penyelesaian kepada beberapa persamaan tak linear yang sukar atau mustahil untuk dicari secara analitikal.

Biarlah perlu untuk mengenal pasti punca bagi x 3 + 4x - 3 = 0 dengan sedikit ketepatan, contohnya 0.001. Seperti yang diketahui, graf mana-mana fungsi dalam bentuk polinomial darjah ganjil mesti bersilang dengan paksi OX sekurang-kurangnya sekali, iaitu tiada keraguan tentang kewujudan akar.

Sebelum menyelesaikan contoh kami menggunakan kaedah tangen, kami membina graf f(x) = x 3 + 4x - 3 mengikut titik. Ini sangat mudah dilakukan, contohnya, menggunakan pemproses hamparan Excel. Daripada graf yang terhasil adalah jelas bahawa ia tidak bersilang dengan paksi OX dan fungsi y = x 3 + 4x - 3 meningkat secara monoton. Kita boleh yakin bahawa persamaan x 3 + 4x - 3 = 0 mempunyai penyelesaian dan ia adalah unik.

Algoritma

Sebarang penyelesaian persamaan dengan kaedah tangen bermula dengan pengiraan f "(x). Kita ada:

Maka terbitan kedua ialah x * 6.

Dengan menggunakan ungkapan ini, kita boleh menulis formula untuk mengenal pasti punca-punca persamaan menggunakan kaedah tangen dalam bentuk:

Seterusnya, anda perlu memilih anggaran awal, iaitu, memutuskan titik mana yang perlu dipertimbangkan sebagai titik permulaan (isipadu x 0) untuk proses lelaran. Kami mempertimbangkan hujung segmen. Kami akan menggunakan satu yang mana syarat bahawa fungsi dan terbitan ke-2nya pada x 0 adalah tanda yang berbeza adalah benar. Seperti yang kita lihat, apabila menggantikan x 0 = 0 ia rosak, tetapi x 0 = 1 agak sesuai.

maka jika kita berminat untuk menyelesaikan kaedah tangen dengan ketepatan e, maka nilai x n boleh dianggap memenuhi keperluan masalah, dengan syarat ketaksamaan |f(x n) / f’(x n)|< e.

Pada langkah tangen pertama kita ada:

• x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0.2857 = 0.71429;
• kerana syarat tidak dipenuhi, kami teruskan;
• kita mendapat nilai baru untuk x 2, iaitu bersamaan dengan 0.674;
• kita perhatikan bahawa nisbah nilai fungsi kepada terbitannya dalam x 2 adalah kurang daripada 0.0063, kita hentikan proses itu.

Kaedah Tangen dalam Excel

Anda boleh menyelesaikan contoh sebelumnya dengan lebih mudah dan cepat jika anda tidak melakukan pengiraan secara manual (pada kalkulator), tetapi menggunakan keupayaan pemproses meja daripada Microsoft.

Untuk melakukan ini dalam Excel anda perlu membuat halaman baharu dan isi selnya dengan formula berikut:

• dalam C7 kita tulis "= DEGREE (B7;3) + 4 * B7 - 3";
• dalam D7 kita masukkan "= 4 + 3 * DEGREE (B7;2)";
• dalam E7 kita tulis "= (DEGREE (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* DEGREE (B7;2) + 4)";
• dalam D7 kita masukkan ungkapan "=B7 - E7";
• dalam B8 kita masukkan formula keadaan “=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Dalam masalah tertentu, tulisan "Melengkapkan lelaran" akan muncul dalam sel B10, dan untuk menyelesaikan masalah anda perlu mengambil nombor yang ditulis dalam sel yang terletak satu baris di atas. Anda juga boleh memilih lajur "boleh renggang" yang berasingan untuknya dengan memasukkan syarat formula di sana, yang hasilnya akan ditulis di sana jika kandungan dalam satu atau satu lagi sel lajur B mengambil bentuk "Penyelesaian lelaran".

Pelaksanaan dalam Pascal

Mari cuba dapatkan penyelesaian kepada persamaan tak linear y = x 4 - 4 - 2 * x menggunakan kaedah tangen dalam Pascal.

Kami menggunakan fungsi tambahan yang akan membantu untuk menjalankan pengiraan anggaran f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta. Sebagai syarat untuk melengkapkan proses lelaran, kami memilih pemenuhan ketaksamaan |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Program ini terkenal kerana fakta bahawa ia tidak memerlukan pengiraan manual bagi derivatif.

Kaedah kord

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mengenal pasti punca-punca persamaan tak linear. Proses lelaran terdiri daripada fakta bahawa sebagai penghampiran berturut-turut kepada punca yang dikehendaki untuk f(x) = 0, nilai titik persilangan kord dengan absis titik akhir a dan b dengan OX diambil, dilambangkan sebagai x 1, ..., x n. Kami ada:

Untuk titik di mana kord bersilang dengan paksi OX, ungkapan akan ditulis sebagai:

Biarkan terbitan kedua positif untuk x £ (kes yang bertentangan akan dikurangkan kepada yang sedang dipertimbangkan jika kita menulis f(x) = 0). Dalam kes ini, graf y = f(x) ialah lengkung, cembung di bahagian bawah dan terletak di bawah kord. AB. Terdapat 2 kes: apabila fungsi mempunyai nilai positif pada titik a atau ia negatif pada titik b.

Dalam kes pertama, kami memilih hujung a sebagai yang tetap, dan mengambil titik b sebagai x 0. Kemudian anggaran berturut-turut mengikut formula yang dibentangkan di atas membentuk urutan yang menurun secara monoton.

Dalam kes kedua, hujung b ditetapkan pada x 0 = a. Nilai x yang diperoleh pada setiap langkah lelaran membentuk urutan yang meningkat secara monoton.

Oleh itu, kita boleh menyatakan bahawa:

• dalam kaedah kord, hujung tetap segmen di mana tanda-tanda fungsi dan terbitan kedua tidak bertepatan;
• anggaran untuk punca x - x m - terletak daripadanya di sebelah di mana f(x) mempunyai tanda yang tidak bertepatan dengan tanda f"" (x).

Lelaran boleh diteruskan sehingga syarat kedekatan akar dipenuhi pada ini dan langkah lelaran sebelumnya modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Kaedah yang diubah suai

Kaedah gabungan kord dan tangen membolehkan anda menubuhkan punca persamaan dengan menghampiri mereka dari sisi yang berbeza. Nilai ini, di mana graf f(x) bersilang dengan OX, membolehkan anda menapis penyelesaian dengan lebih pantas daripada menggunakan setiap kaedah secara berasingan.

Katakan kita perlu mencari punca bagi f(x)=0, jika ia wujud pada . Anda boleh menggunakan mana-mana kaedah yang diterangkan di atas. Walau bagaimanapun, adalah lebih baik untuk mencuba gabungan mereka, yang akan meningkatkan ketepatan akar dengan ketara.

Kami menganggap kes dengan anggaran awal yang sepadan dengan syarat terbitan pertama dan kedua mempunyai tanda yang berbeza pada titik x tertentu.

Di bawah keadaan sedemikian, menyelesaikan persamaan tak linear dengan kaedah tangen membolehkan seseorang mencari punca dengan lebihan jika x 0 =b, dan kaedah menggunakan kord dengan hujung tetap b membawa kepada mencari punca anggaran dengan kekurangan.

Formula yang digunakan:

Sekarang akar yang diperlukan x mesti dicari dalam selang. Pada langkah seterusnya, anda perlu menggunakan kaedah gabungan pada segmen ini. Meneruskan dengan cara ini, kami memperoleh formula borang:

Jika derivatif pertama dan kedua mempunyai tanda yang berbeza, maka, dengan cara yang sama, untuk menjelaskan punca kita memperoleh formula berulang berikut:

Syarat yang digunakan ialah anggaran ketaksamaan | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Jika ketaksamaan di atas adalah benar, maka sebagai punca persamaan tak linear pada segmen tertentu, ambil titik yang betul-betul di tengah-tengah antara penyelesaian yang terdapat pada langkah lelaran tertentu.

Kaedah gabungan mudah dilaksanakan dalam persekitaran TURBO PASCAL. Jika anda benar-benar mahu, anda boleh cuba menjalankan semua pengiraan menggunakan kaedah jadual dalam Excel.

Dalam kes kedua, beberapa lajur diperuntukkan untuk menyelesaikan masalah menggunakan kord dan secara berasingan untuk kaedah yang dicadangkan oleh Isaac Newton.

Dalam kes ini, setiap baris digunakan untuk merekodkan pengiraan pada langkah lelaran tertentu menggunakan dua kaedah. Kemudian, di sebelah kiri kawasan penyelesaian, lajur diserlahkan pada halaman kerja aktif, di mana hasil pengiraan modul perbezaan nilai langkah berulang seterusnya untuk setiap kaedah dimasukkan. Satu lagi boleh digunakan untuk memasukkan hasil pengiraan menggunakan formula untuk mengira konstruk logik "JIKA", digunakan untuk mengetahui sama ada keadaan adalah benar atau tidak.

Sekarang anda tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kompleks. Kaedah tangen, seperti yang telah anda lihat, dilaksanakan dengan agak mudah, dalam Pascal dan Excel. Oleh itu, anda sentiasa boleh mewujudkan punca-punca persamaan yang sukar atau mustahil untuk diselesaikan menggunakan formula.

"Tidak seperti kaedah kord, dalam kaedah tangen, bukannya kord, pada setiap langkah tangen ke lengkung dilukis y=F(x) di x=x n dan titik persilangan tangen dengan paksi-x dicari:

Formula untuk penghampiran (n+1) ialah:

Jika F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, jika tidak x 0 =b.

Proses berulang berterusan sehingga didapati bahawa:

Contoh:

Marilah kita diberikan tugas seperti berikut: Jelaskan punca-punca persamaan cos(2x)+x-5=0 menggunakan kaedah tangen dengan ketepatan 0.00001.

Pada mulanya, anda perlu memutuskan x0 sama dengan: sama ada a atau b. Untuk melakukan ini, anda perlu melakukan perkara berikut:

Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f2(x)=-4cos(2x).

Hasilnya adalah seperti berikut:

Oleh kerana x0=b, anda perlu melakukan langkah berikut:

Isikan sel seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia sepatutnya sama seperti dalam rajah):

Dalam sel A6, masukkan formula =D5.

Pilih julat sel B5:E5 dan gunakan kaedah seret dan lepas untuk mengisi julat sel B6:E6.

Pilih julat sel A6:E5 dan, menggunakan kaedah seret dan lepas, isikan julat sel bawah sehingga anda mendapat keputusan dalam salah satu sel lajur E (julat sel A6:E9).

Akibatnya, kami mendapat yang berikut:

4. Kaedah gabungan kord dan tangen

Untuk mencapai ralat yang paling tepat, perlu menggunakan kaedah kord dan tangen secara serentak. "Dengan menggunakan formula kord, seseorang dapati x n+1, dan mengikut formula tangen - z n+1. Proses mencari punca anggaran terhenti sebaik sahaja:

Sebagai punca anggaran, ambil nilai yang sama dengan (11) :"[2 ]

Biarlah perlu untuk menjelaskan punca-punca persamaan cos(2x)+x-5=0 menggunakan kaedah gabungan dengan ketepatan 0.00001.

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Excel, anda mesti melakukan langkah berikut:

Oleh kerana dalam kaedah gabungan adalah perlu untuk menggunakan salah satu formula kord dan formula tangen, notasi berikut perlu diperkenalkan untuk memudahkan:

Untuk formula kord, nyatakan:

Pembolehubah c akan memainkan peranan a atau b bergantung kepada situasi.

Notasi selebihnya adalah serupa dengan yang diberikan dalam formula kord, hanya mengambil kira pembolehubah yang diperkenalkan di atas.

Untuk formula tangen, nyatakan:

Notasi selebihnya adalah serupa dengan yang diberikan dalam formula tangen, hanya mengambil kira pembolehubah yang diperkenalkan di atas.

Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f2(x)=-4cos(2x).

Isikan sel seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia sepatutnya sama seperti dalam rajah):

Hasilnya adalah seperti berikut:

Dalam sel G1 masukkan e, dan dalam G2 masukkan nombor 0.00001.

Dalam sel H1 masukkan c, dan dalam H2 masukkan nombor 6, kerana c=b (lihat sel F2).

Dalam sel I1 masukkan f(c), dan dalam I2 masukkan formula =COS(2*H2)+H2-5.

Isikan sel secara berurutan seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia harus sama seperti dalam rajah):

Dalam sel A6, masukkan formula =E5.

Dalam sel F6, masukkan formula =I5.

Pilih julat sel B5:E5 dan gunakan penanda autolengkap untuk mengisi julat sel B6:E6.

Pilih julat sel G5:K5 dan gunakan penanda autolengkap untuk mengisi julat sel G6:K6.

Pilih julat sel A6:K6 dan isikan semua sel bawah menggunakan kaedah seret dan lepas sehingga anda menerima jawapan dalam salah satu sel lajur K (julat sel A6:K9).

Akibatnya, kami mendapat yang berikut:

Jawapan: Punca bagi persamaan cos(2x)+x-5=0 ialah 5.32976.

Persamaan F(x)=0 diberikan. ini - pandangan umum persamaan tak linear dengan satu yang tidak diketahui. Sebagai peraturan, algoritma untuk mencari akar terdiri daripada dua peringkat:

1. Mencari nilai anggaran punca atau segmen pada paksi-x yang mengandunginya.

2. Penapisan nilai anggaran akar kepada beberapa ketepatan.

Pada peringkat pertama, kaedah pemisahan akar secara berperingkat digunakan, pada peringkat kedua - salah satu kaedah penghalusan (kaedah separuh bahagian, kaedah Newton, kaedah Chord atau kaedah lelaran mudah).

Kaedah langkah

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, steph = 0.3. Jom selesaikan menggunakan ciri khas Pakej Excel. Urutan tindakan (lihat Rajah 1):

1. Tetapkan tajuk pada baris 1 " Kaedah berangka penyelesaian persamaan tak linear."

2. Buat tajuk dalam baris 3, "Kaedah langkah demi langkah."

3. Tulis data tentang tugasan ke dalam sel A6 dan C6 dan B6.

4. Tulis tajuk baris dalam sel B9 dan C9, masing-masing x dan F(x).

5. Dalam sel B10 dan B11, masukkan dua nilai pertama hujah - 3 dan 3.3.

6. Pilih sel B5-B6 dan seret siri data ke nilai akhir (3,3), pastikan janjang aritmetik dibentuk dengan betul.

7. Dalam sel C10 masukkan formula"=B10*B10-11*B10+30".

8. Salin formula ke baki elemen baris menggunakan teknik menyeret. Dalam selang C10:C18, beberapa keputusan untuk mengira fungsi F(x) telah diperolehi. Ia boleh dilihat bahawa fungsi bertukar tanda sekali. Punca persamaan terletak dalam selang.

9. Untuk merancang pergantungan F(x) gunakan Sisipan - Gambar rajah (jenis “Titik”, penanda disambungkan dengan lengkung licin).

Kaedah membahagikan bahagian kepada separuh

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, dengan ketepatan ε=0.01. Mari selesaikannya menggunakan ciri khas pakej Excel.

1. Masukkan tajuk "Kaedah membahagikan dua bahagian" dalam sel B21.

2. Masukkan data tugasan dalam sel A23, C23, E23.

3. Di kawasan B25:H25, buat pengepala jadual (baris B - sempadan kiri segmen "a", baris C - tengah segmen "x", baris D - sempadan kanan segmen "b", baris E - nilai fungsi pada sempadan kiri segmen "F( a)", baris F - nilai fungsi di tengah segmen "F(x)", baris G - produk "F( a)*F(x)", baris H - menyemak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

4. Masukkan nilai awal hujung segmen: dalam sel B26 "4.8", dalam sel D26 "5.1".

5. Masukkan formula “=(B26+D26)/2” dalam sel C26.

6. Masukkan formula dalam sel E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Masukkan formula dalam sel F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Masukkan formula “=E26*F26” ke dalam sel G26.

9. Masukkan dalam sel H26 formula “=IF(ABS(F26)<0.01; ²akar²)".

1 0. Pilih kawasan B21:H21 dan seretnya secara menegak sehingga mesej “root” muncul dalam baris H (sel H29, H30).

Kaedah tangen (Newton)

1. Masukkan tajuk "Kaedah Tangensial (Newton)" dalam sel J23.

2. Masukkan teks "e=" dalam sel L23 dan nilai ketepatan "0.00001" dalam sel M23.

3. Di kawasan K25:N25, buat pengepala jadual (baris K - nilai hujah "x", baris L - nilai fungsi "F(x)", baris M - terbitan fungsi "F"¢ (x)", baris N - semak untuk mencapai ketepatan "ê F(x)ê<е».

4. Dalam sel K26 masukkan nilai awal hujah"-2".

5. Masukkan formula “=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5” ke dalam sel L26.

6. Masukkan formula “=3*K26*K26+4*K26+3” ke dalam sel M26.

7. Masukkan dalam sel N26 formula “=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Masukkan formula dalam sel K27"=K26-L26/M26".

9. Pilih kawasan L27:N27 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris N (sel N30).

Kaedah kord

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Ketepatan ε=0.01. Mari selesaikannya menggunakan ciri khas pakej Excel.

1. Masukkan tajuk "Kaedah Kord" dalam sel B32.

2. Masukkan teks "e=" dalam sel C34 dan nilai ketepatan "0.00001" dalam sel E34.

3. Dalam kawasan B36:D36, buat pengepala jadual (baris B - nilai hujah “x”, baris C - nilai fungsi “F(x)”, baris D - semak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

4. Dalam sel B37 dan B38 masukkan nilai awal hujah"-2" dan. "-1"

5. Masukkan formula “=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5” ke dalam sel C37.

6. Masukkan formula dalam sel D37"=JIKA(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Masukkan formula dalam sel B39“=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37).”

8. Pilih kawasan C39:D39 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris D (sel D43).

Kaedah lelaran mudah

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, dengan ketepatan =0.05.

1. Masukkan tajuk "Kaedah lelaran mudah" dalam sel K32

2. Masukkan teks "e=" dalam sel N34 dan nilai ketepatan "0.05" dalam sel O34.

3. Pilih fungsi j (x) yang memenuhi syarat penumpuan. Dalam kes kami, fungsi sedemikian ialah fungsi S(x)=(x*x+30)/11.

4. Di kawasan K38:N38, buat pengepala jadual (baris K - nilai hujah "x", baris L - nilai fungsi "F(x)", baris M - nilai fungsi tambahan "S( x)", baris N - menyemak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

5. Dalam sel K39, masukkan nilai awal argumen "4.8".

6. Masukkan formula dalam sel L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Masukkan formula “=(K39*K39+30)/11” ke dalam sel M39.

8. Masukkan dalam sel N39 formula “=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Masukkan formula “=M39” dalam sel K40.

1 0. Salin sel L39:N39 ke sel L40:N40.

1 1 . Pilih kawasan L40:N40 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris N (sel N53).

Rajah.1 Menyelesaikan persamaan tak linear dalam Excel