Jadual trigonometri lengkap. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen - semua yang anda perlu ketahui di OGE dan PENGGUNAAN

Trigonometri, sebagai sains, berasal dari Timur Purba. Nisbah trigonometri pertama telah dibangunkan oleh ahli astronomi untuk mencipta kalendar yang tepat dan berorientasikan bintang. Pengiraan ini berkaitan dengan trigonometri sfera, manakala dalam kursus sekolah mereka mengkaji nisbah sisi dan sudut segitiga rata.

Trigonometri ialah cabang matematik yang berurusan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Semasa zaman kegemilangan budaya dan sains pada milenium ke-1 Masihi, pengetahuan tersebar dari Timur Purba ke Yunani. Tetapi penemuan utama trigonometri adalah merit lelaki Khalifah Arab. Khususnya, saintis Turkmen al-Marazvi memperkenalkan fungsi seperti tangen dan kotangen, menyusun jadual pertama nilai untuk sinus, tangen dan kotangen. Konsep sinus dan kosinus diperkenalkan oleh saintis India. Banyak perhatian ditumpukan kepada trigonometri dalam karya tokoh-tokoh zaman dahulu yang hebat seperti Euclid, Archimedes dan Eratosthenes.

Kuantiti asas trigonometri

Fungsi trigonometri asas hujah berangka ialah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Setiap daripada mereka mempunyai graf sendiri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Formula untuk mengira nilai kuantiti ini adalah berdasarkan teorem Pythagoras. Ia lebih dikenali oleh pelajar sekolah dalam rumusan: "Seluar Pythagoras, sama dalam semua arah," kerana bukti diberikan pada contoh segi tiga sama kaki.

Sinus, kosinus dan kebergantungan lain mewujudkan hubungan antara sudut akut dan sisi mana-mana segi tiga tegak. Kami memberikan formula untuk mengira kuantiti ini untuk sudut A dan mengesan hubungan fungsi trigonometri:

Seperti yang anda lihat, tg dan ctg ialah fungsi songsang. Jika kita mewakili kaki a sebagai hasil darab sin A dan hipotenus c, dan kaki b sebagai cos A * c, maka kita mendapat formula berikut untuk tangen dan kotangen:

bulatan trigonometri

Secara grafik, nisbah kuantiti yang disebutkan boleh diwakili seperti berikut:

Bulatan, dalam kes ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut α - dari 0° hingga 360°. Seperti yang dapat dilihat dari rajah, setiap fungsi mengambil nilai negatif atau positif bergantung pada sudut. Sebagai contoh, sin α akan mempunyai tanda "+" jika α tergolong dalam suku I dan II bulatan, iaitu, ia berada dalam julat dari 0 ° hingga 180 °. Dengan α dari 180° hingga 360° (suku III dan IV), sin α hanya boleh menjadi nilai negatif.

Mari cuba bina jadual trigonometri untuk sudut tertentu dan ketahui maksud kuantiti.

Nilai α sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya dipanggil kes khas. Nilai fungsi trigonometri untuk mereka dikira dan dibentangkan dalam bentuk jadual khas.

Sudut-sudut ini tidak dipilih secara kebetulan. Penamaan π dalam jadual adalah untuk radian. Rad ialah sudut di mana panjang lengkok bulat sepadan dengan jejarinya. Nilai ini diperkenalkan untuk mewujudkan hubungan sejagat; apabila mengira dalam radian, panjang sebenar jejari dalam cm tidak penting.

Sudut dalam jadual untuk fungsi trigonometri sepadan dengan nilai radian:

Jadi, tidak sukar untuk meneka bahawa 2π ialah bulatan penuh atau 360°.

Sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

Untuk mempertimbangkan dan membandingkan sifat asas sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, adalah perlu untuk melukis fungsinya. Ini boleh dilakukan dalam bentuk lengkung yang terletak dalam sistem koordinat dua dimensi.

Pertimbangkan jadual perbandingan sifat untuk gelombang sinus dan gelombang kosinus:

sinusoid	gelombang kosinus
y = dosa x	y = cos x
ODZ [-1; satu]	ODZ [-1; satu]
sin x = 0, untuk x = πk, dengan k ϵ Z	cos x = 0, untuk x = π/2 + πk, di mana k ϵ Z
sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = 1, untuk x = 2πk, dengan k ϵ Z
sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = - 1, untuk x = π + 2πk, di mana k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, iaitu fungsi ganjil	cos (-x) = cos x, iaitu fungsi genap
	fungsinya adalah berkala, tempoh terkecil ialah 2π
sin x › 0, dengan x kepunyaan suku I dan II atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, dengan x kepunyaan suku I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku III dan IV atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku II dan III atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
bertambah pada selang [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	bertambah pada selang [-π + 2πk, 2πk]
berkurang pada selang [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	berkurangan dalam selang waktu
terbitan (sin x)' = cos x	terbitan (cos x)’ = - sin x

Menentukan sama ada fungsi genap atau tidak adalah sangat mudah. Ia cukup untuk membayangkan bulatan trigonometri dengan tanda-tanda kuantiti trigonometri dan secara mental "lipat" graf berbanding paksi OX. Jika tanda-tandanya sama, fungsinya adalah genap; jika tidak, ia adalah ganjil.

Pengenalan radian dan penghitungan sifat utama gelombang sinusoid dan kosinus membolehkan kami membawa corak berikut:

Sangat mudah untuk mengesahkan ketepatan formula. Contohnya, untuk x = π/2, sinus adalah sama dengan 1, begitu juga dengan kosinus bagi x = 0. Semakan boleh dilakukan dengan melihat jadual atau dengan mengesan lengkung fungsi untuk nilai yang diberikan.

Sifat tangentoid dan kotangentoid

Graf fungsi tangen dan kotangen berbeza dengan ketara daripada gelombang sinusoid dan kosinus. Nilai tg dan ctg adalah songsang antara satu sama lain.

Y = tgx.
Tangen cenderung kepada nilai y pada x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
Tempoh positif terkecil bagi tangentoid ialah π.
Tg (- x) \u003d - tg x, iaitu, fungsinya ganjil.
Tg x = 0, untuk x = πk.
Fungsi semakin meningkat.
Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Terbitan (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Pertimbangkan perwakilan grafik cotangentoid di bawah dalam teks.

Sifat utama kotangentoid:

Y = ctgx.
Tidak seperti fungsi sinus dan kosinus, dalam tangentoid Y boleh mengambil nilai set semua nombor nyata.
Cotangentoid cenderung kepada nilai y pada x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
Tempoh positif terkecil bagi kotangentoid ialah π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, iaitu, fungsinya ganjil.
Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
Fungsi semakin berkurangan.
Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
Terbitan (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Betulkan

Kami memulakan kajian trigonometri kami dengan segi tiga tepat. Mari kita tentukan apakah sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen bagi sudut akut. Ini adalah asas trigonometri.

Ingat itu sudut tepat ialah sudut sama dengan 90 darjah. Dalam erti kata lain, separuh daripada sudut terbentang.

Sudut tajam- kurang daripada 90 darjah.

Sudut cakah- lebih daripada 90 darjah. Berhubung dengan sudut sedemikian, "tumpul" bukanlah satu penghinaan, tetapi istilah matematik :-)

Mari kita lukis segi tiga tepat. Sudut tegak biasanya dilambangkan . Perhatikan bahawa sisi yang bertentangan dengan sudut dilambangkan dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang terletak bertentangan dengan sudut A dilambangkan.

Sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sepadan.

Hipotenus Segitiga tegak ialah sisi yang bertentangan dengan sudut tegak.

kaki- sisi bertentangan sudut tajam.

Kaki yang bertentangan dengan sudut dipanggil bertentangan(berbanding dengan sudut). Kaki yang lain, yang terletak pada satu sisi sudut, dipanggil bersebelahan.

Resdung Sudut lancip dalam segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus:

kosinus sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

Tangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan:

Takrifan lain (bersamaan): tangen bagi sudut akut ialah nisbah sinus sudut kepada kosinusnya:

Kotangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan dengan bertentangan (atau, bersamaan, nisbah kosinus kepada sinus):

Beri perhatian kepada nisbah asas untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yang diberikan di bawah. Mereka akan berguna kepada kita dalam menyelesaikan masalah.

Mari kita buktikan sebahagian daripada mereka.

Okay, kami telah memberikan definisi dan formula bertulis. Tetapi mengapa kita memerlukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu hasil tambah sudut mana-mana segi tiga ialah.

Kami tahu hubungan antara pihak segi tiga tepat. Ini ialah teorem Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam segitiga, anda boleh mencari yang ketiga. Mengetahui dua sisi dalam segi tiga tepat, anda boleh mencari yang ketiga. Jadi, untuk sudut - nisbah mereka, untuk sisi - mereka sendiri. Tetapi apa yang perlu dilakukan jika dalam segi tiga tepat satu sudut (kecuali yang betul) dan satu sisi diketahui, tetapi anda perlu mencari sisi lain?

Inilah yang dihadapi orang pada masa lalu, membuat peta kawasan dan langit berbintang. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk mengukur secara langsung semua sisi segitiga.

Sinus, kosinus dan tangen - mereka juga dipanggil fungsi trigonometri sudut- berikan nisbah antara pihak dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, anda boleh mencari semua fungsi trigonometrinya menggunakan jadual khas. Dan mengetahui sinus, kosinus dan tangen bagi sudut segitiga dan salah satu sisinya, anda boleh mencari yang lain.

Kami juga akan melukis jadual nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.

Perhatikan dua sengkang merah di dalam jadual. Untuk nilai sudut yang sepadan, tangen dan kotangen tidak wujud.

Mari analisa beberapa masalah dalam trigonometri daripada tugasan Bank of FIPI.

1. Dalam segitiga, sudutnya ialah , . Cari .

Masalahnya diselesaikan dalam masa empat saat.

Kerana ia , .

2. Dalam segitiga, sudutnya ialah , , . Cari .

Mari kita cari dengan teorem Pythagoras.

Masalah selesai.

Selalunya dalam masalah terdapat segi tiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan . Menghafal nisbah asas untuk mereka dengan hati!

Untuk segi tiga dengan sudut dan kaki bertentangan sudut di adalah sama dengan separuh daripada hipotenus.

Segitiga bersudut dan adalah sama kaki. Di dalamnya, hipotenus adalah kali lebih besar daripada kaki.

Kami mempertimbangkan masalah untuk menyelesaikan segi tiga tepat - iaitu, untuk mencari sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tetapi bukan itu sahaja! Dalam varian peperiksaan dalam matematik, terdapat banyak tugas di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen sudut luar segi tiga muncul. Lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel seterusnya.

Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk mendapatkan pemahaman yang baik tentang ini, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks (yang menyebabkan keadaan seram pada ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan itu tidak menakutkan seperti yang dilukis", mari kita mulakan dari awal lagi. dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, darjah

Jom tengok gambar. Vektor "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.

Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!

Sudut, baik dalam geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.

Sudut pada (satu darjah) ialah sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan bahagian bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.

Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama, iaitu sudut ini berdasarkan lengkok bulat sebesar lilitan.

Sudut dalam radian dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda faham? Kalau belum, jom tengok gambar.

Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejarinya sama dengan panjang lengkok). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:

Di manakah sudut pusat dalam radian.

Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang mengandungi sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan bulatan. Di sana dia:

Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan dapatkan bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita dapati itu. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.

Berapakah jumlah radian? betul!

faham? Kemudian kencangkan ke hadapan:

Sebarang kesukaran? lepas tu tengok jawapan:

Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, dengan konsep sudut yang difikirkan. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk ini, segi tiga tepat akan membantu kita.

Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut kanan (dalam contoh kita, ini adalah sisi); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut kanan), lebih-lebih lagi, jika kita menganggap kaki berkenaan dengan sudut, maka kaki adalah kaki yang bersebelahan, dan kaki adalah yang bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?

Sinus sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Sudut tangen- ini adalah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

dalam segitiga kami.

Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

dalam segitiga kami.

Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagi dengan apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;

Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.

Pertama sekali, perlu diingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada satu sudut). Jangan percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.

Jika anda memahami definisinya, teruskan dan perbaikinya!

Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.

Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung perkara yang sama untuk sudut.

Bulatan unit (trigonometri).

Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia amat berguna dalam kajian trigonometri. Oleh itu, kami membincangkannya dengan lebih terperinci.

Seperti yang anda lihat, bulatan ini dibina dalam sistem koordinat Cartesan. Jejari bulatan adalah sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kita, ini adalah jejari).

Setiap titik bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat sepanjang paksi dan koordinat sepanjang paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, ingat tentang segi tiga bersudut tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.

Apakah yang sama dengan dari segi tiga? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa jejari bulatan unit, dan oleh itu, . Gantikan nilai ini ke dalam formula kosinus kami. Inilah yang berlaku:

Dan apa yang sama dengan dari segi tiga? Sudah tentu, ! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:

Jadi, bolehkah anda beritahu saya apakah koordinat titik yang dimiliki oleh bulatan? Nah, tidak mungkin? Dan jika anda sedar itu dan hanya nombor? Apakah koordinat yang sepadan dengannya? Sudah tentu, koordinat! Apakah koordinat yang sepadan dengannya? Betul, selaraskan! Justeru, intinya.

Dan apakah yang sama dan? Betul, mari kita gunakan takrifan tangen dan kotangen yang sesuai dan dapatkannya, a.

Bagaimana jika sudut lebih besar? Di sini, sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:

Apakah yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, kita sekali lagi beralih ke segi tiga bersudut tegak. Pertimbangkan segi tiga tepat: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:

Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini boleh digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.

Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut saiz tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari dengan atau mengikut? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu revolusi lengkap dan berhenti pada kedudukan atau.

Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan lengkap dan berhenti pada kedudukan atau.

Oleh itu, daripada contoh di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana terdapat sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.

Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dan seterusnya. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)

Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apa yang nilainya sama dengan:

Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:

Sebarang kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:

Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:

Tidak wujud;

Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, kemudian semak jawapan.

Jawapan:

Tidak wujud

Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:

Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:

Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh hafalan yang agak mudah tentang nilai yang sepadan:

Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut dalam. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:

Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati keseluruhan nilai dari jadual.

Koordinat titik pada bulatan

Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?

Sudah tentu anda boleh! Jom bawa keluar formula am untuk mencari koordinat titik.

Di sini, sebagai contoh, kita mempunyai bulatan sedemikian:

Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.

Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia sama dengan. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:

Kemudian kita mempunyai bahawa untuk titik koordinat.

Dengan logik yang sama, kita dapati nilai koordinat y untuk titik itu. Dengan cara ini,

Jadi, secara umum, koordinat titik ditentukan oleh formula:

Koordinat pusat bulatan,

jejari bulatan,

Sudut putaran vektor jejari.

Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sifar, dan jejari adalah sama dengan satu:

Baiklah, mari cuba formula ini untuk rasa, berlatih mencari mata pada bulatan?

1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

4. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

5. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?

Selesaikan lima contoh ini (atau fahami penyelesaiannya dengan baik) dan anda akan belajar cara mencarinya!

Ia boleh dilihat bahawa. Dan kita tahu apa yang sepadan dengan pusingan penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

2. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Kita tahu apa yang sepadan dengan dua putaran lengkap titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingati nilai mereka dan mendapat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

3. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Mari kita gambarkan contoh yang dipertimbangkan dalam rajah:

Jejari membuat sudut dengan paksi sama dengan dan. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil nilai negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:

Contoh yang serupa dianalisis dengan lebih terperinci apabila mengkaji formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan unit dan sudut:

Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:

Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana

Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kami,

Jejari bulatan (mengikut keadaan)

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan).

Gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:

dan - nilai jadual. Kami mengingati dan menggantikannya ke dalam formula:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

RUMUSAN DAN FORMULA ASAS

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

Kosinus sudut ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.

Tangen bagi suatu sudut ialah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

Kotangen bagi sudut ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

Pilih rubrik Buku Matematik Fizik Kawalan dan pengurusan akses Keselamatan kebakaran Pembekal peralatan Berguna Alat pengukur (KIP) Pengukuran kelembapan - pembekal di Persekutuan Rusia. Pengukuran tekanan. Pengukuran kos. Pengukur aliran. Pengukuran suhu Pengukuran aras. Tolok aras. Teknologi tanpa parit Sistem pembetung. Pembekal pam di Persekutuan Rusia. Pembaikan pam. Aksesori saluran paip. Injap rama-rama (injap cakera). Periksa injap. Angker kawalan. Penapis mesh, pengumpul lumpur, penapis magneto-mekanikal. Injap Bola. Paip dan elemen saluran paip. Pengedap untuk benang, bebibir, dsb. Motor elektrik, pemacu elektrik... Abjad Manual, denominasi, unit, kod... Abjad, termasuk. Yunani dan Latin. Simbol. Kod. Alfa, beta, gamma, delta, epsilon… Denominasi rangkaian elektrik. Penukaran unit Desibel. Mimpi. Latar belakang. Unit apa? Unit ukuran untuk tekanan dan vakum. Menukar unit tekanan dan vakum. Unit panjang. Terjemahan unit panjang (saiz linear, jarak). Unit isipadu. Penukaran unit volum. Unit ketumpatan. Penukaran unit ketumpatan. Unit kawasan. Penukaran unit kawasan. Unit ukuran kekerasan. Penukaran unit kekerasan. Unit suhu. Penukaran unit suhu dalam skala Kelvin / Celsius / Fahrenheit / Rankine / Delisle / Newton / Reamure Unit ukuran sudut ("dimensi sudut"). Tukar unit halaju sudut dan pecutan sudut. Ralat pengukuran piawai Gas adalah berbeza sebagai media kerja. Nitrogen N2 (penyejuk R728) Ammonia (penyejuk R717). Antibeku. Hidrogen H^2 (penyejuk R702) Wap air. Udara (Atmosfera) Gas asli - gas asli. Biogas ialah gas pembetung. Gas cecair. NGL. LNG. Propana-butana. Oksigen O2 (penyejuk R732) Minyak dan pelincir Metana CH4 (penyejuk R50) Sifat air. Karbon monoksida CO. karbon monoksida. Karbon dioksida CO2. (Penyejuk R744). Klorin Cl2 Hidrogen klorida HCl, aka asid hidroklorik. Bahan penyejuk (refrigerants). Bahan Penyejuk (Refrigerant) R11 - Fluorotricloromethane (CFCI3) Refrigerant (Refrigerant) R12 - Difluorodichloromethane (CF2CCl2) Refrigerant (Refrigerant) R125 - Pentafluoroethane (CF2HCF3). Bahan Penyejuk (Refrigerant) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (CF3CFH2). Bahan Penyejuk (Refrigerant) R22 - Difluorochloromethane (CF2ClH) Refrigerant (Refrigerant) R32 - Difluorometana (CH2F2). Bahan Penyejuk (Refrigerant) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Peratus mengikut jisim. lain Bahan - sifat terma Pelelas - pasir, kehalusan, peralatan pengisaran. Tanah, tanah, pasir dan batu-batu lain. Petunjuk gembur, pengecutan dan ketumpatan tanah dan batu. Pengecutan dan longgar, beban. Sudut cerun. Ketinggian tebing, tempat pembuangan sampah. kayu. kayu balak. kayu balak. Log. Kayu api… Seramik. Pelekat dan penyambung gam Ais dan salji (air ais) Logam Aloi aluminium dan aluminium Kuprum, gangsa dan loyang Gangsa Loyang Tembaga (dan pengelasan aloi kuprum) Nikel dan aloi Pematuhan gred aloi Keluli dan aloi Jadual rujukan berat produk logam bergulung dan paip. +/-5% Berat paip. berat logam. Sifat mekanikal keluli. Mineral Besi Tuang. Asbestos. Produk makanan dan bahan mentah makanan. Hartanah, dsb. Pautan ke bahagian lain projek. Getah, plastik, elastomer, polimer. Penerangan terperinci tentang Elastomer PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE diubah suai), Kekuatan bahan. Sopromat. Bahan Binaan. Sifat fizikal, mekanikal dan haba. konkrit. Penyelesaian konkrit. Penyelesaian. Kelengkapan pembinaan. Keluli dan lain-lain. Jadual kebolehgunaan bahan. Rintangan kimia. Kesesuaian suhu. Rintangan kakisan. Bahan pengedap - pengedap sendi. PTFE (fluoroplast-4) dan bahan terbitan. pita FUM. Pelekat anaerobik Pengedap tidak mengeringkan (tidak mengeras). Pengedap silikon (organosilicon). Grafit, asbestos, paronit dan bahan terbitan Paronit. Grafit dikembangkan secara terma (TRG, TMG), komposisi. Hartanah. Permohonan. Pengeluaran. Flax sanitari Pengedap elastomer getah Penebat dan bahan penebat haba. (pautan ke bahagian projek) Teknik dan konsep kejuruteraan Perlindungan letupan. Perlindungan alam sekitar. kakisan. Pengubahsuaian iklim (Jadual Keserasian Bahan) Kelas tekanan, suhu, sesak Penurunan (kehilangan) tekanan. - Konsep kejuruteraan. Perlindungan kebakaran. Kebakaran. Teori kawalan automatik (peraturan). Buku Panduan Matematik TAU Aritmetik, janjang geometri dan hasil tambah beberapa siri berangka. Angka geometri. Sifat, formula: perimeter, kawasan, isipadu, panjang. Segitiga, Segi empat tepat, dsb. Darjah kepada radian. angka rata. Sifat, sisi, sudut, tanda, perimeter, kesamaan, persamaan, kord, sektor, kawasan, dsb. Kawasan angka tidak teratur, isipadu badan tidak teratur. Nilai purata isyarat. Formula dan kaedah untuk mengira luas. graf. Pembinaan graf. Membaca carta. kalkulus kamiran dan pembezaan. Terbitan jadual dan kamiran. Jadual terbitan. Jadual kamiran. Jadual primitif. Cari derivatif. Cari kamiran. Diffury. Nombor kompleks. unit khayalan. Algebra linear. (Vektor, matriks) Matematik untuk si kecil. Tadika - darjah 7. Logik matematik. Penyelesaian persamaan. Persamaan kuadratik dan biquadratik. Formula. Kaedah. Penyelesaian persamaan pembezaan Contoh penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa tertib lebih tinggi daripada yang pertama. Contoh penyelesaian kepada yang paling mudah = persamaan pembezaan biasa yang boleh diselesaikan secara analitik bagi urutan pertama. Sistem koordinat. Segi empat tepat Cartesian, polar, silinder dan sfera. Dua dimensi dan tiga dimensi. Sistem nombor. Nombor dan digit (nyata, kompleks, ....). Jadual sistem nombor. Siri kuasa Taylor, Maclaurin (=McLaren) dan siri Fourier berkala. Penguraian fungsi kepada siri. Jadual logaritma dan formula asas Jadual nilai berangka Jadual Bradys. Teori dan statistik kebarangkalian Fungsi trigonometri, formula dan graf. sin, cos, tg, ctg….Nilai-nilai fungsi trigonometri. Formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri. Identiti trigonometri. Kaedah berangka Peralatan - piawaian, dimensi Perkakas rumah tangga, peralatan rumah. Sistem saliran dan saliran. Kapasiti, tangki, takungan, tangki. Instrumentasi dan kawalan Instrumentasi dan automasi. Pengukuran suhu. Penghantar, penghantar tali pinggang. Bekas (pautan) Peralatan makmal. Pam dan stesen pam Pam untuk cecair dan pulpa. Jargon kejuruteraan. Kamus. saringan. Penapisan. Pengasingan zarah melalui grid dan ayak. Anggaran kekuatan tali, kabel, tali, tali yang diperbuat daripada pelbagai plastik. Produk getah. Sendi dan lampiran. Diameter bersyarat, nominal, Du, DN, NPS dan NB. Diameter metrik dan inci. SDR. Kunci dan alur kunci. Piawaian komunikasi. Isyarat dalam sistem automasi (I&C) Isyarat input dan output analog instrumen, penderia, meter aliran dan peranti automasi. antara muka sambungan. Protokol komunikasi (komunikasi) Telefoni. Aksesori saluran paip. Kren, injap, injap pintu…. Panjang bangunan. Bebibir dan benang. Piawaian. Menghubungkan dimensi. benang. Jawatan, dimensi, penggunaan, jenis ... (pautan rujukan) Sambungan ("higienis", "aseptik") saluran paip dalam industri makanan, tenusu dan farmaseutikal. Paip, saluran paip. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Pilihan diameter saluran paip. Kadar aliran. Perbelanjaan. Kekuatan. Jadual pemilihan, Penurunan tekanan. Paip tembaga. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip polivinil klorida (PVC). Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip adalah polietilena. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip polietilena PND. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip keluli (termasuk keluli tahan karat). Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip adalah keluli. Paip itu tahan karat. Paip keluli tahan karat. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip itu tahan karat. Paip keluli karbon. Diameter paip dan ciri-ciri lain. Paip adalah keluli. Memasang. Bebibir mengikut GOST, DIN (EN 1092-1) dan ANSI (ASME). Sambungan bebibir. Sambungan bebibir. Sambungan bebibir. Elemen saluran paip. Lampu elektrik Penyambung dan wayar elektrik (kabel) Motor elektrik. Motor elektrik. Peranti pensuisan elektrik. (Pautan ke bahagian) Piawaian untuk kehidupan peribadi jurutera Geografi untuk jurutera. Jarak, laluan, peta….. Jurutera dalam kehidupan seharian. Keluarga, kanak-kanak, rekreasi, pakaian dan tempat tinggal. Anak-anak jurutera. Jurutera di pejabat. Jurutera dan orang lain. Sosialisasi jurutera. Rasa ingin tahu. Jurutera berehat. Ini mengejutkan kami. Jurutera dan makanan. Resipi, utiliti. Helah untuk restoran. Perdagangan antarabangsa untuk jurutera. Kami belajar untuk berfikir dengan cara yang kurang ajar. Pengangkutan dan perjalanan. Kereta persendirian, basikal… Fizik dan kimia manusia. Ekonomi untuk jurutera. Pembiaya Bormotologiya - bahasa manusia. Konsep dan lukisan teknologi Penulisan kertas, lukisan, pejabat dan sampul surat. Saiz foto standard. Pengudaraan dan penghawa dingin. Bekalan air dan pembetungan Bekalan air panas (DHW). Bekalan air minuman Air buangan. Bekalan air sejuk Industri galvanik Penyejukan Talian / sistem wap. Talian / sistem kondensat. Garisan wap. Saluran paip kondensat. Industri makanan Bekalan gas asli Logam kimpalan Simbol dan sebutan peralatan pada lukisan dan gambar rajah. Perwakilan grafik simbolik dalam projek pemanasan, pengudaraan, penyaman udara dan bekalan haba dan sejuk, mengikut Standard ANSI / ASHRAE 134-2005. Pensterilan peralatan dan bahan Bekalan haba Industri elektronik Bekalan kuasa Rujukan fizikal Abjad. Jawatan yang diterima. Pemalar fizikal asas. Kelembapan adalah mutlak, relatif dan spesifik. Kelembapan udara. Jadual Psikrometrik. Gambar rajah Ramzin. Kelikatan Masa, nombor Reynolds (Re). Unit kelikatan. Gas. Sifat-sifat gas. Pemalar gas individu. Tekanan dan Vakum Panjang Vakum, jarak, dimensi linear Bunyi. Ultrasound. Pekali penyerapan bunyi (pautan ke bahagian lain) Iklim. data iklim. data semula jadi. SNiP 23-01-99. Klimatologi bangunan. (Statistik data iklim) SNIP 23-01-99. Jadual 3 - Purata suhu udara bulanan dan tahunan, ° С. Bekas USSR. SNIP 23-01-99 Jadual 1. Parameter iklim bagi tempoh sejuk tahun itu. RF. SNIP 23-01-99 Jadual 2. Parameter iklim musim panas. Bekas USSR. SNIP 23-01-99 Jadual 2. Parameter iklim musim panas. RF. SNIP 23-01-99 Jadual 3. Purata suhu udara bulanan dan tahunan, °C. RF. SNiP 23-01-99. Jadual 5a* - Purata tekanan separa bulanan dan tahunan wap air, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Jadual 1. Parameter iklim musim sejuk. Bekas USSR. Ketumpatan. Berat badan. Graviti tertentu. Ketumpatan pukal. Ketegangan permukaan. Keterlarutan. Keterlarutan gas dan pepejal. Cahaya dan warna. Pekali pantulan, penyerapan dan pembiasan Abjad warna:) - Penamaan (pengekodan) warna (warna). Sifat bahan dan media kriogenik. Meja. Pekali geseran untuk pelbagai bahan. Kuantiti terma, termasuk suhu pendidihan, lebur, nyalaan, dsb... untuk maklumat lanjut, lihat: Pekali adiabatik (penunjuk). Perolakan dan pertukaran haba penuh. Pekali pengembangan linear haba, pengembangan isipadu haba. Suhu, pendidihan, lebur, lain-lain… Penukaran unit suhu. Kemudahbakaran. suhu melembutkan. Takat didih Takat lebur Kekonduksian terma. Pekali kekonduksian terma. Termodinamik. Haba tentu pengewapan (kondensasi). Entalpi pengewapan. Haba tentu pembakaran (nilai kalori). Keperluan oksigen. Kuantiti elektrik dan magnet Momen dipol elektrik. Pemalar dielektrik. Pemalar elektrik. Panjang gelombang elektromagnet (buku rujukan bahagian lain) Kekuatan medan magnet Konsep dan formula untuk elektrik dan kemagnetan. Elektrostatik. Modul piezoelektrik. Kekuatan elektrik bahan Arus elektrik Rintangan dan kekonduksian elektrik. Potensi elektronik Buku rujukan kimia "Abjad kimia (kamus)" - nama, singkatan, awalan, sebutan bahan dan sebatian. Larutan akueus dan campuran untuk pemprosesan logam. Larutan akueus untuk penggunaan dan penyingkiran salutan logam Larutan akueus untuk membuang mendapan karbon (mendapan tar, mendapan karbon daripada enjin pembakaran dalaman...) Larutan akueus untuk pempasifan. Larutan akueus untuk etsa - mengeluarkan oksida dari permukaan Larutan akueus untuk memfosfatkan Larutan akueus dan campuran untuk pengoksidaan kimia dan pewarnaan logam. Larutan akueus dan campuran untuk penggilap kimia Menyahgris larutan akueus dan pelarut organik pH. jadual pH. Pembakaran dan letupan. Pengoksidaan dan pengurangan. Kelas, kategori, sebutan bahaya (toksikiti) bahan kimia Sistem berkala unsur kimia DI Mendeleev. Jadual berkala. Ketumpatan pelarut organik (g/cm3) bergantung pada suhu. 0-100 °С. Sifat penyelesaian. Pemalar pemisahan, keasidan, keasaman. Keterlarutan. Campuran. Pemalar haba bahan. Entalpi. entropi. Tenaga Gibbs… (pautan ke buku rujukan kimia projek) Pengawal selia kejuruteraan elektrik Sistem bekalan kuasa tanpa gangguan. Sistem penghantaran dan kawalan Sistem kabel berstruktur Pusat data

Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea telah merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa Achilles berlari jarak ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan berterusan selama-lamanya, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kesemua mereka, dalam satu cara atau yang lain, menganggap aporias Zeno. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan pada masa ini, komuniti saintifik masih belum berjaya mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima secara universal untuk masalah itu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada nilai kepada. Peralihan ini membayangkan penggunaan dan bukannya pemalar. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran berubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Penggunaan logik biasa membawa kita ke dalam perangkap. Kami, dengan inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada timbal balik. Dari sudut fizikal, ia kelihatan seperti masa semakin perlahan untuk berhenti sepenuhnya ketika Achilles mengejar kura-kura itu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh memintas kura-kura itu.

Jika kita putar logik yang biasa kita lakukan, semuanya akan menjadi pada tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen laluan berikutnya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat memintas kura-kura."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan beralih kepada nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Pernyataan Einstein tentang ketidakbolehtahanan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami masih belum mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang terletak pada titik yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah pergerakan. Terdapat satu lagi perkara yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya, adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan kereta, dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza diperlukan, tetapi ia tidak boleh digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada masa yang sama, tetapi anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (secara semula jadi, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda). Apa yang saya ingin nyatakan khususnya ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah dua perkara berbeza yang tidak boleh dikelirukan kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penerokaan.

Rabu, 4 Julai 2018

Sangat baik perbezaan antara set dan multiset diterangkan dalam Wikipedia. Kita tengok.

Seperti yang anda lihat, "set tidak boleh mempunyai dua elemen yang sama", tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset". Makhluk yang munasabah tidak akan pernah memahami logik yang tidak masuk akal seperti itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, di mana fikiran tidak hadir dari perkataan "sepenuhnya." Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, menyampaikan idea tidak masuk akal mereka kepada kami.

Pada suatu masa dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa ujian jambatan itu. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah", atau lebih tepat "matematik mengkaji konsep abstrak", terdapat satu tali pusat yang menghubungkannya dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Marilah kita mengaplikasikan teori set matematik kepada ahli matematik itu sendiri.

Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira keseluruhan jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Kami menerangkan matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "anda boleh menerapkannya kepada orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Selanjutnya, jaminan akan bermula bahawa terdapat nombor wang kertas yang berbeza pada wang kertas denominasi yang sama, yang bermaksud bahawa ia tidak boleh dianggap sebagai unsur yang sama. Nah, kami mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan panik mengingati fizik: syiling yang berbeza mempunyai jumlah kotoran yang berbeza, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap syiling adalah unik ...

Dan sekarang saya mempunyai soalan yang paling menarik: di manakah sempadan yang melampaui elemen multiset bertukar menjadi elemen set dan sebaliknya? Garis sedemikian tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains di sini tidak dekat.

Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan keluasan padang yang sama. Luas bidang adalah sama, yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita mengambil kira nama stadium yang sama, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset pada masa yang sama. Betul ke? Dan di sini ahli matematik-bomoh-shuller mengeluarkan trump ace dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan menunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

Ahad, 18 Mac 2018

Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi mereka adalah bomoh untuk itu, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah Digit Nombor". Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang membolehkan anda mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor ialah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis nombor, dan dalam bahasa matematik, tugasnya berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya secara asas.

Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, katakan kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor kepada simbol grafik nombor. Ini bukan operasi matematik.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor berasingan. Memotong gambar bukan operasi matematik.

3. Tukar aksara grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.

Jumlah digit bagi nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor itu. Jadi, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. Dengan nombor yang besar 12345, saya tidak mahu menipu kepala saya, pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Jom tengok hasilnya.

Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia seperti mencari luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter akan memberi anda hasil yang berbeza.

Sifar dalam semua sistem nombor kelihatan sama dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta bahawa . Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah ia ditandakan dalam matematik sebagai yang bukan nombor? Apa, bagi ahli matematik, tiada apa-apa selain nombor yang wujud? Untuk bomoh, saya boleh membenarkan ini, tetapi untuk saintis, tidak. Realiti bukan hanya tentang angka.

Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza dengan kuantiti yang sama membawa kepada keputusan yang berbeza selepas membandingkannya, maka ini tiada kaitan dengan matematik.

Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan tindakan matematik tidak bergantung pada nilai nombor, unit ukuran yang digunakan dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini tandas wanita?
- Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kekudusan jiwa-jiwa yang tidak terbatas semasa kenaikan ke syurga! Nimbus di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?

Perempuan... Halo di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.

Jika anda mempunyai karya seni reka bentuk yang berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,

Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menemui ikon pelik di dalam kereta anda:

Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang membuang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip arka persepsi imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.

1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam sistem nombor heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.