Sifat dan graf fungsi kuasa dibentangkan untuk pelbagai nilai eksponen. Formula asas, domain dan set nilai, pariti, monotonisitas, pertambahan dan penurunan, ekstrema, cembungan, infleksi, titik persilangan dengan paksi koordinat, had, nilai tertentu.

Formula Fungsi Kuasa

Pada domain fungsi kuasa y = x p, formula berikut dipegang:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat fungsi kuasa dan grafnya

Fungsi kuasa dengan eksponen sama dengan sifar, p = 0

Jika eksponen bagi fungsi kuasa y = x p adalah sama dengan sifar, p = 0 , maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk semua x ≠ 0 dan adalah malar, sama dengan satu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Fungsi kuasa dengan eksponen ganjil semula jadi, p = n = 1, 3, 5, ...

Pertimbangkan fungsi kuasa y = x p = x n dengan eksponen ganjil semula jadi n = 1, 3, 5, ... . Penunjuk sedemikian juga boleh ditulis sebagai: n = 2k + 1, di mana k = 0, 1, 2, 3, ... ialah integer bukan negatif. Di bawah ialah sifat dan graf bagi fungsi tersebut.

Graf fungsi kuasa y = x n dengan eksponen ganjil semula jadi untuk pelbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Berbilang nilai: -∞ < y < ∞
Pariti: ganjil, y(-x) = - y(x)
Monoton: meningkat secara monoton
Keterlaluan: Tidak
Cembung:
pada -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik putus: x=0, y=0
x=0, y=0
Had:
;
Nilai peribadi:
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1 , fungsi adalah songsang kepada dirinya sendiri: x = y
untuk n ≠ 1, fungsi songsang ialah punca darjah n:

Fungsi kuasa dengan eksponen genap semula jadi, p = n = 2, 4, 6, ...

Pertimbangkan fungsi kuasa y = x p = x n dengan eksponen genap semula jadi n = 2, 4, 6, ... . Penunjuk sedemikian juga boleh ditulis sebagai: n = 2k, di mana k = 1, 2, 3, ... ialah nombor asli. Sifat dan graf bagi fungsi tersebut diberikan di bawah.

Graf fungsi kuasa y = x n dengan eksponen genap semula jadi untuk pelbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Berbilang nilai: 0 ≤ y< ∞
Pariti: genap, y(-x) = y(x)
Monoton:
untuk x ≤ 0 menurun secara monoton
untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
Keterlaluan: minimum, x=0, y=0
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
Had:
;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, punca kuasa dua:
untuk n ≠ 2, punca darjah n:

Fungsi kuasa dengan eksponen negatif integer, p = n = -1, -2, -3, ...

Pertimbangkan fungsi kuasa y = x p = x n dengan eksponen integer negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita meletakkan n = -k, di mana k = 1, 2, 3, ... ialah nombor asli, maka ia boleh diwakili sebagai:

Graf fungsi kuasa y = x n dengan eksponen integer negatif untuk pelbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ialah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif ganjil n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Berbilang nilai: y ≠ 0
Pariti: ganjil, y(-x) = - y(x)
Monoton: berkurangan secara monoton
Keterlaluan: Tidak
Cembung:
pada x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: Tidak
tanda:
pada x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Had:
; ; ;
Nilai peribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -1,
untuk n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ialah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif genap n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Berbilang nilai: y > 0
Pariti: genap, y(-x) = y(x)
Monoton:
pada x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monotoni
Keterlaluan: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: Tidak
tanda: y > 0
Had:
; ; ;
Nilai peribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -2,
untuk n< -2 ,

Fungsi kuasa dengan eksponen rasional (pecahan).

Pertimbangkan fungsi kuasa y = x p dengan eksponen rasional (pecahan), dengan n ialah integer, m > 1 ialah nombor asli. Selain itu, n, m tidak mempunyai pembahagi sepunya.

Penyebut penunjuk pecahan adalah ganjil

Biarkan penyebut bagi eksponen pecahan itu ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam kes ini, fungsi kuasa x p ditakrifkan untuk kedua-dua nilai x positif dan negatif. Pertimbangkan sifat fungsi kuasa tersebut apabila eksponen p berada dalam had tertentu.

p adalah negatif, p< 0

Biarkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ... ) kurang daripada sifar: .

Graf fungsi eksponen dengan eksponen negatif rasional untuk pelbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... adalah ganjil.

Pengangka ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Berikut ialah sifat-sifat fungsi kuasa y = x p dengan eksponen negatif rasional , di mana n = -1, -3, -5, ... ialah integer negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... ialah nombor asli ganjil.

Domain: x ≠ 0
Berbilang nilai: y ≠ 0
Pariti: ganjil, y(-x) = - y(x)
Monoton: berkurangan secara monoton
Keterlaluan: Tidak
Cembung:
pada x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: Tidak
tanda:
pada x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Had:
; ; ;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pengangka genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat fungsi kuasa y = x p dengan eksponen negatif rasional, dengan n = -2, -4, -6, ... ialah integer negatif genap, m = 3, 5, 7 ... ialah nombor asli ganjil .

Domain: x ≠ 0
Berbilang nilai: y > 0
Pariti: genap, y(-x) = y(x)
Monoton:
pada x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monotoni
Keterlaluan: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: Tidak
tanda: y > 0
Had:
; ; ;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai-p adalah positif, kurang daripada satu, 0< p < 1

Graf fungsi kuasa dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pengangka ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbilang nilai: -∞ < y < +∞
Pariti: ganjil, y(-x) = - y(x)
Monoton: meningkat secara monoton
Keterlaluan: Tidak
Cembung:
pada x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0 : cembung ke atas
Titik putus: x=0, y=0
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
tanda:
pada x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Had:
;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pengangka genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi kuasa y = x p dengan eksponen rasional , berada dalam lingkungan 0 dibentangkan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbilang nilai: 0 ≤ y< +∞
Pariti: genap, y(-x) = y(x)
Monoton:
pada x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0 : meningkat secara monoton
Keterlaluan: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas pada x ≠ 0
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
tanda: untuk x ≠ 0, y > 0
Had:
;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Eksponen p lebih besar daripada satu, p > 1

Graf fungsi kuasa dengan eksponen rasional (p > 1 ) untuk pelbagai nilai eksponen , dengan m = 3, 5, 7, ... adalah ganjil.

Pengangka ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat fungsi kuasa y = x p dengan eksponen rasional lebih besar daripada satu: . Di mana n = 5, 7, 9, ... ialah nombor asli ganjil, m = 3, 5, 7 ... ialah nombor asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbilang nilai: -∞ < y < ∞
Pariti: ganjil, y(-x) = - y(x)
Monoton: meningkat secara monoton
Keterlaluan: Tidak
Cembung:
pada -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik putus: x=0, y=0
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
Had:
;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pengangka genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat fungsi kuasa y = x p dengan eksponen rasional lebih besar daripada satu: . Di mana n = 4, 6, 8, ... ialah nombor asli genap, m = 3, 5, 7 ... ialah nombor asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbilang nilai: 0 ≤ y< ∞
Pariti: genap, y(-x) = y(x)
Monoton:
pada x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 meningkat secara monoton
Keterlaluan: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
Had:
;
Nilai peribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut bagi penunjuk pecahan ialah genap

Biarkan penyebut bagi eksponen pecahan ialah genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam kes ini, fungsi kuasa x p tidak ditakrifkan untuk nilai negatif hujah. Sifatnya bertepatan dengan fungsi kuasa dengan eksponen tidak rasional (lihat bahagian seterusnya).

Fungsi kuasa dengan eksponen tidak rasional

Pertimbangkan fungsi kuasa y = x p dengan eksponen tidak rasional p . Sifat fungsi tersebut berbeza daripada yang dipertimbangkan di atas kerana ia tidak ditakrifkan untuk nilai negatif argumen x. Untuk nilai positif hujah, sifat hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada sama ada p adalah integer, rasional atau tidak rasional.

y = x p untuk nilai yang berbeza bagi eksponen p .

Fungsi kuasa dengan p negatif< 0

Domain: x > 0
Berbilang nilai: y > 0
Monoton: berkurangan secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: Tidak
Had: ;
nilai peribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi kuasa dengan eksponen positif p > 0

Penunjuk adalah kurang daripada satu 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Berbilang nilai: y ≥ 0
Monoton: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
Had:
Nilai peribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Penunjuk lebih besar daripada satu p > 1

Domain: x ≥ 0
Berbilang nilai: y ≥ 0
Monoton: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik putus: Tidak
Titik persilangan dengan paksi koordinat: x=0, y=0
Had:
Nilai peribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan Matematik untuk Jurutera dan Pelajar Institusi Pendidikan Tinggi, Lan, 2009.

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan mesej penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau sebab kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Bahagian ini mengandungi bahan rujukan tentang fungsi asas asas dan sifatnya. Klasifikasi fungsi asas diberikan. Di bawah adalah pautan kepada subseksyen yang membincangkan sifat-sifat fungsi tertentu - graf, formula, terbitan, antiterbitan (kamiran), pengembangan kepada siri, ungkapan dari segi pembolehubah kompleks.

Halaman rujukan untuk fungsi asas

Klasifikasi fungsi asas

Fungsi algebra ialah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
di mana ialah polinomial dalam pembolehubah bersandar y dan pembolehubah tidak bersandar x . Ia boleh ditulis sebagai:
,
dimanakah polinomial.

Fungsi algebra dibahagikan kepada polinomial (keseluruhan fungsi rasional), fungsi rasional dan fungsi tidak rasional.

Keseluruhan fungsi rasional, yang juga dipanggil polinomial atau polinomial, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik tambah (tolak) dan darab. Selepas membuka kurungan, polinomial dikurangkan kepada bentuk kanonik:
.

Fungsi rasional pecahan, atau ringkasnya fungsi rasional, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik tambah (tolak), darab dan bahagi. Fungsi rasional boleh dikurangkan kepada bentuk
,
di mana dan adalah polinomial.

Fungsi tidak rasional ialah fungsi algebra yang tidak rasional. Sebagai peraturan, fungsi tidak rasional difahami sebagai akar dan komposisinya dengan fungsi rasional. Punca darjah n ditakrifkan sebagai penyelesaian kepada persamaan
.
Ia ditandakan seperti ini:
.

Fungsi transenden dipanggil fungsi bukan algebra. Ini adalah fungsi eksponen, trigonometri, hiperbolik dan songsang.

Gambaran keseluruhan fungsi asas asas

Semua fungsi asas boleh diwakili sebagai bilangan terhingga operasi tambah, tolak, darab dan bahagi yang dilakukan pada ungkapan bentuk:
z t .
Fungsi songsang juga boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma. Fungsi asas utama disenaraikan di bawah.

Fungsi kuasa:
y(x) = x p ,
di mana p ialah eksponen. Ia bergantung kepada asas x.
Songsangan bagi fungsi kuasa juga merupakan fungsi kuasa:
.
Untuk nilai integer bukan negatif bagi eksponen p, ia adalah polinomial. Untuk nilai integer p ialah fungsi rasional. Dengan nilai rasional - fungsi tidak rasional.

Fungsi Transenden

Fungsi eksponen:
y(x) = a x ,
di mana a ialah asas darjah. Ia bergantung kepada eksponen x.
Fungsi songsang ialah logaritma kepada asas a:
x= log a y.

Eksponen, e kepada kuasa x:
y(x) = e x ,
Ini ialah fungsi eksponen yang derivatifnya sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Asas eksponen ialah nombor e:
≈ 2,718281828459045... .
Fungsi songsang - logaritma asli - logaritma kepada asas e :
x= ln y ≡ log e y.

Fungsi trigonometri:
Sinus : ;
Kosinus : ;
Tangen : ;
Kotangen : ;
Di sini i ialah unit khayalan, i 2 = -1.

Fungsi trigonometri songsang:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Arccosine: x = arka cos y, ;
Artangen: x = arctg y, ;
Arka tangen: x = arcctg y, .

Untuk memahami topik ini, pertimbangkan fungsi yang ditunjukkan pada graf // Mari tunjukkan bagaimana graf fungsi membolehkan anda menentukan sifatnya.

Kami menganalisis sifat fungsi menggunakan contoh

Skop fungsi ialah yavl. selang [ 3.5; 5.5].

Julat fungsi yavl. selang [ 1; 3].

1. Pada x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, nilai fungsi ialah sifar.

Nilai hujah, di mana nilai fungsi adalah sifar, dipanggil sifar fungsi.

//itu. untuk fungsi ini nombor -3;-1;1.5; 4.5 ialah sifar.

2. Pada selang [ 4.5; 3) dan (1; 1.5) dan (4.5; 5.5] graf fungsi f terletak di atas paksi absis, dan pada selang (-3; -1) dan (1.5; 4.5) di bawah paksi absis, ini ialah dijelaskan seperti berikut - pada selang [ 4.5; 3) dan (1; 1.5) dan (4.5; 5.5] fungsi mengambil nilai positif, dan pada selang (-3; -1) dan ( 1.5; 4.5) adalah negatif.

Setiap selang yang ditunjukkan (di mana fungsi mengambil nilai tanda yang sama) dipanggil selang tanda malar bagi fungsi f.//i.e. sebagai contoh, jika kita mengambil selang (0; 3), maka ia bukan selang tanda malar bagi fungsi yang diberikan.

Dalam matematik, apabila mencari selang tanda malar fungsi, adalah lazim untuk menunjukkan selang panjang maksimum. //Itu. selang (2; 3) ialah selang keteguhan fungsi f, tetapi jawapannya hendaklah termasuk selang [4,5; 3) mengandungi selang (2; 3).

3. Jika anda bergerak di sepanjang paksi-x dari 4.5 ke 2, anda akan perasan bahawa graf fungsi turun, iaitu nilai-nilai fungsi berkurangan. //Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa pada selang [ 4,5; 2] fungsi semakin berkurangan.

Apabila x bertambah daripada 2 kepada 0, graf fungsi itu naik, i.e. nilai fungsi meningkat. //Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk mengatakan bahawa pada selang [ 2; 0] fungsi semakin meningkat.

Fungsi f dipanggil jika untuk mana-mana dua nilai argumen x1 dan x2 dari selang ini supaya x2 > x1, ketaksamaan f (x2) > f (x1) dipenuhi. // atau Fungsi dipanggil meningkat dalam beberapa selang, jika untuk sebarang nilai argumen dari selang ini, nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.//i.e. lagi banyak x, lagi banyak y.

Fungsi f dipanggil berkurangan dalam tempoh tertentu, jika bagi mana-mana dua nilai argumen x1 dan x2 daripada selang ini sehingga x2 > x1, ketaksamaan f(x2) berkurangan pada beberapa selang adalah berpuas hati, jika untuk sebarang nilai hujah dari selang ini lebih besar nilai argumen sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil. //itu. semakin banyak x, semakin kurang y.

Jika fungsi semakin meningkat ke atas keseluruhan domain definisi, maka ia dipanggil semakin meningkat.

Jika fungsi berkurangan ke atas keseluruhan domain definisi, maka ia dipanggil amaran.

Contoh 1 graf fungsi meningkat dan menurun, masing-masing.

Contoh 2

Tentukan yavl. adakah fungsi linear f(x) = 3x + 5 bertambah atau berkurang?

Bukti. Mari kita gunakan definisi. Biarkan x1 dan x2 menjadi nilai arbitrari bagi hujah, dan x1< x2., например х1=1, х2=7

Fungsi dan sifatnya

Fungsi adalah salah satu konsep matematik yang paling penting.Fungsi adalah pergantungan pembolehubah y pada pembolehubah x, di mana setiap nilai pembolehubah x sepadan dengan nilai tunggal pembolehubah y.

pembolehubah X dipanggil pembolehubah bebas atau hujah. pembolehubah di dipanggil pembolehubah bersandar. Mereka juga berkata demikianpembolehubah y ialah fungsi pembolehubah x. Nilai pembolehubah bersandar dipanggilnilai fungsi.

Jika kebergantungan pembolehubahdi daripada pembolehubahX adalah fungsi, ia boleh ditulis seperti berikut:y= f( x ). (Baca:di samaf daripadaX .) Simbolf( x) menandakan nilai fungsi yang sepadan dengan nilai hujah yang sama denganX .

Semua nilai bentuk pembolehubah bebasskop fungsi . Semua nilai yang membentuk pembolehubah bersandarjulat fungsi .

Jika fungsi diberikan oleh formula dan domain definisinya tidak ditentukan, maka domain fungsi itu dianggap terdiri daripada semua nilai hujah yang formula itu masuk akal.

Cara untuk menetapkan fungsi:

1.kaedah analisis (fungsi ditetapkan menggunakan formula matematik;

2.cara jadual (fungsi ditetapkan menggunakan jadual)

3.cara deskriptif (fungsi diberikan secara lisan)

4.kaedah grafik (fungsi ditetapkan menggunakan graf).

Graf Fungsi panggil set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai hujah, dan ordinat - nilai fungsi yang sepadan.

SIFAT-SIFAT UTAMA FUNGSI

1. Fungsi sifar

Fungsi sifar ialah nilai hujah di mana nilai fungsi adalah sama dengan sifar.

2. Selang fungsi

Selang tanda malar bagi sesuatu fungsi ialah set nilai hujah yang mana nilai fungsi itu hanya positif atau negatif sahaja.

3. Meningkatkan (menurun) fungsi.

Bertambah dalam selang tertentu, fungsi ialah fungsi di mana nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi y= f ( x ) dipanggil semakin meningkat pada selang waktu (a; b ), jika ada x 1 dan x 2 daripada selang ini supayax 1 < x 2 , ketidaksamaan ituf ( x 1 )< f ( x 2 ).

amaran dalam selang tertentu, fungsi ialah fungsi yang nilai argumennya lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Fungsi di = f ( x ) dipanggil amaran pada selang waktu (a; b ) , jika ada x 1 dan x 2 daripada selang ini supaya x 1 < x 2 , ketidaksamaan ituf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Fungsi genap (ganjil).

Malah berfungsi - fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asal dan untuk mana-manaX daripada domain takrifan persamaanf (- x ) = f ( x ) . Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi-y.

Contohnya, y = x 2 adalah fungsi genap.

fungsi ganjil- fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asal dan untuk mana-mana X daripada domain takrifan persamaan f (- x ) = - f (x ). Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

Contohnya: y = x 3 - fungsi ganjil .

Fungsi umum bukan genap dan bukan ganjil (y = x 2 +x ).

Sifat beberapa fungsi dan grafiknya

1. Fungsi linear dipanggil fungsi bentuk , di mana k dan b - nombor.

Domain definisi fungsi linear ialah setR nombor nyata.

Graf fungsi lineardi = kx + b ( k ≠ 0) ialah garis lurus yang melalui titik (0;b ) dan selari dengan garisandi = kx .

Lurus, tidak selari dengan paksiOU, ialah graf bagi fungsi linear.

Sifat fungsi linear.

1. Bila k > 0 fungsi di = kx + b

2. Bila k < 0 fungsi y= kx + b berkurangan dalam domain definisi.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sekumpulanR nombor nyata.

Pada k = 0 set nilai fungsiy= kx + b terdiri daripada satu nomborb .

3. Bila b = 0 dan k = 0 fungsi itu bukan genap mahupun ganjil.

Pada k = 0 fungsi linear mempunyai bentuky= b dan pada b ≠ 0 ia adalah sekata.

Pada k = 0 dan b = 0 fungsi linear mempunyai bentuky= 0 dan kedua-duanya genap dan ganjil pada masa yang sama.

Graf fungsi lineary= b ialah garis yang melalui titik (0; b ) dan selari dengan paksiOh. Perhatikan bahawa apabila b = 0 graf fungsiy= b bertepatan dengan paksi Oh .

5. Bila k > 0 kita ada itu di> 0 jika dan di< 0 jika . Pada k < 0 kita mempunyai y > 0 jika dan pada< 0, если .

2. Fungsi y = x 2

Rnombor nyata.

Dengan memberikan pembolehubahX berbilang nilai daripada skop fungsi dan mengira nilai yang sepadandi mengikut formula y = x 2 , graf fungsi.

Graf Fungsi y = x 2 dipanggil parabola.

Sifat fungsi y = x 2 .

1. Jika X= 0, maka y= 0, iaitu parabola mempunyai titik sepunya (0; 0) dengan paksi koordinat - asalan.

2. Jika x ≠ 0 , kemudian di > 0, iaitu semua titik parabola, kecuali asalan, terletak di atas paksi-x.

3. Satu set nilai fungsidi = X 2 ialah fungsi spandi = X 2 berkurangan.

X

3.Fungsi

Skop fungsi ini ialah fungsi spany = | x | berkurangan.

7. Fungsi mengambil nilai terkecil pada titikX, ia ialah 0. Tiada nilai maksimum.

6. Fungsi

Skop fungsi: .

Julat fungsi: .

Graf adalah hiperbola.

1. Fungsi sifar.

y ≠ 0, tiada sifar.

2. Selang ketekalan tanda,

Jika k > 0, kemudian di> 0 pada X > 0; di < 0 при X < О.

Jika k < 0, то di < 0 при X > 0; di> 0 pada X < 0.

3. Selang kenaikan dan penurunan.

Jika k > 0, maka fungsi berkurangan apabila .

Jika k < 0, то функция возрастает при .

4. Fungsi genap (ganjil).

Fungsinya ganjil.

Trinomial segi empat sama

Taip persamaan kapak 2 + bx + c = 0, di mana a , b dan dengan - beberapa nombor, dana≠ 0, dipanggil segi empat sama.

Dalam persamaan kuadratikkapak 2 + bx + c = 0 pekali a dipanggil pekali pertama b - pekali kedua, dengan - ahli percuma.

Rumus untuk punca-punca persamaan kuadratik ialah:

.

Ungkapan itu dipanggil diskriminasi persamaan kuadratik dan dilambangkan denganD .

Jika D = 0, maka hanya terdapat satu nombor yang memenuhi persamaan kapak 2 + bx + c = 0. Walau bagaimanapun, kami bersetuju untuk mengatakan bahawa dalam kes ini persamaan kuadratik mempunyai dua punca sebenar yang sama, dan nombor itu sendiri dipanggil punca berganda.

Jika D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Jika D > 0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Biarkan persamaan kuadratikkapak 2 + bx + c = 0. Sejak a≠ 0, kemudian, membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengana, kita dapat persamaan . Andainya dan , kita sampai kepada persamaan , di mana pekali pertama adalah sama dengan 1. Persamaan sedemikian dipanggildiberi.

Rumus untuk punca-punca persamaan kuadratik di atas ialah:

.

Persamaan bentuk

a x 2 + bx = 0, kapak 2 + dengan = 0, a x 2 = 0

dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan dengan memfaktorkan bahagian kiri persamaan.

Teorem Vieta .

Jumlah punca persamaan kuadratik adalah sama dengan nisbah pekali kedua kepada pekali pertama, diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca ialah nisbah sebutan bebas kepada pekali pertama, i.e.

Teorem songsang.

Jika hasil tambah sebarang dua nomborX 1 dan X 2 adalah sama dengan , dan produk mereka ialah, maka nombor-nombor ini ialah punca-punca persamaan kuadratikOh 2 + b x + c = 0.

fungsi lihat Oh 2 + b x + c dipanggil trinomial segi empat sama. Punca-punca fungsi ini ialah punca-punca persamaan kuadratik yang sepadanOh 2 + b x + c = 0.

Jika diskriminasi bagi trinomial segi empat sama lebih besar daripada sifar, maka trinomial ini boleh diwakili sebagai:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

di mana X 1 dan X 2 - akar trinomial

Jika diskriminasi bagi trinomial segi empat sama adalah sifar, maka trinomial ini boleh diwakili sebagai:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

di mana X 1 ialah punca trinomial.

Sebagai contoh, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Taip persamaan Oh 4 + b X 2 + dengan= 0 dipanggil dua segi empat sama. Dengan menukar pembolehubah mengikut formulaX 2 = y ia dikurangkan kepada persamaan kuadratika y 2 + oleh + dengan = 0.

fungsi kuadratik

fungsi kuadratik ialah fungsi yang boleh ditulis sebagai formulay = kapak 2 + bx + c , di mana x ialah pembolehubah bebas,a , b dan c adalah beberapa nombor, dana ≠ 0.

Sifat fungsi dan jenis grafnya ditentukan terutamanya oleh nilai pekalia dan diskriminasi.

Sifat bagi fungsi kuadratik

Domain:R;

Julat nilai:

di a > 0 [- D/(4 a); ∞)

di a < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Walaupun ganjil:

di b = 0 fungsi adalah genap

di b ≠ 0 fungsinya bukan genap mahupun ganjil

di D> 0 dua sifar: ,

di D= 0 satu sifar:

di D < 0 нулей нет

Selang ketekalan:

jika, a > 0, D> 0, kemudian

jika, a > 0, D= 0, maka

e jika a > 0, D < 0, то

sekiranya< 0, D> 0, kemudian

sekiranya< 0, D= 0, maka

sekiranya< 0, D < 0, то

- Selang monotoni

untuk > 0

pada a< 0

Graf bagi fungsi kuadratik ialahparabola - lengkung simetri tentang garis lurus melalui bucu parabola (bucu parabola ialah titik persilangan parabola dengan paksi simetri).

Untuk merancang fungsi kuadratik, anda memerlukan:

1) cari koordinat bucu parabola dan tandakannya dalam satah koordinat;

2) membina beberapa lagi mata kepunyaan parabola;

3) sambungkan titik yang ditanda dengan garis yang lancar.

Koordinat puncak parabola ditentukan oleh formula:

; .

Menukar graf fungsi

1. regangan grafiky = x 2 sepanjang paksidi dalam|a| kali (bila|a| < 1 ialah mampatan menjadi 1/|a| sekali).

Sekiranya< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (cabang parabola akan diarahkan ke bawah).

Keputusan: graf fungsiy=ah 2 .

2. Pemindahan selari graf fungsiy=ah 2 sepanjang paksiX pada| m | (ke kanan di

m > 0 dan ke kiri dit< 0).

Keputusan: graf fungsiy \u003d a (x - t) 2 .

3. Pemindahan selari graf fungsi sepanjang paksidi pada| n | (hingga padan> 0 dan ke bawah padaP< 0).

Keputusan: graf fungsiy \u003d a (x - t) 2 + hlm.

Ketaksamaan kuadratik

Ketaksamaan bentukOh 2 + b x + c > 0 danOh 2 + bx + c< 0, di manaX - pembolehubah,a , b dandengan - beberapa nombor, dan,a≠ 0 dipanggil ketaksamaan darjah kedua dengan satu pembolehubah.

Menyelesaikan ketaksamaan darjah kedua dengan satu pembolehubah boleh dilihat sebagai mencari selang di mana fungsi kuadratik sepadan mengambil nilai positif atau negatif.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan bentukOh 2 + bx + c > 0 danOh 2 + bx + c< 0 lakukan perkara berikut:

1) cari diskriminasi bagi trinomial segi empat sama dan ketahui sama ada trinomial itu mempunyai punca;

2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandakannya pada paksiX dan melalui titik-titik yang ditanda, parabola dilukis secara skematik, cabang-cabangnya diarahkan ke atas padaa > 0 atau turun padaa< 0; jika trinomial tidak mempunyai akar, maka secara skematik menggambarkan parabola yang terletak di separuh satah atas padaa > 0 atau di bahagian bawah apabilaa < 0;

3) cari pada paksiX selang yang mana titik parabola terletak di atas paksiX (jika mereka menyelesaikan ketidaksamaanOh 2 + bx + c > 0) atau di bawah paksiX (jika mereka menyelesaikan ketidaksamaanOh 2 + bx + c < 0).

Contoh:

Mari kita selesaikan ketidaksamaan .

Pertimbangkan fungsinya

Grafnya ialah parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke bawah (kerana ).

Ketahui bagaimana graf terletak relatif kepada paksiX. Mari kita selesaikan persamaan untuk ini . Kami dapat itux = 4. Persamaan mempunyai punca tunggal. Jadi parabola menyentuh paksiX.

Setelah menggambarkan parabola secara skematik, kami mendapati bahawa fungsi itu mengambil nilai negatif untuk mana-manaX, kecuali 4.

Jawapannya boleh ditulis seperti ini:X - sebarang nombor tidak sama dengan 4.

Menyelesaikan ketaksamaan dengan kaedah selang

skema penyelesaian

1. Cari sifar berfungsi di sebelah kiri ketaksamaan.

2. Tandakan kedudukan sifar pada paksi nombor dan tentukan kepelbagaiannya (jikak i genap, maka sifar bagi gandaan genap, jikak i ganjil - kemudian ganjil).

3. Cari tanda-tanda fungsi dalam selang antara sifarnya, bermula dari selang paling kanan: dalam selang ini, fungsi di sebelah kiri ketaksamaan sentiasa positif untuk bentuk ketaksamaan yang dikurangkan. Apabila melepasi dari kanan ke kiri melalui sifar fungsi dari satu selang ke selang yang bersebelahan, seseorang harus mengambil kira:

jika sifar adalah ganjil kepelbagaian, tanda fungsi berubah,

jika sifar genap kepelbagaian, tanda fungsi itu dipelihara.

4. Tulis jawapannya.

Contoh:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Sifar fungsi ditemui. Mereka adalah sama:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Kami menandakan sifar fungsi pada garis koordinatf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Cari tanda-tanda fungsi ini dalam setiap selang (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) dan

Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa set penyelesaian kepada ketaksamaan ialah gabungan selang (-∞; -6) dan (-1; 4).

Jawapan: (-∞ ; -6) dan (-1; 4).

Kaedah yang dipertimbangkan untuk menyelesaikan ketaksamaan dipanggilkaedah selang waktu.