Konsep ketidaksamaan, definisi berkaitan. Ketaksamaan termudah Sinar nombor terbuka

Infiniti dan infiniti tolak dalam sebarang ketaksamaan sentiasa ditulis dengan kurungan.

Jika kedua-dua kurungan dalam entri adalah kurungan, jurang nombor dipanggil terbuka. Hujung jurang terbuka bukanlah penyelesaian kepada ketidaksamaan dan tidak termasuk dalam jawapan.

Hujung rentang dengan kurungan segi empat sama disertakan dalam tindak balas.

Selang sentiasa direkodkan dari kiri ke kanan, dari terkecil ke terbesar.

Penyelesaian ketaksamaan linear termudah boleh digambarkan secara skematik sebagai gambar rajah:

Pertimbangkan contoh penyelesaian ketaksamaan linear termudah.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mereka membaca: "x lebih daripada dua belas."

Penyelesaian:

Ketaksamaan tidak ketat, pada garis nombor 12 diwakili oleh titik tusukan.

Kami secara mental menambah anak panah pada tanda ketidaksamaan: -\u003e. Anak panah menunjukkan bahawa penetasan pergi dari 12 ke kanan, kepada tambah infiniti:

Oleh kerana ketaksamaan adalah ketat dan titik x=12 tertusuk, kami menulis 12 sebagai tindak balas dengan tanda kurungan.

Mereka membaca: "x tergolong dalam selang terbuka dari dua belas hingga infiniti."

Mereka membaca: "x lebih besar daripada tolak tiga koma tujuh persepuluh"

Penyelesaian:

Ketaksamaan tidak ketat, jadi -3.7 pada garis nombor digambarkan sebagai titik terisi. Tambah anak panah secara mental pada tanda ketaksamaan: -≥. Anak panah menghala ke kanan, jadi penetasan dari -3.7 pergi ke kanan, hingga infiniti:

Oleh kerana ketaksamaan tidak ketat dan titik x= -3.7 diisi, kita tulis -3.7 sebagai tindak balas dengan kurungan segi empat sama.

Mereka membaca: "X tergolong dalam selang dari tolak tiga koma tujuh persepuluh hingga tak terhingga, termasuk tolak tiga koma tujuh persepuluh."

Mereka membaca: "x ialah kurang daripada sifar titik dua persepuluh" (atau "x ialah kurang daripada sifar titik dua persepuluh").

Penyelesaian:

Ketaksamaan adalah ketat, 0.2 pada garis nombor diwakili oleh titik tusukan. Kami secara mental menambah anak panah pada tanda ketidaksamaan:<—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Ketaksamaan adalah ketat, titik dicucuk, 0.2 — dengan kurungan.

Mereka membaca: "X tergolong dalam selang terbuka dari tolak infiniti hingga sifar titik dua."

Mereka membaca: "X adalah kurang daripada atau sama dengan lima."

Penyelesaian:

Ketaksamaan tidak ketat, pada garis nombor kami mewakili 5 sebagai titik terisi. Kami secara mental menambah anak panah pada tanda ketidaksamaan: ≤-. Arah penetasan adalah ke kiri, ke arah tolak infiniti:

Ketaksamaan tidak ketat, titik diisi, 5 adalah dalam kurungan persegi.

Mereka membaca: "x tergolong dalam selang dari tolak infiniti hingga lima, termasuk lima."

Kami bertemu dengan ketidaksamaan di sekolah, di mana kami menggunakan ketaksamaan berangka. Dalam artikel ini, kami mempertimbangkan sifat ketaksamaan berangka, beberapa daripadanya dibina prinsip untuk bekerja dengannya.

Sifat ketaksamaan adalah serupa dengan sifat ketaksamaan berangka. Harta, justifikasinya akan dipertimbangkan, kami akan memberi contoh.

Ketaksamaan berangka: definisi, contoh

Apabila memperkenalkan konsep ketaksamaan, kita mempunyai definisi mereka dibuat mengikut jenis rekod. Terdapat ungkapan algebra yang mempunyai tanda ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Mari kita berikan definisi.

Definisi 1

Ketaksamaan berangka dipanggil ketaksamaan di mana kedua-dua belah mempunyai nombor dan ungkapan berangka.

Ketaksamaan berangka dipertimbangkan di sekolah selepas mempelajari nombor asli. Operasi perbandingan tersebut dikaji langkah demi langkah. Rupa awal seperti 1< 5 , 5 + 7 >3 . Selepas itu, peraturan ditambah, dan ketaksamaan menjadi lebih rumit, maka kita memperoleh ketaksamaan bentuk 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Sifat ketaksamaan berangka

Untuk bekerja dengan ketaksamaan dengan betul, anda mesti menggunakan sifat ketaksamaan berangka. Mereka datang dari konsep ketidaksamaan. Konsep sedemikian ditentukan menggunakan pernyataan, yang dilambangkan sebagai "lebih besar daripada" atau "kurang daripada".

Definisi 2

• nombor a lebih besar daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor positif;
• nombor a adalah kurang daripada b apabila perbezaan a - b ialah nombor negatif;
• nombor a adalah sama dengan b apabila perbezaan a - b sama dengan sifar.

Takrifan digunakan apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan hubungan "kurang daripada atau sama", "lebih besar daripada atau sama". Kami dapat itu

Definisi 3

• a lebih besar daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan negatif;
• a adalah kurang daripada atau sama dengan b apabila a - b ialah nombor bukan positif.

Takrifan akan digunakan dalam membuktikan sifat ketaksamaan berangka.

Sifat asas

Pertimbangkan 3 ketidaksamaan utama. Penggunaan tanda< и >ciri dengan sifat:

Definisi 4

• anti-refleksitiviti, yang mengatakan bahawa sebarang nombor a daripada ketaksamaan a< a и a >a dianggap tidak sah. Adalah diketahui bahawa untuk mana-mana a kesamaan a - a = 0 dipegang, maka kita mendapat bahawa a = a. Jadi a< a и a >a tidak betul. Contohnya, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 adalah salah.
• asimetri. Apabila nombor a dan b adalah sedemikian rupa sehingga a< b , то b >a , dan jika a > b , maka b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Bahagian kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 1

Contohnya, memandangkan ketaksamaan 5< 11 имеем, что 11 >5 , maka ketaksamaan berangkanya − 0 , 27 > − 1 , 3 akan ditulis semula dalam bentuk − 1 , 3< − 0 , 27 .

Sebelum beralih ke harta seterusnya, kami perhatikan bahawa dengan bantuan asimetri, seseorang boleh membaca ketidaksamaan dari kanan ke kiri dan sebaliknya. Oleh itu, ketaksamaan berangka boleh diubah dan ditukar ganti.

Definisi 5

• transitivity. Apabila nombor a , b , c memenuhi syarat a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dan b > c , kemudian a > c .

Bukti 1

Pernyataan pertama boleh dibuktikan. Keadaan a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Bahagian kedua dengan sifat transitiviti dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Harta yang dianalisis dipertimbangkan pada contoh ketaksamaan − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dan 1 8 > 1 32 berikutan bahawa 1 2 > 1 32 .

Ketaksamaan berangka, yang ditulis menggunakan tanda ketaksamaan tidak ketat, mempunyai sifat kelenturan, kerana a ≤ a dan a ≥ a boleh mempunyai kes kesamaan a = a. mereka dicirikan oleh asimetri dan transitiviti.

Definisi 6

Ketaksamaan yang mempunyai tanda ≤ dan ≥ dalam tatatanda mempunyai sifat berikut:

• reflekstiviti a ≥ a dan a ≤ a dianggap ketaksamaan benar;
• antisimetri apabila a ≤ b , kemudian b ≥ a , dan jika a ≥ b , maka b ≤ a .
• transitiviti apabila a ≤ b dan b ≤ c , kemudian a ≤ c , dan juga, jika a ≥ b dan b ≥ c , maka a ≥ c .

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.

Sifat penting lain bagi ketaksamaan berangka

Untuk menambah sifat asas ketaksamaan, keputusan yang mempunyai kepentingan praktikal digunakan. Prinsip kaedah penilaian nilai ungkapan digunakan, di mana prinsip penyelesaian ketidaksamaan didasarkan.

Bahagian ini mendedahkan sifat-sifat ketaksamaan untuk satu tanda ketidaksamaan yang ketat. Perkara yang sama dilakukan untuk yang tidak ketat. Pertimbangkan satu contoh, merumuskan ketaksamaan jika a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jika a > b , maka a + c > b + c ;
• jika a ≤ b , maka a + c ≤ b + c ;
• jika a ≥ b , maka a + c ≥ b + c .

Untuk pembentangan yang mudah, kami memberikan pernyataan yang sepadan, yang ditulis dan bukti diberikan, contoh penggunaan ditunjukkan.

Definisi 7

Menambah atau mengira nombor pada kedua-dua belah. Dengan kata lain, apabila a dan b sepadan dengan ketaksamaan a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bukti 2

Untuk membuktikan ini, persamaan itu perlu memenuhi syarat a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Contoh 3

Sebagai contoh, jika kedua-dua bahagian ketaksamaan 7 > 3 dinaikkan sebanyak 15 , maka kita mendapat bahawa 7 + 15 > 3 + 15 . Ini bersamaan dengan 22 > 18 .

Definisi 8

Apabila kedua-dua bahagian ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor c yang sama, kita mendapat ketaksamaan yang betul. Jika kita ambil nombor c negatif, maka tanda itu akan bertukar kepada sebaliknya. Jika tidak, ia kelihatan seperti ini: untuk a dan b, ketaksamaan berlaku apabila a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >bc.

Bukti 3

Apabila terdapat kes c > 0 , adalah perlu untuk membuat perbezaan antara bahagian kiri dan kanan ketaksamaan. Kemudian kita dapati bahawa a · c − b · c = (a − b) · c . Daripada syarat a< b , то a − b < 0 , а c >0 , maka hasil darab (a − b) · c akan menjadi negatif. Ini membayangkan bahawa a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Dalam bukti, pembahagian dengan integer boleh digantikan dengan pendaraban dengan songsangan yang diberi, iaitu, 1 c . Pertimbangkan contoh sifat pada nombor tertentu.

Contoh 4

Kedua-dua bahagian ketidaksamaan dibenarkan 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sekarang kita merumuskan dua keputusan berikut yang digunakan dalam menyelesaikan ketaksamaan:

• Akibat 1. Apabila menukar tanda bahagian ketaksamaan berangka, tanda ketaksamaan itu sendiri berubah kepada sebaliknya, sebagai< b , как − a >−b. Ini sepadan dengan peraturan mendarab kedua-dua bahagian dengan - 1 . Ia terpakai untuk peralihan. Contohnya − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Akibat 2. Apabila bahagian ketaksamaan berangka digantikan dengan timbal balik, tandanya juga berubah, dan ketaksamaan itu kekal benar. Oleh itu kita mempunyai bahawa a dan b ialah nombor positif, a< b , 1 a >1b.

Apabila membahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 kita ada 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mungkin salah.

Contoh 5

Sebagai contoh, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ialah persamaan yang tidak sah.

Semua mata disatukan oleh fakta bahawa tindakan pada bahagian ketidaksamaan memberikan ketidaksamaan yang betul pada output. Pertimbangkan sifat yang pada mulanya terdapat beberapa ketaksamaan berangka, dan hasilnya akan diperoleh dengan menambah atau mendarab bahagiannya.

Definisi 9

Apabila nombor a , b , c , d adalah sah untuk ketaksamaan a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bukti 4

Kami membuktikan bahawa (a + c) − (b + d) ialah nombor negatif, maka kami mendapat bahawa a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Harta ini digunakan untuk penambahan penggal demi penggal bagi tiga, empat atau lebih ketaksamaan berangka. Nombor a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n tertakluk kepada ketaksamaan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Contoh 6

Sebagai contoh, diberi tiga ketaksamaan berangka dengan tanda yang sama − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definisi 10

Pendaraban sebutan kedua-dua bahagian menghasilkan nombor positif. Untuk< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bukti 5

Untuk membuktikan ini, kita memerlukan kedua-dua belah ketaksamaan a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Sifat ini dianggap sah untuk bilangan nombor yang mana kedua-dua belah ketaksamaan mesti didarabkan. Kemudian a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n ialah nombor positif, di mana a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Ambil perhatian bahawa apabila menulis ketaksamaan terdapat nombor bukan positif, maka pendaraban sebutan demi sebutannya membawa kepada ketaksamaan yang salah.

Contoh 7

Contohnya, ketidaksamaan 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Akibat: Penggandaan sebutan bagi ketaksamaan a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sifat ketaksamaan berangka

Pertimbangkan di bawah sifat ketaksamaan berangka.

1. a< a , a >a - ketidaksamaan palsu,
   a ≤ a , a ≥ a ialah ketaksamaan yang betul.
2. Sekiranya< b , то b >a - antisimetri.
3. Sekiranya< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Sekiranya< b и c - любоое число, то a + с < b + c .
5. Sekiranya< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Sekiranya< b и c - отрицательное число, то a · c >bc.

Akibat 1: sekiranya< b , то - a >-b.

Akibat 2: jika a dan b ialah nombor positif dan a< b , то 1 a >1b.

1. Jika 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jika a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ialah nombor positif dan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Akibat 1: jika a< b , a dan b ialah nombor positif, kemudian a n< b n .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Definisi dan sifat

Kami akan memanggil ketaksamaan dua ungkapan angka atau literal yang dihubungkan dengan tanda >,<, ≥, ≤ или ≠.

Contoh: 5 > 3

Ketaksamaan ini mengatakan bahawa nombor 5 adalah lebih besar daripada nombor 3. Sudut akut tanda ketaksamaan harus dihalakan ke arah nombor yang lebih kecil. Ketaksamaan ini adalah benar kerana 5 lebih besar daripada 3.

Jika sebiji tembikai seberat 5 kg diletakkan di atas kuali kiri timbangan, dan sebiji tembikai seberat 3 kg diletakkan di atas kuali kanan, maka kuali kiri akan lebih berat daripada kuali kanan, dan skrin penimbang akan menunjukkan bahawa kuali kiri adalah. lebih berat daripada yang betul:

Jika 5 > 3 maka 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Jika dalam ketaksamaan 5 > 3 , tanpa menyentuh bahagian kiri dan kanan, tukar tanda kepada< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Nombor yang terletak di sebelah kiri dan kanan ketaksamaan akan dipanggil ahli ketidaksamaan ini. Sebagai contoh, dalam ketaksamaan 5 > 3, ahli ialah nombor 5 dan 3.

Pertimbangkan beberapa sifat penting untuk ketaksamaan 5 > 3 .
Pada masa hadapan, hartanah ini akan berfungsi untuk ketidaksamaan lain juga.

Harta 1.

Jika nombor yang sama ditambah atau dikurangkan ke bahagian kiri dan kanan ketaksamaan 5 > 3, maka tanda ketaksamaan tidak akan berubah.

Sebagai contoh, mari tambah nombor 4 kepada kedua-dua bahagian ketaksamaan. Kemudian kita dapat:

Sekarang mari kita cuba tolak beberapa nombor daripada kedua-dua belah ketaksamaan 5 > 3, katakan nombor 2

Kami melihat bahawa bahagian kiri masih lebih besar daripada yang kanan.

Daripada harta ini, mana-mana istilah ketidaksamaan boleh dipindahkan dari satu bahagian ke bahagian lain dengan menukar tanda istilah ini. Tanda ketidaksamaan tidak akan berubah.

Contohnya, dalam ketaksamaan 5 > 3, mari kita alihkan sebutan 5 dari sebelah kiri ke sebelah kanan dengan menukar tanda bagi istilah ini. Selepas mengalihkan penggal 5 ke sebelah kanan, tiada apa yang akan kekal di sebelah kiri, jadi kami menulis 0 di sana

0 > 3 − 5

0 > −2

Kami melihat bahawa bahagian kiri masih lebih besar daripada yang kanan.

Harta 2.

Jika kedua-dua bahagian ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tidak berubah.

Sebagai contoh, mari kita darabkan kedua-dua belah ketaksamaan 5 > 3 dengan beberapa nombor positif, katakan dengan nombor 2. Kemudian kita dapat:

Kami melihat bahawa bahagian kiri masih lebih besar daripada yang kanan.

Sekarang mari cuba bahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan 5 > 3 dengan beberapa nombor. Bahagikan mereka dengan 2

Kami melihat bahawa bahagian kiri masih lebih besar daripada yang kanan.

Hartanah 3.

Jika kedua-dua belah ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan yang sama nombor negatif, maka tanda ketidaksamaan akan diterbalikkan.

Sebagai contoh, mari kita darabkan kedua-dua belah ketaksamaan 5 > 3 dengan beberapa nombor negatif, katakan -2. Kemudian kita dapat:

Sekarang mari cuba bahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan 5 > 3 dengan beberapa nombor negatif. Mari bahagikan mereka dengan -1

Kami melihat bahawa bahagian kiri telah menjadi lebih kecil daripada sebelah kanan. Iaitu, tanda ketidaksamaan telah berubah kepada sebaliknya.

Dengan sendirinya, ketidaksamaan boleh difahami sebagai keadaan tertentu. Sekiranya syarat dipenuhi, maka ketaksamaan adalah benar. Sebaliknya, jika syarat tidak dipenuhi, maka ketidaksamaan itu tidak benar.

Sebagai contoh, untuk menjawab soalan sama ada ketaksamaan 7 > 3 adalah benar, anda perlu menyemak sama ada syarat itu dipenuhi "adalah 7 lebih daripada 3" . Kita tahu bahawa nombor 7 adalah lebih besar daripada nombor 3. Iaitu, syarat dipenuhi, dan oleh itu ketaksamaan 7 > 3 adalah benar.

Ketaksamaan 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 adalah kurang daripada 6".

Satu lagi cara untuk menentukan sama ada ketaksamaan adalah betul adalah dengan mengambil perbezaan dari sisi kiri dan kanan ketaksamaan yang diberikan. Jika perbezaannya positif, maka bahagian kiri lebih besar daripada bahagian kanan. Sebaliknya, jika perbezaannya negatif, maka bahagian kiri lebih kecil daripada bahagian kanan. Lebih tepat lagi, peraturan ini kelihatan seperti ini:

Nombor a lebih banyak nombor b jika perbezaan a-b positif. Nombor a kurang daripada bilangan b jika perbezaan a-b negatif.

Sebagai contoh, kami mendapati bahawa ketaksamaan 7 > 3 adalah benar kerana nombor 7 lebih besar daripada nombor 3. Mari kita buktikan ini menggunakan peraturan di atas.

Susun beza daripada sebutan 7 dan 3. Kemudian kita dapat 7 − 3 = 4 . Mengikut peraturan, nombor 7 akan lebih besar daripada nombor 3 jika perbezaan 7 − 3 adalah positif. Kami mempunyai ia sama dengan 4, iaitu, perbezaannya adalah positif. Jadi nombor 7 lebih besar daripada nombor 3.

Mari kita semak dengan bantuan perbezaan sama ada ketaksamaan 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Mari kita semak sama ada ketaksamaan 5 > 8 adalah benar. Susun bezanya, kita dapat 5 − 8 = −3. Mengikut peraturan, nombor 5 akan lebih besar daripada nombor 8 jika perbezaan 5 − 8 adalah positif. Perbezaan kami ialah −3, iaitu ia tidak positif. Jadi nombor 5 tidak lebih nombor 3. Dengan kata lain, ketaksamaan 5 > 8 adalah tidak benar.

Ketidaksamaan yang ketat dan tidak ketat

Ketaksamaan yang mengandungi tanda >,< называют tegas. Dan ketaksamaan yang mengandungi tanda ≥, ≤ dipanggil tidak ketat.

Kami mempertimbangkan contoh ketidaksamaan yang ketat sebelum ini. Ini ialah ketaksamaan 5 > 3 , 7< 9 .

Tidak ketat, sebagai contoh, ialah ketaksamaan 2 ≤ 5 . Ketaksamaan ini dibaca seperti berikut: "2 adalah kurang daripada atau sama dengan 5" .

Entri 2 ≤ 5 tidak lengkap. Rekod penuh ketidaksamaan ini adalah seperti berikut:

2 < 5 atau 2 = 5

Kemudian menjadi jelas bahawa ketaksamaan 2 ≤ 5 terdiri daripada dua keadaan: "dua kurang daripada lima" dan "dua sama dengan lima" .

Ketaksamaan bukan ketat adalah benar jika sekurang-kurangnya satu syaratnya dipenuhi. Dalam contoh kami, syaratnya adalah benar "2 kurang daripada 5". Ini bermakna ketaksamaan 2 ≤ 5 juga benar.

Contoh 2. Ketaksamaan 2 ≤ 2 adalah benar kerana salah satu syaratnya dipenuhi, iaitu 2 = 2.

Contoh 3. Ketaksamaan 5 ≤ 2 adalah tidak benar kerana tiada syaratnya dipenuhi: tiada 5< 2 ни 5 = 2 .

ketaksamaan berganda

Nombor 3 lebih besar daripada nombor 2 dan kurang daripada nombor 4 . Dalam bentuk ketaksamaan, pernyataan ini boleh ditulis seperti berikut: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Ketaksamaan berganda mungkin mengandungi tanda-tanda ketidaksamaan yang tidak ketat. Sebagai contoh, jika nombor 5 lebih besar daripada atau sama dengan nombor 2 dan kurang daripada atau sama dengan nombor 7 , maka kita boleh menulis bahawa 2 ≤ 5 ≤ 7

Untuk menulis ketaksamaan berganda dengan betul, mula-mula tulis istilah di tengah, kemudian istilah di sebelah kiri, kemudian istilah di sebelah kanan.

Sebagai contoh, mari kita tulis bahawa nombor 6 lebih besar daripada nombor 4 dan kurang daripada nombor 9.

Mula-mula tulis 6

Di sebelah kiri, kami menulis bahawa nombor ini lebih besar daripada nombor 4

Di sebelah kanan, kami menulis bahawa nombor 6 adalah kurang daripada nombor 9

Ketaksamaan Pembolehubah

Ketaksamaan, seperti kesamaan, boleh mengandungi pembolehubah.

Contohnya, ketidaksamaan x> 2 mengandungi pembolehubah x. Biasanya ketidaksamaan seperti itu perlu diselesaikan, iaitu, untuk mengetahui nilai apa x ketidaksamaan ini menjadi benar.

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan bermakna mencari nilai pembolehubah sedemikian x, di mana ketidaksamaan ini menjadi benar.

Nilai pembolehubah di mana ketaksamaan menjadi benar dipanggil menyelesaikan ketidaksamaan.

Ketaksamaan x> 2 menjadi benar apabila x=3, x=4, x=5, x=6 dan seterusnya ad infinitum. Kami melihat bahawa ketidaksamaan ini tidak mempunyai satu penyelesaian, tetapi banyak penyelesaian.

Dengan kata lain, dengan menyelesaikan ketaksamaan x> 2 ialah set semua nombor yang lebih besar daripada 2. Untuk nombor ini, ketaksamaan adalah benar. Contoh:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Nombor 2, terletak di sebelah kanan ketaksamaan x> 2 , kami akan hubungi sempadan ketidaksamaan ini. Bergantung pada tanda ketidaksamaan, sempadan mungkin atau mungkin tidak tergolong dalam set penyelesaian kepada ketidaksamaan.

Dalam contoh kami, sempadan ketaksamaan tidak tergolong dalam set penyelesaian, kerana apabila menggantikan nombor 2 ke dalam ketaksamaan x> 2 ternyata tidak betul ketaksamaan 2 > 2 . Nombor 2 tidak boleh lebih besar daripada dirinya sendiri, kerana ia sama dengan dirinya sendiri (2 = 2) .

Ketaksamaan x> 2 adalah ketat. Ia boleh dibaca seperti ini: x lebih besar daripada 2″ . Iaitu, semua nilai yang diterima oleh pembolehubah x mestilah lebih besar daripada 2. Jika tidak, ketaksamaan itu tidak akan benar.

Jika kita diberi ketidaksamaan yang tidak ketat x≥ 2 , maka penyelesaian ketaksamaan ini ialah semua nombor yang lebih besar daripada 2, termasuk nombor 2 itu sendiri. Dalam ketaksamaan ini, sempadan 2 tergolong dalam set penyelesaian kepada ketaksamaan, kerana apabila menggantikan nombor 2 ke dalam ketidaksamaan x≥ 2 kita memperoleh ketaksamaan yang betul 2 ≥ 2 . Telah dikatakan sebelum ini bahawa ketidaksamaan tidak ketat adalah benar jika sekurang-kurangnya satu syaratnya dipenuhi. Ketaksamaan 2 ≥ 2 memenuhi syarat 2 = 2 , jadi ketaksamaan 2 ≥ 2 juga benar.

Bagaimana untuk menyelesaikan ketidaksamaan

Proses menyelesaikan ketaksamaan dalam banyak cara serupa dengan proses menyelesaikan persamaan. Apabila menyelesaikan ketaksamaan, kami akan menggunakan sifat yang kami pelajari pada permulaan pelajaran ini, seperti: memindahkan istilah dari satu bahagian ketaksamaan ke bahagian lain, menukar tanda; mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor yang sama.

Sifat-sifat ini membolehkan kita memperoleh ketaksamaan yang setara dengan yang asal. Ketaksamaan setara dipanggil ketaksamaan yang penyelesaiannya adalah sama.

Semasa menyelesaikan persamaan, kami melakukan transformasi yang sama sehingga pembolehubah kekal di sebelah kiri persamaan, dan nilai pembolehubah ini kekal di sebelah kanan (contohnya: x=2, x=5). Dalam erti kata lain, persamaan asal telah digantikan dengan persamaan setara sehingga persamaan bentuk x = a, di mana a nilai berubah x. Bergantung pada persamaan, mungkin terdapat satu, dua, bilangan punca yang tidak terhingga, atau tidak sama sekali.

Dan apabila menyelesaikan ketaksamaan, kita akan menggantikan ketaksamaan asal dengan ketaksamaan setara sehingga pembolehubah ketaksamaan ini kekal di sebelah kiri, dan sempadannya di sebelah kanan.

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan 2 x> 6

Jadi, anda perlu mencari nilai tersebut x , apabila menggantikannya kepada 2 x> 6 kita mendapat ketaksamaan yang betul.

Pada permulaan pelajaran ini, dikatakan bahawa jika kedua-dua bahagian ketaksamaan dibahagikan dengan beberapa nombor positif, maka tanda ketidaksamaan tidak akan berubah. Jika kita menggunakan sifat ini pada ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah, maka kita mendapat ketaksamaan yang setara dengan yang asal.

Dalam kes kita, jika kita memisahkan kedua-dua bahagian ketaksamaan 2 x> 6 dengan beberapa nombor positif, maka kita mendapat ketaksamaan yang bersamaan dengan ketaksamaan asal 2 x> 6.

Jadi mari kita bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan 2.

Di sebelah kiri terdapat pembolehubah x, dan bahagian kanan menjadi sama dengan 3. Kami mendapat ketaksamaan setara x> 3. Ini melengkapkan penyelesaian, kerana pembolehubah kekal di sebelah kiri, dan sempadan ketaksamaan di sebelah kanan.

Sekarang kita boleh membuat kesimpulan bahawa penyelesaian ketaksamaan x> 3 ialah semua nombor yang lebih besar daripada 3. Ini ialah nombor 4, 5, 6, 7 dan seterusnya ad infinitum. Untuk nilai-nilai ini, ketidaksamaan x> 3 adalah betul.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Perhatikan bahawa ketidaksamaan x> 3 adalah ketat. " Pembolehubah x adalah lebih besar daripada tiga."

Dan kerana ketidaksamaan x> 3 adalah bersamaan dengan ketaksamaan asal 2 x> 6 , maka penyelesaiannya akan bertepatan. Dengan kata lain, nilai yang sesuai dengan ketidaksamaan x> 3 juga akan sesuai dengan ketidaksamaan 2 x> 6. Mari tunjukkan.

Ambil, sebagai contoh, nombor 5 dan gantikannya dahulu ke dalam ketaksamaan setara yang telah kita perolehi x> 3 , dan kemudian ke 2 asal x> 6 .

Kami melihat bahawa dalam kedua-dua kes ketidaksamaan yang betul diperolehi.

Selepas ketaksamaan diselesaikan, jawapan mesti ditulis dalam bentuk yang dipanggil rentang nombor dengan cara berikut:

Ungkapan ini mengatakan bahawa nilai yang diambil oleh pembolehubah x, tergolong dalam selang berangka dari tiga hingga tambah infiniti.

Dalam erti kata lain, semua nombor daripada tiga hingga tambah infiniti adalah penyelesaian kepada ketaksamaan x> 3 . Tanda ∞ dalam matematik bermaksud infiniti.

Memandangkan konsep selang berangka adalah sangat penting, marilah kita memikirkannya dengan lebih terperinci.

Rentang angka

Jurang angka panggil set nombor pada garis koordinat, yang boleh diterangkan menggunakan ketaksamaan.

Katakan kita ingin melukis satu set nombor dari 2 hingga 8 pada garis koordinat. Untuk melakukan ini, tandakan dahulu titik dengan koordinat 2 dan 8 pada garis koordinat, dan kemudian pilih dengan pukulan kawasan yang terletak di antara koordinat 2 dan 8. Pukulan ini akan memainkan peranan nombor , terletak di antara nombor 2 dan 8

Mari kita panggil nombor 2 dan 8 sempadan jurang nombor. Apabila melukis selang berangka, titik untuk sempadannya digambarkan bukan sebagai titik seperti itu, tetapi sebagai bulatan yang boleh dilihat.

Sempadan mungkin tergolong dalam julat berangka atau tidak.

Jika sempadan tidak tergolong selang berangka, maka ia digambarkan pada garis koordinat dalam bentuk bulatan kosong.

Jika sempadan milik selang berangka, maka bulatan mesti cat atas.

Dalam lukisan kami, bulatan dibiarkan kosong. Ini bermakna bahawa sempadan 2 dan 8 tidak tergolong dalam jurang berangka. Ini bermakna julat berangka kami akan merangkumi semua nombor dari 2 hingga 8, kecuali untuk nombor 2 dan 8.

Jika kita ingin memasukkan sempadan 2 dan 8 dalam julat berangka, maka bulatan perlu diisi:

Dalam kes ini, julat nombor akan merangkumi semua nombor dari 2 hingga 8, termasuk nombor 2 dan 8.

Secara bertulis, selang berangka ditunjukkan dengan menunjukkan sempadannya menggunakan kurungan bulat atau persegi.

Jika sempadan tidak tergolong kurungan.

Jika sempadan milik jurang berangka, maka sempadan dirangka dalam kurungan.

Rajah menunjukkan dua selang berangka dari 2 hingga 8 dengan sebutan yang sepadan:

Dalam rajah pertama, jurang berangka ditunjukkan oleh kurungan, sejak sempadan 2 dan 8 tidak tergolong selang nombor ini.

Dalam rajah kedua, jurang berangka ditunjukkan oleh dalam kurungan, sejak sempadan 2 dan 8 milik selang nombor ini.

Menggunakan selang berangka, anda boleh menulis jawapan kepada ketaksamaan. Sebagai contoh, jawapan kepada ketaksamaan berganda 2 ≤ x≤ 8 ditulis seperti ini:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Iaitu, mula-mula pembolehubah yang termasuk dalam ketidaksamaan ditulis, kemudian, menggunakan tanda keahlian ∈, mereka menunjukkan selang berangka mana nilai pembolehubah ini tergolong. Dalam kes ini, ungkapan x∈ [ 2 ; 8 ] menunjukkan bahawa pembolehubah x, termasuk dalam ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8, mengambil semua nilai antara 2 dan 8 termasuk. Untuk nilai ini, ketidaksamaan akan menjadi benar.

Beri perhatian kepada fakta bahawa jawapan ditulis menggunakan kurungan segi empat sama, kerana sempadan ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8, iaitu, nombor 2 dan 8 tergolong dalam set penyelesaian kepada ketaksamaan ini.

Set penyelesaian kepada ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8 juga boleh diwakili menggunakan garis koordinat:

Di sini sempadan selang berangka 2 dan 8 sepadan dengan sempadan ketaksamaan 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

Dalam sesetengah sumber, sempadan yang tidak termasuk dalam jurang berangka dipanggil buka .

Mereka dipanggil terbuka kerana selang berangka kekal terbuka kerana fakta bahawa sempadannya tidak tergolong dalam selang berangka ini. Bulatan kosong pada garis koordinat matematik dipanggil titik tebuk keluar . Mencucuk titik bermakna mengecualikannya daripada selang berangka atau daripada set penyelesaian kepada ketaksamaan.

Dan dalam kes apabila sempadan tergolong dalam selang berangka, ia dipanggil tertutup(atau ditutup), kerana sempadan sedemikian menutup (menutup) jurang berangka. Bulatan yang diisi pada garis koordinat juga menunjukkan bahawa sempadan ditutup.

Terdapat jenis selang berangka. Mari kita pertimbangkan setiap daripada mereka.

rasuk nombor

rasuk nombor x ≥ a, di mana a x- menyelesaikan ketidaksamaan.

biarlah a= 3 . Kemudian ketidaksamaan x ≥ a akan mengambil borang x≥ 3 . Penyelesaian ketaksamaan ini ialah semua nombor yang lebih besar daripada 3, termasuk nombor 3 itu sendiri.

Lukiskan sinar nombor yang diberi oleh ketaksamaan x≥ 3, pada garis koordinat. Untuk melakukan ini, tandakan padanya satu titik dengan koordinat 3, dan selebihnya kawasan di sebelah kanannya serlahkan dengan sengkang. Ia adalah bahagian kanan yang menonjol, kerana penyelesaian ketidaksamaan x≥ 3 ialah nombor yang lebih besar daripada 3. Dan nombor yang lebih besar pada garis koordinat terletak di sebelah kanan

x≥ 3 , dan kawasan yang ditanda dengan pukulan sepadan dengan set nilai x, yang merupakan penyelesaian ketaksamaan x≥ 3 .

Titik 3, yang merupakan sempadan sinar nombor, ditunjukkan sebagai bulatan terisi, kerana sempadan ketaksamaan x≥ 3 tergolong dalam set penyelesaiannya.

Secara bertulis, garis nombor yang diberikan oleh ketaksamaan x ≥ a,

[ a; +∞)

Ia boleh dilihat bahawa di satu sisi sempadan dibingkai oleh kurungan persegi, dan di sisi lain oleh kurungan bulat. Ini disebabkan fakta bahawa satu sempadan sinar berangka kepunyaannya, dan yang lain tidak, kerana infiniti itu sendiri tidak mempunyai sempadan dan difahami bahawa tiada nombor di sisi lain yang menutup sinar berangka ini.

Memandangkan salah satu sempadan garis nombor ditutup, jurang ini sering dipanggil rasuk nombor tertutup.

Mari kita tulis jawapan kepada ketidaksamaan x≥ 3 menggunakan tatatanda sinar nombor. Kami mempunyai pembolehubah a ialah 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahawa pembolehubah x termasuk dalam ketidaksamaan x≥ 3, mengambil semua nilai daripada 3 hingga tambah infiniti.

Dalam erti kata lain, semua nombor dari 3 hingga tambah infiniti adalah penyelesaian kepada ketaksamaan x≥ 3 . Sempadan 3 tergolong dalam set penyelesaian kerana ketaksamaan x≥ 3 adalah tidak ketat.

Sinar nombor tertutup juga dipanggil selang nombor, yang diberikan oleh ketaksamaan x ≤ a . Penyelesaian ketidaksamaan x ≤ a a , termasuk nombor itu sendiri a.

Sebagai contoh, jika a x≤ 2 . Pada garis koordinat, sempadan 2 akan digambarkan sebagai bulatan terisi, dan seluruh kawasan terletak ditinggalkan, akan diserlahkan dengan sempang. Kali ini, bahagian kiri diserlahkan, kerana penyelesaian kepada ketidaksamaan x≤ 2 ialah nombor kurang daripada 2. Dan nombor yang lebih kecil pada garis koordinat terletak di sebelah kiri

x≤ 2 , dan kawasan putus-putus sepadan dengan set nilai x, yang merupakan penyelesaian ketaksamaan x≤ 2 .

Titik 2, yang merupakan sempadan sinar nombor, ditunjukkan sebagai bulatan terisi, kerana sempadan ketaksamaan x≤ 2 tergolong dalam set penyelesaiannya.

Mari kita tulis jawapan kepada ketidaksamaan x≤ 2 menggunakan tatatanda sinar nombor:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Sempadan 2 tergolong dalam set penyelesaian, kerana ketaksamaan x≤ 2 adalah tidak ketat.

Pancaran nombor terbuka

Pancaran nombor terbuka dipanggil selang berangka, yang diberikan oleh ketaksamaan x > a, di mana a adalah sempadan ketidaksamaan ini, x- penyelesaian ketaksamaan.

Garis nombor terbuka adalah serupa dalam banyak cara dengan garis nombor tertutup. Perbezaannya ialah sempadan a tidak tergolong dalam selang, serta sempadan ketidaksamaan x > a tidak tergolong dalam set penyelesaiannya.

biarlah a= 3 . Kemudian ketidaksamaan mengambil bentuk x> 3 . Penyelesaian ketaksamaan ini ialah semua nombor yang lebih besar daripada 3, kecuali nombor 3

Pada garis koordinat, sempadan sinar nombor terbuka yang diberikan oleh ketaksamaan x> 3 akan dipaparkan sebagai bulatan kosong. Seluruh kawasan di sebelah kanan akan diserlahkan dengan sebatan:

Di sini titik 3 sepadan dengan sempadan ketaksamaan x > 3 , dan kawasan yang diserlahkan dengan pukulan sepadan dengan set nilai x, yang merupakan penyelesaian ketaksamaan x > 3 . Titik 3, yang merupakan sempadan sinar berangka terbuka, ditunjukkan sebagai bulatan kosong, kerana sempadan ketaksamaan x > 3 tidak tergolong dalam set penyelesaiannya.

x > a , dilambangkan seperti berikut:

(a; +∞)

Tanda kurung menunjukkan bahawa sempadan sinar nombor terbuka bukan miliknya.

Mari kita tulis jawapan kepada ketidaksamaan x> 3 menggunakan tatatanda rasuk berangka terbuka:

x ∈ (3 ; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari 3 hingga tambah infiniti adalah penyelesaian kepada ketaksamaan x> 3 . Sempadan 3 tidak tergolong dalam set penyelesaian kerana ketaksamaan x> 3 adalah ketat.

Sinar nombor terbuka juga dipanggil selang nombor, yang diberikan oleh ketaksamaan x< a , di mana a adalah sempadan ketidaksamaan ini, x- penyelesaian ketaksamaan . Penyelesaian ketidaksamaan x< a adalah semua nombor kurang daripada a , tidak termasuk nombor a.

Sebagai contoh, jika a= 2 , maka ketaksamaan itu mengambil bentuk x< 2. Pada garisan koordinat, sempadan 2 akan ditunjukkan sebagai bulatan kosong dan seluruh kawasan di sebelah kiri akan diserlahkan dengan sebatan:

Di sini titik 2 sepadan dengan sempadan ketaksamaan x< 2 , dan kawasan yang ditanda dengan pukulan sepadan dengan set nilai x, yang merupakan penyelesaian ketaksamaan x< 2. Titik 2, yang merupakan sempadan sinar berangka terbuka, ditunjukkan sebagai bulatan kosong, kerana sempadan ketaksamaan x< 2 tidak tergolong dalam set penyelesaiannya.

Secara bertulis, rasuk nombor terbuka diberikan oleh ketaksamaan x< a , dilambangkan seperti berikut:

(−∞ ; a)

Mari kita tulis jawapan kepada ketidaksamaan x< 2 menggunakan tatatanda rasuk berangka terbuka:

x ∈ (−∞ ; 2)

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari tolak infiniti hingga 2 adalah penyelesaian kepada ketaksamaan x< 2. Sempadan 2 tidak tergolong dalam set penyelesaian kerana ketaksamaan x< 2 adalah ketat.

Segmen garisan

segmen a ≤ x ≤ b, di mana a dan b x- penyelesaian ketaksamaan.

biarlah a = 2 , b= 8 . Kemudian ketidaksamaan a ≤ x ≤ b mengambil bentuk 2 ≤ x≤ 8 . Penyelesaian kepada ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8 ialah semua nombor yang lebih besar daripada 2 dan kurang daripada 8. Selain itu, sempadan ketaksamaan 2 dan 8 tergolong dalam set penyelesaiannya, kerana ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8 adalah tidak ketat.

Lukiskan ruas yang diberikan oleh ketaksamaan berganda 2 ≤ x≤ 8 pada garis koordinat. Untuk melakukan ini, tandai titik di atasnya dengan koordinat 2 dan 8, dan tandakan kawasan di antara mereka dengan pukulan:

≤ x≤ 8 , dan kawasan putus-putus sepadan dengan set nilai x x≤ 8 . Titik 2 dan 8, yang merupakan sempadan segmen, ditunjukkan sebagai bulatan terisi, kerana sempadan ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8 tergolong dalam set penyelesaiannya.

Pada surat itu, segmen yang diberikan oleh ketidaksamaan a ≤ x ≤ b dilambangkan seperti berikut:

[ a; b ]

Tanda kurung segi empat sama pada kedua-dua belah menunjukkan bahawa sempadan segmen milik kepada dia. Mari kita tulis jawapan kepada ketaksamaan 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari 2 hingga 8 termasuk adalah penyelesaian kepada ketaksamaan 2 ≤ x≤ 8 .

Selang waktu

selang waktu dipanggil selang berangka, yang diberikan oleh ketaksamaan berganda a< x < b , di mana a dan b adalah sempadan ketidaksamaan ini, x- penyelesaian ketaksamaan.

biarlah a = 2, b = 8. Kemudian ketidaksamaan a< x < b akan mengambil tingkatan 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Mari kita gambarkan selang pada garis koordinat:

Di sini mata 2 dan 8 sepadan dengan sempadan ketaksamaan 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Secara bertulis, selang yang diberikan oleh ketaksamaan a< x < b, dilambangkan seperti berikut:

(a; b)

Tanda kurung pada kedua-dua belah menunjukkan bahawa sempadan selang tidak tergolong kepada dia. Mari kita tulis jawapan kepada ketaksamaan 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari 2 hingga 8, tidak termasuk nombor 2 dan 8, adalah penyelesaian kepada ketaksamaan 2< x< 8 .

Selang separuh

Selang separuh dipanggil selang berangka, yang diberikan oleh ketaksamaan a ≤ x< b , di mana a dan b adalah sempadan ketidaksamaan ini, x- penyelesaian ketaksamaan.

Selang separuh juga dipanggil selang berangka, yang diberikan oleh ketaksamaan a< x ≤ b .

Salah satu sempadan separuh selang adalah miliknya. Oleh itu nama selang berangka ini.

Dalam keadaan dengan selang separuh a ≤ x< b ia (selang separuh) tergolong dalam sempadan kiri.

Dan dalam keadaan dengan selang separuh a< x ≤ b ia memiliki sempadan yang betul.

biarlah a= 2 , b= 8 . Kemudian ketidaksamaan a ≤ x< b mengambil bentuk 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Lukis selang 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, yang merupakan penyelesaian bagi ketaksamaan 2 ≤ x < 8 .

Perkara 2, iaitu sempadan kiri separuh selang, ditunjukkan sebagai bulatan terisi, kerana sempadan kiri ketaksamaan 2 ≤ x < 8 kepunyaan banyak penyelesaian dia.

Dan titik 8, iaitu sempadan kanan separuh selang ditunjukkan sebagai bulatan kosong, kerana sempadan kanan ketaksamaan 2 ≤ x < 8 bukan kepunyaan banyak penyelesaian dia.

a ≤ x< b, dilambangkan seperti berikut:

[ a; b)

Ia boleh dilihat bahawa di satu sisi sempadan dibingkai oleh kurungan persegi, dan di sisi lain oleh kurungan bulat. Ini disebabkan oleh fakta bahawa satu sempadan separuh selang adalah miliknya, manakala yang lain tidak. Mari kita tulis jawapan kepada ketaksamaan 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari 2 hingga 8, termasuk nombor 2 tetapi tidak termasuk nombor 8, adalah penyelesaian kepada ketaksamaan 2 ≤ x < 8 .

Begitu juga, pada garis koordinat, seseorang boleh menggambarkan separuh selang yang diberikan oleh ketaksamaan a< x ≤ b . biarlah a= 2 , b= 8 . Kemudian ketidaksamaan a< x ≤ b akan mengambil tingkatan 2< x≤ 8 . Penyelesaian kepada ketidaksamaan berganda ini ialah semua nombor yang lebih besar daripada 2 dan kurang daripada 8, tidak termasuk nombor 2, tetapi termasuk nombor 8.

Lukis separuh selang 2< x≤ 8 pada garis koordinat:

Di sini mata 2 dan 8 sepadan dengan sempadan ketaksamaan 2< x≤ 8 , dan kawasan putus-putus sepadan dengan set nilai x, yang merupakan penyelesaian ketaksamaan 2< x≤ 8 .

Perkara 2, iaitu sempadan kiri separuh selang, ditunjukkan sebagai bulatan kosong, kerana sempadan kiri ketaksamaan 2< x≤ 8 tidak tergolong banyak penyelesaian dia.

Dan titik 8, iaitu sempadan kanan separuh selang, ditunjukkan sebagai bulatan terisi, kerana sempadan kanan ketaksamaan 2< x≤ 8 kepunyaan banyak penyelesaian dia.

Secara bertulis, separuh selang diberikan oleh ketaksamaan a< x ≤ b, dilambangkan seperti ini: a; b] . Mari kita tulis jawapan kepada ketaksamaan 2< x≤ 8 menggunakan tatatanda ini:

x ∈ (2 ; 8 ]

Ungkapan ini mengatakan bahawa semua nombor dari 2 hingga 8, tidak termasuk nombor 2, tetapi termasuk nombor 8, adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan 2< x≤ 8 .

Imej selang berangka pada garis koordinat

Rentang berangka boleh ditentukan menggunakan ketaksamaan, atau menggunakan tatatanda (tanda kurung atau kurungan segi empat sama). Dalam kedua-dua kes, seseorang mesti boleh mewakili selang berangka ini pada garis koordinat. Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Lukiskan selang berangka yang diberikan oleh ketaksamaan x> 5

Kami ingat bahawa ketaksamaan bentuk x> a sinar berangka terbuka ditentukan. Dalam kes ini, pembolehubah a sama dengan 5. Ketaksamaan x> 5 adalah ketat, jadi sempadan 5 akan dipaparkan sebagai bulatan kosong. Kami berminat dengan semua nilai x, yang lebih besar daripada 5, jadi keseluruhan kawasan di sebelah kanan akan diserlahkan dengan sebatan:

Contoh 2. Lukis selang nombor (5; +∞) pada garis koordinat

Ini adalah rentang nombor yang sama yang kami gambarkan dalam contoh sebelumnya. Tetapi kali ini ia ditetapkan bukan dengan bantuan ketidaksamaan, tetapi dengan bantuan notasi selang berangka.

Sempadan 5 dikelilingi oleh kurungan, yang bermaksud ia tidak tergolong dalam jurang. Sehubungan itu, bulatan kekal kosong.

Simbol +∞ menunjukkan bahawa kami berminat dengan semua nombor yang lebih besar daripada 5. Oleh itu, seluruh kawasan di sebelah kanan sempadan 5 diserlahkan dengan pukulan:

Contoh 3. Lukiskan selang nombor (−5; 1) pada garis koordinat.

Tanda kurung bulat pada kedua-dua belah menandakan selang. Sempadan selang itu bukan miliknya, jadi sempadan −5 dan 1 akan dipaparkan pada garis koordinat sebagai bulatan kosong. Seluruh kawasan di antara mereka akan diserlahkan dengan pukulan:

Contoh 4. Lukiskan selang berangka yang diberikan oleh ketaksamaan −5< x< 1

Ini adalah rentang nombor yang sama yang kami gambarkan dalam contoh sebelumnya. Tetapi kali ini ia dinyatakan bukan dengan bantuan notasi selang, tetapi dengan bantuan ketidaksamaan berganda.

Ketaksamaan bentuk a< x < b , selang ditetapkan. Dalam kes ini, pembolehubah a sama dengan −5 , dan pembolehubah b adalah sama dengan satu. Ketaksamaan −5< x< 1 adalah ketat, jadi sempadan −5 dan 1 akan dilukis sebagai bulatan kosong. Kami berminat dengan semua nilai x, yang lebih besar daripada −5 tetapi kurang daripada satu, jadi keseluruhan kawasan antara titik −5 dan 1 akan diserlahkan dengan pukulan:

Contoh 5. Lukis selang berangka [-1; 2] dan

Kali ini kita akan melukis dua jurang pada garis koordinat sekaligus.

Tanda kurung segi empat sama pada kedua-dua belah menunjukkan segmen. Sempadan segmen kepunyaannya, jadi sempadan segmen [-1; 2] dan akan digambarkan pada garis koordinat sebagai bulatan terisi. Seluruh kawasan di antara mereka akan diserlahkan dengan pukulan.

Untuk melihat dengan jelas jurang [−1; 2] dan , yang pertama boleh digambarkan di kawasan atas, dan yang kedua di bahagian bawah. Jadi mari kita lakukannya:

Contoh 6. Lukis selang berangka [-1; 2) dan (2; 5]

Tanda kurung segi empat sama pada satu sisi dan kurungan bulat di sisi yang lain menandakan selang separuh. Satu daripada sempadan separuh selang adalah miliknya, dan yang lain tidak.

Dalam kes separuh selang [-1; 2) sempadan kiri akan menjadi miliknya, tetapi yang kanan tidak. Ini bermakna sempadan kiri akan dipaparkan sebagai bulatan terisi. Sempadan kanan akan dipaparkan sebagai bulatan kosong.

Dan dalam kes separuh selang (2; 5] hanya sempadan kanan akan menjadi miliknya, dan yang kiri tidak. Ini bermakna bahawa sempadan kiri akan dipaparkan sebagai bulatan terisi. Sempadan kanan akan dipaparkan sebagai bulatan kosong.

Lukis selang [-1; 2) di kawasan atas garis koordinat, dan selang (2; 5] — di bahagian bawah:

Contoh penyelesaian ketaksamaan

Ketaksamaan yang, melalui transformasi yang sama, boleh dikurangkan kepada bentuk kapak > b(atau ke pandangan kapak< b ), kami akan hubungi ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah.

Dalam ketaksamaan linear kapak > b , x ialah pembolehubah yang nilainya boleh didapati, a ialah pekali pembolehubah ini, b ialah sempadan ketidaksamaan, yang, bergantung pada tanda ketidaksamaan, mungkin sama ada tergolong dalam set penyelesaiannya atau bukan miliknya.

Contohnya, ketidaksamaan 2 x> 4 ialah ketaksamaan bentuk kapak > b. Di dalamnya, peranan pembolehubah a memainkan nombor 2, peranan pembolehubah b(ketaksamaan sempadan) memainkan nombor 4.

Ketaksamaan 2 x> 4 boleh dibuat lebih mudah. Jika kita membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan 2, maka kita mendapat ketaksamaan x> 2

Ketaksamaan yang terhasil x> 2 juga merupakan ketaksamaan bentuk kapak > b, iaitu, ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah. Dalam ketaksamaan ini, peranan pembolehubah a permainan unit. Terdahulu kami mengatakan bahawa pekali 1 tidak direkodkan. Peranan pembolehubah b bermain nombor 2.

Berdasarkan maklumat ini, mari cuba selesaikan beberapa ketaksamaan mudah. Semasa penyelesaian, kami akan melakukan transformasi identiti asas untuk mendapatkan ketaksamaan bentuk kapak > b

Contoh 1. Selesaikan ketidaksamaan x− 7 < 0

Tambahkan pada kedua-dua belah ketaksamaan nombor 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Di sebelah kiri akan kekal x, dan bahagian kanan menjadi sama dengan 7

x< 7

Dengan transformasi asas, kami telah mengurangkan ketidaksamaan x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Apabila ketidaksamaan dibawa ke bentuk x< a (atau x > a), ia boleh dianggap sudah selesai. Ketaksamaan kita x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Mari tulis jawapan menggunakan selang berangka. Dalam kes ini, jawapannya ialah sinar nombor terbuka (ingat bahawa sinar nombor diberikan oleh ketaksamaan x< a dan dilambangkan sebagai (−∞ ; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

Pada garis koordinat, sempadan 7 akan dipaparkan sebagai bulatan kosong, dan seluruh kawasan di sebelah kiri sempadan akan diserlahkan dengan pukulan:

Untuk menyemak, kami mengambil sebarang nombor daripada selang (−∞ ; 7) dan menggantikannya dengan ketaksamaan x< 7 вместо переменной x. Ambil, sebagai contoh, nombor 2

2 < 7

Ternyata ketaksamaan berangka yang betul, yang bermaksud bahawa penyelesaiannya betul. Mari kita ambil beberapa nombor lain, sebagai contoh, nombor 4

4 < 7

Ternyata ketaksamaan berangka yang betul. Jadi keputusan itu betul.

Dan kerana ketidaksamaan x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan −4 x < −16

Bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan −4. Jangan lupa bahawa apabila membahagikan kedua-dua bahagian ketidaksamaan kepada nombor negatif, tanda ketidaksamaan perubahan kepada sebaliknya:

Kami telah mengurangkan ketaksamaan −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4 . Penyelesaian ketidaksamaan x> 4 ialah semua nombor yang lebih besar daripada 4. Sempadan 4 tidak tergolong dalam set penyelesaian, kerana ketaksamaan adalah ketat.

x> 4 pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Contoh 3. Selesaikan ketidaksamaan 3y + 1 > 1 + 6y

Jadual semula 6 y dari sebelah kanan ke sebelah kiri dengan menukar tanda. Dan kami akan memindahkan 1 dari sebelah kiri ke sebelah kanan, sekali lagi menukar tanda:

3y− 6y> 1 − 1

Berikut adalah istilah yang serupa:

−3y > 0

Bahagikan kedua-dua belah dengan −3. Jangan lupa bahawa apabila membahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan diterbalikkan:

Penyelesaian ketidaksamaan y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 4. Selesaikan ketidaksamaan 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Mari kita kembangkan kurungan dalam kedua-dua bahagian ketaksamaan:

Bergerak -3 x dari sebelah kanan ke sebelah kiri dengan menukar tanda. Kami akan memindahkan istilah −5 dan 7 dari sebelah kiri ke sebelah kanan, sekali lagi menukar tanda:

Berikut adalah istilah yang serupa:

Bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan yang terhasil dengan 8

Penyelesaian kepada ketidaksamaan ialah semua nombor yang kurang daripada . Sempadan itu tergolong dalam set penyelesaian kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.

Contoh 5. Selesaikan ketidaksamaan

Darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan 2. Ini akan menyingkirkan pecahan di sebelah kiri:

Sekarang kita bergerak 5 dari sebelah kiri ke sebelah kanan dengan menukar tanda:

Selepas mengurangkan istilah yang sama, kita memperoleh ketaksamaan 6 x> 1 . Bahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan ini dengan 6. Kemudian kita dapat:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah semua nombor lebih besar daripada . Sempadan tidak tergolong dalam set penyelesaian kerana ketidaksamaan adalah ketat.

Lukis set penyelesaian kepada ketaksamaan pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Contoh 6. Selesaikan ketidaksamaan

Darab kedua-dua belah dengan 6

Selepas mengurangkan istilah yang sama, kami memperoleh ketaksamaan 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Penyelesaian ketidaksamaan x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 7. Selesaikan ketidaksamaan

Darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan 10

Dalam ketaksamaan yang terhasil, buka kurungan di sebelah kiri:

Memindahkan ahli tanpa x ke sebelah kanan

Kami membentangkan istilah yang serupa dalam kedua-dua bahagian:

Bahagikan kedua-dua bahagian ketaksamaan yang terhasil dengan 10

Penyelesaian ketidaksamaan x≤ 3.5 ialah semua nombor yang kurang daripada 3.5. Sempadan 3.5 tergolong dalam set penyelesaian kerana ketaksamaan adalah x≤ 3.5 tidak ketat.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan x≤ 3.5 pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Contoh 8. Selesaikan ketaksamaan 4< 4x< 20

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan sedemikian, kita memerlukan pembolehubah x bebas daripada pekali 4. Kemudian kita boleh katakan dalam selang berapakah penyelesaian ketaksamaan ini.

Untuk melepaskan pembolehubah x daripada pekali, anda boleh bahagikan sebutan 4 x oleh 4. Tetapi peraturan dalam ketaksamaan ialah jika kita membahagikan ahli ketaksamaan dengan beberapa nombor, maka perkara yang sama mesti dilakukan dengan terma selebihnya yang termasuk dalam ketaksamaan ini. Dalam kes kita, kita perlu membahagikan dengan 4 ketiga-tiga sebutan ketaksamaan 4< 4x< 20

Penyelesaian kepada ketidaksamaan 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 9. Selesaikan ketaksamaan −1 ≤ −2 x≤ 0

Bahagikan semua sebutan ketaksamaan dengan −2

Kami mendapat ketaksamaan 0.5 ≥ x≥ 0 . Adalah wajar untuk menulis ketaksamaan berganda supaya sebutan yang lebih kecil terletak di sebelah kiri dan yang lebih besar berada di sebelah kanan. Oleh itu, kami menulis semula ketidaksamaan kami seperti berikut:

0 ≤ x≤ 0,5

Penyelesaian kepada ketaksamaan 0 ≤ x≤ 0.5 ialah semua nombor yang lebih besar daripada 0 dan kurang daripada 0.5. Batasan 0 dan 0.5 tergolong dalam set penyelesaian, kerana ketaksamaan 0 ≤ x≤ 0.5 adalah tidak ketat.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan 0 ≤ x≤ 0.5 pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Contoh 10. Selesaikan ketidaksamaan

Darabkan kedua-dua ketaksamaan dengan 12

Mari kita buka kurungan dalam ketidaksamaan yang terhasil dan nyatakan seperti istilah:

Bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan yang terhasil dengan 2

Penyelesaian ketidaksamaan x≤ −0.5 ialah semua nombor yang kurang daripada −0.5. Sempadan −0.5 tergolong dalam set penyelesaian kerana ketaksamaan x≤ −0.5 adalah tidak ketat.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan x≤ −0.5 pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Contoh 11. Selesaikan ketidaksamaan

Darab semua bahagian ketaksamaan dengan 3

Sekarang tolak 6 daripada setiap bahagian ketaksamaan yang terhasil

Kami membahagikan setiap bahagian ketaksamaan yang terhasil dengan -1. Jangan lupa bahawa apabila membahagikan semua bahagian ketaksamaan dengan nombor negatif, tanda ketidaksamaan diterbalikkan:

Penyelesaian kepada ketaksamaan 3 ≤ a≤ 9 ialah semua nombor yang lebih besar daripada 3 dan kurang daripada 9. Sempadan 3 dan 9 tergolong dalam set penyelesaian, kerana ketaksamaan 3 ≤ a≤ 9 tidak ketat.

Lukiskan set penyelesaian kepada ketaksamaan 3 ≤ a≤ 9 pada garis koordinat dan tulis jawapan sebagai selang berangka:

Apabila tiada penyelesaian

Terdapat ketidaksamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Seperti itu, sebagai contoh, adalah ketidaksamaan 6 x> 2(3x+ 1). Dalam proses menyelesaikan ketidaksamaan ini, kita akan sampai kepada fakta bahawa tanda ketidaksamaan > tidak membenarkan lokasinya. Jom tengok macam mana rupanya.

Mengembangkan kurungan di sebelah kanan ketidaksamaan ini, kita mendapat 6 x> 6x+ 2 . Jadual semula 6 x dari sebelah kanan ke sebelah kiri, menukar tanda, kita dapat 6 x− 6x> 2 . Kami membawa istilah yang serupa dan memperoleh ketaksamaan 0 > 2, yang tidak benar.

Untuk pemahaman yang lebih baik, kami menulis semula pengurangan istilah serupa di sebelah kiri seperti berikut:

Kami mendapat ketaksamaan 0 x> 2 . Di sebelah kiri ialah produk, yang akan sama dengan sifar untuk mana-mana x. Dan sifar tidak boleh lebih besar daripada nombor 2. Oleh itu ketaksamaan 0 x> 2 tidak mempunyai penyelesaian.

x> 2 , maka ia tidak mempunyai penyelesaian dan ketaksamaan asal 6 x> 2(3x+ 1) .

Contoh 2. Selesaikan ketidaksamaan

Darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan 3

Dalam ketidaksamaan yang terhasil, kami memindahkan istilah 12 x dari sebelah kanan ke sebelah kiri dengan menukar tanda. Kemudian kami memberikan istilah seperti:

Bahagian kanan ketidaksamaan yang terhasil untuk mana-mana x akan sama dengan sifar. Dan sifar tidak kurang daripada -8. Oleh itu ketaksamaan 0 x< −8 не имеет решений.

Dan jika ketaksamaan setara yang dikurangkan 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Jawab: tiada penyelesaian.

Apabila terdapat penyelesaian yang tidak terhingga

Terdapat ketaksamaan yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Ketaksamaan sedemikian menjadi kenyataan bagi mana-mana x .

Contoh 1. Selesaikan ketidaksamaan 5(3x− 9) < 15x

Mari kita kembangkan kurungan di sebelah kanan ketaksamaan:

Jadual semula 15 x dari sebelah kanan ke sebelah kiri, menukar tanda:

Berikut adalah istilah serupa di sebelah kiri:

Kami mendapat ketaksamaan 0 x< 45 . Di sebelah kiri ialah produk, yang akan sama dengan sifar untuk mana-mana x. Dan sifar adalah kurang daripada 45. Jadi penyelesaian bagi ketaksamaan 0 x< 45 ialah sebarang nombor.

x< 45 mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, kemudian ketaksamaan asal 5(3x− 9) < 15x mempunyai penyelesaian yang sama.

Jawapannya boleh ditulis sebagai selang berangka:

x ∈ (−∞; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahawa penyelesaian ketaksamaan 5(3x− 9) < 15x ialah semua nombor daripada tolak infiniti kepada tambah infiniti.

Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Mari kembangkan kurungan di sebelah kiri ketaksamaan:

Mari kita jadualkan semula 50 x dari sebelah kanan ke sebelah kiri dengan menukar tanda. Dan kami akan memindahkan istilah 31 dari sebelah kiri ke sebelah kanan, sekali lagi menukar tanda:

Berikut adalah istilah yang serupa:

Kami mendapat ketaksamaan 0 x >-31 . Di sebelah kiri ialah produk, yang akan sama dengan sifar untuk mana-mana x. Dan sifar lebih besar daripada −31 . Jadi penyelesaian ketaksamaan 0 x< −31 ialah sebarang nombor.

Dan jika ketaksamaan setara yang dikurangkan 0 x >−31 mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, kemudian ketaksamaan asal 31(2x+ 1) − 12x> 50x mempunyai penyelesaian yang sama.

Mari kita tulis jawapan sebagai selang berangka:

x ∈ (−∞; +∞)

Tugas untuk penyelesaian bebas

Adakah anda menyukai pelajaran itu?
Sertai kumpulan Vkontakte baharu kami dan mula menerima pemberitahuan tentang pelajaran baharu