Konsep formula penyepaduan berangka. Panduan Belajar Kaedah Matematik dalam Geografi

Muka surat 1

Jabatan Matematik Tinggi
Abstrak:

Dilengkapkan oleh: Matveev F.I.
Disemak oleh: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1. Kaedah penyepaduan berangka

2. Terbitan formula Simpson

3.Ilustrasi geometri

4. Pilihan langkah integrasi

5.Contoh

1. Kaedah penyepaduan berangka
Satu tugas penyepaduan berangka adalah untuk mengira kamiran

melalui satu siri nilai integrand
.

Masalah pengamiran berangka perlu diselesaikan untuk fungsi yang diberikan dalam jadual, fungsi yang kamirannya tidak diambil kira. fungsi asas, dan lain-lain. Pertimbangkan hanya fungsi satu pembolehubah.

Daripada fungsi yang hendak disepadukan, mari kita sepadukan polinomial interpolasi. Kaedah berdasarkan penggantian integrand dengan polinomial interpolasi memungkinkan untuk menganggarkan ketepatan keputusan oleh parameter polinomial atau memilih parameter ini untuk ketepatan tertentu.

Kaedah berangka boleh dikumpulkan secara bersyarat mengikut kaedah penyepaduan dan penghampiran.

Kaedah Newton-Cotes adalah berdasarkan anggaran fungsi
polinomial darjah . Algoritma kelas ini hanya berbeza dalam tahap polinomial. Sebagai peraturan, nod polinomial anggaran adalah sama berkaitan.

Kaedah penyepaduan spline adalah berdasarkan anggaran fungsi
polinomial spline-piecewise.

Kaedah ketepatan algebra tertinggi (kaedah Gauss) menggunakan nod bukan setara yang dipilih khas yang memberikan ralat penyepaduan minimum untuk bilangan nod (dipilih) tertentu.

Kaedah Monte Carlo digunakan paling kerap dalam pengiraan kamiran berbilang, nod dipilih secara rawak, jawapannya adalah kebarangkalian.

ralat total

ralat pemangkasan

ralat pembundaran

Tanpa mengira kaedah yang dipilih, dalam proses penyepaduan berangka, adalah perlu untuk mengira nilai anggaran kamiran dan menganggarkan ralat. Ralat berkurangan apabila nombor-n bertambah

sekatan segmen
. Walau bagaimanapun, ini meningkatkan ralat pembundaran.

dengan menjumlahkan nilai kamiran yang dikira pada segmen separa.

Ralat pemotongan bergantung pada sifat integrand dan panjang potongan separa.
2. Terbitan formula Simpson
Jika bagi setiap pasangan segmen
bina polinomial darjah kedua, kemudian gabungkannya dan gunakan sifat ketambahan kamiran, kemudian kita memperoleh formula Simpson.

Pertimbangkan fungsi integrand
pada segmen
. Mari kita gantikan integrand ini dengan polinomial interpolasi Lagrange darjah kedua yang bertepatan dengan
pada titik:

Mari kita sepadukan
:

Formula:

dan dipanggil formula Simpson.

Diperolehi untuk kamiran
nilainya sama dengan luasnya trapezoid melengkung, dihadkan oleh paksi , lurus
,
dan parabola yang melalui titik-titik itu

Mari kita sekarang menganggarkan ralat penyepaduan oleh formula Simpson. Kami akan menganggap itu pada segmen
terdapat terbitan berterusan
. Karang perbezaan

Teorem nilai min sudah boleh digunakan untuk setiap dua kamiran ini, kerana
berterusan pada
dan fungsinya adalah bukan negatif pada selang penyepaduan pertama dan bukan positif pada selang kedua (iaitu, ia tidak mengubah tanda pada setiap selang ini). Itulah sebabnya:

(kami menggunakan teorem nilai min kerana
- fungsi berterusan;
).

membezakan
dua kali dan kemudian menggunakan teorem nilai min, kita peroleh untuk
ungkapan lain:

, di mana

Daripada kedua-dua anggaran untuk
ia berikutan bahawa formula Simpson adalah tepat untuk polinomial darjah paling banyak tiga. Kami menulis formula Simpson, sebagai contoh, sebagai:

,
.

Jika segmen
integrasi terlalu besar, maka ia dibahagikan kepada
bahagian yang sama(andaian
), kemudian ke setiap pasangan segmen jiran
,
,...,
Formula Simpson digunakan, iaitu:

Kami menulis formula Simpson dalam bentuk umum:

(1)

(2)

Kesilapan formula Simpson - kaedah urutan keempat:

,
(3)

Oleh kerana kaedah Simpson membolehkan kita memperoleh ketepatan tinggi, jika
tidak terlalu besar. Jika tidak, kaedah tertib kedua mungkin memberikan ketepatan yang lebih besar.

Sebagai contoh, untuk fungsi, bentuk trapezium di
untuk
memberi hasil yang tepat
, manakala dengan formula Simpson kita dapat

3. Ilustrasi geometri

Pada segmen
dengan panjang 2j sebuah parabola dibina melalui tiga titik
,
. Kawasan di bawah parabola yang tertutup antara paksi OX dan garis lurus
, terima sama dengan kamiran
.

Satu ciri aplikasi formula Simpson ialah hakikat bahawa bilangan partition segmen integrasi adalah genap.

Jika bilangan segmen partition ganjil, maka untuk tiga segmen pertama, formula menggunakan parabola darjah ketiga yang melalui empat titik pertama harus digunakan untuk menghampiri integrand.

(4)

Ini ialah formula "tiga perlapan" Simpson.

Untuk selang integrasi sewenang-wenangnya
formula (4) boleh "bersambung"; bilangan segmen separa mestilah gandaan tiga (
mata).

, m=2,3,... (5)

- bahagian keseluruhan

Anda boleh mendapatkan formula Newton-Cotes bagi pesanan yang lebih tinggi:

(6)

- bilangan segmen partition;

- tahap polinomial yang digunakan;

- terbitan -perintah ke- pada titik
;

- langkah membelah.

Jadual 1 menyenaraikan pekali
. Setiap baris sepadan dengan satu set jurang
nod untuk membina polinomial darjah ke-k. Untuk menggunakan skim ini untuk lebih set (contohnya, dengan k=2 dan n=6), anda perlu "meneruskan" pekali, dan kemudian menambahnya.

Jadual 1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Algoritma untuk menganggar ralat rumus trapezoid dan Simpson boleh ditulis sebagai:
(7),

di mana - pekali bergantung kepada kaedah penyepaduan dan sifat-sifat penyepaduan;

h - langkah integrasi;

p ialah susunan kaedah.

Peraturan Runge digunakan untuk mengira ralat dengan pengiraan berganda bagi kamiran dengan langkah h dan kh.

(8)

(8) - anggaran posterior. Kemudian Ispec.= +Ro(9),
nilai kamiran yang dikemas kini
.

Jika susunan kaedah tidak diketahui, adalah perlu untuk mengira I kali ketiga dengan langkah
, itu dia:

daripada sistem tiga persamaan:

Dengan tidak diketahui I, A dan p kita dapat:

(10)

Daripada (10) ia berikut
(11)

Oleh itu, kaedah pengiraan berganda, menggunakan bilangan kali yang diperlukan, membolehkan anda mengira kamiran dengan tahap ketepatan tertentu. Pilihan bilangan partition yang diperlukan dijalankan secara automatik. Dalam kes ini, seseorang boleh menggunakan berbilang panggilan ke subprogram kaedah penyepaduan yang sepadan tanpa mengubah algoritma kaedah ini. Walau bagaimanapun, untuk kaedah menggunakan nod jarak sama, adalah mungkin untuk mengubah suai algoritma dan mengurangkan separuh bilangan pengiraan kamiran dan dengan menggunakan jumlah kamiran terkumpul semasa berbilang partition selang penyepaduan sebelumnya. Dua nilai anggaran kamiran
dan
, dikira dengan kaedah trapezoid dengan langkah dan
, dikaitkan dengan hubungan:

Begitu juga, untuk kamiran yang dikira dengan formula dengan langkah dan
, hubungan berikut adalah sah:

(13)

4. Pilihan langkah integrasi
Untuk memilih langkah penyepaduan, anda boleh menggunakan ungkapan istilah yang selebihnya. Ambil, sebagai contoh, istilah baki formula Simpson:

Jika 

, kemudian 

.

Memandangkan ketepatan  kaedah penyepaduan, kami menentukan langkah yang sesuai daripada ketaksamaan terakhir.

,
.

Walau bagaimanapun, kaedah ini memerlukan penilaian
(yang tidak selalu mungkin dalam amalan). Oleh itu, mereka menggunakan kaedah lain untuk menentukan anggaran ketepatan, yang, semasa pengiraan, memungkinkan untuk memilih langkah yang diperlukan h.

Mari kita lihat salah satu kaedah ini. biarlah

,

di mana - nilai anggaran kamiran dengan langkah . Jom kurangkan langkah dua kali, memecahkan segmen
kepada dua bahagian yang sama
dan
(
).

Anggaplah sekarang
tidak berubah terlalu cepat, jadi
hampir malar: . Kemudian
dan
, di mana
, itu dia
.

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika
, iaitu jika
,
, a ialah ketepatan yang diperlukan, kemudian langkahnya sesuai untuk mengira kamiran dengan ketepatan yang mencukupi. Jika
, kemudian pengiraan diulang dengan langkah dan kemudian dibandingkan
dan
dan lain-lain. Peraturan ini dipanggil peraturan Runge.

Walau bagaimanapun, apabila menggunakan peraturan Runge, adalah perlu untuk mengambil kira magnitud ralat pengiraan: dengan penurunan kesilapan mutlak pengiraan integral bertambah (bergantung
daripada berkadar songsang) dan untuk cukup kecil mungkin lebih besar daripada ralat kaedah. Jika melebihi
, kemudian untuk langkah ini Peraturan Runge tidak boleh digunakan dan ketepatan yang dikehendaki tidak dapat dicapai. Dalam kes sedemikian, adalah perlu untuk meningkatkan nilai .

Dalam mendapatkan peraturan Runge, anda pada dasarnya menggunakan andaian bahawa
. Sekiranya terdapat hanya jadual nilai , kemudian semak
"untuk kegigihan" boleh dilakukan terus dari jadual Perkembangan selanjutnya daripada algoritma di atas membolehkan anda pergi ke algoritma penyesuaian, di mana, disebabkan oleh pilihan langkah integrasi yang berbeza dalam bahagian yang berbeza selang penyepaduan bergantung pada sifat
bilangan pengiraan kamiran dan berkurangan.

Skim lain untuk memperhalusi nilai kamiran ialah proses Eitnen. Kamiran dikira dengan langkah
, dan
. Pengiraan nilai. Kemudian
(14).

Nilai berikut diambil sebagai ukuran ketepatan kaedah Simpson:

5. Contoh
Contoh 1 Kira Kamiran
mengikut formula Simpson, jika
diberikan oleh meja. Anggarkan kesilapan.

Jadual 3

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Penyelesaian: Kira dengan formula (1) dengan

dan

integral .

Dengan peraturan Runge, kita dapat
Kami terima.

Contoh 2 Kira Kamiran

Penyelesaian: Kami ada
. Oleh itu h=
=0.1. Keputusan pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 4.

Jadual 4

Pengiraan kamiran menggunakan formula Simpson

i
0	0		y0=1.00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0.50000=yn
		3.45955(1)	2.72818(2)

Menurut formula Simpson, kami mendapat:

Mari kita mengira ralat hasil. ralat total terdiri daripada kesilapan dan selebihnya . Jelas sekali: -0.289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Mari kita gantikan kamiran dan dalam (2.50) dengan polinomial interpolasi Lagrange darjah sifar yang melalui tengah segmen, titik X = (a + b)/2(Gamb. 2.5). Luas trapezium melengkung boleh digantikan dengan luas segi empat tepat, i.e.

Formula (2.52) dipanggil FORMULA RECTANGLE atau FORMULA PURATA. Kesilapannya ialah

Penguraian fungsi f(x) dalam satu baris berkenaan dengan bahagian tengah segmen mempunyai bentuk

Menggantikan ungkapan (2.54) kepada (2.53), kita perolehi

nasi. 2.5

Apabila mengira ralat penyepaduan, bukan sahaja yang pertama, tetapi juga istilah pengembangan kedua telah dimusnahkan, yang dikaitkan dengan pilihan simetri nod penyepaduan. Dan walaupun dengan pembinaan formula itu tepat untuk polinomial pesanan sifar, pilihan nod interpolasi simetri membawa kepada fakta bahawa formula adalah tepat untuk sebarang fungsi linear.

Nilai sebutan baki dalam formula segi empat tepat (2.53) boleh menjadi besar, kerana perbezaan (6 - a) boleh menjadi agak besar. Untuk meningkatkan ketepatan, kami memperkenalkan grid

dengan langkah yang agak kecil h t=jc(- xt_ j dan gunakan formula segi empat tepat pada setiap langkah grid. Kemudian kita mendapat formula umum segi empat tepat

dengan jangka masa yang selebihnya

Pada grid seragam dengan langkah h t «= X ( - x t _ j = formula const (2.56) dipermudahkan dan mempunyai bentuk

nilai sebutan baki ialah Menggantikan jumlah dalam (2.58) dengan kamiran, kita perolehi

Untuk anggaran baki jangka (2.58) menjadi sah, kewujudan terbitan kedua berterusan adalah perlu; jika terbitan kedua f "x) adalah berterusan sekeping, maka hanya anggaran major boleh dibuat dengan menggantikan f"(x) nilai maksimumnya untuk [a, 6]. Kemudian, jika kita menandakan M 2 = maks | f"(x)| [dan selebihnya

Dalam kes apabila fungsi f(x) diberikan dalam bentuk jadual, nilainya di tengah-tengah selang tidak diketahui. Nilai ini didapati, sebagai peraturan, dengan interpolasi, yang membawa kepada kemerosotan dalam ketepatan formula.

Dalam kes hamparan set fungsi adalah mudah untuk memilih permulaan dan penghujung segmen penyepaduan sebagai nod interpolasi, iaitu, menggantikan fungsi f(x) Polinomial Lagrange darjah pertama. Kami ada

nasi. 2.6

Dalam kes ini, nilai kamiran, sama dengan kawasan trapezoid curvilinear, lebih kurang digantikan dengan luas trapezoid (Rajah 2.6). Oleh itu, kita dapat

dengan mengambil kira bahawa x 0 \u003d a, x r = b. Formula ini dipanggil FORMULA TRAPEZIUM. Apabila menggunakan formula trapezoid untuk

anggaran ralat penyepaduan, kami mengira J dx daripada

formula (2.18). Kami ada

Ralat formula trapezoid adalah dua kali ralat formula segi empat tepat. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa pilihan segi empat tepat dalam formula sebagai nod interpolasi nod simetri membawa kepada peningkatan ketepatannya.

Untuk meningkatkan ketepatan formula (2.61), kami memperkenalkan pada segmen [a, b] grid

Mengira nilai kamiran untuk setiap selang dan menjumlahkan nilai-nilai ini, kita perolehi digeneralisasikan formula trapezoid

dengan nilai selebihnya

Formula ini dipermudahkan pada grid dengan langkah malar L = L (= Xj- q:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Kami memperkenalkan notasi M 2~ maks |ГХ^)1(а &] Dalam amalan, anggaran utama bagi istilah baki

Oleh itu, formula trapezoid (serta formula segi empat tepat) mempunyai ketepatan tertib kedua berkenaan dengan jarak grid, dan ralat secara asimptotik cenderung kepada sifar sebagai h-» 0 hingga sebutan lebih besar daripada perintah tinggi kekecilan.

Untuk meningkatkan susunan ketepatan formula integrasi berangka, kami menggantikan integrand dengan parabola - polinomial interpolasi Lagrange darjah kedua, memilih hujung dan tengah segmen integrasi sebagai nod interpolasi: x 0 = a, x x ~ (a + b)/ 2, x z = b(Gamb. 2.7).

Dalam kes ini, menyepadukan polinomial interpolasi untuk nod yang sama, kita perolehi

nasi. 2.7

Dalam kes ini, nilai baki istilah R ~ J D 2 (x) dx dianggarkan mengikut nisbah anggaran °

Formula (2.67) dipanggil SIMPSON'S FORMULA. Untuk nod tidak sama jarak x 0 , Xj, x 2 nilainya F ialah

Seperti dalam dua kes sebelumnya, untuk meningkatkan ketepatan formula (2.67), kami memperkenalkan grid dengan langkah yang cukup kecil. Menjumlahkan nilai kamiran yang diperolehi oleh (2.67) untuk setiap selang, kami memperoleh formula Simpson umum (parabola), yang pada grid seragam mempunyai bentuk

dan nilai bakinya ialah

Oleh itu, formula parabola mempunyai urutan keempat ketepatan berkenaan dengan langkah grid. Kami memperkenalkan notasi M 4== maks |/IV(x)| :

.
lepas tu .
Kami akan menggunakan interpolasi linear bagi integrand.
Jika bukan segmen [-1; 1] untuk mengambil nod bergerak t1, t2 sebagai nod interpolasi, maka anda perlu memilih nilai-nilai ini supaya kawasan trapezoid disempadani dari atas oleh garis lurus yang melalui titik A1 (t1, φ(t1) ) dan A2 (t2, φ(t2)) adalah sama dengan kamiran mana-mana polinomial beberapa darjah tertinggi.
Dengan mengandaikan bahawa ini adalah polinomial darjah ketiga, kita mengira t1, t2, yang ternyata sama dengan dan , hanya berbeza dalam penomboran nilai.
Selanjutnya, memecahkan segmen integrasi kepada n bahagian, menggunakan idea yang diterangkan di atas untuk setiap daripada mereka, kita boleh mendapatkan formula Gauss:

pengaturcaraan formula penyepaduan berangka

pengenalan

1. Kaedah penyepaduan berangka

2. Formula kuadratur

3. Pemilihan automatik langkah penyepaduan

Kesimpulan

Senarai bibliografi

pengenalan

Tujuan abstrak adalah untuk mengkaji dan analisis perbandingan kaedah penyepaduan berangka fungsi; pelaksanaan kaedah ini dalam bentuk program mesin dalam bahasa tahap tinggi dan penyelesaian praktikal masalah penyepaduan berangka pada komputer.

Apabila menyelesaikan masalah kejuruteraan, ia sering menjadi perlu untuk mengira nilai kamiran pasti baik hati

. (1)

Jika fungsi itu berterusan pada selang [ a , b] dan antiterbitannya boleh ditakrifkan dari segi fungsi yang diketahui, maka pengiraan kamiran sedemikian dijalankan mengikut formula Newton-Leibniz:

AT tugas kejuruteraan jarang sekali mungkin untuk mendapatkan nilai kamiran dalam bentuk analisis. Selain itu, fungsi f (x) boleh diberikan, sebagai contoh, oleh jadual data eksperimen. Oleh itu, dalam amalan, untuk mengira kamiran pasti, seseorang menggunakan kaedah khas, yang berasaskan kepada radas interpolasi.

Idea di sebalik kaedah ini adalah seperti berikut. Daripada mengira kamiran menggunakan formula (1), nilai fungsi dikira terlebih dahulu f (x i) = y i pada beberapa nod x i Î[ a , b]. Kemudian polinomial interpolasi dipilih P (x) melalui mata yang diperolehi ( x i , y i), yang digunakan dalam mengira nilai anggaran kamiran (1):

Apabila melaksanakan pendekatan ini, formula penyepaduan berangka mengambil yang berikut bentuk umum:

, (2) - nod interpolasi, Ai adalah beberapa pekali, R– istilah baki yang mencirikan ralat formula. Ambil perhatian bahawa formula dalam bentuk (2) dipanggil formula kuadratur.

Maksud geometri pengamiran berangka adalah untuk mengira luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi f (X), paksi absis dan dua garis lurus x = a dan x = b. Pengiraan anggaran luas membawa kepada penolakan sebutan baki dalam formula kuadratur R mencirikan ralat kaedah, yang ditambah pula dengan ralat pengiraan.

1. Kaedah penyepaduan berangka

AT penyelidikan gunaan selalunya terdapat keperluan untuk mengira nilai kamiran pasti

Seperti yang diketahui dari kursus matematik, pengiraan analitik kamiran tidak boleh dijalankan dalam semua kes. Dan walaupun dalam kes apabila mungkin untuk mencari bentuk analitik kamiran ini, prosedur pengiraan memberikan hasil anggaran, jadi masalah nilai anggaran kamiran ini timbul.

Intipati pengiraan anggaran terdiri daripada dua operasi: 1. dalam memilih nombor terhingga bukannya n; 2. dalam pemilihan mata

dalam bahagian yang sepadan.

Bergantung pada pilihan

kita mendapat pelbagai formula untuk mengira kamiran: Formula untuk segi empat kiri dan kanan (5), (6)

(5)

(6)

Formula trapezoid:

Formula Simpson

b, a - hujung segmen yang dipertimbangkan.

Untuk membandingkan hasil pengiraan oleh formula penyepaduan berangka di atas, kami mengira kamiran berikut dalam 3 cara, membahagikan segmen kepada 6 segmen yang sama: h=

Mengikut formula segi empat tepat kiri:

Mengikut formula trapezoid:

Mengikut formula Simpson:

Dan hasil yang diperoleh secara analitik adalah sama dengan

Oleh itu, boleh disimpulkan bahawa kaedah berangka penyepaduan oleh formula Simpson adalah lebih tepat, tetapi digunakan dalam kes am apabila membahagikan segmen yang bergaduh kepada bilangan celah yang genap.

2. Formula kuadratur

Formula segi empat tepat ialah formula kuadratur termudah. Mari kita bahagikan segmen integrasi [ a, b] pada P bahagian yang sama panjang

. Perhatikan bahawa nilai h dipanggil langkah integrasi. Pada titik perpecahan X 0 = a ,X 1 = a + h , ..., x n = b perhatikan ordinat y 0 ,y 1 ,…,y n bengkok f (x), iaitu pengiraan i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 + h (i =). Pada setiap segmen panjang h bina segi empat tepat dengan sisi h dan y i, di mana i =, iaitu dengan nilai ordinat yang dikira di hujung kiri segmen. Kemudian luas trapezium melengkung, yang menentukan nilai kamiran (1), boleh diwakili lebih kurang sebagai jumlah kawasan segi empat tepat (Rajah 1). Dari sini kita mendapat formula segi empat tepat:
. (3)

Jika, apabila mengira jumlah kamiran, kami mengambil nilai fungsi f (x) bukan di sebelah kiri, tetapi di hujung kanan segmen panjang h, yang ditunjukkan dalam rajah. 1 dengan garis putus-putus, kemudian kita mendapat versi kedua formula segi empat tepat:

. (4)

Varian ketiga formula segi empat tepat boleh diperolehi dengan menggunakan nilai fungsi f (x) dikira pada titik tengah setiap segmen panjang h(Gamb. 2):

. (5)

Rumus (3), (4) dan (4) masing-masing dipanggil rumus segi empat tepat kiri, kanan dan tengah.

Formula Simpson. Kami membahagikan selang penyepaduan kepada 2 n bahagian yang sama panjang

. Pada setiap segmen [ x i , x i+2] integrand f (X) digantikan dengan parabola yang melalui titik-titik ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Kemudian nilai anggaran kamiran ditentukan oleh formula Simpson: . (7)

Apabila mengira pada komputer, formula berikut adalah lebih mudah:

Kaedah Simpson adalah salah satu kaedah penyepaduan berangka yang paling terkenal dan digunakan, ia memberikan nilai tepat kamiran apabila menyepadukan polinomial sehingga termasuk urutan ketiga.

Formula Newton. Nilai anggaran kamiran mengikut formula Newton dikira seperti berikut:

di mana bilangan segmen partition adalah gandaan tiga, iaitu, ialah 3 n. Apabila membangunkan program komputer, lebih mudah untuk menggunakan formula yang setara:

Kaedah Newton memberikan nilai tepat kamiran apabila menyepadukan polinomial sehingga termasuk urutan keempat.

3. Pemilihan automatik langkah penyepaduan

Hasil daripada pengiraan mengikut formula (3) - (8), nilai anggaran kamiran diperoleh, yang mungkin berbeza daripada yang tepat dengan nilai tertentu, dipanggil ralat pengamiran. Ralat ditentukan oleh formula yang selebihnya R, berbeza untuk setiap kaedah penyepaduan. Sekiranya diperlukan untuk mengira nilai kamiran dengan ralat tidak melebihi e, maka perlu memilih langkah penyepaduan sedemikian h untuk memenuhi ketidaksamaan R (h) £e. Dalam amalan, pemilihan nilai automatik digunakan h, yang memastikan pencapaian ralat yang ditentukan. Mula-mula hitung nilai kamiran saya (n), membahagikan selang penyepaduan kepada P bahagian, maka bilangan bahagian digandakan dan kamiran dikira saya (2n). Proses pengiraan diteruskan sehingga keadaan menjadi benar.