Urutan diberikan oleh formula berulang xn 2. Sifat jujukan berangka

Vida y= f(x), x TENTANG N, di mana N- sekumpulan nombor asli(atau fungsi hujah semula jadi), dilambangkan y=f(n) atau y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Nilai y 1 ,y 2 ,y 3 ,… dipanggil masing-masing yang pertama, kedua, ketiga, ... ahli jujukan.

Sebagai contoh, untuk fungsi y= n 2 boleh ditulis:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Kaedah untuk menetapkan urutan. Urutan boleh ditetapkan cara yang berbeza, antaranya tiga adalah penting terutamanya: analitikal, deskriptif dan berulang.

1. Satu jujukan diberikan secara analitik jika formulanya diberikan n-ahli ke:

y n=f(n).

Contoh. y n= 2n- 1 – urutan nombor ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Deskriptif cara untuk menentukan jujukan berangka ialah ia menerangkan unsur apa jujukan itu dibina.

Contoh 1. "Semua ahli jujukan adalah sama dengan 1." Ini bermaksud, kita bercakap tentang urutan pegun 1, 1, 1, …, 1, ….

Contoh 2. “Urutan itu terdiri daripada semua nombor perdana dalam susunan menaik". Oleh itu, urutan 2, 3, 5, 7, 11, … diberikan. Dengan kaedah ini untuk menentukan urutan dalam contoh ini adalah sukar untuk menjawab apa, katakan, unsur ke-1000 jujukan adalah sama dengan.

3. Cara berulang untuk menentukan urutan ialah peraturan ditunjukkan yang membolehkan seseorang mengira n-ahli urutan ke-, jika ahli sebelumnya diketahui. Nama kaedah rekursif berasal perkataan Latin berulang- kembali. Selalunya, dalam kes sedemikian, formula ditunjukkan yang membolehkan menyatakan n sebutan ke-jujukan melalui yang sebelumnya, dan nyatakan 1–2 ahli awal urutan.

Contoh 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jika n = 2, 3, 4,….

Di sini y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Dapat dilihat bahawa urutan yang diperoleh dalam contoh ini juga boleh ditentukan secara analitik: y n= 4n- 1.

Contoh 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 jika n = 3, 4,….

di sini: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Urutan yang disusun dalam contoh ini dikaji khas dalam matematik kerana ia mempunyai beberapa sifat dan aplikasi yang menarik. Ia dipanggil jujukan Fibonacci - selepas ahli matematik Itali abad ke-13. Mentakrifkan jujukan Fibonacci secara rekursif adalah sangat mudah, tetapi secara analitik ia sangat sukar. n-nombor Fibonacci ke-dinyatakan melaluinya nombor siri formula berikut.

Pada pandangan pertama, formula untuk n Nombor Fibonacci ke- nampaknya tidak masuk akal, kerana formula yang menentukan urutan nombor asli sahaja mengandungi punca kuasa dua, tetapi anda boleh menyemak "secara manual" kesahihan formula ini untuk beberapa yang pertama n.

Sifat jujukan berangka.

Urutan angka – kes istimewa fungsi angka, jadi beberapa sifat fungsi juga dipertimbangkan untuk jujukan.

Definisi . Susulan ( y n} dipanggil meningkat jika setiap istilahnya (kecuali yang pertama) lebih besar daripada yang sebelumnya:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definisi.Jujukan ( y n} dipanggil menurun jika setiap istilahnya (kecuali yang pertama) adalah kurang daripada yang sebelumnya:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Jujukan bertambah dan berkurangan disatukan oleh istilah biasa - jujukan monotonik.

Contoh 1 y 1 = 1; y n= n 2 ialah urutan yang semakin meningkat.

Oleh itu, teorem berikut adalah benar (sifat ciri janjang aritmetik). Urutan berangka adalah aritmetik jika dan hanya jika setiap ahlinya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kes jujukan terhingga), adalah sama dengan min aritmetik bagi ahli sebelumnya dan seterusnya.

Contoh. Pada nilai berapa x nombor 3 x + 2, 5x- 4 dan 11 x+ 12 membentuk janjang aritmetik terhingga?

mengikut sifat ciri, ungkapan yang diberikan mesti memenuhi hubungan

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Menyelesaikan persamaan ini memberi x= –5,5. Dengan nilai ini x ungkapan yang diberikan 3 x + 2, 5x- 4 dan 11 x+ 12 mengambil, masing-masing, nilai -14.5, –31,5, –48,5. Ini ialah janjang aritmetik, perbezaannya ialah -17.

Janjang geometri.

Urutan berangka yang kesemua ahlinya bukan sifar dan setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, diperoleh daripada ahli sebelumnya dengan mendarab dengan nombor yang sama q, dipanggil janjang geometri, dan nombor q- penyebut janjang geometri.

Oleh itu, janjang geometri ialah jujukan berangka ( b n) diberikan secara rekursif oleh hubungan

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Dan q- nombor yang diberi, b ≠ 0, q ≠ 0).

Contoh 1. 2, 6, 18, 54, ... - meningkatkan janjang geometri b = 2, q = 3.

Contoh 2. 2, -2, 2, -2, ... – janjang geometri b= 2,q= –1.

Contoh 3. 8, 8, 8, 8, … – janjang geometri b= 8, q= 1.

Janjang geometri ialah jujukan bertambah jika b 1 > 0, q> 1, dan menurun jika b 1 > 0, 0q

Salah satu sifat jelas janjang geometri ialah jika jujukan ialah janjang geometri, maka jujukan segi empat sama, i.e.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… ialah janjang geometri yang sebutan pertamanya sama dengan b 1 2 , dan penyebutnya ialah q 2 .

Formula n- sebutan ke- bagi suatu janjang geometri mempunyai bentuk

b n= b 1 q n– 1 .

Anda boleh mendapatkan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri terhingga.

Biarkan ada janjang geometri terhingga

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

biarkan S n - jumlah ahlinya, i.e.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Ia adalah diterima bahawa q No 1. Untuk menentukan S n helah buatan digunakan: beberapa transformasi geometri ungkapan S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Oleh itu, S n q= S n +b n q – b 1 dan seterusnya

Ini adalah formula dengan umma n ahli janjang geometri untuk kes apabila q≠ 1.

Pada q= 1 formula tidak boleh diperoleh secara berasingan, jelas bahawa dalam kes ini S n= a 1 n.

Janjang geometri dinamakan kerana di dalamnya setiap sebutan kecuali yang pertama adalah sama dengan min geometri bagi sebutan sebelumnya dan seterusnya. Memang sejak

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

oleh itu, b n 2= b n– 1 bn+ 1 dan teorem berikut adalah benar (sifat ciri janjang geometri):

jujukan nombor ialah janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua bagi setiap sebutan kecuali yang pertama (dan yang terakhir dalam kes jujukan terhingga), adalah sama dengan produk ahli terdahulu dan seterusnya.

Had urutan.

Biar ada urutan ( c n} = {1/n}. Urutan ini dipanggil harmonik, kerana setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah min harmonik antara ahli sebelumnya dan seterusnya. Purata nombor geometri a Dan b ada nombor

Jika tidak, urutan itu dipanggil divergen.

Berdasarkan definisi ini, seseorang boleh, misalnya, membuktikan kewujudan had A=0 untuk urutan harmonik ( c n} = {1/n). Biarkan ε menjadi kecil sewenang-wenangnya nombor positif. Kami menganggap perbezaannya

Adakah seperti itu N itu untuk semua orang n≥ N ketidaksamaan 1 /N? Jika diambil sebagai N sebarang nombor asli lebih besar daripada 1/ε , kemudian untuk semua n ≥ N ketidaksamaan 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Kadang-kadang sangat sukar untuk membuktikan kewujudan had untuk urutan tertentu. Urutan yang paling biasa dipelajari dengan baik dan disenaraikan dalam buku rujukan. Terdapat teorem penting yang memungkinkan untuk membuat kesimpulan bahawa urutan tertentu mempunyai had (dan juga mengiranya) berdasarkan urutan yang telah dipelajari.

Teorem 1. Jika suatu jujukan mempunyai had, maka ia adalah terikat.

Teorem 2. Jika jujukan adalah monoton dan bersempadan, maka ia mempunyai had.

Teorem 3. Jika urutan ( a n} mempunyai had A, kemudian urutan ( ca n}, {a n+ c) dan (| a n|} mempunyai had cA, A +c, |A| masing-masing (di sini c ialah nombor arbitrari).

Teorem 4. Jika jujukan ( a n} Dan ( b n) mempunyai had yang sama dengan A Dan B pa n + qb n) mempunyai had pA+ qB.

Teorem 5. Jika jujukan ( a n) Dan ( b n) mempunyai had yang sama dengan A Dan B masing-masing, maka urutan ( a n b n) mempunyai had AB.

Teorem 6. Jika jujukan ( a n} Dan ( b n) mempunyai had yang sama dengan A Dan B masing-masing, dan sebagai tambahan b n ≠ 0 dan B≠ 0, maka urutan ( a n / b n) mempunyai had A/B.

Anna Chugainova

Objektif Pelajaran:

1. pembentukan idea urutan berangka sebagai fungsi dengan hujah semula jadi;
2. pembentukan pengetahuan tentang cara menetapkan jujukan berangka, keupayaan untuk mencari ahli jujukan mengikut formula yang dicadangkan, serta keupayaan untuk mencari formula itu sendiri yang menentukan jujukan;
3. pembangunan kemahiran untuk mengaplikasikan bahan yang dipelajari sebelumnya;
4. pembangunan kemahiran untuk menganalisis, membandingkan, membuat generalisasi;
5. membangunkan keupayaan untuk bekerja secara berpasangan, penilaian diri.

Peralatan: projektor overhed, satu set ketelusan dengan tugas, Edaran, poster dengan cara untuk menetapkan urutan.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

2. Persediaan untuk persepsi pengetahuan baru.

Pelajar diminta menyelesaikan dua masalah secara lisan:

Tugasan nombor 1: Terdapat 500 tan arang batu di dalam gudang, 30 tan dihantar setiap hari. Berapa banyak arang batu yang akan ada di gudang dalam 1 hari? 2 hari? 3 hari? Hari ke-4? Hari ke-5?

Cabaran #2: Bila jatuh bebas badan bergerak 4.9 m pada saat pertama, dan 9.8 m lebih dalam setiap detik berikutnya. Berapakah jarak yang dilalui oleh jasad yang jatuh itu dalam 1 saat? 2 saat? 3 saat? 4 saat? 5 saat?

Jawapan pelajar ditulis di papan tulis. Tugasan 1: 500; 530; 560; 590; 620

Tugasan 2: 4.9; 14.7; 24.5; 34.3; 44.1

Bertanya soalan tentang tugasan:

untuk tugasan 1: Berapa banyak arang batu yang akan ada dalam stok untuk 35 hari?

untuk tugasan 2: Apakah jarak yang akan ditempuh oleh badan dalam masa 35 saat?

Untuk menyelesaikan masalah yang dikemukakan, kami menganggap jawapan kepada tugasan sebagai urutan nombor, iaitu urutan nombor.

Tujuan pelajaran ialah: Cari cara untuk mencari mana-mana ahli jujukan.

Objektif pelajaran: Ketahui apa itu jujukan nombor dan cara jujukan ditakrifkan.

Merekod tajuk pelajaran

3. Mempelajari bahan baharu.

1. Pengenalan kepada definisi jujukan berangka.

Jawatan diperkenalkan: y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,y 5 ,…- ahli urutan; 1,2,3,4,5,… - nombor siri ahli jujukan; ( y2) ialah jujukan berangka itu sendiri

Semasa perbualan, kami mentakrifkan konsep urutan berangka.

Soalan panduan: Mengetahui bilangan ahli jujukan, bolehkah kita mencari ahli jujukan itu sendiri? Dan begitu juga sebaliknya? Apakah kebergantungan ini dipanggil? Apa hujahnya? Apakah maksud fungsi tersebut? Apakah domain definisi?

Pelajar menulis definisi: Urutan berangka ialah fungsi yang diberikan pada set nombor asli.

Selesaikan tugasan secara lisan:

Tentukan sama ada padanan berikut ialah urutan:

a) setiap nombor asli diberikan kuasa duanya;
b) setiap nombor asli diberikan nombor 7;
c) setiap nombor genap asli diberikan kubusnya, dan setiap nombor asli yang boleh dibahagi dengan 4 diberi nombor 9.

2. Tentukan sama ada fungsi yang diberikan ialah urutan berangka: (rumus ditulis di papan tulis)

A) y=2x-1, xI (0;+?) b)

V) y=2x-1, xI Z G) ?

Kesimpulan: (dirumus bersama kanak-kanak) Apakah perkara utama dalam definisi?

Urutan berangka 1) fungsi 2) domain definisinya ialah set N.

2. Menentukan cara menentukan urutan.

Adalah diingatkan bahawa fungsi dianggap diberikan jika peraturan ditakrifkan mengikut mana mana-mana hujah diberikan nilai fungsi tersebut.

Syarat untuk menentukan urutan berangka dirumus bersama (dan kemudian ditulis): Urutan berangka dianggap diberikan jika kaedah ditentukan yang membolehkan mencari ahli jujukan sebarang nombor.

Semasa perbualan, kita ingat cara menentukan fungsi (lisan, grafik, formula (dilaporkan bahawa ia dipanggil analitik)), intipati mereka.

Gambar rajah ditampal di papan tulis:

A) lisan. Intipati kaedah muncul di papan tulis. Pelajar menulis nama kaedah dan intipatinya dalam jadual No.

Jadual No. 1 Cara untuk menetapkan urutan berangka:

Cara
Contoh

Terangkan dalam perkataan bagaimana setiap ahli urutan itu diperolehi, atau nyatakan beberapa ahli pertama urutan itu.

Jadual No. 1 mengandungi tugas lisan dua urutan:

Urutan 1. ( y n) ialah urutan nombor asli yang merupakan gandaan 3.

Urutan 2. ( y n) ialah jujukan nombor asli genap.

Tugasan: Tuliskan 5 ahli pertama urutan itu. (Soalan panduan: apakah gandaan 3, apakah nombor yang dianggap genap). (2 orang pelajar dipanggil ke dewan)

Berikan contoh anda (secara lisan).

B) Cara grafik.

Bina satu set titik (n; y n)

Tugasan: Tetapkan secara grafik Urutan 1 dan 2 (dua pelajar di papan tulis pada satah koordinat siap, selebihnya dalam jadual No. 1)

B) Kaedah analisis . Intipati kaedah muncul di papan tulis. Pelajar menulis nama kaedah dan intipatinya dalam jadual No.

Nyatakan formula ahli ke-n bagi jujukan.

Tugasan: 1. Urutan diberikan oleh rumus: . Tuliskan 5 sebutan pertama bagi urutan itu. (Seorang pelajar di papan hitam dengan penerangan penuh, selebihnya dalam buku nota)

2. Tetapkan formula n-ahli ke-1 Urutan 1 dan 2 (Bercakap secara lisan, tulis dalam jadual No. 1)

D) kaedah rekursif.

3. Tetapkan formula n ahli urutan ke-1 …, 74, 81, 88, 95, 102, …

Bolehkah anda mencari istilah seterusnya dalam urutan itu? Jadi apa yang seterusnya? (Soalan panduan bagaimana untuk mendapatkan 81 daripada 74, dapatkan 88 daripada 81)

Kesimpulan: Jika kita tahu n-1 ahli urutan, ia akan menjadi mungkin untuk mencari dan n-ny.

Cara menentukan urutan ini dipanggil berulang. (Entri ditambah pada rajah di papan tulis berulang)

Dalam contoh kita y n =y n-1 + 7

Apakah data yang kita perlukan untuk ini? Dan jika urutan diberikan oleh formula

y n = y n-1 + y n-2 ?

Kesimpulan: Untuk tugasan berulang bagi urutan, adalah perlu:

1) mengetahui satu atau dua sebutan pertama jujukan
2) nyatakan peraturan untuk mengira ahli urutan seterusnya

Intipati kaedah muncul di papan tulis. Pelajar menulis nama kaedah dan intipatinya dalam jadual No.

Ungkapkan setiap ahli urutan, bermula dengan yang ke-2 (atau ke-3) hingga yang sebelumnya.

Tugasan: 1. Urutan diberikan secara berulang y 1 = 2,y n =5y n-1 Nyatakan 5 ahli pertama jujukan. (Seorang pelajar di papan hitam dengan penerangan penuh, selebihnya dalam buku nota)

2. Tetapkan urutan 1 dan 2 secara berulang (kita bercakap secara lisan, tulis dalam jadual No. 1)

Jumlah kecil: Kami mendapat 4 cara untuk menetapkan urutan berangka. Mereka dibentangkan di papan tulis dan dalam jadual No. Yang paling berharga untuk menyelesaikan masalah praktikal ialah dua kaedah terakhir: analitikal dan berulang. Dan sekarang kita akan bekerja dengan kaedah ini.

4. Pemahaman utama dan penyatuan bahan

Arahan: Berikut adalah jadual 2 dan 3.

Jadual no 2: Kaedah analisis Senaman: Isi jadual

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5
		x 1 =	x 4 =

Jadual #3: Kaedah Rekursif Senaman: Isi jadual

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	x 1, x 2, x n
		x 1 =	x 4 =

Jadual menunjukkan kaedah analisis, jadual 3 - berulang. Tugasan dalam baris 1 dan 2 jadual ini: mengikut formula ini, tetapkan 5 ahli pertama jujukan. Tugasan dalam 3 dan 4 baris jadual ini: untuk ahli pertama jujukan, tetapkan formula yang sesuai.

Tugas ini bukan lagi remeh, memerlukan kepintaran tertentu.

Pelajar membuat tugasan secara berpasangan.

Pasangan pertama yang menyelesaikan tugasan diberi ketelusan dengan tugas itu, di mana mereka menulis jawapan mereka.

Penyelesaian diperiksa dengan kodoskop.

5. Kawalan utama pemerolehan pengetahuan(kerja bebas dengan pemeriksaan diri seterusnya)

Arahan: Ambil helaian dengan jadual nombor 5.

Jadual No. 5: Kerja bebas Senaman: Isi jadual

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Kaedah analisis	Cara rekursif
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Kriteria penilaian: 4 "+" markah "5"; 3 "+" skor "4"; 2 "+" rating "3"

Tandatangani mereka. Tugasan dalam baris 1 dan 2 jadual ini: mengikut formula ini, tetapkan 5 ahli pertama jujukan. Tugasan dalam 3 dan 4 baris jadual ini: untuk ahli pertama jujukan, tetapkan formula yang sesuai.

Tugas dilaksanakan secara bebas. Selepas pelaksanaan, kami menyemak penyelesaian.

Penyelesaian disemak dengan bantuan kodoskop (jawapan direkodkan terlebih dahulu).

Arahan untuk menyemak dan menggred: Berikut adalah jawapan kepada tugasan. Bandingkan mereka dengan keputusan anda. Jika betul, maka letakkan "+", jika tidak, maka "-". Kemudian hitung bilangan "+" dan letakkan sendiri tanda mengikut kriteria yang telah anda tulis di bawah meja. Jika anda mahu gred yang diterima dimasukkan ke dalam jurnal, kemudian dalam kurungan, di sebelah gred, tulis "dalam jurnal".

6. Merumuskan pelajaran

Perhatian diberikan kepada 2 baris terakhir dalam jadual 5. Ini adalah urutan untuk tugasan pada permulaan pelajaran. Soalan tugas diingatkan. Kami mencari jawapan kepada masalah yang dikemukakan (2 orang pelajar ditanya).

Tinjauan hadapan bersama pelajar dibuat kesimpulan pelajaran:

1. Apakah urutan
2. Apakah cara untuk menentukan urutan? Apakah intipati mereka?
3. Antara cara yang manakah membolehkan anda menentukan ahli jujukan hanya mengetahui nombornya?
4. Di manakah pengetahuan tentang urutan berangka digunakan?

Jadual No. 4: Tugas tambahan: Isi jadual

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Kaedah analisis
		x 1 =	x 4 =
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5	Cara rekursif
		x 1 =	x 4 =

Urutan berulang. Dari kursus matematik, konsep urutan berulang diketahui. Konsep ini diperkenalkan seperti berikut: biar k nombor a1, ..., ak diketahui. Nombor ini ialah nombor pertama bagi urutan berangka. Elemen seterusnya bagi urutan ini dikira seperti berikut:

Di sini F ialah fungsi bagi hujah k. Lihat Formula

dipanggil formula berulang. Nilai k dipanggil kedalaman rekursi.

Dalam erti kata lain, kita boleh mengatakan bahawa urutan berulang ialah siri nombor tak terhingga, setiap satunya, dengan pengecualian k awal, dinyatakan dalam sebutan yang sebelumnya.

Contoh jujukan berulang ialah janjang aritmetik (1) dan geometri (2):

Formula berulang untuk janjang aritmetik yang ditentukan ialah:

Formula rekursif untuk janjang geometri tertentu ialah:

Kedalaman rekursi dalam kedua-dua kes adalah sama dengan satu (pergantungan ini juga dipanggil rekursi satu langkah). Secara umum, urutan berulang diterangkan oleh set nilai awal dan formula rekursif. Semua ini boleh digabungkan menjadi satu formula cawangan. Untuk janjang aritmetik:

Untuk janjang geometri:

Urutan nombor berikut dikenali dalam matematik sebagai nombor Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Bermula dari elemen ketiga, setiap nombor adalah sama dengan jumlah nilai dua sebelumnya, iaitu, ia adalah urutan berulang dengan kedalaman 2 (ulangan dua langkah). Kami menerangkannya dalam bentuk bercabang:

Pengenalan tanggapan urutan berulang membolehkan kita melihat semula beberapa masalah yang telah diketahui oleh kita. Contohnya, faktorial bagi integer n! boleh dilihat sebagai nilai unsur ke-n bagi siri nombor berikut:

Penerangan berulang bagi urutan sedemikian adalah seperti berikut:

Pengaturcaraan pengiraan urutan berulang. Masalah seperti berikut dikaitkan dengan urutan berulang:

1) hitung unsur (n-th) yang diberikan bagi jujukan;

2) memproses secara matematik bahagian tertentu dalam urutan (contohnya, hitung jumlah atau hasil darab n sebutan pertama);

4) menentukan bilangan elemen pertama yang memenuhi syarat tertentu;

Senarai tugas ini tidak mendakwa lengkap, tetapi ia merangkumi jenis yang paling biasa. Dalam empat tugasan pertama, ia tidak diperlukan untuk menyimpan banyak elemen siri nombor dalam ingatan pada masa yang sama. Dalam kes ini, unsur-unsurnya boleh diperoleh secara berurutan dalam satu pembolehubah, menggantikan satu sama lain.

Contoh 1. Kira unsur ke-n suatu janjang aritmetik (1).

VarM,I: 0..Maxint;

Untuk I: =2 To N Do

WriteLn("A(",N:l,"")=",A:6:0)

Formula rekursif ai = ai-1 + 2 telah masuk ke dalam operator A:= A + 2.

Contoh 2. Jumlahkan n unsur pertama janjang geometri (2) (tanpa menggunakan formula untuk hasil tambah n sebutan pertama janjang itu).

Var N,1: 0..Maxint;

Tulis("N="); BacaLn(N);

Untuk I: =2 To N Do

WriteLn("Jumlah sama",S:6:0)

Apabila mengira urutan berulang dengan kedalaman 2, satu pembolehubah tidak lagi boleh diketepikan. Ini dapat dilihat daripada contoh berikut.

Contoh 3. Cetak nombor Fibonacci n (n ≥ 3) pertama. Kira berapa banyak daripadanya ialah nombor genap.

VarN,I,K,F,F1,F2: 0..Maxint;

WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);

Untuk I:=3 To N Do

WriteLn("F(",I:l,"")=",F);

Jika Tidak Ganjil(F) Maka K:=K+1;

WriteLn("Bilangan nombor genap dalam urutan ialah",K)

Tiga pembolehubah diperlukan untuk mengira rekursi dua langkah secara berurutan, kerana untuk mencari elemen seterusnya, perlu mengingati nilai dua sebelumnya.

Contoh 4. Untuk x nyata tertentu dan nilai kecil ε (contohnya, ε = 0.000001), hitung jumlah siri

termasuk hanya istilah yang melebihi ε. Adalah diketahui bahawa jumlah siri tak terhingga tersebut mempunyai nilai terhingga bersamaan dengan ex, di mana e = 2.71828... ialah asas logaritma asli. Oleh kerana unsur-unsur siri ini adalah urutan nombor yang semakin berkurangan yang cenderung kepada sifar, penjumlahan mesti dilakukan sehingga sebutan pertama, mengikut nilai mutlak tidak melebihi ε.

Jika istilah dalam ungkapan ini dilambangkan seperti berikut:

maka formula umum untuk elemen ke-i adalah seperti berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa terdapat hubungan berulang antara unsur-unsur urutan ini. Ia boleh didapati secara intuitif, tetapi ia juga boleh disimpulkan secara formal. Benar, untuk ini anda perlu meneka bahawa rekursi adalah satu langkah, dan setiap elemen seterusnya diperoleh dengan mendarabkan yang sebelumnya dengan beberapa faktor, i.e.

Menggunakan formula umum, kami mempunyai:

sungguh:

Oleh itu, urutan berulang ini boleh diterangkan seperti berikut:

Dan akhirnya, kami membentangkan program yang menyelesaikan masalah.

Var A, X, S, Eps: Nyata;

Tulis("X="); BacaLn(X);

Tulis("epsilon="); readln(eps);

A:=l; S:=0; saya:=0;

Manakala Abs(A)>Eps Do

WriteLn("Jumlah siri itu ialah", S:10:4)

Seperti sebelum ini, nilai-nilai urutan ulangan satu langkah dikira dalam satu pembolehubah.

Setiap pelaksanaan berulang gelung dalam program ini membawa nilai S lebih dekat kepada yang dikehendaki (menentukan angka penting dalam rekodnya). Proses pengiraan sedemikian dalam matematik dipanggil proses berulang. Sehubungan itu, kitaran yang melaksanakan proses pengiraan lelaran dipanggil kitaran lelaran. Untuk organisasi mereka, penyataan Semasa atau Ulang digunakan.

Contoh 5. Untuk N asli dan x nyata (x > 0), hitung nilai ungkapan:

Dalam kes ini, pengulangan tidak begitu jelas. Mari kita cuba mencarinya dengan induksi. Kami menganggap bahawa ungkapan yang dikehendaki ialah Unsur ke-n urutan seperti ini:

Dari sini anda boleh melihat sambungan:

Sekarang tugas itu diselesaikan dengan sangat mudah:

Var A, X: Nyata; I,N: Integer;

Tulis("X="); BacaLn(X);

Tulis("N="); BacaLn(N);

Untuk I:=2 To N Do

WriteLn("Jawapan:",A)

Semua masalah di atas boleh didekati secara berbeza.

Ingat subrutin yang ditakrifkan secara rekursif. Lihat penerangan tentang janjang aritmetik dalam bentuk urutan berulang. Ia secara langsung membayangkan cara untuk mentakrifkan fungsi untuk mengira unsur janjang tertentu.

Mari kita lakukan ini untuk kes umum dengan mentakrifkan janjang aritmetik dengan sebutan pertama a0 dan beza d:

Fungsi subrutin yang sepadan kelihatan seperti ini:

Kemajuan Fungsi(AO, D: Nyata; I: Integer): Nyata;

Kemudian Kemajuan:=AO

ElseProgres:=Progres(A0,D,I-1)+D

Program berikut memaparkan 20 nombor Fibonacci pertama yang dikira oleh fungsi Fibon rekursif.

Fibon Fungsi(N: Integer): Integer;

Jika (N=1) Atau (N=2)

Fibon Lain:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)

Untuk K:=l Hingga 20 Do WriteLn(Fibon(K))

Perlu diingatkan bahawa penggunaan fungsi rekursif melambatkan pengiraan. Di samping itu, anda mungkin menghadapi masalah kekurangan panjang timbunan, di mana "laluan" panggilan rekursif diingati.

Urutan berulang sering digunakan untuk menyelesaikan jenis yang berbeza tugas evolusi, i.e. tugas yang mengesan beberapa proses yang berkembang dari semasa ke semasa. Mari kita pertimbangkan tugas sedemikian.

Contoh 6. Semasa puasa terapeutik, berat pesakit menurun daripada 96 kepada 70 kg dalam masa 30 hari. Telah didapati bahawa penurunan berat badan setiap hari adalah berkadar dengan berat badan. Kira berapa berat pesakit selepas k hari selepas mula berpuasa untuk k = 1, 2, ..., 29.

Mari kita nyatakan berat badan pesakit hari ke-i melalui pi (i = 0, 1, 2, ..., 30). Dari keadaan masalah diketahui bahawa p0 = 96 kg, p30 = 70 kg.

Biarkan K ialah pekali kekadaran penurunan jisim dalam satu hari. Kemudian

Kami mendapat urutan yang diterangkan oleh formula berulang berikut:

Walau bagaimanapun, kita tidak tahu pekali K. Ia boleh didapati menggunakan keadaan p30 = 70.

Untuk melakukan ini, kami akan melakukan penggantian terbalik:

Var I: Bait; P, Q: Nyata;

S:=Exp(l/30*Ln(70/96));

Untuk I:=l Hingga 29 Do

TulisLn(I,"hari ke-",P:5:3,"kg")