Pembinaan pembuktian matematik. Cara pembuktian matematik

1. Kaedah pembuktian matematik

2. Bukti langsung dan tidak langsung. Bukti dengan percanggahan.

3. Penemuan Utama

Cara pembuktian matematik

AT kehidupan seharian selalunya, apabila seseorang bercakap tentang bukti, seseorang hanya bermaksud pengesahan pernyataan yang dinyatakan. Dalam matematik, pengesahan dan pembuktian adalah dua perkara yang berbeza, walaupun ia berkaitan. Katakan, sebagai contoh, diperlukan untuk membuktikan bahawa jika segi empat mempunyai tiga sudut tegak, maka ia adalah segi empat tepat.

Jika kita mengambil mana-mana segi empat dengan tiga sudut tepat, dan dengan mengukur yang keempat, kita yakin bahawa ia benar-benar lurus, maka pengesahan ini akan menjadikan kenyataan ini lebih munasabah, tetapi belum terbukti.

Untuk membuktikan pernyataan ini, pertimbangkan segi empat arbitrari di mana tiga sudut adalah betul. Oleh kerana dalam mana-mana segiempat cembung jumlah sudut ialah 360⁰, maka dalam yang ini ialah 360⁰. Jumlah tiga sudut tegak ialah 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), jadi yang keempat ialah 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Jika semua bucu segiempat adalah sudut tegak, maka ia adalah segiempat tepat.Oleh itu, segiempat ini akan menjadi segi empat tepat. Q.E.D.

Perhatikan bahawa intipati pembuktian adalah pembinaan urutan pernyataan yang benar (teorem, aksiom, takrifan), dari mana pernyataan yang akan dibuktikan mengikut logik.

Secara amnya Membuktikan pernyataan bermakna menunjukkan bahawa pernyataan ini mengikut logik daripada sistem pernyataan yang benar dan berkaitan..

Dalam logik, adalah dipercayai bahawa jika pernyataan yang dipertimbangkan secara logik mengikuti daripada kenyataan yang telah terbukti, maka ia adalah wajar dan sama benar seperti yang terakhir.

Oleh itu, asas pembuktian matematik ialah inferens deduktif. Dan bukti itu sendiri adalah rantaian kesimpulan, dan kesimpulan setiap daripada mereka (kecuali yang terakhir) adalah premis dalam salah satu kesimpulan berikutnya.

Sebagai contoh, dalam bukti di atas, kesimpulan berikut boleh dibezakan:

1. Dalam mana-mana segi empat cembung, jumlah sudut ialah 360⁰; angka ini ialah segi empat cembung, oleh itu, jumlah sudut di dalamnya ialah 360⁰.

2. Jika jumlah semua sudut segi empat dan hasil tambah tiga daripadanya diketahui, maka dengan penolakan anda boleh mencari nilai keempat; jumlah semua sudut segi empat ini ialah 360⁰, hasil tambah tiga ialah 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), maka nilai keempat ialah 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Jika dalam segiempat semua sudut adalah betul, maka segiempat ini ialah segi empat tepat; Sisi empat ini mempunyai semua sudut tegak, jadi ia adalah segi empat tepat.

Semua inferens di atas dibuat mengikut peraturan kesimpulan dan, oleh itu, adalah deduktif.

Bukti paling mudah terdiri daripada satu inferens. Demikian, sebagai contoh, adalah bukti penegasan bahawa 6< 8.

Jadi, bercakap tentang struktur pembuktian matematik, kita mesti memahami bahawa ia, pertama sekali, termasuk pernyataan yang dibuktikan, dan sistem penyataan benar yang pembuktiannya dijalankan.

Perlu diingatkan juga bahawa bukti matematik bukan sekadar satu set inferens, ini adalah inferens yang disusun dalam susunan tertentu.

Mengikut kaedah pentadbiran (dalam bentuk), mereka membezakan langsung dan tidak langsung bukti kepada. Bukti yang dipertimbangkan sebelum ini adalah langsung - di dalamnya, berdasarkan beberapa ayat yang benar dan mengambil kira keadaan teorem, rangkaian inferens deduktif dibina, yang membawa kepada kesimpulan yang benar.

Contoh bukti keadaan ialah bukti secara percanggahan . Intipatinya adalah seperti berikut. Biarkan ia diperlukan untuk membuktikan teorem

A ⇒ B. Apabila dibuktikan dengan percanggahan, diandaikan bahawa kesimpulan Teorem (B) adalah palsu, dan, oleh itu, penolakannya adalah benar. Dengan menambahkan ayat “bukan B” pada set premis benar yang digunakan dalam proses pembuktian (antaranya syarat A), mereka membina rantaian inferens deduktif sehingga pernyataan diperoleh yang bercanggah dengan salah satu premis dan, khususnya, syarat A. Sebaik sahaja percanggahan sedemikian diwujudkan, proses pembuktian selesai dan dikatakan percanggahan yang terhasil membuktikan kebenaran teorem

Masalah 1. Buktikan bahawa jika a + 3 > 10, maka a ≠ 7. Kaedah percanggahan.

Tugasan 2. Buktikan bahawa jika x² - nombor genap, maka x genap. Kaedah sebaliknya.

Masalah 3. Empat nombor asli berturut-turut diberikan. Adakah benar hasil darab purata jujukan ini lebih banyak karya seni melampau dengan 2? Kaedah induksi tidak lengkap.

Induksi penuh- ini adalah kaedah pembuktian di mana kebenaran sesuatu kenyataan mengikut kebenarannya dalam semua kes khas.

Masalah 4. Buktikan bahawa setiap nombor asli komposit yang lebih besar daripada 4 tetapi kurang daripada 20 boleh diwakili sebagai hasil tambah dua perdana.

Masalah 5. Adakah benar jika nombor asli n bukan gandaan 3, maka nilai ungkapan n² + 2 ialah gandaan 3? Kaedah induksi penuh.

Kesimpulan utama

Pada ketika ini, kami berkenalan dengan konsep: inferens, premis dan kesimpulan, penaakulan deduktif (betul), induksi tidak lengkap, analogi, bukti langsung, bukti tidak langsung, induksi lengkap.

Kami mendapati bahawa induksi dan analogi tidak lengkap berkait rapat dengan deduksi: kesimpulan yang diperoleh menggunakan induksi dan analogi tidak lengkap mesti sama ada dibuktikan atau disangkal. Sebaliknya, potongan tidak timbul dari awal, tetapi adalah hasil daripada kajian induktif awal bahan.

Penaakulan deduktif memungkinkan untuk memperoleh kebenaran baru daripada pengetahuan sedia ada, dan, lebih-lebih lagi, dengan bantuan penaakulan, tanpa menggunakan pengalaman, intuisi, dll.

Kami mendapati bahawa bukti matematik ialah rangkaian inferens deduktif yang dilakukan mengikut peraturan tertentu. Kami berkenalan dengan yang paling mudah: peraturan kesimpulan, peraturan penafian, peraturan silogisme. Kami mengetahui bahawa anda boleh menyemak ketepatan inferens menggunakan bulatan Euler.

MASALAH TEKS DAN PROSES PENYELESAIANNYA

Kuliah 11

1. Struktur masalah teks

2. Kaedah dan kaedah untuk menyelesaikan masalah perkataan

3. Peringkat penyelesaian masalah dan kaedah pelaksanaannya

Kecuali konsep yang berbeza, cadangan, bukti dalam mana-mana kursus matematik ada tugasan. Dalam pengajaran matematik budak sekolah rendah mereka yang dipanggil aritmetik, teks dan plot mendominasi. Tugas-tugas ini dirumuskan dalam bahasa semula jadi (ia dipanggil teks): mereka biasanya menerangkan sisi kuantitatif beberapa fenomena, peristiwa (oleh itu mereka sering dipanggil aritmetik atau plot); mereka adalah tugas untuk mencari yang dikehendaki dan dikurangkan kepada pengiraan nilai yang tidak diketahui beberapa magnitud (itulah sebabnya mereka kadang-kadang dipanggil pengkomputeran).

Dalam manual ini, kami akan menggunakan istilah "masalah teks", kerana ia paling kerap digunakan dalam metodologi pengajaran matematik kepada pelajar yang lebih muda.

Menyelesaikan masalah teks dengan sekolah rendah diberi perhatian yang besar. Ini disebabkan oleh hakikat bahawa tugas-tugas tersebut selalunya bukan sahaja cara untuk membentuk banyak konsep matematik, tetapi yang paling penting - satu cara untuk membangunkan kemahiran untuk membina model matematik fenomena sebenar, serta satu cara untuk mengembangkan pemikiran kanak-kanak.

Terdapat pelbagai pendekatan metodologi untuk mengajar kanak-kanak menyelesaikan masalah perkataan. Tetapi tidak kira apa kaedah pengajaran yang dipilih oleh guru, dia perlu tahu bagaimana tugasan tersebut disusun dan dapat menyelesaikannya. pelbagai kaedah dan cara.

Struktur tugasan teks

Seperti yang dinyatakan di atas, mana-mana tugasan teks ialah penerangan tentang sesuatu fenomena (situasi, proses). Dari sudut pandangan ini, tugasan teks ialah model verbal sesuatu fenomena (situasi, proses). Dan, seperti dalam mana-mana model, tugasan teks tidak menggambarkan keseluruhan fenomena secara keseluruhan, tetapi hanya beberapa aspeknya, terutamanya ciri kuantitatifnya. Pertimbangkan, sebagai contoh, masalah berikut: “Sebuah kereta meninggalkan titik A pada kelajuan 60 km/j. Selepas 2 jam, sebuah kereta kedua mengekorinya dengan kelajuan 90 km/j. Pada jarak manakah dari A kereta kedua akan memintas kereta pertama?

Masalahnya menggambarkan pergerakan dua buah kereta. Seperti yang anda ketahui, sebarang pergerakan dicirikan oleh tiga kuantiti: jarak perjalanan, kelajuan dan masa pergerakan. Dalam masalah ini, kelajuan kereta pertama dan kedua diketahui (60 km/j dan 90 km/j), diketahui bahawa mereka menempuh jarak yang sama dari titik A ke titik pertemuan, ciri kuantitatif yang mesti dicari. Di samping itu, diketahui bahawa kereta pertama berada di jalan raya selama 2 jam lebih daripada yang kedua.

Merumuskan, kita boleh mengatakan bahawa tugasan teks ialah penerangan pada bahasa semula jadi beberapa fenomena (situasi, proses) dengan keperluan untuk memberikan penerangan kuantitatif mana-mana komponen fenomena ini, untuk mewujudkan kehadiran atau ketiadaan beberapa hubungan antara komponen, atau untuk menentukan jenis hubungan ini.

Pertimbangkan masalah lain dari kursus awal ahli matematik: “Baju sejuk, topi dan selendang dikait daripada I kg 200 g bulu. Ia mengambil 100 g lebih bulu untuk selendang daripada topi, dan 400 g kurang daripada untuk baju sejuk. Berapakah jumlah bulu yang digunakan untuk setiap item?

Dalam tugas kita bercakap tentang menghabiskan bulu pada baju sejuk, topi dan selendang. Mengenai objek ini, ada yang tertentu kenyataan dan keperluan.

Kenyataan:

1. Sweater, topi dan selendang dikait dari 1200 g bulu.

2. Kami menghabiskan 100 g lebih pada selendang daripada pada topi.

3. 400 g kurang dibelanjakan untuk selendang berbanding dengan baju sejuk.

Keperluan:

1. Berapa banyak bulu yang anda gunakan untuk sweater itu?

2. Berapa banyak bulu yang anda gunakan untuk topi itu?

3. Berapakah jumlah bulu yang anda gunakan untuk selendang itu?

Penyata tugas dipanggil syarat(atau keadaan, seperti di sekolah rendah). Dalam tugas, biasanya tidak terdapat satu syarat, tetapi beberapa syarat asas. Mereka mewakili ciri kuantitatif atau kualitatif objek tugasan dan hubungan antara mereka. Mungkin terdapat beberapa keperluan dalam sesuatu tugasan. Mereka boleh dirumuskan secara interogatif dan bentuk afirmatif. Syarat dan keperluan adalah saling berkaitan.

Sistem keadaan dan keperluan yang saling berkaitan dipanggil model proposisi tugas.

Oleh itu, untuk memahami apa struktur tugas itu, adalah perlu untuk mengenal pasti syarat dan keperluannya, membuang segala-galanya yang berlebihan, menengah, yang tidak menjejaskan strukturnya. Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk membina model proposisi masalah.

Untuk mendapatkan model ini, adalah perlu untuk mengembangkan teks tugasan (ini boleh dilakukan secara bertulis atau lisan), kerana teks tugasan, sebagai peraturan, diberikan dalam bentuk yang disingkatkan, diruntuhkan. Untuk melakukan ini, anda boleh menyusun semula masalah, membinanya model grafik, memperkenalkan beberapa sebutan, dsb.

Di samping itu, pengasingan keadaan masalah boleh dilakukan dengan kedalaman yang berbeza. Kedalaman analisis keadaan dan keperluan masalah bergantung terutamanya pada sama ada kita sudah biasa dengan jenis masalah yang dimiliki oleh masalah yang diberikan, dan sama ada kita tahu bagaimana untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Contoh 1. Merumus syarat dan keperluan tugas:

Dua gadis serentak berlari ke arah satu sama lain di sepanjang trek sukan, yang panjangnya 420 m. Apabila mereka bertemu, yang pertama berlari 60 m lebih daripada yang kedua. Berapa laju setiap gadis berlari jika mereka bertemu selepas 30 saat?

Masalahnya ialah mengenai pergerakan dua gadis ke arah satu sama lain. Seperti yang anda ketahui, pergerakan dicirikan oleh tiga kuantiti: jarak, kelajuan dan masa.

Keadaan masalah:

1. Dua orang gadis berlari ke arah satu sama lain.

2. Mereka mula bergerak pada masa yang sama.

3. Jarak mereka lari ialah 420 m.

4. Seorang gadis berlari 60 meter lebih daripada yang lain.

5. Kanak-kanak perempuan bertemu selepas 30 s.

6. Kepantasan pergerakan seorang gadis lebih daripada kelajuan pergerakan
yang lain.

Keperluan tugas:

1. Berapa lajukah gadis pertama itu berlari?

2. Berapa laju gadis ke-2 itu berlari?

Berhubung dengan syarat dan keperluan, terdapat:

a) tugasan tertentu - mereka mempunyai seberapa banyak syarat yang diberikan
perlu dan mencukupi untuk memenuhi keperluan;

b) tugas yang tidak ditentukan - di dalamnya syarat tidak mencukupi untuk menerima jawapan;

dalam) tugasan yang ditakrifkan semula - mereka mempunyai syarat tambahan.

AT sekolah rendah Tugas yang tidak ditentukan dianggap sebagai tugas dengan data yang hilang, dan tugas yang ditentukan terlebih dahulu dianggap sebagai tugas dengan data yang berlebihan.

Contohnya, tugasan “Terdapat 5 pokok epal, 2 ceri dan 3 pokok birch berhampiran rumah. Berapakah bilangan pokok buah-buahan yang tumbuh berhampiran rumah? dibatalkan kerana ia mengandungi syarat tambahan.

Tugasan "12 kerusi pertama dibawa keluar dari dewan, kemudian 5 lagi. Berapa banyak kerusi yang tinggal di dalam dewan?" kurang ditentukan - tidak cukup syarat di dalamnya untuk menjawab soalan yang dikemukakan.

Sekarang mari kita jelaskan maksud istilah "penyelesaian masalah". Kebetulan istilah ini menandakan konsep yang berbeza:

1) hasilnya dipanggil penyelesaian masalah, i.e. tindak balas terhadap permintaan
tugasan;

2) proses mencari keputusan ini dipanggil penyelesaian masalah, dan proses ini dipertimbangkan dalam dua cara: kedua-duanya sebagai kaedah mencari keputusan (sebagai contoh, mereka bercakap tentang menyelesaikan masalah dengan cara aritmetik) dan sebagai urutan tindakan yang dilakukan oleh penyelesai menggunakan satu atau kaedah lain (iaitu. dalam kes ini bawah
penyelesaian masalah difahami sebagai keseluruhan aktiviti orang yang menyelesaikan masalah).

Senaman

1. Dalam tugasan berikut, serlahkan syarat dan keperluan:

a) Dua buah bas bertolak serentak dari bandar ke kampung, jaraknya ialah 72 km. Bas pertama tiba di kampung 15 minit lebih awal daripada bas kedua. Berapakah kelajuan setiap bas jika kelajuan salah satu daripadanya adalah 4 km/j lebih daripada kelajuan bas yang lain?

b) Hasil tambah dua nombor ialah 199. Cari nombor ini jika salah satu daripadanya adalah 61 lebih daripada yang lain.

2. Rumuskan tugasan daripada latihan 1 supaya ayat yang mengandungi kehendak tidak mengandungi syarat.

3. Dalam masalah daripada latihan 1 bentuk imperatif gantikan keperluan dengan yang menyoal, yang menyoal dengan yang penting.

4. Selesaikan masalah daripada latihan I.

5. Syarat masalah diberikan: "Kami mengumpul 42 kg timun dan masin 5/7 daripada semua timun."

Daripada senarai di bawah, pilih keperluan untuk keadaan ini dan selesaikan masalah yang terhasil:

a) Berapa kilogram timun yang masih belum diasinkan?

b) Berapa kilogram tomato yang tidak bergaram?

c) Manakah yang lebih besar - jisim timun yang telah diasinkan atau jisim timun yang masih tidak masin?

6. Merumuskan keperluan yang mungkin untuk keadaan masalah:

a) Kami membeli 12 m fabrik dan menghabiskan satu pertiga daripada fabrik untuk pakaian.

b) Seorang pejalan kaki meninggalkan kampung, dan selepas 2 jam seorang penunggang basikal meninggalkannya. Kelajuan penunggang basikal ialah 10 km/j dan kelajuan pejalan kaki ialah 5 km/j.

7. Apakah data yang diperlukan untuk menjawab keperluan berikut
tugasan:

a) Apakah bahagian pelajaran yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut?

b) Berapakah bilangan pakaian yang dibuat daripada fabrik yang dibeli?

c) Cari perimeter segi empat tepat itu.

8. Murid diberi tugasan: “Penunggang basikal itu menunggang selama 2 jam dengan
sedikit kelajuan. Selepas dia mengembara 60 km dengan yang sama
kelajuan, laluannya akan sama dengan 48 km. Pada kelajuan berapa anda memandu
penunggang basikal?" Dia menyelesaikannya seperti ini:

1)60-48= 12 (km)

2) 12:2 = 6 (km/j)

Jawapan: 6 km/j ialah kelajuan penunggang basikal.

Adakah anda bersetuju dengan penyelesaian masalah ini?

9. Bolehkah anda menjawab keperluan untuk masalah berikut:

a) 60,000 rubel telah dibayar untuk 3 m kain. Kali kedua kami membeli 6 m kain. Berapakah wang yang telah dibayar untuk kain yang dibeli kali kedua?

b) Dua orang penunggang motosikal sedang memandu ke arah satu sama lain. Kelajuan salah satu daripadanya ialah 62 km/j, dan kelajuan yang lain ialah 54 km/j. Dalam berapa jam penunggang motosikal akan bertemu?

Sekiranya mustahil untuk menjawab keperluan masalah, tambahkan keadaannya dan selesaikan masalah.

10. Adakah terdapat sebarang tugasan dengan data tambahan antara yang berikut:

a) Isipadu bilik itu ialah 72 m³. Ketinggian bilik ialah 3 m. Cari luas lantai bilik itu jika panjangnya ialah 6 m.

5) Kawasan seluas 300 hektar diperuntukkan untuk penanaman hutan. Du6s ditanam pada 7/10 plot, dan pokok pain pada 3/10 plot. Berapa hektar yang diduduki oleh oak dan pain?

Jika tugasan mengandungi data tambahan, maka kecualikan mereka dan selesaikan tugas itu.

Membuktikan pernyataan bermakna menunjukkan bahawa pernyataan ini mengikut logik daripada sistem pernyataan yang benar dan berkaitan.

Dalam logik, adalah dipercayai bahawa jika pernyataan yang dipertimbangkan secara logik mengikuti daripada pernyataan yang telah terbukti, maka ia adalah wajar dan sama benar seperti yang terakhir.

Oleh itu, asas pembuktian matematik ialah kaedah deduktif. Bukti ialah satu set kaedah logik untuk mengesahkan kebenaran sesuatu kenyataan dengan bantuan kenyataan lain yang benar dan berkaitan.

Bukti matematik bukan hanya satu set inferens, ia adalah inferens yang disusun dalam susunan tertentu.

Bukti membezakan antara langsung dan tidak langsung.

Bukti langsung.

1) Berdasarkan beberapa ayat yang benar dan keadaan teorem, rangkaian inferens deduktif dibina yang membawa kepada kesimpulan yang benar.

Contoh. Mari kita buktikan sudut menegak adalah sama. Sudut 1 dan 2 adalah bersebelahan, oleh itu, 1 + 2 = 180 o. Sudut 2 dan 3 adalah bersebelahan, oleh itu, 2 + 3 = 180 o. Kami ada: 1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.

2) Kaedah aruhan matematik. Kenyataan itu benar untuk semua orang nombor asli P jika: ia sah untuk P= 1 dan daripada kesahihan penegasan untuk mana-mana semula jadi sewenang-wenangnya P=k mengikuti keadilannya untuk P=k+ 1. (Maklumat lanjut akan dibincangkan dalam kursus senior.)

3) Induksi lengkap (lihat sebelum ini).

bukti tidak langsung.

1) Kaedah secara percanggahan. Biarkan ia diperlukan untuk membuktikan teorem TAPIAT. Diandaikan bahawa kesimpulannya adalah palsu, dan oleh itu penafiannya benar. Dengan melampirkan tawaran kepada set premis benar yang digunakan dalam proses pembuktian (antaranya terdapat syarat TAPI), membina rantaian penaakulan deduktif sehingga diperoleh pernyataan yang bercanggah dengan salah satu premis. Percanggahan yang terhasil membuktikan teorem.

Contoh. Jika dua garis selari dengan garis yang sama, maka ia selari antara satu sama lain.

Diberi: X Dengan,di Dengan. Buktikan itu X di.

Bukti. Biarkan talian X tidak selari dengan garis di, iaitu garis bersilang pada satu titik TAPI. Oleh itu, melalui titik TAPI melepasi dua garisan selari dengan garis itu Dengan, yang mustahil oleh aksiom selari.

2) Bukti berdasarkan hukum kontraposisi: bukannya teorem TAPIAT membuktikan teorem setara
. Jika benar, maka teorem asal juga benar.

Contoh. Sekiranya X 2 ialah nombor genap, maka X- nombor genap.

Bukti. Mari kita berpura-pura itu X ialah nombor ganjil, i.e. X= 2k+ 1X 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 adalah ganjil.

soalan ujian

Apakah yang dipanggil inferens?

Apakah jenis penaakulan yang dipanggil deduktif?

Berikan definisi aruhan tidak lengkap dan lengkap.

Takrifkan inferens dengan analogi.

Tuliskan skema penaakulan deduktif dan buktikan kebenaran yang sama bagi formula yang mendasari peraturan ini.

Bagaimana untuk menyemak ketepatan kesimpulan menggunakan bulatan Euler? Apakah kaedah lain yang diketahui untuk menyemak ketepatan inferens?

Apakah kesimpulan yang dipanggil sophism?

Apakah yang dimaksudkan untuk membuktikan sesuatu kenyataan?

Apakah bukti yang dibezakan dengan kaedah menjalankan?

Huraikan cara-cara penaakulan pelbagai bentuk bukti langsung dan tidak langsung.

Kaedah utama dalam penyelidikan matematik adalah bukti matematik - penaakulan logik yang ketat. Berdasarkan keperluan objektif, kata Ahli Koresponden Akademi Sains Rusia L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Matematik moden dan pengajarannya, Moscow, Nauka, 1985, penaakulan logik (yang menurut sifatnya, jika betul, juga ketat) adalah kaedah matematik, matematik tidak dapat difikirkan tanpa mereka. Perlu diingatkan bahawa pemikiran matematik tidak terhad kepada penaakulan logik. Untuk tetapan yang betul tugas, untuk menilai datanya, untuk menyerlahkan yang penting dan untuk memilih kaedah untuk menyelesaikannya, intuisi matematik juga diperlukan, yang membolehkan seseorang untuk meramalkan hasil yang diinginkan sebelum ia diperoleh, untuk menggariskan laluan penyelidikan dengan bantuan penaakulan yang munasabah. Tetapi kesahihan fakta yang sedang dipertimbangkan dibuktikan bukan dengan menyemaknya pada beberapa contoh, bukan dengan menjalankan beberapa eksperimen (yang dengan sendirinya memainkan peranan besar dalam penyelidikan matematik), tetapi dengan cara yang logik semata-mata, menurut undang-undang logik formal.

Adalah dipercayai bahawa pembuktian matematik adalah kebenaran muktamad. Keputusan yang berdasarkan logik tulen tidak boleh salah. Tetapi dengan perkembangan sains dan tugas-tugas sebelum ahli matematik diletakkan lebih dan lebih kompleks.

“Kita telah memasuki era apabila radas matematik telah menjadi sangat rumit dan menyusahkan sehingga pada pandangan pertama tidak mungkin untuk mengetahui sama ada masalah yang dihadapi adalah benar atau tidak,” kata Keith Devlin dari Universiti Stanford di California, Amerika Syarikat. Beliau memetik sebagai contoh "pengkelasan kumpulan terhingga mudah", yang telah dirumuskan pada tahun 1980, tetapi bukti tepat yang lengkap masih belum diberikan. Kemungkinan besar, teorem itu benar, tetapi mustahil untuk mengatakan dengan pasti tentang ini.

Penyelesaian komputer tidak boleh dipanggil tepat sama ada, kerana pengiraan sedemikian sentiasa mempunyai ralat. Pada tahun 1998, Hales mencadangkan penyelesaian berbantukan komputer kepada teorem Kepler, yang dirumuskan pada tahun 1611. Teorem ini menerangkan pembungkusan bola yang paling padat di angkasa. Buktinya dibentangkan pada 300 muka surat dan mengandungi 40,000 baris kod mesin. 12 pengulas menyemak penyelesaian selama setahun, tetapi mereka tidak pernah mencapai keyakinan 100% terhadap ketepatan bukti, dan kajian itu dihantar untuk semakan. Akibatnya, ia diterbitkan hanya selepas empat tahun dan tanpa pensijilan penuh pengulas.

Semua pengiraan terkini untuk tugasan yang diaplikasikan dibuat pada komputer, tetapi saintis percaya bahawa untuk kebolehpercayaan yang lebih besar, pengiraan matematik harus dibentangkan tanpa kesilapan.

Teori pembuktian dibangunkan dalam logik dan merangkumi tiga komponen struktur: tesis (apa yang sepatutnya dibuktikan), hujah (satu set fakta, konsep yang diterima umum, undang-undang, dsb. sains berkaitan) dan demonstrasi (prosedur untuk menggunakan bukti itu sendiri; rantaian inferens yang berurutan apabila n-inferens ke- menjadi salah satu premis n+1 inferens ke-). Peraturan pembuktian dibezakan, kemungkinan ralat logik ditunjukkan.

Bukti matematik mempunyai banyak persamaan dengan prinsip yang ditetapkan oleh logik formal. Tambahan pula, peraturan matematik penaakulan dan operasi, jelas sekali, berfungsi sebagai salah satu asas dalam pembangunan prosedur pembuktian dalam logik. Khususnya, penyelidik sejarah pembentukan logik formal percaya bahawa pada satu masa, apabila Aristotle mengambil langkah pertama untuk mencipta undang-undang dan peraturan logik, dia beralih kepada matematik dan kepada amalan aktiviti undang-undang. Dalam sumber-sumber ini, beliau menemui bahan untuk pembinaan logik teori yang dikandung.

Pada abad ke-20, konsep pembuktian kehilangan makna yang ketat, yang berlaku berkaitan dengan penemuan itu paradoks logik tersembunyi dalam teori set, dan terutamanya berkaitan dengan keputusan yang dibawa oleh teorem K. Gödel mengenai ketidaklengkapan pemformalkan.

Pertama sekali, ini mempengaruhi matematik itu sendiri, yang berkaitan dengannya dipercayai bahawa istilah "bukti" tidak mempunyai definisi yang tepat. Tetapi jika pendapat sedemikian (yang masih dipegang hari ini) mempengaruhi matematik itu sendiri, maka mereka membuat kesimpulan bahawa bukti itu harus diterima bukan dalam logik-matematik, tetapi dalam rasa psikologi. Lebih-lebih lagi, pandangan yang sama terdapat dalam Aristotle sendiri, yang percaya bahawa untuk membuktikan bermakna melakukan penaakulan yang akan meyakinkan kita sehingga ke tahap yang, menggunakannya, kita meyakinkan orang lain tentang ketepatan sesuatu. Teduh tertentu pendekatan psikologi kita dapati dalam A.E. Yesenin-Volpin. Dia secara tajam menentang penerimaan kebenaran tanpa bukti, mengaitkannya dengan tindakan iman, dan seterusnya menulis: "Saya menyebut bukti penghakiman sebagai kaedah yang jujur yang menjadikan penghakiman ini tidak dapat dinafikan." Yesenin-Volpin melaporkan bahawa definisinya masih perlu dijelaskan. Pada masa yang sama, bukankah pencirian bukti sebagai "kaedah jujur" mengkhianati rayuan kepada penilaian moral-psikologi?

Pada masa yang sama, penemuan paradoks teori set dan kemunculan teorem Godel hanya menyumbang kepada perkembangan teori pembuktian matematik yang dilakukan oleh ahli intuisi, terutamanya arah konstruktivis, dan D. Hilbert.

Kadang-kadang dipercayai bahawa bukti matematik adalah bersifat umum dan mewakili pilihan yang sempurna bukti saintifik. Walau bagaimanapun, ia bukan satu-satunya kaedah; terdapat kaedah lain bagi prosedur dan operasi berasaskan bukti. Memang benar bahawa pembuktian matematik mempunyai banyak persamaan dengan pembuktian logik formal yang dilaksanakan dalam sains semula jadi, dan pembuktian matematik mempunyai spesifik tertentu, serta set operasi teknik. Di sinilah kita akan berhenti, meninggalkan perkara umum yang menjadikannya berkaitan dengan bentuk bukti lain, iaitu, tanpa mengembangkan algoritma, peraturan, ralat, dll dalam semua langkah (walaupun yang utama). proses pembuktian.

Pembuktian matematik ialah penaakulan yang mempunyai tugas untuk membuktikan kebenaran (tentu saja, dalam matematik, iaitu, sebagai deducibility, sense) sesuatu pernyataan.

Set peraturan yang digunakan dalam pembuktian telah dibentuk bersama dengan kedatangan pembinaan aksiomatik teori matematik. Ini direalisasikan dengan paling jelas dan lengkap dalam geometri Euclid. "Prinsip" beliau menjadi sejenis standard model untuk organisasi aksiomatik pengetahuan matematik, dan untuk masa yang lama kekal seperti itu untuk ahli matematik.

Pernyataan yang dibentangkan dalam bentuk urutan tertentu mesti menjamin kesimpulan, yang, tertakluk kepada peraturan operasi logik, dianggap terbukti. Ia mesti ditekankan bahawa penaakulan tertentu adalah bukti hanya berkenaan dengan beberapa sistem aksiomatik.

Apabila mencirikan bukti matematik, dua ciri utama dibezakan. Pertama sekali, fakta bahawa bukti matematik tidak termasuk sebarang rujukan kepada bukti empirikal. Seluruh prosedur untuk mengesahkan kebenaran kesimpulan dijalankan dalam rangka kerja aksiomatik yang diterima. Ahli akademik A.D. Aleksandrov menekankan dalam hal ini. Anda boleh mengukur sudut segitiga beribu-ribu kali dan pastikan ia sama dengan 2d. Tetapi matematik tidak membuktikan apa-apa. Anda akan membuktikannya kepadanya jika anda menyimpulkan pernyataan di atas daripada aksiom. Jom ulang. Di sini matematik hampir dengan kaedah skolastik, yang juga secara asasnya menolak penghujahan dengan fakta yang diberikan secara eksperimen.

Sebagai contoh, apabila ketidakseimbangan segmen ditemui, apabila membuktikan teorem ini, rayuan kepada eksperimen fizikal, kerana, pertama sekali, konsep "tidak dapat dibandingkan" adalah tiada rasa fizikal, dan, kedua, ahli matematik, apabila berurusan dengan abstraksi, tidak dapat membantu sambungan konkrit sebenar, diukur dengan peranti deria-visual. Ketaksebandingan, khususnya, sisi dan pepenjuru segi empat sama, dibuktikan berdasarkan sifat integer dengan penggunaan teorem Pythagoras pada kesamaan kuasa dua hipotenus (masing-masing, pepenjuru) dengan hasil tambah segi empat sama kaki (dua belah segi tiga tepat). Atau apabila Lobachevsky mendapatkan pengesahan untuk geometrinya dengan merujuk kepada keputusan pemerhatian astronomi, maka pengesahan ini dilakukan oleh beliau dengan cara yang bersifat spekulatif semata-mata. Tafsiran Cayley-Klein dan Beltrami tentang geometri bukan Euclidean juga menampilkan objek secara matematik dan bukannya fizikal.

Ciri kedua pembuktian matematik ialah keabstrakan tertinggi, di mana ia berbeza daripada prosedur pembuktian dalam sains lain. Dan sekali lagi, seperti dalam kes konsep objek matematik, ia bukan hanya mengenai tahap abstraksi, tetapi mengenai sifatnya. Hakikatnya ialah tahap tinggi Buktinya mencapai abstraksi dalam beberapa sains lain, sebagai contoh, dalam fizik, kosmologi dan, tentu saja, dalam falsafah, kerana masalah utama makhluk dan pemikiran menjadi subjek yang terakhir. Matematik, sebaliknya, dibezakan oleh fakta bahawa pembolehubah berfungsi di sini, yang maknanya adalah dalam pengabstrakan daripada sebarang sifat tertentu. Ingat bahawa, mengikut definisi, pembolehubah adalah tanda-tanda yang pada dirinya sendiri tidak mempunyai makna dan memperoleh yang terakhir hanya apabila nama objek tertentu digantikan untuk mereka (pembolehubah individu) atau apabila sifat dan hubungan tertentu ditunjukkan (pembolehubah predikat), atau, akhirnya. , dalam kes menggantikan pembolehubah dengan pernyataan yang bermakna (pembolehubah proposisi).

Ciri yang diperhatikan menentukan sifat abstraksi melampau tanda-tanda yang digunakan dalam bukti matematik, serta pernyataan, yang, disebabkan oleh kemasukan pembolehubah dalam strukturnya, berubah menjadi pernyataan.

Prosedur pembuktian, yang ditakrifkan dalam logik sebagai demonstrasi, berjalan berdasarkan peraturan inferens, berdasarkan mana peralihan dari satu pernyataan terbukti kepada yang lain dijalankan, membentuk rantaian inferens yang konsisten. Yang paling biasa ialah dua peraturan (penggantian dan terbitan kesimpulan) dan teorem deduksi.

peraturan penggantian. Dalam matematik, penggantian ditakrifkan sebagai penggantian setiap unsur a set yang diberikan beberapa unsur lain F ( a) daripada set yang sama. AT logik matematik peraturan penggantian dirumuskan seperti berikut. Jika formula yang benar M dalam kalkulus cadangan mengandungi huruf, katakan A, kemudian, menggantikannya di mana sahaja ia berlaku dengan huruf sewenang-wenangnya D, kita mendapat formula yang juga benar, seperti yang asal. Ini adalah mungkin, dan boleh diterima dengan tepat kerana dalam kalkulus proposisi seseorang mengabstrak daripada makna proposisi (rumus)... Hanya nilai "benar" atau "salah" diambil kira. Sebagai contoh, dalam formula M: A-->(B U A) di tempatnya A gantikan ungkapan ( A U B), sebagai hasilnya kita memperoleh formula baru ( A U B) -->[(B U( A U B) ].

Peraturan untuk mendapatkan kesimpulan sepadan dengan struktur modus ponens silogisme kategori bersyarat (mod afirmatif) dalam logik formal. Ia kelihatan seperti ini:

a-->b

a .

Diberi kenyataan ( a->b) dan masih diberi a. Oleh itu b.

Contohnya: Jika hujan, maka turapan itu basah, hujan ( a), oleh itu, turapan adalah basah ( b). Dalam logik matematik, silogisme ini ditulis seperti berikut ( a->b) a->b.

Inferens ditentukan, sebagai peraturan, dengan memisahkan untuk implikasi. Jika diberi implikasi ( a->b) dan antesedennya ( a), maka kita mempunyai hak untuk menambah kepada alasan (bukti) juga akibat daripada implikasi ini ( b). Silogisme adalah pemaksaan, membentuk senjata pembuktian deduktif, iaitu, benar-benar memenuhi keperluan penaakulan matematik.

Peranan utama dalam pembuktian matematik dimainkan oleh teorem deduksi - nama yang selalu digunakan untuk beberapa teorem, prosedur yang memungkinkan untuk mewujudkan kebolehbuktian implikasi: A->B apabila terdapat terbitan logik formula B daripada formula A. Dalam versi kalkulus proposisi yang paling biasa (dalam matematik klasik, intuisi, dan jenis matematik lain), teorem deduksi menyatakan perkara berikut. Diberi sistem petak G dan petak A, dari mana, mengikut peraturan, kita perolehi B G, A B(- tanda terbitan), maka ia berikutan bahawa hanya dari premis G seseorang boleh mendapatkan ayat A-->B.

Kami telah mempertimbangkan jenis, yang merupakan bukti langsung. Pada masa yang sama, apa yang dipanggil bukti tidak langsung juga digunakan dalam logik; terdapat bukti tidak langsung yang digunakan mengikut skema berikut. Tidak mempunyai, disebabkan oleh beberapa sebab (ketidakbolehcapaian objek kajian, kehilangan realiti kewujudannya, dll) peluang untuk menjalankan bukti langsung kebenaran mana-mana kenyataan, tesis, mereka membina antitesis. Mereka yakin bahawa antitesis membawa kepada percanggahan, dan, oleh itu, adalah palsu. Kemudian, dari fakta kepalsuan antitesis, mereka membuat - berdasarkan undang-undang pertengahan yang dikecualikan ( a v ) - kesimpulan tentang kebenaran tesis.

Dalam matematik, salah satu bentuk pembuktian tidak langsung digunakan secara meluas - pembuktian dengan percanggahan. Ia amat berharga dan, sebenarnya, amat diperlukan dalam penerimaan konsep asas dan peruntukan matematik, contohnya, konsep infiniti sebenar, yang tidak boleh diperkenalkan dengan cara lain.

Operasi pembuktian melalui percanggahan diwakili dalam logik matematik seperti berikut. Diberi urutan formula G dan penolakan A(G, A). Jika ini mengikut B dan penolakannya (G , A B, bukan B), maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa urutan formula G membayangkan kebenaran A. Dalam erti kata lain, kebenaran tesis mengikuti daripada kepalsuan antitesis.

Mari kita berikan contoh penggunaan induksi yang tidak lengkap dalam bekerja dengan kanak-kanak prasekolah: menggunakan permainan " Beg Ajaib» dengan lebat bentuk geometri, kami memberi tugas kepada kanak-kanak itu: "Dapatkan angka itu dan namakannya." Selepas beberapa percubaan, kanak-kanak membuat tekaan:

bola. bola. bola. Di sini, mungkin, semua bola.

Tugasan 14

Cadangkan alasan lanjut untuk mengesahkan kebenaran (atau kepalsuan) pernyataan yang terhasil.

Adalah mustahil untuk melebih-lebihkan kepentingan bukti dalam kehidupan kita dan terutamanya dalam sains. Semua orang menggunakan bukti, tetapi mereka tidak selalu memikirkan maksud "membuktikan *". Kemahiran praktikal bukti dan idea intuitif mengenainya adalah mencukupi untuk banyak tujuan harian, tetapi tidak untuk tujuan saintifik.

Untuk membuktikan pernyataan adalah untuk menunjukkan bahawa pernyataan logik ini mengikuti secara logik daripada sistem pernyataan yang benar dan berkaitan.

Buktinya operasi logik mengesahkan kebenaran sesuatu kenyataan dengan bantuan kenyataan lain yang benar dan berkaitan.

Terdapat tiga bukti elemen struktur:

1) dakwaan yang perlu dibuktikan;

2) sistem kenyataan yang benar, dengan bantuan kebenaran apa yang dibuktikan dibuktikan;

3) hubungan logik antara tuntutan. 1 dan 2.

Kaedah utama pembuktian matematik ialah inferens deduktif.

Dengan bentuknya bukti- ini ialah inferens deduktif atau rangkaian inferens deduktif yang membawa daripada premis benar kepada pernyataan terbukti.

Dalam pembuktian matematik, susunan kesimpulan adalah penting. Mengikut kaedah menjalankan, mereka membezakan bukti langsung dan tidak langsung. Bukti langsung termasuk induksi lengkap, yang telah dibincangkan dalam Bahagian 1.6.

Induksi penuh- kaedah pembuktian di mana kebenaran sesuatu kenyataan mengikut kebenarannya dalam semua kes khas.

Induksi penuh sering digunakan dalam permainan dengan kanak-kanak prasekolah seperti: "Namakan dalam satu perkataan."

Contoh bukti langsung berkata "Jumlah sudut dalam mana-mana segiempat ialah 360°":

“Pertimbangkan segi empat sewenang-wenangnya. Melukis pepenjuru di dalamnya, kita mendapat 2 segi tiga. Jumlah sudut sisi empat akan sama dengan jumlah sudut dua segi tiga yang terbentuk. Oleh kerana jumlah sudut dalam mana-mana segi tiga ialah 180°, maka dengan menambah 180° dan 180°, kita mendapat jumlah sudut dalam dua segi tiga, ia akan menjadi 360°. Oleh itu, jumlah sudut dalam mana-mana segiempat adalah sama dengan 360", yang diperlukan untuk dibuktikan.

Dalam bukti di atas, kesimpulan berikut boleh dibezakan:

1. Jika angka itu ialah segi empat, maka pepenjuru boleh dilukis di dalamnya, yang akan membahagikan segi empat itu kepada 2 segi tiga. Angka ini ialah segi empat. Oleh itu, ia boleh dibahagikan kepada 2 segi tiga dengan membina pepenjuru.

2. Dalam mana-mana segi tiga, jumlah sudut adalah sama dengan ISO. Angka-angka ini adalah segi tiga. Oleh itu, jumlah sudut setiap satu daripadanya ialah 180 °.

3. Jika segi empat terdiri daripada dua segi tiga, maka hasil tambah sudutnya adalah sama dengan hasil tambah sudut segi tiga ini. Sisi empat ini terdiri daripada dua segi tiga dengan jumlah sudut 180°. 180o+180o=360°. Oleh itu, jumlah sudut dalam segi empat ini ialah 360°.

Semua inferens di atas dibuat mengikut peraturan kesimpulan, oleh itu, ia adalah deduktif.

Contoh pembuktian tidak langsung ialah pembuktian dengan percanggahan. AT dalam kes ini, benarkan bahawa kesimpulannya adalah palsu, oleh itu penafiannya adalah benar. Setelah melampirkan ayat ini kepada keseluruhan premis yang benar, penaakulan dijalankan sehingga percanggahan diperolehi.

Mari kita berikan contoh bukti dengan percanggahan teorem: “Jika dua baris a dan b selari dengan baris ketiga c, maka ia selari antara satu sama lain":

"Mari kita anggap bahawa langsung a dan b tidak selari, maka ia akan bersilang pada satu titik A, bukan kepunyaan garis c. Kemudian kita dapati bahawa melalui titik A adalah mungkin untuk melukis dua garis a dan b selari dengan c. Ini bercanggah dengan aksiom paralelisme: “Melalui

8. Merumus peraturan untuk definisi eksplisit melalui genus dan perbezaan khusus.

9. Apakah definisi yang dipanggil:

kontekstual;

Ostensif?

10. Apakah pernyataan, dan apakah bentuk pernyataan?

11. Bilakah ayat jenis "A dan B", "A atau B", "Bukan A" benar, dan bilakah ianya palsu?

12. Senaraikan pengkuantiti umum dan pengkuantiti kewujudan. Bagaimana untuk menetapkan nilai kebenaran ayat dengan pengkuantiti yang berbeza?

13. Bilakah terdapat hubungan penggantian antara ayat, dan bilakah terdapat hubungan kesetaraan? Bagaimanakah mereka ditetapkan?

14. Apakah inferens? Apakah jenis penaakulan yang dipanggil deduktif?

15. Tuliskan dengan bantuan simbol peraturan kesimpulan, peraturan penafian, peraturan silogisme.

16. Inferens yang manakah dipanggil induksi tidak lengkap, dan inferens yang manakah mengikut analogi?

17. Apakah maksud membuktikan sesuatu pernyataan?

18. Apakah bukti matematik?

19. Berikan definisi aruhan lengkap.

20. Apakah sophisms?

Membuktikan pernyataan bermakna menunjukkan bahawa pernyataan ini mengikut logik daripada sistem pernyataan yang benar dan berkaitan.

Dalam logik, adalah dipercayai bahawa jika pernyataan yang dipertimbangkan secara logik mengikuti daripada kenyataan yang telah terbukti, maka ia adalah wajar dan sama benar seperti yang terakhir.

Oleh itu, asas pembuktian matematik ialah kaedah deduktif. Bukti ialah satu set kaedah logik untuk mengesahkan kebenaran sesuatu kenyataan dengan bantuan kenyataan lain yang benar dan berkaitan.

Bukti matematik bukan hanya satu set inferens, ia adalah inferens yang disusun dalam susunan tertentu.

Bukti membezakan antara langsung dan tidak langsung.

Bukti langsung.

1) Berdasarkan beberapa ayat yang benar dan keadaan teorem, rangkaian inferens deduktif dibina yang membawa kepada kesimpulan yang benar.

Contoh. Kami membuktikan bahawa sudut menegak adalah sama. Sudut 1 dan 2 adalah bersebelahan, oleh itu,
Ð 1 + Ð 2 \u003d 180 o. Sudut 2 dan 3 adalah bersebelahan, oleh itu, Р 2 + Р 3 = 180 o. Kami mempunyai: R 1 \u003d 180 o - R 2 R 3 \u003d 180 o - R 2 Þ R 1 \u003d R 2.

2) Kaedah induksi matematik. Pernyataan adalah benar untuk sebarang nombor asli P jika: ia sah untuk P= 1 dan daripada kesahihan penegasan untuk mana-mana semula jadi sewenang-wenangnya P = k mengikuti keadilannya untuk P = k+ 1. (Maklumat lanjut akan dibincangkan dalam kursus senior.)

3) Induksi lengkap (lihat sebelum ini).

bukti tidak langsung.

1) Kaedah secara percanggahan. Biarkan ia diperlukan untuk membuktikan teorem TAPI Þ AT. Diandaikan bahawa kesimpulannya adalah palsu, dan oleh itu penafiannya adalah benar. Dengan menambah ayat pada set premis benar yang digunakan dalam proses pembuktian (antaranya terdapat syarat TAPI), membina rantaian penaakulan deduktif sehingga diperoleh pernyataan yang bercanggah dengan salah satu premis. Percanggahan yang terhasil membuktikan teorem.

Contoh. Jika dua garis selari dengan garis yang sama, maka ia selari antara satu sama lain.

Diberi: Xúú Dengan, diúú Dengan. Buktikan itu Xúú di.

2) Bukti berdasarkan hukum kontraposisi: bukannya teorem TAPI Þ AT buktikan teorem yang setara dengannya. Jika benar, maka teorem asal juga benar.

Contoh. Sekiranya X 2 ialah nombor genap, maka X- nombor genap.

Bukti. Mari kita berpura-pura itu X ialah nombor ganjil, i.e. X = 2k+ 1 X 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 adalah ganjil.

Apa yang akan kami lakukan dengan bahan yang diterima:

Jika bahan ini ternyata berguna untuk anda, anda boleh menyimpannya ke halaman anda di rangkaian sosial:

Semua topik dalam bahagian ini:

Undang-undang Algebra Proposisi
1. Undang-undang komutatif A Ù B º B Ù A A Ú B º B Ú A 2. Prof.

Konsep set. Tetapkan elemen. Set kosong
Satu set ialah konsep asas matematik dan oleh itu tidak ditakrifkan dari segi lain. Biasanya, set difahami sebagai koleksi objek yang disatukan mengikut titik persamaan. Ya, anda boleh katakan

Hubungan antara set. Ilustrasi grafik set
Definisi. Jika set A dan B mempunyai unsur sepunya, i.e. unsur kepunyaan serentak kepada set A dan B, maka kita katakan bahawa set ini

Hukum operasi pada set
1. Undang-undang komutatif A Ç B = B Ç A A È B = B È A 2. Undang-undang bersekutu

Bilangan unsur gabungan dua dan tiga set terhingga
Dalam matematik, seseorang sering perlu menyelesaikan masalah di mana ia diperlukan untuk menentukan bilangan unsur dalam set, atau dalam kesatuan atau persilangan set. Mari kita bersetuju dengan bilangan elemen

Pasangan yang dipesan. Hasil cartesan dua set
Pertimbangkan masalahnya: menggunakan nombor 1, 2, 3, bentuk semua nombor dua digit yang mungkin. Rekod setiap nombor terdiri daripada dua digit, dan susunan urutannya adalah penting (h

Surat-menyurat satu-satu
Definisi. Pemetaan f bagi set X kepada set Y ialah kesesuaian antara set X dan Y, di mana setiap elemen

Set yang setara. Set yang boleh dikira dan tidak boleh dikira
Definisi. Dua set X dan Y adalah setara jika terdapat pemetaan satu-dengan-satu set X kepada set Y. (Ditandakan: X ~ Y).

Jenis fungsi
1. Fungsi berterusan. Definisi. Sesuatu fungsi dipanggil pemalar. diberikan oleh formula y = b, dengan b ialah beberapa nombor.

Fungsi songsang
Biarkan fungsi y = f(x) mentakrifkan pemetaan injektif set nombor X untuk ditetapkan nombor nyata R (iaitu nilai yang berbeza

Sifat Perhubungan
Hubungan yang ditakrifkan pada set mungkin mempunyai beberapa sifat, iaitu: 1. Definisi Reflekstiviti. Perkaitan R pada set X

Hubungan pesanan. Set yang dipesan
Definisi. Hubungan R pada set X dipanggil hubungan tertib jika ia transitif dan tidak simetri atau antisimetri. Definisi. Rel

Pernyataan dengan pengkuantiti dan penolakannya
Jika predikat diberikan, maka untuk mengubahnya menjadi pernyataan, cukuplah untuk menggantikan nilainya dan bukannya setiap pembolehubah yang termasuk dalam predikat. Contohnya, jika pada set h semula jadi

Hubungan penggantian dan kesetaraan antara ayat. Keadaan yang perlu dan mencukupi
Predikat sering berlaku sedemikian rupa sehingga kebenaran salah satu daripadanya membayangkan kebenaran yang lain. Sebagai contoh, seseorang boleh mengatakan bahawa dari predikat A(x): "nombor x ialah gandaan daripada

Struktur dan jenis teorem
Teorem ialah pernyataan yang kebenarannya ditegakkan melalui penaakulan (bukti). Dari sudut logik, teorem adalah pernyataan dalam bentuk A & T

Definisi konsep. Keperluan untuk definisi konsep
Kemunculan dalam matematik konsep baru, dan oleh itu istilah baharu yang menunjukkan konsep ini, mengandaikan takrifnya. Definisi biasanya dipanggil ayat yang menerangkan intipati sesuatu yang baru

Inferens dan jenisnya
Inferens (penaakulan) adalah satu cara untuk mendapatkan pengetahuan baru berdasarkan beberapa yang sedia ada. Inferens terdiri daripada premis dan kesimpulan. Bungkusan adalah tinggi

Skim penaakulan deduktif
Inferens memberikan kesimpulan yang benar jika premis itu benar dan peraturan inferens, atau, sebagaimana ia juga dipanggil, skema penaakulan deduktif, diperhatikan. Pertimbangkan yang paling banyak

Menyemak ketepatan inferens
Dalam logiknya ada pelbagai cara pengesahan ketepatan inferens. Salah satunya menggunakan bulatan Euler. Kesimpulan ini pertama kali ditulis pada set-teoretik