Artikel ini ialah jawapan kepada dua soalan: "Apa itu" dan "Bagaimana untuk mencari koordinat unjuran titik pada satah"? Pertama, maklumat yang diperlukan tentang unjuran dan jenisnya diberikan. Seterusnya, takrifan unjuran titik ke atas satah diberikan dan ilustrasi grafik diberikan. Selepas itu, kaedah telah diperolehi untuk mencari koordinat unjuran sesuatu titik ke atas satah. Kesimpulannya, penyelesaian contoh dianalisis di mana koordinat unjuran titik tertentu pada satah tertentu dikira.

Navigasi halaman.

Unjuran, jenis unjuran - maklumat yang diperlukan.

Apabila mengkaji angka spatial, adalah mudah untuk menggunakan imej mereka dalam lukisan. Lukisan angka spatial adalah apa yang dipanggil unjuran angka ini ke pesawat. Proses membina imej rajah ruang pada satah berlaku mengikut peraturan tertentu. Jadi proses membina imej rajah ruang pada satah, bersama-sama dengan satu set peraturan yang mana proses ini dijalankan, dipanggil unjuran angka di pesawat ini. Satah di mana imej dibina dipanggil satah unjuran.

Bergantung pada peraturan yang mana unjuran dijalankan, terdapat pusat dan unjuran selari. Kami tidak akan pergi ke butiran, kerana ini adalah di luar skop artikel ini.

Dalam geometri, kes khas unjuran selari digunakan terutamanya - unjuran serenjang, yang juga dipanggil ortogon. Atas nama jenis unjuran ini, kata sifat "serenjang" sering ditinggalkan. Iaitu, apabila dalam geometri mereka bercakap tentang unjuran angka ke atas satah, mereka biasanya bermaksud bahawa unjuran ini diperoleh menggunakan unjuran serenjang (melainkan dinyatakan sebaliknya, sudah tentu).

Perlu diingatkan bahawa unjuran rajah ke atas satah ialah satu set unjuran semua titik rajah ini ke atas satah unjuran. Dalam erti kata lain, untuk mendapatkan unjuran angka tertentu, adalah perlu untuk dapat mencari unjuran titik angka ini ke atas satah. Perenggan artikel seterusnya hanya menunjukkan cara mencari unjuran titik pada satah.

Unjuran titik pada satah - definisi dan ilustrasi.

Kami menekankan sekali lagi bahawa kami akan bercakap tentang unjuran serenjang titik pada satah.

Mari kita buat pembinaan yang akan membantu kita menentukan unjuran titik pada satah.

Biarkan dalam ruang tiga dimensi kita diberi titik M 1 dan satah. Mari kita lukis garis lurus a melalui titik M 1, berserenjang dengan satah. Jika titik M 1 tidak terletak pada satah, maka kita menandakan titik persilangan garis a dan satah sebagai H 1. Oleh itu, dengan pembinaan, titik H 1 ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M 1 ke satah.

Definisi.

Unjuran titik M 1 ke atas satah ialah titik M 1 itu sendiri, jika , atau titik H 1, jika .

Takrifan berikut adalah bersamaan dengan takrifan unjuran titik pada satah ini.

Definisi.

Unjuran titik pada satah- ini sama ada titik itu sendiri, jika ia terletak pada satah tertentu, atau tapak serenjang jatuh dari titik ini ke satah tertentu.

Dalam lukisan di bawah, titik H 1 ialah unjuran titik M 1 ke atas satah; titik M 2 terletak pada satah, oleh itu M 2 ialah unjuran titik M 2 itu sendiri ke atas satah.

Mencari koordinat unjuran titik pada satah - contoh penyelesaian.

Biarkan Oxyz diperkenalkan dalam ruang tiga dimensi, satu titik dan kapal terbang. Mari kita tetapkan sendiri tugas: untuk menentukan koordinat unjuran titik M 1 ke atas satah.

Penyelesaian masalah mengikut logik dari definisi unjuran titik ke atas satah.

Nyatakan unjuran titik M 1 ke atas satah sebagai H 1 . Secara takrif, unjuran titik ke atas satah, H 1 ialah titik persilangan satah tertentu dan garis lurus a melalui titik M 1 berserenjang dengan satah. Oleh itu, koordinat unjuran titik M 1 yang dikehendaki pada satah ialah koordinat titik persilangan garis a dan satah.

Oleh itu, untuk mencari koordinat unjuran sesuatu titik di dalam pesawat yang anda perlukan:

Mari kita pertimbangkan contoh.

Contoh.

Cari koordinat unjuran sesuatu titik ke kapal terbang .

Keputusan.

Dalam keadaan masalah, kita diberi persamaan am bagi satah bentuk , jadi ia tidak perlu disusun.

Mari kita tulis persamaan kanonik bagi garis lurus a, yang melalui titik M 1 berserenjang dengan satah yang diberi. Untuk melakukan ini, kami memperoleh koordinat vektor arah garis lurus a. Oleh kerana garis a adalah berserenjang dengan satah yang diberikan, vektor arah garis a ialah vektor normal satah itu. . i.e, - vektor arah garis lurus a . Sekarang kita boleh menulis persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang yang melalui titik itu dan mempunyai vektor arah :
.

Untuk mendapatkan koordinat unjuran titik yang diperlukan pada satah, ia kekal untuk menentukan koordinat titik persilangan garis dan kapal terbang . Untuk melakukan ini, dari persamaan kanonik garis lurus, kita beralih kepada persamaan dua satah bersilang, kita menyusun sistem persamaan dan cari penyelesaiannya. Kami guna:

Jadi unjuran titik ke kapal terbang mempunyai koordinat.

Jawapan:

Contoh.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz dalam ruang tiga dimensi, titik dan . Tentukan koordinat unjuran titik M 1 ke atas satah ABC.

Keputusan.

Mari kita tulis dahulu persamaan satah yang melalui tiga titik yang diberikan:

Tetapi mari kita lihat pendekatan alternatif.

Mari kita dapatkan persamaan parametrik bagi garis lurus a , yang melalui titik itu dan berserenjang dengan satah ABC. Vektor normal satah mempunyai koordinat , oleh itu, vektor ialah vektor arah bagi garis a . Sekarang kita boleh menulis persamaan parametrik garis lurus dalam ruang, kerana kita tahu koordinat titik pada garis lurus ( ) dan koordinat vektor arahnya ( ):

Ia kekal untuk menentukan koordinat titik persilangan garis dan kapal terbang. Untuk melakukan ini, kita gantikan ke dalam persamaan satah:
.

Sekarang dengan persamaan parametrik hitung nilai pembolehubah x , y dan z pada :
.

Oleh itu, unjuran titik M 1 ke atas satah ABC mempunyai koordinat.

Jawapan:

Kesimpulannya, mari kita bincangkan mencari koordinat unjuran beberapa titik pada satah koordinat dan satah selari dengan satah koordinat.

unjuran titik kepada satah koordinat Oxy , Oxz dan Oyz ialah titik dengan koordinat dan sepadan. Dan unjuran titik dalam kapal terbang dan , yang selari dengan satah koordinat masing-masing Oxy , Oxz dan Oyz, ialah titik dengan koordinat dan .

Mari kita tunjukkan bagaimana keputusan ini diperolehi.

Sebagai contoh, mari kita cari unjuran titik ke dalam pesawat (kes lain adalah serupa dengan ini).

Satah ini selari dengan satah koordinat Oyz dan merupakan vektor normalnya. Vektor ialah vektor arah bagi garis yang berserenjang dengan satah Oyz. Kemudian persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan satah yang diberi mempunyai bentuk .

Cari koordinat titik persilangan garis dan satah itu. Untuk melakukan ini, mula-mula kita gantikan ke dalam persamaan kesamaan: , dan unjuran titik

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematik Tinggi. Jilid Satu: Elemen Algebra Linear dan Geometri Analitik.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Titik, sebagai konsep matematik, tidak mempunyai dimensi. Jelas sekali, jika objek unjuran ialah objek sifar dimensi, maka tidak bermakna untuk bercakap tentang unjurannya.

Rajah.9 Rajah.10

Dalam geometri di bawah titik, adalah dinasihatkan untuk mengambil objek fizikal yang mempunyai dimensi linear. Secara konvensional, bola dengan jejari yang sangat kecil boleh diambil sebagai titik. Dengan tafsiran konsep titik ini, kita boleh bercakap tentang unjurannya.

Apabila membina unjuran ortogon bagi sesuatu titik, seseorang harus dipandu oleh sifat invarian pertama unjuran ortogon: unjuran ortogon bagi sesuatu titik ialah titik.

Kedudukan titik dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat: X, Y, Z, menunjukkan jarak di mana titik dialihkan daripada satah unjuran. Untuk menentukan jarak ini, cukup untuk menentukan titik pertemuan garisan ini dengan satah unjuran dan mengukur nilai yang sepadan, yang akan menunjukkan nilai abscissa, masing-masing. X, ordinat Y dan appliques Z mata (Rajah 10).

Unjuran titik ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik ke satah unjuran yang sepadan. Unjuran mendatar mata a memanggil unjuran segi empat tepat bagi satu titik pada satah unjuran mengufuk, unjuran hadapan a /- masing-masing pada satah hadapan unjuran dan profil a // – pada satah unjuran profil.

Langsung Aa, Aa / dan Aa // dipanggil garisan unjuran. Pada masa yang sama, langsung Ah, titik unjuran TAPI pada satah unjuran mendatar, dipanggil garis unjuran mendatar, Аa / dan Aa //- masing-masing: secara hadapan dan garis lurus unjuran profil.

Dua garis unjuran melalui satu titik TAPI tentukan satah, yang dipanggil mengunjurkan.

Apabila menukar susun atur spatial, unjuran hadapan titik A - a / kekal di tempatnya sebagai milik satah yang tidak berubah kedudukannya di bawah transformasi yang dipertimbangkan. Unjuran mendatar - a bersama-sama dengan satah unjuran mendatar akan berpusing ke arah pergerakan mengikut arah jam dan akan terletak pada satu berserenjang dengan paksi X dengan unjuran hadapan. Unjuran profil - a // akan berputar bersama-sama dengan satah profil dan pada akhir penjelmaan akan mengambil kedudukan yang ditunjukkan dalam Rajah 10. Pada masa yang sama - a // akan berserenjang dengan paksi Z ditarik dari titik a / dan akan dikeluarkan dari paksi Z jarak yang sama dengan unjuran mendatar a jauh dari paksi X. Oleh itu, sambungan antara unjuran mendatar dan profil sesuatu titik boleh diwujudkan menggunakan dua segmen ortogon aa y dan a y a // dan lengkok konjugasi bulatan yang berpusat pada titik persilangan paksi ( O- asal usul). Sambungan yang ditanda digunakan untuk mencari unjuran yang hilang (untuk dua yang diberikan). Kedudukan unjuran profil (mendatar) mengikut unjuran mendatar (profil) dan hadapan yang diberikan boleh didapati menggunakan garis lurus yang dilukis pada sudut 45 0 dari asal ke paksi. Y(pembahagi dua ini dipanggil garis lurus) k ialah pemalar Monge). Kaedah pertama adalah lebih baik, kerana ia lebih tepat.

Oleh itu:

1. Titik dalam ruang dialih keluar:

dari satah mengufuk H Z,

dari satah hadapan V dengan nilai koordinat yang diberikan Y,

dari satah profil W dengan nilai koordinat. x.

2. Dua unjuran mana-mana titik tergolong dalam serenjang yang sama (satu garis sambungan):

mendatar dan hadapan - berserenjang dengan paksi x,

mendatar dan profil - berserenjang dengan paksi Y,

hadapan dan profil - berserenjang dengan paksi Z.

3. Kedudukan titik dalam ruang ditentukan sepenuhnya oleh kedudukan dua unjuran ortogonnya. Oleh itu - daripada mana-mana dua unjuran ortogon bagi sesuatu titik, ia sentiasa mungkin untuk membina unjuran ketiganya yang hilang.

Jika satu titik mempunyai tiga koordinat yang pasti, maka titik tersebut dipanggil titik dalam kedudukan umum. Jika titik mempunyai satu atau dua koordinat sama dengan sifar, maka titik tersebut dipanggil titik kedudukan peribadi.

nasi. 11 Rajah. 12

Rajah 11 menunjukkan lukisan spatial titik kedudukan tertentu, Rajah 12 menunjukkan lukisan kompleks (rajah) titik-titik ini. titik TAPI tergolong dalam satah unjuran hadapan, titik AT– satah unjuran mendatar, titik Dengan– satah profil unjuran dan titik D– paksi absis ( X).

Garisan tambahan lukisan berbilang

Dalam lukisan yang ditunjukkan dalam rajah. 4.7, a, paksi unjuran dilukis, dan imej disambungkan oleh talian komunikasi. Unjuran mendatar dan profil disambungkan oleh talian komunikasi menggunakan lengkok berpusat pada satu titik O persimpangan paksi. Walau bagaimanapun, dalam amalan, satu lagi pelaksanaan lukisan bersepadu juga digunakan.

Pada lukisan tanpa paksi, imej juga diletakkan dalam hubungan unjuran. Walau bagaimanapun, unjuran ketiga boleh diletakkan lebih dekat atau lebih jauh. Sebagai contoh, unjuran profil boleh diletakkan di sebelah kanan (Rajah 4.7, b, II) atau ke kiri (Rajah 4.7, b, saya). Ini penting untuk menjimatkan ruang dan memudahkan saiz.

nasi. 4.7.

Jika dalam lukisan yang dibuat mengikut sistem tanpa paksi ia diperlukan untuk melukis garis komunikasi antara pandangan atas dan pandangan kiri, maka garis lurus tambahan lukisan kompleks digunakan. Untuk melakukan ini, kira-kira pada paras pandangan atas dan sedikit di sebelah kanannya, garis lurus dilukis pada sudut 45 ° ke bingkai lukisan (Rajah 4.8, a). Ia dipanggil garisan tambahan bagi lukisan kompleks. Prosedur untuk membina lukisan menggunakan garis lurus ini ditunjukkan dalam rajah. 4.8, b, c.

Jika tiga pandangan telah dibina (Rajah 4.8, d), maka kedudukan garisan tambahan tidak boleh dipilih sewenang-wenangnya. Mula-mula anda perlu mencari titik yang akan dilalui. Untuk melakukan ini, cukup untuk meneruskan sehingga persilangan bersama paksi simetri unjuran mendatar dan profil dan melalui titik yang terhasil k lukis segmen garis lurus pada sudut 45 ° (Rajah 4.8, d). Jika tiada paksi simetri, maka teruskan sehingga persimpangan pada titik itu k 1 unjuran mendatar dan profil mana-mana muka diunjurkan sebagai garis lurus (Rajah 4.8, d).

nasi. 4.8.

Keperluan untuk melukis garis komunikasi, dan, akibatnya, garis lurus tambahan, timbul apabila membina unjuran yang hilang dan apabila melakukan lukisan yang mana perlu untuk menentukan unjuran mata untuk menjelaskan unjuran elemen individu bahagian.

Contoh penggunaan baris bantu diberikan dalam perenggan seterusnya.

Unjuran titik yang terletak pada permukaan objek

Untuk membina unjuran elemen individu bahagian dengan betul semasa membuat lukisan, adalah perlu untuk dapat mencari unjuran mata individu pada semua imej lukisan. Sebagai contoh, sukar untuk melukis unjuran mendatar bagi bahagian yang ditunjukkan dalam Rajah. 4.9 tanpa menggunakan unjuran titik individu ( A, B, C, D, E dan lain-lain). Keupayaan untuk mencari semua unjuran mata, tepi, muka juga diperlukan untuk mencipta semula dalam imaginasi bentuk objek mengikut imej rata dalam lukisan, serta untuk menyemak ketepatan lukisan yang telah siap.

nasi. 4.9.

Mari kita pertimbangkan cara mencari unjuran kedua dan ketiga bagi titik yang diberikan pada permukaan objek.

Jika satu unjuran titik diberikan dalam lukisan objek, maka pertama sekali adalah perlu untuk mencari unjuran permukaan di mana titik ini terletak. Kemudian pilih salah satu daripada dua kaedah yang diterangkan di bawah untuk menyelesaikan masalah.

Cara pertama

Kaedah ini digunakan apabila sekurang-kurangnya satu unjuran menunjukkan permukaan yang diberikan sebagai garisan.

Pada rajah. 4.10, a silinder ditunjukkan, pada unjuran hadapan yang mana unjuran ditetapkan a" mata TETAPI, berbaring di bahagian permukaannya yang kelihatan (unjuran yang diberikan ditandakan dengan bulatan dua warna). Untuk mencari unjuran mendatar bagi sesuatu titik TETAPI, mereka berhujah seperti berikut: titik terletak pada permukaan silinder, unjuran mendatar yang merupakan bulatan. Ini bermakna unjuran titik yang terletak pada permukaan ini juga akan terletak pada bulatan. Lukis garis komunikasi dan tandakan titik yang dikehendaki pada persilangannya dengan bulatan a. unjuran ketiga a"

nasi. 4.10.

Jika titik AT, terletak pada dasar atas silinder, diberikan oleh unjuran mendatarnya b, maka garisan komunikasi ditarik ke persimpangan dengan segmen garis lurus yang menggambarkan unjuran hadapan dan profil dasar atas silinder.

Pada rajah. 4.10, b menunjukkan perincian - penekanan. Untuk membina unjuran titik TETAPI, diberikan oleh unjuran mendatarnya a, cari dua unjuran lain muka atas (yang terletak titik TAPI) dan, melukis garisan sambungan ke persimpangan dengan segmen garisan yang menggambarkan muka ini, tentukan unjuran - titik yang diingini a" dan a". titik AT terletak pada muka menegak sebelah kiri, yang bermaksud bahawa unjurannya juga akan terletak pada unjuran muka ini. Jadi dari sudut tertentu b" lukis garis komunikasi (seperti yang ditunjukkan oleh anak panah) sehingga mereka bertemu dengan segmen garis yang menggambarkan wajah ini. unjuran hadapan dengan" mata DENGAN, berbaring pada muka condong (dalam ruang), terdapat pada garis yang menggambarkan wajah ini, dan profil dengan"- di persimpangan garis sambungan, kerana unjuran profil muka ini bukan garis, tetapi angka. Pembinaan unjuran titik D ditunjukkan oleh anak panah.

Cara kedua

Kaedah ini digunakan apabila kaedah pertama tidak boleh digunakan. Kemudian anda harus melakukan ini:

• lukis melalui unjuran titik yang diberikan unjuran garis bantu yang terletak pada permukaan yang diberikan;
• cari unjuran kedua bagi baris ini;
• ke unjuran garis yang ditemui, pindahkan unjuran titik yang diberikan (ini akan menentukan unjuran kedua titik);
• cari unjuran ketiga (jika diperlukan) di persimpangan talian komunikasi.

Pada rajah. 4.10, unjuran hadapan diberikan a" mata TETAPI, berbaring di bahagian yang kelihatan pada permukaan kon. Untuk mencari unjuran mengufuk melalui titik a" menjalankan unjuran hadapan bagi garis lurus bantu yang melalui titik itu TAPI dan bahagian atas kon. Dapatkan satu mata V ialah unjuran titik pertemuan garisan yang dilukis dengan pangkal kon. Mempunyai unjuran hadapan mata yang terletak pada garis lurus, seseorang boleh mencari unjuran mendatarnya. Unjuran mendatar s bahagian atas kon itu diketahui. titik b terletak pada lilitan tapak. Segmen garisan dilukis melalui titik ini dan satu titik dipindahkan kepadanya (seperti yang ditunjukkan oleh anak panah). a", mendapat mata a. Unjuran ketiga a" mata TAPI terletak di persimpangan jalan.

Masalah yang sama boleh diselesaikan secara berbeza (Rajah 4.10, G).

Sebagai garis bantu yang melalui titik TETAPI, mereka tidak mengambil garis lurus, seperti dalam kes pertama, tetapi bulatan. Bulatan ini terbentuk jika pada titik TAPI bersilang kon dengan satah selari dengan tapak, seperti yang ditunjukkan dalam perwakilan visual. Unjuran hadapan bulatan ini akan digambarkan sebagai segmen garis lurus, kerana satah bulatan itu berserenjang dengan satah unjuran hadapan. Unjuran mendatar bulatan mempunyai diameter yang sama dengan panjang segmen ini. Memerihalkan bulatan dengan diameter yang ditentukan, lukis dari satu titik a" talian sambungan ke persimpangan dengan bulatan tambahan, sejak unjuran mendatar a mata TAPI terletak pada garis bantu, i.e. pada bulatan yang dibina. unjuran ketiga sebagai" mata TAPI terdapat di persimpangan talian komunikasi.

Dengan cara yang sama, anda boleh mencari unjuran titik yang terletak di permukaan, sebagai contoh, piramid. Perbezaannya ialah apabila ia dilintasi oleh satah mendatar, bukan bulatan terbentuk, tetapi rajah yang serupa dengan tapak.

Matlamat:

• Mempelajari peraturan untuk membina unjuran titik pada permukaan objek dan membaca lukisan.
• Membangunkan pemikiran spatial, keupayaan untuk menganalisis bentuk geometri objek.
• Untuk memupuk rajin, keupayaan untuk bekerjasama apabila bekerja dalam kumpulan, minat dalam subjek.

SEMASA KELAS

SAYA PENTAS. MOTIVASI AKTIVITI PEMBELAJARAN.

II TAHAP. PEMBENTUKAN ILMU, KEMAHIRAN DAN KEMAHIRAN.

JEDA MENYIMPAN KESIHATAN. REFLEKSI (MOOD)

PERINGKAT III. KERJA INDIVIDU.

SAYA PENTAS. MOTIVASI AKTIVITI PEMBELAJARAN

1) cikgu: Semak tempat kerja anda, adakah segala-galanya tersedia? Adakah semua orang bersedia untuk pergi?

BERNAFAS DALAM-DALAM, TAHAN NAFAS PADA EKZOS, DIHAPUS.

Tentukan mood anda pada permulaan pelajaran mengikut skema (skema sedemikian ada di meja untuk semua orang)

SEMOGA ANDA BERJAYA.

2)Guru: Kerja amali mengenai topik “ Unjuran Bucu, Tepi, Muka” menunjukkan terdapat lelaki yang melakukan kesilapan semasa menayang. Mereka menjadi keliru yang mana antara dua titik padanan dalam lukisan itu adalah bucu yang boleh dilihat dan yang mana satu yang tidak kelihatan; apabila tepi selari dengan satah, dan apabila ia berserenjang. Perkara yang sama dengan tepi.

Untuk mengelakkan kesilapan berulang, selesaikan tugasan yang diperlukan menggunakan kad perundingan dan betulkan kesilapan dalam kerja amali (dengan tangan). Dan semasa anda bekerja, ingat:

"SEMUA ORANG BOLEH MELAKUKAN KESILAPAN, TETAPLAH KESILAPANNYA - HANYA YANG GILA".

Dan mereka yang telah menguasai topik dengan baik akan bekerja dalam kumpulan dengan tugas kreatif (lihat. Lampiran 1 ).

II TAHAP. PEMBENTUKAN ILMU, KEMAHIRAN DAN KEMAHIRAN

1)cikgu: Dalam pengeluaran, terdapat banyak bahagian yang dilekatkan antara satu sama lain dengan cara tertentu.
Sebagai contoh:
Penutup desktop dilampirkan pada tiang menegak. Beri perhatian kepada meja di mana anda berada, bagaimana dan dengan apa tudung dan rak dilekatkan antara satu sama lain?

Jawapan: Bolt.

cikgu: Apakah yang diperlukan untuk bolt?

Jawapan: lubang.

cikgu: sungguh. Dan untuk membuat lubang, anda perlu mengetahui lokasinya pada produk. Semasa membuat meja, tukang kayu tidak boleh menghubungi pelanggan setiap kali. Jadi, apakah keperluan untuk menyediakan tukang kayu?

Jawapan: melukis.

cikgu: Melukis!? Apa yang kita panggil lukisan?

Jawapan: Lukisan ialah imej objek dengan unjuran segi empat tepat dalam sambungan unjuran. Mengikut lukisan, anda boleh mewakili bentuk geometri dan reka bentuk produk.

cikgu: Kami telah menyelesaikan unjuran segi empat tepat, dan kemudian? Adakah kita dapat menentukan lokasi lubang dari satu unjuran? Apa lagi yang kita perlu tahu? Apa yang perlu dipelajari?

Jawapan: Bina mata. Cari unjuran mata ini dalam semua pandangan.

cikgu: Bagus! Inilah tujuan pelajaran kami, dan topik: Pembinaan unjuran titik pada permukaan objek. Tulis tajuk pelajaran dalam buku nota anda.
Anda dan saya tahu bahawa mana-mana titik atau segmen pada imej objek ialah unjuran bucu, tepi, muka, i.e. setiap paparan ialah imej bukan dari satu sisi (pandangan ch., pandangan atas, pandangan kiri), tetapi keseluruhan objek.
Untuk mencari unjuran mata individu yang terletak pada muka dengan betul, anda mesti mencari unjuran muka ini dahulu, dan kemudian gunakan garis sambungan untuk mencari unjuran mata.

(Kami melihat lukisan di papan, kami bekerja dalam buku nota di mana 3 unjuran bahagian yang sama dibuat di rumah).

- Membuka buku nota dengan lukisan yang telah siap (Penjelasan tentang pembinaan titik pada permukaan objek dengan soalan utama di papan tulis, dan pelajar membetulkannya dalam buku nota.)

cikgu: Pertimbangkan satu perkara AT. Apakah satah muka dengan titik ini selari?

Jawapan: Muka adalah selari dengan satah hadapan.

cikgu: Kami menetapkan unjuran titik b' dalam unjuran hadapan. Lukis ke bawah dari titik b' garis komunikasi menegak ke unjuran mendatar. Di manakah unjuran mendatar titik itu? AT?

Jawapan: Di persimpangan dengan unjuran mendatar muka yang ditonjolkan ke tepi. Dan berada di bahagian bawah unjuran (pandangan).

cikgu: Unjuran profil titik b'' di manakah ia akan ditempatkan? Bagaimana kita akan menemuinya?

Jawapan: Di persimpangan garis komunikasi mendatar dari b' dengan tepi menegak di sebelah kanan. Tepi ini ialah unjuran muka dengan titik AT.

MEREKA YANG INGIN MEMBINA Unjuran TITIK SETERUSNYA DIPANGGIL KE LEMBAGA.

cikgu: Unjuran titik TAPI juga terletak menggunakan talian komunikasi. Satah yang manakah selari dengan tepi dengan titik TAPI?

Jawapan: Muka adalah selari dengan satah profil. Kami menetapkan titik pada unjuran profil a'' .

cikgu: Pada unjuran apakah muka diunjurkan ke tepi?

Jawapan: Di bahagian hadapan dan mendatar. Mari kita lukis garis sambungan mendatar ke persimpangan dengan tepi menegak di sebelah kiri pada unjuran hadapan, kita mendapat satu mata a' .

cikgu: Bagaimana untuk mencari unjuran titik TAPI pada unjuran mendatar? Lagipun, talian komunikasi dari unjuran mata a' dan a'' jangan bersilang unjuran muka (tepi) pada unjuran mendatar di sebelah kiri. Apa yang boleh membantu kita?

Jawapan: Anda boleh menggunakan garis lurus malar (ia menentukan kedudukan pandangan di sebelah kiri) dari a'' lukis garis komunikasi menegak sehingga bersilang dengan garis lurus malar. Dari titik persimpangan, garis komunikasi mendatar dilukis, sehingga ia bersilang dengan tepi menegak di sebelah kiri. (Ini ialah muka dengan titik A) dan menandakan unjuran dengan titik a .

2) cikgu: Setiap orang mempunyai kad tugas di atas meja, dengan kertas surih dilampirkan. Pertimbangkan lukisan itu, kini cuba sendiri, tanpa melukis semula unjuran, untuk mencari unjuran mata yang diberikan pada lukisan itu.

– Cari dalam buku teks ms 76 rajah. 93. Uji diri anda. Siapa yang melakukan dengan betul - skor "5" "; satu kesilapan - ''4''; dua - ''3''.

(Gred ditetapkan oleh pelajar sendiri dalam helaian kawalan diri).

- Kumpul kad untuk ujian.

3)Kerja berkumpulan: Masa terhad: 4min. + 2 min. cek. (Dua meja dengan pelajar digabungkan, dan seorang ketua dipilih dalam kumpulan).

Bagi setiap kumpulan, tugasan diagihkan dalam 3 peringkat. Pelajar memilih tugas mengikut tahap, (mengikut kehendak mereka). Menyelesaikan masalah mengenai pembinaan mata. Bincangkan pembinaan di bawah pengawasan ketua. Kemudian jawapan yang betul dipaparkan di papan tulis dengan bantuan kodoskop. Semua orang menyemak bahawa mata diunjurkan dengan betul. Dengan bantuan ketua kumpulan, gred diberikan pada tugasan dan dalam helaian kawalan diri (lihat. Lampiran 2 dan Lampiran 3 ).

JEDA MENYIMPAN KESIHATAN. REFLEKSI

"Pose Firaun"- duduk di tepi kerusi, luruskan punggung, bengkokkan tangan pada siku, silang kaki dan letakkan di jari kaki. Tarik nafas, kencangkan semua otot badan sambil menahan nafas, hembus. Buat 2-3 kali. Tutup mata anda rapat-rapat, kepada bintang-bintang, buka. Tandakan mood anda.

PERINGKAT III. BAHAGIAN PRAKTIS. (Tugas individu)

Terdapat kad tugas untuk dipilih dengan tahap yang berbeza. Pelajar memilih pilihan mereka sendiri. Cari unjuran titik pada permukaan objek. Hasil kerja diserahkan dan dinilai untuk pelajaran seterusnya. (Cm. Lampiran 4 , Lampiran 5 , Lampiran 6 ).

PERINGKAT IV. AKHIR

1) Kerja rumah. (Arahan). Dilakukan oleh peringkat:

B - pemahaman, pada "3". Latihan 1 rajah. 94a ms 77 - mengikut tugasan dalam buku teks: lengkapkan unjuran mata yang hilang pada unjuran ini.

B - aplikasi, pada "4". Latihan 1 Rajah 94 a, b. lengkapkan unjuran yang hilang dan tandakan bucu pada imej visual dalam 94a dan 94b.

A - analisis, pada "5". (Kesukaran meningkat.) Cth. 4 rajah.97 - bina unjuran mata yang hilang dan tentukannya dengan huruf. Tiada imej visual.

2)Analisis reflektif.

1. Tentukan mood pada akhir pelajaran, tandakan pada helaian kawalan diri dengan sebarang tanda.
2. Apakah perkara baharu yang anda pelajari semasa pelajaran hari ini?
3. Apakah bentuk kerja yang paling berkesan untuk anda: kumpulan, individu dan adakah anda ingin ia diulang dalam pelajaran seterusnya?
4. Kumpul senarai semak.

3)"Salah Cikgu"

cikgu: Anda telah mempelajari cara membina unjuran bucu, tepi, muka dan titik pada permukaan objek, mengikut semua peraturan pembinaan. Tetapi di sini anda diberi lukisan, di mana terdapat ralat. Sekarang cuba diri anda sebagai seorang guru. Cari kesilapan sendiri, jika anda mendapati kesemua 8–6 kesilapan, maka markahnya ialah "5", masing-masing; 5–4 ralat - "4", 3 ralat - "3".

Jawapan:

Pertimbangkan satah profil unjuran. Unjuran pada dua satah berserenjang biasanya menentukan kedudukan rajah dan memungkinkan untuk mengetahui dimensi dan bentuk sebenar. Tetapi ada kalanya dua unjuran tidak mencukupi. Kemudian gunakan pembinaan unjuran ketiga.

Satah unjuran ketiga dijalankan supaya ia berserenjang dengan kedua-dua satah unjuran pada masa yang sama (Rajah 15). Pesawat ketiga dipanggil profil.

Dalam pembinaan sedemikian, garisan biasa satah mendatar dan hadapan dipanggil paksi X , garisan sepunya bagi satah mendatar dan profil - paksi di , dan garis lurus biasa bagi satah hadapan dan profil - paksi z . titik O, yang dimiliki oleh ketiga-tiga satah, dipanggil titik asal.

Rajah 15a menunjukkan titik TAPI dan tiga unjurannya. Unjuran pada satah profil ( a) dipanggil unjuran profil dan menandakan a.

Untuk mendapatkan gambar rajah titik A, yang terdiri daripada tiga unjuran a, a a, adalah perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua satah sepanjang paksi y (Rajah 15b) dan menggabungkan semua satah ini dengan satah unjuran hadapan. Satah mengufuk mesti diputarkan mengenai paksi X, dan satah profil berada berhampiran paksi z mengikut arah yang ditunjukkan oleh anak panah dalam Rajah 15.

Rajah 16 menunjukkan kedudukan unjuran a, a dan a mata TAPI, diperoleh hasil daripada menggabungkan ketiga-tiga satah dengan satah lukisan.

Hasil daripada pemotongan, paksi-y berlaku pada rajah di dua tempat yang berbeza. Pada satah mendatar (Rajah 16), ia mengambil kedudukan menegak (berserenjang dengan paksi X), dan pada satah profil - mendatar (berserenjang dengan paksi z).

Rajah 16 menunjukkan tiga unjuran a, a dan a titik A mempunyai kedudukan yang jelas pada rajah dan tertakluk kepada syarat yang tidak jelas:

a dan a mesti sentiasa terletak pada satu garis lurus menegak berserenjang dengan paksi X;

a dan a mesti sentiasa terletak pada garis mendatar yang sama berserenjang dengan paksi z;

3) apabila dilukis melalui unjuran mendatar dan garisan mendatar, tetapi melalui unjuran profil a- garis lurus menegak, garisan yang dibina semestinya akan bersilang pada pembahagi dua sudut antara paksi unjuran, kerana rajah oa di a 0 a n ialah segi empat sama.

Apabila membina tiga unjuran titik, adalah perlu untuk menyemak pemenuhan ketiga-tiga syarat untuk setiap titik.

Koordinat titik

Kedudukan titik dalam ruang boleh ditentukan menggunakan tiga nombor yang dipanggilnya koordinat. Setiap koordinat sepadan dengan jarak titik dari beberapa satah unjuran.

Jarak titik TAPI kepada satah profil ialah koordinat X, di mana X = a˝A(Rajah 15), jarak ke satah hadapan - dengan koordinat y, dan y = aa, dan jarak ke satah mengufuk ialah koordinat z, di mana z = aA.

Dalam Rajah 15, titik A menduduki lebar kotak segi empat tepat, dan ukuran kotak ini sepadan dengan koordinat titik ini, iaitu, setiap koordinat dibentangkan dalam Rajah 15 empat kali, iaitu:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Pada rajah (Rajah 16), koordinat x dan z berlaku tiga kali:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Semua segmen yang sepadan dengan koordinat X(atau z) adalah selari antara satu sama lain. koordinat di diwakili dua kali oleh paksi menegak:

y \u003d Oa y \u003d a x a

dan dua kali - terletak secara mendatar:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Perbezaan ini muncul disebabkan oleh fakta bahawa paksi-y hadir pada rajah dalam dua kedudukan berbeza.

Perlu diingatkan bahawa kedudukan setiap unjuran ditentukan pada rajah hanya dengan dua koordinat, iaitu:

1) mendatar - koordinat X dan di,

2) hadapan - koordinat x dan z,

3) profil - koordinat di dan z.

Menggunakan koordinat x, y dan z, anda boleh membina unjuran titik pada rajah.

Jika titik A diberikan oleh koordinat, rekodnya ditakrifkan seperti berikut: A ( X; y; z).

Semasa membina unjuran titik TAPI syarat-syarat berikut mesti diperiksa:

1) unjuran mendatar dan hadapan a dan a X X;

2) unjuran hadapan dan profil a dan a hendaklah terletak pada serenjang yang sama dengan paksi z, kerana mereka mempunyai koordinat yang sama z;

3) unjuran mendatar dan juga dikeluarkan dari paksi X, seperti unjuran profil a jauh dari paksi z, kerana unjuran a′ dan a˝ mempunyai koordinat sepunya di.

Jika titik itu terletak pada mana-mana satah unjuran, maka salah satu koordinatnya adalah sama dengan sifar.

Apabila titik terletak pada paksi unjuran, dua koordinatnya adalah sifar.

Jika titik terletak pada asalan, ketiga-tiga koordinatnya adalah sifar.

Unjuran garis lurus

Dua titik diperlukan untuk menentukan garis. Satu titik ditakrifkan oleh dua unjuran pada satah mengufuk dan hadapan, iaitu, garis lurus ditentukan menggunakan unjuran dua titiknya pada satah mengufuk dan hadapan.

Rajah 17 menunjukkan unjuran ( a dan a, b dan b) dua mata TAPI dan B. Dengan bantuan mereka, kedudukan beberapa garis lurus AB. Apabila menyambungkan unjuran nama yang sama bagi titik ini (iaitu. a dan b, a dan b) anda boleh mendapatkan unjuran ab dan ab langsung AB.

Rajah 18 menunjukkan unjuran kedua-dua titik, dan Rajah 19 menunjukkan unjuran garis lurus yang melaluinya.

Jika unjuran garis lurus ditentukan oleh unjuran dua titiknya, maka ia dilambangkan dengan dua huruf Latin bersebelahan yang sepadan dengan sebutan unjuran titik yang diambil pada garis lurus: dengan lejang untuk menunjukkan unjuran hadapan hadapan. garis lurus atau tanpa lejang - untuk unjuran mendatar.

Jika kita menganggap bukan titik individu bagi garis lurus, tetapi unjurannya secara keseluruhan, maka unjuran ini ditunjukkan oleh nombor.

Jika suatu ketika Dengan terletak pada garis lurus AB, unjurannya с dan с́ berada pada unjuran garis yang sama ab dan ab. Rajah 19 menggambarkan keadaan ini.

Jejak lurus

jejak lurus- ini ialah titik persilangannya dengan beberapa satah atau permukaan (Rajah 20).

Trek mendatar lurus beberapa titik dipanggil H di mana garis bertemu satah mengufuk, dan hadapan- titik V, di mana garis lurus ini bertemu dengan satah hadapan (Rajah 20).

Rajah 21a menunjukkan surih mendatar bagi garis lurus, dan surih hadapannya, dalam Rajah 21b.

Kadangkala jejak profil garis lurus juga dipertimbangkan, W- titik persilangan garis lurus dengan satah profil.

Surih mendatar berada dalam satah mengufuk, iaitu unjuran mengufuknya h bertepatan dengan jejak ini, dan bahagian hadapan h terletak pada paksi-x. Jejak hadapan terletak pada satah hadapan, jadi unjuran hadapannya ν́ bertepatan dengannya, dan v mengufuk terletak pada paksi-x.

Jadi, H = h, dan V= v. Oleh itu, untuk menunjukkan kesan garis lurus, huruf boleh digunakan h dan v.

Pelbagai kedudukan barisan

Garis lurus dipanggil kedudukan am langsung, jika ia tidak selari atau berserenjang dengan mana-mana satah unjuran. Unjuran garisan dalam kedudukan umum juga tidak selari atau berserenjang dengan paksi unjuran.

Garis lurus yang selari dengan salah satu satah unjuran (berserenjang dengan salah satu paksi). Rajah 22 menunjukkan garis lurus yang selari dengan satah mengufuk (berserenjang dengan paksi-z), ialah garis lurus mengufuk; rajah 23 menunjukkan garis lurus yang selari dengan satah hadapan (berserenjang dengan paksi di), ialah garis lurus hadapan; rajah 24 menunjukkan garis lurus yang selari dengan satah profil (berserenjang dengan paksi X), ialah garis lurus profil. Walaupun fakta bahawa setiap garis ini membentuk sudut tepat dengan salah satu paksi, mereka tidak bersilang, tetapi hanya bersilang dengannya.

Disebabkan oleh fakta bahawa garis mendatar (Rajah 22) adalah selari dengan satah mengufuk, unjuran hadapan dan profilnya akan selari dengan paksi yang mentakrifkan satah mengufuk, iaitu, paksi. X dan di. Oleh itu unjuran ab|| X dan a˝b˝|| di z. Unjuran mendatar ab boleh mengambil sebarang kedudukan pada rajah.

Pada unjuran garis hadapan (Rajah 23). ab|| x dan a˝b˝ || z, iaitu ia berserenjang dengan paksi di, dan oleh itu dalam kes ini unjuran hadapan ab barisan boleh mengambil sebarang kedudukan.

Pada baris profil (Gamb. 24) ab|| y, ab|| z, dan kedua-duanya berserenjang dengan paksi-x. Unjuran a˝b˝ boleh diletakkan pada rajah dalam apa jua cara.

Apabila mempertimbangkan satah yang mengunjurkan garisan mendatar ke satah hadapan (Rajah 22), anda boleh melihat bahawa ia mengunjurkan garisan ini ke satah profil juga, iaitu satah yang mengunjurkan garisan ke dua satah unjuran serentak - bahagian hadapan dan profil. Atas sebab ini ia dipanggil satah unjuran dua kali ganda. Dengan cara yang sama, untuk garis hadapan (Rajah 23), satah unjuran dua kali mengunjurkannya ke satah unjuran mendatar dan profil, dan untuk profil (Rajah 23) - ke satah unjuran mendatar dan hadapan .

Dua unjuran tidak boleh menentukan garis lurus. Dua unjuran 1 dan satu garisan profil (Rajah 25) tanpa menyatakan unjuran dua titik garis ini padanya tidak akan menentukan kedudukan garisan ini dalam ruang.

Dalam satah yang berserenjang dengan dua satah simetri tertentu, mungkin terdapat bilangan garis yang tidak terhingga yang mana data pada rajah itu 1 dan satu adalah unjuran mereka.

Jika titik berada pada garis, maka unjurannya dalam semua kes terletak pada unjuran nama yang sama pada baris ini. Keadaan yang bertentangan tidak selalu benar untuk baris profil. Pada unjurannya, anda boleh sewenang-wenangnya menunjukkan unjuran titik tertentu dan tidak pasti bahawa titik ini terletak pada garisan tertentu.

Dalam ketiga-tiga kes khas (Rajah 22, 23 dan 24), kedudukan garis lurus berkenaan dengan satah unjuran ialah segmen arbitrarinya AB, diambil pada setiap garis lurus, diunjurkan ke salah satu satah unjuran tanpa herotan, iaitu, pada satah yang selari dengannya. Segmen garisan AB garis lurus mendatar (Rajah 22) memberikan unjuran bersaiz hidup pada satah mengufuk ( ab = AB); segmen garisan AB garis lurus hadapan (Rajah 23) - dalam saiz penuh pada satah satah hadapan V ( ab = AB) dan segmen AB profil garis lurus (Gamb. 24) - dalam saiz penuh pada satah profil W (a˝b˝\u003d AB), iaitu adalah mungkin untuk mengukur saiz sebenar segmen pada lukisan.

Dalam erti kata lain, dengan bantuan gambar rajah, seseorang boleh menentukan dimensi semula jadi bagi sudut yang dibentuk oleh garis yang dipertimbangkan dengan satah unjuran.

Sudut yang dibuat oleh garis lurus dengan satah mengufuk H, adalah kebiasaan untuk menandakan huruf α, dengan satah hadapan - huruf β, dengan satah profil - huruf γ.

Mana-mana garis lurus yang dipertimbangkan tidak mempunyai kesan pada satah selari dengannya, iaitu, garis lurus mendatar tidak mempunyai jejak mendatar (Rajah 22), garis lurus hadapan tidak mempunyai jejak hadapan (Rajah 23), dan profil garis lurus tidak mempunyai kesan profil (Rajah 24).