Bina graf bagi fungsi selanjar dalam talian. Penyelidikan fungsi dan grafik

Hari ini kami menjemput anda untuk meneroka dan membina graf fungsi bersama kami. Selepas mengkaji artikel ini dengan teliti, anda tidak perlu berpeluh lama untuk menyelesaikan tugasan jenis ini. Tidak mudah untuk mengkaji dan membina graf fungsi; ia adalah kerja besar yang memerlukan perhatian maksimum dan ketepatan pengiraan. Untuk menjadikan bahan lebih mudah difahami, kami akan mengkaji fungsi yang sama langkah demi langkah dan menerangkan semua tindakan dan pengiraan kami. Selamat datang ke dunia matematik yang menakjubkan dan menarik! jom pergi!

Domain definisi

Untuk meneroka dan membuat graf fungsi, anda perlu mengetahui beberapa definisi. Fungsi merupakan salah satu konsep (asas) utama dalam matematik. Ia mencerminkan pergantungan antara beberapa pembolehubah (dua, tiga atau lebih) semasa perubahan. Fungsi ini juga menunjukkan pergantungan set.

Bayangkan kita mempunyai dua pembolehubah yang mempunyai julat perubahan tertentu. Jadi, y ialah fungsi bagi x, dengan syarat setiap nilai pembolehubah kedua sepadan dengan satu nilai kedua. Dalam kes ini, pembolehubah y adalah bergantung, dan ia dipanggil fungsi. Adalah menjadi kebiasaan untuk mengatakan bahawa pembolehubah x dan y berada dalam Untuk lebih jelas tentang pergantungan ini, graf fungsi dibina. Apakah graf bagi suatu fungsi? Ini ialah satu set titik pada satah koordinat, di mana setiap nilai x sepadan dengan satu nilai y. Graf boleh berbeza - garis lurus, hiperbola, parabola, gelombang sinus dan sebagainya.

Adalah mustahil untuk membuat graf fungsi tanpa penyelidikan. Hari ini kita akan belajar cara menjalankan penyelidikan dan membina graf fungsi. Adalah sangat penting untuk mengambil nota semasa kajian. Ini akan menjadikan tugas lebih mudah untuk diatasi. Pelan penyelidikan yang paling mudah:

Skop definisi.
Kesinambungan.
Genap atau ganjil.
Berkala.
Asimtot.
Sifar.
Tandakan keteguhan.
Bertambah dan berkurangan.
Melampau.
Convexity dan concavity.

Mari kita mulakan dengan titik pertama. Mari kita cari domain definisi, iaitu, pada selang berapa fungsi kita wujud: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dalam kes kami, fungsi itu wujud untuk sebarang nilai x, iaitu domain takrifan adalah sama dengan R. Ini boleh ditulis seperti berikut xÎR.

Kesinambungan

Sekarang kita akan mengkaji fungsi ketakselanjaran. Dalam matematik, istilah "kesinambungan" muncul sebagai hasil daripada kajian undang-undang gerakan. Apakah yang tidak terhingga? Ruang, masa, beberapa kebergantungan (contohnya ialah pergantungan pembolehubah S dan t dalam masalah pergerakan), suhu objek yang dipanaskan (air, kuali, termometer, dll.), garis berterusan (iaitu, satu yang boleh dilukis tanpa mengangkatnya dari pensel lembaran).

Sesuatu graf dianggap selanjar jika ia tidak putus pada satu ketika. Salah satu contoh graf yang paling jelas ialah sinusoid, yang boleh anda lihat dalam gambar dalam bahagian ini. Fungsi ini berterusan pada satu titik x0 jika beberapa syarat dipenuhi:

fungsi ditakrifkan pada titik tertentu;
had kanan dan kiri pada satu titik adalah sama;
had adalah sama dengan nilai fungsi pada titik x0.

Jika sekurang-kurangnya satu syarat tidak dipenuhi, fungsi tersebut dikatakan gagal. Dan titik di mana fungsi pecah biasanya dipanggil titik putus. Contoh fungsi yang akan "pecah" apabila dipaparkan secara grafik ialah: y=(x+4)/(x-3). Selain itu, y tidak wujud pada titik x = 3 (kerana adalah mustahil untuk dibahagi dengan sifar).

Dalam fungsi yang kita sedang belajar (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) semuanya ternyata mudah, kerana graf akan berterusan.

Malah, ganjil

Sekarang periksa fungsi untuk pariti. Pertama, sedikit teori. Fungsi genap ialah fungsi yang memenuhi syarat f(-x)=f(x) untuk sebarang nilai pembolehubah x (daripada julat nilai). Contohnya termasuk:

modul x (graf kelihatan seperti subuh, pembahagi dua suku pertama dan kedua graf);
x kuasa dua (parabola);
kosinus x (kosinus).

Ambil perhatian bahawa semua graf ini adalah simetri apabila dilihat secara relatif kepada paksi-y.

Apakah yang dipanggil fungsi ganjil? Ini ialah fungsi yang memenuhi syarat: f(-x)=-f(x) untuk sebarang nilai pembolehubah x. Contoh:

hiperbola;
parabola padu;
sinusoid;
tangen dan sebagainya.

Sila ambil perhatian bahawa fungsi ini adalah simetri tentang titik (0:0), iaitu, asalan. Berdasarkan apa yang dinyatakan dalam bahagian artikel ini, fungsi genap dan ganjil mesti mempunyai sifat: x tergolong dalam set definisi dan -x juga.

Mari kita periksa fungsi untuk pariti. Kita dapat melihat bahawa dia tidak sesuai dengan mana-mana huraian. Oleh itu, fungsi kita tidak genap dan tidak ganjil.

Asimtot

Mari kita mulakan dengan definisi. Asimtot ialah lengkung yang sedekat mungkin dengan graf, iaitu jarak dari titik tertentu cenderung kepada sifar. Secara keseluruhan, terdapat tiga jenis asimtot:

menegak, iaitu selari dengan paksi-y;
mendatar, iaitu selari dengan paksi x;
cenderung.

Bagi jenis pertama, baris ini harus dicari di beberapa titik:

jurang;
hujung domain definisi.

Dalam kes kami, fungsi adalah berterusan, dan domain definisi adalah sama dengan R. Akibatnya, tiada asimtot menegak.

Graf fungsi mempunyai asimtot mendatar, yang memenuhi keperluan berikut: jika x cenderung kepada infiniti atau tolak infiniti, dan hadnya adalah sama dengan nombor tertentu (contohnya, a). Dalam kes ini, y=a ialah asimtot mendatar. Tiada asimtot mendatar dalam fungsi yang sedang kita kaji.

Asimtot serong hanya wujud jika dua syarat dipenuhi:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Kemudian ia boleh didapati menggunakan formula: y=kx+b. Sekali lagi, dalam kes kami tidak ada asimtot serong.

Fungsi sifar

Langkah seterusnya ialah memeriksa graf fungsi untuk sifar. Ia juga sangat penting untuk diperhatikan bahawa tugas yang berkaitan dengan mencari sifar fungsi berlaku bukan sahaja semasa mengkaji dan membina graf fungsi, tetapi juga sebagai tugas bebas dan sebagai cara untuk menyelesaikan ketaksamaan. Anda mungkin dikehendaki mencari sifar fungsi pada graf atau menggunakan tatatanda matematik.

Mencari nilai ini akan membantu anda membuat graf fungsi dengan lebih tepat. Secara ringkas, sifar fungsi ialah nilai pembolehubah x di mana y = 0. Jika anda mencari sifar fungsi pada graf, maka anda harus memberi perhatian kepada titik di mana graf bersilang dengan paksi-x.

Untuk mencari sifar fungsi, anda perlu menyelesaikan persamaan berikut: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Selepas menjalankan pengiraan yang diperlukan, kami mendapat jawapan berikut:

Tandakan keteguhan

Peringkat seterusnya penyelidikan dan pembinaan fungsi (graf) ialah mencari selang tanda malar. Ini bermakna kita mesti menentukan pada selang mana fungsi mengambil nilai positif dan pada selang mana ia mengambil nilai negatif. Fungsi sifar yang terdapat dalam bahagian terakhir akan membantu kami melakukan ini. Jadi, kita perlu membina garis lurus (berasingan daripada graf) dan mengagihkan sifar fungsi di sepanjangnya dalam susunan yang betul dari terkecil kepada terbesar. Sekarang anda perlu menentukan yang mana selang yang terhasil mempunyai tanda "+" dan yang mempunyai "-".

Dalam kes kami, fungsi mengambil nilai positif pada selang:

dari 1 hingga 4;
dari 9 hingga infiniti.

Nilai negatif:

daripada tolak infiniti kepada 1;
dari 4 hingga 9.

Ini agak mudah untuk ditentukan. Gantikan mana-mana nombor dari selang ke dalam fungsi dan lihat tanda apa yang ternyata mempunyai jawapan (tolak atau tambah).

Meningkatkan dan mengurangkan fungsi

Untuk meneroka dan membina fungsi, kita perlu tahu di mana graf akan meningkat (naik di sepanjang paksi Oy) dan di mana ia akan jatuh (merangkak ke bawah sepanjang paksi-y).

Fungsi meningkat hanya jika nilai pembolehubah x yang lebih besar sepadan dengan nilai y yang lebih besar. Iaitu, x2 lebih besar daripada x1, dan f(x2) lebih besar daripada f(x1). Dan kita memerhatikan fenomena yang bertentangan sepenuhnya dengan fungsi yang semakin berkurangan (semakin banyak x, semakin kurang y). Untuk menentukan selang kenaikan dan penurunan, anda perlu mencari perkara berikut:

domain definisi (kita sudah ada);
derivatif (dalam kes kami: 1/3(3x^2-28x+49);
selesaikan persamaan 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Selepas pengiraan kami mendapat keputusan:

Kami mendapat: fungsi meningkat pada selang dari tolak infiniti kepada 7/3 dan dari 7 kepada infiniti, dan berkurangan pada selang dari 7/3 kepada 7.

Melampau

Fungsi yang dikaji y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) adalah berterusan dan wujud untuk sebarang nilai pembolehubah x. Titik ekstrem menunjukkan maksimum dan minimum fungsi tertentu. Dalam kes kami tidak ada, yang sangat memudahkan tugas pembinaan. Jika tidak, ia juga boleh didapati menggunakan fungsi derivatif. Setelah ditemui, jangan lupa tandakannya pada carta.

Convexity dan concavity

Kami terus meneroka fungsi y(x). Sekarang kita perlu menyemaknya untuk cembung dan cekung. Takrifan konsep ini agak sukar untuk difahami, adalah lebih baik untuk menganalisis segala-galanya menggunakan contoh. Untuk ujian: fungsi adalah cembung jika ia adalah fungsi tidak menurun. Setuju, ini tidak dapat difahami!

Kita perlu mencari terbitan bagi fungsi tertib kedua. Kami dapat: y=1/3(6x-28). Sekarang mari kita samakan bahagian kanan dengan sifar dan selesaikan persamaannya. Jawapan: x=14/3. Kami menjumpai titik infleksi, iaitu tempat di mana graf berubah daripada cembung kepada cekung atau sebaliknya. Pada selang dari tolak infiniti hingga 14/3 fungsinya adalah cembung, dan dari 14/3 hingga tambah infiniti ia adalah cekung. Ia juga sangat penting untuk ambil perhatian bahawa titik infleksi pada graf hendaklah licin dan lembut, dan tidak boleh ada sudut tajam.

Menentukan mata tambahan

Tugas kami adalah untuk menyiasat dan membina graf fungsi. Kami telah menyelesaikan kajian; membina graf fungsi kini tidak sukar. Untuk penghasilan semula lengkung atau garis lurus yang lebih tepat dan terperinci pada satah koordinat, anda boleh menemui beberapa titik tambahan. Mereka agak mudah dikira. Sebagai contoh, kita ambil x=3, selesaikan persamaan yang terhasil dan cari y=4. Atau x=5, dan y=-5 dan seterusnya. Anda boleh mengambil seberapa banyak mata tambahan yang anda perlukan untuk pembinaan. Sekurang-kurangnya 3-5 daripadanya ditemui.

Melukis graf

Kami perlu menyiasat fungsi (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Semua tanda yang diperlukan semasa pengiraan dibuat pada satah koordinat. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf, iaitu menyambung semua titik. Menyambung titik harus lancar dan tepat, ini adalah soal kemahiran - sedikit latihan dan jadual anda akan menjadi sempurna.

Untuk mengkaji sepenuhnya fungsi dan memplot grafnya, skema berikut disyorkan:
A) cari domain definisi, titik putus; meneroka kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran (cari had fungsi di sebelah kiri dan kanan pada titik ini). Nyatakan asimtot menegak.
B) tentukan sama ada fungsi genap atau ganjil dan simpulkan bahawa terdapat simetri. Jika , maka fungsinya adalah genap dan simetri tentang paksi OY; apabila fungsinya ganjil, simetri tentang asal; dan jika ialah fungsi bentuk am.
C) cari titik persilangan fungsi dengan paksi koordinat OY dan OX (jika boleh), tentukan selang tanda malar bagi fungsi itu. Sempadan selang tanda malar fungsi ditentukan oleh titik di mana fungsi itu sama dengan sifar (fungsi sifar) atau tidak wujud dan sempadan domain takrifan fungsi ini. Dalam selang waktu di mana graf fungsi terletak di atas paksi OX, dan di mana - di bawah paksi ini.
D) cari terbitan pertama bagi fungsi itu, tentukan sifarnya dan selang tanda malar. Dalam selang di mana fungsi meningkat dan di mana ia berkurangan. Buat kesimpulan tentang kehadiran extrema (titik di mana fungsi dan terbitan wujud dan apabila melaluinya ia berubah tanda. Jika tanda berubah dari tambah kepada tolak, maka pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum, dan jika dari tolak kepada tambah , kemudian minimum). Cari nilai fungsi pada titik ekstrem.
D) cari terbitan kedua, sifarnya dan selang tanda malar. Dalam selang di mana< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) cari asimtot condong (mendatar), yang persamaannya mempunyai bentuk ; di mana
.
Pada graf fungsi akan mempunyai dua asimtot condong, dan setiap nilai x pada dan juga boleh sepadan dengan dua nilai b.
G) cari titik tambahan untuk menjelaskan graf (jika perlu) dan bina graf.

Contoh 1 Terokai fungsi dan bina grafnya. Penyelesaian: A) domain definisi ;; fungsi adalah berterusan dalam domain definisinya; – titik putus, kerana
. Kemudian - asimtot menegak.
B)
mereka. y(x) ialah fungsi bentuk am.
.
C) Cari titik persilangan graf dengan paksi OY: set x=0; maka y(0)=–1, i.e. graf fungsi bersilang dengan paksi pada titik (0;-1). Sifar bagi fungsi (titik persilangan graf dengan paksi OX): set y=0; Kemudian
Diskriminasi persamaan kuadratik adalah kurang daripada sifar, yang bermaksud tiada sifar. Kemudian sempadan selang tanda malar ialah titik x=1, di mana fungsi itu tidak wujud.

Tanda fungsi dalam setiap selang ditentukan oleh kaedah nilai separa:
Jelas daripada rajah bahawa dalam selang graf fungsi terletak di bawah paksi OX, dan dalam selang - di atas paksi OX.
.
D) Kami mengetahui kehadiran titik kritikal.

Kami mencari titik kritikal (di mana atau tidak wujud) daripada kesamaan dan .

Kami dapat: x1=1, x2=0, x3=2. Mari buat jadual tambahan

Jadual 1
(Baris pertama mengandungi titik kritikal dan selang di mana titik ini dibahagikan dengan paksi OX; baris kedua menunjukkan nilai terbitan pada titik kritikal dan tanda pada selang. Tanda ditentukan oleh nilai separa Kaedah baris ketiga menunjukkan nilai fungsi y(x) pada titik kritikal dan menunjukkan kelakuan fungsi - meningkat atau menurun pada selang yang sepadan paksi berangka ditunjukkan.
D) Cari selang cembung dan cekung fungsi itu.
; bina jadual seperti di titik D); Hanya pada baris kedua kami menulis tanda-tanda, dan pada baris ketiga kami menunjukkan jenis kecembungan. Kerana ; maka titik genting ialah satu x=1.

Jadual 2
Titik x=1 ialah titik infleksi.

E) Cari asimtot serong dan mendatar
Maka y=x ialah asimptot serong.

G) Berdasarkan data yang diperoleh, kita membina graf fungsi Contoh2

1). Jalankan kajian lengkap tentang fungsi dan bina grafnya. Penyelesaian.
Skop fungsi.

2). Jelaslah bahawa fungsi ini ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, kecuali untuk titik “” dan “”, kerana pada titik ini penyebut adalah sama dengan sifar dan, oleh itu, fungsi tidak wujud, dan garis lurus dan asimtot menegak.
Tingkah laku fungsi sebagai hujah cenderung kepada infiniti, kewujudan titik ketakselanjaran dan memeriksa kehadiran asimtot serong.

Mari kita semak bagaimana fungsi berfungsi apabila ia menghampiri infiniti ke kiri dan ke kanan.
Di sekitar titik ketakselanjaran, kelakuan fungsi ditentukan seperti berikut:

Itu. Apabila menghampiri titik ketakselanjaran di sebelah kiri, fungsi berkurangan tanpa had, dan di sebelah kanan, ia meningkat tanpa terhingga.
Kami menentukan kehadiran asymptot serong dengan mempertimbangkan kesamaan:

Tiada asimtot serong.

3). Titik persilangan dengan paksi koordinat.
Di sini adalah perlu untuk mempertimbangkan dua situasi: cari titik persilangan dengan paksi Lembu dan paksi Oy. Tanda persilangan dengan paksi Ox ialah nilai sifar fungsi, i.e. adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan:

Persamaan ini tidak mempunyai punca, oleh itu, graf fungsi ini tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Lembu.
Tanda persilangan dengan paksi Oy ialah nilai x = 0. Dalam kes ini
,
mereka. – titik persilangan graf fungsi dengan paksi Oy.

4).Penentuan titik ekstrem dan selang kenaikan dan penurunan.
Untuk mengkaji isu ini, kami mentakrifkan terbitan pertama:
.
Mari kita samakan nilai terbitan pertama kepada sifar.
.
Pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar, i.e. .
Mari kita tentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi.

Oleh itu, fungsi mempunyai satu titik ekstrem dan tidak wujud pada dua titik.
Oleh itu, fungsi bertambah pada selang dan dan berkurang pada selang dan .

5). Titik infleksi dan kawasan cembung dan cekung.
Ciri tingkah laku fungsi ini ditentukan menggunakan terbitan kedua. Mari kita tentukan dahulu kehadiran titik infleksi. Terbitan kedua bagi fungsi tersebut adalah sama dengan

Bila dan fungsinya adalah cekung;

bila dan fungsinya adalah cembung.

6). Mengraf fungsi.
Menggunakan nilai yang ditemui dalam mata, kami akan membina secara skematik graf fungsi:

Contoh3 Teroka fungsi

dan membina grafnya.

Penyelesaian
Fungsi yang diberikan ialah fungsi bukan berkala dalam bentuk umum. Grafnya melalui asal koordinat, sejak .
Domain takrifan fungsi yang diberikan ialah semua nilai pembolehubah kecuali dan yang mana penyebut pecahan menjadi sifar.
Akibatnya, titik adalah titik ketakselanjaran fungsi.
Kerana ,

Kerana ,
, maka titik tersebut ialah titik ketakselanjaran jenis kedua.
Garis lurus ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Persamaan asimtot serong, di mana, .
Pada ,
.
Oleh itu, untuk dan graf fungsi mempunyai satu asimtot.
Mari cari selang peningkatan dan penurunan fungsi dan titik ekstrem.
.
Terbitan pertama bagi fungsi pada dan, oleh itu, pada dan fungsi meningkat.
Apabila , oleh itu, apabila , fungsi berkurangan.
tidak wujud untuk , .
, oleh itu, apabila Graf fungsi adalah cekung.
Pada , oleh itu, apabila Graf fungsi ialah cembung.

Apabila melalui titik , , bertukar tanda. Apabila , fungsi tidak ditakrifkan, oleh itu, graf fungsi mempunyai satu titik infleksi.
Mari bina graf fungsi.

Arahan

Cari domain bagi fungsi tersebut. Sebagai contoh, fungsi sin(x) ditakrifkan sepanjang keseluruhan selang dari -∞ hingga +∞, dan fungsi 1/x ditakrifkan daripada -∞ hingga +∞, kecuali untuk titik x = 0.

Kenal pasti kawasan kesinambungan dan titik ketakselanjaran. Biasanya fungsi adalah berterusan di rantau yang sama di mana ia ditakrifkan. Untuk mengesan ketakselanjaran, seseorang mesti mengira apabila hujah menghampiri titik terpencil dalam domain definisi. Sebagai contoh, fungsi 1/x cenderung kepada infiniti apabila x→0+, dan tolak infiniti apabila x→0-. Ini bermakna pada titik x = 0 ia mempunyai ketakselanjaran jenis kedua.
Jika had pada titik ketakselanjaran adalah terhingga, tetapi tidak sama, maka ini adalah ketakselanjaran jenis pertama. Jika ia adalah sama, maka fungsi itu dianggap berterusan, walaupun ia tidak ditakrifkan pada titik terpencil.

Cari asimtot menegak, jika ada. Pengiraan dari langkah sebelumnya akan membantu anda di sini, kerana asimtot menegak hampir selalu terletak pada titik ketakselanjaran jenis kedua. Walau bagaimanapun, kadangkala bukan titik individu yang dikecualikan daripada domain definisi, tetapi keseluruhan selang titik, dan kemudian asimtot menegak boleh terletak di tepi selang ini.

Semak sama ada fungsi mempunyai sifat khas: genap, ganjil dan berkala.
Fungsi ini akan menjadi walaupun untuk mana-mana x dalam domain f(x) = f(-x). Sebagai contoh, cos(x) dan x^2 ialah fungsi genap.

Kekalaan ialah sifat yang mengatakan bahawa terdapat nombor T tertentu, dipanggil tempoh, yang bagi mana-mana x f(x) = f(x + T). Sebagai contoh, semua fungsi trigonometri asas (sinus, kosinus, tangen) adalah berkala.

Cari mata. Untuk melakukan ini, hitung derivatif fungsi yang diberikan dan cari nilai x tersebut di mana ia menjadi sifar. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 -15 mempunyai terbitan g(x) = 3x^2 + 18x, yang lenyap pada x = 0 dan x = -6.

Untuk menentukan titik ekstrem mana yang maksima dan yang mana minima, jejaki perubahan dalam tanda terbitan pada sifar yang ditemui. g(x) menukar tanda daripada tambah pada titik x = -6, dan pada titik x = 0 kembali daripada tolak kepada tambah. Akibatnya, fungsi f(x) mempunyai minimum pada titik pertama dan minimum pada titik kedua.

Oleh itu, anda juga telah menemui kawasan monotonisitas: f(x) meningkat secara monoton pada selang -∞;-6, menurun secara monoton pada -6;0 dan meningkat semula pada 0;+∞.

Cari terbitan kedua. Akarnya akan menunjukkan di mana graf fungsi yang diberikan akan menjadi cembung dan di mana ia akan menjadi cekung. Sebagai contoh, terbitan kedua bagi fungsi f(x) ialah h(x) = 6x + 18. Ia pergi ke sifar pada x = -3, menukar tanda dari tolak kepada tambah. Akibatnya, graf f(x) sebelum titik ini akan menjadi cembung, selepasnya - cekung, dan titik ini sendiri akan menjadi titik infleksi.

Sesuatu fungsi mungkin mempunyai asimtot lain selain yang menegak, tetapi hanya jika domain definisinya termasuk . Untuk mencarinya, hitung had bagi f(x) apabila x→∞ atau x→-∞. Jika ia adalah terhingga, maka anda telah menemui asimtot mendatar.

Asimtot oblik ialah garis lurus dalam bentuk kx + b. Untuk mencari k, hitung had f(x)/x sebagai x→∞. Untuk mencari b - had (f(x) – kx) bagi x→∞ yang sama.

Plotkan graf fungsi berdasarkan data yang dikira. Labelkan asimtot, jika ada. Tandakan titik ekstrem dan nilai fungsi padanya. Untuk ketepatan graf yang lebih besar, hitung nilai fungsi pada beberapa titik perantaraan lagi. Kajian selesai.

Titik rujukan semasa mengkaji fungsi dan membina grafnya ialah titik ciri - titik ketakselanjaran, ekstrem, infleksi, persilangan dengan paksi koordinat. Menggunakan kalkulus pembezaan, adalah mungkin untuk mewujudkan ciri ciri perubahan dalam fungsi: peningkatan dan penurunan, maksimum dan minimum, arah kecembungan dan lekuk graf, kehadiran asimtot.

Lakaran graf fungsi boleh (dan harus) dilukis selepas menemui asimtot dan titik ekstrem, dan adalah mudah untuk mengisi jadual ringkasan kajian fungsi semasa kajian berjalan.

Skim kajian fungsi berikut biasanya digunakan.

1.Cari domain definisi, selang kesinambungan dan titik putus fungsi.

2.Periksa fungsi untuk kesamaan atau keganjilan (simetri paksi atau pusat graf.

3.Cari asimtot (menegak, mendatar atau serong).

4.Cari dan kaji selang kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Cari selang cembung dan cekung lengkung, titik lengkuknya.

6.Cari titik persilangan lengkung dengan paksi koordinat, jika wujud.

7.Menyusun jadual ringkasan kajian.

8.Graf dibina, dengan mengambil kira kajian fungsi yang dijalankan mengikut perkara yang diterangkan di atas.

Contoh. Teroka fungsi

dan membina grafnya.

7. Mari kita susun jadual ringkasan untuk mengkaji fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik ciri dan selang antara mereka. Dengan mengambil kira pariti fungsi, kami memperoleh jadual berikut:

		Ciri Carta
[-1, 0[	Bertambah	Cembung
		(0; 1) – titik maksimum
]0, 1[	Menurun	Cembung
		Titik infleksi terbentuk dengan paksi lembu sudut tumpul

Salah satu tugas yang paling penting dalam kalkulus pembezaan ialah pembangunan contoh umum untuk mengkaji tingkah laku fungsi.

Jika fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang , dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) bertambah sebanyak (f"(x)0) Jika fungsi y=f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya adalah negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"(x)0. )

Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya di mana tanda terbitan pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau mempunyai ketakselanjaran dipanggil kritikal.

Teorem 1 (syarat pertama yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada selang dan boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan terbitannya mengekalkan tanda malar pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ,x 0) dan (x 0 , x 0 +δ) tanda-tanda terbitan adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia bertepatan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Lebih-lebih lagi, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0 f"(x)>0 berpuas hati, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif bertukar tanda dari tolak hingga tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi dipanggil nilai ekstremnya.

Teorem 2 (tanda perlu bagi ekstrem tempatan).

Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f’(x 0)=0 atau f’(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh beza, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:

1) Cari terbitan bagi fungsi tersebut.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem; untuk ini, gantikan nilai titik kritikal ke dalam fungsi ini. Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, buat kesimpulan yang sesuai.

Contoh 18. Periksa fungsi y=x 3 -9x 2 +24x untuk ekstrem

Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. Dalam kes ini, derivatif ditakrifkan di mana-mana; Ini bermakna selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y"=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2 fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan f"(x 0) dan pada titik x 0 wujud f""(x 0). Kemudian jika f""(x 0)>0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y=f(x) boleh mencapai nilai terkecil (y terkecil) atau terbesar (y tertinggi) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a;b), atau pada hujung segmen.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen:

1) Cari f"(x).
2) Cari titik di mana f"(x)=0 atau f"(x) tidak wujud, dan pilih daripadanya titik yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y=f(x) pada titik yang diperolehi dalam langkah 2), serta pada hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripadanya: masing-masing adalah yang terbesar (y). terbesar) dan nilai terkecil (y terkecil) bagi fungsi pada selang waktu.

Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas itu.

1) Kami mempunyai y"=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita dapat:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Hitung nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmen mengandungi hanya titik x=5. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, y max = 225, y min = 50.

Kajian fungsi pada kecembungan

Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama adalah cembung ke atas, yang kedua cembung ke bawah.

Fungsi y=f(x) adalah berterusan pada segmen dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung ke atas (ke bawah) pada segmen ini jika, untuk axb, grafnya tidak terletak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen yang dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.

Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada selang (a;b), maka fungsi itu cembung ke bawah pada selang ; jika ketaksamaan f""(x)0 kekal pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke atas pada .

Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0, maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah satu titik infleksi.

Peraturan untuk mencari titik infleksi:

1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.

Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi graf bagi fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 apabila x 1 =0, x 2 =1. Apabila melalui titik x=0, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah, tetapi apabila melalui titik x=1 ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati . Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan daripada cembung ke bawah kepada cembung ke atas) dan x=1 juga ialah titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas kepada cembung ke bawah). Jika x=, maka y=; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a, maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞, maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan bersamaan dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan bersamaan dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.

Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk

Skim untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya

I. Cari domain takrifan fungsi.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan angka bantu, teroka tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan pertambahan dan penurunan fungsi, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira penyelidikan yang dijalankan dalam perenggan 1-6.

Contoh 22: Bina graf bagi fungsi mengikut rajah di atas

Penyelesaian.
I. Domain bagi suatu fungsi ialah set semua nombor nyata kecuali x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca nyata, graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0;-1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Mari kita kaji kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ sebagai x → -∞, y → +∞ sebagai x → 1+, maka garis x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had

Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0 kita memperoleh dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:

Oleh kerana f""(x) tidak lenyap, tiada titik kritikal.
VI. Mari kita periksa tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan domain kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dan (1+√2;+∞).

Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +,-+.
Kami mendapati bahawa fungsi meningkat pada (-∞;1-√2), menurun pada (1-√2;1+√2), dan meningkat semula pada (1+√2;+∞). Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, dan f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, dan f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) ia cembung ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membina lakaran graf fungsi tersebut