Bina garis besar permukaan bagi permukaan silinder revolusi. permukaan kon

Teorem.

Jarak dari titik ke garisan, titik tertentu dan vektor arah boleh didapati dengan formula

TAPI jarak antara dua garis yang bersilang didapati mengikut formula

Permukaan revolusi permukaan dipanggil, yang, bersama-sama dengan setiap titiknya, mengandungi keseluruhan bulatan yang diperoleh dengan memutarkan titik ini mengelilingi beberapa garis tetap. Garis di sekeliling tempat putaran dibuat dipanggil paksi putaran. Putaran titik di sekeliling paksi berlaku dalam satah berserenjang dengan paksi. Dalam bahagian permukaan revolusi dengan satah berserenjang dengan paksi revolusi, bulatan diperoleh, yang dipanggil selari. Pesawat yang melalui paksi revolusi bersilang dengan permukaan revolusi di sepanjang garis yang dipanggil meridian.

Teorem. Dalam sistem koordinat segi empat tepat, persamaan

ialah persamaan permukaan revolusi yang dibentuk oleh putaran terhadap paksi garis yang diberikan oleh persamaan

Permukaan silinder atau silinder permukaan dipanggil, yang bersama-sama dengan setiap titik mengandungi keseluruhan garis yang melalui titik selari dengan vektor bukan sifar yang diberikan. Garis selari dengan vektor dan kepunyaan permukaan silinder dipanggil menjana permukaan ini.

Permukaan silinder boleh dibentuk seperti berikut. Biarkan beberapa baris dan biarkan menjadi vektor bukan sifar. Permukaan yang dibentuk oleh semua garisan, setiap satunya melalui beberapa titik garisan selari dengan vektor, akan berbentuk silinder. Dalam kes ini, baris dipanggil panduan ini adalah permukaan.

Jika sistem koordinat segi empat tepat dipilih supaya penjana permukaan silinder tertib kedua selari dengan paksi, dan panduan dalam sistem mempunyai persamaan kanonik, maka permukaan silinder ditakrifkan seperti berikut.

- silinder elips;

- silinder hiperbolik;

- silinder parabola;

-silinder berpecah kepada sepasang satah bersilang di sepanjang paksi;

- silinder berpecah kepada sepasang satah selari;

- silinder, iaitu sepasang satah bercantum.

Persamaan ini dipanggil persamaan kanonik permukaan silinder sepadan tertib kedua.

Jika dalam persamaan kanonik silinder elips , maka panduan silinder itu ialah bulatan yang terletak di dalam satah . Dalam kes ini, permukaan adalah silinder putaran.

Permukaan tirus atau Kon dengan bucu pada satu titik dipanggil permukaan yang mempunyai sifat yang, bersama-sama dengan setiap titiknya selain daripada satu titik, permukaan ini mengandungi garis.

Garisan yang melalui puncak kon dan terletak di atasnya dipanggil menjana kon ini.

Pertimbangkan garis dalam ruang dan titik yang tidak terletak pada garisan. Permukaan yang dibentuk oleh semua garisan, setiap satunya melalui satu titik dan melalui beberapa titik garisan, ialah permukaan kon dengan bucu .

Dalam kes ini, baris dipanggil panduan.

Pertimbangkan permukaan kon dengan bucu pada asal sistem koordinat segi empat tepat, yang panduannya ialah elips:

Mari kita cari persamaan permukaan ini. Biarkan satu titik yang berbeza daripada satu mata tergolong dalam kon. Kemudian garisan akan bersilang dengan panduan pada satu ketika. Oleh kerana kedua-dua vektor dan adalah kolinear, terdapat nombor nyata seperti itu, atau dalam koordinat:

Dari sini kita dapati

Menggantikan ungkapan yang diperoleh kepada yang pertama daripada kesamaan, selepas transformasi mudah kita dapati:

Jadi, koordinat mana-mana titik kon memenuhi persamaan ini. Ia juga mudah untuk melihat bahawa jika titik tidak tergolong dalam kon, maka koordinatnya tidak memenuhi persamaan ini.

Oleh itu, kita telah memperoleh persamaan darjah kedua, jadi kon itu dipanggil kon urutan kedua. Persamaan itu sendiri dipanggil persamaan kanonik bagi permukaan kon tertib kedua.

Dalam kes apabila panduan permukaan kon susunan kedua ialah bulatan, iaitu, apabila , persamaan menjadi

Permukaan yang ditakrifkan oleh persamaan ini dalam sistem koordinat segi empat tepat dipanggil permukaan kon bulat atau kon bulat.

Bengkel:

Topik 1:

Topik 2:

Topik 3:

Topik 4:

Topik 5:

Topik 6:

Topik 7:

Topik 8:

Topik 9:

Topik 10:

Topik 11.

Topik 12.

Topik 13.

Topik 14.

Topik 15.

Kerja bebas pelajar:

Topik 1: Operasi binari pada set. Konsep kumpulan, gelanggang dan padang. Contoh. Medan nombor kompleks. No 101 - 113, 17 - 18 b. ; No. 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 b.

Topik 2: Operasi pada nombor kompleks. Bentuk algebra dan trigonometri bagi nombor kompleks. No 118 - 119, 136 - 140, 19 -20 b., No 2.22 - 2.23, 2.26 - 2.28, 2.46-2.50, 20 - 23 b.

Topik 3: Permutasi dan penggantian. Kumpulan penggantian. Penggantian kitaran. No 219 -221, 223, No 410 / 28 - 29, 55 -56 b. No. 3.2 - 3.6, 3.38 / 26 - 27, 33 b

Topik 4: Matriks dan tindakan pada mereka. Penentu susunan kedua dan ketiga. No 235 - 240, 243 - 245, 231-232 / 31-32 b., No 3.24-3.27, 3.30 (1.2) / 29-30 b.

Topik 5: Penentu dan sifatnya. Penambahan minor dan algebra. Penentu urutan ke-2 No. 231–232, 266–267, 273–280, No. 374, 31, 35–37, 48 b., No. 442 / 61 b. , No. 3.30–3.31 / 30–31 b., No. 4.24–4.28 / 44-45 b.

Topik 6: Matriks songsang dan kaedah pengiraannya. Persamaan matriks. No 400, 410–411 / 55–56 b. , no 3.38–3.40 / 33–34 b.

Topik 7: Sistem persamaan linear. Ruang vektor n-dimensi aritmetik. Kaedah Gauss. Peraturan Cramer. No. 443–447 / 62–64 b. , No. 4.18–4.19, 4.64 / 41–43, 51 b.

Topik 8: Polinomial dalam satu GCD pembolehubah polinomial. Akar-akar polinomial. Formula Vieta. Teorem asas algebra dan akibatnya. No. 400–402 / 53–54 b. , No. 443–447, 449/62–64 b. No. 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 / 36-37, 41-43, 51 b.

Topik 9: vektor. Asas ruang vektor. No 650, 167, 173 / 89, 22 - 23 b. , No. 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 - 11.77, 11.81 - 11.86 / 123 - 125 b.

Topik 10: Skalar, vektor dan hasil campuran vektor. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489( 1.3).

Topik 11. Garis lurus di atas kapal terbang. Pelbagai jenis persamaan pada satah. Jarak dari satu titik ke satah. Susunan bersama dua garis lurus. 279(a, c), 282(a, c), 289(a, c), 294(a), 552, 553.

Topik 12. Lengkung tertib kedua. Elips, hiperbola, parabola. Terbitan persamaan kanonik. 376, 379, 392, 403, 477(a, c), 479, 486, 507(a), 515, 558(1.3), 559(1.3), 564(1, 3), 567, 584 (1), 585(1), 598, 600(1).

Topik 13. satah di angkasa. Pelbagai jenis persamaan satah. Jarak dari satu titik ke satah. Susunan bersama dua pesawat. 756, 758(a, c), 764(a, c), 765(a, c), 767(a, c), 794(a, c), 796(a, c), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Topik 14. Garis lurus di angkasa. Pelbagai jenis persamaan. Susunan bersama dua garis lurus. 1058(a), 1059(a, c), 1060(a), 1066(a), 1068(a), 1113(a), 1116(a), 1122(a) , 624(1, 3), 625 (1.3), 630(1), 632, 645(1).

Topik 15. Permukaan urutan ke-2. Permukaan revolusi. permukaan silinder. permukaan kon. 1252, 1254(a, c), 1256, 769, 770(1), 771, 775(1).

nasi. 3.15

Permukaan revolusi digunakan secara meluas dalam semua bidang teknologi. Permukaan revolusi ialah permukaan yang terhasil daripada putaran beberapa generatrik 1 mengelilingi garis tetap i- paksi putaran permukaan (Rajah 3.15). Dalam lukisan, permukaan revolusi diberikan oleh garis besarnya. Garis luar permukaan ialah garisan yang mengehadkan kawasan unjurannya. Semasa putaran, setiap titik generatrix menerangkan bulatan, satahnya berserenjang dengan paksi. Sehubungan itu, garis persilangan permukaan revolusi oleh satah berserenjang dengan paksi ialah bulatan. Bulatan sedemikian dipanggil selari (Rajah 3.15). Selari dengan jejari terbesar dipanggil khatulistiwa, yang terkecil - tekak. Satah yang melalui paksi permukaan revolusi dipanggil meridional, garis persilangannya dengan permukaan revolusi dipanggil meridian. Meridian yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran dipanggil meridian utama. Dalam amalan membuat lukisan, permukaan revolusi berikut paling kerap ditemui: silinder, kon, sfera, torus.

nasi. 3.16

Permukaan silinder revolusi. Sebagai panduan a hendaklah diambil sebagai bulatan, dan sebagai garis lurus b- paksi i(rajah 3.16). Kemudian kita mendapat bahawa penjana l, selari dengan paksi i, berkisar tentang yang terakhir. Jika paksi putaran berserenjang dengan satah unjuran mendatar, maka hidupkan P 1 permukaan silinder diunjurkan ke dalam bulatan, dan ke P 3 - dalam segi empat tepat. Meridian utama permukaan silinder ialah dua garis lurus selari.

Rajah 3.17

Permukaan kon revolusi kita perolehi dengan memutarkan generatriks rectilinear l sekeliling paksi i. Pada masa yang sama, penjana l melintasi paksi i pada titik S, dipanggil bahagian atas kon (Rajah 3.17). Meridian utama permukaan kon ialah dua garis lurus yang bersilang. Jika kita mengambil segmen garis lurus sebagai generatriks, dan paksi kon itu berserenjang P 1, kemudian P 1 permukaan kon diunjurkan ke dalam bulatan, dan ke P 2 - dalam segi tiga.

permukaan sfera terbentuk disebabkan oleh putaran bulatan mengelilingi paksi yang melalui pusat bulatan dan terletak pada satahnya (Rajah 3.18). Khatulistiwa dan meridian permukaan sfera adalah bulatan yang sama. Oleh itu, apabila mengunjur secara ortogon ke mana-mana satah, permukaan sfera diunjurkan ke dalam bulatan.

nasi. 3.18 Apabila bulatan berputar mengelilingi paksi yang terletak pada satah bulatan ini, tetapi tidak melalui pusatnya, permukaan terbentuk, dipanggil torus (Rajah 3.19).

nasi. 3.19

11.MASALAH KEDUDUKAN.MILIKI SATU TITIK DAN GARIS KEPADA PERMUKAAN.TEOREM MONGE. Di bawah kedudukan tugasan dimaksudkan, penyelesaian yang membolehkan anda mendapatkan jawapan tentang kepunyaan elemen (titik) atau subset (garis) kepada set (permukaan). Tugas kedudukan juga termasuk tugas untuk menentukan elemen sepunya yang dimiliki oleh pelbagai bentuk geometri. Kumpulan tugasan pertama boleh dikumpulkan di bawah nama umum tugas untuk pemilikan. Ini, khususnya, termasuk tugas untuk menentukan: 1) kepunyaan titik garis; 2) kepunyaan titik pada permukaan; 3) kepunyaan garis permukaan. Kumpulan kedua termasuk tugas untuk persilangan. Kumpulan ini juga mengandungi tiga jenis tugas: 1) untuk persilangan garis dengan garis; 2) untuk persilangan permukaan dengan permukaan; 3) untuk persilangan garis dengan permukaan. Pemilikan titik permukaan . Kedudukan utama dalam menyelesaikan masalah bagi varian keahlian ini adalah seperti berikut : titik kepunyaan permukaan jika ia tergolong dalam mana-mana garis permukaan itu. Dalam kes ini, garisan harus dipilih semudah mungkin untuk memudahkan untuk membina unjuran garis sedemikian, kemudian gunakan fakta bahawa unjuran titik yang terletak di permukaan mestilah tergolong dalam unjuran garisan. permukaan ini dengan nama yang sama . Contoh penyelesaian kepada masalah ini ditunjukkan dalam rajah.. Terdapat dua penyelesaian di sini, kerana dua garis termudah boleh dilukis yang tergolong dalam permukaan kon. Dalam kes pertama, garis lurus dilukis - generatriks permukaan kon S1 supaya ia melalui mana-mana unjuran titik C. Oleh itu, kita menganggap bahawa titik C tergolong dalam generatrik S1 permukaan kon, dan oleh itu permukaan kon itu sendiri. Dalam kes ini, unjuran dengan nama yang sama bagi titik C mesti terletak pada unjuran yang sepadan bagi generatrik ini. Satu lagi garisan mudah ialah bulatan dengan diameter 1-2 (jejari bulatan ini diukur dari paksi kon kepada generatrik garis besar). Fakta ini diketahui dari kursus geometri sekolah: apabila kon bulat bersilang dengan satah selari dengan tapaknya, atau berserenjang dengan paksinya, bulatan akan diperoleh dalam bahagian. Kaedah penyelesaian kedua membolehkan anda mencari unjuran titik C yang hilang, diberikan oleh unjuran hadapannya, kepunyaan permukaan kon dan bertepatan dalam lukisan dengan paksi putaran kon, tanpa membina unjuran ketiga. Anda harus sentiasa mengingati sama ada titik yang terletak pada permukaan kon itu kelihatan atau tidak kelihatan (jika ia tidak kelihatan, unjuran titik yang sepadan akan disertakan dalam kurungan). Jelas sekali, dalam masalah kami, titik C tergolong dalam permukaan, kerana unjuran titik tergolong dalam unjuran yang dinamakan sama bagi garis yang digunakan untuk menyelesaikan kedua-dua kaedah penyelesaian pertama dan kedua. Pemilikan garisan sesuatu permukaan. Kedudukan asas: garis kepunyaan permukaan jika semua titik garisan kepunyaan permukaan yang diberikan. Ini bermakna dalam kes kepunyaan ini, masalah kepunyaan sesuatu titik di permukaan mesti diselesaikan beberapa kali. Torema Monge: jika dua permukaan susunan kedua diterangkan berhampiran yang ketiga atau tertulis di dalamnya, maka garis persilangan mereka berpecah kepada dua lengkung urutan kedua, satah yang melalui garis lurus yang menghubungkan titik persilangan bulatan tangen.

12. BAHAGIAN-BAHAGIAN KON GILIRAN MENGIKUT SATAH Unjuran . Apabila melintasi permukaan badan dengan mengunjurkan satah, satu unjuran bahagian bertepatan dengan unjuran satah mengunjur. Sebuah kon boleh mempunyai lima bentuk berbeza dalam keratan rentas. Segi tiga- jika satah pemotong memotong kon melalui bucu di sepanjang dua penjana. Bulatan- jika satah bersilang dengan kon selari dengan tapak (berserenjang dengan paksi). Ellipse- jika satah memotong semua penjana pada sudut tertentu. Parabola- jika satah selari dengan salah satu penjana kon. hiperbola- jika satah selari dengan paksi atau dua penjana kon. Bahagian permukaan oleh satah ialah rajah rata yang dibatasi oleh garis tertutup, semua titiknya tergolong dalam kedua-dua satah sekan dan permukaan. Apabila satah memotong polihedron dalam bahagian, poligon diperoleh dengan bucu yang terletak di tepi polihedron. Contoh. Bina unjuran garis persilangan L permukaan kon bulat tegak ω oleh satah β. Penyelesaian. Dalam bahagian itu, parabola diperoleh, yang puncaknya diunjurkan ke titik A (A′, A′′). Titik A, D, E garis persilangan adalah melampau. Pada rajah. pembinaan garis persilangan yang diingini telah dijalankan menggunakan satah aras mendatar αi, yang bersilang dengan permukaan kon ω sepanjang selari рi, dan satah β - sepanjang segmen garis lurus yang mengunjurkan ke hadapan. Garis persilangan L kelihatan sepenuhnya pada satah.

№13. Permukaan sepaksi. Kaedah sfera sepusat.

Apabila membina garis persilangan permukaan, ciri persilangan permukaan sepaksi revolusi memungkinkan untuk menggunakan sfera sepaksi dengan permukaan ini sebagai permukaan perantara tambahan. Permukaan sepaksi revolusi ialah permukaan yang mempunyai paksi revolusi yang sama. Pada rajah. 134 menunjukkan silinder dan sfera sepaksi (Rajah 134, a), kon dan sfera sepaksi (Rajah 134, b) dan silinder dan kon sepaksi (Rajah 134, c)

Permukaan sepaksi revolusi sentiasa bersilang dalam bulatan yang satahnya berserenjang dengan paksi revolusi. Terdapat seberapa banyak bulatan ini biasa bagi kedua-dua permukaan kerana terdapat titik persilangan garis garis besar permukaan. Permukaan dalam rajah. 134 bersilang di sepanjang bulatan yang dicipta oleh titik 1 dan 2 persilangan meridian utamanya. Sfera perantara tambahan bersilang setiap permukaan yang diberikan di sepanjang bulatan, di persimpangan yang mana titik diperoleh yang dimiliki oleh permukaan lain, dan dengan itu garis persilangan. Sekiranya paksi permukaan bersilang, maka sfera tambahan ditarik dari satu pusat - titik persilangan paksi. Dalam kes ini, garis persilangan permukaan dibina menggunakan kaedah sfera sepusat tambahan. Apabila membina garis persilangan permukaan, untuk menggunakan kaedah sfera sepusat tambahan, syarat berikut mesti dipenuhi: 1) persilangan permukaan revolusi; 2) paksi permukaan - garis bersilang - selari dengan salah satu satah unjuran, iaitu terdapat satah simetri biasa; 3) kaedah ini tidak boleh digunakan satah pemotong tambahan, kerana ia tidak memberikan garis grafik mudah pada permukaan. Biasanya kaedah sfera tambahan digunakan dalam kombinasi dengan kaedah satah pemotongan tambahan. Pada rajah. 135 garis persilangan dua permukaan kon revolusi dengan paksi revolusi bersilang dalam satah hadapan aras Ф (Ф1) diplotkan. Ini bermakna bahawa meridian utama permukaan ini bersilang dan memberikan dalam persilangan mereka titik keterlihatan garis persilangan berbanding dengan satah P2 atau titik tertinggi A dan titik terendah B. Di persimpangan meridian meridian mendatar h dan selari h", terletak pada satah pembahagian bantu yang sama Г(Г2), titik keterlihatan C dan D garis persilangan relatif kepada satah P1 ditentukan. Tidak dinasihatkan untuk menggunakan satah pembahagian tambahan untuk membina titik tambahan garis persilangan, memandangkan satah selari dengan Ф, akan bersilang kedua-dua permukaan sepanjang hiperbola, dan satah selari dengan Г akan memberi pada persilangan permukaan bulatan dan hiperbola.Pembantu mengunjurkan secara mendatar atau hadapan satah yang dilukis melalui bucu salah satu permukaan akan bersilang di sepanjang penjana dan elips. Dalam contoh ini, keadaan yang membenarkan penggunaan sfera bantu untuk membina titik garis persilangan. Paksi permukaan revolusi bersilang pada titik O (O1; O2), iaitu pusat sfera tambahan, jejari sfera berbeza dalam Rmin< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Sfera perantaraan jejari R memotong permukaan sepanjang bulatan h4 dan h5, di persilangannya ialah titik Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Menyambung unjuran titik yang dibina dengan nama yang sama, dengan mengambil kira keterlihatan mereka, kami memperoleh unjuran garis persilangan permukaan.

No 14. pembinaan garis persilangan permukaan, jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya mengunjur. Titik ciri garis persimpangan.

Sebelum meneruskan pembinaan garis persimpangan permukaan, adalah perlu untuk mengkaji dengan teliti keadaan masalah, i.e. yang permukaan bersilang. Jika salah satu permukaan mengunjurkan, maka penyelesaian masalah dipermudahkan, kerana pada salah satu unjuran, garis persimpangan bertepatan dengan unjuran permukaan. Dan tugas itu dikurangkan untuk mencari garis unjuran kedua. Apabila menyelesaikan masalah, pertama sekali harus diperhatikan mata "ciri" atau "istimewa". Ia:

Titik pada penjana melampau

Titik yang membahagikan garisan kepada bahagian yang kelihatan dan tidak kelihatan

· Titik atas dan bawah, dsb. Seterusnya, adalah munasabah untuk memilih kaedah yang akan kita gunakan semasa membina garis persilangan permukaan. Kami akan menggunakan dua kaedah: 1. pesawat pemotong tambahan. 2. sfera secan tambahan. Permukaan unjuran termasuk: 1) silinder, jika paksinya berserenjang dengan satah unjuran; 2) prisma, jika tepi prisma itu berserenjang dengan satah unjuran. Permukaan unjuran diunjurkan dalam satu garisan ke atas satah unjuran. Semua titik dan garis kepunyaan permukaan sisi silinder unjuran atau prisma unjuran diunjurkan ke dalam garisan pada satah yang paksi silinder atau tepi prisma itu berserenjang. Garis persilangan permukaan kepunyaan kedua-dua permukaan pada masa yang sama, dan jika salah satu permukaan ini mengunjur, maka peraturan berikut boleh digunakan untuk membina garis persimpangan: jika salah satu permukaan bersilang mengunjur, maka satu unjuran garis persilangan adalah dalam lukisan dalam bentuk siap dan bertepatan dengan unjuran permukaan unjuran (bulatan di mana silinder ditayangkan atau poligon di mana prisma ditayangkan). Unjuran kedua garis persilangan dibina berdasarkan syarat titik garisan ini tergolong dalam permukaan bukan unjuran yang lain.

Ciri-ciri titik ciri yang dipertimbangkan memudahkan untuk memeriksa ketepatan pembinaan garis persimpangan permukaan, jika ia dibina di atas titik yang dipilih secara sewenang-wenangnya. Dalam kes ini, sepuluh mata sudah cukup untuk membuat unjuran lancar garis persimpangan. Jika perlu, sebarang bilangan titik perantaraan boleh dibina. Titik yang dibina disambungkan dengan garis licin, dengan mengambil kira keunikan kedudukan dan penglihatan mereka. Mari kita rumuskan peraturan am untuk membina garis persilangan permukaan: pilih jenis permukaan tambahan; membina garisan persilangan permukaan tambahan dengan permukaan yang diberikan; cari titik persilangan garisan yang dibina dan sambungkannya bersama. Satah pemotongan tambahan dipilih sedemikian rupa sehingga garisan mudah geometri (garisan lurus atau bulatan) diperoleh di persimpangan dengan permukaan yang diberikan. Pilih pesawat pemotong tambahan. Selalunya, satah unjuran, khususnya satah aras, dipilih sebagai satah pemotong tambahan. Dalam kes ini, perlu mengambil kira garis persimpangan yang diperoleh di permukaan akibat persimpangan permukaan dengan satah. Jadi kon adalah permukaan yang paling kompleks dari segi bilangan garisan yang diperolehi di atasnya. Hanya satah yang melalui bahagian atas kon atau berserenjang dengan paksi kon yang memotongnya, masing-masing, dalam garis lurus dan bulatan (garisan paling mudah secara geometri). Satah yang melalui selari dengan satu generatriks memotongnya di sepanjang parabola, satah yang selari dengan paksi kon memotongnya di sepanjang hiperbola, dan satah yang bersilang dengan semua penjana dan condong ke paksi kon memotongnya di sepanjang elips. Pada sfera, apabila ia dilintasi oleh satah, bulatan sentiasa diperolehi, dan jika ia dilintasi oleh satah aras, maka bulatan ini diunjurkan ke satah unjuran, masing-masing, ke dalam garis lurus dan bulatan. Jadi, sebagai satah tambahan, kita memilih satah aras mendatar yang bersilang kedua-dua kon dan sfera dalam bulatan (garisan paling mudah). Beberapa Kes Khas Permukaan Bersilang Dalam sesetengah kes, nisbah lokasi, bentuk atau saiz permukaan melengkung adalah sedemikian rupa sehingga tiada pembinaan kompleks diperlukan untuk menggambarkan garis persimpangan mereka. Ini termasuk persilangan silinder dengan penjana selari, kon dengan bucu sepunya, permukaan sepaksi revolusi, permukaan revolusi yang dihadkan mengelilingi satu sfera.

nasi. 3.15

nasi. 3.16

Rajah 3.17

nasi. 3.18 Apabila bulatan berputar mengelilingi paksi yang terletak pada satah bulatan ini, tetapi tidak melalui pusatnya, permukaan terbentuk, dipanggil torus (Rajah 3.19).

nasi. 3.19

11.MASALAH KEDUDUKAN.MILIKI SATU TITIK DAN GARIS KEPADA PERMUKAAN.TEOREM MONGE. Di bawah kedudukan tugasan dimaksudkan, penyelesaian yang membolehkan anda mendapatkan jawapan tentang kepunyaan elemen (titik) atau subset (garis) kepada set (permukaan). Tugas kedudukan juga termasuk tugas untuk menentukan elemen sepunya yang dimiliki oleh pelbagai bentuk geometri. Kumpulan tugasan pertama boleh dikumpulkan di bawah nama umum tugas untuk pemilikan. Ini, khususnya, termasuk tugas untuk menentukan: 1) kepunyaan titik garis; 2) kepunyaan titik pada permukaan; 3) kepunyaan garis permukaan. Kumpulan kedua termasuk tugas untuk persilangan. Kumpulan ini juga mengandungi tiga jenis tugas: 1) untuk persilangan garis dengan garis; 2) untuk persilangan permukaan dengan permukaan; 3) untuk persilangan garis dengan permukaan. Pemilikan titik permukaan . Kedudukan utama dalam menyelesaikan masalah bagi varian keahlian ini adalah seperti berikut : titik kepunyaan permukaan jika ia tergolong dalam mana-mana garis permukaan itu. Dalam kes ini, garisan harus dipilih semudah mungkin untuk memudahkan untuk membina unjuran garis sedemikian, kemudian gunakan fakta bahawa unjuran titik yang terletak di permukaan mestilah tergolong dalam unjuran garisan. permukaan ini dengan nama yang sama . Contoh penyelesaian kepada masalah ini ditunjukkan dalam rajah.. Terdapat dua penyelesaian di sini, kerana dua garis termudah boleh dilukis yang tergolong dalam permukaan kon. Dalam kes pertama, garis lurus dilukis - generatriks permukaan kon S1 supaya ia melalui mana-mana unjuran titik C. Oleh itu, kita menganggap bahawa titik C tergolong dalam generatrik S1 permukaan kon, dan oleh itu permukaan kon itu sendiri. Dalam kes ini, unjuran dengan nama yang sama bagi titik C mesti terletak pada unjuran yang sepadan bagi generatrik ini. Satu lagi garisan mudah ialah bulatan dengan diameter 1-2 (jejari bulatan ini diukur dari paksi kon kepada generatrik garis besar). Fakta ini diketahui dari kursus geometri sekolah: apabila kon bulat bersilang dengan satah selari dengan tapaknya, atau berserenjang dengan paksinya, bulatan akan diperoleh dalam bahagian. Kaedah penyelesaian kedua membolehkan anda mencari unjuran titik C yang hilang, diberikan oleh unjuran hadapannya, kepunyaan permukaan kon dan bertepatan dalam lukisan dengan paksi putaran kon, tanpa membina unjuran ketiga. Anda harus sentiasa mengingati sama ada titik yang terletak pada permukaan kon itu kelihatan atau tidak kelihatan (jika ia tidak kelihatan, unjuran titik yang sepadan akan disertakan dalam kurungan). Jelas sekali, dalam masalah kami, titik C tergolong dalam permukaan, kerana unjuran titik tergolong dalam unjuran yang dinamakan sama bagi garis yang digunakan untuk menyelesaikan kedua-dua kaedah penyelesaian pertama dan kedua. Pemilikan garisan sesuatu permukaan. Kedudukan asas: garis kepunyaan permukaan jika semua titik garisan kepunyaan permukaan yang diberikan. Ini bermakna dalam kes kepunyaan ini, masalah kepunyaan sesuatu titik di permukaan mesti diselesaikan beberapa kali. Torema Monge: jika dua permukaan susunan kedua diterangkan berhampiran yang ketiga atau tertulis di dalamnya, maka garis persilangan mereka berpecah kepada dua lengkung urutan kedua, satah yang melalui garis lurus yang menghubungkan titik persilangan bulatan tangen.

12. BAHAGIAN-BAHAGIAN KON GILIRAN MENGIKUT SATAH Unjuran.Apabila melintasi permukaan badan dengan mengunjurkan satah, satu unjuran bahagian bertepatan dengan unjuran satah mengunjur. Sebuah kon boleh mempunyai lima bentuk berbeza dalam keratan rentas. Segi tiga- jika satah pemotong memotong kon melalui bucu di sepanjang dua penjana. Bulatan- jika satah bersilang dengan kon selari dengan tapak (berserenjang dengan paksi). Ellipse- jika satah memotong semua penjana pada sudut tertentu. Parabola- jika satah selari dengan salah satu penjana kon. hiperbola- jika satah selari dengan paksi atau dua penjana kon. Bahagian permukaan oleh satah ialah rajah rata yang dibatasi oleh garis tertutup, semua titiknya tergolong dalam kedua-dua satah sekan dan permukaan. Apabila satah memotong polihedron dalam bahagian, poligon diperoleh dengan bucu yang terletak di tepi polihedron. Contoh. Bina unjuran garis persilangan L permukaan kon bulat tegak ω oleh satah β. Penyelesaian. Dalam bahagian itu, parabola diperoleh, yang puncaknya diunjurkan ke titik A (A′, A′′). Titik A, D, E garis persilangan adalah melampau. Pada rajah. pembinaan garis persilangan yang diingini telah dijalankan menggunakan satah aras mendatar αi, yang bersilang dengan permukaan kon ω sepanjang selari рi, dan satah β - sepanjang segmen garis lurus yang mengunjurkan ke hadapan. Garis persilangan L kelihatan sepenuhnya pada satah.

No. 13. Permukaan sepaksi. Kaedah sfera sepusat.

No 14. pembinaan garis persilangan permukaan, jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya mengunjur. Titik ciri garis persimpangan.

Titik pada penjana melampau

Titik yang membahagikan garisan kepada bahagian yang kelihatan dan tidak kelihatan

Permukaan revolusi dan badan yang dihadkan olehnya digunakan secara meluas dalam banyak bidang teknologi: belon tiub sinar katod (Rajah 8.11, a), tengah mesin pelarik (Gamb. 8.11, b) resonator gelombang mikro volumetrik bagi ayunan elektromagnet (Rajah 8.11, dalam), Kapal Dewar untuk menyimpan udara cecair (Rajah 8.11, G), pengumpul elektron peranti sinar katod yang berkuasa (Rajah 8.11, e), dsb.

Bergantung pada jenis generatriks permukaan, putaran boleh diperintah, tidak linear, atau terdiri daripada bahagian permukaan tersebut.

Permukaan revolusi ialah permukaan yang terhasil daripada putaran generatriks mengelilingi garis lurus tetap - paksi permukaan.

Dalam lukisan, paksi diwakili oleh garis putus-putus. Generatrix biasanya boleh mempunyai kedua-dua bahagian melengkung dan lurus. Permukaan revolusi dalam lukisan boleh ditentukan oleh generatrik dan kedudukan paksi. Rajah 8.12 menunjukkan permukaan revolusi, yang dibentuk oleh putaran generatrik AlCD (unjuran hadapannya a"b"c"d") di sekeliling paksi OO 1 (unjuran hadapan o"o 1" , berserenjang dengan satah N. Semasa putaran, setiap titik generatrix menerangkan bulatan, satahnya berserenjang dengan paksi. Sehubungan itu, garis persilangan permukaan revolusi oleh mana-mana satah berserenjang dengan paksi ialah bulatan. Bulatan sedemikian dipanggil selari. Pandangan atas (Rajah 8.12) menunjukkan unjuran bulatan yang diterangkan mengikut titik A, B, C dan D, melalui unjuran a, b, c, d. Selari terbesar daripada dua selari yang bersebelahan dengannya di kedua-dua belahnya dipanggil khatulistiwa, begitu juga yang terkecil tekak.

Satah yang melalui paksi permukaan revolusi dipanggil meridional garis persilangannya dengan permukaan revolusi - meridian. Jika paksi permukaan selari dengan satah unjuran, maka meridian yang terletak pada satah selari dengan satah unjuran ini dipanggilmeridian utama.Meridian utama diunjurkan ke satah unjuran ini tanpa herotan. Jadi, jika paksi permukaan revolusi selari dengan satah V, kemudian meridian perdana diunjurkan ke atas satah V tanpa herotan, cth unjuran a"f"b"c"d". Jika paksi permukaan revolusi berserenjang dengan satah H, maka unjuran permukaan mendatar mempunyai garis besar dalam bentuk bulatan.

Yang paling mudah untuk melakukan imej permukaan revolusi ialah kes apabila paksinya berserenjang dengan satah. H, ke satah V atau ke satah W.

Beberapa permukaan revolusiadalah kes khas permukaan yang dipertimbangkan dalam 8.1, sebagai contoh, silinder revolusi, kon revolusi. Untuk silinder dan kon revolusi, meridian ialah garis lurus. Ia selari dengan paksi dan jaraknya sama daripadanya untuk silinder atau bersilang paksi pada titik yang sama pada sudut yang sama dengan paksi untuk kon. Silinder dan kon revolusi ialah permukaan yang tidak terhingga ke arah penjananya; oleh itu, dalam imej ia dihadkan oleh beberapa garis, contohnya, oleh garis persilangan permukaan ini dengan satah unjuran atau oleh mana-mana selari. Dari geometri pepejal diketahui bahawa silinder bulat tegak dan kon bulat tegak dibatasi oleh permukaan revolusi dan satah berserenjang dengan paksi permukaan. Meridian bagi silinder sedemikian ialah segi empat tepat, meridian kon ialah segi tiga.

Permukaan revolusi seperti sfera adalah terhad dan boleh ditunjukkan sepenuhnya dalam lukisan. Khatulistiwa dan meridian sfera adalah bulatan yang sama. Dengan unjuran ortogon pada ketiga-tiga satah unjuran, garis besar sfera diunjurkan ke dalam bulatan.

Thor. Apabila bulatan (atau lengkoknya) berputar mengelilingi paksi yang terletak pada satah bulatan ini, tetapi tidak melalui pusatnya, permukaan yang dipanggil torus diperolehi. Rajah 8.13 menunjukkan: torus terbuka, atau cincin bulat, - Rajah 8.13, a, torus tertutup - angka 8.13, b, torus bersilang sendiri - rajah 8.13, c, Tor (Gamb. 8.13, d) juga dipanggil lemon. Dalam Rajah 8.13 ia ditunjukkan dalam kedudukan di mana paksi torus adalah berserenjang dengan satah unjuran. N. Sfera boleh ditulis dalam tori terbuka dan tertutup. Torus boleh dilihat sebagai permukaan yang menyelubungi sfera yang sama yang pusatnya berada pada bulatan.

Dalam pembinaan pada lukisan, dua sistem bahagian bulat torus digunakan secara meluas: dalam satah berserenjang dengan paksinya, dan dalam satah yang melalui paksi torus. Pada masa yang sama, di flat

Dalam arah yang berserenjang dengan paksi torus, pada gilirannya, terdapat dua keluarga bulatan - garis persilangan satah dengan permukaan luar torus dan garis persilangan satah dengan permukaan dalaman torus. torus berbentuk limau (Rajah 8.13, d) hanya mempunyai keluarga bulatan pertama.

Selain itu, torus juga mempunyai sistem ketiga bahagian bulat, yang terletak pada satah yang melalui pusat torus dan tangen ke permukaan dalamannya. Rajah 8.14 menunjukkan bahagian bulat dengan pusat o 1r dan o 2r pada satah unjuran tambahan R, dibentuk oleh satah unjuran hadapan Q(Qv), melalui pusat torus dengan unjuran oh" oh dan tangen pada permukaan dalam torus pada titik dengan unjuran 1", 1, 2" 2. Unjuran titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10menjadikan lukisan lebih mudah dibaca. Diameter d daripada bahagian bulat ini adalah sama dengan panjang paksi utama elips di mana bahagian bulat diunjurkan pada satah unjuran mendatar: d = 2R.

Titik pada permukaan revolusi.Kedudukan titik pada permukaan revolusi ditentukan oleh kepunyaan titik ke garis bingkai permukaan, iaitu, dengan bantuan bulatan yang melalui titik ini pada permukaan revolusi. Dalam kes permukaan yang diperintah, penjana rectilinear juga boleh digunakan untuk tujuan ini.

Penggunaan generatriks selari dan rectilinear untuk membina unjuran titik kepunyaan permukaan revolusi tertentu ditunjukkan dalam Rajah 8.12. Sekiranya

diberi unjuran t", kemudian lakukan unjuran hadapan f"f1" selari dan kemudian jejari R lukis bulatan - unjuran mendatar selari - dan cari unjuran padanya t. Jika unjuran mendatar diberikan t, maka adalah perlu untuk melukis jejari R=om bulatan, bina f "pada titik f" dan lukis f"f1"- unjuran hadapan selari - dan tandakan titik di atasnya dalam sambungan unjuran t". Jika diberi unjuran P" pada bahagian diperintah (kon) permukaan revolusi, maka unjuran hadapan dijalankan d"s" sketsa generatrix dan melalui unjuran n "- unjuran hadapan s "kepada" generatrik pada permukaan kon. Kemudian dalam paparan pelan sk generatrix ini membina unjuran n. Jika unjuran mendatar n diberikan, maka unjuran mendatar hendaklah dilukis melaluinya sk generatrix, mengikut unjuran k" dan s" (pembinaannya telah dibincangkan di atas) membina unjuran hadapan s"ke" dan di atasnya dalam sambungan unjuran tandakan unjuran n "

Rajah 8.15 menunjukkan pembinaan unjuran titik KEPADA, kepunyaan permukaan torus. Perlu diingatkan bahawa pembinaan dibuat untuk unjuran mendatar yang boleh dilihat kepada dan unjuran hadapan kepada".

Rajah 8.16 menunjukkan binaan mengikut unjuran hadapan yang diberikan t" titik pada permukaan sfera mengufuknya t dan profil t" unjuran. Unjuran t dibina menggunakan bulatan - selari melalui unjuran m". Jejarinya ialah o-1. Unjuran m "" dibina menggunakan bulatan, satahnya selari dengan satah profil unjuran yang melalui unjuran t". Jejarinya adalah lebih kurang "2".

Pembinaan unjuran garisan pada permukaan revolusi juga boleh dilakukan dengan menggunakan bulatan - selari yang melalui titik kepunyaan garis ini.

Rajah 8.17 menunjukkan binaan unjuran mengufuk a garisan yang ditakrifkan oleh unjuran hadapan a "b" pada permukaan revolusi, yang terdiri daripada bahagian permukaan sfera, torus, kon. Untuk lukisan unjuran mendatar garisan yang lebih tepat, kami meneruskan unjuran hadapannya ke atas dan ke bawah dan menandakan unjuran 6" dan 5" titik melampau. Unjuran mendatar 6, 1, 3, 4, 5 dibina dengan talian komunikasi. Unjuran b, 2, 7, 8, dan dibina menggunakan selari yang unjuran hadapannya melalui unjuran b"2", 7", 8", a" titik-titik ini. Bilangan dan lokasi titik perantaraan dipilih berdasarkan bentuk garisan dan ketepatan pembinaan yang diperlukan. Unjuran mendatar garisan terdiri daripada bahagian: b-1 - bahagian elips,

Permukaan revolusi - permukaan yang dibentuk oleh putaran generatrik sewenang-wenang di sekeliling paksi tetap (Rajah 51, a). Permukaan panduan revolusi ialah bulatan pemalar (silinder) atau jejari berubah (kon, sfera). Normal - berserenjang dengan paksi bahagian putaran mana-mana permukaan revolusi, adalah bulatan berpusat pada paksinya.

nasi. 51. Permukaan revolusi: a - garisan utama pada permukaan revolusi; b - perwakilan permukaan revolusi dalam bentuk rangkaian

Panduan juga dipanggil permukaan selari revolusi. Satah selari adalah berserenjang dengan paksi permukaan. Yang terbesar dari selari dipanggil khatulistiwa permukaan, yang terkecil dipanggil tekak. Satah yang melalui paksi permukaan revolusi dipanggil meridional, dan garis di mana ia bersilang dengan permukaan dipanggil meridian. Permukaan revolusi boleh diwakili oleh selari atau meridian permukaan, serta rangkaian yang terdiri daripada selari dan meridian (Rajah 51, b).

Permukaan revolusi dipanggil tertutup jika bahagian meridional permukaan ialah garis lengkung tertutup yang bersilang dengan paksi permukaan pada dua titik.

Apabila satah atau lengkung algebra spatial bagi tertib ke-n berputar mengelilingi paksi, permukaan algebra revolusi terbentuk, dalam kes umum, tertib ke-2. Jika lengkung tertib kedua berputar mengelilingi paksinya, maka ia membentuk permukaan tertib kedua.

Bergantung pada jenis generatrix, terdapat:

Permukaan torus – permukaan yang dibentuk oleh putaran bulatan atau lengkok bulatan:

nasi. 52. Permukaan torus: a - sfera; b ialah torus terbuka (cincin); c ialah torus tertutup; d - globoid

Sfera dibentuk dengan memutarkan bulatan mengelilingi paksi yang melalui pusatnya (Rajah 52, a).
Thor dibentuk dengan memutarkan bulatan mengelilingi paksi yang terletak pada satah bulatan ini dan tidak melalui pusatnya (torus ialah permukaan urutan keempat). Membezakan buka torus, dibentuk oleh putaran bulatan mengelilingi paksi yang tidak bersilang dengan generatrik (Rajah 52, b) dan torus tertutup, dibentuk oleh putaran bulatan mengelilingi paksi yang bersilang dengan bulatan penjanaan atau menyentuhnya (Rajah 52, c).
Globoid dibentuk dengan memutarkan bulatan jejari yang cukup besar mengelilingi paksi yang tidak bersilang dengan generatriks (Rajah 52, d).

Ellipsoid putaran terbentuk dengan memutarkan elips di sekeliling paksinya. Jika paksi utama elips diambil sebagai paksi putaran, ellipsoid revolusi dipanggil prolat (Rajah 53. a), jika yang kecil dimampatkan atau sferoid (Rajah 53, b). Glob, sebagai contoh, mempunyai bentuk yang hampir dengan sferoid

nasi. 53. Permukaan revolusi: a - elipsoid prolat; b – sferoid

Paraboloid revolusi dibentuk oleh putaran parabola di sekeliling paksinya (Rajah 54). Paraboloid revolusi digunakan sebagai permukaan reflektif dalam lampu carian dan lampu kereta untuk menghasilkan pancaran cahaya selari.

nasi. 54. Paraboloid revolusi

Hiperboloid revolusi dibentuk oleh putaran hiperbola. Membezakan hiperboloid satu helaian(Rajah 55, a), dibentuk oleh putaran hiperbola di sekeliling paksi khayalannya, dan hiperboloid dua helaian(Rajah 55, b), dibentuk oleh putaran hiperbola di sekeliling paksi sebenarnya.