Digit berulang dalam perpuluhan tak terhingga. Pecahan berkala tak terhingga

Hakikat bahawa banyak punca kuasa dua adalah nombor tidak rasional, tidak mengurangkan kepentingannya, khususnya, nombor $\sqrt2$ sangat kerap digunakan dalam pelbagai pengiraan kejuruteraan dan saintifik. Nombor ini boleh dikira dengan ketepatan yang diperlukan dalam setiap kes tertentu. Anda boleh mendapatkan nombor ini dengan seberapa banyak tempat perpuluhan yang anda mempunyai kesabaran.

Contohnya, nombor $\sqrt2$ boleh ditentukan hingga enam tempat perpuluhan: $\sqrt2=1.414214$. Nilai ini tidak jauh berbeza daripada nilai sebenar, kerana $1.414214 \kali 1.414214=2.000001237796$. Jawapan ini berbeza daripada 2 dengan hanya lebih satu juta. Oleh itu, nilai $\sqrt2$, bersamaan dengan $1.414214$, dianggap agak boleh diterima untuk menyelesaikan kebanyakan masalah praktikal. Dalam kes apabila ketepatan yang lebih besar diperlukan, tidak sukar untuk mendapatkan seberapa banyak digit bererti selepas titik perpuluhan yang diperlukan dalam kes ini.

Walau bagaimanapun, jika anda menunjukkan kedegilan yang jarang berlaku dan cuba mengekstrak Punca kuasa dua daripada nombor $\sqrt2$ sehingga anda mencapai hasil yang tepat, anda tidak akan menyelesaikan kerja anda. Ia adalah satu proses yang tidak berkesudahan. Tidak kira berapa banyak tempat perpuluhan yang anda dapat, akan sentiasa ada beberapa lagi.

Fakta ini boleh memukau anda sama seperti menukar $\frac13$ menjadi perpuluhan tak terhingga $0.333333333…$ dan seterusnya secara tak terhingga atau menukar $\frac17$ menjadi $0.142857142857142857…$ dan seterusnya tanpa terhingga. Pada pandangan pertama, nampaknya punca kuasa dua tak terhingga dan tidak rasional ini adalah fenomena tertib yang sama, tetapi ini tidak sama sekali. Lagipun, pecahan tak terhingga ini mempunyai setara pecahan, manakala $\sqrt2$ tidak mempunyai setara seperti itu. Dan kenapa, betul-betul? Hakikatnya ialah persamaan perpuluhan $\frac13$ dan $\frac17$, serta nombor tak terhingga pecahan lain, adalah pecahan tak terhingga berkala.

Pada masa yang sama, perpuluhan bersamaan $\sqrt2$ ialah pecahan bukan berkala. Pernyataan ini juga benar untuk sebarang nombor tak rasional.

Masalahnya ialah mana-mana perpuluhan yang merupakan penghampiran punca kuasa dua bagi 2 ialah pecahan bukan berkala. Tidak kira sejauh mana kita maju dalam pengiraan, mana-mana pecahan yang kita dapat akan menjadi tidak berkala.

Bayangkan pecahan dengan sejumlah besar digit bukan berkala selepas titik perpuluhan. Jika tiba-tiba selepas digit kejuta seluruh jujukan tempat perpuluhan diulang, maka perpuluhan- berkala dan untuknya terdapat persamaan dalam bentuk nisbah integer. Jika pecahan dengan nombor besar (berbilion atau berjuta-juta) tempat perpuluhan tidak berkala pada satu ketika mempunyai siri digit berulang yang tidak berkesudahan, contohnya $…55555555555…$, ini juga bermakna bahawa pecahan ini adalah berkala dan terdapat setara. untuknya dalam bentuk nisbah nombor integer.

Walau bagaimanapun, dalam kes persamaan perpuluhan mereka sepenuhnya tidak berkala dan tidak boleh menjadi berkala.

Sudah tentu, anda boleh bertanya soalan berikut: "Dan siapa yang boleh mengetahui dan mengatakan dengan pasti apa yang berlaku kepada pecahan, katakan, selepas tanda trilion? Siapa yang boleh menjamin bahawa pecahan itu tidak akan menjadi berkala? Terdapat cara untuk membuktikan secara tidak dapat dinafikan bahawa nombor tidak rasional adalah tidak berkala, tetapi bukti sedemikian memerlukan radas matematik yang kompleks. Tetapi jika tiba-tiba ternyata nombor tidak rasional menjadi pecahan berkala, ini bermakna keruntuhan sepenuhnya asas sains matematik. Dan sebenarnya, ini hampir tidak mungkin. Ini bukan sahaja untuk anda melemparkan buku jari dari sisi ke sisi, terdapat teori matematik yang kompleks di sini.

Artikel ini adalah mengenai perpuluhan. Di sini kita akan berurusan dengan tatatanda perpuluhan nombor pecahan, memperkenalkan konsep pecahan perpuluhan dan memberi contoh pecahan perpuluhan. Seterusnya, mari kita bercakap tentang digit pecahan perpuluhan, berikan nama digit. Selepas itu, kita akan fokus pada pecahan perpuluhan tak terhingga, katakan tentang pecahan berkala dan bukan berkala. Seterusnya, kami menyenaraikan tindakan utama dengan pecahan perpuluhan. Kesimpulannya, kita tentukan kedudukan pecahan perpuluhan pada sinar koordinat.

Navigasi halaman.

Tatatanda perpuluhan bagi nombor pecahan

Membaca perpuluhan

Katakan beberapa perkataan tentang peraturan membaca pecahan perpuluhan.

Pecahan perpuluhan, yang sepadan dengan pecahan biasa yang betul, dibaca dengan cara yang sama seperti pecahan biasa ini, hanya "sifar keseluruhan" ditambah terlebih dahulu. Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 0.12 sepadan dengan pecahan biasa 12/100 (ia berbunyi "dua belas perseratus"), oleh itu, 0.12 dibaca sebagai "sifar mata dua belas perseratus".

Pecahan perpuluhan, yang sepadan dengan nombor bercampur, dibaca dengan cara yang sama seperti nombor bercampur ini. Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 56.002 sepadan dengan nombor bercampur, oleh itu, pecahan perpuluhan 56.002 dibaca sebagai "lima puluh enam mata dua perseribu."

Tempat dalam perpuluhan

Dalam tatatanda pecahan perpuluhan, serta dalam tatatanda nombor asli, nilai setiap digit bergantung pada kedudukannya. Sesungguhnya, nombor 3 dalam perpuluhan 0.3 bermakna tiga persepuluh, dalam perpuluhan 0.0003 - tiga persepuluh perseribu, dan dalam perpuluhan 30,000.152 - tiga puluh ribu. Oleh itu, kita boleh bercakap tentang digit dalam perpuluhan, serta tentang digit dalam nombor asli.

Nama digit dalam pecahan perpuluhan hingga titik perpuluhan bertepatan sepenuhnya dengan nama digit dalam nombor asli. Dan nama digit dalam pecahan perpuluhan selepas titik perpuluhan boleh dilihat dari jadual berikut.

Sebagai contoh, dalam pecahan perpuluhan 37.051, nombor 3 berada di tempat sepuluh, 7 di tempat unit, 0 di tempat kesepuluh, 5 di tempat keseratus, 1 di tempat ke seribu.

Digit dalam pecahan perpuluhan juga berbeza dalam kekananan. Jika kita bergerak dari digit ke digit dari kiri ke kanan dalam tatatanda perpuluhan, maka kita akan beralih dari senior kepada pangkat junior. Contohnya, digit ratusan lebih tua daripada digit persepuluh, dan digit persejuta lebih muda daripada digit perseratus. Dalam pecahan perpuluhan akhir ini, kita boleh bercakap tentang digit yang paling ketara dan paling kecil. Sebagai contoh, dalam perpuluhan 604.9387 senior (tertinggi) digit ialah digit ratusan, dan junior (paling rendah)- tempat kesepuluh ribu.

Untuk pecahan perpuluhan, pengembangan kepada digit berlaku. Ia adalah sama dengan pengembangan dalam digit nombor asli. Sebagai contoh, pengembangan perpuluhan bagi 45.6072 ialah: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . Dan sifat penambahan daripada pengembangan pecahan perpuluhan kepada digit membolehkan anda pergi ke perwakilan lain bagi pecahan perpuluhan ini, contohnya, 45.6072=45+0.6072 , atau 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , atau 45.6072= 45.0607= 45.0607 .

Tamatkan perpuluhan

Setakat ini, kita hanya bercakap tentang pecahan perpuluhan, dalam rekodnya terdapat bilangan digit terhingga selepas titik perpuluhan. Pecahan sedemikian dipanggil pecahan perpuluhan akhir.

Definisi.

Tamatkan perpuluhan- Ini adalah pecahan perpuluhan, yang rekodnya mengandungi bilangan aksara (digit) terhingga.

Berikut ialah beberapa contoh perpuluhan akhir: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Walau bagaimanapun, bukan setiap pecahan biasa boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan terhingga. Sebagai contoh, pecahan 5/13 tidak boleh digantikan dengan pecahan yang sama dengan salah satu penyebut 10, 100, ..., oleh itu, ia tidak boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan akhir. Kita akan bercakap lebih lanjut mengenai perkara ini dalam bahagian teori untuk menukar pecahan biasa kepada pecahan perpuluhan.

Perpuluhan tak terhingga: pecahan berkala dan pecahan bukan berkala

Dalam menulis pecahan perpuluhan selepas titik perpuluhan, anda boleh membenarkan kemungkinan bilangan digit yang tidak terhingga. Dalam kes ini, kita akan datang kepada pertimbangan pecahan perpuluhan tak terhingga yang dipanggil.

Definisi.

Perpuluhan yang tidak berkesudahan- Ini adalah pecahan perpuluhan, dalam rekodnya terdapat bilangan digit yang tidak terhingga.

Adalah jelas bahawa kita tidak boleh menulis pecahan perpuluhan tak terhingga sepenuhnya, oleh itu, dalam rakamannya, mereka dihadkan kepada hanya nombor terhingga digit tertentu selepas titik perpuluhan dan meletakkan elipsis yang menunjukkan jujukan digit yang berterusan tanpa had. Berikut ialah beberapa contoh pecahan perpuluhan tak terhingga: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Jika anda melihat dengan teliti pada dua pecahan perpuluhan tidak berkesudahan yang terakhir, maka dalam pecahan 2.111111111 ... nombor 1 yang berulang tanpa had kelihatan jelas, dan dalam pecahan 69.74152152152 ..., bermula dari tempat perpuluhan ketiga, kumpulan nombor berulang 1, 5 dan 2 jelas kelihatan. Pecahan perpuluhan tak terhingga tersebut dipanggil berkala.

Definisi.

Perpuluhan berkala(atau hanya pecahan berkala) ialah pecahan perpuluhan tak terhingga, dalam rekodnya, bermula dari tempat perpuluhan tertentu, beberapa digit atau kumpulan digit, yang dipanggil tempoh pecahan.

Sebagai contoh, tempoh pecahan berkala 2.111111111… ialah nombor 1, dan tempoh pecahan 69.74152152152… ialah kumpulan nombor seperti 152.

Untuk pecahan perpuluhan berkala tak terhingga, tatatanda khas telah diterima pakai. Untuk ringkasnya, kami bersetuju untuk menulis tempoh itu sekali, melampirkannya dalam kurungan. Sebagai contoh, pecahan berkala 2.111111111… ditulis sebagai 2,(1) , dan pecahan berkala 69.74152152152… ditulis sebagai 69.74(152) .

Perlu diingat bahawa untuk pecahan perpuluhan berkala yang sama, anda boleh menentukan tempoh yang berbeza. Sebagai contoh, perpuluhan berkala 0.73333… boleh dianggap sebagai pecahan 0.7(3) dengan tempoh 3, serta pecahan 0.7(33) dengan tempoh 33, dan seterusnya 0.7(333), 0.7 (3333). ), ... Anda juga boleh melihat pecahan berkala 0.73333 ... seperti ini: 0.733(3), atau seperti ini 0.73(333), dsb. Di sini, untuk mengelakkan kekaburan dan ketidakkonsistenan, kami bersetuju untuk menganggap sebagai tempoh pecahan perpuluhan yang paling pendek daripada semua jujukan digit berulang yang mungkin, dan bermula dari kedudukan yang paling hampir dengan titik perpuluhan. Iaitu, tempoh pecahan perpuluhan 0.73333… akan dianggap urutan satu digit 3, dan periodicity bermula dari kedudukan kedua selepas titik perpuluhan, iaitu, 0.73333…=0.7(3) . Contoh lain: pecahan berkala 4.7412121212… mempunyai tempoh 12, keberkalaan bermula dari digit ketiga selepas titik perpuluhan, iaitu, 4.7412121212…=4.74(12) .

Pecahan berkala perpuluhan tak terhingga diperoleh dengan menukar kepada pecahan perpuluhan pecahan biasa yang penyebutnya mengandungi faktor perdana selain daripada 2 dan 5.

Di sini adalah bernilai menyebut pecahan berkala dengan tempoh 9. Berikut adalah contoh pecahan tersebut: 6.43(9) , 27,(9) . Pecahan ini adalah satu lagi tatatanda untuk pecahan berkala dengan noktah 0, dan adalah kebiasaan untuk menggantikannya dengan pecahan berkala dengan noktah 0. Untuk melakukan ini, tempoh 9 digantikan dengan tempoh 0, dan nilai digit tertinggi seterusnya ditambah satu. Sebagai contoh, pecahan dengan noktah 9 dalam bentuk 7.24(9) digantikan dengan pecahan berkala dengan noktah 0 dalam bentuk 7.25(0) atau pecahan perpuluhan akhir yang sama 7.25. Contoh lain: 4,(9)=5,(0)=5 . Kesamaan pecahan dengan tempoh 9 dan pecahan sepadannya dengan tempoh 0 mudah diwujudkan selepas menggantikan pecahan perpuluhan ini dengan pecahan biasa yang sama.

Akhir sekali, mari kita lihat lebih dekat pada perpuluhan tak terhingga, yang tidak mempunyai jujukan digit berulang tak terhingga. Mereka dipanggil tidak berkala.

Definisi.

Perpuluhan tidak berulang(atau hanya pecahan bukan berkala) ialah perpuluhan tak terhingga tanpa noktah.

Kadangkala pecahan bukan berkala mempunyai bentuk yang serupa dengan pecahan berkala, contohnya, 8.02002000200002 ... ialah pecahan bukan berkala. Dalam kes ini, anda harus berhati-hati untuk melihat perbezaannya.

Ambil perhatian bahawa pecahan bukan berkala tidak ditukar kepada pecahan biasa, pecahan perpuluhan bukan berkala tak terhingga mewakili nombor tidak rasional.

Operasi dengan perpuluhan

Salah satu tindakan dengan perpuluhan ialah perbandingan, dan empat aritmetik asas juga ditakrifkan operasi dengan perpuluhan: tambah, tolak, darab dan bahagi. Pertimbangkan secara berasingan setiap tindakan dengan pecahan perpuluhan.

Perbandingan Perpuluhan pada asasnya berdasarkan perbandingan pecahan biasa yang sepadan dengan pecahan perpuluhan yang dibandingkan. Walau bagaimanapun, menukar pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa adalah satu operasi yang agak susah payah, dan pecahan tak terhingga tidak berulang tidak boleh diwakili sebagai pecahan biasa, jadi adalah mudah untuk menggunakan perbandingan bitwise bagi pecahan perpuluhan. Perbandingan bit perpuluhan adalah serupa dengan perbandingan nombor asli. Untuk mendapatkan maklumat yang lebih terperinci, kami mengesyorkan anda mengkaji perbandingan bahan artikel pecahan perpuluhan, peraturan, contoh, penyelesaian.

Mari kita teruskan ke langkah seterusnya - mendarab perpuluhan. Pendaraban pecahan perpuluhan akhir dijalankan sama seperti penolakan pecahan perpuluhan, peraturan, contoh, penyelesaian kepada pendaraban dengan lajur nombor asli. Dalam kes pecahan berkala, pendaraban boleh dikurangkan kepada pendaraban pecahan biasa. Seterusnya, pendaraban pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga selepas pembundarannya dikurangkan kepada pendaraban pecahan perpuluhan terhingga. Kami mengesyorkan kajian lanjut bahan artikel pendaraban pecahan perpuluhan, peraturan, contoh, penyelesaian.

Perpuluhan pada rasuk koordinat

Terdapat padanan satu dengan satu antara titik dan perpuluhan.

Mari kita fikirkan bagaimana titik dibina pada sinar koordinat sepadan dengan pecahan perpuluhan yang diberikan.

Kita boleh menggantikan pecahan perpuluhan terhingga dan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga dengan pecahan biasa yang sama dengannya, dan kemudian membina pecahan biasa yang sepadan pada sinar koordinat. Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 1.4 sepadan dengan pecahan biasa 14/10, oleh itu, titik dengan koordinat 1.4 dialihkan dari asalan ke arah positif sebanyak 14 segmen bersamaan dengan persepuluhan segmen tunggal.

Pecahan perpuluhan boleh ditanda pada rasuk koordinat, bermula daripada pengembangan pecahan perpuluhan ini kepada digit. Sebagai contoh, katakan kita perlu membina titik dengan koordinat 16.3007 , memandangkan 16.3007=16+0.3+0.0007 , maka kita boleh sampai ke titik ini dengan meletakkan 16 segmen unit secara berurutan dari asal koordinat, 3 segmen, panjang daripadanya bersamaan dengan persepuluh unit, dan 7 segmen, yang panjangnya sama dengan persepuluh ribu segmen unit.

Kaedah membina nombor perpuluhan pada rasuk koordinat ini membolehkan anda mendekati titik yang sepadan dengan pecahan perpuluhan tak terhingga yang anda suka.

Kadangkala adalah mungkin untuk memplot titik yang sepadan dengan perpuluhan tak terhingga dengan tepat. Sebagai contoh, , maka pecahan perpuluhan tak terhingga ini 1.41421... sepadan dengan titik sinar koordinat, jauh dari asal dengan panjang pepenjuru segi empat sama dengan sisi 1 segmen unit.

Proses terbalik untuk mendapatkan pecahan perpuluhan sepadan dengan titik tertentu pada rasuk koordinat ialah apa yang dipanggil pengukuran perpuluhan bagi suatu segmen. Mari lihat bagaimana ia dilakukan.

Biarkan tugas kita adalah untuk pergi dari titik asal ke titik tertentu pada garis koordinat (atau mendekatinya secara tak terhingga jika mustahil untuk sampai ke sana). Dengan ukuran perpuluhan segmen, kita boleh menangguhkan secara berurutan sebarang bilangan segmen unit dari asal, kemudian segmen yang panjangnya sama dengan persepuluh segmen tunggal, kemudian segmen yang panjangnya sama dengan perseratus segmen tunggal, dsb. . Dengan menuliskan bilangan segmen yang diplot bagi setiap panjang, kita mendapat pecahan perpuluhan yang sepadan dengan titik tertentu pada sinar koordinat.

Sebagai contoh, untuk sampai ke titik M dalam rajah di atas, anda perlu mengetepikan 1 segmen unit dan 4 segmen, yang panjangnya sama dengan persepuluh unit. Oleh itu, titik M sepadan dengan pecahan perpuluhan 1.4.

Adalah jelas bahawa titik rasuk koordinat, yang tidak dapat dicapai semasa pengukuran perpuluhan, sepadan dengan pecahan perpuluhan tak terhingga.

Bibliografi.

• Matematik: pengajian. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ed. ke-21, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. Darjah 6: buku teks. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Sudah di sekolah rendah, pelajar berhadapan dengan pecahan. Dan kemudian mereka muncul dalam setiap topik. Tidak mustahil untuk melupakan tindakan dengan nombor ini. Oleh itu, anda perlu mengetahui semua maklumat tentang pecahan biasa dan perpuluhan. Konsep-konsep ini mudah, perkara utama adalah memahami segala-galanya dengan teratur.

Mengapakah pecahan diperlukan?

Dunia di sekeliling kita terdiri daripada keseluruhan objek. Oleh itu, tidak perlu saham. Tetapi kehidupan seharian sentiasa mendorong orang untuk bekerja dengan bahagian objek dan benda.

Sebagai contoh, coklat terdiri daripada beberapa keping. Pertimbangkan keadaan di mana jubinnya dibentuk oleh dua belas segi empat tepat. Jika anda membahagikannya kepada dua, anda mendapat 6 bahagian. Ia akan dibahagikan dengan baik kepada tiga. Tetapi mereka berlima tidak akan dapat memberikan sebilangan besar kepingan coklat.

Dengan cara ini, kepingan ini sudah menjadi pecahan. Dan pembahagian selanjutnya mereka membawa kepada kemunculan nombor yang lebih kompleks.

Apakah "pecahan"?

Ini adalah nombor yang terdiri daripada bahagian satu. Secara luaran, ia kelihatan seperti dua nombor yang dipisahkan oleh mendatar atau garis miring. Ciri ini dipanggil pecahan. Nombor yang ditulis di atas (kiri) dipanggil pengangka. Yang di bahagian bawah (kanan) ialah penyebutnya.

Malah, bar pecahan ternyata menjadi tanda bahagi. Iaitu, pengangka boleh dipanggil dividen, dan penyebut boleh dipanggil pembahagi.

Apakah pecahan?

Dalam matematik, hanya terdapat dua jenis: pecahan biasa dan pecahan perpuluhan. Kanak-kanak sekolah berkenalan dengan yang pertama di gred rendah, memanggil mereka hanya "pecahan". Yang kedua belajar di tingkatan 5. Ketika itulah nama-nama ini muncul.

Pecahan biasa ialah semua pecahan yang ditulis sebagai dua nombor yang dipisahkan oleh bar. Contohnya, 4/7. Perpuluhan ialah nombor di mana bahagian pecahan mempunyai tatatanda kedudukan dan dipisahkan daripada integer dengan koma. Sebagai contoh, 4.7. Pelajar perlu jelas bahawa dua contoh yang diberikan adalah nombor yang sama sekali berbeza.

Setiap pecahan mudah boleh ditulis sebagai perpuluhan. Pernyataan ini hampir selalu benar secara terbalik juga. Terdapat peraturan yang membenarkan anda menulis pecahan perpuluhan sebagai pecahan biasa.

Apakah subspesies yang dimiliki oleh jenis pecahan ini?

Adalah lebih baik untuk bermula dalam susunan kronologi, kerana ia sedang dikaji. Pecahan biasa didahulukan. Antaranya, 5 subspesies boleh dibezakan.

Betul. Pengangkanya sentiasa kurang daripada penyebutnya.

salah. Pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya.

Boleh dikurangkan / tidak boleh dikurangkan. Ia boleh sama ada betul atau salah. Perkara lain yang penting, sama ada pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya. Jika ada, maka mereka sepatutnya membahagikan kedua-dua bahagian pecahan itu, iaitu mengurangkannya.

bercampur. Integer diberikan kepada bahagian pecahan biasa yang betul (salah). Dan ia sentiasa berdiri di sebelah kiri.

Komposit. Ia terbentuk daripada dua pecahan yang dibahagikan antara satu sama lain. Iaitu, ia mempunyai tiga ciri pecahan sekaligus.

Perpuluhan hanya mempunyai dua subspesies:

muktamad, iaitu bahagian yang bahagian pecahannya terhad (mempunyai penghujung);

tak terhingga - nombor yang digit selepas titik perpuluhan tidak berakhir (ia boleh ditulis tanpa henti).

Bagaimana untuk menukar perpuluhan kepada biasa?

Jika ini adalah nombor terhingga, maka persatuan berdasarkan peraturan digunakan - seperti yang saya dengar, jadi saya menulis. Iaitu, anda perlu membacanya dengan betul dan menulisnya, tetapi tanpa koma, tetapi dengan garis pecahan.

Sebagai petunjuk tentang penyebut yang diperlukan, ingat bahawa ia sentiasa satu dan beberapa sifar. Yang terakhir perlu ditulis sebanyak digit dalam bahagian pecahan nombor berkenaan.

Bagaimana untuk menukar pecahan perpuluhan kepada yang biasa jika keseluruhan bahagiannya hilang, iaitu sama dengan sifar? Contohnya, 0.9 atau 0.05. Selepas menggunakan peraturan yang ditentukan, ternyata anda perlu menulis integer sifar. Tetapi ia tidak ditunjukkan. Ia kekal untuk menulis hanya bahagian pecahan. Untuk nombor pertama, penyebutnya ialah 10, untuk yang kedua - 100. Iaitu, contoh yang ditunjukkan akan mempunyai nombor sebagai jawapan: 9/10, 5/100. Lebih-lebih lagi, yang terakhir ternyata boleh dikurangkan sebanyak 5. Oleh itu, keputusan untuknya mesti ditulis 1/20.

Bagaimana untuk membuat pecahan biasa daripada perpuluhan jika bahagian integernya berbeza daripada sifar? Sebagai contoh, 5.23 atau 13.00108. Kedua-dua contoh membaca bahagian integer dan menulis nilainya. Dalam kes pertama, ini adalah 5, dalam kedua, 13. Kemudian anda perlu beralih ke bahagian pecahan. Dengan mereka adalah perlu untuk menjalankan operasi yang sama. Nombor pertama mempunyai 23/100, yang kedua mempunyai 108/100000. Nilai kedua perlu dikurangkan lagi. Jawapannya ialah pecahan bercampur: 5 23/100 dan 13 27/25000.

Bagaimana untuk menukar perpuluhan tak terhingga kepada pecahan biasa?

Sekiranya ia tidak berkala, maka operasi sedemikian tidak boleh dijalankan. Fakta ini disebabkan oleh fakta bahawa setiap pecahan perpuluhan sentiasa ditukar kepada sama ada akhir atau berkala.

Satu-satunya perkara yang dibenarkan untuk dilakukan dengan pecahan sedemikian ialah membundarkannya. Tetapi kemudian perpuluhan akan menjadi lebih kurang sama dengan tak terhingga itu. Ia sudah boleh diubah menjadi yang biasa. Tetapi proses sebaliknya: menukar kepada perpuluhan - tidak akan memberikan nilai awal. Iaitu, pecahan tak berkala tak terhingga tidak diterjemahkan kepada pecahan biasa. Ini mesti diingat.

Bagaimana untuk menulis pecahan berkala tak terhingga dalam bentuk biasa?

Dalam nombor ini, satu atau lebih digit sentiasa muncul selepas titik perpuluhan, yang diulang. Mereka dipanggil tempoh. Contohnya, 0.3(3). Di sini "3" dalam tempoh tersebut. Ia diklasifikasikan sebagai rasional, kerana ia boleh ditukar kepada pecahan biasa.

Mereka yang telah menemui pecahan berkala tahu bahawa ia boleh menjadi tulen atau bercampur. Dalam kes pertama, noktah bermula serta-merta dari koma. Pada yang kedua, bahagian pecahan bermula dengan sebarang nombor, dan kemudian pengulangan bermula.

Peraturan yang anda perlukan untuk menulis perpuluhan tak terhingga dalam bentuk pecahan biasa akan berbeza untuk kedua-dua jenis nombor ini. Agak mudah untuk menulis pecahan berkala tulen sebagai pecahan biasa. Seperti yang terakhir, mereka perlu ditukar: tulis noktah ke dalam pengangka, dan nombor 9 akan menjadi penyebut, mengulangi seberapa banyak digit dalam tempoh itu.

Contohnya, 0,(5). Nombor itu tidak mempunyai bahagian integer, jadi anda perlu segera meneruskan ke bahagian pecahan. Tulis 5 dalam pengangka, dan tulis 9 dalam penyebutnya. Iaitu, jawapannya ialah pecahan 5/9.

Peraturan tentang cara menulis pecahan perpuluhan sepunya yang merupakan pecahan bercampur.

Tengok panjang period. Begitu banyak 9 akan mempunyai penyebut.

Tuliskan penyebut: sembilan pertama, kemudian sifar.

Untuk menentukan pengangka, anda perlu menulis perbezaan dua nombor. Semua digit selepas titik perpuluhan akan dikurangkan, bersama-sama dengan noktah. Boleh ditolak - ia tanpa noktah.

Contohnya, 0.5(8) - tulis pecahan perpuluhan berkala sebagai pecahan sepunya. Bahagian pecahan sebelum noktah ialah satu digit. Jadi sifar akan menjadi satu. Terdapat juga hanya satu digit dalam tempoh - 8. Iaitu, hanya ada satu sembilan. Iaitu, anda perlu menulis 90 dalam penyebut.

Untuk menentukan pengangka daripada 58, anda perlu menolak 5. Ternyata 53. Sebagai contoh, anda perlu menulis 53/90 sebagai jawapan.

Bagaimanakah pecahan biasa ditukar kepada perpuluhan?

Pilihan paling mudah ialah nombor yang penyebutnya ialah nombor 10, 100, dan seterusnya. Kemudian penyebutnya dibuang begitu sahaja, dan koma diletakkan di antara bahagian pecahan dan integer.

Terdapat situasi apabila penyebut mudah berubah menjadi 10, 100, dsb. Contohnya, nombor 5, 20, 25. Cukup untuk mendarabkannya dengan 2, 5 dan 4, masing-masing. Hanya perlu untuk mendarab bukan sahaja penyebut, tetapi juga pengangka dengan nombor yang sama.

Untuk semua kes lain, peraturan mudah akan berguna: bahagikan pengangka dengan penyebut. Dalam kes ini, anda mungkin mendapat dua jawapan: pecahan perpuluhan akhir atau berkala.

Operasi dengan pecahan biasa

Penambahan dan penolakan

Pelajar mengenali mereka lebih awal daripada yang lain. Dan pada mulanya pecahan mempunyai penyebut yang sama, dan kemudian berbeza. Peraturan am boleh dikurangkan kepada rancangan sedemikian.

Cari gandaan sepunya terkecil bagi penyebutnya.

Tulis faktor tambahan kepada semua pecahan biasa.

Darabkan pengangka dan penyebut dengan faktor yang ditentukan untuknya.

Tambah (tolak) pembilang pecahan, dan biarkan penyebut biasa tidak berubah.

Jika pengangka bagi minuend adalah kurang daripada subtrahend, maka anda perlu mengetahui sama ada kita mempunyai nombor bercampur atau pecahan wajar.

Dalam kes pertama, bahagian integer perlu mengambil satu. Menambah penyebut kepada pengangka suatu pecahan. Dan kemudian lakukan penolakan.

Pada yang kedua - adalah perlu untuk menggunakan peraturan penolakan dari nombor yang lebih kecil kepada yang lebih besar. Iaitu, tolak modulus minuend daripada modulus subtrahend, dan letakkan tanda "-" sebagai tindak balas.

Perhatikan dengan teliti hasil tambah (tolak). Jika anda mendapat pecahan tidak wajar, maka ia sepatutnya memilih keseluruhan bahagian. Iaitu, bahagikan pengangka dengan penyebut.

Pendaraban dan pembahagian

Untuk pelaksanaannya, pecahan tidak perlu dikurangkan kepada penyebut biasa. Ini memudahkan untuk mengambil tindakan. Tetapi mereka masih perlu mematuhi peraturan.

Apabila mendarab pecahan biasa, adalah perlu untuk mempertimbangkan nombor dalam pengangka dan penyebut. Jika mana-mana pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, maka ia boleh dikurangkan.

Darabkan pengangka.

Darabkan penyebutnya.

Jika anda mendapat pecahan boleh dikurangkan, maka ia sepatutnya dipermudahkan semula.

Apabila membahagi, anda mesti menggantikan pembahagian dengan pendaraban, dan pembahagi (pecahan kedua) dengan timbal balik (tukar pengangka dan penyebut).

Kemudian teruskan seperti dalam pendaraban (bermula dari langkah 1).

Dalam tugasan di mana anda perlu mendarab (membahagi) dengan integer, yang terakhir sepatutnya ditulis sebagai pecahan tidak wajar. Iaitu, dengan penyebut 1. Kemudian teruskan seperti yang diterangkan di atas.



Operasi dengan perpuluhan

Penambahan dan penolakan

Sudah tentu, anda sentiasa boleh menukar perpuluhan menjadi pecahan biasa. Dan bertindak mengikut rancangan yang telah diterangkan. Tetapi kadangkala lebih mudah untuk bertindak tanpa terjemahan ini. Kemudian peraturan untuk penambahan dan penolakan mereka akan sama.

Samakan bilangan digit dalam bahagian pecahan nombor, iaitu selepas titik perpuluhan. Tetapkan bilangan sifar yang hilang di dalamnya.

Tulis pecahan supaya koma berada di bawah koma.

Tambah (tolak) seperti nombor asli.

Keluarkan koma.

Pendaraban dan pembahagian

Adalah penting anda tidak perlu menambahkan sifar di sini. Pecahan sepatutnya dibiarkan seperti yang diberikan dalam contoh. Dan kemudian pergi mengikut rancangan.

Untuk pendaraban, anda perlu menulis pecahan satu di bawah yang lain, tidak memberi perhatian kepada koma.

Darab seperti nombor asli.

Letakkan koma dalam jawapan, mengira dari hujung kanan jawapan seberapa banyak digit yang terdapat dalam bahagian pecahan kedua-dua faktor.

Untuk membahagi, anda mesti menukar pembahagi terlebih dahulu: jadikannya nombor asli. Iaitu, darabkannya dengan 10, 100, dsb., bergantung pada bilangan digit dalam bahagian pecahan pembahagi.

Darabkan dividen dengan nombor yang sama.

Bahagikan perpuluhan dengan nombor asli.

Letakkan koma dalam jawapan pada masa pembahagian keseluruhan bahagian itu tamat.



Bagaimana jika terdapat kedua-dua jenis pecahan dalam satu contoh?

Ya, dalam matematik selalunya terdapat contoh di mana anda perlu melakukan operasi pada pecahan biasa dan perpuluhan. Terdapat dua penyelesaian yang mungkin untuk masalah ini. Anda perlu menimbang nombor secara objektif dan memilih yang terbaik.

Cara pertama: mewakili perpuluhan biasa

Adalah sesuai jika, apabila membahagi atau menukar, pecahan akhir diperolehi. Jika sekurang-kurangnya satu nombor memberikan bahagian berkala, maka teknik ini dilarang. Oleh itu, walaupun anda tidak suka bekerja dengan pecahan biasa, anda perlu mengiranya.

Cara kedua: tulis pecahan perpuluhan seperti biasa

Teknik ini mudah jika terdapat 1-2 digit di bahagian selepas titik perpuluhan. Jika terdapat lebih daripada mereka, pecahan biasa yang sangat besar boleh berubah dan entri perpuluhan akan membolehkan anda mengira tugas dengan lebih cepat dan lebih mudah. Oleh itu, sentiasa perlu untuk menilai tugas dengan teliti dan memilih kaedah penyelesaian yang paling mudah.

Ingat bagaimana dalam pelajaran pertama tentang pecahan perpuluhan, saya mengatakan bahawa terdapat pecahan berangka yang tidak boleh diwakili sebagai perpuluhan (lihat pelajaran " Pecahan Perpuluhan")? Kami juga mempelajari cara memfaktorkan penyebut pecahan untuk memeriksa sama ada terdapat sebarang nombor selain daripada 2 dan 5.

Jadi: Saya berbohong. Dan hari ini kita akan belajar bagaimana untuk menterjemahkan mana-mana pecahan berangka secara mutlak kepada perpuluhan. Pada masa yang sama, kita akan berkenalan dengan keseluruhan kelas pecahan dengan bahagian bererti tak terhingga.

Perpuluhan berulang ialah sebarang perpuluhan yang mempunyai:

1. Bahagian penting terdiri daripada bilangan digit yang tidak terhingga;
2. Pada selang waktu tertentu, nombor dalam bahagian penting diulang.

Set digit berulang yang membentuk bahagian penting dipanggil bahagian berkala pecahan, dan bilangan digit dalam set ini ialah tempoh pecahan. Segmen baki bahagian penting, yang tidak berulang, dipanggil bahagian tidak berkala.

Oleh kerana terdapat banyak takrifan, adalah wajar mempertimbangkan secara terperinci beberapa pecahan ini:

Pecahan ini paling kerap berlaku dalam masalah. Bahagian tidak berkala: 0; bahagian berkala: 3; panjang tempoh: 1.

Bahagian tidak berkala: 0.58; bahagian berkala: 3; panjang tempoh: sekali lagi 1.

Bahagian tidak berkala: 1; bahagian berkala: 54; panjang tempoh: 2.

Bahagian tidak berkala: 0; bahagian berkala: 641025; panjang tempoh: 6. Untuk kemudahan, bahagian yang berulang dipisahkan antara satu sama lain dengan ruang - dalam penyelesaian ini tidak perlu berbuat demikian.

Bahagian tidak berkala: 3066; bahagian berkala: 6; panjang tempoh: 1.

Seperti yang anda lihat, takrifan pecahan berkala adalah berdasarkan konsep bahagian penting bagi sesuatu nombor. Oleh itu, jika anda terlupa apa itu, saya cadangkan mengulanginya - lihat pelajaran "".

Peralihan kepada perpuluhan berkala

Pertimbangkan pecahan biasa bagi bentuk a / b . Mari kita uraikan penyebutnya kepada faktor mudah. Terdapat dua pilihan:

1. Hanya faktor 2 dan 5 yang terdapat dalam pengembangan. Pecahan ini mudah dikurangkan kepada perpuluhan - lihat pelajaran " Pecahan Perpuluhan". Kami tidak berminat seperti itu;
2. Terdapat sesuatu yang lain dalam pengembangan selain 2 dan 5. Dalam kes ini, pecahan tidak boleh diwakili sebagai perpuluhan, tetapi ia boleh dijadikan perpuluhan berkala.

Untuk menetapkan pecahan perpuluhan berkala, anda perlu mencari bahagian berkala dan bukan berkala. Bagaimana? Tukarkan pecahan kepada yang tidak wajar, dan kemudian bahagikan pengangka dengan penyebut dengan "penjuru".

Dengan berbuat demikian, perkara berikut akan berlaku:

1. Bahagikan dahulu keseluruhan bahagian jika ia wujud;
2. Mungkin terdapat beberapa nombor selepas titik perpuluhan;
3. Selepas beberapa ketika nombor akan bermula ulang.

Itu sahaja! Digit berulang selepas titik perpuluhan dilambangkan dengan bahagian berkala, dan apa yang di hadapan - tidak berkala.

Satu tugas. Tukar pecahan biasa kepada perpuluhan berkala:

Semua pecahan tanpa bahagian integer, jadi kami hanya membahagikan pengangka dengan penyebut dengan "penjuru":

Seperti yang anda lihat, sisa-sisa diulang. Mari kita tulis pecahan dalam bentuk "betul": 1.733 ... = 1.7(3).

Hasilnya ialah pecahan: 0.5833 ... = 0.58(3).

Kami menulis dalam bentuk biasa: 4.0909 ... = 4, (09).

Kami mendapat pecahan: 0.4141 ... = 0, (41).

Peralihan daripada perpuluhan berkala kepada biasa

Pertimbangkan perpuluhan berkala X = abc (a 1 b 1 c 1). Ia dikehendaki memindahkannya ke "dua tingkat" klasik. Untuk melakukan ini, ikuti empat langkah mudah:

1. Cari tempoh pecahan itu, i.e. kira berapa digit dalam bahagian berkala. Biarlah nombor k;
2. Cari nilai ungkapan X · 10 k . Ini bersamaan dengan mengalihkan titik perpuluhan tempoh penuh ke kanan - lihat pelajaran " Pendaraban dan pembahagian pecahan perpuluhan";
3. Kurangkan ungkapan asal daripada nombor yang terhasil. Dalam kes ini, bahagian berkala "terbakar", dan kekal pecahan sepunya;
4. Cari X dalam persamaan yang terhasil. Semua pecahan perpuluhan ditukar kepada biasa.

Satu tugas. Tukar kepada pecahan tak wajar biasa nombor:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Bekerja dengan pecahan pertama: X = 9,(6) = 9.666 ...

Tanda kurung mengandungi hanya satu digit, jadi tempoh k = 1. Seterusnya, kita darabkan pecahan ini dengan 10 k = 10 1 = 10. Kita ada:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Tolak pecahan asal dan selesaikan persamaan:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Sekarang mari kita berurusan dengan pecahan kedua. Jadi X = 32,(39) = 32.393939 ...

Kala k = 2, jadi kita darabkan semuanya dengan 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Tolak pecahan asal semula dan selesaikan persamaan:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Mari kita ke pecahan ketiga: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Skimnya adalah sama, jadi saya hanya akan memberikan pengiraan:

Kala k = 1 ⇒ darab semuanya dengan 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Akhirnya, pecahan terakhir: X = 0,(2475) = 0.2475 2475 ... Sekali lagi, untuk kemudahan, bahagian berkala dipisahkan antara satu sama lain dengan ruang. Kami ada:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Adalah diketahui bahawa jika penyebut P pecahan tak boleh dikurangkan dalam pengembangan kanoniknya mempunyai faktor perdana tidak sama dengan 2 dan 5, maka pecahan ini tidak boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan terhingga. Jika kita cuba dalam kes ini untuk menulis pecahan tak dapat dikurangkan asal sebagai perpuluhan, membahagikan pengangka dengan penyebut, maka proses bahagi tidak boleh berakhir, kerana dalam kes penyiapannya selepas bilangan langkah terhingga, kita akan mendapat pecahan perpuluhan terhingga dalam hasil bagi, yang bercanggah dengan teorem yang telah terbukti sebelumnya. Jadi dalam kes ini tatatanda perpuluhan untuk nombor rasional positif ialah a= diwakili sebagai pecahan tak terhingga.

Contohnya, pecahan = 0.3636... . Adalah mudah untuk melihat bahawa baki apabila membahagi 4 dengan 11 diulang secara berkala, oleh itu, tempat perpuluhan akan diulang secara berkala, i.e. Kesudahannya perpuluhan berkala tak terhingga, yang boleh ditulis sebagai 0,(36).

Mengulang nombor 3 dan 6 secara berkala membentuk titik. Ia mungkin ternyata terdapat beberapa digit antara koma dan permulaan noktah pertama. Nombor-nombor ini membentuk pra-tempoh. Sebagai contoh,

0.1931818... Proses membahagi 17 dengan 88 adalah tidak terhingga. Nombor 1, 9, 3 membentuk pra-tempoh; 1, 8 - tempoh. Contoh yang telah kami pertimbangkan mencerminkan corak, i.e. sebarang nombor rasional positif boleh diwakili oleh sama ada pecahan perpuluhan berkala terhingga atau tak terhingga.

Teorem 1. Biarkan pecahan biasa tidak boleh dikurangkan dan dalam pengembangan kanonik penyebut n terdapat faktor perdana yang berbeza daripada 2 dan 5. Kemudian pecahan biasa boleh diwakili oleh pecahan perpuluhan berkala tak terhingga.

Bukti. Kita sedia maklum bahawa proses membahagi nombor asli m kepada nombor asli n tidak akan berkesudahan. Mari kita tunjukkan bahawa ia akan berkala. Sesungguhnya, apabila membahagikan m pada n sisa akan menjadi lebih kecil n, mereka. nombor dalam bentuk 1, 2, ..., ( n- 1), yang menunjukkan bahawa bilangan sisa yang berbeza adalah terhingga dan oleh itu, bermula dari langkah tertentu, beberapa baki akan diulang, yang akan memerlukan pengulangan tempat perpuluhan hasil bagi, dan pecahan perpuluhan tak terhingga menjadi berkala.

Terdapat dua teorem lagi.

Teorem 2. Jika pengembangan penyebut pecahan tidak boleh dikurangkan kepada faktor perdana tidak termasuk nombor 2 dan 5, maka apabila pecahan ini ditukar kepada pecahan perpuluhan tak terhingga, pecahan berkala tulen akan diperolehi, i.e. Pecahan yang tempohnya bermula sejurus selepas titik perpuluhan.

Teorem 3. Jika pengembangan penyebut termasuk faktor 2 (atau 5) atau kedua-duanya, maka pecahan berkala tak terhingga akan bercampur, i.e. antara koma dan permulaan noktah akan terdapat beberapa digit (pra-tempoh), iaitu sebanyak yang terbesar daripada eksponen faktor 2 dan 5.

Teorem 2 dan 3 dijemput untuk membuktikan kepada pembaca sendiri.

28. Cara-cara berlalu dari periodik tak terhingga
pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa

Biarkan ada pecahan berkala a= 0,(4), i.e. 0.4444... .

Jom perbanyakkan a dengan 10, kita dapat

10a= 4.444…4…Þ 10 a = 4 + 0,444….

Itu. 10 a = 4 + a, kami mendapat persamaan untuk a, menyelesaikannya, kita dapat: 9 a= 4 Þ a = .

Perhatikan bahawa 4 ialah kedua-dua pengangka bagi pecahan yang terhasil dan tempoh bagi pecahan 0,(4).

peraturan penukaran kepada pecahan biasa pecahan berkala tulen dirumuskan seperti berikut: pengangka pecahan adalah sama dengan tempoh, dan penyebutnya terdiri daripada bilangan sembilan kerana terdapat digit dalam tempoh pecahan itu.

Mari kita buktikan peraturan ini untuk pecahan yang tempohnya terdiri daripada P

a= . Jom perbanyakkan a pada 10 n, kita mendapatkan:

10n × a = = + 0, ;

10n × a = + a;

(10n – 1) a = Þ a == .

Jadi, peraturan yang dirumuskan sebelum ini dibuktikan untuk sebarang pecahan berkala tulen.

Biarkan sekarang diberi pecahan a= 0.605(43) - berkala bercampur. Jom perbanyakkan a sebanyak 10 dengan penunjuk seperti bilangan digit dalam pra-tempoh, i.e. dengan 10 3 , kita dapat

10 3 × a= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × a = 605 + = 605 + = = ,

mereka. 10 3 × a= .

peraturan penukaran kepada pecahan biasa pecahan berkala campuran dirumuskan seperti berikut: pengangka pecahan adalah sama dengan perbezaan antara nombor yang ditulis dalam digit sebelum permulaan noktah kedua dan nombor yang ditulis dalam digit sebelum permulaan yang pertama. tempoh, penyebutnya terdiri daripada bilangan sembilan kerana terdapat digit dalam tempoh dan bilangan sifar berapa banyak digit sebelum permulaan noktah pertama.

Mari kita buktikan peraturan ini untuk pecahan yang mengandungi prakala P digit, dan tempoh kepada digit. Biarkan ada pecahan berkala

Tandakan dalam= ; r= ,

dengan= ; kemudian dengan=dalam × 10k + r.

Jom perbanyakkan a dengan 10 dengan eksponen sedemikian berapa banyak digit dalam pra-tempoh, i.e. pada 10 n, kita mendapatkan:

a×10 n = + .

Dengan mengambil kira notasi yang diperkenalkan di atas, kami menulis:

a× 10n= dalam+ .

Jadi, peraturan yang dirumuskan di atas dibuktikan untuk sebarang pecahan berkala campuran.

Mana-mana pecahan perpuluhan berkala tak terhingga ialah satu bentuk penulisan beberapa nombor rasional.

Demi keseragaman, kadangkala perpuluhan terhingga juga dianggap sebagai perpuluhan berkala tak terhingga dengan tempoh "sifar". Sebagai contoh, 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3,000... .

Sekarang pernyataan berikut menjadi benar: sebarang nombor rasional boleh (dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik) dinyatakan dengan pecahan berkala perpuluhan tak terhingga, dan mana-mana pecahan perpuluhan berkala tak terhingga menyatakan tepat satu nombor rasional (pecahan perpuluhan berkala dengan tempoh 9 tidak dipertimbangkan).