Peraturan untuk operasi dengan nombor rasional. Penambahan nombor rasional positif
pelajaran 4
IJAZAH DENGAN INDIKATOR SEMULAJADI
Matlamat: menggalakkan pembentukan kemahiran dan pengetahuan pengkomputeran, pengumpulan pengetahuan tentang ijazah berdasarkan pengalaman pengkomputeran; memperkenalkan tulisan nombor besar dan nombor kecil menggunakan kuasa 10.
Kemajuan pelajaran
I. Pengemaskinian pengetahuan asas.
Guru menganalisis keputusan kerja ujian, setiap pelajar menerima cadangan untuk pembangunan rancangan individu pembetulan kemahiran pengkomputeran.
Kemudian pelajar diminta melakukan pengiraan dan membaca nama ahli matematik terkenal yang menyumbang kepada pembinaan teori kuasa:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
kunci:
Menggunakan komputer atau epiprojector, potret saintis Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin ditayangkan ke skrin. Pelajar dijemput untuk menyediakan, jika dikehendaki, maklumat sejarah tentang kehidupan dan kerja ahli matematik ini.
II. Pembentukan konsep dan kaedah tindakan baru.
Pelajar menulis dalam buku nota mereka ungkapan berikut:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
A syarat
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n pengganda
5. A∙ A∙ … ∙ A;
n pengganda
Pelajar diminta menjawab soalan: “Bagaimanakah rekod ini boleh dipersembahkan dengan lebih padat supaya ia menjadi “boleh diperhatikan””?
Kemudian guru menjalankan perbualan pada topik baru, memperkenalkan pelajar kepada konsep kuasa pertama nombor. Pelajar boleh menyediakan dramatisasi lagenda India kuno tentang pencipta catur, Seth, dan Raja Sheram. Adalah perlu untuk menamatkan perbualan dengan cerita tentang penggunaan kuasa 10 apabila menulis kuantiti besar dan kecil dan, menawarkan pelajar beberapa buku rujukan mengenai fizik, teknologi, dan astronomi untuk dipertimbangkan, memberi mereka peluang untuk mencari contoh kuantiti sedemikian. dalam buku.
III. Pembentukan kemahiran dan kebolehan.
1. Penyelesaian latihan No. 40 d), e), f); 51.
Semasa penyelesaian, pelajar membuat kesimpulan bahawa adalah berguna untuk mengingati: ijazah c asas negatif adalah positif jika eksponen genap, dan negatif jika eksponen ganjil.
2. Penyelesaian latihan No. 41, 47.
IV. Merumuskan.
Guru mengulas dan menilai hasil kerja pelajar di dalam kelas.
Kerja rumah: perenggan 1.3, No. 42, 43, 52; pilihan: sediakan laporan tentang Diophantus, Descartes, Stevin.
Diophantus- ahli matematik Yunani kuno dari Alexandria (abad III). Sebahagian daripada risalah matematiknya "Aritmetik" (6 buku daripada 13) telah dipelihara, di mana penyelesaian masalah diberikan, kebanyakannya membawa kepada apa yang dipanggil "persamaan Diophantine", penyelesaiannya dicari dalam rasional positif nombor (Diophantus tidak mempunyai nombor negatif).
Untuk menandakan yang tidak diketahui dan darjahnya (sehingga yang keenam), tanda sama, Diophantus menggunakan notasi singkatan bagi perkataan yang sepadan. Para saintis juga telah menemui teks Arab 4 lagi buku Aritmetik Diophantus. Karya Diophantus adalah titik permulaan untuk penyelidikan P. Fermat, L. Euler, K. Gauss dan lain-lain.
Descartes Rene (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Ahli falsafah dan matematik Perancis, berasal dari zaman purba keluarga bangsawan. Beliau mendapat pendidikan di sekolah Jesuit La Flèche di Anjou. Pada permulaannya Perang Tiga Puluh Tahun berkhidmat dalam tentera, yang dia tinggalkan pada tahun 1621; selepas beberapa tahun perjalanan, dia berpindah ke Belanda (1629), di mana dia menghabiskan dua puluh tahun dalam kajian saintifik bersendirian. Pada tahun 1649, atas jemputan ratu Sweden, dia berpindah ke Stockholm, tetapi tidak lama kemudian meninggal dunia.
Descartes meletakkan asas geometri analitik dan memperkenalkan banyak tatatanda algebra moden. Descartes meningkatkan sistem tatatanda dengan ketara dengan memperkenalkan tanda yang diterima umum untuk pembolehubah
(X, di,z...) dan pekali ( A, b, Dengan...), serta jawatan ijazah ( X 4 , A 5...). Penulisan formula Descartes hampir tidak berbeza dengan formula moden.
Dalam geometri analisis, pencapaian utama Descartes ialah kaedah koordinat yang diciptanya.
Stevin Simon (1548–1620) - Saintis dan jurutera Belanda. Dari 1583 dia mengajar di Universiti Leiden, pada 1600 dia menganjurkan sekolah kejuruteraan di Universiti Leiden, di mana beliau mengajar matematik. Karya Stevin "Tithe" (1585) didedikasikan untuk sistem perpuluhan ukuran dan pecahan perpuluhan, yang diperkenalkan oleh Simon Stevin untuk digunakan di Eropah.
Kemudian a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Menambah sifar tidak mengubah nombor, tetapi jumlahnya nombor berlawanan sama dengan sifar.
Ini bermakna bahawa untuk sebarang nombor rasional kita mempunyai: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Pendaraban nombor rasional juga mempunyai sifat komutatif dan bersekutu. Dengan kata lain, jika a, b dan c ialah sebarang nombor rasional, maka ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Pendaraban dengan 1 tidak mengubah nombor rasional, tetapi hasil darab nombor dan songsangannya adalah sama dengan 1.
Ini bermakna untuk sebarang nombor rasional a kita ada:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.
1190. Setelah memilih prosedur pengiraan yang mudah, cari nilai ungkapan:
1191. Rumus dalam perkataan sifat komutatif bagi pendaraban ab = ba dan semaknya apabila:
1192. Rumus dalam perkataan sifat bersekutu bagi pendaraban a(bc)=(ab)c dan semaknya apabila:
1193. Memilih susunan pengiraan yang mudah, cari nilai ungkapan:
1194. Apakah nombor yang anda akan dapat (positif atau negatif) jika anda mendarab:
a) satu nombor negatif dan dua nombor positif;
b) dua negatif dan satu nombor positif;
c) 7 nombor negatif dan beberapa nombor positif;
d) 20 negatif dan beberapa positif? Buat kesimpulan.
1195. Tentukan tanda produk:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha dan Maxim berkumpul di gim (Rajah 91, a). Ternyata setiap budak itu hanya mengenali dua orang sahaja. Siapa tahu siapa? (Tepi graf bermaksud "kami mengenali satu sama lain.")
b) Adik beradik satu keluarga sedang berjalan di halaman rumah. Manakah antara kanak-kanak ini lelaki dan yang mana perempuan (Rajah 91, b)? (Tepi bertitik pada graf bermaksud "Saya seorang kakak," dan yang padat bermaksud "Saya seorang abang.")
1205. Kira:
1206. Bandingkan:
a) 2 3 dan 3 2; b) (-2) 3 dan (-3) 2; c) 1 3 dan 1 2; d) (-1) 3 dan (-1) 2.
1207. Bundarkan 5.2853 kepada perseribu; kepada perseratus; sehingga persepuluh; sehingga unit.
1208. Selesaikan masalah:
1) Seorang penunggang motosikal mengejar seorang penunggang basikal. Kini terdapat 23.4 km di antara mereka. Kelajuan penunggang motosikal adalah 3.6 kali ganda kelajuan penunggang basikal. Cari kelajuan penunggang basikal dan penunggang motosikal jika diketahui penunggang motosikal itu akan mengejar penunggang basikal dalam masa sejam.
2) Sebuah kereta sedang mengejar sebuah bas. Kini terdapat 18 km di antara mereka. Kelajuan bas adalah sama seperti kereta penumpang. Cari kelajuan bas dan kereta itu jika diketahui kereta itu akan mengejar bas dalam masa sejam.
1209. Cari maksud ungkapan:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Semak pengiraan anda dengan kalkulator mikro.
1210. Setelah memilih susunan pengiraan yang mudah, cari nilai ungkapan: 
1211. Permudahkan ungkapan:
1212. Cari maksud ungkapan:
1213. Ikuti langkah berikut:
1214. Murid-murid diberi tugasan mengumpul 2.5 tan besi buruk. Mereka mengumpul 3.2 tan besi buruk. Berapa peratuskah pelajar menyelesaikan tugasan dan berapa peratuskah mereka melebihi tugasan?
1215. Kereta itu bergerak sejauh 240 km. Daripada jumlah ini, 180 km dia berjalan di sepanjang jalan desa, dan sepanjang jalan di sepanjang lebuh raya. Penggunaan petrol setiap 10 km jalan desa adalah 1.6 liter, dan di lebuh raya - 25% kurang. Berapa liter petrol telah digunakan secara purata bagi setiap 10 km perjalanan?
1216. Keluar dari kampung, penunggang basikal itu menyedari seorang pejalan kaki di atas jambatan berjalan ke arah yang sama dan mengejarnya 12 minit kemudian. Cari kelajuan pejalan kaki jika kelajuan penunggang basikal ialah 15 km/j dan jarak dari kampung ke jambatan ialah 1 km 800 m?
1217. Ikuti langkah berikut:
a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).
DENGAN nombor rasional orang, seperti yang anda tahu, mengenali satu sama lain secara beransur-ansur. Pada mulanya, apabila mengira objek, masalah timbul nombor asli. Pada mulanya terdapat sedikit daripada mereka. Oleh itu, sehingga baru-baru ini, antara penduduk asli pulau-pulau di Selat Torres (memisahkan New Guinea dari Australia) hanya terdapat dua nombor dalam bahasa: "urapun" (satu) dan "okaz" (dua). Penduduk pulau mengira seperti ini: "Okaza-urapun" (tiga), "Okaza-Okaza" (empat), dll. Orang asli memanggil semua nombor, bermula dari tujuh, dengan perkataan yang bermaksud "banyak."
Para saintis percaya bahawa perkataan untuk ratusan muncul lebih daripada 7,000 tahun yang lalu, untuk beribu-ribu - 6,000 tahun yang lalu, dan 5,000 tahun yang lalu dalam Mesir Purba dan dalam Babylon Purba nama muncul untuk jumlah yang besar - sehingga satu juta. Tetapi untuk masa yang lama siri semula jadi nombor dianggap terhingga: orang berfikir bahawa terdapat yang paling banyak bilangan yang besar.
Ahli matematik dan fizik Yunani kuno yang paling hebat Archimedes (287-212 SM) menghasilkan cara untuk menggambarkan nombor yang besar. Nombor terbesar yang Archimedes boleh namakan adalah sangat besar sehinggakan untuk merakam secara digital ia memerlukan pita dua ribu kali lebih lama daripada jarak dari Bumi ke Matahari.
Tetapi mereka masih belum dapat menulis jumlah yang begitu besar. Ini menjadi mungkin hanya selepas ahli matematik India pada abad ke-6. nombor sifar telah dicipta dan ia mula menunjukkan ketiadaan unit dalam digit tatatanda perpuluhan nombor.
Apabila membahagikan rampasan dan kemudian apabila mengukur nilai, dan dalam kes lain yang serupa, orang ramai menghadapi keperluan untuk memperkenalkan "nombor pecah" - pecahan sepunya. Operasi dengan pecahan dianggap sebagai bidang matematik yang paling sukar pada Zaman Pertengahan. Sehingga hari ini, orang Jerman mengatakan tentang seseorang yang mendapati dirinya dalam situasi yang sukar bahawa dia "jatuh ke dalam pecahan."
Untuk memudahkan kerja dengan pecahan, perpuluhan telah dicipta pecahan. Di Eropah mereka diperkenalkan pada X585 oleh ahli matematik dan jurutera Belanda Simon Stevin.
Nombor negatif muncul lebih lewat daripada pecahan. Untuk masa yang lama, nombor tersebut dianggap "tidak wujud", "palsu", terutamanya disebabkan oleh fakta bahawa tafsiran yang diterima untuk nombor positif dan negatif "harta - hutang" membawa kepada kekeliruan: anda boleh menambah atau menolak "harta" atau "hutang", tetapi bagaimana memahami pekerjaan atau "harta" dan "hutang" persendirian?
Walau bagaimanapun, walaupun terdapat keraguan dan kebingungan sedemikian, peraturan untuk mendarab dan membahagi nombor positif dan negatif telah dicadangkan pada abad ke-3. ahli matematik Yunani Diophantus (dalam bentuk: "Apa yang dikurangkan, didarab dengan apa yang ditambah, memberikan pengurangan; apa yang dikurangkan dengan subtrahend memberikan apa yang ditambah," dsb.), dan kemudiannya ahli matematik India Bhaskar (abad XII) menyatakan peraturan yang sama dalam konsep "harta", "hutang" ("Hasil dua harta atau dua hutang adalah harta; hasil harta dan hutang adalah hutang." Peraturan yang sama berlaku untuk pembahagian).
Didapati bahawa sifat operasi pada nombor negatif adalah sama seperti pada nombor positif (contohnya, penambahan dan pendaraban mempunyai sifat komutatif). Dan akhirnya, dari awal abad yang lalu nombor negatif menjadi sama dalam hak dengan yang positif.
Kemudian, nombor baru muncul dalam matematik - tidak rasional, kompleks dan lain-lain. Anda belajar tentang mereka di sekolah menengah.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematik untuk gred 6, Buku Teks untuk sekolah menengah
Buku dan buku teks mengikut pelan kalendar untuk muat turun matematik gred 6, bantuan untuk murid sekolah dalam talian
Melukis. Operasi aritmetik atas nombor rasional.
Teks:
Peraturan untuk operasi dengan nombor rasional:
. apabila menambah nombor dengan tanda yang sama adalah perlu untuk menambah modul mereka dan meletakkan tanda biasa mereka di hadapan jumlah;
. apabila menambah dua nombor dengan tanda yang berbeza daripada nombor dengan modulus yang lebih besar, tolak nombor dengan modulus yang lebih kecil dan letakkan tanda nombor dengan modulus yang lebih besar di hadapan perbezaan yang terhasil;
. Apabila menolak satu nombor daripada yang lain, anda perlu menambah pada minuend nombor yang bertentangan dengan nombor yang ditolak: a - b = a + (-b)
. apabila mendarab dua nombor dengan tanda yang sama, modul mereka didarab dan tanda tambah diletakkan di hadapan produk yang dihasilkan;
. apabila mendarab dua nombor dengan tanda yang berbeza, modul mereka didarab dan tanda tolak diletakkan di hadapan produk yang dihasilkan;
. apabila membahagikan nombor dengan tanda yang sama, modul dividen dibahagikan dengan modul pembahagi dan tanda tambah diletakkan di hadapan hasil bahagi;
. apabila membahagikan nombor dengan tanda yang berbeza, modul dividen dibahagikan dengan modul pembahagi dan tanda tolak diletakkan di hadapan hasil bagi;
. Apabila membahagi dan mendarab sifar dengan sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar, hasilnya ialah sifar:
. Anda tidak boleh membahagi dengan sifar.
NOMBOR NYATA II
§ 36 Tindakan pada nombor rasional
Seperti yang anda tahu, dua pecahan m / n Dan k / l adalah sama, iaitu, mereka mewakili nombor rasional yang sama, jika dan hanya jika ml = nk .
Contohnya, 1/3 = 2/6, kerana 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 sejak (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, sejak 0 5 = 1 0, dsb.
Jelas sekali, untuk sebarang integer r , tidak sama dengan 0,
: m / n = m r / n r
Ini berikutan daripada persamaan yang jelas T (n r ) = n (T r ). Oleh itu, sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai nisbah dua nombor dalam bilangan cara yang tidak terhingga. Sebagai contoh,
5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 dll,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 dll.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 dsb.
Dalam set semua nombor rasional, operasi tambah, darab, tolak dan bahagi (kecuali bahagi dengan sifar) boleh dilaksanakan. Mari kita ingat bagaimana tindakan ini ditentukan.
Jumlah dua nombor rasional m / n Dan k / l ditentukan oleh formula:
Hasil darab dua nombor rasional m / n Dan k / l ditentukan oleh formula:
m / n k / l = mk / nl (2)
Oleh kerana nombor rasional yang sama boleh ditulis dalam beberapa cara (contohnya, 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...), adalah perlu untuk menunjukkan bahawa jumlah dan hasil darab nombor rasional tidak bergantung kepada bagaimana istilah atau faktor ditulis. Sebagai contoh,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
dll. Walau bagaimanapun, pertimbangan isu-isu ini adalah di luar skop program kami.
Apabila menambah dan mendarab nombor rasional, undang-undang asas berikut diperhatikan:
1) komutatif(atau komutatif) hukum penambahan
m / n + k / l = k / l + m / n
2) berpersatuan(atau bersekutu) hukum penambahan:
( m / n + k / l ) + hlm / q = m / n + ( k / l + hlm / q )
3) komutatif(atau komutatif) hukum pendaraban:
m / n k / l = k / l m / n
4) berpersatuan(atau bersekutu) hukum pendaraban:
( m / n k / l ) hlm / q = m / n ( k / l hlm / q )
5) pengedaran(atau pengagihan) hukum pendaraban relatif kepada penambahan:
( m / n + k / l ) hlm / q = m / n hlm / q + k / l hlm / q
Penambahan dan pendaraban ialah operasi algebra asas. Bagi penolakan dan pembahagian, tindakan ini ditakrifkan sebagai songsangan penambahan dan pendaraban.
Perbezaan dua nombor rasional m / n Dan k / l nombor ini dipanggil X , yang jumlahnya dengan k / l memberi m / n . Dalam erti kata lain, perbezaan m / n - k / l
k / l + x = m / n
Ia boleh dibuktikan bahawa persamaan sedemikian sentiasa mempunyai punca, dan hanya satu:
Oleh itu, perbezaan dua nombor m / n Dan k / l didapati dengan formula:
Jika nombor m / n Dan k / l adalah sama antara satu sama lain, maka perbezaannya menjadi sifar; jika nombor ini tidak sama antara satu sama lain, maka perbezaannya adalah sama ada positif atau negatif. Pada m / n - k / l > 0 dikatakan sebagai nombor m / n lebih banyak nombor k / l ; jika m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n kurang bilangan k / l .
Hasil bagi suatu nombor rasional m/ n dengan nombor rasional k/ l nombor ini dipanggil X, yang dalam produk dengan k/ l memberi m/ n . Dalam erti kata lain, peribadi m/ n : k/ l ditakrifkan sebagai punca persamaan
k/ l X = m/ n .
Jika k/ l =/= 0, maka persamaan yang diberikan mempunyai satu akar
X = ml/ nk
Jika k/ l = 0, maka persamaan ini sama ada tidak mempunyai punca sama sekali (untuk m/ n =/= 0), atau mempunyai banyak punca tak terhingga (dengan m/ n = 0). Untuk menjadikan operasi pembahagian boleh dilaksanakan secara unik, kami bersetuju untuk tidak mempertimbangkan pembahagian dengan sifar sama sekali. Oleh itu, membahagi nombor rasional m/ n dengan nombor rasional k/ l sentiasa ditakrifkan melainkan k/ l =/= 0. Pada masa yang sama
m/ n : k/ l = ml/ nk
Senaman
295. Kira dengan cara yang paling rasional dan nyatakan undang-undang tindakan mana yang perlu digunakan;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .
b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Astafiev "Katedral Kubah"
Ciri-ciri watak utama karya White Poodle, Kuprin
Kamus pendek bahasa isyarat, cara kamus berfungsi dan cara menggunakannya Penterjemah bahasa isyarat isyarat dalam talian