Peraturan untuk menyelesaikan persamaan mudah. Dari amalan saya

Apabila kita bekerja dengan pelbagai ungkapan yang termasuk nombor, huruf dan pembolehubah, kita perlu melakukan bilangan yang besar operasi aritmetik. Apabila kita melakukan penukaran atau mengira nilai, adalah sangat penting untuk mengikut tertib tindakan ini yang betul. Dengan kata lain, operasi aritmetik mempunyai operasinya sendiri pesanan khas perlaksanaan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dalam artikel ini kami akan memberitahu anda tindakan mana yang perlu dilakukan terlebih dahulu dan yang mana selepasnya. Pertama, mari kita lihat beberapa ungkapan mudah, yang mengandungi hanya pembolehubah atau nilai angka, serta tanda pembahagian, pendaraban, penolakan dan penambahan. Kemudian mari kita ambil contoh dengan kurungan dan pertimbangkan dalam susunan yang harus dikira. Pada bahagian ketiga kami akan berikan pesanan yang dikehendaki transformasi dan pengiraan dalam contoh tersebut yang merangkumi tanda-tanda akar, kuasa dan fungsi lain.

Definisi 1

Dalam kes ungkapan tanpa kurungan, susunan tindakan ditentukan dengan jelas:

Semua tindakan dilakukan dari kiri ke kanan.
Kami melakukan pembahagian dan pendaraban dahulu, dan penolakan dan penambahan kedua.

Maksud peraturan ini mudah difahami. Susunan tulisan kiri ke kanan tradisional mentakrifkan urutan asas pengiraan, dan keperluan untuk mendarab atau membahagi terlebih dahulu dijelaskan oleh intipati operasi ini.

Mari kita ambil beberapa tugas untuk kejelasan. Kami hanya menggunakan yang paling mudah ungkapan angka, supaya segala pengiraan dapat dilakukan dalam fikiran. Dengan cara ini anda boleh mengingati pesanan yang dikehendaki dengan cepat dan menyemak hasilnya dengan cepat.

Contoh 1

keadaan: kira berapa banyak ia akan menjadi 7 − 3 + 6 .

Penyelesaian

Tiada kurungan dalam ungkapan kami, juga tiada pendaraban dan pembahagian, jadi kami melakukan semua tindakan dalam susunan yang ditentukan. Mula-mula kita tolak tiga daripada tujuh, kemudian tambah enam kepada baki dan berakhir dengan sepuluh. Berikut ialah transkrip keseluruhan penyelesaian:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Jawapan: 7 − 3 + 6 = 10 .

Contoh 2

keadaan: dalam susunan apakah pengiraan harus dilakukan dalam ungkapan? 6:2 8:3?

Penyelesaian

Untuk menjawab soalan ini, mari kita baca semula peraturan untuk ungkapan tanpa kurungan yang kita rumuskan sebelum ini. Kami hanya mempunyai pendaraban dan pembahagian di sini, yang bermaksud kami menyimpan susunan pengiraan bertulis dan mengira secara berurutan dari kiri ke kanan.

Jawapan: Mula-mula kita bahagikan enam dengan dua, darabkan hasilnya dengan lapan dan bahagikan nombor yang terhasil dengan tiga.

Contoh 3

keadaan: hitung berapa banyak ia akan menjadi 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Penyelesaian

Mula-mula kita tentukan susunan yang betul tindakan, kerana kita mempunyai semua jenis operasi aritmetik asas di sini - penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian. Perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah bahagi dan darab. Tindakan ini tidak mempunyai keutamaan antara satu sama lain, jadi kami melaksanakannya dalam susunan bertulis dari kanan ke kiri. Iaitu, 5 mesti didarab dengan 6 untuk mendapat 30, kemudian 30 dibahagikan dengan 3 untuk mendapat 10. Selepas itu, bahagikan 4 dengan 2, ini ialah 2. Mari kita gantikan nilai yang ditemui ke dalam ungkapan asal:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Tiada lagi pembahagian atau pendaraban di sini, jadi kami melakukan pengiraan yang selebihnya mengikut urutan dan mendapatkan jawapannya:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Jawapan:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Sehingga susunan melakukan tindakan dihafal dengan kukuh, anda boleh meletakkan nombor di atas tanda operasi aritmetik yang menunjukkan susunan pengiraan. Sebagai contoh, untuk masalah di atas kita boleh menulisnya seperti ini:

Jika kita mempunyai ungkapan huruf, maka kita melakukan perkara yang sama dengannya: pertama kita darab dan bahagi, kemudian kita tambah dan tolak.

Apakah tindakan peringkat pertama dan kedua?

Kadang-kadang dalam buku rujukan semua operasi aritmetik dibahagikan kepada tindakan peringkat pertama dan kedua. Mari kita rumuskan definisi yang diperlukan.

Operasi peringkat pertama termasuk penolakan dan penambahan, yang kedua - pendaraban dan pembahagian.

Mengetahui nama-nama ini, kita boleh menulis peraturan yang diberikan sebelum ini mengenai susunan tindakan seperti berikut:

Definisi 2

Dalam ungkapan yang tidak mengandungi kurungan, anda mesti terlebih dahulu melakukan tindakan peringkat kedua dalam arah dari kiri ke kanan, kemudian tindakan peringkat pertama (dalam arah yang sama).

Susunan pengiraan dalam ungkapan dengan kurungan

Tanda kurungan itu sendiri adalah tanda yang memberitahu kita susunan tindakan yang diingini. Dalam kes itu peraturan yang betul boleh ditulis seperti ini:

Definisi 3

Sekiranya terdapat tanda kurung dalam ungkapan, maka langkah pertama ialah melakukan operasi di dalamnya, selepas itu kita darab dan bahagi, dan kemudian tambah dan tolak dari kiri ke kanan.

Bagi ungkapan kurungan itu sendiri, ia boleh dianggap sebagai sebahagian daripada ungkapan utama. Apabila mengira nilai ungkapan dalam kurungan, kami mengekalkan prosedur yang sama yang kami ketahui. Mari kita gambarkan idea kita dengan contoh.

Contoh 4

keadaan: kira berapa banyak ia akan menjadi 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Penyelesaian

Terdapat tanda kurung dalam ungkapan ini, jadi mari kita mulakan dengannya. Pertama sekali, mari kita hitung berapa banyak 7 − 2 · 3 akan menjadi. Di sini kita perlu mendarab 2 dengan 3 dan menolak hasil daripada 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Kami mengira hasilnya dalam kurungan kedua. Di sana kita hanya mempunyai satu tindakan: 6 − 4 = 2 .

Sekarang kita perlu menggantikan nilai yang terhasil ke dalam ungkapan asal:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Mari kita mulakan dengan pendaraban dan pembahagian, kemudian lakukan penolakan dan dapatkan:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Ini menyimpulkan pengiraan.

Jawapan: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Jangan risau jika keadaan kita mengandungi ungkapan di mana sesetengah kurungan melampirkan yang lain. Kita hanya perlu menggunakan peraturan di atas secara konsisten pada semua ungkapan dalam kurungan. Mari kita ambil masalah ini.

Contoh 5

keadaan: kira berapa banyak ia akan menjadi 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Penyelesaian

Kami mempunyai kurungan dalam kurungan. Kita mulakan dengan 3 + 1 + 4 · (2 + 3), iaitu 2 + 3. Ia akan menjadi 5. Nilai itu perlu digantikan ke dalam ungkapan dan dikira bahawa 3 + 1 + 4 · 5. Kami ingat bahawa kami mula-mula perlu mendarab dan kemudian menambah: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam ungkapan asal, kami mengira jawapannya: 4 + 24 = 28 .

Jawapan: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.

Dalam erti kata lain, apabila mengira nilai ungkapan yang termasuk kurungan dalam kurungan, kita mulakan dengan kurungan dalam dan meneruskan ke kurungan luar.

Katakan kita perlu mencari berapa banyak (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 akan menjadi. Kita mulakan dengan ungkapan dalam kurungan dalam. Oleh kerana 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, ungkapan asal boleh ditulis sebagai (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Melihat semula kurungan dalam: 4 + 1 = 5. Kami telah sampai kepada ungkapan (4 + 5 − 1) − 1 . Kami mengira 4 + 5 − 1 = 8 dan sebagai hasilnya kita mendapat perbezaan 8 - 1, yang hasilnya akan menjadi 7.

Susunan pengiraan dalam ungkapan dengan kuasa, punca, logaritma dan fungsi lain

Jika keadaan kita mengandungi ungkapan dengan darjah, punca, logaritma atau fungsi trigonometri(sinus, kosinus, tangen dan kotangen) atau fungsi lain, maka pertama sekali kita mengira nilai fungsi itu. Selepas ini, kami bertindak mengikut peraturan yang dinyatakan dalam perenggan sebelumnya. Dalam erti kata lain, fungsi adalah sama pentingnya dengan ungkapan yang disertakan dalam kurungan.

Mari kita lihat contoh pengiraan sedemikian.

Contoh 6

keadaan: cari berapa banyak (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

Penyelesaian

Kami mempunyai ungkapan dengan ijazah, yang nilainya mesti dicari terlebih dahulu. Kami mengira: 6 2 = 36. Sekarang mari kita gantikan hasilnya ke dalam ungkapan, selepas itu ia akan mengambil bentuk (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Jawapan: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Dalam artikel berasingan yang dikhaskan untuk mengira nilai ungkapan, kami menyediakan yang lain, lebih banyak lagi contoh yang kompleks pengiraan dalam kes ungkapan dengan akar, darjah, dll. Kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

hidup pelajaran ini Urutan melaksanakan operasi aritmetik dalam ungkapan tanpa dan dengan kurungan dibincangkan secara terperinci. Pelajar diberi peluang, semasa menyiapkan tugasan, untuk menentukan sama ada makna ungkapan bergantung pada susunan operasi aritmetik dilakukan, untuk mengetahui sama ada susunan operasi aritmetik berbeza dalam ungkapan tanpa kurungan dan dengan kurungan, untuk berlatih mengaplikasi peraturan yang dipelajari, untuk mencari dan membetulkan kesilapan yang dibuat semasa menentukan susunan tindakan.

Dalam kehidupan, kita sentiasa melakukan beberapa jenis tindakan: kita berjalan, belajar, membaca, menulis, mengira, tersenyum, bergaduh dan berdamai. Kami melakukan tindakan ini dalam susunan yang berbeza. Kadang-kadang mereka boleh ditukar, kadang-kadang tidak. Contohnya, semasa bersiap ke sekolah pada waktu pagi, anda boleh melakukan senaman dahulu, kemudian mengemas katil anda, atau sebaliknya. Tetapi anda tidak boleh pergi ke sekolah dahulu dan kemudian memakai pakaian.

Dalam matematik, adakah perlu melakukan operasi aritmetik dalam susunan tertentu?

Jom semak

Mari bandingkan ungkapan:
8-3+4 dan 8-3+4

Kami melihat bahawa kedua-dua ungkapan adalah betul-betul sama.

Mari kita lakukan tindakan dalam satu ungkapan dari kiri ke kanan, dan dalam satu lagi dari kanan ke kiri. Anda boleh menggunakan nombor untuk menunjukkan susunan tindakan (Gamb. 1).

nasi. 1. Prosedur

Dalam ungkapan pertama, kami akan melakukan operasi tolak dahulu dan kemudian menambah nombor 4 kepada hasilnya.

Dalam ungkapan kedua, kita mula-mula mencari nilai jumlah, dan kemudian tolak hasil yang terhasil 7 daripada 8.

Kami melihat bahawa makna ungkapan adalah berbeza.

Mari kita simpulkan: Urutan operasi aritmetik dilakukan tidak boleh diubah.

Mari kita pelajari peraturan untuk melaksanakan operasi aritmetik dalam ungkapan tanpa tanda kurungan.

Jika ungkapan tanpa kurungan merangkumi hanya penambahan dan penolakan atau hanya pendaraban dan pembahagian, maka tindakan dilakukan mengikut susunan ia ditulis.

Jom amalkan.

Pertimbangkan ungkapan

Ungkapan ini hanya mengandungi operasi tambah dan tolak. Tindakan ini dipanggil tindakan peringkat pertama.

Kami melakukan tindakan dari kiri ke kanan mengikut tertib (Rajah 2).

nasi. 2. Prosedur

Pertimbangkan ungkapan kedua

Ungkapan ini hanya mengandungi operasi darab dan bahagi - Ini adalah tindakan peringkat kedua.

Kami melakukan tindakan dari kiri ke kanan mengikut tertib (Rajah 3).

nasi. 3. Prosedur

Dalam susunan apakah operasi aritmetik dilakukan jika ungkapan itu mengandungi bukan sahaja penambahan dan penolakan, tetapi juga pendaraban dan pembahagian?

Jika ungkapan tanpa tanda kurung termasuk bukan sahaja operasi tambah dan tolak, tetapi juga pendaraban dan bahagi, atau kedua-dua operasi ini, maka mula-mula lakukan dalam tertib (dari kiri ke kanan) pendaraban dan pembahagian, dan kemudian penambahan dan penolakan.

Mari kita lihat ungkapannya.

Mari kita berfikir seperti ini. Ungkapan ini mengandungi operasi tambah dan tolak, darab dan bahagi. Kami bertindak mengikut peraturan. Mula-mula, kami melakukan mengikut tertib (dari kiri ke kanan) pendaraban dan pembahagian, dan kemudian penambahan dan penolakan. Mari kita susun susunan tindakan.

Mari kita hitung nilai ungkapan.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Dalam susunan apakah operasi aritmetik dilakukan jika terdapat kurungan dalam ungkapan?

Jika ungkapan mengandungi kurungan, nilai ungkapan dalam kurungan dinilai terlebih dahulu.

Mari kita lihat ungkapannya.

30 + 6 * (13 - 9)

Kita melihat bahawa dalam ungkapan ini terdapat tindakan dalam kurungan, yang bermaksud kita akan melakukan tindakan ini terlebih dahulu, kemudian pendaraban dan penambahan mengikut tertib. Mari kita susun susunan tindakan.

30 + 6 * (13 - 9)

Mari kita hitung nilai ungkapan.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Bagaimanakah seharusnya satu sebab untuk mewujudkan susunan operasi aritmetik dengan betul dalam ungkapan berangka?

Sebelum memulakan pengiraan, anda perlu melihat ungkapan (ketahui sama ada ia mengandungi kurungan, tindakan yang terkandung di dalamnya) dan hanya kemudian melakukan tindakan dalam susunan berikut:

1. tindakan yang ditulis dalam kurungan;

2. pendaraban dan pembahagian;

3. penambahan dan penolakan.

Rajah akan membantu anda mengingati perkara ini peraturan mudah(Gamb. 4).

nasi. 4. Prosedur

Jom amalkan.

Mari kita pertimbangkan ungkapan, tetapkan susunan tindakan dan lakukan pengiraan.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Kami akan bertindak mengikut peraturan. Ungkapan 43 - (20 - 7) +15 mengandungi operasi dalam kurungan, serta operasi tambah dan tolak. Mari kita wujudkan prosedur. Tindakan pertama ialah melakukan operasi dalam kurungan, dan kemudian, mengikut urutan dari kiri ke kanan, penolakan dan penambahan.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Ungkapan 32 + 9 * (19 - 16) mengandungi operasi dalam kurungan, serta pendaraban dan penambahan. Mengikut peraturan, kami mula-mula melakukan tindakan dalam kurungan, kemudian pendaraban (kami mendarabkan nombor 9 dengan hasil yang diperoleh dengan penolakan) dan penambahan.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Dalam ungkapan 2*9-18:3 tiada kurungan, tetapi terdapat operasi darab, bahagi dan tolak. Kami bertindak mengikut peraturan. Pertama, kita melakukan pendaraban dan pembahagian dari kiri ke kanan, dan kemudian tolak hasil yang diperoleh daripada pembahagian daripada hasil yang diperoleh dengan pendaraban. Iaitu, tindakan pertama ialah pendaraban, kedua ialah bahagi, dan yang ketiga ialah penolakan.

2*9-18:3=18-6=12

Mari kita ketahui sama ada susunan tindakan dalam ungkapan berikut ditakrifkan dengan betul.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Mari kita berfikir seperti ini.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Tiada kurungan dalam ungkapan ini, yang bermaksud bahawa kita mula-mula melakukan pendaraban atau pembahagian dari kiri ke kanan, kemudian penambahan atau penolakan. Dalam ungkapan ini, tindakan pertama ialah bahagi, kedua ialah pendaraban. Tindakan ketiga harus penambahan, keempat - penolakan. Kesimpulan: prosedur ditentukan dengan betul.

Mari cari nilai ungkapan ini.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Mari kita sambung bercakap.

Ungkapan kedua mengandungi kurungan, yang bermaksud bahawa kita mula-mula melakukan tindakan dalam kurungan, kemudian, dari kiri ke kanan, pendaraban atau pembahagian, penambahan atau penolakan. Kami menyemak: tindakan pertama adalah dalam kurungan, yang kedua ialah pembahagian, yang ketiga ialah penambahan. Kesimpulan: prosedur ditakrifkan secara salah. Mari kita betulkan kesilapan dan cari maksud ungkapan tersebut.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Ungkapan ini juga mengandungi kurungan, yang bermaksud bahawa kita mula-mula melakukan tindakan dalam kurungan, kemudian dari kiri ke kanan pendaraban atau pembahagian, penambahan atau penolakan. Mari kita semak: tindakan pertama adalah dalam kurungan, yang kedua ialah pendaraban, yang ketiga ialah penolakan. Kesimpulan: prosedur ditakrifkan secara salah. Mari kita betulkan kesilapan dan cari maksud ungkapan tersebut.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Jom selesaikan tugasan.

Mari kita susun susunan tindakan dalam ungkapan menggunakan peraturan yang dipelajari (Rajah 5).

nasi. 5. Prosedur

Kami tidak nampak nilai berangka, oleh itu kita tidak akan dapat mencari makna ungkapan, tetapi kita akan berlatih menggunakan peraturan yang dipelajari.

Kami bertindak mengikut algoritma.

Ungkapan pertama mengandungi kurungan, yang bermaksud tindakan pertama adalah dalam kurungan. Kemudian dari kiri ke kanan darab dan bahagi, kemudian dari kiri ke kanan penolakan dan penambahan.

Ungkapan kedua juga mengandungi kurungan, yang bermaksud kami melakukan tindakan pertama dalam kurungan. Selepas itu, dari kiri ke kanan, darab dan bahagi, selepas itu, tolak.

Mari semak diri kita (Gamb. 6).

nasi. 6. Prosedur

Hari ini dalam kelas kita belajar tentang peraturan untuk susunan tindakan dalam ungkapan tanpa dan dengan kurungan.

Rujukan

M.I. Moreau, M.A. Bantova dan lain-lain Matematik: Buku Teks. Gred ke-3: dalam 2 bahagian, bahagian 1. - M.: "Pencerahan", 2012.
M.I. Moreau, M.A. Bantova dan lain-lain Matematik: Buku Teks. Gred ke-3: dalam 2 bahagian, bahagian 2. - M.: "Pencerahan", 2012.
M.I. Moro. pelajaran matematik: Cadangan kaedah untuk guru. darjah 3. - M.: Pendidikan, 2012.
Dokumen kawal selia. Pemantauan dan penilaian hasil pembelajaran. - M.: “Pencerahan”, 2011.
"Sekolah Rusia": Program untuk sekolah rendah. - M.: "Pencerahan", 2011.
S.I. Volkova. Matematik: Kerja ujian. darjah 3. - M.: Pendidikan, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Ujian. - M.: “Peperiksaan”, 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Kerja rumah

1. Tentukan susunan tindakan dalam ungkapan ini. Cari maksud ungkapan tersebut.

2. Tentukan dalam ungkapan apakah susunan tindakan ini dilakukan:

1. pendaraban; 2. pembahagian;. 3. penambahan; 4. penolakan; 5. penambahan. Cari maksud ungkapan ini.

3. Buat tiga ungkapan di mana urutan tindakan berikut dilakukan:

1. pendaraban; 2. penambahan; 3. penolakan

1. penambahan; 2. penolakan; 3. penambahan

1. pendaraban; 2. pembahagian; 3. penambahan

Cari maksud ungkapan ini.

Dan apabila mengira nilai ungkapan, tindakan dilakukan dalam susunan tertentu, dengan kata lain, anda mesti memerhatikan susunan tindakan.

Dalam artikel ini, kita akan memikirkan tindakan yang harus dilakukan terlebih dahulu dan yang mana selepasnya. Mari kita mulakan dengan yang paling banyak kes mudah, apabila ungkapan mengandungi hanya nombor atau pembolehubah yang disambungkan dengan tanda tambah, tolak, darab dan bahagi. Seterusnya, kami akan menerangkan susunan tindakan yang perlu diikuti dalam ungkapan dengan kurungan. Akhir sekali, mari kita lihat susunan tindakan dilakukan dalam ungkapan yang mengandungi kuasa, akar dan fungsi lain.

Navigasi halaman.

Darab dan bahagi dahulu, kemudian tambah dan tolak

Pihak sekolah memberikan perkara berikut peraturan yang menentukan susunan tindakan dilakukan dalam ungkapan tanpa kurungan:

tindakan dilakukan mengikut urutan dari kiri ke kanan,
Selain itu, pendaraban dan pembahagian dilakukan terlebih dahulu, dan kemudian penambahan dan penolakan.

Peraturan yang dinyatakan dilihat secara semula jadi. Melakukan tindakan mengikut urutan dari kiri ke kanan dijelaskan oleh fakta bahawa adalah kebiasaan bagi kita untuk menyimpan rekod dari kiri ke kanan. Dan fakta bahawa pendaraban dan pembahagian dilakukan sebelum penambahan dan penolakan dijelaskan dengan makna yang dibawa oleh tindakan ini.

Mari lihat beberapa contoh cara peraturan ini digunakan. Sebagai contoh, kami akan mengambil ungkapan berangka yang paling mudah supaya tidak terganggu oleh pengiraan, tetapi untuk memberi tumpuan khusus pada susunan tindakan.

Contoh.

Ikuti langkah 7−3+6.

Penyelesaian.

Ungkapan asal tidak mengandungi kurungan, dan tidak mengandungi pendaraban atau pembahagian. Oleh itu, kita harus melakukan semua tindakan mengikut urutan dari kiri ke kanan, iaitu, pertama kita tolak 3 daripada 7, kita dapat 4, selepas itu kita tambah 6 kepada perbezaan yang terhasil daripada 4, kita dapat 10.

Secara ringkas, penyelesaian boleh ditulis seperti berikut: 7−3+6=4+6=10.

Jawapan:

7−3+6=10 .

Contoh.

Nyatakan urutan tindakan dalam ungkapan 6:2·8:3.

Penyelesaian.

Untuk menjawab persoalan masalah, mari kita beralih kepada peraturan yang menunjukkan susunan pelaksanaan tindakan dalam ungkapan tanpa kurungan. Ungkapan asal hanya mengandungi operasi darab dan bahagi, dan mengikut peraturan, ia mesti dilakukan mengikut urutan dari kiri ke kanan.

Jawapan:

Pada mulanya Kita bahagikan 6 dengan 2, darab hasil bahagi ini dengan 8, dan akhirnya bahagikan hasilnya dengan 3.

Contoh.

Kira nilai ungkapan 17−5·6:3−2+4:2.

Penyelesaian.

Mula-mula, mari kita tentukan dalam susunan tindakan dalam ungkapan asal harus dilakukan. Ia mengandungi pendaraban dan pembahagian dan penambahan dan penolakan. Pertama, dari kiri ke kanan, anda perlu melakukan pendaraban dan pembahagian. Jadi kita darab 5 dengan 6, kita dapat 30, kita bahagikan nombor ini dengan 3, kita dapat 10. Sekarang kita bahagikan 4 dengan 2, kita dapat 2. Kami menggantikan nilai 10 yang ditemui ke dalam ungkapan asal dan bukannya 5·6:3, dan bukannya 4:2 - nilai 2, kami mempunyai 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Ungkapan yang terhasil tidak lagi mengandungi pendaraban dan pembahagian, jadi ia kekal melakukan tindakan yang tinggal mengikut urutan dari kiri ke kanan: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

Jawapan:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Pada mulanya, untuk tidak mengelirukan susunan tindakan semasa mengira nilai ungkapan, adalah mudah untuk meletakkan nombor di atas tanda tindakan yang sepadan dengan susunan ia dilakukan. Untuk contoh sebelumnya ia akan kelihatan seperti ini: .

Susunan operasi yang sama - pendaraban dan pembahagian pertama, kemudian penambahan dan penolakan - harus diikuti apabila bekerja dengan ungkapan huruf.

Tindakan peringkat pertama dan kedua

Dalam sesetengah buku teks matematik terdapat pembahagian operasi aritmetik kepada operasi peringkat pertama dan kedua. Mari kita fikirkan perkara ini.

Definisi.

Tindakan peringkat pertama penambahan dan penolakan dipanggil, dan pendaraban dan pembahagian dipanggil tindakan peringkat kedua.

Dalam istilah ini, peraturan dari perenggan sebelumnya, yang menentukan susunan pelaksanaan tindakan, akan ditulis seperti berikut: jika ungkapan tidak mengandungi kurungan, maka dalam susunan dari kiri ke kanan, tindakan peringkat kedua (pendaraban dan pembahagian) dilakukan terlebih dahulu, kemudian tindakan peringkat pertama (penambahan dan penolakan).

Susunan operasi aritmetik dalam ungkapan dengan kurungan

Ungkapan selalunya mengandungi kurungan untuk menunjukkan susunan tindakan yang perlu dilakukan. Dalam kes ini peraturan yang menentukan susunan pelaksanaan tindakan dalam ungkapan dengan kurungan, dirumuskan seperti berikut: pertama, tindakan dalam kurungan dilakukan, manakala pendaraban dan pembahagian juga dilakukan mengikut tertib dari kiri ke kanan, kemudian penambahan dan penolakan.

Jadi, ungkapan dalam kurungan dianggap sebagai komponen ungkapan asal, dan ia mengekalkan susunan tindakan yang telah diketahui oleh kita. Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh untuk lebih jelas.

Contoh.

Ikuti langkah ini 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Penyelesaian.

Ungkapan mengandungi kurungan, jadi mari kita lakukan tindakan dalam ungkapan yang disertakan dalam kurungan ini. Mari kita mulakan dengan ungkapan 7−2·3. Di dalamnya anda mesti melakukan pendaraban dahulu, dan barulah penolakan, kita ada 7−2·3=7−6=1. Mari kita beralih kepada ungkapan kedua dalam kurungan 6−4. Terdapat hanya satu tindakan di sini - penolakan, kami melaksanakannya 6−4 = 2.

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam ungkapan asal: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Dalam ungkapan yang terhasil, kita mula-mula melakukan pendaraban dan pembahagian dari kiri ke kanan, kemudian penolakan, kita mendapat 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Pada ketika ini, semua tindakan telah selesai, kami mematuhi susunan pelaksanaannya yang berikut: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Mari kita menulisnya penyelesaian singkat: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Jawapan:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Ia berlaku bahawa ungkapan mengandungi kurungan dalam kurungan. Tidak perlu takut tentang perkara ini; anda hanya perlu menggunakan peraturan yang dinyatakan secara konsisten untuk melakukan tindakan dalam ungkapan dengan kurungan. Mari tunjukkan penyelesaian contoh.

Contoh.

Lakukan operasi dalam ungkapan 4+(3+1+4·(2+3)) .

Penyelesaian.

Ini ialah ungkapan dengan kurungan, yang bermaksud bahawa pelaksanaan tindakan mesti bermula dengan ungkapan dalam kurungan, iaitu, dengan 3+1+4·(2+3) . Ungkapan ini juga mengandungi kurungan, jadi anda mesti melakukan tindakan di dalamnya terlebih dahulu. Mari kita lakukan ini: 2+3=5. Menggantikan nilai yang ditemui, kita mendapat 3+1+4·5. Dalam ungkapan ini, kita mula-mula melakukan pendaraban, kemudian penambahan, kita mempunyai 3+1+4·5=3+1+20=24. Nilai awal, selepas menggantikan nilai ini, mengambil bentuk 4+24, dan yang tinggal hanyalah untuk melengkapkan tindakan: 4+24=28.

Jawapan:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Secara umum, apabila ungkapan mengandungi kurungan dalam kurungan, selalunya mudah untuk melakukan tindakan bermula dengan kurungan dalam dan beralih ke kurungan luar.

Sebagai contoh, katakan kita perlu melakukan tindakan dalam ungkapan (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Mula-mula, kita melakukan tindakan dalam kurungan dalam, kerana 4−6:2=4−3=1, maka selepas ini ungkapan asal akan mengambil bentuk (4+(4+1)−1)−1. Sekali lagi kami melakukan tindakan dalam kurungan dalam, kerana 4+1=5, kami tiba di kepada ungkapan berikut(4+5−1)−1 . Sekali lagi kita melakukan tindakan dalam kurungan: 4+5−1=8, dan kita sampai pada perbezaan 8−1, iaitu bersamaan dengan 7.

Persamaan adalah topik yang sukar untuk dikuasai, tetapi ia adalah alat yang berkuasa untuk menyelesaikan kebanyakan masalah.

Persamaan digunakan untuk menerangkan pelbagai proses, berlaku di alam semula jadi. Persamaan digunakan secara meluas dalam sains lain: ekonomi, fizik, biologi dan kimia.

Dalam pelajaran ini kita akan cuba memahami intipati persamaan yang paling mudah, belajar untuk menyatakan yang tidak diketahui dan menyelesaikan beberapa persamaan. Apabila anda mempelajari bahan baharu, persamaan akan menjadi lebih kompleks, jadi memahami asas adalah sangat penting.

Kemahiran Awal Isi pelajaran

Apakah persamaan?

Persamaan ialah kesamaan yang mengandungi pembolehubah yang nilainya ingin anda cari. Nilai ini mestilah sedemikian sehingga apabila digantikan ke dalam persamaan asal, kesamaan berangka yang betul diperolehi.

Sebagai contoh, ungkapan 2 + 2 = 4 ialah kesamaan. Apabila mengira bahagian kiri, kesamaan berangka yang betul diperolehi 4 = 4.

Tetapi kesamaan ialah 2 + x= 4 ialah persamaan kerana ia mengandungi pembolehubah x, yang nilainya boleh didapati. Nilai mestilah sedemikian sehingga apabila menggantikan nilai ini ke dalam persamaan asal, kesamaan berangka yang betul diperolehi.

Dalam erti kata lain, kita mesti mencari nilai di mana tanda sama akan membenarkan lokasinya - bahagian kiri mesti sama dengan bahagian kanan.

Persamaan 2 + x= 4 ialah asas. Nilai boleh ubah x adalah sama dengan nombor 2. Untuk sebarang nilai lain, kesamaan tidak akan diperhatikan

Mereka mengatakan bahawa nombor 2 adalah akar atau menyelesaikan persamaan 2 + x = 4

akar atau penyelesaian kepada persamaan- ini ialah nilai pembolehubah di mana persamaan bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.

Mungkin terdapat beberapa akar atau tiada langsung. Selesaikan persamaan bermaksud mencari akarnya atau membuktikan bahawa tiada akar.

Pembolehubah yang termasuk dalam persamaan disebut sebaliknya tidak diketahui. Anda mempunyai hak untuk memanggilnya apa yang anda suka. Ini adalah sinonim.

Nota. Frasa "selesaikan persamaan" bercakap untuk dirinya sendiri. Menyelesaikan persamaan bermaksud "menyamakan" persamaan—menjadikannya seimbang supaya bahagian kiri sama dengan bahagian kanan.

Luahkan satu perkara melalui yang lain

Kajian persamaan secara tradisinya bermula dengan pembelajaran untuk menyatakan satu nombor yang termasuk dalam kesamaan melalui beberapa nombor lain. Jangan kita patahkan tradisi ini dan lakukan perkara yang sama.

Pertimbangkan ungkapan berikut:

8 + 2

Ungkapan ini ialah hasil tambah nombor 8 dan 2. Nilai ungkapan ini ialah 10

8 + 2 = 10

Kami mendapat kesaksamaan. Kini anda boleh menyatakan sebarang nombor daripada kesamaan ini melalui nombor lain yang termasuk dalam kesamaan yang sama. Sebagai contoh, mari kita nyatakan nombor 2.

Untuk menyatakan nombor 2, anda perlu bertanya soalan: "apa yang mesti dilakukan dengan nombor 10 dan 8 untuk mendapatkan nombor 2." Adalah jelas bahawa untuk mendapatkan nombor 2, anda perlu menolak nombor 8 daripada nombor 10.

Itu yang kita buat. Kami menulis nombor 2 dan melalui tanda yang sama kami mengatakan bahawa untuk mendapatkan nombor 2 ini kami menolak nombor 8 dari nombor 10:

2 = 10 − 8

Kami menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 8 + 2 = 10. Seperti yang anda lihat dari contoh, tidak ada yang rumit tentang ini.

Apabila menyelesaikan persamaan, khususnya apabila menyatakan satu nombor dari segi yang lain, adalah mudah untuk menggantikan tanda sama dengan perkataan " ada" . Ini mesti dilakukan secara mental, dan bukan dalam ungkapan itu sendiri.

Jadi, dengan menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 8 + 2 = 10, kita mendapat kesamaan 2 = 10 − 8. Persamaan ini boleh dibaca seperti berikut:

2 ada 10 − 8

Iaitu, tanda = digantikan dengan perkataan "adalah". Selain itu, kesamaan 2 = 10 − 8 boleh diterjemahkan daripada bahasa matematik kepada sepenuhnya bahasa manusia. Kemudian boleh dibaca seperti berikut:

Nombor 2 ada perbezaan antara nombor 10 dan nombor 8

Nombor 2 ada perbezaan antara nombor 10 dan nombor 8.

Tetapi kami akan mengehadkan diri kami untuk hanya menggantikan tanda sama dengan perkataan "adalah," dan kami tidak akan selalu melakukan ini. Ungkapan asas boleh difahami tanpa menterjemah bahasa matematik ke dalam bahasa manusia.

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 2 = 10 − 8 kepada keadaan asalnya:

8 + 2 = 10

Mari kita nyatakan nombor 8 kali ini Apakah yang perlu dilakukan dengan nombor yang tinggal untuk mendapatkan nombor 8? Betul, anda perlu menolak 2 daripada nombor 10

8 = 10 − 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 8 = 10 − 2 kepada keadaan asalnya:

8 + 2 = 10

Kali ini kita akan menyatakan nombor 10. Tetapi ternyata tidak perlu menyatakan sepuluh, kerana ia telah pun dinyatakan. Ia cukup untuk menukar bahagian kiri dan kanan, maka kita mendapat apa yang kita perlukan:

10 = 8 + 2

Contoh 2. Pertimbangkan kesamaan 8 − 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 8 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 8, dua nombor yang tinggal mesti ditambah:

8 = 6 + 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 8 = 6 + 2 kepada keadaan asalnya:

8 − 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 2 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 2, anda perlu menolak 6 daripada 8

2 = 8 − 6

Contoh 3. Pertimbangkan kesamaan 3 × 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 3. Untuk menyatakan nombor 3, anda memerlukan 6 dibahagikan dengan 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil kepada keadaan asalnya:

3 × 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 2 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 2, anda memerlukan 6 dibahagikan dengan 3

Contoh 4. Pertimbangkan persamaan

Mari kita nyatakan nombor 15 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 15, anda perlu mendarabkan nombor 3 dan 5

15 = 3 × 5

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 15 = 3 × 5 kepada keadaan asalnya:

Mari kita nyatakan nombor 5 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 5, anda memerlukan 15 dibahagikan dengan 3

Peraturan untuk mencari yang tidak diketahui

Mari kita pertimbangkan beberapa peraturan untuk mencari yang tidak diketahui. Mereka mungkin biasa kepada anda, tetapi tidak salah untuk mengulanginya lagi. Pada masa hadapan, mereka boleh dilupakan, kerana kita belajar menyelesaikan persamaan tanpa menggunakan peraturan ini.

Mari kembali ke contoh pertama, yang kita lihat dalam topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 8 + 2 = 10 kita perlu menyatakan nombor 2.

Dalam kesamaan 8 + 2 = 10, nombor 8 dan 2 ialah sebutan, dan nombor 10 ialah jumlahnya.

Untuk menyatakan nombor 2, kami melakukan perkara berikut:

2 = 10 − 8

Iaitu, daripada jumlah 10 kita tolak sebutan 8.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 + 2 = 10, bukannya nombor 2, terdapat pembolehubah x

8 + x = 10

Dalam kes ini, kesamaan 8 + 2 = 10 menjadi persamaan 8 + x= 10 dan pembolehubah x istilah yang tidak diketahui

Tugas kita ialah mencarinya istilah yang tidak diketahui, iaitu, selesaikan persamaan 8 + x= 10 . Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlahnya.

Yang pada asasnya adalah apa yang kita lakukan apabila kita menyatakan dua dalam kesamaan 8 + 2 = 10. Untuk menyatakan sebutan 2, kami menolak sebutan 8 lagi daripada jumlah 10

2 = 10 − 8

Sekarang, untuk mencari istilah yang tidak diketahui x, kita mesti menolak sebutan 8 yang diketahui daripada jumlah 10:

x = 10 − 8

Jika anda mengira sebelah kanan kesamaan yang terhasil, anda boleh mengetahui pembolehubah itu bersamaan x

x = 2

Kami telah menyelesaikan persamaan. Nilai boleh ubah x sama dengan 2. Untuk menyemak nilai pembolehubah x dihantar ke persamaan asal 8 + x= 10 dan gantikan x. Adalah dinasihatkan untuk melakukan ini dengan mana-mana persamaan yang telah diselesaikan, kerana anda tidak boleh benar-benar pasti bahawa persamaan telah diselesaikan dengan betul:

Akibatnya

Peraturan yang sama akan digunakan jika istilah yang tidak diketahui ialah nombor pertama 8.

x + 2 = 10

Dalam persamaan ini x ialah sebutan yang tidak diketahui, 2 ialah sebutan yang diketahui, 10 ialah jumlahnya. Untuk mencari istilah yang tidak diketahui x, anda perlu menolak sebutan 2 yang diketahui daripada jumlah 10

x = 10 − 2

x = 8

Mari kembali ke contoh kedua dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 8 − 2 = 6 adalah perlu untuk menyatakan nombor 8.

Dalam kesamaan 8 − 2 = 6, nombor 8 ialah minuend, nombor 2 ialah subtrahend, dan nombor 6 ialah perbezaan

Untuk menyatakan nombor 8, kami melakukan perkara berikut:

8 = 6 + 2

Iaitu, kami menambah perbezaan 6 dan tolak 2.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 − 2 = 6, bukannya nombor 8, terdapat pembolehubah x

x − 2 = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan yang dipanggil minit yang tidak diketahui

Untuk mencari minit yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 8 dalam kesamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan minuend 8, kami menambah subtrahend 2 kepada perbezaan 6.

Sekarang, untuk mencari minit yang tidak diketahui x, kita mesti menambah subtrahend 2 kepada perbezaan 6

x = 6 + 2

Jika anda mengira bahagian kanan, anda boleh mengetahui apakah pembolehubah itu bersamaan x

x = 8

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 − 2 = 6, bukannya nombor 2, terdapat pembolehubah x

8 − x = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan subtrahend tidak diketahui

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 2 dalam kesamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan nombor 2, kami menolak perbezaan 6 daripada minit 8.

Sekarang, untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui x, anda sekali lagi perlu menolak beza 6 daripada minit 8

x = 8 − 6

Kami mengira bahagian kanan dan mencari nilainya x

x = 2

Mari kembali ke contoh ketiga dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 3 × 2 = 6 kami cuba menyatakan nombor 3.

Dalam kesamaan 3 × 2 = 6, nombor 3 ialah pendaraban, nombor 2 ialah pengganda, nombor 6 ialah hasil darab.

Untuk menyatakan nombor 3 kami melakukan perkara berikut:

Iaitu, kita membahagikan hasil darab 6 dengan faktor 2.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 3 × 2 = 6, bukannya nombor 3 terdapat pembolehubah x

x× 2 = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pendaraban yang tidak diketahui.

Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 3 daripada kesamaan 3 × 2 = 6. Kami membahagikan produk 6 dengan faktor 2.

Sekarang untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan hasil 6 dengan faktor 2.

Mengira sebelah kanan membolehkan kita mencari nilai pembolehubah x

x = 3

Peraturan yang sama digunakan jika pembolehubah x terletak bukannya pengganda, bukan pengganda. Mari kita bayangkan bahawa dalam kesamaan 3 × 2 = 6, bukannya nombor 2 terdapat pembolehubah x.

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pengganda yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, prosedur yang sama disediakan untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, iaitu, membahagikan hasil dengan faktor yang diketahui:

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 3 × 2 = 6. Kemudian untuk mendapatkan nombor 2 kami membahagikan hasil darab 6 dengan pendarabannya 3.

Sekarang untuk mencari faktor yang tidak diketahui x Kami membahagikan hasil darab 6 dengan pendaraban 3.

Mengira bahagian kanan kesamaan membolehkan anda mengetahui x sama dengan

x = 2

Darab dan pengganda bersama dipanggil faktor. Oleh kerana peraturan untuk mencari pendaraban dan pengganda adalah sama, kita boleh merumuskan peraturan am mencari faktor yang tidak diketahui:

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan 9 × x= 18. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk 18 dengan faktor yang diketahui 9

Mari kita selesaikan persamaan x× 3 = 27. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk 27 dengan faktor 3 yang diketahui

Mari kita kembali ke contoh keempat dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan kita perlu menyatakan nombor 15. Dalam kesamaan ini, nombor 15 ialah dividen, nombor 5 ialah pembahagi, dan nombor 3 ialah hasil bagi.

Untuk menyatakan nombor 15 kami melakukan perkara berikut:

15 = 3 × 5

Iaitu, kita darab hasil bagi 3 dengan pembahagi 5.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan, bukannya nombor 15, terdapat pembolehubah x

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan dividen yang tidak diketahui.

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarab hasil bahagi dengan pembahagi.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 15 daripada kesamaan. Untuk menyatakan nombor 15, kita darabkan hasil bagi 3 dengan pembahagi 5.

Sekarang, untuk mencari dividen yang tidak diketahui x, anda perlu mendarab hasil bahagi 3 dengan pembahagi 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan, bukannya nombor 5, terdapat pembolehubah x .

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pembahagi yang tidak diketahui .

Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 5 daripada kesamaan. Untuk menyatakan nombor 5, kami membahagikan dividen 15 dengan hasil bagi 3.

Sekarang untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan dividen 15 dengan hasil bagi 3

Mari kita hitung bahagian kanan kesamaan yang terhasil. Dengan cara ini kita mengetahui apakah pembolehubah itu bersamaan x .

x = 5

Jadi, untuk mencari yang tidak diketahui, kami mengkaji peraturan berikut:

Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah;
Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan;
Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend;
Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor;
Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban;
Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarab hasil bahagi dengan pembahagi;
Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.

Komponen

Kami akan memanggil komponen nombor dan pembolehubah yang termasuk dalam kesamaan

Jadi, komponen penambahan ialah syarat Dan jumlah

Komponen penolakan ialah minit, subtrahend Dan perbezaan

Komponen pendaraban ialah darab, faktor Dan kerja

Komponen pembahagian ialah dividen, pembahagi dan hasil bagi.

Bergantung pada komponen yang kita hadapi, peraturan yang sepadan untuk mencari yang tidak diketahui akan digunakan. Kami telah mengkaji peraturan ini dalam topik sebelumnya. Apabila menyelesaikan persamaan, adalah dinasihatkan untuk mengetahui peraturan ini dengan teliti.

Contoh 1. Cari punca bagi persamaan 45 + x = 60

45 - penggal, x- istilah tidak diketahui, 60 - jumlah. Kami berurusan dengan komponen penambahan. Kami ingat bahawa untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah:

x = 60 − 45

Mari kita mengira bahagian kanan dan dapatkan nilainya x sama dengan 15

x = 15

Jadi punca persamaan ialah 45 + x= 60 bersamaan dengan 15.

Selalunya, istilah yang tidak diketahui mesti dikurangkan kepada bentuk yang boleh dinyatakan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, istilah yang tidak diketahui tidak boleh dinyatakan dengan serta-merta, kerana ia mengandungi pekali 2. Tugas kami adalah untuk membawa persamaan ini kepada bentuk yang boleh dinyatakan x

DALAM dalam contoh ini Kami berurusan dengan komponen penambahan—terma dan jumlah. 2 x ialah sebutan pertama, 4 ialah sebutan kedua, 8 ialah jumlah.

Dalam kes ini, penggal 2 x mengandungi pembolehubah x. Selepas mencari nilai pembolehubah x penggal 2 x akan melihat pandangan yang berbeza. Oleh itu, penggal 2 x boleh diambil sepenuhnya sebagai istilah yang tidak diketahui:

Sekarang kita menggunakan peraturan untuk mencari istilah yang tidak diketahui. Kurangkan istilah yang diketahui daripada jumlah:

Mari kita hitung bahagian kanan persamaan yang terhasil:

Kami mempunyai persamaan baru. Sekarang kita berurusan dengan komponen pendaraban: pendaraban, pendaraban, dan hasil darab. 2 - darab, x- pengganda, 4 - produk

Dalam kes ini, pembolehubah x bukan sahaja pengganda, tetapi pengganda yang tidak diketahui

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban:

Mari kita hitung bahagian kanan dan dapatkan nilai pembolehubah x

Untuk menyemak, hantar punca yang ditemui ke persamaan asal dan gantikan x

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56

Nyatakan yang tidak diketahui dengan segera x ia adalah dilarang. Mula-mula anda perlu membawa persamaan ini ke bentuk yang boleh dinyatakan.

Kami hadir di sebelah kiri persamaan yang diberikan:

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. 28 - darab, x- pengganda, 56 - produk. Pada masa yang sama x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban:

Dari sini x sama dengan 2

Persamaan setara

Dalam contoh sebelumnya, apabila menyelesaikan persamaan 3x + 9x + 16x = 56 , kami bawa istilah yang serupa di sebelah kiri persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan baharu 28 x= 56 . Persamaan lama 3x + 9x + 16x = 56 dan terhasil persamaan baru 28 x= 56 dipanggil persamaan setara, kerana akarnya bertepatan.

Persamaan dipanggil setara jika puncanya bertepatan.

Jom semak. Untuk persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami mendapati akarnya sama dengan 2. Mari kita gantikan punca ini dahulu ke dalam persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 , dan kemudian ke persamaan 28 x= 56, yang diperoleh dengan membawa sebutan serupa di sebelah kiri persamaan sebelumnya. Kita mesti mendapatkan kesamaan berangka yang betul

Mengikut susunan operasi, pendaraban dilakukan terlebih dahulu:

Mari kita gantikan punca 2 ke dalam persamaan kedua 28 x= 56

Kami melihat bahawa kedua-dua persamaan mempunyai punca yang sama. Jadi persamaan 3x+ 9x+ 16x= 6 dan 28 x= 56 memang setara.

Untuk menyelesaikan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 Kami menggunakan salah satu daripadanya - pengurangan istilah yang serupa. Transformasi identiti yang betul bagi persamaan membolehkan kami memperolehnya persamaan setara 28x= 56, yang mana lebih mudah untuk diselesaikan.

Daripada transformasi yang sama kepada pada masa ini Kami hanya tahu cara mengurangkan pecahan, menambah istilah yang serupa, mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, dan juga kurungan terbuka. Terdapat penukaran lain yang perlu anda ketahui. Tetapi untuk idea umum mengenai transformasi persamaan yang serupa, topik yang telah kami pelajari adalah cukup memadai.

Mari kita pertimbangkan beberapa transformasi yang membolehkan kita memperoleh persamaan yang setara

Jika anda menambah nombor yang sama pada kedua-dua belah persamaan, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

dan serupa:

Jika anda menolak nombor yang sama daripada kedua-dua belah persamaan, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Dalam erti kata lain, punca persamaan tidak akan berubah jika nombor yang sama ditambah kepada (atau ditolak daripada kedua-dua belah) nombor yang sama.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Kurangkan 10 daripada kedua-dua belah persamaan

Kami mendapat persamaan 5 x= 10 . Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan produk 10 dengan faktor yang diketahui 5.

dan pengganti x didapati nilai 2

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan kami menolak nombor 10 daripada kedua-dua belah persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan yang setara. Punca persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 2

Contoh 2. Selesaikan persamaan 4( x+ 3) = 16

Kurangkan nombor 12 daripada kedua-dua belah persamaan

Akan ada 4 lagi di sebelah kiri x, dan di sebelah kanan nombor 4

Kami mendapat persamaan 4 x= 4 . Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan produk 4 dengan faktor 4 yang diketahui

Mari kita kembali kepada persamaan asal 4( x+ 3) = 16 dan gantikan x didapati nilai 1

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan 4( x+ 3) = 16 kita tolak nombor 12 daripada kedua-dua belah persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan 4 yang setara x= 4 . Punca persamaan ini, seperti persamaan 4( x+ 3) = 16 juga sama dengan 1

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Mari kembangkan kurungan di sebelah kiri persamaan:

Tambahkan nombor 8 pada kedua-dua belah persamaan

Mari kita kemukakan istilah yang serupa pada kedua-dua belah persamaan:

Akan ada 2 kiri di sebelah kiri x, dan di sebelah kanan nombor 9

Dalam persamaan 2 yang terhasil x= 9 kita menyatakan istilah yang tidak diketahui x

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 4.5

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan kami menambah nombor 8 kepada kedua-dua belah persamaan Akibatnya, kami mendapat persamaan yang setara. Punca persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 4.5

Peraturan seterusnya yang membolehkan kita mendapatkan persamaan setara adalah seperti berikut

Jika anda memindahkan istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Iaitu, punca persamaan tidak akan berubah jika kita memindahkan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain, menukar tandanya. Sifat ini adalah salah satu yang penting dan salah satu yang sering digunakan semasa menyelesaikan persamaan.

Pertimbangkan persamaan berikut:

Punca bagi persamaan ini adalah sama dengan 2. Mari kita gantikan x akar ini dan semak sama ada kesamaan berangka adalah betul

Hasilnya ialah persamaan yang betul. Ini bermakna nombor 2 sememangnya punca persamaan.

Sekarang mari kita cuba bereksperimen dengan istilah persamaan ini, memindahkannya dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tanda-tanda.

Sebagai contoh, penggal 3 x terletak di sebelah kiri persamaan. Mari kita alihkannya ke sebelah kanan, tukar tanda ke sebaliknya:

Hasilnya ialah persamaan 12 = 9x − 3x . di sebelah kanan persamaan ini:

x adalah faktor yang tidak diketahui. Mari cari faktor terkenal ini:

Dari sini x= 2 . Seperti yang anda lihat, punca persamaan tidak berubah. Jadi persamaannya ialah 12 + 3 x = 9x Dan 12 = 9x − 3x adalah setara.

Sebenarnya, penjelmaan ini ialah kaedah yang dipermudahkan bagi penjelmaan sebelumnya, di mana nombor yang sama telah ditambah (atau ditolak) pada kedua-dua belah persamaan.

Kami mengatakan bahawa dalam persamaan 12 + 3 x = 9x penggal 3 x telah dialihkan ke sebelah kanan, menukar tanda. Pada hakikatnya, perkara berikut berlaku: penggal 3 telah ditolak daripada kedua-dua belah persamaan x

Kemudian istilah serupa diberikan di sebelah kiri dan persamaan diperolehi 12 = 9x − 3x. Kemudian istilah yang serupa diberikan sekali lagi, tetapi di sebelah kanan, dan persamaan 12 = 6 diperolehi x.

Tetapi apa yang dipanggil "terjemahan" lebih mudah untuk persamaan sedemikian, itulah sebabnya dia mendapat ini meluas. Apabila menyelesaikan persamaan, kita akan sering menggunakan transformasi tertentu ini.

Persamaan 12 + 3 juga setara x= 9x Dan 3x− 9x= −12 . Kali ini persamaannya ialah 12 + 3 x= 9x penggal 12 dialihkan ke sebelah kanan, dan penggal 9 x ke kiri. Kita tidak sepatutnya lupa bahawa tanda-tanda syarat ini telah diubah semasa pemindahan

Peraturan seterusnya yang membolehkan kita mendapatkan persamaan setara adalah seperti berikut:

Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama, tidak sama dengan sifar, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Dalam erti kata lain, punca-punca persamaan tidak akan berubah jika kedua-dua belah pihak didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama. Tindakan ini sering digunakan apabila anda perlu menyelesaikan persamaan yang mengandungi ungkapan pecahan.

Pertama, mari kita lihat contoh di mana kedua-dua belah persamaan akan didarabkan dengan nombor yang sama.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Apabila menyelesaikan persamaan yang mengandungi ungkapan pecahan, adalah kebiasaan untuk terlebih dahulu memudahkan persamaan.

Dalam kes ini, kita hanya berurusan dengan persamaan sedemikian. Untuk memudahkan persamaan ini, kedua-dua belah pihak boleh didarab dengan 8:

Kita ingat bahawa untuk , kita perlu mendarabkan pengangka bagi pecahan tertentu dengan nombor ini. Kami mempunyai dua pecahan dan setiap daripadanya didarab dengan nombor 8. Tugas kami adalah untuk mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor 8 ini

Sekarang bahagian yang menarik berlaku. Pengangka dan penyebut kedua-dua pecahan mengandungi faktor 8, yang boleh dikurangkan dengan 8. Ini akan membolehkan kita menyingkirkan ungkapan pecahan:

Akibatnya, persamaan termudah kekal

Nah, tidak sukar untuk meneka bahawa punca persamaan ini ialah 4

x didapati nilai 4

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Apabila menyelesaikan persamaan ini, kami mendarab kedua-dua belah dengan 8. Hasilnya, kami mendapat persamaan. Punca bagi persamaan ini, seperti persamaan, ialah 4. Ini bermakna persamaan ini adalah setara.

Faktor di mana kedua-dua belah persamaan didarab biasanya ditulis sebelum bahagian persamaan, dan bukan selepasnya. Jadi, menyelesaikan persamaan, kami mendarabkan kedua-dua belah dengan faktor 8 dan mendapat masukan berikut:

Ini tidak mengubah punca persamaan, tetapi jika kita melakukan ini semasa di sekolah, kita akan ditegur, kerana dalam algebra adalah kebiasaan untuk menulis faktor sebelum ungkapan yang didarabkannya. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk menulis semula pendaraban kedua-dua belah persamaan dengan faktor 8 seperti berikut:

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Di sebelah kiri, faktor 15 boleh dikurangkan sebanyak 15, dan di sebelah kanan, faktor 15 dan 5 boleh dikurangkan sebanyak 5

Mari kita buka kurungan di sebelah kanan persamaan:

Mari kita alihkan istilah x dari sebelah kiri persamaan ke sebelah kanan, menukar tanda. Dan kami memindahkan istilah 15 dari sebelah kanan persamaan ke sebelah kiri, sekali lagi menukar tanda:

Kami membentangkan istilah yang sama dalam kedua-dua belah pihak, kami dapat

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Pembolehubah x

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 5

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul. Apabila menyelesaikan persamaan ini, kami mendarab kedua-dua belah dengan 15. Selanjutnya melakukan transformasi yang sama, kami memperoleh persamaan 10 = 2 x. Punca persamaan ini, seperti persamaan sama dengan 5. Ini bermakna persamaan ini adalah setara.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Di sebelah kiri anda boleh mengurangkan dua tiga kali ganda, dan sebelah kanan akan sama dengan 18

Persamaan paling mudah kekal. Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Mari cari faktor terkenal ini:

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan gantikan x didapati nilai 9

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Contoh 4. Selesaikan persamaan

Darab kedua-dua belah persamaan dengan 6

Mari kita buka kurungan di sebelah kiri persamaan. Di sebelah kanan, faktor 6 boleh dinaikkan kepada pengangka:

Mari kita kurangkan apa yang boleh dikurangkan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari gunakan pemindahan syarat. Istilah yang mengandungi perkara yang tidak diketahui x, kami mengumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada yang tidak diketahui - di sebelah kanan:

Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam kedua-dua bahagian:

Sekarang mari kita cari nilai pembolehubah x. Untuk melakukan ini, bahagikan hasil 28 dengan faktor 7 yang diketahui

Dari sini x= 4.

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 4

Hasilnya ialah persamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Mari buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan jika boleh:

Darab kedua-dua belah persamaan dengan 15

Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita kurangkan apa yang boleh dikurangkan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari kembangkan kurungan jika boleh:

Mari gunakan pemindahan syarat. Kami mengumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui di sebelah kanan. Jangan lupa bahawa semasa pemindahan, syarat menukar tandanya kepada sebaliknya:

Mari kita kemukakan istilah yang serupa pada kedua-dua belah persamaan:

Mari cari nilainya x

Jawapan yang terhasil mengandungi keseluruhan bahagian:

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan gantikan x nilai yang ditemui

Ia ternyata menjadi ungkapan yang agak rumit. Mari gunakan pembolehubah. Mari letakkan bahagian kiri kesamaan ke dalam pembolehubah A, dan bahagian kanan kesamaan menjadi pembolehubah B

Tugas kami adalah untuk memastikan sama ada bahagian kiri sama dengan kanan. Dengan kata lain, buktikan kesamaan A = B

Mari cari nilai ungkapan dalam pembolehubah A.

Nilai boleh ubah A sama . Sekarang mari kita cari nilai pembolehubah B. Iaitu, nilai sebelah kanan kesaksamaan kita. Jika ia juga sama, maka persamaan akan diselesaikan dengan betul

Kami melihat bahawa nilai pembolehubah B, serta nilai pembolehubah A ialah . Ini bermakna bahawa bahagian kiri adalah sama dengan bahagian kanan. Daripada ini kita menyimpulkan bahawa persamaan diselesaikan dengan betul.

Sekarang mari kita cuba untuk tidak mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama, tetapi untuk membahagi.

Pertimbangkan persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Mari kita selesaikan menggunakan kaedah biasa: kita kumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui - di sebelah kanan. Seterusnya, melakukan transformasi identiti yang diketahui, kita dapati nilainya x

Mari gantikan nilai yang ditemui 2 sebaliknya x ke dalam persamaan asal:

Sekarang mari kita cuba memisahkan semua istilah persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 dengan beberapa nombor Kami perhatikan bahawa semua sebutan persamaan ini mempunyai faktor sepunya 2. Kami membahagikan setiap sebutan dengannya:

Mari kita lakukan pengurangan dalam setiap penggal:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan transformasi identiti yang terkenal:

Kami mendapat akar 2. Jadi persamaan 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Dan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 adalah setara.

Membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama membolehkan anda mengeluarkan yang tidak diketahui daripada pekali. Dalam contoh sebelumnya apabila kita mendapat persamaan 7 x= 14, kita perlu membahagikan hasil 14 dengan faktor yang diketahui 7. Tetapi jika kita telah membebaskan yang tidak diketahui daripada faktor 7 di sebelah kiri, puncanya akan dijumpai serta-merta. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membahagikan kedua-dua belah pihak dengan 7

Kami juga akan sering menggunakan kaedah ini.

Darab dengan tolak satu

Jika kedua-dua belah persamaan didarab dengan tolak satu, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang ini.

Peraturan ini berikutan daripada fakta bahawa mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama tidak mengubah punca persamaan yang diberikan. Ini bermakna punca tidak akan berubah jika kedua-dua bahagiannya didarab dengan -1.

Peraturan ini membolehkan anda menukar tanda-tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. ini untuk apa? Sekali lagi, untuk mendapatkan persamaan setara yang lebih mudah untuk diselesaikan.

Pertimbangkan persamaan. kenapa sama dengan akar persamaan ini?

Tambahkan nombor 5 pada kedua-dua belah persamaan

Mari kita lihat istilah yang serupa:

Sekarang mari kita ingat tentang. Apakah bahagian kiri persamaan? Ini ialah hasil darab tolak satu dan pembolehubah x

Iaitu, tanda tolak di hadapan pembolehubah x tidak merujuk kepada pembolehubah itu sendiri x, tetapi kepada satu, yang kita tidak nampak, kerana pekali 1 biasanya tidak ditulis. Ini bermakna bahawa persamaan sebenarnya kelihatan seperti ini:

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari X, anda perlu membahagikan hasil −5 dengan faktor yang diketahui −1.

atau bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan −1, yang lebih mudah

Jadi punca persamaan ialah 5. Untuk menyemak, mari kita gantikannya ke dalam persamaan asal. Jangan lupa bahawa dalam persamaan asal tolak berada di hadapan pembolehubah x merujuk kepada unit yang tidak kelihatan

Hasilnya ialah persamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Sekarang mari kita cuba untuk mendarab kedua-dua belah persamaan dengan tolak satu:

Selepas membuka kurungan, ungkapan terbentuk di sebelah kiri, dan sebelah kanan akan sama dengan 10

Punca persamaan ini, seperti persamaan, ialah 5

Ini bermakna persamaan adalah setara.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Dalam persamaan ini, semua komponen adalah negatif. Adalah lebih mudah untuk bekerja dengan komponen positif daripada dengan komponen negatif, jadi mari kita ubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan ini dengan -1.

Jelas bahawa apabila didarab dengan −1, sebarang nombor akan menukar tandanya kepada sebaliknya. Oleh itu, prosedur mendarab dengan −1 dan membuka kurungan tidak diterangkan secara terperinci, tetapi komponen persamaan dengan tanda bertentangan segera ditulis.

Oleh itu, pendaraban persamaan dengan −1 boleh ditulis secara terperinci seperti berikut:

atau anda boleh menukar tanda semua komponen:

Hasilnya akan sama, tetapi perbezaannya ialah kita akan menjimatkan masa.

Jadi, dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan -1, kita mendapat persamaan. Mari kita selesaikan persamaan ini. Tolak 4 daripada kedua-dua belah dan bahagikan kedua-dua belah dengan 3

Apabila akar ditemui, pembolehubah biasanya ditulis di sebelah kiri, dan nilainya di sebelah kanan, itulah yang kami lakukan.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan −1. Kemudian semua komponen akan menukar tanda mereka kepada sebaliknya:

Kurangkan 2 daripada kedua-dua belah persamaan yang terhasil x dan berikan istilah yang serupa:

Mari tambah satu pada kedua-dua belah persamaan dan berikan istilah yang serupa:

Menyamakan dengan sifar

Kami baru-baru ini mengetahui bahawa jika kita memindahkan istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, kita akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Apa yang berlaku jika anda berpindah dari satu bahagian ke bahagian yang lain bukan hanya satu penggal, tetapi semua istilah? Betul, di bahagian di mana semua syarat telah diambil akan ada sifar lagi. Dengan kata lain, tidak akan ada yang tersisa.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan. Mari kita selesaikan persamaan ini seperti biasa - kita akan mengumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui dalam satu bahagian, dan biarkan istilah berangka bebas daripada yang tidak diketahui di bahagian yang lain. Seterusnya, melakukan transformasi identiti yang diketahui, kita dapati nilai pembolehubah x

Sekarang mari kita cuba menyelesaikan persamaan yang sama dengan menyamakan semua komponennya kepada sifar. Untuk melakukan ini, kami memindahkan semua istilah dari sebelah kanan ke kiri, menukar tanda:

Mari kita kemukakan istilah serupa di sebelah kiri:

Tambahkan 77 pada kedua-dua belah dan bahagikan kedua-dua belah dengan 7

Alternatif kepada peraturan untuk mencari yang tidak diketahui

Jelas sekali, mengetahui tentang transformasi persamaan yang sama, anda tidak perlu menghafal peraturan untuk mencari yang tidak diketahui.

Sebagai contoh, untuk mencari yang tidak diketahui dalam persamaan, kami membahagikan hasil 10 dengan faktor 2 yang diketahui

Tetapi jika anda membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2, punca akan dijumpai serta-merta. Di sebelah kiri persamaan dalam pengangka faktor 2 dan dalam penyebut faktor 2 akan dikurangkan dengan 2. Dan bahagian kanan akan sama dengan 5

Kami menyelesaikan persamaan bentuk dengan menyatakan istilah yang tidak diketahui:

Tetapi anda boleh menggunakan transformasi yang sama yang kami pelajari hari ini. Dalam persamaan, sebutan 4 boleh dialihkan ke sebelah kanan dengan menukar tanda:

Di sebelah kiri persamaan, dua dua akan dibatalkan. Bahagian kanan akan sama dengan 2. Oleh itu .

Atau anda boleh menolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan Kemudian anda akan mendapat yang berikut:

Dalam kes persamaan bentuk, adalah lebih mudah untuk membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Mari bandingkan kedua-dua penyelesaian:

Penyelesaian pertama adalah lebih pendek dan lebih kemas. Penyelesaian kedua boleh dipendekkan dengan ketara dengan melakukan pembahagian di kepala anda.

Walau bagaimanapun, adalah perlu untuk mengetahui kedua-dua kaedah dan hanya kemudian gunakan kaedah yang anda suka.

Apabila terdapat beberapa akar

Persamaan boleh mempunyai berbilang punca. Contohnya persamaan x(x+ 9) = 0 mempunyai dua punca: 0 dan −9.

Dalam Persamaan. x(x+ 9) = 0 adalah perlu untuk mencari nilai sedemikian x di mana bahagian kiri akan sama dengan sifar. Bahagian kiri persamaan ini mengandungi ungkapan x Dan (x+9), yang merupakan faktor. Daripada undang-undang produk kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar (sama ada faktor pertama atau kedua).

Iaitu, dalam Persamaan. x(x+ 9) = 0 kesamaan akan dicapai jika x akan sama dengan sifar atau (x+9) akan sama dengan sifar.

x= 0 atau x + 9 = 0

Dengan menetapkan kedua-dua ungkapan ini kepada sifar, kita boleh mencari punca-punca persamaan x(x+ 9) = 0 . Akar pertama, seperti yang dapat dilihat dari contoh, ditemui serta-merta. Untuk mencari punca kedua yang anda perlu selesaikan persamaan asas x+ 9 = 0 . Mudah untuk meneka bahawa punca persamaan ini ialah −9. Semakan menunjukkan bahawa akarnya betul:

−9 + 9 = 0

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Persamaan ini mempunyai dua punca: 1 dan 2. Bahagian kiri persamaan ialah hasil darab ungkapan ( x− 1) dan ( x− 2) . Dan hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar (atau faktor ( x− 1) atau faktor ( x − 2) ).

Mari kita cari sesuatu seperti ini x di bawahnya ungkapan ( x− 1) atau ( x− 2) menjadi sifar:

Kami menggantikan nilai yang ditemui satu demi satu ke dalam persamaan asal dan pastikan bahawa untuk nilai ini bahagian kiri adalah sama dengan sifar:

Apabila terdapat banyak akar yang tidak terhingga

Persamaan boleh mempunyai banyak punca yang tidak terhingga. Iaitu, dengan menggantikan sebarang nombor ke dalam persamaan sedemikian, kita mendapat kesamaan berangka yang betul.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Punca bagi persamaan ini ialah sebarang nombor. Jika anda membuka kurungan di sebelah kiri persamaan dan menambah istilah yang serupa, anda mendapat kesamaan 14 = 14. Kesaksamaan ini akan diperolehi untuk mana-mana x

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Punca bagi persamaan ini ialah sebarang nombor. Jika anda membuka kurungan di sebelah kiri persamaan, anda mendapat kesamaan 10x + 12 = 10x + 12. Kesaksamaan ini akan diperolehi untuk mana-mana x

Apabila tiada akar

Ia juga berlaku bahawa persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, iaitu, ia tidak mempunyai punca. Sebagai contoh, persamaan tidak mempunyai punca, kerana untuk sebarang nilai x, bahagian kiri persamaan tidak akan sama dengan bahagian kanan. Sebagai contoh, biarkan . Kemudian persamaan akan mengambil bentuk berikut

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Mari kembangkan kurungan di sebelah kiri persamaan:

Mari kita lihat istilah yang serupa:

Kami melihat bahawa bahagian kiri tidak sama dengan bahagian kanan. Dan ini akan berlaku untuk sebarang nilai. y. Sebagai contoh, biarkan y = 3 .

Persamaan huruf

Persamaan boleh mengandungi bukan sahaja nombor dengan pembolehubah, tetapi juga huruf.

Sebagai contoh, formula untuk mencari kelajuan ialah persamaan literal:

Persamaan ini menerangkan kelajuan jasad semasa gerakan dipercepatkan secara seragam.

Kemahiran yang berguna ialah keupayaan untuk menyatakan mana-mana komponen yang termasuk dalam persamaan huruf. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak dari persamaan, anda perlu menyatakan pembolehubah s .

Darab kedua-dua belah persamaan dengan t

Pembolehubah di sebelah kanan t mari kita potong dengan t

Dalam persamaan yang terhasil, kita menukar sisi kiri dan kanan:

Kami mempunyai formula untuk mencari jarak, yang kami pelajari sebelum ini.

Mari cuba tentukan masa daripada persamaan. Untuk melakukan ini, anda perlu menyatakan pembolehubah t .

Darab kedua-dua belah persamaan dengan t

Pembolehubah di sebelah kanan t mari kita potong dengan t dan tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Dalam persamaan yang terhasil v×t = s bahagikan kedua-dua bahagian kepada v

Pembolehubah di sebelah kiri v mari kita potong dengan v dan tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Kami mempunyai formula untuk menentukan masa, yang kami pelajari sebelum ini.

Katakan kelajuan kereta api ialah 50 km/j

v= 50 km/j

Dan jaraknya ialah 100 km

s= 100 km

Kemudian surat itu akan mengambil bentuk berikut

Masa boleh didapati daripada persamaan ini. Untuk melakukan ini, anda perlu dapat menyatakan pembolehubah t. Anda boleh menggunakan peraturan untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui dengan membahagikan dividen dengan hasil bagi dan dengan itu menentukan nilai pembolehubah t

atau anda boleh menggunakan transformasi yang sama. Pertama kalikan kedua-dua belah persamaan dengan t

Kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan 50

Contoh 2 x

Tolak daripada kedua-dua belah persamaan a

Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan b

a + bx = c, maka kita akan mempunyai penyelesaian siap sedia. Ia akan mencukupi untuk menggantikannya nilai yang diperlukan. Nilai-nilai itu yang akan digantikan dengan huruf a, b, c biasa dipanggil parameter. Dan persamaan bentuk a + bx = c dipanggil persamaan dengan parameter. Bergantung pada parameter, akar akan berubah.

Mari kita selesaikan persamaan 2 + 4 x= 10 . Ia kelihatan seperti persamaan huruf a + bx = c. Daripada melakukan transformasi yang sama, kita boleh menggunakan penyelesaian siap sedia. Mari bandingkan kedua-dua penyelesaian:

Kami melihat bahawa penyelesaian kedua adalah lebih mudah dan lebih pendek.

Untuk penyelesaian siap sedia, perlu membuat kenyataan kecil. Parameter b mestilah tidak sama dengan sifar (b ≠ 0), kerana pembahagian dengan sifar dengan dibenarkan.

Contoh 3. Persamaan literal diberikan. Ungkapkan daripada persamaan ini x

Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan

Mari gunakan pemindahan syarat. Parameter yang mengandungi pembolehubah x, kami mengumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan parameter bebas daripada pembolehubah ini - di sebelah kanan.

Di sebelah kiri kita mengambil faktor daripada kurungan x

Mari bahagikan kedua-dua belah dengan ungkapan a − b

Di sebelah kiri, pengangka dan penyebut boleh dikurangkan dengan a − b. Ini adalah bagaimana pembolehubah akhirnya dinyatakan x

Sekarang, jika kita menjumpai persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d), maka kami akan mempunyai penyelesaian siap sedia. Ia akan mencukupi untuk menggantikan nilai yang diperlukan ke dalamnya.

Katakan kita diberi persamaan 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Ia kelihatan seperti persamaan a(x − c) = b(x + d). Mari kita selesaikan dalam dua cara: menggunakan transformasi yang sama dan menggunakan penyelesaian siap sedia:

Untuk kemudahan, mari kita keluarkan daripada persamaan 4(x− 3) = 2(x+ 4) nilai parameter a, b, c, d . Ini akan membolehkan kami tidak membuat kesilapan semasa menggantikan:

Seperti dalam contoh sebelumnya, penyebut di sini tidak sepatutnya sama dengan sifar ( a − b ≠ 0) . Jika kita menemui persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d) di mana parameter a Dan b akan menjadi sama, kita boleh mengatakan tanpa menyelesaikannya bahawa persamaan ini tidak mempunyai punca, kerana perbezaannya nombor yang sama sama dengan sifar.

Sebagai contoh, persamaan 2(x − 3) = 2(x + 4) ialah persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d). Dalam Persamaan. 2(x − 3) = 2(x + 4) parameter a Dan b serupa. Jika kita mula menyelesaikannya, kita akan sampai pada kesimpulan bahawa bahagian kiri tidak akan sama dengan bahagian kanan:

Contoh 4. Persamaan literal diberikan. Ungkapkan daripada persamaan ini x

Mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut sepunya:

Darab kedua-dua belah dengan a

Di sebelah kiri x mari kita letakkannya daripada kurungan

Bahagikan kedua-dua belah dengan ungkapan (1 − a)

Persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui

Persamaan yang dibincangkan dalam pelajaran ini dipanggil persamaan linear darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui.

Jika persamaan diberikan kepada darjah pertama, tidak mengandungi pembahagian dengan yang tidak diketahui, dan juga tidak mengandungi akar dari yang tidak diketahui, maka ia boleh dipanggil linear. Kami belum lagi mempelajari kuasa dan akar, jadi untuk tidak merumitkan kehidupan kita, kita akan memahami perkataan "linear" sebagai "mudah".

Kebanyakan persamaan yang diselesaikan dalam pelajaran ini akhirnya datang kepada persamaan mudah di mana anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Sebagai contoh, ini ialah persamaan 2( x+ 3) = 16 . Jom selesaikan.

Mari kita buka kurungan di sebelah kiri persamaan, kita dapat 2 x+ 6 = 16. Mari kita alihkan sebutan 6 ke sebelah kanan, tukar tanda. Kemudian kita dapat 2 x= 16 − 6. Kira sisi kanan, kita dapat 2 x= 10. Untuk mencari x, bahagikan hasil darab 10 dengan faktor yang diketahui 2. Oleh itu x = 5.

Persamaan 2( x+ 3) = 16 adalah linear. Ia turun kepada persamaan 2 x= 10, untuk mencari punca yang diperlukan untuk membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Persamaan termudah ini dipanggil persamaan linear darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Perkataan "canonical" adalah sinonim dengan "simple" atau "normal".

Persamaan linear darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik dipanggil persamaan bentuk ax = b.

Persamaan terhasil kami 2 x= 10 ialah persamaan linear darjah pertama dengan satu tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Persamaan ini mempunyai darjah pertama, satu yang tidak diketahui, ia tidak mengandungi pembahagian dengan yang tidak diketahui dan tidak mengandungi akar daripada yang tidak diketahui, dan ia dibentangkan dalam bentuk kanonik, iaitu, dalam bentuk paling mudah di mana nilainya boleh ditentukan dengan mudah. x. Daripada parameter a Dan b persamaan kami mengandungi nombor 2 dan 10. Tetapi persamaan sedemikian juga boleh mengandungi nombor lain: positif, negatif atau sama dengan sifar.

Jika dalam persamaan linear a= 0 dan b= 0, maka persamaan mempunyai banyak punca tak terhingga. Sesungguhnya, jika a sama dengan sifar dan b sama dengan sifar, maka persamaan linear kapak= b akan mengambil borang 0 x= 0 . Untuk sebarang nilai x sebelah kiri akan sama dengan sebelah kanan.

Jika dalam persamaan linear a= 0 dan b≠ 0, maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Sesungguhnya, jika a sama dengan sifar dan b adalah sama dengan beberapa nombor yang tidak sama dengan sifar, katakan nombor 5, kemudian persamaan ax = b akan mengambil borang 0 x= 5 . Bahagian kiri akan menjadi sifar, dan sebelah kanan akan menjadi lima. Dan sifar tidak sama dengan lima.

Jika dalam persamaan linear a≠ 0, dan b sama dengan sebarang nombor, maka persamaan itu mempunyai satu punca. Ia ditentukan dengan membahagikan parameter b setiap parameter a

Sesungguhnya, jika a adalah sama dengan beberapa nombor yang bukan sifar, katakan nombor 3, dan b sama dengan beberapa nombor, katakan nombor 6, maka persamaan akan mengambil bentuk .
Dari sini.

Terdapat satu lagi bentuk penulisan persamaan linear darjah pertama dengan satu tidak diketahui. Ia kelihatan seperti ini: ax−b= 0 . Ini adalah persamaan yang sama seperti ax = b

Adakah anda menyukai pelajaran itu?
Sertai kami kumpulan baru VKontakte dan mula menerima pemberitahuan tentang pelajaran baharu