Kementerian Pendidikan Republik Belarus

institusi pendidikan

Universiti Negeri Gomel dinamakan sempena F. Scaryna"

Fakulti Matematik

Jabatan MPM

Transformasi ekspresi dan kaedah yang sama untuk mengajar pelajar cara melaksanakannya

Pelaksana:

Pelajar Starodubova A.Yu.

Penasihat saintifik:

Cand. fizik dan matematik Sains, Profesor Madya Lebedeva M.T.

Gomel 2007

pengenalan

1 Jenis utama transformasi dan peringkat kajian mereka. Peringkat-peringkat menguasai aplikasi transformasi

Kesimpulan

kesusasteraan

pengenalan

Transformasi termudah bagi ungkapan dan formula, berdasarkan sifat operasi aritmetik, dilakukan di sekolah rendah dan di gred 5 dan 6. Pembentukan kemahiran dan kebolehan untuk melakukan transformasi berlaku dalam perjalanan algebra. Ini dikaitkan dengan peningkatan mendadak dalam bilangan dan kepelbagaian transformasi yang dilakukan, dan dengan kerumitan aktiviti untuk membuktikannya dan menjelaskan syarat kebolehgunaan, dengan pengenalpastian dan kajian konsep umum identiti, transformasi yang serupa, transformasi yang setara.

1. Jenis utama transformasi dan peringkat kajian mereka. Peringkat-peringkat menguasai aplikasi transformasi

1. Permulaan algebra

Sistem transformasi yang tidak dibahagikan digunakan, diwakili oleh peraturan untuk melaksanakan tindakan pada satu atau kedua-dua bahagian formula. Matlamatnya adalah untuk mencapai kelancaran dalam melaksanakan tugas untuk menyelesaikan persamaan termudah, memudahkan formula yang mentakrifkan fungsi, dalam melakukan pengiraan secara rasional berdasarkan sifat tindakan.

Contoh biasa:

Selesaikan Persamaan:

A); b); V).

Transformasi identiti (a); setara dan seiras (b).

2. Pembentukan kemahiran untuk mengaplikasikan jenis transformasi tertentu

Kesimpulan: rumus pendaraban yang disingkatkan; transformasi yang berkaitan dengan eksponen; transformasi yang berkaitan dengan pelbagai kelas fungsi asas.

Organisasi sistem transformasi holistik (sintesis)

Matlamatnya ialah pembentukan alat yang fleksibel dan berkuasa yang sesuai digunakan dalam menyelesaikan pelbagai tugas pendidikan.. Peralihan ke peringkat ini dijalankan semasa pengulangan akhir kursus dalam proses memahami bahan yang telah diketahui dipelajari dalam bahagian, untuk jenis transformasi tertentu, transformasi ungkapan trigonometri ditambah kepada jenis yang telah dikaji sebelumnya. Kesemua penjelmaan ini boleh dipanggil penjelmaan "algebra" dan "analitikal" termasuk yang berdasarkan peraturan pembezaan dan penyepaduan dan penjelmaan ungkapan yang mengandungi petikan ke had. Perbezaan jenis ini adalah dalam sifat set yang dilalui oleh pembolehubah dalam identiti (set fungsi tertentu).

Identiti yang dikaji terbahagi kepada dua kelas:

Saya disingkatkan identiti pendaraban yang sah dalam cincin dan identiti komutatif

adil di padang.

II - identiti yang menghubungkan operasi aritmetik dan fungsi asas asas.

2 Ciri-ciri organisasi sistem tugas dalam kajian transformasi yang sama

Prinsip asas penyusunan sistem tugasan ialah membentangkannya daripada mudah kepada kompleks.

Kitaran senaman- gabungan dalam urutan latihan beberapa aspek kajian dan kaedah penyusunan bahan. Apabila mengkaji transformasi yang sama, kitaran latihan dihubungkan dengan kajian satu identiti, di mana identiti lain dikumpulkan, yang berada dalam hubungan semula jadi dengannya. Komposisi kitaran, bersama dengan tugas eksekutif, termasuk tugas, memerlukan pengiktirafan kebolehgunaan identiti yang dipertimbangkan. Identiti yang dikaji digunakan untuk melakukan pengiraan pada pelbagai domain berangka. Tugasan dalam setiap kitaran dibahagikan kepada dua kumpulan. KEPADA pertama termasuk tugas yang dilakukan semasa perkenalan awal dengan identiti. Mereka berfungsi sebagai bahan pengajaran untuk beberapa pelajaran berturut-turut, disatukan oleh satu topik.

Kumpulan kedua senaman menghubungkan identiti yang dikaji dengan pelbagai aplikasi. Kumpulan ini tidak membentuk kesatuan komposisi - latihan di sini bertaburan dalam pelbagai topik.

Struktur kitaran yang diterangkan merujuk kepada peringkat pembentukan kemahiran untuk mengaplikasikan transformasi tertentu.

Pada peringkat sintesis, kitaran berubah, kumpulan tugasan digabungkan ke arah komplikasi dan penggabungan kitaran yang berkaitan dengan identiti yang berbeza, yang meningkatkan peranan tindakan untuk mengenali kebolehgunaan satu atau identiti lain.

Contoh.

Kitaran tugas identiti:

Saya kumpulan tugasan:

a) hadir dalam bentuk produk:

b) Semak ketepatan kesamaan:

c) Kembangkan kurungan dalam ungkapan:

.

d) Kira:

e) Faktorkan:

e) permudahkan ungkapan:

.

Para pelajar baru sahaja berkenalan dengan rumusan identiti, rakamannya dalam bentuk identiti, dan pembuktiannya.

Tugas a) disambungkan dengan menetapkan struktur identiti yang dikaji, dengan mewujudkan hubungan dengan set berangka (perbandingan struktur tanda identiti dan ungkapan yang diubah; menggantikan huruf dengan nombor dalam identiti). Dalam contoh terakhir, ia masih belum diturunkan kepada bentuk yang sedang dikaji. Dalam contoh berikut (e dan g), terdapat komplikasi yang disebabkan oleh peranan identiti yang diterapkan dan komplikasi struktur tanda.

Tugas jenis b) bertujuan untuk membangunkan kemahiran penggantian pada . Peranan tugas c) adalah serupa.

Contoh jenis d), di mana ia dikehendaki memilih salah satu arah transformasi, melengkapkan pembangunan idea ini.

Tugas kumpulan I tertumpu pada penguasaan struktur identiti, operasi penggantian dalam kes paling mudah, paling penting pada asasnya, dan idea kebolehbalikan transformasi yang dijalankan oleh identiti. Pengkayaan bahasa bermakna menunjukkan pelbagai aspek jati diri juga amat penting. Idea tentang aspek ini diberikan oleh teks tugasan.

II kumpulan tugasan.

g) Menggunakan identiti untuk , faktorkan polinomial .

h) Menghapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.

i) Buktikan bahawa jika ialah nombor ganjil, maka ia boleh dibahagi dengan 4.

j) Fungsi diberikan oleh ungkapan analitikal

.

Buang tanda modulo dengan mempertimbangkan dua kes: , .

l) Selesaikan persamaan .

Tugas-tugas ini adalah bertujuan untuk menggunakan sepenuhnya mungkin dan pertimbangan spesifik identiti tertentu ini, mencadangkan pembentukan kemahiran dalam menggunakan identiti yang dikaji untuk perbezaan kuasa dua. Matlamatnya adalah untuk mendalami pemahaman identiti dengan mempertimbangkan pelbagai aplikasinya dalam pelbagai situasi, digabungkan dengan penggunaan bahan yang berkaitan dengan topik lain dalam kursus matematik.

atau .

Ciri kitaran kerja yang berkaitan dengan identiti untuk fungsi asas:

1) mereka dikaji berdasarkan bahan berfungsi;

2) identiti kumpulan pertama muncul kemudian dan dikaji menggunakan kemahiran yang telah terbentuk untuk melakukan transformasi yang sama.

Kumpulan pertama tugas kitaran harus merangkumi tugas untuk mewujudkan hubungan antara kawasan berangka baharu ini dan kawasan asal nombor rasional.

Contoh.

Kira:

;

.

Tujuan tugas tersebut adalah untuk menguasai ciri-ciri rekod, termasuk simbol operasi dan fungsi baharu, dan untuk membangunkan kemahiran pertuturan matematik.

Sebahagian penting daripada penggunaan transformasi identiti yang dikaitkan dengan fungsi asas terletak pada penyelesaian persamaan tidak rasional dan transendental. Urutan langkah:

a) cari fungsi φ yang mana persamaan yang diberi f(x)=0 boleh diwakili sebagai:

b) buat penggantian y=φ(x) dan selesaikan persamaan itu

c) selesaikan setiap persamaan φ(x)=y k , dengan y k ialah set punca persamaan F(y)=0.

Apabila menggunakan kaedah yang diterangkan, langkah b) selalunya dilakukan secara tersirat, tanpa memperkenalkan tatatanda untuk φ(x). Di samping itu, pelajar sering memilih antara pelbagai laluan yang membawa kepada mencari jawapan, untuk memilih yang membawa kepada persamaan algebra dengan lebih cepat dan lebih mudah.

Contoh. Selesaikan persamaan 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (langkah a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0. (langkah b)

Contoh. Selesaikan persamaan:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Cadangkan untuk membuat keputusan sendiri.)

Pengelasan tugas dalam kitaran yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan transendental, termasuk fungsi eksponen:

1) persamaan yang dikurangkan kepada persamaan bentuk a x \u003d y 0 dan mempunyai jawapan umum yang mudah dalam bentuk:

2) persamaan yang berkurang kepada persamaan bentuk a x = a k , dengan k ialah integer, atau a x = b, dengan b≤0.

3) persamaan yang dikurangkan kepada persamaan bentuk a x =y 0 dan memerlukan analisis eksplisit bagi bentuk di mana nombor y 0 ditulis secara eksplisit.

Faedah yang besar ialah tugas di mana transformasi yang sama digunakan untuk memplot graf sambil memudahkan formula yang mentakrifkan fungsi.

a) Plotkan fungsi y=;

b) Selesaikan persamaan lgx+lg(x-3)=1

c) pada set apakah formula lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) suatu identiti?

Penggunaan transformasi yang sama dalam pengiraan.(J. Mathematics at School, No. 4, 1983, ms. 45)

Tugas nombor 1. Fungsi diberikan oleh formula y=0.3x 2 +4.64x-6. Cari nilai fungsi pada x=1.2

y(1.2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 ,36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

Tugas nombor 2. Kira panjang kaki segi tiga tegak jika panjang hipotenusnya ialah 3.6 cm, dan kaki yang satu lagi ialah 2.16 cm.

Tugas nombor 3. Berapakah luas plot segi empat tepat yang mempunyai dimensi a) 0.64m dan 6.25m; b) 99.8m dan 2.6m?

a) 0.64 * 6.25 \u003d 0.8 2 * 2.5 2 \u003d (0.8 * 2.5) 2;

b) 99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.

Contoh-contoh ini memungkinkan untuk mendedahkan aplikasi praktikal transformasi yang sama. Pelajar harus dibiasakan dengan syarat-syarat kebolehlaksanaan transformasi.(Lihat gambar rajah).

-

imej polinomial, di mana mana-mana polinomial sesuai dengan kontur bulat. (Skim 1)

-

syarat untuk kebolehlaksanaan menukar hasil darab monomial dan ungkapan diberikan yang membolehkan penukaran kepada perbezaan kuasa dua. (skim 2)

-

di sini, penetasan bermaksud monomial yang sama dan ungkapan diberikan yang boleh ditukar kepada perbezaan segi empat sama. (Skema 3)

-

ungkapan yang membenarkan penyingkiran faktor sepunya.

Untuk membentuk kemahiran pelajar dalam mengenal pasti keadaan, anda boleh menggunakan contoh berikut:

Antara ungkapan berikut, yang manakah boleh diubah dengan meletakkan faktor sepunya daripada kurungan:

2)

3) 0.7a 2 +0.2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Kebanyakan pengiraan dalam amalan tidak memenuhi syarat kebolehlaksanaan, jadi pelajar memerlukan kemahiran untuk membawanya ke bentuk yang membolehkan pengiraan transformasi. Dalam kes ini, tugas berikut adalah sesuai:

apabila mengkaji penyingkiran faktor sepunya daripada kurungan:

ungkapan ini, jika boleh, berubah menjadi ungkapan, yang digambarkan oleh skema 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Apabila membentuk konsep "transformasi yang sama", harus diingat bahawa ini bermakna bukan sahaja ungkapan yang diberikan dan yang dihasilkan sebagai hasil daripada transformasi mengambil nilai yang sama untuk sebarang nilai huruf yang disertakan di dalamnya, tetapi juga bahawa semasa transformasi yang sama kita beralih daripada ungkapan yang menentukan satu cara menilai, kepada ungkapan yang mentakrifkan cara lain untuk menilai nilai yang sama.

Adalah mungkin untuk menggambarkan skema 5 (peraturan untuk mengubah hasil darab monomial dan polinomial) dengan contoh

0.5a(b+c) atau 3.8(0.7+).

Latihan untuk belajar kurungan faktor sepunya:

Kira nilai ungkapan:

a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a+bc pada a=0.96; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) dengan a=1.4; b=2.8; c=5.2.

Marilah kita menggambarkan dengan contoh pembentukan kemahiran dan kebolehan dalam pengiraan dan transformasi yang serupa.(J. Mathematics at School, No. 5, 1984, hlm. 30)

1) kemahiran dan kebolehan diperoleh lebih cepat dan dikekalkan lebih lama jika pembentukannya berlaku atas dasar sedar (prinsip kesedaran didaktik).

1) Anda boleh merumuskan peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, atau pertama, menggunakan contoh khusus, pertimbangkan intipati menambah bahagian yang sama.

2) Apabila memfaktorkan dengan mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, adalah penting untuk melihat faktor sepunya ini dan kemudian menggunakan undang-undang pengedaran. Apabila melakukan latihan pertama, adalah berguna untuk menulis setiap istilah polinomial sebagai hasil darab, salah satu faktornya adalah biasa kepada semua istilah:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Ia amat berguna untuk melakukan ini apabila salah satu monomial polinomial dikeluarkan daripada kurungan:

II. Peringkat pertama pembentukan kemahiran - menguasai kemahiran (latihan dilakukan dengan penerangan dan nota terperinci)

(soalan tanda diselesaikan dahulu)

Fasa kedua- peringkat mengautomasikan kemahiran dengan menghapuskan beberapa operasi perantaraan

III. Kekuatan kemahiran dicapai dengan menyelesaikan contoh yang pelbagai sama ada dari segi isi dan bentuk.

Topik: "Merangkul faktor sepunya".

1. Tuliskan pengganda yang hilang dan bukannya polinomial:

2. Faktorkan supaya sebelum kurungan terdapat monomial dengan pekali negatif:

3. Faktorkan supaya polinomial dalam kurungan mempunyai pekali integer:

4. Selesaikan persamaan:

IV. Pembentukan kemahiran adalah paling berkesan dalam kes prestasi lisan beberapa pengiraan atau transformasi pertengahan.

(secara lisan);

V. Kemahiran dan kebolehan yang dibentuk hendaklah dimasukkan ke dalam sistem pengetahuan, kemahiran dan kebolehan pelajar yang telah dibentuk sebelum ini.

Sebagai contoh, apabila belajar memfaktorkan polinomial menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, latihan berikut ditawarkan:

darab:

VI. Keperluan untuk prestasi rasional pengiraan dan transformasi.

V) ringkaskan ungkapan:

Rasionalitas terletak pada pembukaan kurungan, kerana

VII. Menukar ungkapan yang mengandungi ijazah.

№1011 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:

№1012 (Alg.9) Keluarkan faktor dari bawah tanda akar:

№1013 (Alg.9) Masukkan faktor di bawah tanda akar:

№1014 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:

Dalam semua contoh, lakukan secara awal sama ada pemfaktoran, atau mengeluarkan faktor sepunya, atau "lihat" formula pengurangan yang sepadan.

№1015 (Alg.9) Kurangkan pecahan:

Ramai pelajar mengalami beberapa kesukaran dalam mengubah ungkapan yang mengandungi akar, khususnya apabila menyiasat kesamaan:

Oleh itu, sama ada menerangkan secara terperinci ungkapan bentuk atau atau pergi ke ijazah dengan eksponen rasional.

№1018 (Alg.9) Cari nilai ungkapan:

№1019 (Alg.9) Permudahkan ungkapan:

2.285 (Scanavi) Permudahkan ungkapan

dan kemudian graf fungsi y Untuk

No. 2.299 (Skanavi) Semak kesahihan kesaksamaan:

Transformasi ungkapan yang mengandungi ijazah adalah generalisasi kemahiran dan kebolehan yang diperolehi dalam kajian transformasi yang sama bagi polinomial.

No. 2.320 (Skanavi) Permudahkan ungkapan:

Dalam kursus Algebra 7, definisi berikut diberikan.

Def. Dua ungkapan yang nilai yang sepadan adalah sama untuk nilai pembolehubah dikatakan sama sama.

Def. Kesamaan, benar untuk sebarang nilai pembolehubah yang dipanggil. identiti.

№94(Alg.7) Adakah identiti kesamaan:

a)

c)

d)

Definisi perihalan: Penggantian satu ungkapan dengan yang lain, yang sama dengannya, dipanggil transformasi yang sama atau hanya transformasi ungkapan. Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

№ (Alg.7) Antara ungkapan

cari yang sama dengan .

Topik: "Transformasi ungkapan yang sama" (teknik soalan)

Topik pertama "Algebra-7" - "Ungkapan dan transformasinya" membantu menyatukan kemahiran pengiraan yang diperoleh dalam gred 5-6, untuk mensistematikkan dan menyamaratakan maklumat tentang transformasi ungkapan dan penyelesaian kepada persamaan.

Mencari nilai ungkapan berangka dan abjad membolehkan pelajar mengulangi peraturan tindakan dengan nombor rasional. Keupayaan untuk melakukan operasi aritmetik dengan nombor rasional adalah asas bagi keseluruhan kursus algebra.

Apabila mempertimbangkan transformasi ungkapan secara formal, kemahiran operasi kekal pada tahap yang sama yang dicapai dalam gred 5-6.

Namun, di sini pelajar meningkat ke tahap yang baru dalam menguasai teori. Konsep "ungkapan yang sama", "identiti", "transformasi ungkapan yang serupa" diperkenalkan, kandungannya akan sentiasa didedahkan dan diperdalam apabila mengkaji transformasi pelbagai ungkapan algebra. Ditegaskan bahawa asas transformasi yang sama adalah sifat tindakan pada nombor.

Apabila mengkaji topik "Polinomial", kemahiran operasi formal transformasi serupa ungkapan algebra terbentuk. Formula pendaraban yang disingkatkan menyumbang kepada proses seterusnya kemahiran membentuk untuk melakukan transformasi yang sama bagi ungkapan integer, keupayaan untuk menggunakan formula kedua-dua untuk pendaraban singkatan dan untuk polinomial pemfaktoran digunakan bukan sahaja dalam mengubah ungkapan integer, tetapi juga dalam operasi dengan pecahan, punca, kuasa dengan eksponen yang rasional.

Dalam gred ke-8, kemahiran transformasi yang serupa dipraktikkan pada tindakan dengan pecahan algebra, punca kuasa dua dan ungkapan yang mengandungi darjah dengan eksponen integer.

Pada masa hadapan, kaedah transformasi yang sama dicerminkan dalam ungkapan yang mengandungi darjah dengan eksponen rasional.

Kumpulan khas penjelmaan yang serupa ialah ungkapan trigonometri dan ungkapan logaritma.

Hasil pembelajaran wajib untuk kursus algebra dalam gred 7-9 termasuk:

1) transformasi yang sama bagi ungkapan integer

a) pembukaan dan pendakapan kurungan;

b) pengurangan ahli yang serupa;

c) penambahan, penolakan dan pendaraban polinomial;

d) pemfaktoran polinomial dengan mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan dan rumus pendaraban yang disingkatkan;

e) pemfaktoran bagi trinomial segi empat sama.

"Matematik di sekolah" (B.U.M.) ms110

2) transformasi yang sama bagi ungkapan rasional: penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian pecahan, serta menggunakan kemahiran yang disenaraikan semasa melakukan transformasi gabungan mudah [m.s. 111]

3) pelajar seharusnya boleh melakukan transformasi ungkapan mudah yang mengandungi darjah dan punca. (ms. 111-112)

Jenis tugasan utama telah dipertimbangkan, keupayaan untuk menyelesaikan yang membolehkan pelajar mendapat penilaian yang positif.

Salah satu aspek yang paling penting dalam metodologi untuk mengkaji transformasi yang serupa ialah pembangunan oleh pelajar tentang matlamat melakukan transformasi yang serupa.

1) - penyederhanaan nilai berangka ungkapan

2) transformasi yang manakah harus dilakukan: (1) atau (2) Analisis pilihan ini adalah motivasi (sebaik-baiknya (1), kerana dalam (2) kawasan definisi disempitkan)

3) Selesaikan persamaan:

Pemfaktoran dalam menyelesaikan persamaan.

4) Kira:

Mari gunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Cari nilai ungkapan:

Untuk mencari nilai, darab setiap pecahan dengan konjugat:

6) Plotkan graf fungsi:

Jom pilih keseluruhan bahagian: .

Pencegahan ralat apabila melakukan transformasi yang sama boleh diperolehi dengan pelbagai contoh pelaksanaannya. Dalam kes ini, teknik "kecil" diusahakan, yang, sebagai komponen, dimasukkan ke dalam proses transformasi yang lebih besar.

Sebagai contoh:

Bergantung pada arah persamaan, beberapa masalah boleh dipertimbangkan: dari kanan ke kiri pendaraban polinomial; dari kiri ke kanan - pemfaktoran. Bahagian kiri ialah gandaan salah satu faktor di sebelah kanan, dan seterusnya.

Selain mempelbagaikan contoh, anda boleh menggunakan permohonan maaf antara identiti dan kesamaan berangka.

Helah seterusnya ialah menerangkan identiti.

Untuk meningkatkan minat pelajar, seseorang boleh mengaitkan pencarian pelbagai cara untuk menyelesaikan masalah.

Pelajaran tentang kajian transformasi yang serupa akan menjadi lebih menarik jika ditumpukan kepada mencari penyelesaian kepada sesuatu masalah .

Contohnya: 1) kurangkan pecahan:

3) buktikan formula "radikal kompleks".

Pertimbangkan:

Mari kita ubah bahagian kanan kesaksamaan:

-

jumlah ungkapan konjugat. Mereka boleh didarab dan dibahagikan dengan konjugat, tetapi operasi sedemikian akan membawa kita kepada pecahan yang penyebutnya ialah perbezaan radikal.

Ambil perhatian bahawa sebutan pertama dalam bahagian pertama identiti ialah nombor yang lebih besar daripada yang kedua, jadi anda boleh kuasa dua bahagian:

Pelajaran amali nombor 3.

Topik: Transformasi ungkapan yang sama (teknik soalan).

Sastera: “Bengkel tentang MPM”, ms 87-93.

Tanda budaya pengiraan yang tinggi dan transformasi yang serupa di kalangan pelajar adalah pengetahuan yang kukuh tentang sifat dan algoritma operasi pada nilai tepat dan anggaran serta aplikasi mahir mereka; kaedah pengiraan dan transformasi yang rasional dan pengesahannya; keupayaan untuk menyokong penggunaan kaedah dan peraturan pengiraan dan transformasi, keautomasian kemahiran perlaksanaan operasi pengiraan tanpa ralat.

Dari gred apakah pelajar harus mula berusaha mengembangkan kemahiran ini?

Barisan transformasi yang sama bagi ungkapan bermula dengan penggunaan kaedah pengiraan rasional dan bermula dengan penggunaan kaedah pengiraan rasional nilai ungkapan berangka. (darjah 5)

Apabila mempelajari topik sedemikian dalam kursus matematik sekolah, perhatian khusus harus diberikan kepada mereka!

Pelaksanaan transformasi yang serupa secara sedar oleh pelajar difasilitasi oleh pemahaman fakta bahawa ungkapan algebra tidak wujud dengan sendirinya, tetapi dikaitkan dengan beberapa set berangka, ia adalah rekod umum bagi ungkapan berangka. Analogi antara ungkapan algebra dan berangka (dan penjelmaannya) secara logiknya sah, penggunaannya dalam pengajaran membantu mengelakkan pelajar daripada membuat kesilapan.

Transformasi identiti bukanlah topik yang berasingan bagi kursus matematik sekolah, ia dipelajari sepanjang kursus algebra dan permulaan analisis matematik.

Program matematik untuk gred 1-5 ialah bahan propaedeutik untuk mengkaji transformasi serupa ungkapan dengan pembolehubah.

Dalam perjalanan algebra 7 sel. definisi identiti dan transformasi identiti diperkenalkan.

Def. Dua ungkapan yang nilai sepadannya adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah, dipanggil. sama sama.

ODA. Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.

Nilai identiti terletak pada hakikat bahawa ia membenarkan ungkapan yang diberikan digantikan dengan yang lain yang seiras dengannya.

Def. Penggantian satu ungkapan dengan yang lain, yang sama dengannya, dipanggil transformasi identiti atau secara ringkas transformasi ungkapan.

Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

Transformasi setara boleh dianggap sebagai asas kepada transformasi yang sama.

ODA. Dua ayat, setiap satunya adalah akibat logik yang lain, dipanggil. bersamaan.

ODA. Ayat dengan pembolehubah A dipanggil. akibat daripada ayat dengan pembolehubah B jika rantau kebenaran B ialah subset daripada rantau kebenaran A.

Takrifan lain ayat setara boleh diberikan: dua ayat dengan pembolehubah adalah setara jika kawasan kebenarannya adalah sama.

a) B: x-1=0 atas R; A: (x-1) 2 atas R => A~B kerana kawasan kebenaran (penyelesaian) bertepatan (x=1)

b) A: x=2 atas R; B: x 2 \u003d 4 atas R => kawasan kebenaran A: x \u003d 2; rantau kebenaran B: x=-2, x=2; kerana kawasan kebenaran A terkandung dalam B, maka: x 2 =4 ialah akibat daripada ayat x=2.

Asas transformasi yang sama ialah kemungkinan mewakili nombor yang sama dalam bentuk yang berbeza. Sebagai contoh,

-

perwakilan sedemikian akan membantu dalam mengkaji topik "sifat asas pecahan".

Kemahiran dalam melakukan transformasi yang sama mula terbentuk apabila menyelesaikan contoh yang serupa dengan yang berikut: "Cari nilai berangka ungkapan 2a 3 + 3ab + b 2 dengan \u003d 0.5, b \u003d 2/3", yang ditawarkan kepada pelajar dalam gred 5 dan membenarkan propaedeutik dijalankan konsep fungsi.

Apabila mengkaji formula pendaraban yang disingkatkan, perhatian harus diberikan kepada pemahaman mendalam dan asimilasi yang kuat. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan ilustrasi grafik berikut:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Soalan: Bagaimana untuk menerangkan kepada pelajar intipati formula di atas mengikut lukisan ini?

Kesilapan biasa ialah mengelirukan ungkapan "jumlah kuasa dua" dan "jumlah kuasa dua". Petunjuk guru bahawa ungkapan ini berbeza dalam susunan tindakan nampaknya tidak ketara, kerana pelajar percaya bahawa tindakan ini dilakukan pada nombor yang sama dan oleh itu hasilnya tidak berubah daripada mengubah susunan tindakan.

Tugasan: Mengarang latihan lisan untuk mengembangkan kemahiran murid menggunakan rumus di atas dengan tepat. Bagaimana untuk menerangkan bagaimana kedua-dua ungkapan ini serupa dan bagaimana ia berbeza antara satu sama lain?

Pelbagai jenis transformasi yang serupa menyukarkan pelajar untuk mengorientasikan diri mereka kepada tujuan yang mereka lakukan. Pengetahuan kabur tentang tujuan melakukan transformasi (dalam setiap kes tertentu) menjejaskan kesedaran mereka secara negatif, dan berfungsi sebagai sumber kesilapan besar pelajar. Ini menunjukkan bahawa menerangkan kepada pelajar matlamat untuk melakukan pelbagai transformasi yang serupa adalah bahagian penting dalam metodologi untuk mengkajinya.

Contoh motivasi untuk transformasi yang sama:

1. memudahkan mencari nilai berangka ungkapan;

2. memilih penjelmaan persamaan yang tidak membawa kepada kehilangan punca;

3. apabila melakukan transformasi, anda boleh menandakan kawasan pengiraannya;

4. penggunaan penjelmaan dalam pengiraan, contohnya, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Untuk menguruskan proses keputusan, adalah penting bagi guru untuk mempunyai kebolehan untuk memberikan penerangan yang tepat tentang intipati kesilapan yang dilakukan oleh pelajar. Pencirian kesilapan yang tepat adalah kunci kepada pilihan yang betul bagi tindakan seterusnya yang diambil oleh guru.

Contoh kesilapan pelajar:

1. melakukan pendaraban: pelajar menerima -54abx 6 (7 sel);

2. melakukan eksponen (3x 2) 3, pelajar menerima 3x 6 (7 sel);

3. menukar (m + n) 2 kepada polinomial, pelajar menerima m 2 + n 2 (7 sel);

4. mengurangkan pecahan yang diterima oleh pelajar (8 sel);

5. melakukan penolakan: , pelajar menulis (8 sel)

6. Mewakili pecahan dalam bentuk pecahan, pelajar menerima: (8 sel);

7. mengekstrak punca aritmetik, pelajar menerima x-1 (9 sel);

8. menyelesaikan persamaan (9 sel);

9. mengubah ungkapan, pelajar menerima: (9 sel).

Kesimpulan

Kajian tentang penjelmaan yang sama dijalankan dalam hubungan rapat dengan set berangka yang dipelajari dalam satu kelas atau yang lain.

Pada mulanya, pelajar perlu diminta menjelaskan setiap langkah transformasi, untuk merumuskan peraturan dan undang-undang yang terpakai.

Dalam transformasi yang sama bagi ungkapan algebra, dua peraturan digunakan: penggantian dan penggantian dengan sama. Penggantian yang paling biasa digunakan, kerana pengiraan formula adalah berdasarkannya, i.e. cari nilai ungkapan a*b dengan a=5 dan b=-3. Selalunya, pelajar mengabaikan tanda kurungan semasa melakukan pendaraban, mempercayai bahawa tanda pendaraban adalah tersirat. Sebagai contoh, rekod sedemikian mungkin: 5*-3.

kesusasteraan

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Kaedah fungsional dan grafik untuk menyelesaikan masalah peperiksaan", Mn.. Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko "Kesilapan tipikal dalam ujian berpusat", Mn.. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Tasks-traps on centralized testing", Mn.. Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Kaedah untuk menyelesaikan masalah trigonometri", Mn.. Aversev, 2005

Ungkapan angka dan algebra. Penukaran ungkapan.

Apakah ungkapan dalam matematik? Mengapakah penukaran ungkapan diperlukan?

Persoalannya, seperti yang mereka katakan, adalah menarik... Hakikatnya ialah konsep-konsep ini adalah asas kepada semua matematik. Semua matematik terdiri daripada ungkapan dan transformasinya. Tidak begitu jelas? Biar saya jelaskan.

Katakan anda mempunyai contoh yang jahat. Sangat besar dan sangat kompleks. Katakan anda pandai matematik dan anda tidak takut apa-apa! Bolehkah anda menjawab dengan segera?

Anda perlu melakukannya memutuskan contoh ini. Secara berurutan, langkah demi langkah, contoh ini memudahkan. Mengikut peraturan tertentu, sudah tentu. Itu. buat penukaran ungkapan. Seberapa berjaya anda melaksanakan transformasi ini, jadi anda kuat dalam matematik. Jika anda tidak tahu cara melakukan transformasi yang betul, dalam matematik anda tidak boleh lakukan tiada apa...

Untuk mengelakkan masa depan yang tidak selesa (atau sekarang ...), tidak ada salahnya untuk memahami topik ini.)

Sebagai permulaan, mari kita ketahui apakah ungkapan dalam matematik. Apa dah jadi ungkapan angka dan apa yang ungkapan algebra.

Apakah ungkapan dalam matematik?

Ungkapan dalam matematik adalah konsep yang sangat luas. Hampir semua yang kita hadapi dalam matematik adalah satu set ungkapan matematik. Mana-mana contoh, formula, pecahan, persamaan, dan sebagainya - semuanya terdiri daripada ungkapan matematik.

3+2 ialah ungkapan matematik. c 2 - d 2 juga merupakan ungkapan matematik. Dan pecahan yang sihat, dan juga satu nombor - ini semua adalah ungkapan matematik. Persamaan, sebagai contoh, ialah:

5x + 2 = 12

terdiri daripada dua ungkapan matematik yang disambungkan oleh tanda sama. Satu ungkapan di sebelah kiri, satu lagi di sebelah kanan.

Secara umum, istilah ungkapan matematik" digunakan, paling kerap, untuk tidak menggumam. Mereka akan bertanya kepada anda apakah pecahan biasa, sebagai contoh? Dan bagaimana untuk menjawab ?!

Jawapan 1: "Ia... m-m-m-m... perkara sedemikian ... di mana ... Bolehkah saya menulis pecahan dengan lebih baik? Awak mahu yang mana satu?"

Pilihan jawapan kedua: "Pecahan biasa ialah (dengan riang dan gembira!) ungkapan matematik , yang terdiri daripada pengangka dan penyebut!"

Pilihan kedua entah bagaimana lebih mengagumkan, bukan?)

Untuk tujuan ini, frasa " ungkapan matematik "sangat bagus. Kedua-duanya betul dan kukuh. Tetapi untuk aplikasi praktikal, anda perlu mahir jenis ungkapan tertentu dalam matematik .

Jenis khusus adalah perkara lain. ini perkara yang agak lain! Setiap jenis ungkapan matematik mempunyai saya satu set peraturan dan teknik yang mesti digunakan dalam keputusan. Untuk bekerja dengan pecahan - satu set. Untuk bekerja dengan ungkapan trigonometri - yang kedua. Untuk bekerja dengan logaritma - yang ketiga. Dan sebagainya. Di suatu tempat peraturan ini bertepatan, di suatu tempat ia berbeza secara mendadak. Tetapi jangan takut dengan kata-kata yang mengerikan ini. Logaritma, trigonometri dan perkara misteri lain yang akan kita kuasai dalam bahagian yang berkaitan.

Di sini kita akan menguasai (atau - ulang, seperti yang anda suka ...) dua jenis utama ungkapan matematik. Ungkapan angka dan ungkapan algebra.

Ungkapan angka.

Apa dah jadi ungkapan angka? Ini adalah konsep yang sangat mudah. Nama itu sendiri membayangkan bahawa ini adalah ungkapan dengan nombor. Begitulah keadaannya. Ungkapan matematik yang terdiri daripada nombor, kurungan dan tanda operasi aritmetik dipanggil ungkapan angka.

7-3 ialah ungkapan angka.

(8+3.2) 5.4 juga merupakan ungkapan angka.

Dan raksasa ini:

juga ungkapan angka, ya...

Nombor biasa, pecahan, sebarang contoh pengiraan tanpa x dan huruf lain - semua ini adalah ungkapan berangka.

ciri utama berangka ungkapan di dalamnya tiada surat. tiada. Hanya nombor dan ikon matematik (jika perlu). Ia mudah, bukan?

Dan apa yang boleh dilakukan dengan ungkapan berangka? Ungkapan angka biasanya boleh dikira. Untuk melakukan ini, kadangkala anda perlu membuka kurungan, menukar tanda, menyingkat, menukar istilah - i.e. buat penukaran ungkapan. Tetapi lebih lanjut mengenai itu di bawah.

Di sini kita akan menangani kes yang lucu apabila dengan ungkapan berangka anda tidak perlu berbuat apa-apa. Nah, tiada apa-apa! Operasi yang bagus ini untuk tidak berbuat apa-apa)- dilaksanakan apabila ungkapan tidak masuk akal.

Bilakah ungkapan berangka tidak masuk akal?

Sudah tentu, jika kita melihat beberapa jenis abracadabra di hadapan kita, seperti

maka kita tidak akan melakukan apa-apa. Oleh kerana tidak jelas apa yang perlu dilakukan dengannya. Beberapa karut. Kecuali, untuk mengira bilangan tambah ...

Tetapi terdapat ungkapan luaran yang agak baik. Contohnya ini:

(2+3): (16 - 2 8)

Walau bagaimanapun, ungkapan ini juga tidak masuk akal! Atas sebab mudah bahawa dalam kurungan kedua - jika anda mengira - anda mendapat sifar. Anda tidak boleh membahagi dengan sifar! Ini adalah operasi terlarang dalam matematik. Oleh itu, tidak perlu melakukan apa-apa dengan ungkapan ini sama ada. Untuk sebarang tugas dengan ungkapan sedemikian, jawapannya akan sentiasa sama: "Ungkapan itu tidak masuk akal!"

Untuk memberikan jawapan sedemikian, sudah tentu, saya perlu mengira apa yang akan ada dalam kurungan. Dan kadang-kadang dalam kurungan kelainan seperti itu ... Nah, tiada apa yang perlu dilakukan mengenainya.

Tidak begitu banyak operasi terlarang dalam matematik. Hanya ada satu dalam thread ini. Pembahagian dengan sifar. Larangan tambahan yang timbul dalam akar dan logaritma dibincangkan dalam topik yang berkaitan.

Jadi, idea tentang apa itu ungkapan angka- dapat. konsep ungkapan angka tidak masuk akal- sedar. Mari pergi lebih jauh.

Ungkapan algebra.

Jika huruf muncul dalam ungkapan berangka, ungkapan ini menjadi... Ungkapan itu menjadi... Ya! Ia menjadi ungkapan algebra. Sebagai contoh:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Ungkapan sedemikian juga dipanggil ungkapan literal. Ataupun ungkapan dengan pembolehubah. Ia boleh dikatakan perkara yang sama. Ungkapan 5a +c, sebagai contoh - kedua-dua literal dan algebra, dan ungkapan dengan pembolehubah.

konsep ungkapan algebra - lebih luas daripada angka. Ia termasuk dan semua ungkapan angka. Itu. ungkapan berangka juga merupakan ungkapan algebra, hanya tanpa huruf. Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring...)

kenapa literal- Ia jelas. Nah, kerana terdapat huruf ... Frasa ungkapan dengan pembolehubah juga tidak terlalu membingungkan. Jika anda faham bahawa nombor tersembunyi di bawah huruf. Semua jenis nombor boleh disembunyikan di bawah huruf ... Dan 5, dan -18, dan apa sahaja yang anda suka. Iaitu, surat boleh menggantikan untuk nombor yang berbeza. Itulah sebabnya huruf itu dipanggil pembolehubah.

Dalam ungkapan y+5, Sebagai contoh, di- pembolehubah. Atau katakan saja " pembolehubah", tanpa perkataan "nilai". Berbeza dengan lima, iaitu nilai tetap. Atau hanya - tetap.

Penggal ungkapan algebra bermakna untuk menggunakan ungkapan ini, anda perlu menggunakan undang-undang dan peraturan algebra. Jika aritmetik berfungsi dengan nombor tertentu, kemudian algebra- dengan semua nombor sekali gus. Contoh mudah untuk penjelasan.

Dalam aritmetik, seseorang boleh menulis itu

Tetapi jika kita menulis kesamaan yang serupa melalui ungkapan algebra:

a + b = b + a

kami akan membuat keputusan segera Semua soalan. Untuk semua nombor strok. Untuk bilangan perkara yang tidak terhingga. Kerana di bawah huruf A Dan b tersirat Semua nombor. Dan bukan sahaja nombor, malah ungkapan matematik yang lain. Beginilah cara algebra berfungsi.

Bilakah ungkapan algebra tidak masuk akal?

Semuanya jelas tentang ungkapan berangka. Anda tidak boleh membahagi dengan sifar. Dan dengan surat, adakah mungkin untuk mengetahui apa yang kita bahagikan ?!

Mari kita ambil ungkapan pembolehubah berikut sebagai contoh:

2: (A - 5)

Adakah ia masuk akal? Tetapi siapa yang mengenalinya? A- sebarang nombor...

Mana-mana, mana-mana... Tetapi ada satu maksud A, yang mana ungkapan ini betul-betul tidak masuk akal! Dan apakah nombor itu? Ya! dah 5! Jika pembolehubah A ganti (mereka berkata - "pengganti") dengan nombor 5, dalam kurungan, sifar akan berubah. yang tidak boleh dibahagikan. Jadi ternyata ungkapan kita tidak masuk akal, Jika a = 5. Tetapi untuk nilai lain A adakah ia masuk akal? Bolehkah anda menggantikan nombor lain?

Sudah tentu. Dalam kes sedemikian, ia hanya dikatakan bahawa ungkapan

2: (A - 5)

masuk akal untuk sebarang nilai A, kecuali a = 5 .

Seluruh set nombor boleh pengganti ke dalam ungkapan yang diberikan dipanggil julat yang sah ungkapan ini.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit. Kami melihat ungkapan dengan pembolehubah, dan berfikir: pada nilai pembolehubah apakah operasi terlarang yang diperolehi (bahagi dengan sifar)?

Dan kemudian pastikan anda melihat soalan tugasan. Apa yang mereka tanya?

tidak masuk akal, nilai terlarang kita akan menjadi jawapannya.

Jika mereka bertanya pada apakah nilai pembolehubah ungkapan itu mempunyai makna(rasai perbezaannya!), jawapannya adalah semua nombor lain kecuali yang haram.

Mengapakah kita memerlukan maksud ungkapan tersebut? Dia ada, dia tidak... Apa bezanya?! Hakikatnya konsep ini menjadi sangat penting di sekolah menengah. Sangat penting! Ini adalah asas untuk konsep pepejal seperti julat nilai yang sah atau skop fungsi. Tanpa ini, anda tidak akan dapat menyelesaikan persamaan atau ketidaksamaan yang serius sama sekali. Macam ni.

Penukaran ungkapan. Transformasi identiti.

Kami berkenalan dengan ungkapan berangka dan algebra. Fahami maksud frasa "ungkapan itu tidak masuk akal". Sekarang kita perlu memikirkan apa penukaran ungkapan. Jawapannya mudah, keterlaluan.) Ini adalah sebarang tindakan dengan ungkapan. Dan itu sahaja. Anda telah melakukan transformasi ini sejak kelas pertama.

Ambil ungkapan berangka yang keren 3+5. Bagaimana ia boleh ditukar? Ya, sangat mudah! Kira:

Pengiraan ini akan menjadi transformasi ungkapan. Anda boleh menulis ungkapan yang sama dengan cara yang berbeza:

Kami tidak mengira apa-apa di sini. Tulis sahaja ungkapan itu dalam bentuk yang berbeza. Ini juga akan menjadi transformasi ungkapan. Ia boleh ditulis seperti ini:

Dan ini juga adalah transformasi ungkapan. Anda boleh membuat seberapa banyak perubahan ini yang anda suka.

mana-mana tindakan pada ekspresi mana-mana menulisnya dalam bentuk yang berbeza dipanggil transformasi ungkapan. Dan semua perkara. Semuanya sangat mudah. Tetapi ada satu perkara di sini peraturan yang sangat penting. Sangat penting sehingga ia boleh dipanggil dengan selamat peraturan utama semua matematik. Melanggar peraturan ini tidak dapat dielakkan membawa kepada kesilapan. Adakah kita faham?)

Katakan kita telah mengubah ungkapan kita sewenang-wenangnya, seperti ini:

Transformasi? Sudah tentu. Kami menulis ungkapan dalam bentuk yang berbeza, apa yang salah di sini?

Ia bukan seperti itu.) Hakikatnya ialah transformasi "apa-apa sahajalah" matematik tidak berminat sama sekali.) Semua matematik dibina berdasarkan transformasi di mana penampilan berubah, tetapi intipati ungkapan itu tidak berubah. Tiga tambah lima boleh ditulis dalam apa jua bentuk, tetapi mesti lapan.

transformasi, ungkapan yang tidak mengubah intipati dipanggil sama.

Tepat sekali transformasi yang sama dan benarkan kami, langkah demi langkah, mengubah contoh yang kompleks menjadi ungkapan yang mudah, menyimpan intipati contoh. Jika kita membuat kesilapan dalam rantaian transformasi, kita akan membuat transformasi yang TIDAK sama, kemudian kita akan membuat keputusan yang lain contoh. Dengan jawapan lain yang tidak berkaitan dengan yang betul.)

Inilah peraturan utama untuk menyelesaikan sebarang tugas: pematuhan dengan identiti transformasi.

Saya memberikan contoh dengan ungkapan berangka 3 + 5 untuk kejelasan. Dalam ungkapan algebra, transformasi yang sama diberikan oleh formula dan peraturan. Katakan terdapat formula dalam algebra:

a(b+c) = ab + ac

Jadi, dalam mana-mana contoh, kita boleh bukannya ungkapan a(b+c) berasa bebas untuk menulis ungkapan ab+ac. Dan begitu juga sebaliknya. ini transformasi yang sama. Matematik memberi kita pilihan dua ungkapan ini. Dan yang mana satu untuk ditulis bergantung pada contoh khusus.

Contoh yang lain. Salah satu transformasi yang paling penting dan perlu ialah sifat asas pecahan. Anda boleh melihat butiran lanjut pada pautan, tetapi di sini saya hanya mengingatkan peraturan: jika pengangka dan penyebut pecahan didarab (dibahagi) dengan nombor yang sama, atau ungkapan yang tidak sama dengan sifar, pecahan itu tidak akan berubah. Berikut ialah contoh transformasi yang sama untuk sifat ini:

Seperti yang anda duga, rantai ini boleh diteruskan selama-lamanya...) Harta yang sangat penting. Ia adalah yang membolehkan anda menukar semua jenis raksasa contoh menjadi putih dan gebu.)

Terdapat banyak formula yang mentakrifkan transformasi yang sama. Tetapi yang paling penting - jumlah yang agak munasabah. Salah satu transformasi asas ialah pemfaktoran. Ia digunakan dalam semua matematik - dari peringkat rendah hingga lanjutan. Mari kita mulakan dengan dia. dalam pelajaran seterusnya.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Nota PENTING!
1. Jika bukannya formula anda melihat abracadabra, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukannya dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel, beri perhatian kepada navigator kami untuk mendapatkan sumber yang paling berguna

Selalunya kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "mudahkan ungkapan." Biasanya, dalam kes ini, kita mempunyai beberapa jenis raksasa seperti ini:

"Ya, lebih mudah," kami berkata, tetapi jawapan sedemikian biasanya tidak berfungsi.

Sekarang saya akan mengajar anda untuk tidak takut dengan sebarang tugas sedemikian.

Lebih-lebih lagi, pada akhir pelajaran, anda sendiri akan memudahkan contoh ini kepada (hanya!) nombor biasa (ya, neraka dengan huruf ini).

Tetapi sebelum anda memulakan pelajaran ini, anda perlu boleh berurusan dengan pecahan Dan memfaktorkan polinomial.

Oleh itu, jika anda belum melakukannya sebelum ini, pastikan anda menguasai topik "" dan "".

Baca? Jika ya, maka anda sudah bersedia.

Mari pergi! (Mari pergi!)

Operasi Permudah Ungkapan Asas

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk memudahkan ungkapan.

Yang paling mudah ialah

1. Membawa serupa

Apakah yang serupa? Anda telah melalui ini dalam gred 7, apabila huruf pertama kali muncul dalam matematik dan bukannya nombor.

serupa ialah istilah (monomial) dengan bahagian huruf yang sama.

Sebagai contoh, dalam jumlah, seperti istilah ialah dan.

teringat?

Bawa serupa- bermaksud menambah beberapa istilah yang serupa antara satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tetapi bagaimana kita boleh menyusun huruf? - anda bertanya.

Ini sangat mudah difahami jika anda membayangkan bahawa huruf itu adalah sejenis objek.

Sebagai contoh, surat itu adalah kerusi. Lalu apakah ungkapannya?

Dua kerusi ditambah tiga kerusi, berapakah harganya? Betul, kerusi: .

Sekarang cuba ungkapan ini:

Untuk tidak keliru, biarkan huruf yang berbeza menunjukkan objek yang berbeza.

Sebagai contoh, - ini (seperti biasa) kerusi, dan - ini meja.

kerusi meja kerusi meja kerusi kerusi meja

Nombor yang mana huruf dalam sebutan tersebut didarab dipanggil pekali.

Sebagai contoh, dalam monomial pekali adalah sama. Dan dia sama rata.

Jadi, peraturan untuk membawa serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawapan:

2. (dan adalah serupa, kerana, oleh itu, istilah ini mempunyai bahagian huruf yang sama).

2. Pemfaktoran

Ini biasanya bahagian terpenting dalam memudahkan ungkapan.

Selepas anda memberikan yang serupa, paling kerap ungkapan yang terhasil diperlukan memfaktorkan, iaitu mewakili sebagai produk.

Terutamanya ini penting dalam pecahan: kerana untuk mengurangkan pecahan, pengangka dan penyebut mesti dinyatakan sebagai hasil darab.

Anda telah melalui kaedah terperinci pemfaktoran ungkapan dalam topik "", jadi di sini anda hanya perlu mengingati apa yang telah anda pelajari.

Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh (anda perlu memfaktorkan)

Contoh:

Penyelesaian:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang lebih baik daripada memotong sebahagian daripada pengangka dan penyebut, dan membuangnya daripada hidup anda?

Itulah indahnya singkatan.

Ia mudah:

Jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor yang sama, ia boleh dikurangkan, iaitu, dikeluarkan daripada pecahan.

Peraturan ini mengikuti dari sifat asas pecahan:

Iaitu, intipati operasi pengurangan itu Kami membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama (atau dengan ungkapan yang sama).

Untuk mengurangkan pecahan, anda perlu:

1) pengangka dan penyebut memfaktorkan

2) jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor biasa, ia boleh dipadamkan.

Contoh:

Prinsipnya, saya rasa, jelas?

Saya ingin menarik perhatian anda kepada satu kesilapan biasa dalam singkatan. Walaupun topik ini mudah, tetapi ramai orang melakukan semua yang salah, tidak menyedarinya potong- ini bermaksud bahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama.

Tiada singkatan jika pengangka atau penyebut adalah jumlah.

Sebagai contoh: anda perlu memudahkan.

Sesetengah melakukan ini: yang sama sekali salah.

Contoh lain: kurangkan.

"Paling bijak" akan melakukan ini:

Beritahu saya apa yang salah di sini? Nampaknya: - ini adalah pengganda, jadi anda boleh mengurangkan.

Tetapi tidak: - ini adalah faktor hanya satu sebutan dalam pengangka, tetapi pengangka itu sendiri secara keseluruhannya tidak diuraikan menjadi faktor.

Berikut adalah contoh lain: .

Ungkapan ini diuraikan kepada faktor, yang bermaksud bahawa anda boleh mengurangkan, iaitu, membahagikan pengangka dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda boleh membahagikan dengan segera dengan:

Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, ingat cara mudah untuk menentukan sama ada ungkapan difaktorkan:

Operasi aritmetik yang dilakukan terakhir apabila mengira nilai ungkapan ialah "utama".

Iaitu, jika anda menggantikan beberapa (mana-mana) nombor dan bukannya huruf, dan cuba mengira nilai ungkapan, maka jika tindakan terakhir ialah pendaraban, maka kita mempunyai produk (ungkapan itu diuraikan menjadi faktor).

Jika tindakan terakhir ialah penambahan atau penolakan, ini bermakna ungkapan itu tidak difaktorkan (dan oleh itu tidak boleh dikurangkan).

Untuk membetulkannya sendiri, beberapa contoh:

Contoh:

Penyelesaian:

4. Penambahan dan penolakan pecahan. Membawa pecahan kepada penyebut biasa.

Menambah dan menolak pecahan biasa ialah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah / tolak pengangka.

Mari kita ingat:

Jawapan:

1. Penyebut dan adalah koprima, iaitu, mereka tidak mempunyai faktor sepunya. Oleh itu, LCM nombor ini adalah sama dengan produknya. Ini akan menjadi penyebut biasa:

2. Di sini penyebut biasa ialah:

3. Di sini, pertama sekali, kita menukar pecahan campuran menjadi tidak wajar, dan kemudian - mengikut skema biasa:

Ia adalah perkara lain jika pecahan mengandungi huruf, contohnya:

Mari kita mulakan dengan mudah:

a) Penyebut tidak mengandungi huruf

Di sini semuanya sama seperti pecahan berangka biasa: kami mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah / tolak pengangka:

kini dalam pengangka anda boleh membawa yang serupa, jika ada, dan faktorkan:

Cuba sendiri:

Jawapan:

b) Penyebut mengandungi huruf

Mari kita ingat prinsip mencari penyebut biasa tanpa huruf:

Pertama sekali, kami menentukan faktor sepunya;

Kemudian kami menulis semua faktor sepunya sekali;

dan darabkannya dengan semua faktor lain, bukan faktor biasa.

Untuk menentukan faktor sepunya penyebut, kita mula-mula menguraikannya kepada faktor mudah:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kita tuliskan faktor sepunya sekali dan tambahkan kepada mereka semua faktor bukan lazim (tidak digariskan):

Ini adalah penyebut biasa.

Mari kita kembali kepada huruf. Penyebut diberikan dengan cara yang sama:

Kami menguraikan penyebut kepada faktor;

tentukan pengganda sepunya (sama);

tulis semua faktor sepunya sekali;

Kami mendarabkannya dengan semua faktor lain, bukan faktor biasa.

Jadi, mengikut urutan:

1) menguraikan penyebut kepada faktor:

2) tentukan faktor sepunya (sama):

3) tulis semua faktor sepunya sekali dan darabkannya dengan semua faktor lain (tidak digariskan):

Jadi penyebut biasa adalah di sini. Pecahan pertama mesti didarab dengan, yang kedua - dengan:

By the way, ada satu helah:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan penunjuk yang berbeza. Penyebut biasa ialah:

setakat itu

setakat itu

setakat itu

dalam ijazah.

Mari kita rumitkan tugas:

Bagaimana untuk membuat pecahan mempunyai penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat asas pecahan:

Tidak ada yang mengatakan bahawa nombor yang sama boleh ditolak (atau ditambah) daripada pengangka dan penyebut pecahan. Kerana ia tidak benar!

Lihat sendiri: ambil mana-mana pecahan, sebagai contoh, dan tambahkan beberapa nombor pada pengangka dan penyebut, contohnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, satu lagi peraturan yang tidak tergoyahkan:

Apabila anda membawa pecahan kepada penyebut biasa, gunakan hanya operasi pendaraban!

Tetapi apa yang anda perlu darabkan untuk mendapatkan?

Di sini dan membiak. Dan darab dengan:

Ungkapan yang tidak boleh difaktorkan akan dipanggil "faktor asas".

Sebagai contoh, adalah faktor asas. - Sama. Tetapi - tidak: ia diuraikan menjadi faktor.

Bagaimana pula dengan ekspresi? Adakah ia rendah?

Tidak, kerana ia boleh difaktorkan:

(anda sudah membaca tentang pemfaktoran dalam topik "").

Jadi, faktor asas di mana anda menguraikan ungkapan dengan huruf adalah analog daripada faktor mudah yang anda menguraikan nombor. Dan kami akan melakukan perkara yang sama dengan mereka.

Kami melihat bahawa kedua-dua penyebut mempunyai faktor. Ia akan pergi ke penyebut biasa dalam kuasa (ingat kenapa?).

Pengganda adalah asas, dan mereka tidak mempunyai persamaan, yang bermaksud bahawa pecahan pertama hanya perlu didarab dengannya:

Contoh yang lain:

Penyelesaian:

Sebelum mendarabkan penyebut ini dalam keadaan panik, anda perlu memikirkan bagaimana untuk memfaktorkannya? Kedua-duanya mewakili:

Hebat! Kemudian:

Contoh yang lain:

Penyelesaian:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Dalam penyebut pertama, kita hanya meletakkannya daripada kurungan; dalam kedua - perbezaan segi empat sama:

Nampaknya tidak ada faktor biasa. Tetapi jika anda melihat dengan teliti, mereka sudah sangat serupa ... Dan kebenarannya ialah:

Jadi mari kita tulis:

Iaitu, ternyata seperti ini: di dalam kurungan, kami menukar istilah, dan pada masa yang sama, tanda di hadapan pecahan berubah kepada sebaliknya. Ambil perhatian, anda perlu melakukan ini dengan kerap.

Sekarang kami membawa kepada penyebut biasa:

faham? Sekarang mari kita semak.

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Jawapan:

5. Pendaraban dan pembahagian pecahan.

Nah, bahagian yang paling sukar kini telah berakhir. Dan di hadapan kita adalah yang paling mudah, tetapi pada masa yang sama yang paling penting:

Prosedur

Apakah prosedur untuk mengira ungkapan berangka? Ingat, mempertimbangkan nilai ungkapan sedemikian:

Adakah anda mengira?

Ia sepatutnya berfungsi.

Jadi, saya ingatkan awak.

Langkah pertama ialah mengira darjah.

Yang kedua ialah pendaraban dan pembahagian. Jika terdapat beberapa pendaraban dan pembahagian pada masa yang sama, anda boleh melakukannya dalam sebarang susunan.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan penolakan. Sekali lagi, dalam sebarang susunan.

Tetapi: ungkapan dalam kurungan dinilai tidak teratur!

Jika beberapa kurungan didarab atau dibahagi dengan satu sama lain, kami mula-mula menilai ungkapan dalam setiap kurungan, dan kemudian mendarab atau membahagikannya.

Bagaimana jika terdapat kurungan lain di dalam kurungan? Baiklah, mari kita fikirkan: beberapa ungkapan ditulis di dalam kurungan. Apakah perkara pertama yang perlu dilakukan semasa menilai ungkapan? Betul, kira kurungan. Nah, kami memikirkannya: mula-mula kami mengira kurungan dalaman, kemudian segala-galanya.

Jadi, susunan tindakan untuk ungkapan di atas adalah seperti berikut (tindakan semasa diserlahkan dengan warna merah, iaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Okay, semuanya mudah.

Tetapi itu tidak sama dengan ungkapan dengan huruf, bukan?

Tidak, ia sama! Hanya daripada operasi aritmetik yang perlu dilakukan operasi algebra, iaitu, operasi yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya: membawa serupa, menambah pecahan, mengurangkan pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbezaan adalah tindakan pemfaktoran polinomial (kita sering menggunakannya apabila bekerja dengan pecahan). Selalunya, untuk pemfaktoran, anda perlu menggunakan i atau hanya mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

Biasanya matlamat kami adalah untuk mewakili ungkapan sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari mudahkan ungkapan.

1) Mula-mula kita permudahkan ungkapan dalam kurungan. Di sana kami mempunyai perbezaan pecahan, dan matlamat kami adalah untuk mewakilinya sebagai hasil darab atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan kepada penyebut biasa dan menambah:

Tidak mustahil untuk mempermudahkan lagi ungkapan ini, semua faktor di sini adalah asas (adakah anda masih ingat maksud ini?).

2) Kami mendapat:

Pendaraban pecahan: apa yang lebih mudah.

3) Kini anda boleh memendekkan:

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh yang lain:

Permudahkan ungkapan.

Pertama, cuba selesaikan sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya.

Penyelesaian:

Pertama sekali, mari kita tentukan prosedur.

Mula-mula, mari tambah pecahan dalam kurungan, bukannya dua pecahan, satu akan keluar.

Kemudian kita akan melakukan pembahagian pecahan. Nah, kami menambah hasilnya dengan pecahan terakhir.

Saya akan menomborkan langkah-langkah secara skematik:

Akhirnya, saya akan memberi anda dua petua berguna:

1. Jika ada yang serupa, hendaklah dibawa segera. Pada bila-bila masa kita mempunyai yang serupa, dinasihatkan untuk membawanya segera.

2. Begitu juga untuk mengurangkan pecahan: sebaik sahaja peluang untuk mengurangkan, ia mesti digunakan. Pengecualian ialah pecahan yang anda tambah atau tolak: jika ia kini mempunyai penyebut yang sama, maka pengurangan itu harus ditinggalkan untuk kemudian.

Berikut ialah beberapa tugasan untuk anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji pada awalnya:

Jawapan:

Penyelesaian (ringkas):

Jika anda mengatasi sekurang-kurangnya tiga contoh pertama, maka anda, pertimbangkan, telah menguasai topik itu.

Sekarang untuk belajar!

PENUKARAN EKSPRESI. RUMUSAN DAN FORMULA ASAS

Operasi penyederhanaan asas:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangkan) istilah seperti, anda perlu menambah pekalinya dan menetapkan bahagian huruf.
• Pemfaktoran: mengambil faktor sepunya daripada kurungan, memohon, dsb.
• Pengurangan pecahan: pengangka dan penyebut pecahan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, dari mana nilai pecahan itu tidak berubah.
  1) pengangka dan penyebut memfaktorkan
  2) jika terdapat faktor sepunya dalam pengangka dan penyebut, ia boleh dicoret.

  PENTING: hanya pengganda boleh dikurangkan!

• Penambahan dan penolakan pecahan:
  ;
• Pendaraban dan pembahagian pecahan:
  ;

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, maka anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda telah membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5%!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ia ... ia sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk kejayaan lulus peperiksaan, untuk kemasukan ke institut pada bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak pendapatan daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada orang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

LENGKAPKAN TANGAN ANDA, SELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan ditanya teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah tepat pada masanya.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berjaya tepat pada masanya.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulang banyak kali untuk menang pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti mengesyorkannya.

Untuk mendapatkan bantuan dengan bantuan tugasan kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk sepanjang hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti dengan teori.

"Difahamkan" dan "Saya tahu bagaimana untuk menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Nombor dan ungkapan yang membentuk ungkapan asal boleh digantikan dengan ungkapan yang sama dengannya. Transformasi ungkapan asal sedemikian membawa kepada ungkapan yang sama dengannya.

Sebagai contoh, dalam ungkapan 3+x, nombor 3 boleh digantikan dengan jumlah 1+2 , yang menghasilkan ungkapan (1+2)+x , yang sama dengan ungkapan asal. Contoh lain: dalam ungkapan 1+a 5 darjah a 5 boleh digantikan dengan produk yang sama sama dengannya, sebagai contoh, dalam bentuk a·a 4 . Ini akan memberikan kita ungkapan 1+a·a 4 .

Transformasi ini sudah pasti buatan, dan biasanya merupakan persediaan untuk beberapa transformasi selanjutnya. Contohnya, dalam jumlah 4·x 3 +2·x 2 , dengan mengambil kira sifat darjah, istilah 4·x 3 boleh diwakili sebagai hasil darab 2·x 2 ·2·x . Selepas transformasi sedemikian, ungkapan asal akan mengambil bentuk 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Jelas sekali, istilah dalam jumlah yang terhasil mempunyai faktor sepunya 2 x 2, jadi kita boleh melakukan penjelmaan berikut - kurungan. Selepas itu, kita akan sampai kepada ungkapan: 2 x 2 (2 x+1) .

Menambah dan menolak nombor yang sama

Satu lagi penjelmaan tiruan bagi ungkapan ialah penambahan dan penolakan nombor atau ungkapan yang sama pada masa yang sama. Transformasi sedemikian adalah sama, kerana ia, sebenarnya, bersamaan dengan menambah sifar, dan menambah sifar tidak mengubah nilai.

Pertimbangkan satu contoh. Mari kita ambil ungkapan x 2 +2 x . Jika anda menambah satu padanya dan menolak satu, maka ini akan membolehkan anda melakukan satu lagi transformasi yang sama pada masa hadapan - pilih kuasa dua binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-17 - M. : Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: buku teks untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.

Sifat asas penambahan dan pendaraban nombor.

Sifat komutatif penambahan: apabila istilah disusun semula, nilai jumlah tidak berubah. Untuk sebarang nombor a dan b, kesamaan adalah benar

Sifat bersekutu penambahan: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua nombor, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Sifat komutatif pendaraban: pilih atur faktor tidak mengubah nilai produk. Untuk sebarang nombor a, b dan c, kesamaan adalah benar

Sifat bersekutu pendaraban: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga.

Untuk sebarang nombor a, b dan c, kesamaan adalah benar

Sifat distributif: Untuk mendarab nombor dengan jumlah, anda boleh mendarab nombor itu dengan setiap sebutan dan menambah hasilnya. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Ia berikutan daripada sifat komutatif dan bersekutu penambahan bahawa dalam apa-apa jumlah anda boleh menyusun semula istilah yang anda suka dan menggabungkannya ke dalam kumpulan dengan cara sewenang-wenangnya.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.

Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kita mendapatkan:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ia mengikuti daripada sifat komutatif dan bersekutu bagi pendaraban: dalam mana-mana produk, anda boleh menyusun semula faktor dalam apa jua cara dan sewenang-wenangnya menggabungkannya ke dalam kumpulan.

Contoh 2 Mari cari nilai hasil darab 1.8 0.25 64 0.5.

Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita akan mempunyai:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

Sifat taburan juga sah apabila nombor itu didarabkan dengan hasil tambah tiga atau lebih sebutan.

Sebagai contoh, untuk sebarang nombor a, b, c dan d, kesamaan adalah benar

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Kita tahu bahawa penolakan boleh digantikan dengan penambahan dengan menambah pada minuend nombor berlawanan dengan subtrahend:

Ini membenarkan ungkapan berangka bentuk a-b untuk dianggap hasil tambah nombor a dan -b, ungkapan berangka bentuk a + b-c-d untuk dianggap hasil tambah nombor a, b, -c, -d, dsb. sifat tindakan yang dianggap juga sah untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari cari nilai ungkapan 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ungkapan ini ialah hasil tambah nombor 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menggunakan sifat penambahan, kita dapat: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil darab 36·().

Pengganda boleh dianggap sebagai hasil tambah nombor dan -. Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, kita dapat:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiti

Definisi. Dua ungkapan yang nilai sepadannya adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah dikatakan sama sama.

Definisi. Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.

Mari cari nilai ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Kami mendapat keputusan yang sama. Ia berikutan daripada sifat taburan bahawa, secara umum, untuk sebarang nilai pembolehubah, nilai yang sepadan bagi ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ungkapan 2x+y dan 2xy. Untuk x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Walau bagaimanapun, anda boleh menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ungkapan ini tidak sama. Contohnya, jika x=3, y=4, maka

Ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama, tetapi ungkapan 2x+y dan 2xy tidak sama.

Kesamaan 3(x+y)=x+3y, benar untuk sebarang nilai x dan y, ialah identiti.

Persamaan berangka sebenar juga dianggap sebagai identiti.

Jadi, identiti ialah kesamaan yang menyatakan sifat utama tindakan pada nombor:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh identiti lain boleh diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi identiti ungkapan

Penggantian satu ungkapan dengan yang lain, yang sama dengannya, dipanggil transformasi yang sama atau hanya transformasi ungkapan.

Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

Untuk mencari nilai ungkapan xy-xz diberi nilai x, y, z, anda perlu melakukan tiga langkah. Sebagai contoh, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita dapat:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

Keputusan ini boleh didapati dalam dua langkah sahaja, menggunakan ungkapan x(y-z), yang sama dengan ungkapan xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

Kami telah memudahkan pengiraan dengan menggantikan ungkapan xy-xz dengan ungkapan yang sama x(y-z).

Transformasi identiti ungkapan digunakan secara meluas dalam mengira nilai ungkapan dan menyelesaikan masalah lain. Beberapa transformasi yang sama telah dilakukan, contohnya, pengurangan istilah yang serupa, pembukaan kurungan. Ingat peraturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk membawa istilah yang sama, anda perlu menambah pekalinya dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa;

jika terdapat tanda tambah di hadapan kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan, mengekalkan tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan;

jika terdapat tanda tolak sebelum kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan dengan menukar tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan.

Contoh 1 Mari tambah sebutan seperti dalam jumlah 5x+2x-3x.

Kami menggunakan peraturan untuk mengurangkan istilah seperti:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Penjelmaan ini adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban.

Contoh 2 Mari kembangkan kurungan dalam ungkapan 2a+(b-3c).

Menggunakan peraturan untuk membuka kurungan didahului dengan tanda tambah:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dilakukan adalah berdasarkan sifat bersekutu penambahan.

Contoh 3 Mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan a-(4b-c).

Mari kita gunakan peraturan untuk mengembangkan kurungan yang didahului oleh tanda tolak:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasi yang dilakukan adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban dan sifat bersekutu penambahan. Jom tunjuk. Mari kita wakili sebutan kedua -(4b-c) dalam ungkapan ini sebagai hasil (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Menggunakan sifat tindakan ini, kami mendapat:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.