Transformasi Fourier untuk jujukan imej. Transformasi Fourier Diskret dalam VB.NET

biarlah f(x 1 , x 2) – fungsi dua pembolehubah. Dengan analogi dengan transformasi Fourier satu dimensi, kita boleh memperkenalkan transformasi Fourier dua dimensi:

Fungsi untuk nilai tetap ω 1, ω 2 menerangkan gelombang kapal terbang dalam kapal terbang x 1 , x 2 (Rajah 19.1).

Kuantiti ω 1, ω 2 mempunyai maksud frekuensi dan dimensi ruang mm−1, dan fungsi F(ω 1, ω 2) menentukan spektrum frekuensi spatial. Kanta sfera mampu mengira spektrum isyarat optik (Rajah 19.2). Dalam Rajah 19.2 tatatanda berikut diperkenalkan: φ - panjang fokus,

Rajah 19.1 - Untuk menentukan frekuensi spatial

Penjelmaan Fourier dua dimensi mempunyai semua sifat penjelmaan satu dimensi, di samping itu, kita perhatikan dua sifat tambahan, buktinya mudah mengikuti daripada takrif penjelmaan Fourier dua dimensi.

Rajah 19.2 – Pengiraan spektrum isyarat optik menggunakan
kanta sfera

Pemfaktoran. Jika isyarat dua dimensi difaktorkan,

maka spektrumnya juga difaktorkan:

Simetri jejari. Jika isyarat dua dimensi adalah simetri jejari, iaitu

Di manakah fungsi Bessel pesanan sifar. Formula yang mentakrifkan hubungan antara isyarat dua dimensi simetri jejari dan spektrum ruangnya dipanggil transformasi Hankel.

KULIAH 20. Transformasi Fourier Diskret. Penapis Lulus Rendah

Transformasi Fourier diskret dua dimensi langsung (DFT) mengubah imej yang ditakrifkan dalam sistem koordinat spatial ( x, y), menjadi penjelmaan imej diskret dua dimensi yang dinyatakan dalam sistem koordinat frekuensi ( u,v):

Transformasi Fourier diskret songsang (IDFT) mempunyai bentuk:

Dapat dilihat bahawa DFT adalah satu transformasi yang kompleks. Modulus penjelmaan ini mewakili amplitud spektrum imej dan dikira sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua bahagian sebenar dan khayalan DFT. Fasa (sudut anjakan fasa) ditakrifkan sebagai arctangent nisbah bahagian khayalan DFT kepada bahagian sebenar. Spektrum tenaga adalah sama dengan kuasa dua amplitud spektrum, atau jumlah kuasa dua bahagian khayalan dan nyata spektrum.

Teorem lilitan

Menurut teorem lilitan, lilitan dua fungsi dalam domain spatial boleh diperolehi oleh ODFT hasil darab DFT mereka, iaitu

Penapisan dalam domain frekuensi membolehkan anda menggunakan DFT imej untuk memilih tindak balas frekuensi penapis yang menyediakan transformasi imej yang diperlukan. Mari kita lihat ciri kekerapan penapis yang paling biasa.

Teknologi komunikasi moden tidak dapat dibayangkan tanpa analisis spektrum. Perwakilan isyarat dalam domain frekuensi adalah perlu untuk analisis ciri-cirinya dan untuk analisis blok dan pemasangan transceiver sistem komunikasi radio. Untuk menukar isyarat ke dalam domain frekuensi, transformasi Fourier terus digunakan. Formula umum penukaran langsung Fourier ditulis seperti berikut:

Seperti yang dapat dilihat daripada formula analisis frekuensi ini, pergantungan korelasi antara isyarat yang dibentangkan dalam domain masa dan eksponen kompleks dengan frekuensi tertentu dikira. Dalam kes ini, mengikut formula Euler, eksponen kompleks diuraikan menjadi bahagian nyata dan khayalan:

(2)

Isyarat yang diwakili dalam domain frekuensi boleh ditukar kembali ke domain masa menggunakan transformasi Fourier songsang. Formula umum untuk transformasi Fourier songsang ditulis seperti berikut:

(3)

Formula transformasi Fourier langsung menggunakan penyepaduan masa dari tolak infiniti kepada infiniti. Sememangnya ini adalah abstraksi matematik. Dalam keadaan sebenar, kita boleh menjalankan integrasi daripada pada saat ini masa, yang boleh kita nyatakan sebagai 0, sebelum masa T. Formula bagi penjelmaan Fourier langsung akan ditukar kepada pandangan seterusnya:

(4)

Akibatnya sifat-sifat transformasi Fourier berubah dengan ketara. Spektrum isyarat sebaliknya fungsi berterusan menjadi satu siri nilai yang diskret. Sekarang kekerapan minimum dan pada masa yang sama langkah nilai frekuensi spektrum isyarat menjadi:

, (5)

Sahaja berfungsi dosa dan cos dengan frekuensi k/T akan saling ortogonal, dan ini merupakan syarat yang sangat diperlukan untuk transformasi Fourier. Set fungsi pertama pengembangan siri Fourier ditunjukkan dalam Rajah 1. Dalam kes ini, tempoh fungsi bertepatan dengan tempoh analisis T.

Rajah 1. Fungsi pengembangan siri Fourier

Sekarang spektrum isyarat akan kelihatan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.

Rajah 2. Spektrum fungsi x(t) apabila dianalisis dalam selang masa yang terhad

Dalam kes ini, formula untuk mengira transformasi Fourier langsung (4) diubah kepada bentuk berikut:

(6)

Formula untuk transformasi Fourier songsang untuk kes menentukan spektrum dalam tempoh masa yang terhad akan kelihatan seperti ini:

(7)

Dengan cara yang sama, anda boleh menentukan formula untuk transformasi Fourier langsung untuk sampel isyarat digital. Memandangkan bukannya isyarat berterusan sampel digitalnya digunakan, dalam ungkapan (6) kamiran digantikan dengan jumlah. Dalam kes ini, tempoh isyarat yang dianalisis ditentukan oleh bilangan sampel digital N. Transformasi Fourier untuk sampel isyarat digital dipanggil transformasi Fourier diskret dan ditulis seperti berikut:

(8)

Sekarang mari kita lihat bagaimana sifat-sifat transformasi Fourier diskret (DFT) telah berubah berbanding dengan transformasi Fourier langsung dalam selang masa yang terhad. Apabila kami melihat persampelan isyarat analog, kami mengetahui bahawa spektrum isyarat input mestilah frekuensi terhad. Keperluan ini mengehadkan bilangan komponen diskret spektrum isyarat. Pada mulanya nampaknya kita boleh mengehadkan spektrum isyarat kepada frekuensi f d/2, yang sepadan dengan bilangan komponen frekuensi K=N/2. Walau bagaimanapun, ini tidak benar. Walaupun spektrum isyarat untuk sampel isyarat sebenar untuk frekuensi positif dan frekuensi negatif adalah simetri kira-kira 0, frekuensi negatif mungkin diperlukan untuk beberapa algoritma spektrum, seperti . Lagi lebih banyak perbezaan diperoleh dengan melakukan transformasi Fourier diskret pada sampel kompleks isyarat input. Akibatnya untuk penerangan penuh spektrum isyarat digital diperlukan N sampel frekuensi ( k = 0, ..., N/2).

Transformasi Fourier (§1.5) boleh dilihat sebagai transformasi linear dengan teras

Mari cari perwakilan diskretnya berdasarkan asas

untuk isyarat dengan spektrum terhad dalam selang waktu, yang mana perwakilan itu sah

Transformasi Fourier bagi isyarat sedemikian adalah sama dengan

Sekarang mari kita pertimbangkan isyarat berkala

Spektrumnya ialah

di manakah sampel spektrum isyarat yang diambil sepanjang segmen (lihat Jadual 1.2, baris 19). Jika T cukup besar, dan isyarat cepat turun kepada sifar dalam selang ini, supaya herotannya dalam jumlah (3.60) akibat pertindihan tempoh boleh diabaikan, maka Oleh itu

dan penjumlahan ke atas k dijalankan dalam

Nilai T dan sentiasa boleh dipilih supaya nilai adalah integer. Kami menandakannya N. Kami juga menandakan

Di sini ia dipilih supaya penjumlahan dalam (3.62) boleh dijalankan ke atas k dari 0 hingga Kemudian kita dapat

Hubungan ini dipanggil transformasi Fourier diskret

Transformasi Fourier diskret boleh terbalik:

Terasnya ialah matriks

ialah perwakilan diskret bagi isirong jelmaan Fourier berterusan.

Formula (3.65) adalah analog daripada (3.3). Ambil perhatian bahawa ia boleh diperolehi serta-merta daripada (3.3) untuk asas

Pekali jujukan adalah lebih kurang sama dengan sampel spektrum isyarat yang dilanjutkan secara berkala dengan tempoh T yang diambil dalam kenaikan Ini adalah sambungan antara DFT dan transformasi Fourier yang berterusan. Daripada andaian panjang isyarat terhad, ia mengikuti bahawa teorem pensampelan adalah sah untuk spektrumnya dan oleh itu, ia boleh dibina semula daripada nilai - pekali DFT bagi sampel isyarat.

Sifat yang paling biasa digunakan bagi DFT satu dimensi diberikan dalam jadual. 3.1. Untuk kemudahan membandingkannya dengan sifat-sifat transformasi Fourier berterusan di lajur kanan jadual. 3.1 menunjukkan nombor baris yang sepadan dalam jadual. 1.2. Perbezaan utama antara DFT dan

(lihat imbasan)

Sambungan meja. 3.1 (lihat imbasan)

transformasi Fourier berterusan - kitaran, atau berkala: bilangan sampel jujukan dan DFTnya dikira modulo N, iaitu, seolah-olah dalam bulatan; bilangan titik dalam kitaran ialah N (Jadual 3.1, baris 2).

Dengan analogi dengan DFT satu dimensi, dengan menggunakan teorem pensampelan dua dimensi kepada isyarat dan spektrum dua dimensi, seseorang boleh memperoleh DFT dua dimensi. Lazimnya, hanya DFT dua dimensi digunakan, yang mengikuti dari teorem pensampelan dua dimensi dalam koordinat segi empat tepat:

Ia mudah kerana ia boleh difaktorkan kepada dua DFT satu dimensi, iaitu, ia boleh dipisahkan.

DFT 2D songsang ditulis sebagai

Beberapa sifat DFT dua dimensi diberikan dalam jadual. 3.2. DFT dua dimensi dicirikan oleh kitaran dua dimensi (periodicity). Kita boleh mengandaikan bahawa pekali DFT dua dimensi ialah sampel spektrum berterusan dua dimensi bagi isyarat, didarab secara berkala pada satah dalam sistem segi empat tepat koordinat, seperti dalam Rajah. 3.4, a.

Saya percaya bahawa segala-galanya adalah garis besar umum mengetahui tentang kewujudan alat matematik yang hebat seperti transformasi Fourier. Walau bagaimanapun, atas sebab tertentu ia diajar dengan sangat lemah di universiti sehinggakan agak sedikit orang memahami cara transformasi ini berfungsi dan cara ia harus digunakan dengan betul. Sementara itu, matematik transformasi ini sangat cantik, mudah dan elegan. Saya menjemput semua orang untuk mengetahui lebih lanjut tentang transformasi Fourier dan topik yang berkaitan tentang cara isyarat analog boleh ditukar dengan berkesan kepada isyarat digital untuk pemprosesan pengiraan.

tak guna formula kompleks dan Matlab saya akan cuba menjawab soalan berikut:

FT, DTF, DTFT - apakah perbezaannya dan bagaimanakah formula yang kelihatan benar-benar berbeza memberikan hasil yang serupa dari segi konsep?
Cara Mentafsir Keputusan Transformasi Fourier Pantas (FFT) dengan Betul
Apa yang perlu dilakukan jika anda diberi isyarat sebanyak 179 sampel dan FFT memerlukan urutan input panjang sama-sama deuces
Mengapa, apabila cuba mendapatkan spektrum sinusoid menggunakan Fourier, bukannya "kayu" tunggal yang dijangkakan, coretan aneh muncul pada graf dan apa yang boleh dilakukan mengenainya
Mengapa penapis analog diletakkan sebelum ADC dan selepas DAC?
Adakah mungkin untuk mendigitalkan isyarat ADC dengan frekuensi yang lebih tinggi daripada separuh kekerapan pensampelan (jawapan sekolah tidak betul, jawapan yang betul mungkin)
Bagaimana untuk memulihkan isyarat asal menggunakan urutan digital

Saya akan meneruskan dari andaian bahawa pembaca memahami apa itu kamiran, nombor kompleks (serta modulus dan hujahnya), lilitan fungsi, ditambah sekurang-kurangnya idea "hands-on" tentang apa fungsi delta Dirac ialah. Jika anda tidak tahu, tiada masalah, baca pautan di atas. Di bawah "hasil daripada fungsi" dalam teks ini Saya akan memahami "pendaraban mengikut arah" di mana-mana

Kita mungkin harus bermula dengan fakta bahawa transformasi Fourier yang biasa adalah sejenis perkara yang, seperti yang anda boleh meneka dari namanya, mengubah satu fungsi kepada yang lain, iaitu, ia mengaitkan setiap fungsi pembolehubah sebenar x(t) dengannya. spektrum atau imej Fourier y (w):

Jika kita memberikan analogi, maka contoh transformasi yang serupa dalam makna boleh, sebagai contoh, pembezaan, mengubah fungsi menjadi derivatifnya. Iaitu, transformasi Fourier pada asasnya adalah operasi yang sama seperti mengambil terbitan, dan ia sering dilambangkan dengan cara yang serupa, melukis "topi" segi tiga di atas fungsi. Hanya berbeza dengan pembezaan, yang juga boleh ditakrifkan untuk nombor nyata, transformasi Fourier sentiasa "berfungsi" dengan nombor kompleks yang lebih umum. Oleh sebab itu, sentiasa ada masalah dengan memaparkan hasil penukaran ini, kerana nombor kompleks ditentukan bukan oleh satu, tetapi oleh dua koordinat pada operasi nombor nyata grafik. Adalah paling mudah, sebagai peraturan, untuk mewakili nombor kompleks dalam bentuk modulus dan hujah dan lukiskannya secara berasingan sebagai dua graf berasingan:

Graf hujah nilai kompleks sering dipanggil dalam kes ini "spektrum fasa", dan graf modulus sering dipanggil "spektrum amplitud". Spektrum amplitud biasanya mempunyai minat yang lebih besar, dan oleh itu bahagian "fasa" spektrum sering dilangkau. Dalam artikel ini kita juga akan memberi tumpuan kepada perkara "amplitud", tetapi kita tidak harus melupakan kewujudan bahagian fasa graf yang hilang. Di samping itu, bukannya modul nilai kompleks biasa, ia sering dilukis logaritma perpuluhan didarab dengan 10. Hasilnya ialah graf logaritma dengan nilai yang dipaparkan dalam desibel (dB).

Sila ambil perhatian bahawa tidak terlalu banyak nombor negatif graf logaritma (-20 dB atau kurang) sepadan secara praktikal nombor sifar pada carta "biasa". Oleh itu, "ekor" panjang dan lebar pelbagai spektrum pada graf sedemikian, apabila dipaparkan dalam koordinat "biasa", sebagai peraturan, hampir hilang. Kemudahan perwakilan pada pandangan pertama yang aneh itu timbul daripada fakta bahawa imej Fourier pelbagai fungsi sering perlu didarabkan di antara mereka sendiri. Dengan pendaraban searah bagi imej Fourier bernilai kompleks, spektrum fasanya ditambah, dan spektrum amplitudnya didarab. Yang pertama mudah dilakukan, manakala yang kedua agak sukar. Walau bagaimanapun, logaritma amplitud menambah apabila mendarab amplitud, jadi graf logaritma amplitud, seperti graf fasa, hanya boleh ditambah titik demi titik. Di samping itu, dalam masalah praktikal selalunya lebih mudah untuk beroperasi bukan dengan "amplitud" isyarat, tetapi dengan "kuasa"nya (persegi amplitud). Pada skala logaritma, kedua-dua graf (amplitud dan kuasa) kelihatan sama dan berbeza hanya dalam pekali - semua nilai pada graf kuasa adalah betul-betul dua kali lebih besar daripada skala amplitud. Oleh itu, untuk merancang pengagihan kuasa mengikut kekerapan (dalam desibel), anda tidak boleh kuasa dua apa-apa, tetapi mengira logaritma perpuluhan dan mendarabkannya dengan 20.

Adakah anda bosan? Tunggu sedikit lagi, kita akan selesai dengan bahagian artikel yang membosankan menerangkan cara mentafsir graf tidak lama lagi :). Tetapi sebelum itu, anda harus memahaminya dengan sangat baik perkara penting: Walaupun semua plot spektrum di atas telah dilukis untuk beberapa julat nilai terhad (khususnya nombor positif), semua graf ini sebenarnya terus tambah dan tolak infiniti. Graf hanya menggambarkan beberapa bahagian graf yang "paling bermakna", yang biasanya dicerminkan nilai negatif parameter dan sering diulang secara berkala dengan langkah tertentu apabila dipertimbangkan pada skala yang lebih besar.

Setelah memutuskan apa yang dilukis pada graf, mari kita kembali kepada transformasi Fourier itu sendiri dan sifatnya. Terdapat beberapa cara yang berbeza bagaimana untuk menentukan transformasi ini, berbeza dalam butiran kecil (normalisasi yang berbeza). Sebagai contoh, di universiti kita, atas sebab tertentu, mereka sering menggunakan normalisasi transformasi Fourier, yang mentakrifkan spektrum dari segi frekuensi sudut (radian sesaat). Saya akan menggunakan rumusan Barat yang lebih mudah yang mentakrifkan spektrum dari segi frekuensi biasa (hertz). Langsung dan penukaran songsang Fourier dalam kes ini ditentukan oleh formula di sebelah kiri, dan beberapa sifat transformasi ini yang kita perlukan ditentukan oleh senarai tujuh mata di sebelah kanan:

Yang pertama daripada sifat ini ialah kelinearan. Jika kita mengambil beberapa kombinasi linear fungsi, maka transformasi Fourier bagi gabungan ini akan menjadi gabungan linear yang sama bagi imej Fourier bagi fungsi ini. Harta ini membolehkan anda mengurangkan fungsi yang kompleks dan Fourier mereka berubah kepada yang lebih mudah. Sebagai contoh, transformasi Fourier bagi fungsi sinusoidal dengan frekuensi f dan amplitud a ialah gabungan dua fungsi delta yang terletak pada titik f dan -f dan dengan pekali a/2:

Jika kita mengambil fungsi yang terdiri daripada jumlah set sinusoid dengan frekuensi yang berbeza, maka, mengikut sifat lineariti, transformasi Fourier bagi fungsi ini akan terdiri daripada set fungsi delta yang sepadan. Ini membolehkan kita memberikan tafsiran spektrum yang naif tetapi visual mengikut prinsip "jika dalam spektrum frekuensi fungsi f sepadan dengan amplitud a, maka fungsi asal boleh diwakili sebagai jumlah sinusoid, salah satunya akan sinusoid dengan frekuensi f dan amplitud 2a." Tegasnya, tafsiran ini tidak betul, kerana fungsi delta dan titik pada graf adalah perkara yang sama sekali berbeza, tetapi seperti yang akan kita lihat kemudian, untuk transformasi diskret Fourier, ia tidak akan jauh dari kebenaran.

Sifat kedua transformasi Fourier ialah kebebasan spektrum amplitud daripada peralihan masa isyarat. Jika kita menggerakkan fungsi ke kiri atau kanan di sepanjang paksi-x, maka hanya fungsi itu spektrum fasa.

Sifat ketiga ialah meregangkan (memampatkan) fungsi asal sepanjang paksi masa (x) secara berkadar memampatkan (meregangkan) imej Fouriernya sepanjang skala frekuensi (w). Khususnya, spektrum isyarat tempoh terhingga sentiasa lebar tak terhingga dan, sebaliknya, spektrum lebar terhingga sentiasa sepadan dengan isyarat tempoh tanpa had.

Sifat keempat dan kelima mungkin yang paling berguna. Mereka memungkinkan untuk mengurangkan lilitan fungsi kepada pendaraban arah mata imej Fourier mereka, dan sebaliknya - pendaraban arah arah fungsi kepada lilitan imej Fourier mereka. Sedikit lagi saya akan menunjukkan betapa mudahnya ini.

Sifat keenam bercakap tentang simetri imej Fourier. Khususnya, daripada sifat ini menunjukkan bahawa dalam transformasi Fourier bagi fungsi bernilai sebenar (iaitu, sebarang isyarat "sebenar"), spektrum amplitud sentiasa malah berfungsi, dan spektrum fasa (jika dibawa ke julat -pi...pi) adalah ganjil. Atas sebab inilah bahagian negatif spektrum hampir tidak pernah dilukis pada graf spektrum - untuk isyarat bernilai sebenar ia tidak memberikan apa-apa maklumat baru(tetapi, saya ulangi, ia bukan sifar juga).

Akhirnya, harta ketujuh yang terakhir, mengatakan bahawa transformasi Fourier mengekalkan "tenaga" isyarat. Ia bermakna hanya untuk isyarat tempoh terhingga, tenaga yang terhingga, dan mencadangkan bahawa spektrum isyarat sedemikian pada infiniti dengan cepat menghampiri sifar. Kerana sifat ini, graf spektrum biasanya hanya menggambarkan bahagian "utama" isyarat, yang membawa bahagian terbesar tenaga - graf selebihnya cenderung kepada sifar (tetapi, sekali lagi, bukan sifar).

Berbekalkan 7 sifat ini, mari kita lihat matematik "pendigitalan" isyarat, yang membolehkan kita menukar isyarat berterusan kepada urutan nombor. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil fungsi yang dikenali sebagai "sisir Dirac":

Sikat Dirac hanyalah urutan berkala bagi fungsi delta dengan pekali perpaduan, bermula dari sifar dan meneruskan dengan langkah T. Untuk isyarat pendigitalan, T dipilih sekecil mungkin, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Daripada fungsi berterusan, selepas pendaraban sedemikian, urutan denyutan delta pada ketinggian tertentu diperolehi. Selain itu, menurut sifat 5 transformasi Fourier, spektrum isyarat diskret yang terhasil ialah lilitan spektrum asal dengan sikat Dirac yang sepadan. Adalah mudah untuk memahami bahawa, berdasarkan sifat lilitan, spektrum isyarat asal, seolah-olah, "menyalin" bilangan kali yang tidak terhingga sepanjang paksi frekuensi dengan langkah 1/T, dan kemudian dijumlahkan.

Ambil perhatian bahawa jika spektrum asal mempunyai lebar terhingga dan kami menggunakan kekerapan pensampelan yang cukup tinggi, maka salinan spektrum asal tidak akan bertindih, dan oleh itu tidak akan dijumlahkan antara satu sama lain. Adalah mudah untuk memahami bahawa daripada spektrum "runtuh" sedemikian, ia akan menjadi mudah untuk memulihkan yang asal - cukup untuk mengambil komponen spektrum di kawasan sifar, "memotong" salinan tambahan yang akan menjadi infiniti. Cara paling mudah untuk melakukan ini ialah dengan mendarabkan spektrum dengan fungsi segi empat tepat sama dengan T dalam julat -1/2T...1/2T dan sifar di luar julat ini. Transformasi Fourier sedemikian sepadan dengan fungsi sinc(Tx) dan mengikut sifat 4, pendaraban sedemikian adalah bersamaan dengan lilitan jujukan asal fungsi delta dengan fungsi sinc(Tx)

Iaitu, menggunakan transformasi Fourier, kita mempunyai cara untuk membina semula isyarat asal dengan mudah daripada sampel masa, berfungsi dengan syarat kita menggunakan frekuensi pensampelan yang sekurang-kurangnya dua kali (disebabkan kehadiran frekuensi negatif dalam spektrum) lebih tinggi daripada frekuensi maksimum yang terdapat dalam isyarat asal. Keputusan ini diketahui secara meluas dan dipanggil "teorem Kotelnikov/Shannon-Nyquist". Walau bagaimanapun, kerana ia mudah untuk diperhatikan sekarang (memahami bukti), keputusan ini, bertentangan dengan salah tanggapan yang meluas, menentukan mencukupi, tetapi tidak perlu syarat untuk memulihkan isyarat asal. Apa yang kita perlukan ialah memastikan bahagian spektrum yang menarik minat kita selepas pensampelan isyarat tidak bertindih antara satu sama lain, dan jika isyarat itu cukup sempit (mempunyai "lebar" kecil bahagian bukan sifar spektrum), maka keputusan ini selalunya boleh dicapai pada frekuensi pensampelan yang jauh lebih rendah daripada dua kali frekuensi maksimum isyarat. Teknik ini dipanggil "undersampling" (subsampling, bandpass sampling) dan digunakan secara meluas dalam memproses semua jenis isyarat radio. Sebagai contoh, jika kita mengambil radio FM yang beroperasi dalam jalur frekuensi dari 88 hingga 108 MHz, maka untuk mendigitalkannya kita boleh menggunakan ADC dengan frekuensi hanya 43.5 MHz dan bukannya 216 MHz yang diandaikan oleh teorem Kotelnikov. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, anda memerlukan ADC berkualiti tinggi dan penapis yang baik.

Izinkan saya ambil perhatian bahawa "penduaan" frekuensi tinggi dengan frekuensi pesanan yang lebih rendah (aliasing) ialah sifat serta-merta pensampelan isyarat yang "merosakkan" hasilnya secara tidak dapat dipulihkan. Oleh itu, jika isyarat boleh, pada dasarnya, mengandungi frekuensi tertib tinggi (iaitu, hampir selalu), penapis analog diletakkan di hadapan ADC, "memotong" semua yang tidak perlu secara langsung dalam isyarat asal (sejak selepas pensampelannya akan terlambat untuk melakukan ini). Ciri-ciri penapis ini, sebagai peranti analog, tidak sesuai, jadi beberapa "kerosakan" pada isyarat masih berlaku, dan dalam praktiknya ia mengikuti bahawa frekuensi tertinggi dalam spektrum, sebagai peraturan, tidak boleh dipercayai. Untuk mengurangkan masalah ini, isyarat sering terlebih sampel, menetapkan penapis analog input kepada lebar jalur yang lebih rendah dan hanya menggunakan bahagian bawah julat frekuensi ADC yang tersedia secara teori.

Satu lagi salah tanggapan biasa, dengan cara ini, adalah apabila isyarat pada output DAC dilukis dalam "langkah". "Langkah" sepadan dengan lilitan jujukan isyarat sampel dengan fungsi segi empat tepat lebar T dan ketinggian 1:

Spektrum isyarat dengan penjelmaan ini didarabkan dengan penjelmaan Fourier bagi fungsi segi empat tepat ini, dan untuk fungsi segi empat tepat yang serupa ia sekali lagi sinc(w), "diregangkan" semakin banyak, semakin kecil lebar segi empat tepat yang sepadan. Spektrum isyarat sampel dengan "DAC" sedemikian didarabkan titik demi titik dengan spektrum ini. Dalam kes ini, frekuensi tinggi yang tidak perlu dengan "salinan tambahan" spektrum tidak terputus sepenuhnya, tetapi bahagian atas bahagian "berguna" spektrum, sebaliknya, dilemahkan.

Dalam amalan, sudah tentu, tiada siapa yang melakukan ini. Terdapat banyak pendekatan yang berbeza untuk membina DAC, tetapi walaupun dalam maksud yang paling hampir dengan DAC jenis pemberat, denyutan segi empat tepat dalam DAC, sebaliknya, dipilih untuk menjadi sesingkat mungkin (menghampirkan jujukan delta sebenar. fungsi) untuk mengelakkan penindasan berlebihan bahagian berguna spektrum. Frekuensi "Tambahan" dalam isyarat jalur lebar yang terhasil hampir selalu dibatalkan dengan menghantar isyarat melalui penapis laluan rendah analog, supaya tiada "langkah digital" sama ada "di dalam" penukar, atau, terutamanya, pada outputnya.

Walau bagaimanapun, mari kita kembali kepada transformasi Fourier. Transformasi Fourier yang diterangkan di atas digunakan pada jujukan isyarat pra-sampel dipanggil Transformasi Fourier Masa Diskret (DTFT). Spektrum yang diperolehi oleh transformasi sedemikian sentiasa 1/T-berkala, oleh itu spektrum DTFT ditentukan sepenuhnya oleh nilainya pada segmen )