Untuk ayunan lembap, pekali redaman. Pekali redaman

Pada hakikatnya, getaran bebas berlaku di bawah tindakan daya rintangan. Daya pelesapan membawa kepada penurunan amplitud ayunan. Ayunan yang amplitudnya menjadi lebih kecil dari semasa ke semasa akibat kehilangan tenaga dipanggil lembap.

Getaran mekanikal yang diredam

DEFINISI

Kuantiti fizik yang mencirikan kadar pengecilan ayunan dipanggil pekali pengecilan. Pekali pengecilan boleh dilambangkan dengan cara yang berbeza: dsb. Dengan syarat bahawa daya geseran adalah berkadar dengan kelajuan badan:

di mana adalah pekali geseran umum, pekali redaman dianggap sama dengan:

di manakah jisim badan berayun.

Persamaan pembezaan ayunan dengan kehadiran redaman akan mempunyai bentuk:

— kekerapan kitaran getaran bebas sistem jika tiada geseran.

Persamaan ayunan terlembap:

di mana — kekerapan ayunan terlembap, - amplitud ayunan terlembap. - nilai malar yang bergantung pada pilihan titik rujukan masa.

Pekali pengecilan boleh ditakrifkan sebagai timbal balik masa () di mana amplitud (A) berkurangan sebanyak e kali:

di manakah masa berehat. Iaitu, anda boleh menulis:

Tempoh ayunan lembap adalah sama dengan:

dengan rintangan sederhana yang tidak ketara, jika ketaksamaan dipenuhi: tempoh ayunan boleh dikira menggunakan formula:

Apabila pekali redaman meningkat, tempoh ayunan meningkat. Perlu diingatkan bahawa konsep tempoh ayunan lembap tidak bertepatan dengan konsep ayunan tidak lembap, kerana sistem, dengan kehadiran redaman, tidak pernah kembali ke keadaan asalnya. Tempoh ayunan lembap ialah tempoh masa minimum di mana sistem melepasi kedudukan keseimbangan dua kali dalam satu arah.

Apabila pekali redaman ayunan meningkat, frekuensi ayunan berkurangan. Jika , maka kekerapan ayunan terlembap akan menjadi sifar, manakala tempoh meningkat kepada infiniti. Ayunan sedemikian kehilangan keberkalaan dan dipanggil aperiodik. Apabila pekali redaman adalah sama dengan frekuensi semula jadi ayunan, parameter sistem dipanggil kritikal.

Pekali redaman ayunan berkaitan dengan penurunan redaman logaritma () dengan ungkapan:

Ayunan elektrik yang diredam

Mana-mana litar elektrik yang wujud dalam realiti mempunyai rintangan aktif, oleh itu, tenaga yang disimpan di dalamnya dari masa ke masa dibelanjakan untuk rintangan ini, kerana ia menjadi panas.

Dalam kes ini, pekali pengecilan untuk litar elektrik dikira sebagai:

di mana R ialah rintangan, L ialah kearuhan litar.

Kekerapan dalam litar elektromagnet diwakili oleh formula:

Untuk litar RLC, rintangan genting () di mana ayunan menjadi aperiodik ialah rintangan yang sama dengan:

ditemui di

Unit pekali redaman getaran

Unit SI asas bagi pekali pengecilan ialah:

Contoh penyelesaian masalah

CONTOH 1

Bersenam	Apakah pekali redaman jika amplitud ayunan bandul semasa masa t=10 s. berkurangan sebanyak 4 kali ganda?
Penyelesaian	Mari kita tuliskan persamaan ayunan terlembap bandul: Menurut salah satu takrifan pekali pengecilan: Mari kita lakukan pengiraan:
Jawab

CONTOH 2

Bersenam	Litar berayun terdiri daripada induktor L, kapasitor C dan rintangan R (Rajah 1). Selepas berapakah bilangan ayunan lengkap (N) akan amplitud arus dalam litar berkurangan sebanyak e-lipat?
Penyelesaian	Mari kita perkenalkan notasi berikut: - nilai awal amplitud arus, - amplitud arus melalui N ayunan, maka kita boleh menulis:

1.21. 3DAMPED, OSCILLATION PAKSA

Persamaan pembezaan ayunan terlembap dan penyelesaiannya. Pekali pengecilan. Dek logaritmamasa reput.Faktor kualiti ayunansistem badan.Proses aperiodik. Persamaan pembezaan ayunan paksa dan penyelesaiannya.Amplitud dan fasa ayunan paksa. Proses mewujudkan ayunan. Kes resonans.Ayunan diri.

Redaman ayunan adalah penurunan beransur-ansur dalam amplitud ayunan dari semasa ke semasa, disebabkan oleh kehilangan tenaga oleh sistem ayunan.

Ayunan semula jadi tanpa redaman adalah idealisasi. Sebab-sebab pengecilan mungkin berbeza. Dalam sistem mekanikal, getaran diredam oleh kehadiran geseran. Apabila semua tenaga yang tersimpan dalam sistem ayunan digunakan, ayunan akan berhenti. Oleh itu amplitud ayunan yang dilembapkan berkurangan sehingga ia menjadi sama dengan sifar.

Ayunan terlembap, seperti ayunan semula jadi, dalam sistem yang berbeza sifatnya, boleh dipertimbangkan dari satu sudut pandangan - ciri sepunya. Walau bagaimanapun, ciri-ciri seperti amplitud dan tempoh memerlukan takrifan semula, dan yang lain memerlukan penambahan dan penjelasan berbanding dengan ciri yang sama untuk ayunan tak teredam semula jadi. Ciri dan konsep umum ayunan terlembap adalah seperti berikut:

Persamaan pembezaan mesti diperoleh dengan mengambil kira pengurangan tenaga getaran semasa proses ayunan.

Persamaan ayunan ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan.

Amplitud ayunan lembap bergantung pada masa.

Kekerapan dan tempoh bergantung pada tahap pengecilan ayunan.

Fasa dan fasa awal mempunyai makna yang sama seperti ayunan berterusan.

Ayunan lembap mekanikal.

Sistem mekanikal : bandul spring dengan mengambil kira daya geseran.

Daya yang bertindak pada bandul :

Daya kenyal., dengan k ialah pekali kekakuan spring, x ialah sesaran bandul dari kedudukan keseimbangan.

Daya rintangan. Mari kita pertimbangkan daya rintangan yang berkadar dengan kelajuan v pergerakan (pergantungan ini adalah tipikal untuk kelas daya rintangan yang besar): . Tanda tolak menunjukkan bahawa arah daya rintangan adalah bertentangan dengan arah kelajuan badan. Pekali seret r secara berangka sama dengan daya seret yang timbul pada kelajuan unit pergerakan badan:

Undang-undang pergerakan pendulum spring - ini adalah undang-undang kedua Newton:

m a = F ex. + F rintangan

Memandangkan kedua-duanya , kita menulis hukum kedua Newton dalam bentuk:

. (21.1)

Membahagikan semua sebutan persamaan dengan m dan memindahkan kesemuanya ke sebelah kanan, kita dapat persamaan pembezaan ayunan lembap:

Mari kita nyatakan di mana β – pekali pengecilan , , Di mana ω 0 – kekerapan ayunan bebas tanpa lembap jika tiada kehilangan tenaga dalam sistem ayunan.

Dalam tatatanda baharu, persamaan pembezaan ayunan terlembap mempunyai bentuk:

. (21.2)

Ini ialah persamaan pembezaan linear tertib kedua.

Persamaan pembezaan linear ini diselesaikan dengan mengubah pembolehubah. Mari kita mewakili fungsi x, bergantung pada masa t, dalam bentuk:

.

Mari cari derivatif pertama dan kedua bagi fungsi ini berkenaan dengan masa, dengan mengambil kira bahawa fungsi z juga merupakan fungsi masa:

, .

Mari kita gantikan ungkapan ke dalam persamaan pembezaan:

Mari kita kemukakan sebutan yang serupa dalam persamaan dan kurangkan setiap sebutan dengan , kita mendapat persamaan:

.

Mari kita nyatakan kuantiti .

Menyelesaikan persamaan ialah fungsi , .

Kembali kepada pembolehubah x, kita memperoleh formula untuk persamaan ayunan terlembap:

Justeru , persamaan ayunan terlembap ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan (21.2):

Kekerapan yang diredam :

(hanya akar sebenar mempunyai makna fizikal, oleh itu ).

Tempoh ayunan lembap :

(21.5)

Makna yang dimasukkan ke dalam konsep tempoh untuk ayunan tidak lembap tidak sesuai untuk ayunan lembap, kerana sistem ayunan tidak pernah kembali kepada keadaan asalnya kerana kehilangan tenaga ayunan. Dengan adanya geseran, getaran lebih perlahan: .

Tempoh ayunan lembap ialah tempoh masa minimum di mana sistem melepasi kedudukan keseimbangan dua kali dalam satu arah.

Untuk sistem mekanikal bandul spring kita ada:

, .

Amplitud ayunan terlembap :

Untuk bandul spring.

Amplitud ayunan yang dilembapkan bukanlah nilai tetap, tetapi berubah dari semasa ke semasa, semakin cepat semakin besar pekali β. Oleh itu, takrifan untuk amplitud, yang diberikan sebelum ini untuk ayunan bebas yang tidak terendam, mesti diubah untuk ayunan terlembap.

Untuk pengecilan kecil amplitud ayunan terlembap dipanggil sisihan terbesar daripada kedudukan keseimbangan sepanjang tempoh.

Carta Sesaran lawan masa dan plot amplitud lawan masa dibentangkan dalam Rajah 21.1 dan 21.2.

Rajah 21.1 – Kebergantungan anjakan pada masa untuk ayunan terlembap.

Rajah 21.2 – Kebergantungan amplitud pada masa untuk ayunan terlembap

Ciri-ciri ayunan lembap.

1. Pekali pengecilan β .

Amplitud ayunan terlembap berubah mengikut undang-undang eksponen:

Biarkan amplitud ayunan berkurangan sebanyak “e” kali dalam masa τ (“e” ialah asas logaritma asli, e ≈ 2.718). Kemudian, di satu pihak, , dan sebaliknya, setelah menerangkan amplitud A zat. (t) dan A zat. (t+τ), kita ada . Daripada hubungan ini ia mengikuti βτ = 1, maka .

Selang masa τ , di mana amplitud berkurangan sebanyak "e" kali, dipanggil masa kelonggaran.

Pekali pengecilan β – kuantiti berkadar songsang dengan masa berehat.

2. Penurunan redaman logaritma δ - kuantiti fizik secara berangka sama dengan logaritma asli nisbah dua amplitud berturut-turut yang dipisahkan dalam masa dengan suatu tempoh.

Jika pengecilan kecil, i.e. nilai β adalah kecil, maka amplitud berubah sedikit sepanjang tempoh, dan penurunan logaritma boleh ditakrifkan seperti berikut:

,

mana A zat. (t) dan A zat. (t+NT) – amplitud ayunan pada masa e dan selepas tempoh N, iaitu pada masa (t + NT).

3. Faktor kualiti Q sistem ayunan – kuantiti fizik tak berdimensi sama dengan hasil kuantiti (2π) ν dan nisbah tenaga W(t) sistem pada momen masa sewenang-wenangnya kepada kehilangan tenaga dalam satu tempoh ayunan terlembap:

.

Oleh kerana tenaga adalah berkadar dengan kuasa dua amplitud, maka

Untuk nilai kecil pengurangan logaritma δ, faktor kualiti sistem ayunan adalah sama dengan

,

di mana N e ialah bilangan ayunan di mana amplitud berkurangan sebanyak "e" kali.

Oleh itu, faktor kualiti pendulum spring adalah Semakin tinggi faktor kualiti sistem ayunan, semakin kurang pengecilan, semakin lama proses berkala dalam sistem sedemikian akan bertahan. Faktor kualiti sistem ayunan - kuantiti tanpa dimensi yang mencirikan pelesapan tenaga dari semasa ke semasa.

4. Apabila pekali β meningkat, kekerapan ayunan terlembap berkurangan dan tempoh bertambah. Pada ω 0 = β, kekerapan ayunan lembap menjadi sama dengan sifar ω zat. = 0, dan T zat. = ∞. Dalam kes ini, ayunan kehilangan watak berkala mereka dan dipanggil

aperiodik. Pada ω 0 = β, parameter sistem yang bertanggungjawab untuk penurunan tenaga getaran mengambil nilai yang dipanggil . kritikal Untuk bandul spring, keadaan ω 0 = β akan ditulis seperti berikut: dari mana kita dapati kuantiti

.

pekali rintangan kritikal:

nasi. 21.3. Kebergantungan amplitud ayunan aperiodik pada masa

Getaran paksa.

Semua ayunan sebenar dilembapkan. Agar ayunan sebenar berlaku cukup lama, adalah perlu untuk mengisi semula tenaga sistem ayunan secara berkala dengan bertindak ke atasnya dengan daya berubah secara berkala luaran Mari kita pertimbangkan fenomena ayunan jika luaran (memaksa) daya berubah mengikut masa mengikut undang-undang harmonik. Dalam kes ini, ayunan akan timbul dalam sistem, yang sifatnya akan, pada satu darjah atau yang lain, mengulangi sifat daya penggerak. Ayunan sedemikian dipanggil .

terpaksa

Tanda-tanda umum getaran mekanikal paksa. (1. Mari kita pertimbangkan ayunan mekanikal paksa bandul spring, yang digerakkan oleh ) memaksa daya berkala

Undang-undang pergerakan . Daya yang bertindak ke atas bandul, setelah dikeluarkan dari kedudukan keseimbangannya, berkembang dalam sistem ayunan itu sendiri. Ini adalah daya kenyal dan daya rintangan.

(21.6)

(hukum kedua Newton) akan ditulis seperti berikut: persamaan pembezaan Mari kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan m, ambil kira bahawa , dan dapatkan

ayunan paksa: β – pekali pengecilan Mari kita nyatakan ( persamaan pembezaan ), (ω 0 – kekerapan ayunan bebas tidak terendam), daya yang bertindak ke atas unit jisim. Dalam notasi ini

(21.7)

Ini ialah persamaan pembezaan tertib kedua dengan sisi kanan bukan sifar. Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah hasil tambah dua penyelesaian

.

– penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen, i.e. persamaan pembezaan tanpa sisi kanan apabila ia sama dengan sifar. Kami tahu penyelesaian sedemikian - ini adalah persamaan ayunan terlembap, diturunkan kepada ketepatan pemalar, yang nilainya ditentukan oleh keadaan awal sistem ayunan:

Kami telah membincangkan sebelum ini bahawa penyelesaian boleh ditulis dari segi fungsi sinus.

Jika kita mempertimbangkan proses ayunan bandul selepas tempoh masa yang cukup besar Δt selepas menghidupkan daya penggerak (Rajah 21.2), maka ayunan yang dilembapkan dalam sistem secara praktikal akan berhenti. Dan kemudian penyelesaian kepada persamaan pembezaan dengan bahagian kanan akan menjadi penyelesaian.

Penyelesaian ialah penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen, i.e. persamaan dengan sisi kanan. Daripada teori persamaan pembezaan diketahui bahawa dengan bahagian kanan berubah mengikut hukum harmonik, penyelesaiannya akan menjadi fungsi harmonik (sin atau cos) dengan frekuensi perubahan sepadan dengan frekuensi Ω perubahan kanan. -sisi tangan:

di mana A ampl. – amplitud ayunan paksa, φ 0 – peralihan fasa , mereka. perbezaan fasa antara fasa daya penggerak dan fasa ayunan paksa. Dan amplitud A ampl. , dan anjakan fasa φ 0 bergantung pada parameter sistem (β, ω 0) dan pada kekerapan daya penggerak Ω.

Tempoh ayunan paksa sama (21.9)

Graf getaran paksa dalam Rajah 4.1.

Rajah 21.3. Graf ayunan paksa

Ayunan paksa keadaan mantap juga harmonik.

Kebergantungan amplitud ayunan paksa dan peralihan fasa pada kekerapan pengaruh luaran. Resonans.

1. Mari kita kembali kepada sistem mekanikal bandul spring, yang digerakkan oleh daya luar yang berbeza-beza mengikut undang-undang harmonik. Untuk sistem sedemikian, persamaan pembezaan dan penyelesaiannya, masing-masing, mempunyai bentuk:

, .

Mari kita analisa pergantungan amplitud ayunan dan anjakan fasa pada kekerapan daya penggerak luaran, kita akan mencari terbitan pertama dan kedua bagi x dan menggantikannya ke dalam persamaan pembezaan.

Mari gunakan kaedah gambarajah vektor. Persamaan menunjukkan bahawa jumlah tiga getaran di sebelah kiri persamaan (Rajah 4.1) mestilah sama dengan getaran di sebelah kanan. Gambar rajah vektor dibuat untuk momen masa t. Daripadanya anda boleh menentukan.

Rajah 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Dengan mengambil kira nilai , ,, kita memperoleh formula untuk φ 0 dan A ampl. sistem mekanikal:

,

.

2. Kami mengkaji pergantungan amplitud ayunan paksa pada kekerapan daya penggerak dan magnitud daya rintangan dalam sistem mekanikal berayun, menggunakan data ini kami membina graf . Hasil kajian ditunjukkan dalam Rajah 21.5, yang menunjukkan bahawa pada frekuensi daya penggerak tertentu amplitud ayunan meningkat dengan mendadak. Dan peningkatan ini lebih besar, lebih rendah pekali pengecilan β. Apabila amplitud ayunan menjadi besar tidak terhingga.

Fenomena peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak yang sama dengan , dipanggil resonans.

(21.12)

Lengkung dalam Rajah 21.5 mencerminkan hubungan dan dipanggil lengkung resonans amplitud .

Rajah 21.5 – Graf kebergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak.

Amplitud ayunan resonans akan mengambil bentuk:

Getaran paksa adalah tidak lembap turun naik. Kehilangan tenaga yang tidak dapat dielakkan akibat geseran diimbangi oleh bekalan tenaga daripada sumber luaran daya bertindak secara berkala. Terdapat sistem di mana ayunan tidak lembap timbul bukan disebabkan oleh pengaruh luaran berkala, tetapi hasil daripada keupayaan sistem sedemikian untuk mengawal bekalan tenaga daripada sumber tetap. Sistem sedemikian dipanggil berayun sendiri, dan proses ayunan tidak terendam dalam sistem tersebut ialah ayunan diri.

Dalam sistem berayun sendiri, tiga elemen ciri boleh dibezakan - sistem berayun, sumber tenaga, dan peranti maklum balas antara sistem berayun dan sumber. Mana-mana sistem mekanikal yang mampu melakukan ayunan lembapnya sendiri (contohnya, bandul jam dinding) boleh digunakan sebagai sistem berayun.

Sumber tenaga boleh menjadi tenaga ubah bentuk spring atau tenaga keupayaan beban dalam medan graviti. Peranti maklum balas ialah mekanisme di mana sistem berayun sendiri mengawal aliran tenaga daripada sumber. Dalam Rajah. Rajah 21.6 menunjukkan gambar rajah interaksi pelbagai unsur sistem berayun sendiri.

Contoh sistem ayunan diri mekanikal ialah mekanisme jam dengan sauh kemajuan (Rajah 21.7.). Roda larian dengan gigi serong dilekatkan dengan tegar pada dram bergigi, di mana rantai dengan berat dilemparkan. Di hujung atas bandul terdapat sauh (anchor) dengan dua plat bahan keras, dibengkokkan sepanjang lengkok bulat dengan pusat pada paksi bandul. Dalam jam tangan, berat digantikan dengan spring, dan bandul digantikan dengan pengimbang - roda tangan yang disambungkan ke spring lingkaran.

Rajah 21.7. Mekanisme jam dengan bandul.

Pengimbang melakukan getaran kilasan di sekeliling paksinya. Sistem ayunan dalam jam ialah bandul atau pengimbang. Sumber tenaga ialah berat yang dinaikkan atau spring luka. Peranti yang memberi maklum balas adalah sauh, yang membolehkan roda larian memusingkan satu gigi dalam satu separuh kitaran.

Maklum balas diberikan oleh interaksi sauh dengan roda larian. Dengan setiap ayunan bandul, gigi roda larian menolak garpu sauh ke arah pergerakan bandul, memindahkan kepadanya bahagian tertentu tenaga, yang mengimbangi kehilangan tenaga akibat geseran. Oleh itu, tenaga potensi berat (atau spring berpintal) secara beransur-ansur, dalam bahagian berasingan, dipindahkan ke bandul.

Sistem ayunan diri mekanikal meluas dalam kehidupan di sekeliling kita dan dalam teknologi. Ayunan sendiri berlaku dalam enjin stim, enjin pembakaran dalaman, loceng elektrik, tali alat muzik tunduk, tiang udara dalam paip alat tiup, pita suara apabila bercakap atau menyanyi, dsb.

Semasa anda mengkaji bahagian ini, sila ingat bahawa turun naik sifat fizikal yang berbeza diterangkan daripada kedudukan matematik biasa. Di sini adalah perlu untuk memahami dengan jelas konsep seperti ayunan harmonik, fasa, perbezaan fasa, amplitud, frekuensi, tempoh ayunan.

Perlu diingat bahawa dalam mana-mana sistem ayunan sebenar terdapat rintangan medium, i.e. ayunan akan dilembapkan. Untuk mencirikan redaman ayunan, pekali redaman dan pengurangan redaman logaritma diperkenalkan.

Jika ayunan berlaku di bawah pengaruh daya luaran yang berubah secara berkala, maka ayunan tersebut dipanggil paksa. Mereka akan tidak dilembapkan. Amplitud ayunan paksa bergantung pada frekuensi daya penggerak. Apabila kekerapan ayunan paksa menghampiri kekerapan ayunan semula jadi, amplitud ayunan paksa meningkat dengan mendadak. Fenomena ini dipanggil resonans.

Apabila beralih kepada kajian gelombang elektromagnet, anda perlu memahaminya dengan jelasgelombang elektromagnetialah medan elektromagnet yang merambat di angkasa. Sistem paling mudah yang memancarkan gelombang elektromagnet ialah dipol elektrik. Jika dipol mengalami ayunan harmonik, maka ia memancarkan gelombang monokromatik.

Jadual formula: ayunan dan gelombang

Undang-undang fizikal, formula, pembolehubah	Formula ayunan dan gelombang
Persamaan harmonik: di mana x ialah sesaran (sisihan) kuantiti turun naik daripada kedudukan keseimbangan; A - amplitud; ω - kekerapan bulat (kitaran); α - fasa awal; (ωt+α) - fasa.
Hubungan antara tempoh dan kekerapan pekeliling:
Kekerapan:
Hubungan antara kekerapan bulat dan kekerapan:
Tempoh ayunan semula jadi 1) bandul spring: di mana k ialah kekakuan spring; 2) bandul matematik: di mana l ialah panjang bandul, g - pecutan jatuh bebas; 3) litar berayun: di mana L ialah kearuhan litar, C ialah kemuatan pemuat.
Kekerapan semula jadi:
Penambahan ayunan frekuensi dan arah yang sama: 1) amplitud ayunan yang terhasil di mana A 1 dan A 2 ialah amplitud bagi komponen getaran, α 1 dan α 2 - fasa awal komponen getaran; 2) fasa awal ayunan yang terhasil
Persamaan ayunan terlembap: e = 2.71... - asas logaritma asli.
Amplitud ayunan terlembap: di mana A 0 ialah amplitud pada saat permulaan masa; β - pekali pengecilan;
Pekali pengecilan: badan berayun di mana r ialah pekali rintangan medium, m - berat badan; litar berayun di mana R ialah rintangan aktif, L ialah kearuhan litar.
Kekerapan ayunan lembap ω:
Tempoh ayunan terlembap T:
Penurunan redaman logaritma:
Hubungan antara pengurangan logaritma χ dan pekali redaman β:

MAKLUMAT AM

Ayunan pergerakan atau proses yang dicirikan oleh kebolehulangan tertentu dari semasa ke semasa dipanggil. Ayunan dipanggil percuma, jika ia berlaku disebabkan oleh tenaga yang diberikan pada mulanya dengan ketiadaan pengaruh luar pada sistem ayunan berikutnya. Jenis ayunan yang paling mudah ialah getaran harmonik– ayunan di mana kuantiti ayunan berubah mengikut masa mengikut hukum sinus atau kosinus.

Persamaan pembezaan ayunan harmonik mempunyai bentuk

di manakah kuantiti berayun dan kekerapan kitaran.

adalah penyelesaian kepada persamaan ini. Berikut ialah amplitud dan merupakan fasa awal.

Fasa ayunan.

Amplitud ialah nilai maksimum bagi kuantiti berayun.

Tempoh ayunan ialah tempoh masa di mana pergerakan badan diulang. Fasa ayunan bertambah sepanjang tempoh. . , - bilangan ayunan.

Kekerapan ayunan ialah bilangan ayunan lengkap yang dilakukan setiap unit masa. . . Diukur dalam Hertz (Hz).

Kekerapan kitaran ialah bilangan ayunan yang dilakukan sesaat. . Unit ukuran.

Fasa ayunan ialah kuantiti di bawah tanda kosinus dan mencirikan keadaan sistem ayunan pada bila-bila masa.

Fasa permulaan – fasa ayunan pada saat permulaan masa. Fasa dan fasa awal diukur dalam radian ().

Ayunan lembap percuma– ayunan, amplitud yang berkurangan dari semasa ke semasa disebabkan oleh kehilangan tenaga oleh sistem ayunan sebenar. Mekanisme paling mudah untuk mengurangkan tenaga getaran ialah penukarannya kepada haba akibat geseran dalam sistem ayunan mekanikal, serta kehilangan ohmik dan sinaran tenaga elektromagnet dalam sistem ayunan elektrik.

Persamaan pembezaan ayunan terlembap bebas mempunyai bentuk

, (1)

Penyelesaian persamaan (1) dalam kes pengecilan kecil (d 2<< ) имеет вид

Tempoh masa di mana amplitud berkurangan e kali, ia dipanggil masa bersantai.

Redaman memecahkan keberkalaan ayunan, jadi ayunan yang dilembapkan tidak berkala. Walau bagaimanapun, jika pengecilan adalah kecil, maka kita boleh menggunakan konsep tempoh secara bersyarat sebagai selang masa antara dua maksima (atau minima) berturut-turut bagi kuantiti turun naik. Kemudian tempoh ayunan lembap dikira menggunakan formula

.

Jika A(t) Dan A(t+T) ialah amplitud bagi dua ayunan berturut-turut sepadan dengan momen masa yang berbeza dengan suatu tempoh, maka nisbah

dipanggil pengurangan redaman, dan logaritmanya

– pengurangan redaman logaritma.

Magnitud N e ialah bilangan ayunan yang dilakukan semasa amplitud berkurangan e sekali. Penurunan redaman logaritma ialah nilai malar untuk sistem ayunan tertentu.

Untuk mencirikan sistem ayunan, konsep ini digunakan faktor kualiti Q, yang untuk nilai kecil pengurangan logaritma adalah sama dengan

.

Semua ayunan harmonik sebenar berlaku di bawah pengaruh daya rintangan, untuk mengatasi mana badan membelanjakan sebahagian daripada tenaganya, akibatnya, amplitud ayunan berkurangan dengan masa, i.e. ayunan dilembapkan.

Mari kita bayangkan graf ayunan terlembap:

Terbitan persamaan pembezaan ayunan terlembap. Sebagai tambahan kepada daya kenyal, daya rintangan bertindak ke atas badan:

di mana r – pekali rintangan.

Menurut hukum kedua Newton, kita boleh menulis:

.

Bahagikan dengan jisim m, kita dapat:

.

Mari kita perkenalkan notasi berikut: ,

di mana β ialah pekali pengecilan.

Kami memperoleh persamaan pembezaan ayunan terlembap:

.

Penyelesaian persamaan bergantung dengan ketara pada tanda perbezaan,

di mana ω - kekerapan bulat ayunan terlembap, ω 0 - kekerapan bulat ayunan semula jadi sistem (tanpa redaman).

Untuk ω>0, penyelesaian kepada persamaan pembezaan adalah seperti berikut:

.

Amplitud ayunan lembap pada bila-bila masa t ditentukan oleh persamaan:

di mana A 0 – amplitud awal ditunjukkan pada graf (lihat Rajah 3).

Tempoh T ayunan lembap ditentukan oleh formula:

.

Kadar pengecilan (kadar di mana amplitud berkurangan) ditentukan oleh nilai pekali pengecilan β : semakin banyak β , semakin cepat amplitud berkurangan.

Untuk mencirikan kadar pengecilan, konsep itu diperkenalkan penurunan pengecilan.

Pengurangan pengecilan ialah nisbah dua amplitud bersebelahan yang dipisahkan oleh suatu tempoh:

Dalam amalan, tahap pengecilan dicirikan penurunan logaritma pengecilan λ , sama dengan:

Mari kita dapatkan formula yang berkaitan dengan pengurangan redaman logaritma λ dengan pekali pengecilan β dan tempoh ayunan T .

Oleh itu:

Mari kita terbitkan dimensi pekali pengecilan

.

Getaran paksa. Getaran paksa dipanggil ayunan yang berlaku dalam sistem apabila terdedah kepada daya luar yang berubah mengikut undang-undang berkala.

Biarkan daya bertindak ke atas sistem:

di mana F 0 - nilai maksimum,

ω - kekerapan bulat ayunan daya luaran.

Sistem ini digerakkan oleh daya rintangan dan daya kenyal.

Dengan mengambil kira semua empat daya, berdasarkan undang-undang kedua Newton, kami menulis:

.

Mari bahagikan kedua-dua belah kesamarataan dengan m , kita dapat:

.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Kami memperoleh persamaan pembezaan ayunan paksa:

.

Mari kita bayangkan graf ayunan paksa:

Pada permulaannya, amplitud ayunan meningkat dan kemudian menjadi malar A .

Untuk ayunan paksa yang mantap:

(lihat Rajah 4)

Resonans. Jika ω 0 Dan β diberikan untuk sistem, kemudian amplitud A ayunan paksa mempunyai nilai maksimum pada frekuensi tertentu daya penggerak, dipanggil bergema . Mencapai amplitud maksimum ayunan paksa untuk diberikan ω 0 Dan β dipanggil resonans .

Kekerapan bulatan resonans ditentukan oleh formula:

dan amplitud resonans:

.

Jika tiada tentangan (β=0) , maka amplitud bertambah tanpa had.

Mari kita tunjukkan pada graf pergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi bulat daya penggerak ω pada nilai yang berbeza bagi pekali pengecilan:

Berdasarkan bentuk lengkung resonans, resonans boleh menjadi akut apabila β→0 , bodoh – dengan β→1 . (lihat Rajah 5).

Mengikut mekanisme pengujaan, resonans dikelaskan kepada:

mekanikal; akustik; elektromagnet; paramagnet; magnet nuklear.

Kejadian fenomena resonans dalam badan boleh memberi manfaat dan memudaratkan. Sebagai contoh, persepsi bunyi berdasarkan resonans akustik boleh menyebabkan pecahnya tisu organ dalaman.

Ayunan diri. Semasa ayunan yang dilembapkan, tenaga sistem dibelanjakan untuk mengatasi rintangan medium. Jika kehilangan tenaga ini diisi semula, ayunan akan menjadi tidak terendam. Tenaga yang hilang oleh sistem ini boleh diisi semula menggunakan sumber tenaga luaran, atau ia boleh dilakukan supaya sistem berayun itu sendiri mengawal pengaruh luar.

Ayunan tidak terkekang yang timbul dalam sistem disebabkan oleh sumber tenaga yang tidak mempunyai sifat berayun dipanggil ayunan diri , dan sistem itu sendiri - berayun sendiri .

Contoh klasik ayunan diri ialah jam tangan: spring luka; berat badan yang dinaikkan adalah sumber tenaga; sauh – pengawal selia bekalan tenaga daripada sumber; bandul atau imbangan – sistem berayun.

Amplitud dan kekerapan ayunan sendiri bergantung pada sifat sistem ayunan sendiri itu sendiri.