Aplikasi kamiran pasti adalah contoh penyelesaian. Mengira luas angka rata

Permohonan Kuliah 21 kamiran pasti(2j)

Aplikasi Geometri

a) kawasan angka

Seperti yang dinyatakan dalam Kuliah 19, secara berangka sama dengan luas trapezoid melengkung, lengkung bersempadan di = f(x) , garisan lurus X = a, X = b dan segmen [ a, b] daripada paksi OX. Pada masa yang sama, jika f(x) £ 0 pada [ a, b], maka kamiran hendaklah diambil dengan tanda tolak.

Jika pada segmen yang diberikan fungsi di = f(x) menukar tanda, kemudian untuk mengira luas rajah yang dilampirkan di antara graf fungsi ini dan paksi OX, seseorang harus membahagikan segmen kepada bahagian-bahagian, pada setiap satunya fungsi mengekalkan tandanya, dan cari luas ​setiap bahagian rajah. Kawasan yang dikehendaki dalam kes ini ialah jumlah algebra kamiran ke atas segmen ini, dan kamiran yang sepadan dengan nilai negatif fungsi diambil dalam jumlah ini dengan tanda tolak.

Jika rajah itu dibatasi oleh dua lengkung di = f 1 (x) dan di = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), maka, seperti berikut daripada Rajah 9, luasnya adalah sama dengan perbezaan antara kawasan trapezium melengkung a matahari b dan a AD b, setiap satunya adalah sama secara berangka dengan kamiran. Bermaksud,

Perhatikan bahawa luas rajah yang ditunjukkan dalam Rajah 10, a didapati dengan formula yang sama: S = (Buktikan!). Fikirkan bagaimana untuk mengira luas angka yang ditunjukkan dalam Rajah 10, b?

Kami hanya bercakap tentang trapezoid lengkung yang bersebelahan dengan paksi OX. Tetapi formula yang serupa juga sah untuk angka yang bersebelahan dengan paksi-y. Sebagai contoh, luas rajah yang ditunjukkan dalam Rajah 11 ditemui oleh formula

Biarkan talian y=f(x) mengehadkan trapezoid lengkung boleh diberikan oleh persamaan parametrik, tО , dan j(a)= a, j(b) = b, iaitu di= . Maka luas trapezoid lengkung ini ialah

.

b) Panjang lengkok lengkok

Biar ada lengkung di = f(x). Pertimbangkan lengkok lengkung ini sepadan dengan perubahan X pada segmen [ a, b]. Mari kita cari panjang lengkok ini. Untuk melakukan ini, kami membahagikan arka AB menjadi P bahagian dengan titik A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (Rajah 14), sepadan dengan titik X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

Nyatakan D l i panjang lengkok, kemudian l= . Jika panjang lengkok D l i cukup kecil, mereka boleh dianggap lebih kurang sama panjang segmen sepadan yang menghubungkan titik M i-1,M i. Titik ini mempunyai koordinat M i -1 (x i -1, f (x i-1)), M i(x i, f(x i)). Kemudian panjang segmen adalah sama masing-masing

Di sini formula Lagrange digunakan. Mari letak x i – x i-1=D x i, kita mendapatkan

Kemudian l = , di mana

l = .

Jadi panjang lengkok lengkung di = f(x) sepadan dengan perubahan X pada segmen [ a, b], didapati oleh formula

l = , (1)

Jika lengkung diberikan secara parametrik, tО, iaitu y(t) = f(x(t)), maka daripada formula (1) kita perolehi:

l=
.

Jadi, jika lengkung diberikan secara parametrik, maka panjang lengkok lengkung ini sepadan dengan perubahan tн, didapati oleh formula

dalam) Isipadu badan revolusi.

Rajah 15

Pertimbangkan trapezoid melengkung a AB b, dibatasi oleh garisan di = f(x), lurus X = a, X = b dan segmen [ a,b] paksi OX (Gamb. 15). Biarkan trapezoid ini berputar mengelilingi paksi OX, hasilnya akan menjadi badan revolusi. Ia boleh dibuktikan bahawa isipadu badan ini akan sama dengan

Begitu juga, anda boleh memperoleh formula untuk isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi-y trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi X= j( di), lurus y = c , y = d dan segmen [ c,d] paksi-y (Rajah 15):

Aplikasi fizikal kamiran pasti

Dalam Kuliah 19, kami membuktikan bahawa, dari sudut fizikal, kamiran adalah secara berangka sama dengan jisim rod tak homogen nipis rectilinear panjangnya l= b – a, dengan ketumpatan linear berubah r = f(x), f(x) ³ 0, di mana X ialah jarak dari titik rod ke hujung kirinya.

Mari kita pertimbangkan aplikasi fizikal lain kamiran pasti.

Tugasan 1. Cari kerja yang diperlukan untuk mengepam minyak keluar dari tangki silinder menegak dengan ketinggian H dan jejari tapak R. Ketumpatan minyak ialah r.

Penyelesaian. Jom bina model matematik tugasan ini. Biarkan paksi OX melepasi paksi simetri silinder ketinggian H dan jejari R, permulaan - di tengah tapak atas silinder (Rajah 17). Mari kita belah silinder P bahagian mendatar kecil. Kemudian di mana A i- kerja mengepam i lapisan ke. Pembahagian silinder ini sepadan dengan pembahagian segmen perubahan ketinggian lapisan ke dalam P bahagian. Pertimbangkan salah satu lapisan ini terletak pada jarak yang jauh x i dari permukaan, lebar D X(atau segera dx). Pengepaman keluar dari lapisan ini boleh dianggap sebagai "menaikkan" lapisan ke ketinggian x i.

Kemudian kerja yang dilakukan untuk mengepam keluar lapisan ini adalah sama dengan

A i"R i x i, ,

di mana P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i- berat, V i ialah isipadu lapisan. Kemudian A i"R i x i= rgpR 2 dx.x i, di mana

, dan oleh itu .

Tugasan 2. Cari momen inersia

a) silinder berdinding nipis berongga tentang paksi yang melalui paksi simetrinya;

b) silinder pepejal mengenai paksi yang melalui paksi simetrinya;

c) panjang batang nipis l mengenai paksi yang melalui tengahnya;

d) panjang batang nipis l mengenai paksi yang melalui hujung kirinya.

Penyelesaian. Seperti yang anda ketahui, momen inersia titik mengenai paksi adalah sama dengan J=Encik 2 , dan sistem mata .

a) Silinder berdinding nipis, yang bermaksud bahawa ketebalan dinding boleh diabaikan. Biarkan jejari tapak silinder R, ketinggiannya H, dan ketumpatan jisim pada dinding sama dengan r.

Mari kita belah silinder P bahagian dan cari di mana J i- momen inersia i-elemen partition ke-.

Pertimbangkan i-elemen partition ke- (silinder yang sangat kecil). Semua titiknya berada pada jarak R dari paksi l. Biarkan jisim silinder ini t i, kemudian t i= rV i» rs sebelah= 2prR dx i, di mana x i O. Kemudian J i» R 2 pR dx i, di mana

.

Jika r ialah pemalar, maka J= 2prR 3 N, dan kerana jisim silinder ialah M = 2prRН, maka J= MR 2 .

b) Jika silinder pepejal (diisi), maka kita bahagikannya kepada P vlo silinder nipis terletak satu di dalam yang lain. Sekiranya P besar, setiap silinder ini boleh dianggap berdinding nipis. Pembahagian ini sepadan dengan pembahagian segmen ke dalam P bahagian dengan titik R i. Mari cari jisim i-silinder berdinding nipis ke-: t i= rV i, di mana

V i=pR i 2 H - pR saya- 1 2 H \u003d pH (R i 2-R i -1 2) =

PH(R i-R i-1)(R i+R i -1).

Oleh kerana dinding silinder adalah nipis, kita boleh mengandaikan bahawa R i+R i-1 » 2R i, dan R i-R i-1=DR i, kemudian V i» pH2R i DR i, di mana t i» rpН×2R i DR i,

Kemudian akhirnya

c) Pertimbangkan sebatang rod yang panjangnya l, yang ketumpatan jisimnya sama dengan r. Biarkan paksi putaran melalui tengahnya.

Kami memodelkan rod sebagai segmen paksi OX, maka paksi putaran rod ialah paksi OY. Pertimbangkan segmen asas , jisimnya , jarak ke paksi boleh dianggap lebih kurang sama dengan r i= x i. Maka momen inersia bahagian ini ialah , dari mana momen inersia keseluruhan rod adalah . Memandangkan jisim rod itu ialah , maka

d) Sekarang biarkan paksi putaran melalui hujung kiri rod, i.e. model rod ialah segmen paksi OX. Kemudian sama, r i= x i, , di mana , dan sejak , kemudian .

Tugasan 3. Cari daya tekanan bendalir dengan ketumpatan r pada segi tiga tegak dengan kaki a dan b, direndam secara menegak dalam cecair supaya kaki a berada di permukaan cecair.

Penyelesaian.

Mari bina model tugasan. Biarkan bahagian atas sudut tepat segi tiga adalah pada asal, kaki a bertepatan dengan segmen paksi OY (paksi OY menentukan permukaan cecair), paksi OX diarahkan ke bawah, kaki b bertepatan dengan segmen paksi ini. Hipotenus segi tiga ini mempunyai persamaan , atau .

Adalah diketahui bahawa jika pada kawasan mendatar kawasan itu S, direndam dalam cecair ketumpatan r, ditekan oleh lajur cecair dengan ketinggian h, maka daya tekanan adalah sama dengan (hukum Pascal). Mari kita gunakan undang-undang ini.

Mari kita kemukakan beberapa aplikasi kamiran pasti.

Mengira luas angka rata

Luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh lengkung (di mana
), lurus
,
dan segmen
paksi
, dikira dengan formula

.

Luas rajah yang dibatasi oleh lengkung
dan
(di mana
) lurus
dan
dikira dengan formula

.

Jika lengkung diberikan oleh persamaan parametrik
, maka luas trapezoid lengkung yang dibatasi oleh lengkung ini, garis lurus
,
dan segmen
paksi
, dikira dengan formula

,

di mana dan ditentukan daripada persamaan
,
, a
di
.

Luas sektor melengkung yang dibatasi oleh lengkung yang ditakrifkan dalam koordinat kutub persamaan
dan dua jejari kutub
,
(
), didapati oleh formula

.

Contoh 1.27. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh parabola
dan langsung
(Rajah 1.1).

	Penyelesaian. Mari kita cari titik persilangan garis dan parabola. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan , . di mana , . Kemudian dengan formula (1.6) kita ada .

Mengira Panjang Arka Lengkung Planar

Jika lengkung
pada segmen
- licin (iaitu, terbitan
adalah selanjar), maka panjang lengkok yang sepadan bagi lengkung ini ditemui oleh formula

.

Apabila menentukan lengkung secara parametrik
(
- fungsi boleh dibezakan secara berterusan) panjang lengkok lengkung yang sepadan dengan perubahan monotonik dalam parameter daripada sebelum ini , dikira dengan formula

Contoh 1.28. Kira panjang lengkok lengkung
,
,
.

Penyelesaian. Mari cari derivatif berkenaan dengan parameter :
,
. Kemudian dengan formula (1.7) kita perolehi

.

2. Kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah

Biarkan setiap pasangan nombor tersusun
dari sesuatu kawasan
sepadan dengan nombor tertentu
. Kemudian dipanggil fungsi dua pembolehubah dan ,
-pembolehubah bebas atau hujah ,
-domain definisi fungsi, tetapi set semua nilai fungsi - julatnya dan menandakan
.

Secara geometri, domain fungsi biasanya merupakan sebahagian daripada satah
dibatasi oleh garisan yang mungkin atau mungkin bukan milik kawasan ini.

Contoh 2.1. Cari domain
fungsi
.

Penyelesaian. Fungsi ini ditakrifkan pada titik-titik satah tersebut , di mana , atau . Titik kapal terbang yang , membentuk sempadan wilayah . Persamaan mentakrifkan parabola (Rajah 2.1; kerana parabola itu bukan kepunyaan kawasan itu , ia ditunjukkan sebagai garis putus-putus). Selanjutnya, adalah mudah untuk mengesahkan secara langsung bahawa mata yang , terletak di atas parabola. Wilayah terbuka dan boleh ditentukan menggunakan sistem ketaksamaan:

Jika berubah berikan sedikit dorongan
, a biarkan ia tetap, kemudian fungsinya
akan menerima kenaikan
dipanggil fungsi kenaikan peribadi mengikut pembolehubah :

Begitu juga jika pembolehubah mendapat kenaikan
, a kekal malar, maka fungsinya
akan menerima kenaikan
dipanggil fungsi kenaikan peribadi mengikut pembolehubah :

Jika had wujud:

,

,

mereka dipanggil terbitan separa bagi suatu fungsi
oleh pembolehubah dan masing-masing.

Catatan 2.1. Terbitan separa fungsi bagi sebarang bilangan pembolehubah bebas ditakrifkan secara serupa.

Catatan 2.2. Oleh kerana terbitan separa berkenaan dengan mana-mana pembolehubah ialah terbitan berkenaan dengan pembolehubah ini, dengan syarat pembolehubah lain adalah malar, maka semua peraturan untuk membezakan fungsi satu pembolehubah adalah terpakai untuk mencari terbitan separa fungsi bagi sebarang bilangan pembolehubah.

Contoh 2.2.
.

Penyelesaian. Kita dapati:

,

.

Contoh 2.3. Cari Terbitan Separa Fungsi
.

Penyelesaian. Kita dapati:

,

,

.

Kenaikan fungsi penuh
dipanggil perbezaan

Bahagian utama daripada jumlah kenaikan fungsi
, bergantung secara linear pada kenaikan pembolehubah tidak bersandar
dan
,dipanggil pembezaan jumlah fungsi dan dilambangkan
. Jika fungsi mempunyai terbitan separa berterusan, maka jumlah pembezaan wujud dan sama dengan

,

di mana
,
- kenaikan sewenang-wenang pembolehubah bebas, dipanggil pembezaannya.

Begitu juga, untuk fungsi tiga pembolehubah
jumlah pembezaan diberikan oleh

.

Biarkan fungsi
mempunyai pada titik
derivatif separa peringkat pertama berkenaan dengan semua pembolehubah. Kemudian vektor dipanggil kecerunan fungsi
pada titik
dan dilambangkan
atau
.

Catatan 2.3. Simbol
dipanggil pengendali Hamilton dan disebut "numbla".

Contoh 2.4. Cari kecerunan fungsi pada satu titik
.

Penyelesaian. Mari cari derivatif separa:

,
,

dan hitung nilai mereka pada titik itu
:

,
,
.

Akibatnya,
.

terbitan fungsi
pada titik
mengikut arah vektor
dipanggil had nisbah
di
:

, di mana
.

Jika fungsi
boleh dibezakan, maka terbitan ke arah ini dikira dengan formula:

,

di mana ,- sudut, vektor yang manakah bentuk dengan kapak
dan
masing-masing.

Dalam kes fungsi tiga pembolehubah
terbitan berarah ditakrifkan sama. Formula yang sepadan mempunyai bentuk

,

di mana
- kosinus arah vektor .

Contoh 2.5. Cari terbitan bagi suatu fungsi
pada titik
mengikut arah vektor
, di mana
.

Penyelesaian. Mari cari vektor
dan kosinus arahnya:

,
,
,
.

Kira nilai terbitan separa pada titik itu
:

,
,
;
,
,
.

Menggantikan kepada (2.1), kita memperoleh

.

Terbitan separa tertib kedua dipanggil derivatif separa yang diambil daripada derivatif separa tertib pertama:

,

,

,

Derivatif separa
,
dipanggil bercampur-campur . Nilai derivatif bercampur adalah sama pada titik di mana derivatif ini berterusan.

Contoh 2.6. Cari terbitan separa tertib kedua bagi suatu fungsi
.

Penyelesaian. Kira terbitan separa pertama bagi tertib pertama:

,
.

Membezakannya sekali lagi, kita dapat:

,
,

,
.

Membandingkan ungkapan terakhir, kita melihatnya
.

Contoh 2.7. Buktikan bahawa fungsi
memenuhi persamaan Laplace

.

Penyelesaian. Kita dapati:

,
.

,
.

.

titik
dipanggil titik maksimum tempatan (minimum ) fungsi
, jika untuk semua mata
, Selain itu
dan tergolong dalam kejiranan yang cukup kecil, ketidaksamaan

(
).

Maksimum atau minimum fungsi dipanggilnya melampau . Titik di mana ekstrem fungsi dicapai dipanggil titik ekstrem fungsi .

Teorem 2.1 (Syarat yang diperlukan untuk ekstrem ). Jika titik
ialah titik ekstrem bagi fungsi
, maka sekurang-kurangnya satu daripada derivatif ini tidak wujud.

Titik yang syarat ini dipenuhi dipanggil pegun atau kritikal . Titik melampau sentiasa pegun, tetapi titik pegun mungkin bukan titik melampau. Untuk titik pegun menjadi titik ekstrem, syarat ekstrem yang mencukupi mesti dipenuhi.

Mari kita mula-mula memperkenalkan notasi berikut :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem ). Biarkan fungsi
adalah dua kali boleh dibezakan dalam kejiranan satu titik
dan titik
adalah pegun untuk fungsi tersebut
. Kemudian:

1.Sekiranya
, kemudian titik
ialah ekstrem bagi fungsi, dan
akan menjadi titik maksimum pada
(
)dan titik minimum pada
(
).

2.Sekiranya
, kemudian pada titik

tidak ada yang melampau.

3.Sekiranya
, maka mungkin ada atau mungkin tidak ekstrem.

Contoh 2.8. Menyiasat fungsi untuk ekstrem
.

Penyelesaian. Sejak dalam kes ini derivatif separa dari susunan pertama sentiasa wujud, kemudian untuk mencari titik pegun (kritikal) kita menyelesaikan sistem:

,
,

di mana
,
,
,
. Oleh itu, kami mendapat dua mata pegun:
,
.

,
,
.

Untuk titik
kita dapat:, iaitu, tiada ekstrem pada ketika ini. Untuk titik
kita dapat: dan
, Akibatnya

pada ketika ini fungsi yang diberikan mencapai minimum tempatan: .

Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia

institusi pendidikan berautonomi negeri persekutuan

pendidikan profesional yang lebih tinggi

"Utara (Artik) universiti persekutuan dinamakan sempena M.V. Lomonosov"

Jabatan Matematik

KERJA KURSUS

Mengikut disiplin Matematik

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Penyelia

Seni. cikgu

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

TUGASAN UNTUK KERJA KURSUS

Aplikasi kamiran pasti

DATA AWAL:

21. y=x 3 , y= ; 22.

PENGENALAN

Dalam kerja kursus ini, saya telah diberi tugasan berikut: untuk mengira kawasan rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, dibatasi oleh garis yang diberikan oleh persamaan, juga dibatasi oleh garis yang diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub, mengira panjang lengkok lengkok. diberikan oleh persamaan dalam sistem segi empat tepat koordinat yang diberikan oleh persamaan parametrik, diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub, serta mengira isipadu jasad yang disempadani oleh permukaan, dibatasi oleh graf fungsi, dan dibentuk oleh putaran angka yang dibatasi oleh graf fungsi di sekeliling paksi kutub. Saya memilih kertas penggal mengenai topik “Kamiran Pasti. Dalam hal ini, saya memutuskan untuk mengetahui betapa mudah dan pantas anda boleh menggunakan pengiraan integral, dan seberapa tepat anda boleh mengira tugasan yang diberikan kepada saya.

INTEGRAL ialah salah satu konsep matematik yang paling penting yang timbul berkaitan dengan keperluan, di satu pihak, untuk mencari fungsi oleh derivatifnya (contohnya, untuk mencari fungsi yang menyatakan laluan yang dilalui oleh titik bergerak, mengikut kelajuan titik ini), dan sebaliknya, untuk mengukur kawasan, isipadu, panjang lengkok, kerja daya untuk tempoh masa tertentu, dsb.

Pendedahan topik kertas penggal Saya mengikuti pelan berikut: takrif kamiran pasti dan sifatnya; panjang lengkok lengkok; kawasan trapezoid melengkung; luas permukaan putaran.

Untuk sebarang fungsi f(x) berterusan pada segmen , wujud antiterbitan pada segmen ini, yang bermaksud wujud kamiran tak tentu.

Jika fungsi F(x) ialah beberapa antiterbitan bagi fungsi berterusan f(x), maka ungkapan ini dikenali sebagai formula Newton-Leibniz:

Sifat utama kamiran pasti:

Jika had bawah dan atas pengamiran adalah sama (a=b), maka kamiran adalah sama dengan sifar:

Jika f(x)=1, maka:

Apabila menyusun semula had penyepaduan, tanda kamiran pasti berubah kepada sebaliknya:

Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran pasti:

Jika fungsi boleh disepadukan, maka jumlahnya boleh disepadukan dan kamiran jumlah itu adalah sama dengan jumlah kamiran:

Terdapat juga kaedah integrasi asas, seperti perubahan pembolehubah,:

Pembetulan Perbezaan:

Formula pengamiran mengikut bahagian memungkinkan untuk mengurangkan pengiraan kamiran kepada pengiraan kamiran, yang mungkin menjadi lebih mudah:

Makna geometri kamiran pasti ialah untuk fungsi berterusan dan bukan negatif ia adalah dalam pengertian geometri kawasan trapezoid lengkung yang sepadan.

Di samping itu, menggunakan kamiran pasti, anda boleh mencari kawasan rantau yang dibatasi oleh lengkung, garis lurus dan, di mana

Jika trapezoid melengkung dibatasi oleh lengkung yang diberi secara parametrik oleh garis lurus x = a dan x = b dan paksi Ox, maka luasnya ditemui oleh formula, di mana ia ditentukan daripada kesamaan:

. (12)

Kawasan utama, kawasan yang didapati menggunakan kamiran tertentu, adalah sektor lengkung. Ini ialah kawasan yang dibatasi oleh dua sinar dan lengkung, di mana r dan ialah koordinat kutub:

Jika lengkung ialah graf bagi fungsi di mana, dan fungsi terbitannya berterusan pada segmen ini, maka luas permukaan rajah yang dibentuk oleh putaran lengkung di sekeliling paksi Lembu boleh dikira dengan formula:

. (14)

Jika fungsi dan terbitannya adalah selanjar pada suatu segmen, maka lengkung tersebut mempunyai panjang yang sama dengan:

Jika persamaan lengkung diberikan dalam bentuk parametrik

di mana x(t) dan y(t) ialah fungsi selanjar dengan derivatif selanjar dan kemudian panjang lengkung ditemui oleh formula:

Jika lengkung diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub, di mana dan berterusan pada segmen, maka panjang lengkok boleh dikira seperti berikut:

Jika trapezoid melengkung berputar mengelilingi paksi Lembu, dibatasi oleh segmen garis berterusan dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b, maka isipadu jasad yang dibentuk oleh putaran trapezoid ini di sekeliling paksi Lembu akan sama dengan :

Jika trapezoid melengkung dibatasi oleh graf fungsi selanjar dan garis x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Jika rajah itu dibatasi oleh lengkung dan (adalah "lebih tinggi" daripada garis lurus x = a, x = b, maka isipadu badan revolusi mengelilingi paksi Lembu akan sama dengan:

dan di sekeliling paksi-y (:

Sekiranya sektor lengkung diputar di sekitar paksi kutub, maka luas badan yang terhasil boleh didapati dengan formula:

2. PENYELESAIAN MASALAH

Tugasan 14: Kira kawasan rajah yang dibatasi oleh graf fungsi:

1) Penyelesaian:

Rajah 1 - Graf fungsi

X berubah daripada 0 kepada

x 1 = -1 dan x 2 = 2 - had penyepaduan (ini boleh dilihat dalam Rajah 1).

3) Kira luas rajah menggunakan formula (10).

Jawapan: S = .

Tugasan 15: Kirakan kawasan bagi rajah yang dibatasi oleh garis yang diberikan oleh persamaan:

1) Penyelesaian:

Rajah 2 - Graf fungsi

Pertimbangkan fungsi pada selang .

Rajah 3 - Jadual pembolehubah untuk fungsi

Oleh kerana, maka 1 arka akan muat pada tempoh ini. Arka ini terdiri daripada bahagian tengah (S 1) dan bahagian sisi. Bahagian tengah terdiri daripada bahagian yang dikehendaki dan segi empat tepat (S pr):. Mari kita hitung luas satu bahagian tengah arka.

2) Cari had penyepaduan.

dan y = 6, oleh itu

Untuk selang waktu, had penyepaduan.

3) Cari luas rajah menggunakan formula (12).

trapezoid kamiran melengkung

Masalah 16: Kira kawasan rajah yang dibatasi oleh garis yang diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub:

1) Penyelesaian:

Rajah 4 - Graf fungsi,

Rajah 5 - Jadual fungsi pembolehubah,

2) Cari had penyepaduan.

Akibatnya -

3) Cari luas rajah menggunakan formula (13).

Jawapan: S=.

Tugasan 17: Kira panjang lengkok lengkok yang diberikan oleh persamaan dalam sistem koordinat segi empat tepat:

1) Penyelesaian:

Rajah 6 - Graf fungsi

Rajah 7 - Jadual pembolehubah fungsi

2) Cari had penyepaduan.

berbeza dari ln ke ln, ini jelas dari keadaan.

3) Cari panjang lengkok menggunakan formula (15).

Jawapan: l =

Tugasan 18: Kira panjang lengkok lengkok yang diberikan oleh persamaan parametrik: 1)

1) Penyelesaian:

Rajah 8- Graf Fungsi

Rajah 11 - Jadual pembolehubah fungsi

2) Cari had penyepaduan.

ts berbeza dari, ini jelas dari keadaan.

Mari cari panjang lengkok menggunakan formula (17).

Tugasan 20: Kira isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan:

1) Penyelesaian:

Rajah 12 - Graf fungsi:

2) Cari had penyepaduan.

Z berubah dari 0 hingga 3.

3) Cari isipadu rajah menggunakan formula (18)

Tugasan 21: Kira isipadu jasad yang dibatasi oleh graf fungsi, paksi putaran Lembu: 1)

1) Penyelesaian:

Rajah 13 - Graf fungsi

Rajah 15 - Jadual Graf Fungsi

2) Cari had penyepaduan.

Titik (0;0) dan (1;1) adalah biasa bagi kedua-dua graf, oleh itu ini adalah had penyepaduan, yang jelas dalam rajah.

3) Cari isipadu rajah menggunakan formula (20).

Tugasan 22: Kira luas jasad yang dibentuk oleh putaran rajah yang dibatasi oleh graf fungsi di sekeliling paksi kutub:

1) Penyelesaian:

Rajah 16 - Graf fungsi

Rajah 17 - Jadual pembolehubah bagi graf fungsi

2) Cari had penyepaduan.

c berubah daripada

3) Cari luas rajah menggunakan formula (22).

Jawapan: 3.68

KESIMPULAN

Dalam proses menyiapkan kerja kursus saya mengenai topik "Kamiran Pasti", saya belajar cara mengira kawasan badan yang berbeza, cari panjang lengkok yang berbeza bagi lengkung, dan hitung isipadu. Perwakilan ini tentang bekerja dengan kamiran, akan membantu saya pada masa hadapan aktiviti profesional bagaimana untuk melaksanakan dengan cepat dan cekap pelbagai aktiviti. Lagipun, kamiran itu sendiri adalah salah satu konsep matematik yang paling penting, yang timbul berkaitan dengan keperluan, di satu pihak, untuk mencari fungsi oleh derivatifnya (contohnya, untuk mencari fungsi yang menyatakan laluan yang dilalui oleh sesuatu yang bergerak. titik, mengikut kelajuan titik ini), dan sebaliknya, untuk mengukur kawasan, isipadu, panjang lengkok, kerja daya untuk tempoh masa tertentu, dsb.

SENARAI SUMBER TERGUNA

1. Ditulis, D.T. Nota kuliah tentang matematik yang lebih tinggi: Bahagian 1 - ed ke-9. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Matematik Tinggi. Pembezaan dan kalkulus kamiran: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 p.

3. V. A. Zorich, Analisis Matematik. Bahagian I. - Ed. Ke-4 - M.: MTSNMO, 2002. - 664 p.

4. Kuznetsov D.A. “Pengumpulan tugas untuk matematik yang lebih tinggi» Moscow, 1983

5. Nikolsky S. N. "Unsur analisis matematik". - M.: Nauka, 1981.

Dokumen Serupa

Pengiraan luas angka satah. Mencari kamiran pasti bagi suatu fungsi. Penentuan luas di bawah lengkung, luas rajah yang tertutup di antara lengkung. Pengiraan isipadu badan revolusi. Had hasil tambah kamiran bagi suatu fungsi. Menentukan isipadu silinder.

pembentangan, ditambah 09/18/2013


Ciri-ciri pengiraan isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan menggunakan makna geometri kamiran berganda. Menentukan luas angka satah yang dibatasi oleh garis menggunakan kaedah kamiran dalam perjalanan analisis matematik.

pembentangan, ditambah 09/17/2013


Terbitan kamiran pasti berkenaan dengan pembolehubah had atas. Pengiraan kamiran pasti sebagai had jumlah kamiran oleh formula Newton–Leibniz, perubahan pembolehubah dan pengamiran mengikut bahagian. Panjang arka masuk sistem kutub koordinat.

kerja kawalan, ditambah 08/22/2009


Momen dan pusat jisim lengkung satah. Teorem Gulden. Luas permukaan yang dibentuk oleh putaran lengkok lengkok satah mengelilingi paksi yang terletak pada satah lengkok dan tidak bersilang adalah sama dengan hasil darab panjang lengkok dan panjang bulatan.

kuliah, ditambah 09/04/2003


Teknik dan peringkat utama mencari parameter: luas trapezoid dan sektor lengkung, panjang lengkok lengkung, isipadu jasad, luas permukaan jasad revolusi, kerja pembolehubah memaksa. Susunan dan mekanisme untuk mengira kamiran menggunakan pakej MathCAD.

kerja kawalan, ditambah 21/11/2010


Perlu dan keadaan yang mencukupi kewujudan kamiran yang pasti. Kesamaan kamiran pasti bagi jumlah algebra(perbezaan) dua fungsi. Teorem nilai min – akibat dan bukti. Makna geometri bagi kamiran pasti.

pembentangan, ditambah 09/18/2013


Satu tugas penyepaduan berangka fungsi. Pengiraan nilai anggaran kamiran pasti. Mencari kamiran pasti menggunakan kaedah segi empat tepat, segi empat tepat tengah, trapezium. Kesilapan formula dan perbandingan kaedah dari segi ketepatan.

manual latihan, ditambah 07/01/2009


Kaedah untuk mengira kamiran. Formula dan pengesahan kamiran tak tentu. Luas trapezoid melengkung. Tidak tentu, pasti dan kamiran kompleks. Aplikasi asas kamiran. Makna geometri bagi kamiran pasti dan tak tentu.

pembentangan, ditambah 01/15/2014


Mengira luas rajah yang dibatasi oleh garisan yang diberikan, menggunakan kamiran berganda. Pengiraan kamiran berganda dengan pergi ke koordinat kutub. Kaedah penentuan kamiran lengkung jenis kedua di sepanjang garis dan aliran medan vektor tertentu.

kerja kawalan, ditambah 12/14/2012


Konsep kamiran pasti, pengiraan luas, isipadu jasad dan panjang lengkok, momen statik dan pusat graviti lengkung. Pengiraan kawasan dalam kes kawasan lengkung segi empat tepat. Penggunaan kamiran lengkung, permukaan dan rangkap tiga.

Kuliah 8. Aplikasi kamiran pasti.

Penggunaan kamiran kepada tugas fizikal adalah berdasarkan sifat ketambahan kamiran ke atas suatu set. Oleh itu, dengan bantuan kamiran, kuantiti sedemikian boleh dikira yang merupakan bahan tambahan dalam set. Sebagai contoh, luas rajah adalah sama dengan jumlah luas bahagian-bahagiannya. Panjang lengkok, luas permukaan, isipadu jasad, dan jisim jasad mempunyai sifat yang sama. Oleh itu, semua kuantiti ini boleh dikira menggunakan kamiran pasti.

Terdapat dua cara untuk menyelesaikan masalah: kaedah jumlah kamiran dan kaedah pembezaan.

Kaedah jumlah kamiran mengulangi pembinaan kamiran pasti: partition dibina, titik ditanda, fungsi dikira di dalamnya, jumlah kamiran dikira, dan laluan ke had dilakukan. Dalam kaedah ini, kesukaran utama adalah untuk membuktikan bahawa dalam had tepat apa yang diperlukan dalam masalah akan diperolehi.

Kaedah pembezaan menggunakan kamiran tak tentu dan formula Newton-Leibniz. Pembezaan nilai yang akan ditentukan dikira, dan kemudian, menyepadukan pembezaan ini, nilai yang diperlukan diperoleh menggunakan formula Newton-Leibniz. Dalam kaedah ini, kesukaran utama adalah untuk membuktikan bahawa ia adalah pembezaan nilai yang dikehendaki yang dikira, dan bukan sesuatu yang lain.

Pengiraan luas angka satah.

1. Angka itu terhad kepada graf fungsi yang dinyatakan dalam Sistem kartesian koordinat.

Kami sampai pada konsep kamiran pasti dari masalah luas trapezoid curvilinear (sebenarnya, menggunakan kaedah jumlah kamiran). Jika fungsi menerima sahaja tidak nilai negatif, maka luas di bawah graf fungsi pada segmen boleh dikira menggunakan kamiran pasti. perasan, itu jadi di sini anda boleh melihat kaedah pembezaan.

Tetapi fungsi itu juga boleh mengambil nilai negatif pada segmen tertentu, maka integral di atas segmen ini akan memberikan kawasan negatif, yang bercanggah dengan definisi kawasan.

Anda boleh mengira luas menggunakan formulaS=. Ini bersamaan dengan menukar tanda fungsi di kawasan yang memerlukan nilai negatif.

Jika anda perlu mengira luas angka yang dibatasi dari atas oleh graf fungsi, dan dari bawah dengan graf fungsi, maka anda boleh menggunakan formulaS= , kerana .

Contoh. Hitungkan luas rajah yang dibatasi oleh garis lurus x=0, x=2 dan graf fungsi y=x 2 , y=x 3 .

Perhatikan bahawa pada selang (0,1) ketaksamaan x 2 > x 3 dipenuhi, dan untuk x >1 ketaksamaan x 3 > x 2 dipenuhi. sebab tu

2. Angka tersebut terhad kepada graf fungsi yang diberikan dalam sistem koordinat kutub.

Biarkan graf fungsi diberikan dalam sistem koordinat kutub dan kami ingin mengira luas sektor lengkung yang dibatasi oleh dua sinar dan graf fungsi dalam sistem koordinat kutub.

Di sini anda boleh menggunakan kaedah jumlah kamiran, mengira luas sektor melengkung sebagai had jumlah kawasan sektor asas di mana graf fungsi digantikan dengan lengkok bulatan .

Anda juga boleh menggunakan kaedah pembezaan: .

Anda boleh membuat alasan seperti ini. Menggantikan sektor lengkung asas yang sepadan dengan sudut pusat dengan sektor bulat, kita mempunyai perkadaran . Dari sini . Mengintegrasikan dan menggunakan formula Newton-Leibniz, kami memperoleh .

Contoh. Kira luas bulatan (semak formula). Kami percaya . Luas bulatan ialah .

Contoh. Kira luas yang dibatasi oleh kardioid itu .

3 Angka itu terhad kepada graf fungsi yang dinyatakan secara parametrik.

Fungsi boleh ditentukan secara parametrik dalam bentuk . Kami menggunakan formula S= , menggantikannya dengan had penyepaduan berkenaan dengan pembolehubah baharu. . Biasanya, apabila mengira kamiran, kawasan tersebut dibezakan di mana kamiran dan mempunyai tanda tertentu dan kawasan yang sepadan dengan satu tanda atau yang lain diambil kira.

Contoh. Kira luas yang dikelilingi oleh elips.

Menggunakan simetri elips, kami mengira kawasan suku elips, yang terletak di kuadran pertama. dalam kuadran ini. sebab tu .

Pengiraan isipadu badan.

1. Pengiraan isipadu jasad daripada kawasan keratan selari.

Biarkan ia diperlukan untuk mengira isipadu beberapa jasad V daripada dataran terkenal bahagian badan ini dengan satah berserenjang dengan garis OX, dilukis melalui mana-mana titik x dari ruas garis OX.

Kami menggunakan kaedah pembezaan. Mengambil kira isipadu asas , di atas segmen sebagai isipadu silinder bulat tegak dengan luas tapak dan ketinggian , kita dapat . Mengintegrasikan dan menggunakan formula Newton-Leibniz, kami dapat

2. Pengiraan isipadu badan revolusi.

Biarlah ia dikehendaki mengira OX.

Kemudian .

Begitu juga, isipadu badan revolusi tentang paksiOY, jika fungsi diberikan dalam bentuk , boleh dikira menggunakan formula .

Jika fungsi diberikan dalam bentuk dan ia diperlukan untuk menentukan isipadu badan revolusi di sekeliling paksiOY, maka formula pengiraan isipadu boleh diperolehi seperti berikut.

Melepasi kepada pembezaan dan mengabaikan sebutan kuadratik, kita ada . Mengintegrasikan dan menggunakan formula Newton-Leibniz, kami mempunyai .

Contoh. Kira isipadu sfera itu.

Contoh. Hitung isipadu kon bulat tegak yang dibatasi oleh permukaan dan satah.

Kira isipadu sebagai isipadu jasad revolusi yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi OZ segi tiga tepat dalam satah OXZ, yang kakinya terletak pada paksi OZ dan garis z \u003d H, dan hipotenus terletak pada garisan.

Menyatakan x dalam sebutan z, kita dapat .

Pengiraan panjang arka.

Untuk mendapatkan formula untuk mengira panjang lengkok, mari kita ingat semula formula untuk pembezaan panjang lengkok yang diperolehi pada semester 1.

Jika lengkok ialah graf bagi fungsi boleh dibezakan secara berterusan, perbezaan panjang arka boleh dikira dengan formula

. sebab tu

Jika lengkok licin ditentukan secara parametrik, kemudian

. sebab tu .

Jika lengkok berada dalam koordinat kutub, kemudian

. sebab tu .

Contoh. Kira panjang lengkok graf fungsi, . .

Luas trapezium melengkung yang dibatasi dari atas oleh graf fungsi y=f(x), kiri dan kanan - lurus x=a dan x=b masing-masing, dari bawah - paksi lembu, dikira dengan formula

Luas trapezium melengkung yang dibatasi di sebelah kanan oleh graf fungsi x=φ(y), atas dan bawah - lurus y=d dan y=c masing-masing, di sebelah kiri - paksi Oy:

Segi empat angka lengkung, dibatasi dari atas oleh graf fungsi y 2 \u003d f 2 (x), di bawah - graf fungsi y 1 \u003d f 1 (x), kiri dan kanan - lurus x=a dan x=b:

Luas rajah lengkung yang disempadani di kiri dan kanan oleh graf fungsi x 1 \u003d φ 1 (y) dan x 2 \u003d φ 2 (y), atas dan bawah - lurus y=d dan y=c masing-masing:

Pertimbangkan kes apabila garis yang mengehadkan trapezoid lengkung dari atas diberikan oleh persamaan parametrik x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), di mana α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Persamaan ini mentakrifkan beberapa fungsi y=f(x) pada segmen [ a, b]. Luas trapezoid melengkung dikira dengan formula

Mari kita beralih kepada pembolehubah baharu x = φ 1 (t), kemudian dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), maka \begin(displaymath)

Kawasan dalam koordinat kutub

Pertimbangkan sektor curvilinear OAB, dibatasi oleh garis, diberikan oleh persamaan ρ=ρ(φ) dalam koordinat kutub, dua rasuk OA dan OB, untuk yang mana φ=α , φ=β .

Kami membahagikan sektor ini kepada sektor asas OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn=B). Nyatakan dengan Δφ k sudut antara rasuk OM k-1 dan OM k membentuk sudut dengan paksi kutub φk-1 dan φk masing-masing. Setiap sektor asas OM k-1 M k gantikan dengan sektor bulat dengan jejari ρ k \u003d ρ (φ "k), di mana φ" k- nilai sudut φ dari selang [ φk-1 , φk], dan sudut tengah Δφ k. Kawasan sektor terakhir dinyatakan dengan formula .

menyatakan kawasan sektor "berlangkah", yang kira-kira menggantikan sektor tertentu OAB.

Kawasan sektor OAB dipanggil had kawasan sektor "berlangkah" di n→∞ dan λ=maks Δφ k → 0:

Kerana , kemudian

Panjang lengkok lengkok

Biarkan pada selang [ a, b] fungsi boleh beza diberikan y=f(x), yang grafnya ialah lengkok . Segmen baris [ a,b] berpecah kepada n bahagian titik x 1, x2, …, xn-1. Mata ini akan sepadan dengan mata M1, M2, …, Mn-1 lengkok, sambungkannya dengan garis putus-putus, yang dipanggil garis putus-putus yang tertulis dalam lengkok. Perimeter garis putus ini dilambangkan dengan s n, itu dia

Definisi. Panjang lengkok garisan ialah had perimeter garis poli yang tertulis di dalamnya, apabila bilangan pautan M k-1 M k meningkat selama-lamanya, dan panjang yang terbesar cenderung kepada sifar:

di mana λ ialah panjang pautan terbesar.

Kami akan mengira panjang lengkok dari beberapa titiknya, sebagai contoh, A. Biar pada titik M(x,y) panjang lengkok ialah s, dan pada titik itu M"(x+Δx,y+Δy) panjang lengkok ialah s+Δs, di mana, i>Δs - panjang lengkok. Dari segi tiga MNM" cari panjang kord: .

daripada pertimbangan geometri mengikuti itu

iaitu, lengkok tak terhingga kecil garisan dan kord yang menyamakannya adalah setara.

Mari kita ubah formula yang menyatakan panjang kord:

Melepasi had dalam kesamaan ini, kita memperoleh formula untuk terbitan fungsi s=s(x):

dari mana kita dapati

Formula ini menyatakan pembezaan lengkok lengkok satah dan mempunyai mudah deria geometri : menyatakan teorem Pythagoras bagi segi tiga tak terhingga MTN (ds=MT, ).

Pembezaan lengkok lengkung angkasa diberikan oleh

Pertimbangkan lengkok garis ruang yang diberikan oleh persamaan parametrik

di mana α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1, 2, 3) ialah fungsi boleh dibezakan bagi hujah t, kemudian

Mengintegrasikan kesamaan ini sepanjang selang [ α, β ], kita memperoleh formula untuk mengira panjang lengkok garis ini

Jika garisan terletak dalam satah Oxy, kemudian z=0 untuk semua t∈[α, β], sebab tu

Dalam kes bila garisan rata diberikan oleh persamaan y=f(x) (a≤x≤b), di mana f(x) ialah fungsi boleh dibezakan, formula terakhir mengambil bentuk

Biarkan garis rata diberikan oleh persamaan ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) dalam koordinat kutub. Dalam kes ini kita ada persamaan parametrik garisan x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, di mana sudut kutub diambil sebagai parameter φ . Kerana ia

maka formula menyatakan panjang lengkok garisan ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) dalam koordinat kutub mempunyai bentuk

isipadu badan

Mari kita cari isipadu jasad jika luas mana-mana keratan rentas jasad ini berserenjang dengan arah tertentu diketahui.

Mari kita bahagikan jasad ini kepada lapisan asas dengan satah berserenjang dengan paksi lembu dan ditakrifkan oleh persamaan x=const. Untuk sebarang tetap x∈ kawasan yang diketahui S=S(x) keratan rentas badan ini.

Lapisan asas dipotong oleh satah x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, xn=b), kami menggantikannya dengan silinder dengan ketinggian ∆x k =x k -x k-1 dan kawasan asas S(ξk), ξk ∈.

Isipadu silinder asas yang ditentukan dinyatakan oleh formula Δvk =E(ξk)Δxk. Mari kita ringkaskan semua produk sedemikian

yang merupakan jumlah kamiran bagi fungsi yang diberi S=S(x) pada segmen [ a, b]. Ia menyatakan isipadu badan berlangkah, yang terdiri daripada silinder asas dan lebih kurang menggantikan badan yang diberikan.

Isipadu jasad yang diberi ialah had isipadu badan berpijak yang ditentukan pada λ→0 , di mana λ - panjang segmen asas yang terbesar ∆x k. Nyatakan dengan V isipadu badan yang diberikan, kemudian mengikut takrifan

Selain itu,

Oleh itu, isipadu badan mengikut yang diberikan keratan rentas dikira dengan formula

Jika jasad terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi lembu trapezoid lengkung yang dibatasi dari atas oleh lengkok garis selanjar y=f(x), di mana a≤x≤b, kemudian S(x)=πf 2 (x) dan formula terakhir menjadi:

Komen. Isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezium melengkung yang dibatasi di sebelah kanan oleh graf fungsi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), di sekeliling paksi Oy dikira dengan formula

Luas permukaan putaran

Pertimbangkan permukaan yang diperoleh dengan memutarkan lengkok garisan y=f(x) (a≤x≤b) di sekeliling paksi lembu(andaikan bahawa fungsi y=f(x) mempunyai terbitan berterusan). Kami menetapkan nilai x∈, hujah fungsi akan dinaikkan dx, yang sepadan dengan "gelang asas" yang diperoleh dengan memutarkan arka asas Δl. "Cincin" ini digantikan dengan cincin silinder - permukaan sisi badan yang dibentuk oleh putaran segi empat tepat dengan tapak yang sama dengan pembezaan arka dl, dan ketinggian h=f(x). Memotong cincin terakhir dan membukanya, kami mendapat jalur dengan lebar dl dan panjang 2πy, di mana y=f(x).

Oleh itu, perbezaan luas permukaan dinyatakan dengan formula

Formula ini menyatakan luas permukaan yang diperoleh dengan memutarkan lengkok garis y=f(x) (a≤x≤b) di sekeliling paksi lembu.