Aplikasi kalkulus kamiran dalam aktiviti profesional. Ringkasan pelajaran "Aplikasi kamiran"

"Akademi Perubatan Negeri Omsk"

Kementerian Kesihatan dan Pembangunan Sosial Persekutuan Rusia

pada topik: aplikasi kamiran pasti

dalam bidang perubatan

disiapkan oleh pelajar tahun 1

jabatan perubatan am

kumpulan 102F

Glushneva N.A.

pengenalan

Seorang ahli fizik dan astronomi Itali yang cemerlang, salah seorang pengasas sains semula jadi tepat, Galileo Galilei (1564-1642) berkata bahawa "Buku Alam ditulis dalam bahasa matematik." Hampir dua ratus tahun kemudian, pengasas falsafah klasik Jerman, Kant (1742-1804), berhujah bahawa "Dalam setiap sains terdapat kebenaran yang sama seperti terdapat matematik di dalamnya." Akhirnya, selepas hampir seratus lima puluh tahun, hampir pada zaman kita, ahli matematik dan logik Jerman David Hilbert (1862-1943) menyatakan: "Matematik adalah asas kepada semua sains semula jadi yang tepat."

Leonardo Da Vinci berkata: "Jangan biarkan sesiapa yang bukan ahli matematik membaca saya dalam asas saya." Cuba untuk mencari justifikasi matematik untuk undang-undang alam, menganggap matematik sebagai alat pengetahuan yang berkuasa, dia menerapkannya walaupun dalam sains seperti anatomi.

Setiap orang memerlukan matematik. Dan doktor juga. Sekurang-kurangnya untuk membaca kardiogram biasa dengan betul. Tanpa pengetahuan tentang asas matematik, adalah mustahil untuk menjadi juruteknik komputer yang baik, untuk menggunakan kemungkinan tomografi yang dikira ... Lagipun, perubatan moden tidak boleh dilakukan tanpa teknologi yang paling kompleks.

Hari ini adalah mustahil untuk mengkaji hemodinamik - pergerakan darah melalui saluran tanpa menggunakan integral.

Untuk masa yang lama, kateterisasi jantung kanan adalah satu-satunya kaedah penyelidikan yang memungkinkan untuk menilai keadaan jantung kanan, mendapatkan ciri-ciri aliran darah intrakardiak, dan menentukan tekanan dalam jantung kanan dan arteri pulmonari.
Kelebihan utama echocardiography (EchoCG) ialah secara tidak invasif dalam masa nyata adalah mungkin untuk menilai saiz dan pergerakan struktur jantung, mendapatkan ciri-ciri hemodinamik intrakardiak, dan menentukan tekanan dalam bilik jantung dan arteri pulmonari. Perbandingan yang baik bagi keputusan ekokardiografi dengan data yang diperoleh semasa kateterisasi jantung telah terbukti.
Kajian ekokardiografi membolehkan bukan sahaja untuk mengesan kehadiran hipertensi pulmonari, tetapi juga untuk mengecualikan beberapa penyakit yang menyebabkan hipertensi pulmonari sekunder: kecacatan injap mitral, kecacatan jantung kongenital, kardiomiopati diluaskan, miokarditis kronik.

Walau bagaimanapun, lebih dekat dengan amalan. Mula-mula, mari kita cari halaju linear aliran darah

Perubahan dalam halaju linear aliran darah dalam pelbagai saluran

Ini ialah laluan yang dilalui setiap unit masa oleh zarah darah dalam salur. Halaju linear dalam vesel pelbagai jenis adalah berbeza (lihat rajah) dan bergantung pada halaju isipadu aliran darah dan luas keratan rentas salur. Dalam perubatan praktikal, halaju linear aliran darah diukur menggunakan kaedah ultrasound dan penunjuk, lebih kerap masa peredaran darah lengkap ditentukan, iaitu 21-23 s.

Untuk menentukannya, penunjuk dimasukkan ke dalam vena cubital (eritrosit yang dilabelkan dengan isotop radioaktif, larutan biru metilena, dsb.) dan masa penampilan pertamanya dalam darah vena vesel yang sama pada anggota badan yang lain dicatatkan.

Sebagai permulaan, mari kita ingat bahawa kamiran ialah objek matematik yang timbul secara sejarah atas dasar keperluan untuk menyelesaikan pelbagai masalah gunaan fizik dan teknologi. Ini adalah aplikasi fizikal kamiran pasti: pengiraan laluan titik bahan yang bergerak di sepanjang trajektori rectilinear atau curvilinear pada kelajuan pergerakannya.

Kuantiti fizik yang ditentukan dengan bantuan kamiran biasanya dipanggil kamiran, dan kuantiti yang melaluinya kuantiti kamiran dinyatakan dipanggil pembezaan. Sebagai contoh, kelajuan jasad pada satu titik ialah ciri pembezaan jasad, dan jisim jasad adalah ciri kamiran.

Ciri-ciri pembezaan ditentukan oleh nilai pada satu titik dan biasanya berbeza pada titik yang berbeza dalam ruang.

Ciri kamiran sentiasa menyatakan sifat objek yang berkaitan dengan seluruh kawasan ruang. Sebagai contoh, jisim mencirikan seluruh badan sebagai beberapa objek yang menduduki kawasan ruang. Laluan yang dilalui oleh badan juga merupakan ciri penting, kerana ia mencirikan keseluruhan trajektori, yang terdiri daripada banyak titik, dan kelajuan adalah berbeza pada setiap titik trajektori dan mencirikan setiap titik secara berasingan.

Persoalannya timbul - bagaimana untuk mengira halaju integral untuk seluruh kapal (arteri atau urat), mengetahui halaju linear aliran darah. Ia sangat mudah: anda perlukan

• untuk memecahkan seluruh kawasan ruang kepada bahagian yang cukup kecil yang berasingan (contohnya, dengan satah saling berserenjang). Dalam kes ini, kita akan mendapat banyak kiub kecil di dalam badan, di dalamnya kita menganggap ciri pembezaan sebagai tidak berubah, tetap.
• darabkan nilai ciri pembezaan di dalam setiap kubus dengan nilai isipadu kubus ini dan jumlahkan hasil darab tersebut. Pada peringkat ini, kita mendapat jumlah integral. Jumlah kamiran tidak betul-betul sama dengan kamiran, tetapi boleh berfungsi sebagai nilai anggarannya.
• pergi ke had jumlah kamiran apabila isipadu kubus pembahagian badan itu cenderung kepada sifar. Pada peringkat ini, kita memperoleh nilai tepat kamiran halaju linear.

Di bawah ialah pengiraan isipadu strok (isipadu strok jantung (syn.: isipadu darah sistolik, isipadu sistolik jantung, isipadu strok darah) - isipadu darah (dalam ml) yang dikeluarkan oleh ventrikel jantung dalam satu systole) - salah satu nilai utama dalam ECHOkg, dikira dengan menggunakan kamiran halaju linear aliran darah.

a - Skim pengiraan isipadu lejang, a - menggunakan persamaan kesinambungan aliran, b - menggunakan persamaan kesinambungan aliran dengan kehadiran regurgitasi mitral yang ketara.

VTI = V cp ET,

di mana CSA ialah luas keratan rentas, VTI ialah integral halaju aliran linear, V cp ialah halaju aliran purata dalam saluran aliran keluar ventrikel kiri, ET ialah masa lontar.

Dalam kes apabila terdapat regurgitasi mitral yang ketara secara hemodinamik (lebih daripada darjah 2), jumlah isipadu strok ventrikel kiri dikira dengan formula:

TSV=FSV+RSV

[Kamiran halaju linear (FVI, atau VTI)] = [Masa aliran darah (ET)] x [Purata halaju aliran darah (Vmean)];

Keluaran jantung boleh ditentukan daripada kamiran halaju linear aliran aorta dan pulmonari.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menambah bahawa kerja saya tidak ditujukan untuk seorang ahli matematik yang mahir dalam integrasi, tetapi untuk mana-mana orang yang telah menunjukkan minat menggunakan kamiran dalam perubatan. Oleh itu, saya cuba menjadikannya semudah mungkin untuk persepsi dan menarik walaupun untuk kanak-kanak.

Bibliografi:

1. Penyakit jantung dan saluran darah http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Hemodinamik http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Tanda kamiran http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Majlis Perubatan http://www.consilium-medicum. com/artikel/7144
5. Persamaan Asas - Jantung http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Panduan praktikal untuk diagnostik ultrasound http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Moto pelajaran: "Matematik adalah bahasa yang digunakan oleh semua sains tepat" N.I. Lobachevsky

Tujuan pelajaran: untuk menyamaratakan pengetahuan pelajar mengenai topik "Integral", "Aplikasi kamiran"; untuk meluaskan ufuk mereka, pengetahuan tentang kemungkinan aplikasi kamiran untuk pengiraan pelbagai kuantiti; menyatukan kemahiran menggunakan kamiran untuk menyelesaikan masalah gunaan; menanam minat kognitif dalam matematik, membangunkan budaya komunikasi dan budaya pertuturan matematik; boleh belajar bercakap dengan pelajar dan guru.

Jenis pelajaran: berulang-mengeneralisasikan.

Jenis pelajaran: pelajaran - pertahanan projek "Aplikasi integral".

Peralatan: papan magnetik, poster "Aplikasi kamiran", kad dengan formula dan tugas untuk kerja bebas.

Pelan pembelajaran:

1. Perlindungan projek:

1. daripada sejarah kalkulus kamiran;
2. sifat integral;
3. aplikasi kamiran dalam matematik;
4. aplikasi kamiran dalam fizik;

2. Penyelesaian latihan.

Semasa kelas

Guru: Alat penyelidikan yang berkuasa dalam matematik, fizik, mekanik dan disiplin lain adalah kamiran yang pasti - salah satu konsep asas analisis matematik. Makna geometri kamiran ialah luas trapezium melengkung. Maksud fizikal kamiran ialah 1) jisim rod tidak homogen dengan ketumpatan, 2) sesaran titik yang bergerak dalam garis lurus dengan kelajuan dalam tempoh masa.

Guru: Lelaki dalam kelas kami melakukan kerja yang hebat, mereka mengambil tugasan di mana kamiran tertentu digunakan. Mereka mempunyai satu perkataan.

pelajar 2: Sifat kamiran

3 pelajar: Aplikasi kamiran (jadual pada papan magnetik).

Pelajar 4: Kami mempertimbangkan penggunaan kamiran dalam matematik untuk mengira luas angka.

Luas mana-mana rajah satah, yang dipertimbangkan dalam sistem koordinat segi empat tepat, boleh terdiri daripada kawasan trapezoid lengkung bersebelahan dengan paksi. Oh dan kapak OU. Luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi Oh dan dua lurus x=a dan x=b, di mana a x b, f(x) 0 dikira dengan formula cm. nasi. Jika trapezoid melengkung bersebelahan dengan paksi OU, maka luasnya dikira dengan formula , cm. nasi. Apabila mengira luas rajah, kes berikut mungkin timbul: a) Rajah terletak di atas paksi Lembu dan dihadkan oleh paksi Lembu, lengkung y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. (Lihat. nasi.) Luas rajah ini ditemui dengan formula 1 atau 2. b) Rajah terletak di bawah paksi Ox dan dihadkan oleh paksi Ox, lengkung y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b (lihat. nasi.). Kawasan ditemui oleh formula . c) Rajah terletak di atas dan di bawah paksi Lembu dan dihadkan oleh paksi Lembu, lengkung y \u003d f (x) dan dua garis lurus x \u003d a dan x \u003d b ( nasi.). d) Kawasan itu dibatasi oleh dua lengkung bersilang y \u003d f (x) dan y \u003d (x) ( nasi.)

5 murid: Selesaikan masalah

x-2y+4=0 dan x+y-5+0 dan y=0

Pelajar 7: Kamiran yang digunakan secara meluas dalam fizik. Satu perkataan kepada ahli fizik.

1. PENGIRAAN LALUAN YANG DILAKUKAN OLEH TITIK

Laluan yang dilalui oleh satu titik semasa pergerakan tidak seragam dalam garis lurus dengan kelajuan berubah-ubah untuk selang masa dari ke dikira dengan formula.

Contoh:

1. Kelajuan pergerakan mata Cik. Cari laluan yang dilalui oleh titik dalam 4 saat.

Penyelesaian: mengikut syarat, . Akibatnya,

2. Dua jasad mula bergerak serentak dari satu titik ke arah yang sama dalam garis lurus. Badan pertama bergerak dengan laju m / s, kedua - dengan kelajuan v = (4t+5) Cik. Sejauh manakah jarak mereka selepas 5 saat?

Penyelesaian: adalah jelas bahawa nilai yang dikehendaki ialah perbezaan antara jarak yang dilalui oleh jasad pertama dan kedua dalam 5 saat:

3. Sebuah jasad dilontar secara menegak ke atas dari permukaan bumi dengan kelajuan u = (39.2-9.8^) m/s. Cari ketinggian maksimum badan.

Penyelesaian: badan akan mencapai ketinggian angkat tertinggi pada masa t apabila v = 0, i.e. 39.2- 9.8t = 0, dari mana I= 4 s. Dengan formula (1), kita dapati

2. PENGIRAAN TENAGA KERJA

Kerja yang dilakukan oleh daya berubah f(x) apabila bergerak di sepanjang paksi Oh titik bahan daripada x = a sebelum ini x=b, didapati mengikut formula Apabila menyelesaikan masalah untuk mengira kerja daya, undang-undang G y k a sering digunakan: F=kx, (3) di mana F - daya N; X-pemanjangan mutlak spring, m, disebabkan oleh daya F, a k- pekali perkadaran, N/m.

Contoh:

1. Sebuah spring diam mempunyai panjang 0.2 m. Daya 50 N meregangkan spring itu sebanyak 0.01 m. Apakah kerja yang perlu dilakukan untuk meregangkannya dari 0.22 hingga 0.32 m?

Penyelesaian: menggunakan kesamaan (3), kita mempunyai 50=0.01k, iaitu kK = 5000 N/m. Kami mencari had penyepaduan: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (m), b=0.32- 0.2 = 0.12(m). Sekarang, mengikut formula (2), kita memperoleh

3. PENGIRAAN KERJA YANG DILAKUKAN SEMASA MENGANGKAT BEBAN

Satu tugas. Sebuah tangki silinder dengan jejari tapak 0.5 m dan ketinggian 2 m diisi dengan air. Kira kerja yang perlu dilakukan untuk mengepam air keluar dari tangki.

Penyelesaian: pilih lapisan mendatar pada kedalaman x dengan ketinggian dx ( nasi.). Kerja A yang mesti dilakukan untuk menaikkan lapisan air dengan berat P kepada ketinggian x adalah sama dengan Px.

Perubahan dalam kedalaman x dengan jumlah yang kecil dx akan menyebabkan perubahan dalam isipadu V dengan dV = pr 2 dx dan perubahan berat Р sebanyak * dР = 9807 r 2 dх; dalam kes ini, kerja yang dilakukan A akan berubah dengan nilai dА=9807пr 2 xdх. Mengintegrasikan kesamaan ini apabila x berubah daripada 0 kepada H, kita perolehi

4. PENGIRAAN DAYA TEKANAN CECAIR

Maksud kekuatan R tekanan cecair pada pelantar mendatar bergantung pada kedalaman rendaman X tapak ini, iaitu, dari jarak tapak ke permukaan cecair.

Daya tekanan (N) pada pelantar mendatar dikira dengan formula P = 9807Sx,

di mana - ketumpatan cecair, kg/m 3; S - kawasan tapak, m 2; X - kedalaman rendaman platform, m

Jika platform di bawah tekanan bendalir tidak mendatar, maka tekanan padanya berbeza pada kedalaman yang berbeza, oleh itu, daya tekanan pada platform adalah fungsi kedalaman rendamannya. P(x).

5. PANJANG ARKA

Biarkan lengkung rata AB(nasi.) diberikan oleh persamaan y \u003d f (x) (axb) dan f(x) dan f ?(x) ialah fungsi selanjar dalam selang [а,b]. Kemudian pembezaan dl panjang lengkok AB dinyatakan oleh formula atau , dan panjang lengkok AB dikira dengan formula (4)

di mana a dan b ialah nilai pembolehubah bebas X pada titik A dan B. Jika lengkung diberikan oleh persamaan x =(y)(dengan yd) maka panjang lengkok AB dikira dengan formula (5) di mana Dengan dan d nilai pembolehubah bebas di pada titik TAPI dan V.

6. PUSAT MASA

Apabila mencari pusat jisim, peraturan berikut digunakan:

1) x koordinat ? pusat jisim sistem titik bahan А 1 , А 2 ,..., А n dengan jisim m 1 , m 2 , ..., m n terletak pada garis lurus pada titik dengan koordinat x 1 , x 2 , ..., x n , didapati oleh formula

(*); 2) Apabila mengira koordinat pusat jisim, mana-mana bahagian rajah boleh digantikan dengan titik material, meletakkannya di tengah-tengah jisim bahagian ini, dan memberikannya jisim yang sama dengan jisim bahagian yang dipertimbangkan. daripada angka itu. Contoh. Biarkan sepanjang segmen rod [a;b] paksi Ox - jisim diagihkan dengan ketumpatan (x), dengan (x) ialah fungsi selanjar. Mari kita tunjukkan itu a) jumlah jisim M rod adalah sama dengan; b) koordinat pusat jisim x " adalah sama dengan .

Mari bahagikan segmen [a; b] kepada n bahagian yang sama dengan titik a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (nasi.). Pada setiap segmen n ini, ketumpatan boleh dianggap malar untuk n besar dan lebih kurang sama dengan (x k - 1) pada segmen ke-k (disebabkan oleh kesinambungan (x). Kemudian jisim segmen ke-k adalah lebih kurang sama dengan dan jisim keseluruhan rod ialah

Mengambil kira setiap satu daripada n segmen kecil sebagai titik bahan jisim m k , diletakkan pada titik , kita memperoleh dengan formula (*) bahawa koordinat pusat jisim adalah lebih kurang seperti berikut

Sekarang perlu diperhatikan bahawa untuk n -> pengangka cenderung kepada kamiran, dan penyebut (menyatakan jisim keseluruhan rod) cenderung kepada kamiran

Untuk mencari koordinat pusat jisim sistem titik bahan pada satah atau di angkasa, formula (*) juga digunakan.

Guru: Anda mempunyai jadual dan tugasan di atas meja anda, menggunakan jadual cari: a) jumlah elektrik; b) jisim rod mengikut ketumpatannya.

Kuantiti

Pengiraan terbitan

Pengiraan kamiran Pilihan 1 Pilihan 2 Hasil pelajaran: Kami menyelesaikan topik "Integral", belajar cara mengira antiderivatif, kamiran, kawasan angka, menganggap penggunaan kamiran dalam amalan, tugas-tugas ini boleh didapati di peperiksaan, saya fikir anda boleh mengendalikannya .

Kalkulus kamiran timbul berkaitan dengan penyelesaian masalah menentukan kawasan dan isipadu. 2000 SM penduduk Mesir dan Babylon sudah tahu bagaimana untuk menentukan anggaran luas bulatan dan mengetahui peraturan untuk mengira isipadu piramid yang dipotong. Pembuktian teori peraturan untuk mengira kawasan dan isipadu mula-mula muncul di kalangan orang Yunani kuno. Ahli falsafah materialis Democritus V abad SM menganggap jasad sebagai terdiri daripada sejumlah besar zarah kecil. Iaitu, kon adalah satu set cakera silinder yang sangat nipis dengan jejari yang berbeza. Peranan besar dalam sejarah kalkulus kamiran dimainkan oleh masalah mengkuadratkan bulatan(menempatkan bulatan - membina segi empat sama yang luasnya sama dengan luas bulatan yang diberikan). Kuadratur tepat beberapa angka lengkung ditemui oleh Hippocrates (tengah abad ke-5).

Kaedah pertama yang diketahui untuk mengira kamiran ialah kaedah keletihan Eudoxus (kira-kira 370 SM). Dia cuba mencari kawasan dan isipadu, memecahkannya kepada bilangan bahagian yang tidak terhingga yang mana luas atau isipadunya sudah diketahui. Kaedah ini telah diambil dan dibangunkan oleh Archimedes, digunakan untuk mengira kawasan parabola dan pengiraan anggaran luas bulatan.Dalam eseinya Quadrature of a Parabola, Archimedes menggunakan kaedah keletihan untuk mengira luas sektor parabola. Itu. Archimedes adalah orang pertama yang menyusun jumlah, yang pada zaman kita dipanggil jumlah integral. Percubaan penting pertama untuk membangunkan kaedah penyepaduan Archimedes, yang dinobatkan dengan kejayaan, telah dibuat dalam XVII abad, apabila, dalam satu pihak, kemajuan yang ketara telah dibuat dalam bidang algebra, dan sebaliknya, ekonomi, teknologi, sains semula jadi berkembang lebih dan lebih intensif, dan kaedah yang luas dan mendalam untuk mengkaji dan mengira kuantiti diperlukan di sana. .

Apabila mengira luas trapezoid lengkung Newton dan Leibniz datang kepada konsep itufungsi antiderivatif (atau primitif) untuk fungsi terbitan tertentuf(X),di manaDARIboleh jadi apa sahaja. Tauntuk dipanggil hari ini formula Newton-Leibniz membolehkan anda mengurangkan pengiraan yang agak rumit bagi kamiran tertentu, i.e. mencari had jumlah kamiran, kepada operasi yang agak mudah untuk mencari antiderivatif.Leibniz memiliki simbol pembezaan a p Kemudian, simbol integral juga munculSimbol kamiran pastimemperkenalkan J. Fourier, dan istilah "integral" (dari bahasa Latin integer - keseluruhan) telah dicadangkan oleh I. Bernoulli.

Kerja mengenai kajian asas kalkulus pembezaan dan kamiran bermula pada XIX abad oleh karya O. Cauchy dan B. Bolzano. Pada masa yang sama, ahli matematik Rusia M.V. memberikan sumbangan besar kepada pembangunan kalkulus kamiran. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky, V.Ya. Chebyshev. Ini adalah masa apabila analisis matematik moden baru dibuat. Ini, mungkin, satu-satunya zaman kreativiti matematik dari segi keamatannya, dan Euler menyatukan bahan analisis baharu yang meluas, tetapi berbeza-beza menjadi sains integral.

Dengan masa, manusia memperoleh lebih banyak kuasa ke atas alam semula jadi, tetapi impian untuk terbang ke bintang tetap tidak dapat direalisasikan. Penulis fiksyen sains telah menyebut roket untuk penerbangan angkasa lepas. Walau bagaimanapun, peluru berpandu ini secara teknikalnya adalah mimpi yang tidak munasabah. Penghormatan membuka jalan kepada bintang untuk orang jatuh ke tangan rakan senegara kita K. E. Tsiolkovsky. Seluruh galaksi saintis, diketuai oleh S.P. Koroliov.

Yang menarik adalah masalah yang merupakan prototaip masalah untuk mengira trajektori kapal angkasa yang memasuki orbit tertentu, untuk mencari ketinggian dan kelajuan pendakian atau penurunan jasad, dan beberapa masalah lain menggunakan kalkulus kamiran.

Tugasan 1. Kelajuan gerakan rectilinear badan diberikan

persamaan . Cari persamaan laluan S jika jasad itu bergerak sejauh 20m dalam masa t = 2sec.

Penyelesaian: di mana Kami menyepadukan: di mana Menggunakan data, kita dapati С = 4. Iaitu, persamaan gerakan badan mempunyai bentuk .

Apabila terbang ke angkasa, perlu mengambil kira semua faktor persekitaran di sekeliling kita, dan untuk sampai ke tempat yang anda perlukan, anda perlu mengira trajektori pergerakan menggunakan data awal. Semua ini mesti dilakukan sebelum penerbangan berlaku.2016 menandakan ulang tahun ke-55 penerbangan ke orbit angkasawan pertama Yuri Alekseevich Gagarin. Apabila mengira, adalah perlu untuk menyelesaikan masalah sedemikian.

Tugasan 2. Ia adalah perlu untuk melancarkan roket penimbang P \u003d 2 10 4 H (T) dari permukaan bumi ke ketinggianh= 1500 km.Kira kerja yang diperlukan untuk menjalankannya.

Penyelesaian.f - daya tarikan badan oleh Bumi adalah fungsi jaraknya X ke pusat Bumi: , di mana Di permukaan Bumi di mana daya graviti adalah sama dengan berat badan R, a x = R- radius Bumi, oleh itu, dan Apabila mengangkat roket dari permukaan Bumi ke ketinggian h pembolehubah X perubahan daripadax = R sebelum ini x= R+ h. Kami mencari pekerjaan yang kami cari menggunakan formula: Kemudian kita dapat: kerja untuk melancarkan roket adalah sama dengan

Tugasan 3. kekuatan dalam 10 N meregangkan musim bunga 2 cm. Kerja apa dia

Adakah ia?

Penyelesaian . Mengikut undang-undang Hooke, daya F , meregangkan spring, adalah berkadar dengan regangan spring, i.e.F =kh. Dari keadaan masalah

k= 10/0,02(N/m), kemudian F= 500x. kerja: .

Tugasan 4. Dari dalam lombongl= 100 madalah perlu untuk mengangkat sangkar sama rata dengan berat R 1 = 10 4 H, yang tergantung pada tali luka pada dram. Kira jumlah kerja Penuh diperlukan untuk mengangkat sangkar jika berat satu meter linear tali R 2= 20H.

Penyelesaian . Bekerja untuk mengangkat sangkar: dan mengangkat tali adalah berkadar dengan berat tali, i.e. Oleh itu, kerja lengkap selesai:

Tugasan 5. Spring membengkok di bawah tindakan daya 1.5 10 4 H sebanyak 1 cm. Berapakah kerja yang perlu dilakukan untuk mengubah bentuk spring sebanyak 3 cm? ( Daya ubah bentuk adalah berkadar dengan pesongan spring.)

Penyelesaian . F\u003d kx,di mana X- pesongan spring. Pada x = 0.01m kami ada: . Maka kerja yang dilakukan untuk berubah bentuk ialah:

Sukar dan tidak selamat untuk naik ke angkasa lepas, tetapi tidak kurang sukar ialah kembali ke Bumi, apabila kapal angkasa mesti mendarat pada kelajuan tidak lebih daripada 2 m/s. Hanya dalam kes ini, peranti, instrumen di dalamnya, dan yang paling penting, anak kapal, tidak akan mengalami pukulan keras yang tajam. Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky memutuskan untuk menggunakan nyahpecutan kapal angkasa oleh cangkang udara Bumi. Bergerak pada kelajuan 8 m/s, kapal angkasa tidak jatuh ke Bumi. Peringkat pertama penurunan ialah kemasukan enjin brek untuk masa yang singkat. Kelajuan berkurangan sebanyak 0.2 km/s, dan penurunan bermula serta-merta. Pertimbangkan contoh penyelesaian masalah menggubal undang-undang gerakan di bawah keadaan tertentu.

Tugasan 6. Cari hukum gerakan jasad jatuh bebas dengan pecutan malar g, jika jasad itu dalam keadaan rehat pada saat pergerakan.

Penyelesaian:Adalah diketahui bahawa pecutan jasad yang bergerak secara rectilinear adalah terbitan kedua bagi laluan S berkenaan dengan masa. t , atau terbitan kelajuan berkenaan dengan masa t : , tetapi , oleh itu, , dari mana . Kami menyepadukan: , dan Daripada keadaan: , dari mana kami dapati dan kelajuan pergerakan: . Mari cari hukum pergerakan badan: , atau . Kami menyepadukan: , . Mengikut syarat awal: , dari mana kita dapati Kita mempunyai persamaan gerakan jasad jatuh: - ini adalah formula fizik yang biasa.

Tugasan 7. Sebuah jasad dilontar secara menegak ke atas dengan halaju awal

Cari persamaan gerakan badan ini (abaikan rintangan udara).

Penyelesaian:Mari kita ambil: arah menegak ke atas adalah positif, dan pecutan graviti, seperti yang diarahkan ke bawah, adalah negatif. Kami ada: dari mana. Kami menyepadukan: kemudian . Kerana dan kemudian C 1: dan Persamaan halaju: Kita dapati hukum pergerakan jasad: sejak. dan kemudian di mana .Sepadukan: atau Bila dan cari , dan Kami mempunyai persamaan pergerakan badan: atau .

Contoh berikut menunjukkan pengiraan trajektori untuk pelepasan bahagian yang dibelanjakan, peranti yang tidak diperlukan, bahan. Dalam kes ini, mereka dihantar ke Bumi, setelah mengira orbit supaya apabila melalui lapisan atmosfera mereka terbakar, dan sisa-sisa yang tidak terbakar jatuh ke Bumi (paling kerap ke lautan), tanpa menyebabkan bahaya.

Tugasan 8. Tulis persamaan untuk lengkung yang melalui titik M (2; -3) dan mempunyai tangen dengan cerun .

Penyelesaian:Syarat tugasan diberikan: atau Mengintegrasikan, kami mempunyai: Pada x = 2 dan y \u003d -3, C \u003d - 5, dan trajektori gerakan mempunyai bentuk: .

Pembina kadangkala perlu menyelesaikan masalah mengira kawasan angka luar biasa yang tidak ada formula yang terkenal. Dalam kes ini, kamiran datang untuk menyelamatkan sekali lagi.

Tugasan 9. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: dan

Penyelesaian: Mari kita bina lukisan (Rajah 1), yang mana kita akan menyelesaikan sistem persamaan. Mari cari titik persilangan garis: A(-2;4) dan B(4;16). Kawasan yang dikehendaki ialah perbezaan antara kawasan dengan had integrasi, a \u003d x 1 \u003d -2 dan dalam \u003d x 2 \u003d 4. Kemudian kita mempunyai kawasan:

.

Angkasawan dan saintis, bekerja di stesen orbit, untuk kesucian eksperimen, menyelesaikan dan menyiasat banyak isu astronomi, fizik, kimia, perubatan, biologi, dll. Kami akan mengiringi masalah berikut dengan contoh sastera. Novel fiksyen sains yang terkenal oleh HG Wells "War of the Worlds" menggambarkan serangan orang Marikh ke atas planet Bumi, yang memutuskan untuk mengembangkan wilayah mereka yang terlebih penduduk dengan menawan wilayah kita, kerana. Keadaan iklim bumi adalah sesuai. Perebutan wilayah dan pemusnahan penduduk bumi bermula, yang menerima bantuan dari mana mereka tidak sangka sama sekali. Bakteria "asli" kami, yang telah kami pelajari untuk melawan, setelah memasuki badan orang Marikh dengan udara, makanan, air, mendapati di dalamnya persekitaran yang baik untuk perkembangan dan pembiakan mereka, dengan cepat menyesuaikan diri dan, setelah memusnahkan orang Marikh, bersihkan Bumi daripada penceroboh. Pertimbangkan penyelesaian masalah yang memberikan konsep ini.

Tugasan 10.Kadar pembiakan sesetengah bakteria adalah berkadar dengan bilangan bakteria yang ada pada masa t yang dipertimbangkan. Bilangan bakteria meningkat tiga kali ganda dalam masa 5 jam. Cari pergantungan bilangan bakteria pada masa.

Penyelesaian: Biarkan x(t ) ialah bilangan bakteria pada masa t, dan pada saat awal maka kadar pembiakan mereka. Mengikut syarat, kami mempunyai: atau yang berikut: Mari cari С: dan fungsi Adalah diketahui bahawa t.e. atau dari mana pekali perkadaran ialah: dan fungsi mempunyai bentuk: .

Dalam novel terkenal oleh A.N. Tolstoy "Hyperboloid Jurutera Garin" Saya ingin merasakan, untuk merasakan apa itu - hiperboloid? Apakah dimensi, bentuk, permukaan, isipadunya? Tugas seterusnya adalah mengenai perkara ini.

Tugasan 11.Hiperbola dihadkan oleh baris: y=0, x= a, x = 2aberputar mengelilingi paksi-x. Cari isipadu hiperboloid yang terhasil (Rajah 2).

Penyelesaian.Kami menggunakan formula untuk mengira isipadu badan revolusi di sekeliling paksi OX menggunakan kamiran pasti:

Ahli Ufologi sedang mengkaji fakta yang disebut oleh "saksi mata", memberitahu bahawa mereka melihat kapal angkasa terbang dalam bentuk cakera bercahaya besar ("hidangan"), kira-kira bentuk yang sama seperti dalam Rajah 3. Pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah menentukan jumlah seperti "hidangan" ".

Tugasan 12. Kira isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi OX bagi kawasan yang dibatasi oleh garisan y \u003d x 2 - 9 dan y = 0.

Penyelesaian: Apabila melukis paraboloid (Rajah 3), kita mempunyai had penyepaduan daripada x = -3 sebelum ini x = 3. Mari kita gantikan had pengamiran disebabkan oleh simetri rajah berkenaan dengan paksi-y dengan x = 0 dan x = 3 dan menggandakan hasilnya. Oleh itu, isipadu cakera ialah:

Makna ekonomi bagi kamiran pasti menyatakan isipadu pengeluaran dengan fungsi yang diketahui f(t ) - produktiviti buruh pada masa ini t . Kemudian volum keluaran untuk tempoh itu dikira dengan formula Mari kita pertimbangkan contoh untuk perusahaan.

Tugasan 13. Cari isipadu pengeluaran yang dihasilkan dalam 4 tahun jika fungsi Cobb-Douglas mempunyai bentuk

Penyelesaian. Jumlah produk yang dihasilkan oleh perusahaan adalah sama dengan:

Kesimpulannya, kita boleh menyimpulkan bahawa penggunaan integral membuka peluang besar. Apabila mengkaji geometri, mereka menganggap pengiraan kawasan angka rata yang dihadkan oleh segmen garisan (segi tiga, segi empat selari, trapezoid, poligon), dan isipadu jasad yang diperoleh semasa putarannya. Kamiran pasti membolehkan anda mengira kawasan rajah kompleks yang dibatasi oleh mana-mana garisan melengkung, serta mencari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid lengkung di sekeliling mana-mana paksi.

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa penggunaan kamiran pasti tidak terhad hanya kepada pengiraan pelbagai kuantiti geometri, tetapi juga digunakan dalam menyelesaikan masalah dari pelbagai bidang fizik, aerodinamik, astronomi, kimia dan perubatan, astronautik, juga. sebagai masalah ekonomi.

Bibliografi:

1. Apanasov, P.T. Koleksi masalah dalam matematik: buku teks. elaun / P.T. Apanasov, M.I. Orlov. - M.: Sekolah Tinggi, 1987.- 303 p.
2. Bedenko, N.K. Pelajaran dalam algebra dan permulaan analisis: panduan metodologi / N.K. Bedenko, L.O. Denishchev. - M.: Sekolah tinggi, 1988. - 239 hlm.
3. Bogomolov, N.V. Kelas amali dalam matematik tinggi: buku teks. elaun / N.V. Bogomolov. - M.: Sekolah tinggi, 1973. - 348 p.
4. Matematik lebih tinggi untuk ahli ekonomi: buku teks / ed. N.Sh. Kremer. - ed ke-3. – M.: UNITI-DANA, 2008.- 479 hlm.
5. Zaporozhets, G.I. Panduan untuk menyelesaikan masalah dalam analisis matematik: buku teks. elaun / G.I. Zaporozhets - M .: Sekolah Tinggi, 1966. - 460 p.

Lihat kandungan dokumen
"MR pelajaran gabungan untuk guru "Asas kalkulus kamiran. Kamiran pasti.""

PENDIDIKAN AUTONOMI NEGERI

INSTITUSI PENDIDIKAN VOKASIONAL MENENGAH

WILAYAH NOVOSIBIRSK

"KOLEJ PERUBATAN BARABINSKY"

PEMBANGUNAN METODOLOGI

pelajaran gabungan untuk guru

DISIPLIN "MATEMATIK"

Seksyen 1.Analisis matematik

Topik1.6. Asas kalkulus kamiran. Kamiran pasti

keistimewaan

060101 Perubatan am

Nah- yang pertama

Lembaran berkaedah

Pembentukan keperluan SES semasa mengkaji topik

« Asas kalkulus kamiran. integral pasti"

mesti tahu:

kepentingan matematik dalam aktiviti profesional dan dalam pembangunan program pendidikan profesional;

kaedah matematik asas untuk menyelesaikan masalah gunaan;

asas kalkulus kamiran dan pembezaan.

Hasil daripada mempelajari topik tersebut, pelajar sepatutnya boleh:

menyelesaikan masalah yang digunakan dalam bidang aktiviti profesional;

Objektif pelajaran:

Matlamat pendidikan: mengulang dan menyatukan kemahiran mengira kamiran tak tentu dan kamiran pasti, pertimbangkan kaedah untuk mengira kamiran pasti, menyatukan kemahiran mencari kamiran pasti

matlamat pendidikan: untuk menggalakkan pembentukan budaya komunikasi, perhatian, minat dalam subjek, untuk menggalakkan pemahaman pelajar tentang intipati dan kepentingan sosial profesion masa depannya, manifestasi minat mampan di dalamnya.

Matlamat pembangunan:

mempromosikan

pembentukan kemahiran untuk menggunakan kaedah perbandingan, generalisasi, menonjolkan perkara utama;

perkembangan ufuk matematik, pemikiran dan pertuturan, perhatian dan ingatan.

Jenis kelas: pelajaran gabungan

Tempoh pelajaran: 90 minit

Hubungan antara disiplin: fizik, geometri dan semua mata pelajaran di mana radas matematik digunakan

kesusasteraan:

Gilyarova M.G. Matematik untuk kolej perubatan. - Rostov n / D: Phoenix, 2011. - 410, hlm. - (Ubat)

Matematik: buku teks. elaun / V.S. Mikheev [dan lain-lain]; ed. N.M. Demin. - Rostov n / D: Phoenix, 2009. - 896 p. – (Pendidikan vokasional menengah).

Peralatan pelajaran:

Edaran

Kemajuan pelajaran

№ p/p	Peringkat pelajaran	Masa (min)	Garis panduan
	Bahagian organisasi		Menyemak kehadiran dan penampilan pelajar. Pembentangan topik, tujuan dan rancangan pelajaran.
	Motivasi		Konsep kamiran merupakan salah satu konsep asas dalam matematik. Menjelang akhir abad ke-17. Newton dan Leibniz mencipta radas kalkulus pembezaan dan kamiran, yang menjadi asas analisis matematik. Kajian topik ini melengkapkan kursus analisis matematik sekolah, memperkenalkan pelajar kepada alat baharu untuk memahami dunia, dan pertimbangan di sekolah tentang aplikasi kalkulus kamiran pada bahagian fizik yang paling penting menunjukkan pelajar kepentingan dan kuasa matematik yang lebih tinggi. . Keperluan untuk kajian penuh elemen terpenting kalkulus kamiran dikaitkan dengan kepentingan dan kepentingan bahan ini dalam pembangunan program pendidikan profesional. Pada masa hadapan, pengetahuan tentang kamiran pasti akan berguna kepada anda apabila mencari penyelesaian kepada persamaan yang menentukan kadar pereputan radioaktif, pembiakan bakteria, pengecutan otot, pelarutan bahan ubatan dalam tablet, dan banyak masalah lain bagi kalkulus pembezaan. digunakan dalam amalan perubatan.
	Pengemaskinian pengetahuan asas		Ia adalah perlu untuk menguji kemahiran pengiraan dan pengetahuan tentang jadual kamiran (Lampiran 1)
	Penyampaian bahan baharu		Rancangan pembentangan (Lampiran 2) Kamiran pasti Sifat Kamiran Pasti Formula Newton-Leibniz Pengiraan kamiran pasti dengan pelbagai kaedah Penggunaan kamiran pasti untuk pengiraan pelbagai kuantiti. Mengira luas angka rata
	Bahagian praktikal Menjalankan latihan untuk menyatukan bahan topik		(Lampiran 3) Penggabungan utama pengetahuan dan kemahiran yang diperolehi Memahami pengetahuan dan kemahiran yang diperolehi
	Merumuskan pelajaran		Memberi markah, mengulas tentang kesilapan yang dilakukan dalam perjalanan kerja
	Kerja rumah		Sediakan bahan teori untuk pelajaran amali dan selesaikan tugas bahagian "Kawalan diri" (Lampiran 4)

Lampiran 1

Pengemaskinian pengetahuan asas

imlak matematik

1 pilihan

saya.

II.

Pilihan 2

saya. Kira kamiran tak tentu

II. Namakan kaedah untuk mengira kamiran

Lampiran 2

Maklumat dan bahan rujukan

Kamiran pasti

Konsep kamiran dikaitkan dengan masalah songsang untuk membezakan fungsi. Adalah mudah untuk mempertimbangkan konsep kamiran pasti dalam menyelesaikan masalah mengira luas trapezium melengkung.

Untuk mencari luas rajah yang dibatasi pada kedua-dua belah oleh serenjang yang dipulihkan pada titik a dan b, atas lengkung berterusan y=f(X) dan paksi bawah Oh, bahagikan segmen [a,b] kepada bahagian kecil:

a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b.

Pulihkan serenjang dari titik ini ke persilangan dengan lengkung y=f(X). Maka luas seluruh rajah akan lebih kurang sama dengan jumlah segi empat tepat asas yang mempunyai tapak sama dengan  X i = x i -X i -1 , dan ketinggian sama dengan nilai fungsi f(X) dalam setiap segi empat tepat. Semakin kecil nilainya  X i, lebih tepat luas angka itu akan ditentukan S . Akibatnya:

Definisi.Jika terdapat had jumlah kamiran, yang tidak bergantung pada kaedah pembahagian segmen [a,b] dan pemilihan mata, maka had ini dipanggil kamiran pasti bagi fungsi tersebutf(X) pada segmen [a,b] dan menandakan:

di manaf(x) ialah kamiran dan, x ialah pembolehubah kamiran, dan danb- had penyepaduan (baca: kamiran pasti bagiado bef daripada x de x).

Dengan cara ini, makna geometri kamiran pasti berkaitan dengan takrifan luas trapezium lengkung yang dibatasi dari atas oleh fungsi y=f(X), paksi bawah Oh, dan di sisi - dengan serenjang dipulihkan pada titik a dan b.

Proses pengiraan kamiran pasti dipanggil integrasi. Nombor a danb dipanggil masing-masing had bawah dan atas penyepaduan.

Sifat Kamiran Pasti

Jika had pengamiran adalah sama, maka kamiran pasti adalah sama dengan sifar:



Jika kita menyusun semula had penyepaduan, maka tanda kamiran akan berubah kepada sebaliknya:



Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran pasti:



Kamiran pasti hasil tambah bilangan terhingga bagi fungsi selanjarf 1 (x), f 2 (x)... f n (x) ditakrifkan pada segmen [а,b], adalah sama dengan jumlah kamiran pasti bagi sebutan fungsi:

Segmen integrasi boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian:



Jika fungsi sentiasa positif atau sentiasa negatif pada segmen [a,b], maka kamiran pasti ialah bilangan tanda yang sama dengan fungsi:

Formula Newton-Leibniz

Formula Newton-Leibniz mewujudkan hubungan antara kamiran pasti dan tidak tentu.

Teorem.Nilai kamiran pasti bagi fungsi ituf(X) pada segmen [a,b] adalah sama dengan kenaikan mana-mana antiderivatif untuk fungsi ini pada segmen tertentu:

Ia berikutan daripada teorem ini bahawa kamiran pasti ialah nombor, manakala kamiran tak tentu ialah satu set fungsi antiterbitan. Oleh itu, mengikut formula, untuk mencari kamiran pasti, adalah perlu:

1. Cari kamiran tak tentu bagi fungsi tertentu dengan menetapkan C = 0.

2. Gantikan antiterbitan dalam ungkapan dan bukannya hujah X had atas dahulu b, kemudian had bawah a, dan tolak yang kedua daripada keputusan pertama.

Pengiraan kamiran pasti dengan pelbagai kaedah

Apabila mengira kamiran pasti, kaedah yang dipertimbangkan untuk mencari kamiran tak tentu digunakan.

Kaedah penyepaduan langsung

Kaedah ini adalah berdasarkan penggunaan kamiran jadual dan sifat asas kamiran pasti.

CONTOH:

1) Cari

Penyelesaian:

2) Cari

Penyelesaian:

3) Cari

Penyelesaian:

Kaedah perubahan pembolehubah integrasi

CONTOH:

Penyelesaian. Untuk mencari kamiran, kami menggunakan kaedah perubahan pembolehubah. Kami memperkenalkan pembolehubah baharu

u=3 x ‑ 1 , kemudian du = 3 dx, dx = . Apabila memperkenalkan pembolehubah baharu, adalah perlu untuk menukar had penyepaduan, kerana pembolehubah baharu akan mempunyai had perubahan yang berbeza. Ia didapati dengan perubahan formula pembolehubah. Jadi had atas adalah dan b = 32 ‑ 1 = 5 , lebih rendah - dan a =31 ‑ 1 = 2 . Menggantikan pembolehubah dan had penyepaduan, kami mendapat:

Kaedah penyepaduan mengikut bahagian

Kaedah ini berdasarkan menggunakan formula pengamiran mengikut bahagian untuk kamiran pasti:

CONTOH:

1) Cari

Penyelesaian:

biarlah u = ln x, dv = xdx, kemudian

Penggunaan kamiran pasti untuk pengiraan pelbagai kuantiti.

Mengira luas angka rata

Sebelum ini telah ditunjukkan bahawa kamiran pasti boleh digunakan untuk mengira luas rajah yang disertakan di antara graf fungsi y=f(x), paksi Oh dan dua lurus X = a dan x =b.

Jika fungsi y=f(x) berada di bawah garis absis, i.e. f(x)

Jika fungsi y=f(x) beberapa kali melintasi paksi Oh, maka adalah perlu untuk mencari secara berasingan kawasan untuk plot apabila f(x) 0, dan tambahkannya kepada nilai mutlak kawasan apabila fungsi itu f(x)

CONTOH 1. Cari luas rajah yang dibatasi oleh fungsi y= dosaX dan paksi Oh Lokasi dihidupkan 0  X 2.

Penyelesaian. Luas angka itu akan sama dengan jumlah kawasan:

S = S 1 + | S 2 |,

di mana S 1 - ; kawasan di di0 ; S 2 - kawasan di pada 0.

S=2 + 2 = 4 unit persegi

CONTOH 2. Cari luas rajah yang tertutup di antara lengkung y = x 2 , paksi Oh dan langsung x=0, x=2.

Penyelesaian. Mari bina graf fungsi di= x 2 dan x = 2.

Kawasan berlorek akan menjadi kawasan yang dikehendaki bagi rajah. Kerana f(x) 0 kemudian

Mengira Panjang Arka Lengkung Planar

Jika lengkung y=f(X) pada segmen [a,b] mempunyai terbitan berterusan, maka panjang lengkok lengkung ini didapati dengan formula:

CONTOH

Cari panjang lengkok suatu lengkung y 2 = x 3 pada segmen (y0)

Penyelesaian

Persamaan lengkung y = x 3/2, kemudian y’ = 1.5 x 1/2.

Membuat penggantian 1+ kita dapat:

Mari kita kembali kepada pembolehubah asal:

pengiraan badan revolusi

Jika trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y=f(x) dan langsung x=a dan x=b, berputar mengelilingi paksi Oh, maka isipadu putaran dikira dengan formula:

CONTOH

Cari isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi Oh gelombang sinus separuh gelombang
y= dosa x, di 0≤ x≤.

Penyelesaian

Mengikut formula, kami mempunyai:

Untuk mengira integral ini, kami membuat transformasi berikut:

Lampiran 3

Penyatuan utama bahan yang dikaji

1. Pengiraan kamiran pasti

2. Aplikasi kamiran pasti

kawasan angka

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis:

Laluan yang dilalui oleh jasad (titik) semasa gerakan rectilinear dalam selang masa darit 1 sebelum init 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (tdalam s,vdalam m/s). Cari laluan yang dilalui oleh badan dalam 10 saat dari permulaan pergerakan.

Kelajuan titik berubah mengikut undang-undang v =6 t 2 +4 (tdalam s,vdalam m/s). Cari laluan yang dilalui oleh titik dalam 5s dari permulaan pergerakan.

Kelajuan pergerakan titik v =12 t -3 t 2 (tdalam s,vdalam m/s). Cari laluan yang dilalui oleh titik dari permulaan pergerakan ke perhentiannya.

Dua jasad mula bergerak serentak dari titik yang sama ke arah yang sama dalam garis lurus. Badan pertama bergerak dengan laju v =6 t 2 +2 t(Cik), kedua
v =4 t+5 (m/s). Sejauh manakah mereka akan berada dalam 5 saat?

Lampiran 4

Kawalan diri pada topik

"Kamiran pasti dan aplikasinya"

1 pilihan 1. Kamiran Kira 2. y = - x 2 + x + 6 dan y = 0 3. Kelajuan titik berubah mengikut undang-undang v =9 t 2 -8 t (tdalam s,vdalam m/s). Cari laluan yang dilalui oleh jasad dalam saat keempat dari permulaan gerakan.

Pilihan 2 1. Kamiran Kira 2. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = - x 2 + 2 x + 3 dan y = 0 3. Kelajuan titik berubah mengikut undang-undang v = 8 t - 3 t 2 (tdalam s,vdalam m/s). Cari laluan yang dilalui oleh badan dalam masa lima saat dari permulaan pergerakan.

I. Dalam fizik

Paksa kerja

(A=FScos, cos 1)

Jika daya F bertindak ke atas zarah, tenaga kinetik tidak kekal malar. Dalam kes ini, menurut

pertambahan tenaga kinetik zarah dalam masa dt adalah sama dengan hasil skalar Fds, di mana ds ialah sesaran zarah dalam masa dt. Nilai

dipanggil kerja yang dilakukan oleh daya F.

Biarkan satu titik bergerak sepanjang paksi OX di bawah tindakan daya yang unjurannya ke paksi OX ialah fungsi f(x) (fungsi berterusan f). Di bawah tindakan daya, titik itu bergerak dari titik S1(a) ke S2(b). Bahagikan ruas kepada n ruas yang sama panjang

Kerja daya akan sama dengan jumlah kerja daya pada segmen yang terhasil. Kerana f(x) -berterusan, maka bagi tenaga kerja kecil pada segmen ini adalah sama dengan

Begitu juga, pada segmen kedua f(x1)(x2-x1), pada segmen ke --

f(xn-1)(b-xn-1).

Oleh itu, kerja sama dengan:

Dan An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

Anggaran kesamaan menjadi tepat untuk n

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (mengikut takrifan)

Biarkan spring kekakuan C dan panjang l dimampatkan separuh panjangnya. Tentukan magnitud tenaga keupayaan Ep adalah sama dengan kerja A yang dilakukan oleh daya -F (s) keanjalan spring apabila ia dimampatkan, maka

Ep \u003d A \u003d - (-F (s)) dx

Ia diketahui dari kursus mekanik bahawa

Dari sini kita dapati

En \u003d - (-Cs) ds \u003d CS2 / 2 | = C/2 l2/4

Jawapan: Cl2/8.

Apakah kerja yang mesti dilakukan untuk meregangkan spring sebanyak 4 cm, jika diketahui bahawa dari beban 1 N ia diregangkan sebanyak 1 cm.

Menurut hukum Hooke, daya X N, meregangkan spring dengan x, adalah sama dengan

Kami mencari pekali perkadaran k daripada keadaan: jika x=0.01 m, maka X=1 N, oleh itu, k=1/0.01=100 dan X=100x. Kemudian

Jawapan: A=0.08 J

Dengan bantuan kren, tolok konkrit bertetulang dikeluarkan dari dasar sungai dengan kedalaman 5 m. Apakah kerja yang akan dilakukan jika tolok itu mempunyai bentuk tetrahedron biasa dengan tepi 1 m? Ketumpatan konkrit bertetulang ialah 2500 kg/m3, ketumpatan air ialah 1000 kg/m3.

Ketinggian Tetrahedron

isipadu tetrahedron

Berat gouge dalam air, dengan mengambil kira tindakan pasukan Archimedean, adalah sama dengan

Sekarang mari kita cari kerja Ai apabila mengeluarkan gouge dari air. Biarkan bucu tetrahedron keluar pada ketinggian 5+y, maka isipadu tetrahedron kecil yang keluar daripada air adalah sama, dan berat tetrahedron ialah:

Akibatnya,

Oleh itu A=A0+A1=7227.5 J + 2082.5 J = 9310 J = 9.31 kJ

Jawapan: A=9.31 (J).

Apakah daya tekanan yang dialami oleh plat segi empat tepat dengan panjang a dan lebar b (a>b) jika ia condong ke permukaan mengufuk cecair pada sudut b dan sisi terpanjangnya berada pada kedalaman h?

Pusat koordinat jisim

Pusat jisim ialah titik yang melalui paduan graviti untuk sebarang susunan ruang badan.

Biarkan bahan plat homogen o mempunyai bentuk trapezium melengkung (x; y |axb; 0yf(x)) dan fungsi

adalah berterusan pada , dan luas trapezoid melengkung ini adalah sama dengan S, maka koordinat pusat jisim plat o ditemui oleh formula:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Cari pusat jisim semibulatan homogen berjejari R.

Lukiskan separuh bulatan dalam sistem koordinat OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Jawapan: M(0; 4R/3).

Cari koordinat pusat graviti rajah yang dibatasi oleh lengkok elips x=acost, y=bsint, terletak di sukuan pertama, dan paksi koordinat.

Pada suku pertama, apabila x meningkat daripada 0 kepada a, t berkurangan daripada p/2 kepada 0, jadi

Menggunakan formula untuk kawasan elips S \u003d rab, kita dapat

Laluan yang dilalui oleh titik material

Jika titik bahan bergerak dalam garis lurus dengan kelajuan = (t) dan dalam masa

T=t2-t1 (t2>t1)

melepasi laluan S, kemudian

Dalam geometri

Isipadu ialah ciri kuantitatif badan spatial. Sebuah kubus dengan tepi 1mm (1dm, 1m, dsb.) diambil sebagai unit isipadu.

Bilangan kubus bagi isipadu unit yang diletakkan dalam badan tertentu ialah isipadu jasad itu.

Aksiom isipadu:

Kelantangan ialah nilai bukan negatif.

Isipadu jasad adalah sama dengan jumlah isipadu jasad yang membentuknya.

Mari cari formula untuk mengira isipadu:

pilih paksi OX ke arah lokasi badan ini;

menentukan sempadan lokasi badan berbanding dengan OX;

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan S(x) yang mentakrifkan korespondensi berikut: kepada setiap x dari segmen, kita masukkan ke dalam korespondensi luas keratan rajah yang diberikan oleh satah yang melalui titik yang diberikan x berserenjang dengan paksi OX.

mari bahagikan segmen kepada n bahagian yang sama dan lukis satah berserenjang dengan paksi OX melalui setiap titik pembahagian, manakala badan kita akan dibahagikan kepada beberapa bahagian. Mengikut aksiom

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

dan isipadu bahagian yang tertutup di antara dua satah bersebelahan adalah sama dengan isipadu silinder Vc = SonH.

Kami mempunyai jumlah produk nilai fungsi pada titik partition dengan langkah partition, i.e. jumlah integral. Dengan takrif kamiran pasti, had jumlah ini pada n dipanggil kamiran

di mana S(x) ialah bahagian satah yang melalui titik terpilih berserenjang dengan paksi OX.

Untuk mencari volum yang anda perlukan:

• 1) Pilih paksi OX dengan cara yang mudah.
• 2) Tentukan sempadan lokasi badan ini berbanding paksi.
• 3) Bina bahagian badan tertentu dengan satah berserenjang dengan paksi OX dan melalui titik yang sepadan.
• 4) Nyatakan dalam sebutan kuantiti yang diketahui fungsi yang menyatakan luas bahagian tertentu.
• 5) Buat kamiran.
• 6) Setelah mengira kamiran, cari isipadu.

Cari isipadu elips triaksial

Bahagian satah bagi sebuah elipsoid selari dengan satah xOz dan dijarakkan daripadanya pada jarak y=h mewakili sebuah elips