"aplikasi sifat sesuatu fungsi dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan." “Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah bukan piawai menggunakan sifat fungsi

Topik: Kaedah untuk menggunakan fungsi terhad.
Hidup ini baik kerana apa yang ada di dalamnya awak boleh buat matematik. (Leonard Euler)Matlamat: pembangunan pemikiran baru, bukan konvensional yang boleh berjaya diterapkan dalam bidang lain aktiviti manusia(sibernetik, teknologi komputer, ekonomi, radiofizik, kimia, dll.).
Tugasan: - latihan dalam menilai kesukaran objektif dan subjektif tugasan dan pilihan munasabah tugas-tugas ini dalam peperiksaan;

Mencipta "piggy bank" dengan alasan yang tidak konvensional dan luar biasa.

Kemajuan pelajaran:

Org. seketika. Pelajar merumus topik pelajaran dengan menyiapkan tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu bahagian A dan B dan mentafsir topik mengikut tertib menurun bagi jawapan yang diterima. (Sulitkan 12 kad bernombor dari -2 hingga 10 sebagai perkataan yang sepatutnya) (Lampiran 1 dan 2)

batasan

2. Bahagikan pelajar kepada 2 kumpulan, berikan mereka set "Teori + 10 tugasan" (Lampiran 3 dan 4), minta mereka memilih tugasan yang boleh diselesaikan untuk bahagian teori ini, dan mewajarkan pilihan mereka.3. Tunjukkan kemajuan tugas-tugas ini di papan tulis oleh pelajar: Noskova K., Dedevshin I., Veselov I.4. Bahagikan tugasan daripada kad kepada 2 kumpulan untuk menyelesaikannya, diikuti dengan ujian kendiri pada helaian penyelesaian siap sedia. (Lampiran 5)5. Edarkan helaian kepada kumpulan yang menerangkan kaedah bukan piawai baharu untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan untuk pemilihan topik seterusnya(sebagai tugasan kerja rumah, cari dalam koleksi Tugas Peperiksaan Negeri Bersatu, yang boleh diselesaikan dengan kaedah ini (Lampiran 6)6. Refleksi pelajar (mengisi jadual) F.I. pelajar

Lampiran 1.
Selesaikan tugasan ini dan susun jawapan dalam susunan menurun, kumpulkan topik pelajaran kami berdasarkan jawapan.

Cari absis titik dalam graf fungsi y=3x 2 -7x+7, di mana tangen sudut tangen adalah sama dengan -1.

Lampiran 2.
9 2 0 7Kajian fungsi menggunakan derivatif. 10 5 1 -1Kaedah menggunakan fungsi terhad. 4 -2 8 12Menyelesaikan ketaksamaan secara grafik.
3 11 6Penyelesaian persamaan fungsian.
Belajar

Lampiran 3.

Salah satu daripada kaedah yang berkesan menyelesaikan persamaan atau ketaksamaan ialah kaedah berdasarkan penggunaan fungsi terikat. Kepada yang paling terkenal fungsi terhad termasuk, sebagai contoh, beberapa trigonometri; terbalik fungsi trigonometri; fungsi yang mengandungi modulus, darjah, punca c walaupun ijazah dan lain-lain.

Ketaksamaan yang paling biasa adalah seperti berikut:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ sinx ≤ 1, -1 ≤ cosx ≤ 1, -

-

, a f ( x ) >0, (f(x) ± g(x)) 2 n ≥ 0,
, a+ ≥ 2, b+ ≤ -2 dan lain-lain lagi. Di sini n -nombor asli, h(x) ≥ 0, a>0, b 0.

Sebagai tambahan kepada ketaksamaan paling mudah yang diberikan di atas, terdapat juga yang lebih kompleks, khususnya, ketaksamaan trigonometri -,

dan ketidaksamaan dengan modul borang
.

Contoh 1.Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: mari kita highlight segi empat tepat di sebelah kanan persamaan, i.e. . Ia berikutan itu
. Sejak dalam kes ini dosaπ x ≤ 1, maka kita memperoleh sistem persamaan

Menyelesaikan persamaan kedua sistem, kita mendapat bahawa x=. Dengan menggantikan persamaan pertama, kami memastikan bahawa nilai x yang ditemui ialah penyelesaian kepada sistem, dan oleh itu ialah penyelesaian kepada persamaan asal.

Jawapan: x=.

Contoh 2.Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: sejak Walau bagaimanapun sin2 π x ≤ 1. Oleh itu, 5+4 sin2 π x ≤ 9. Oleh itu, kita memperoleh sistem persamaan:

Dari sini kita memperoleh sistem persamaan
, daripada persamaan pertama kita dapati x=. Mari kita gantikannya ke dalam persamaan kedua sistem dan pastikan bahawa x = ialah penyelesaian kepada sistem, dan oleh itu ialah penyelesaian kepada persamaan asal.

Jawapan: x=

Lampiran 4. Daripada senarai tugasan yang dicadangkan, pilih tugasan yang boleh diselesaikan menggunakan kaedah fungsi terhad. 1. Selesaikan persamaan x 2 -4 x=(2-kos
2. Cari kuantiti penyelesaian integer ketaksamaan x 2ctg 2
3. Selesaikan persamaan
4. Selesaikan persamaan 3-(5. Cari bilangan penyelesaian integer kepada ketaksamaan 16's 2 ≥0 yang memenuhi syarat 3 tg 2
6. Selesaikan persamaan
7. Selesaikan persamaan -25x 2 +40x-23=( cos
8. Cari hasil darab punca-punca persamaan x
9. Selesaikan persamaan
10. Selesaikan persamaan 3- cos 2

Lembaran ujian kendiri. Lampiran 5. 1. Selesaikan persamaan Penyelesaian: kerana , maka kerana dan kemudian
kita mendapat sistem persamaan

selesaikan persamaan pertama, dapatkan x=, gantikan nilai ini ke dalam persamaan kedua

2 . Selesaikan persamaan 3- cos 2 Penyelesaian: kerana , maka kerana dan kemudian
kita mendapat sistem persamaan

selesaikan persamaan kedua, dapatkan x=, gantikan nilai ini ke dalam persamaan pertama

ini bermakna x= ialah penyelesaian kepada persamaan asal. Jawapan: x=
3. Cari bilangan penyelesaian integer kepada ketaksamaan x 2 +7х-8≤0, memenuhi syarat ctg 2 Penyelesaian: kerana dan kemudian untuk sebarang nilai x yang boleh diterima kita akan mencari sifar trinomial kuadratik, menggunakan teorem Vieta kita akan menyelesaikan ketaksamaan dengan kaedah selang.
Itu. kita tahu itu
nilai integer x ialah nombor yang dihapuskan Jawapan: 8 penyelesaian integer 4. Cari bilangan penyelesaian integer kepada ketaksamaan 16's 2 ≥0 yang memenuhi syarat 3 tg 2 Penyelesaian: kerana dan kemudian untuk sebarang nilai x yang dibenarkan, kita dapati sifar bagi ungkapan, x = dan x = Selesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang
Itu. kita tahu itu

nilai integer x ialah nombor yang dihapuskan Jawapan: 7 penyelesaian integer
Lampiran 6.

Kaedah menggunakan fungsi yang monotoni. Apabila menyelesaikan persamaan seperti f(x)=g(x) dalam sesetengah kes, kaedah yang berkesan ialah menggunakan kemonotonan fungsi y= f(x) dan y= g(x) Jika fungsi y= f(x) adalah selanjar dan meningkat (menurun) pada segmen a≤ x ≤ b, dan fungsi у= g(x) adalah berterusan dan berkurang (meningkat) pada segmen yang sama, maka persamaan f(x)=g(x) pada segmen a≤ x ≤ b boleh mempunyai tidak lebih daripada satu punca, yang bermaksud sama ada perlu cuba mencari satu-satunya punca persamaan dengan pemilihan, atau menunjukkan bahawa punca tersebut tidak wujud. Kaedah ini amat berkesan dalam kes apabila kedua-dua belah persamaan f(x) = g(x) adalah fungsi "menyusahkan" untuk kajian bersama. Ulasan: Jika fungsi y= f(x) bertambah, dan fungsi y= g(x) berkurang untuk a≤ x ≤ b Dan pada masa yang sama f(a)>g(A), maka punca-punca persamaan adalah antara a≤ x ≤ b Tidak.

Contoh: Selesaikan persamaanPenyelesaian: Julat nilai persamaan yang boleh diterima ialah x
. Adalah mudah untuk melihat bahawa di rantau ini bahagian kiri persamaan meningkat, dan bahagian kanan berkurangan, i.e. fungsif(x)=
semakin meningkat, dan fungsig(x)=
- berkurangan. Dalam hal ini, persamaan asal hanya boleh mempunyai satu punca (jika ada). Dengan pemilihan kita dapati punca persamaan x = 2.Jawab: x=2
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan fungsi. Antara yang paling banyak tugasan yang kompleks Peperiksaan Negeri Bersepadu termasuk masalah yang penyelesaiannya bermuara kepada pertimbangan persamaan fungsi bentuk f(f(….f(x)…))=x atau f(g(x))=f(h(x)), dengan f(x),g(x),h(x) ialah beberapa fungsi dan n≥ 2
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan fungsi ini adalah berdasarkan penggunaan banyak teorem, mari kita pertimbangkan salah satu daripadanya.
Teorem 1. Punca-punca persamaan f(x)=0 ialah punca-punca persamaan f(f(….f(x)…))=x
Contoh: Selesaikan persamaan x=
, di mana punca kuasa dua diambilnsekali dann≥ 1 Penyelesaian: Daripada keadaan masalah ia mengikuti bahawa x> 0. Biarkanf(x)=
, maka persamaan kita boleh diwakili sebagai fungsi f( f(…. f( x)…))= x. Sejak pada x> 0 fungsif(x)= meningkat danf(x) > 0, maka persamaan x= adalah bersamaan dengan persamaanf(x)= x, iaitu =x, penyelesaian positifnya ialah x=
Jawapan: x=

Disediakan dan dikendalikan oleh guru matematik

MCOU "Sekolah Menengah No. 1" Povorino

Wilayah Voronezh

Kartashova S. A.

2014

Topik pelajaran:"Menyelesaikan Persamaan kaedah bukan standard menggunakan sifat fungsi"

Bentuk pengajaran ialah syarahan diikuti dengan pengukuhan. Direka untuk 2 pelajaran

(Slaid No. 1)

Objektif pelajaran:

Ulang dan umumkan pengetahuan tentang topik: "Sifat fungsi"

Belajar menggunakan kaedah berfungsi untuk menyelesaikan persamaan

Membangunkan pemikiran logik, pemerhatian

Memupuk aktiviti dan inisiatif kreatif.

(slaid No. 2)

peralatan: papan putih interaktif, komputer dengan pembentangan.

Rancangan pengajaran:

Detik organisasi.

Motivasi aktiviti pendidikan(mesej topik, matlamat pelajaran).

Pengemaskinian pengetahuan asas (pengulangan sifat fungsi asas).

Mempelajari bahan baru (kaedah berfungsi untuk menyelesaikan persamaan).

Pemantapan pengetahuan (latihan penyelesaian).

Merumuskan. Penilaian.

Kemajuan pelajaran.

cikgu:

Untuk menyelesaikan kebanyakan persamaan yang dihadapi dalam peperiksaan, sudah cukup untuk menguasai kursus matematik sekolah, tetapi pada masa yang sama adalah perlu untuk dapat menyelesaikan bukan sahaja menggunakan teknik standard yang bertujuan untuk melengkapkan jenis tertentu persamaan, tetapi juga kaedah "tidak standard", yang akan kita bincangkan hari ini di dalam kelas. Salah satu kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini adalah berfungsi, berdasarkan penggunaan sifat-sifat fungsi. Tidak seperti kaedah grafik, pengetahuan tentang sifat fungsi membolehkan anda mencari punca sebenar persamaan, tanpa perlu membina graf fungsi. Menggunakan sifat fungsi membantu merasionalkan penyelesaian persamaan.

(slaid No. 3)

Jom jawab soalan:

Apakah persamaan yang dipanggil?

Apakah punca persamaan?

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan?

Apakah fungsi yang dipanggil?

Apakah domain fungsi?

Apakah julat sesuatu fungsi?

(slaid No. 4)

Mari kita pertimbangkan(slaid No. 5)

CONTOH 1. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: ODZ:

Jawapan: tiada penyelesaian.

(slaid No. 6)

CONTOH 2. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian: ODZ:

ODZ terdiri daripada satu titik x=1. Ia kekal untuk menyemak sama ada x=1 ialah punca persamaan. Menggantikan, kita melihat bahawa x=1 ialah punca persamaan.

Jawapan: x=1.

cikgu:

Kadang-kadang ternyata cukup untuk mempertimbangkan bukan keseluruhan domain definisi fungsi, tetapi hanya subsetnya, di mana fungsi mengambil nilai yang memenuhi syarat tertentu (contohnya, hanya nilai bukan negatif)

(slaid no. 7 )

CONTOH 3.

Penyelesaian. Mari cari persilangan domain definisi fungsi di sebelah kanan dan kiri persamaan:

D 1

Mari kita hadkan setD, dengan mengambil kira bahawa bahagian kiri persamaan adalah bukan negatif, dan, oleh itu, ia sepatutnya sama sebelah kanan yu Untuk melakukan ini, kita perlu mempertimbangkan persimpangan setDdengan banyak penyelesaian kepada ketidaksamaan , iaitu dengan banyak . Oleh itu, sudah cukup untuk mempertimbangkan persamaan pada set .

Dengan penggantian kita memastikan bahawa kedua-dua elemen berfungsi sebagai penyelesaian kepada persamaan.

Jawapan: -3; 2.

(slaid no. 8 )

CONTOH 4.

Penyelesaian.

Memandangkan itu Punca persamaan ialah x=4.

Jawapan: 4.

cikgu:

Mari kita beralih kepada menyelesaikan persamaan menggunakan konsep julat nilai fungsi.

(slaid No. 9-No. 10)

(slaid No. 11)

CONTOH 1.

Penyelesaian. Kerana , maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

CONTOH 2.

Penyelesaian. ODZ:

Jawapan: tiada penyelesaian.

cikgu:

Jika fungsi f ( x ) pada selang X dibatasi dari atas, dan fungsi g ( x ) bersempadan di bawah, maka persamaannya f ( x ) = g ( x ) adalah bersamaan dengan sistem

(slaid No. 12)

CONTOH 3.

Penyelesaian. Mengikut definisi,

Kesaksamaan tercapai jika

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

Apabila x=0, persamaan kedua bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.

Oleh itu, penyelesaian kepada sistem dan persamaan ini ialah x=0.

Jawapan: 0.

(slaid No. 13-14)

CONTOH 4.

Penyelesaian.

Mari cari maksimum fungsi ini pada selang (2;4) menggunakan terbitan.

= 0,

g’ + -

g 2 3 4 x

Maks

g(3)=2.Kami ada

Kemudian persamaan yang diberikan setara dengan sistem

Setelah menyelesaikan persamaan pertama sistem, kita mendapat x=3, dengan menyemak, menggantikannya ke dalam persamaan kedua, kita akan memastikan bahawa x=3 ialah penyelesaian kepada sistem dan persamaan ini.

Jawapan: 3.

(slaid No. 15)

cikgu:

Kaedah ini sering dijumpai pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Kaedah ini terletak pada fakta bahawa satu bahagian persamaan dihadkan dari atas oleh nombor M tertentu, dan bahagian lain persamaan dihadkan dari bawah oleh nombor yang sama M. Nombor M biasanya dipanggilmajorante , dan kaedah ini ialahkaedah major . Dalam kaedah majorant, seperti yang anda mungkin telah meneka, anda perlu mempunyai pemahaman yang baik tentang apa itu fungsi dan dapat mengkaji sifat-sifat fungsi.

(slaid No. 16)

Latihan untuk penyatuan, pembangunan kemahiran.

Kelas dibahagikan kepada 2 kumpulan mengikut pilihan.

Pilihan 1.

Buktikan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Selesaikan persamaan: Jawapan: 2.6.

Jawapan: 2.

cikgu:

Hari ini kita melihat kaedah bukan standard untuk menyelesaikan persamaan menggunakan sifat fungsi, yang juga boleh digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan, tetapi kita akan membincangkannya dalam beberapa pelajaran seterusnya.

Kesimpulannya, penilaian.

(slaid No. 17)

Kerja rumah:

"Domain definisi fungsi" - Domain definisi fungsi kuadratik– mana-mana nombor sebenar. Suatu fungsi dipanggil logaritma jika kuantiti berubah-ubah berada di bawah tanda logaritma. Fungsi logaritma. Fungsi yang pembolehubahnya berada dalam eksponen dipanggil eksponen. Fungsi kuadratik.

"Sifat umum fungsi" - Sifat am fungsi. Cari domain takrifan fungsi. Malah berfungsi. Sama ada fungsi ini genap atau ganjil. Menggunakan graf, tentukan set nilai fungsi. Dengan menggunakan graf, tentukan nilai X. Dengan menggunakan graf, tentukan selang untuk fungsi itu berkurangan. Fungsi f(x) semakin meningkat. Fungsi y=f(x) diberikan.

"Fungsi meningkat dan berkurangan" - Meningkatkan dan mengurangkan fungsi sinus. Mari kita lihat contoh lain. Selang kosinus menurun ialah segmen, n ialah integer. Biarkan, sebagai contoh, fungsi f menjadi genap dan meningkat pada selang di mana b>a?0. Meningkatkan dan mengurangkan fungsi. Menambah dan mengurangkan fungsi kosinus. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi yang ditakrifkan pada selang [-1;10].

"Aplikasi Kesinambungan" - Maksud Ungkapan. Makna geometri terbitan. Kaedah selang waktu. Tulis persamaan untuk tangen kepada graf fungsi itu. Tangen kepada graf fungsi. Graf adalah hampir dengan tangen. Formula. Mari kita mengira menggunakan formula. Tangen kepada lengkung pada titik M tertentu ialah kedudukan mengehadkan NM sekan. Hiperbola.

"Fungsi melampau" - Pergantungan tekanan gas pada suhu. Topik pelajaran: “Tanda-tanda peningkatan dan penurunan fungsi. Ujian. Tukar kekuatan arus apabila litar dibuka. Penyiasatan fungsi ke ekstrem". Berubah AC. Pelan: Kebergantungan arus pada voltan. Pergantungan tekanan gas pada isipadu. Topik: “Tanda-tanda peningkatan dan penurunan fungsi.

"Fungsi dan sifatnya" - Pembolehubah bebas dipanggil argumen. Meningkatkan fungsi. Definisi fungsi. Malah dan fungsi ganjil. Kemonotonan fungsi. Nilai-nilai pembolehubah bersandar dipanggil nilai-nilai fungsi. Semua nilai pembolehubah bebas membentuk domain takrifan fungsi -D (f). 1. Nilai fungsi adalah positif.

Terdapat 23 pembentangan kesemuanya

Aktiviti pilihan"Pemakaian harta fungsi terhad"

Bahan yang berkaitan dengan persamaan dan ketidaksamaan membentuk bahagian penting dalam kursus matematik sekolah, tetapi jangka masa pelajaran tidak membenarkan kami mempertimbangkan semua isu.

Di samping itu, kandungan minimum mandatori pengajaran matematik, yang ditentukan oleh standard negeri untuk sekolah asas, ditentukan bahan pendidikan untuk pertimbangan mandatori, tetapi bukan untuk penguasaan mandatori (contohnya, kaedah bukan standard untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan, kaedah untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan parameter, dsb.).

Oleh kerana kepentingan dan keluasan bahan yang berkaitan dengan konsep persamaan dan ketaksamaan, kajian mereka dalam kaedah moden matematik disusun menjadi garis kandungan-metodologi - garis persamaan dan ketaksamaan. Terdapat tiga arah utama untuk penempatan baris ini kursus sekolah matematik.

Arah gunaan bagi garis persamaan dan ketaksamaan didedahkan terutamanya semasa belajar kaedah algebra penyelesaian masalah perkataan. Persamaan dan ketaksamaan adalah bahagian utama alat matematik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah perkataan.

Orientasi teori dan matematik didedahkan dalam dua aspek: dalam kajian kelas persamaan yang paling penting, ketaksamaan dan sistemnya, dan dalam kajian konsep dan kaedah umum yang berkaitan dengan garis secara keseluruhan.

Garis persamaan dan ketaksamaan juga berkait rapat dengan garis berfungsi. Di satu pihak, terdapat aplikasi kaedah yang dibangunkan dalam garis persamaan dan ketaksamaan untuk kajian fungsi. Sebaliknya, garis kefungsian mempunyai kesan yang ketara ke atas kedua-dua kandungan garis persamaan dan ketaksamaan serta gaya kajiannya. Khususnya, perwakilan berfungsi berfungsi sebagai asas untuk menarik kejelasan grafik kepada penyelesaian dan kajian persamaan dan ketaksamaan.

Dalam kursus algebra yang kami pelajari di bawah penyuntingan Mordkovich, garis grafik berfungsi dipilih sebagai keutamaan. Semua bahan dibina mengikut skema tegar: fungsi-persamaan-transformasi.

Selalunya dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu terdapat tugas yang boleh diselesaikan menggunakan sifat fungsi. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk memasukkan bahan ini dalam kursus elektif. Namun begitu, saya lebih suka mempertimbangkan beberapa tugasan ini dalam pelajaran, bermula dari darjah 9.

Mengaplikasikan sifat fungsi apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan

Menggunakan sifat sempadan.

Menggunakan skop fungsi.

Menggunakan kemonotonan fungsi untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Menggunakan konsep kawasan perubahan fungsi.

- Menggunakan sifat genap atau ganjil dan keberkalaan fungsi.

SLAID 2.

Pembentangan saya didedikasikan untuk hanya satu daripada kaedah bukan piawai untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan berdasarkan sifat keterbatasan fungsi yang termasuk dalam persamaan (ketaksamaan). Tugas yang saya cadangkan boleh dipertimbangkan dalam pelajaran yang diketepikan untuk menyediakan pelajar untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu (tiga atau empat pelajaran), atau anda boleh menggunakan satu atau dua masalah setiap pelajaran, juga bahan ini boleh digunakan dalam kelas elektif (atau dalam kelas kursus elektif).

Sudah berada di gred ke-9, apabila mengkaji sifat had, saya menarik perhatian kepada kepentingan harta ini dan kemungkinan menggunakannya dalam

Mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi;

Mencari set nilai fungsi.

SLAID3.

Penyelesaian kepada beberapa tugasan dipertimbangkan. Pertama, definisi asas harus diulang. SLAID 4.

Slaid 5-9 memeriksa tugasan untuk mencari nilai terkecil atau terbesar bagi sesuatu fungsi.

SLAID 10.

Penggunaan sifat keterbatasan fungsi untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

1. KAEDAH UTAMA (KAEDAH PENILAIAN)

Idea utama kaedah utama adalah seperti berikut:

Mari kita mempunyai persamaan dan terdapat nombor sedemikian M itu untuk sesiapa sahaja X daripada domain takrifan https://pandia.ru/text/78/376/images/image003_26.gif" width="160" height="23">. Kemudian persamaannya adalah bersamaan dengan sistem https://pandia .ru/text/78 /376/images/image005_16.gif" width="96" height="35 src=">.

Penyelesaian. Mari kita anggarkan kedua-dua belah persamaan.

Untuk semua nilai X ketaksamaan https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_10.gif" width="188" height="59 src="> adalah benar.

Sistem yang terhasil tidak mempunyai penyelesaian, kerana https://pandia.ru/text/78/376/images/image009_6.gif" width="20" height="20">

Contoh 1.2 ..gif" width="157" height="20">.gif" width="75" height="51 src=">.

Penyelesaian kepada persamaan pertama sistem ialah nilai https://pandia.ru/text/78/376/images/image014_3.gif" width="201" height="48 src=">.

Oleh itu, penyelesaian sistem.

Jawapan: .

Contoh 1.3. Selesaikan ketaksamaan https://pandia.ru/text/78/376/images/image016_0.gif" width="56" height="19">.gif" width="84" height="21">.gif" width="156 height=61" height="61">.

Penggantian terbalik: X + 1 = 0 .

Jawapan: - 1.

Contoh 1.4. Cari semua nilai parameter A, bagi setiap persamaan yang mempunyai penyelesaian. Cari penyelesaian ini.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk . Untuk semua nilai X ungkapan oleh itu https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_0.gif" width="87" height="19 src="> and ..gif" width="405" height="91">

Jawapan: https://pandia.ru/text/78/376/images/image031_0.gif" width="51" height="41 src=">

2. “PERTEMUAN DI TEPI”

Variasi kaedah major ialah masalah (“ pertemuan di tepi") di mana set nilai sisi kiri dan kanan persamaan atau ketaksamaan mempunyai titik biasa, yang merupakan nilai terbesar untuk satu bahagian dan terkecil untuk bahagian yang lain.

Bagaimana untuk mula menyelesaikan masalah sedemikian? Pertama sekali - bawa persamaan yang diberikan atau ketidaksamaan kepada lebih pandangan ringkas: dengan pemfaktoran, menyingkirkan modul, logaritma, dan lain-lain. Kemudian anda perlu membaca tugas dengan teliti sekali lagi, cuba lukis imej grafik fungsi yang disertakan dalam tugas itu.

Contoh 2.1. Selesaikan persamaan.

Penyelesaian. Punca persamaan mudah diteka - memang begitu x= 1. Tetapi tidak mungkin untuk membuktikan keunikannya daripada pertimbangan monotonisitas, kerana kedua-dua belah kiri mahupun kanan persamaan bukanlah fungsi monotonik. Idea lain digunakan di sini..gif" width="191" height="51">. Nilai terbesar bagi sebelah kanan persamaan yang terhasil ialah 1 dan diambil pada titik x= 1..gif" width="185" height="52 src=">). Oleh itu, bahagian kiri mencapai pada x= 1 daripada anda nilai terendah, yang juga sama dengan 1. Kesimpulan: kesaksamaan dipenuhi jika dan hanya jika kedua-dua belah secara serentak sama dengan 1, iaitu apabila x = 1.

Contoh 2.2. Selesaikan persamaan.

1 cara.

Penyelesaian: Perhatikan bahawa bahagian kiri persamaan tidak lebih besar daripada satu, manakala bahagian kanan tidak kurang daripada satu. Oleh itu, persamaan asal mempunyai penyelesaian hanya jika kedua-dua belahnya adalah sama dengan satu. Ini hanya boleh dilakukan dengan .

Jawapan: .

Kaedah 2. Persamaan ini boleh diselesaikan secara grafik. Untuk melakukan ini, mari kita bina graf sisi kanan dan kiri persamaan dalam satu sistem koordinat, iaitu, graf fungsi dan graf fungsi https://pandia.ru/text/78/376/images /image008_7.gif" width="37" height=" 19">.

Jawapan: .

Contoh 2. 3. Selesaikan persamaan https://pandia.ru/text/78/376/images/image042_0.gif" width="301" height="35 src=">

maka persamaan ini berpuas hati hanya jika sistem berpuas hati . Persamaan pertama sistem mempunyai punca tunggal X= 1, tetapi punca ini tidak memenuhi persamaan kedua. Oleh itu, sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jawab: Æ

Contoh 2.4. Selesaikan persamaan https://pandia.ru/text/78/376/images/image045_0.gif" width="105" height="21">, kemudian bahagian kiri persamaan mengambil nilai dari hingga 2. .gif" width=" 137" height="53">..gif" width="217" height="24"> mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

Mari kita anggarkan kedua-dua belah ketidaksamaan. Untuk melakukan ini, kami menukar bahagian kanan ketaksamaan, memilih petak lengkap ..gif" width="71" height="19">.gif" width="121" height="24 src=">.gif " width="51" height ="41">(iaitu, terdapat “mesyuarat di tepi”).

Jawab:

Contoh 2.6. Cari semua nilai parameter A yang mana persamaan

Galaeva Ekaterina, pelajar gred ke-11 Sekolah Menengah MAOU No. 149 di Nizhny Novgorod

Kerja ini bersifat gunaan dan penyelidikan. Untuk kesempurnaan, kajian telah disemak soalan-soalan berikut:

– Bagaimanakah sifat sesuatu fungsi dicerminkan semasa menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan?

– Apakah persamaan dan ketaksamaan yang diselesaikan dengan menentukan sifat domain definisi, set nilai, invarian?

– Apakah algoritma penyelesaian?

– Tugas yang dipertimbangkan dengan parameter yang dicadangkan dalam bahan KIM sebagai persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Dalam kerjanya, Ekaterina meneliti pelbagai masalah dan menyusunnya mengikut penampilan.

Muat turun:

Pratonton:

https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Terima kasih atas perhatian anda!

Pratonton:

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google dan log masuk kepadanya: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Aplikasi sifat fungsi apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan Menyelesaikan kerja: Galaeva Ekaterina MBOU Sekolah Menengah No. 149 Daerah Moskovsky Murid kelas 11 "A" Penyelia saintifik: Fadeeva I. A. Guru matematik

Arahan utama: Mengkaji sifat fungsi: monotonicity, boundedness, domain of definition and invariance Ketahui pernyataan asas yang paling kerap digunakan semasa menyelesaikan persamaan, ketaksamaan dan sistem Menyelesaikan masalah daripada bahan CMM untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersepadu

Monotonisitas Fungsi bertambah jika nilai yang lebih tinggi hujah sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi berkurangan jika nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Pernyataan 1. Jika fungsi y = f (x) adalah monotonik, maka persamaan f (x) = c mempunyai paling banyak satu punca. x =2 f(x) = - menurun secara monoton, bermakna tiada penyelesaian lain. Jawapan: x =2

Pernyataan 2. Jika fungsi y = f (x) meningkat secara monoton, dan fungsi y = g (x) menurun secara monoton, maka persamaan f (x) = g (x) mempunyai paling banyak satu punca. 2 - x = log (x +11) + 1 g (x) = 2 - x menurun secara monoton, dan fungsi f (x) = log (x + 11) + 1 meningkat secara monoton pada domain definisi, yang bermakna persamaan f (x ) = g (x) mempunyai paling banyak satu punca. Dengan pemilihan kita menentukan bahawa x = -1. Pernyataan di atas membenarkan keunikan penyelesaian.

a) f (x) ≤ g (x) jika dan hanya jika x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) jika dan hanya jika x ϵ [x 0 ; +∞). Makna visual pernyataan ini adalah jelas Pernyataan 3. Jika fungsi y = f (x) meningkat secara monoton pada keseluruhan garis nombor, fungsi y = g (x) menurun secara monoton pada keseluruhan garis nombor dan f (x 0) = g (x 0), maka pernyataan berikut adalah benar:

Selesaikan ketaksamaan Penyelesaian. Fungsi f (x) = monotonik meningkat pada keseluruhan garis nombor, dan fungsi g (x) = monotoni berkurang pada keseluruhan domain definisi. Oleh itu, ketaksamaan f (x) > g (x) berpuas hati jika x > 2. Mari kita tambah domain takrifan ketaksamaan itu. Oleh itu, kita memperoleh sistem Jawapan: (2; 5).

Pernyataan 4. Jika fungsi y = f (x) meningkat secara monoton, maka persamaan f (x) = x dan f (f (x)) = x mempunyai set punca yang sama, tanpa mengira bilangan benam. Akibat. Jika n ialah nombor asli, dan fungsi y = f (x) meningkat secara monoton, maka persamaan f (x) = x dan n kali mempunyai set punca yang sama.

Selesaikan persamaan. Jawapan: Penyelesaian. Untuk x ≥1, bahagian kanan persamaan tidak kurang daripada 1, dan bahagian kiri kurang daripada 1. Oleh itu, jika persamaan mempunyai punca, maka mana-mana daripadanya adalah kurang daripada 1. Untuk x ≤0, kanan sebelah persamaan adalah bukan positif, dan sebelah kiri adalah positif, disebabkan oleh fakta bahawa . Oleh itu, mana-mana punca persamaan ini tergolong dalam selang (0; 1. Mendarab kedua-dua belah persamaan ini dengan x dan membahagikan pengangka dan penyebut bahagian kiri dengan x, kita dapat).

Daripada = . Menandakan dengan t, di mana t 0, kita memperoleh persamaan = t. Mari kita pertimbangkan fungsi f (t)= 1+ yang meningkat pada domain definisinya. Persamaan yang terhasil boleh ditulis dalam bentuk f (f (f (f (t))))= t, dan dengan akibat Pernyataan 4, ia mempunyai set penyelesaian yang sama seperti persamaan f (t)= t, i.e. persamaan 1 + = t, dari mana. Satu-satunya akar positif persamaan relatif kuadratik ini ialah. Ini bermakna di mana, i.e. , atau. Jawapan:

Pernyataan 1. Jika max f (x) = с dan min g (x) = с, maka persamaan f (x) = g (x) mempunyai set penyelesaian yang sama seperti Boundedness sistem Nilai maksimum bahagian kiri ialah 1 dan nilai minimum sebelah kanan 1, yang bermaksud bahawa penyelesaian kepada persamaan dikurangkan kepada sistem persamaan: , daripada persamaan kedua kita dapati calon yang mungkin x=0, dan kita yakin bahawa ia adalah penyelesaian kepada persamaan pertama. Jawapan: x=1 .

Selesaikan persamaan Penyelesaian. Oleh kerana sin3x≤1 dan cos4x≤1, bahagian kiri persamaan ini tidak melebihi 7. Ia boleh bersamaan dengan 7 jika dan hanya jika di mana k , n ϵ Z . Ia kekal untuk menentukan sama ada terdapat integer k dan n sedemikian sistem terkini mempunyai penyelesaian. Jawapan: Z

Dalam masalah dengan x dan parameter a yang tidak diketahui, domain definisi difahami sebagai set semua pasangan nombor tersusun (x; a), setiap satunya adalah sedemikian rupa sehingga selepas menggantikan nilai x dan a yang sepadan ke dalam semua hubungan termasuk dalam masalah, mereka akan ditentukan. Contoh 1. Bagi setiap nilai parameter a, selesaikan Penyelesaian ketaksamaan. Mari kita cari domain definisi ketidaksamaan ini. Dari mana jelas bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian. Ini bermakna bahawa domain takrifan ketaksamaan tidak mengandungi sebarang pasangan nombor x dan a, dan oleh itu ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian. Jawapan Skop:

Invarian, i.e. invarian bagi persamaan atau ketaksamaan berkenaan dengan penggantian pembolehubah dengan mana-mana ungkapan algebra daripada pembolehubah ini. Contoh paling mudah bagi invarian ialah pariti: jika – malah berfungsi, maka persamaan adalah invarian di bawah penggantian x dan – x, sejak = 0. Invarian

Cari punca-punca persamaan. Penyelesaian. Ambil perhatian bahawa pasangan adalah invarian di bawah penggantian. Menggantikan dalam kesaksamaan, kita dapat. Dengan mendarab kedua-dua belah kesamaan ini dengan 2 dan menolak sebutan kesamaan dengan sebutan daripada kesamaan yang terhasil, kita dapati 3, dari mana. Sekarang yang tinggal hanyalah menyelesaikan persamaan, dari mana punca persamaan adalah nombor. Jawapan: .

Cari semua nilai a bagi setiap satu yang persamaannya mempunyai lebih daripada tiga pelbagai penyelesaian. Menyelesaikan masalah dengan parameter sifat Monotonicity

|x|= positif X= |x|= Untuk wujud dua punca, pengangka mestilah positif. Oleh itu, Apabila punca persamaan pertama dan kedua bertepatan, yang tidak memenuhi keperluan syarat: kehadiran lebih daripada tiga punca. Jawapan: .

Cari semua nilai a untuk setiap persamaan yang mempunyai dua punca. Mari kita ubah persamaan kepada bentuk Dan pertimbangkan fungsi f(x) = ditakrif dan berterusan pada keseluruhan garis nombor. Graf fungsi ini ialah garis putus yang terdiri daripada segmen lurus dan sinar, setiap pautannya merupakan sebahagian daripada garis lurus berbentuk y= kt+l. f(x)= Untuk sebarang nilai, pendedahan modulus ungkapan pertama k tidak melebihi 8, oleh itu peningkatan dan penurunan fungsi f(x) akan bergantung kepada pendedahan modul kedua. Pada x f(x) akan berkurangan, dan pada x ia akan meningkat. Iaitu, untuk x=3 fungsi akan mengambil nilai tertinggi. Agar persamaan mempunyai dua punca, adalah perlu bahawa sifat monotonisitas f(3).

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Jawapan: a

Cari semua nilai parameter a, bagi setiap satu yang ketaksamaan dipegang untuk sebarang nilai sebenar x Mari kita tulis semula ketaksamaan dalam bentuk, perkenalkan pembolehubah baru t = dan pertimbangkan fungsi f (t) =, ditakrifkan. dan berterusan pada keseluruhan garis nombor. Graf fungsi ini ialah garis putus-putus yang terdiri daripada segmen garis dan sinar, setiap pautannya merupakan sebahagian daripada garis bentuk, di mana

Oleh kerana, maka t ϵ [-1; 1]. Disebabkan penurunan monotonik fungsi y = f (t), sudah cukup untuk memeriksa tepi kiri segmen ini. Z. A adalah benar Ini bermakna ia hanya mungkin jika nombor dan dan v adalah tanda yang sama atau salah satu daripadanya adalah sama dengan sifar. , = () () 0. Setelah memfaktorkan trinomial kuadratik, kita memperoleh ketaksamaan (, dari mana kita dapati bahawa ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Jawapan: (- ∞; - 1] U (2) U )