Mari kita gunakan pengurangan pecahan 23. Pengurangan pecahan: peraturan dan contoh

DALAM kali terakhir Kami telah menyusun rancangan yang boleh anda ikuti untuk mengetahui cara mengurangkan pecahan dengan cepat. Sekarang mari kita pertimbangkan contoh khusus pengurangan pecahan.

Contoh.

Mari kita periksa sama ada nombor yang lebih besar boleh dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil (pembilang dengan penyebut atau penyebut dengan pengangka)? Ya, dalam ketiga-tiga contoh ini nombor yang lebih besar dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil. Oleh itu, kita mengurangkan setiap pecahan dengan nombor yang lebih kecil (oleh pengangka atau penyebut). Kami ada:

Mari kita semak sama ada nombor yang lebih besar boleh dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil? Tidak, ia tidak berkongsi.

Kemudian kita meneruskan untuk menyemak titik seterusnya: adakah kemasukan kedua-dua pengangka dan penyebut berakhir dengan satu, dua atau lebih sifar? Dalam contoh pertama, pengangka dan penyebut berakhir dengan sifar, dalam contoh kedua, dua sifar, dan dalam ketiga, tiga sifar. Ini bermakna kita mengurangkan pecahan pertama sebanyak 10, yang kedua dengan 100, dan yang ketiga dengan 1000:

Kami mendapat pecahan tidak boleh dikurangkan.

Nombor yang lebih besar tidak boleh dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil, dan nombor tidak berakhir dengan sifar.

Sekarang mari kita semak sama ada pengangka dan penyebut berada dalam lajur yang sama dalam jadual pendaraban? 36 dan 81 kedua-duanya boleh dibahagi dengan 9, 28 dan 63 boleh dibahagi dengan 7, dan 32 dan 40 boleh dibahagi dengan 8 (ia juga boleh dibahagi dengan 4, tetapi jika ada pilihan, kita akan sentiasa mengurangkan dengan yang lebih besar). Oleh itu, kami sampai kepada jawapan:

Semua nombor yang diperolehi adalah pecahan tidak boleh dikurangkan.

Nombor yang lebih besar tidak boleh dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil. Tetapi rekod kedua-dua pengangka dan penyebut berakhir dengan sifar. Jadi, kita kurangkan pecahan sebanyak 10:

Pecahan ini masih boleh dikurangkan. Kami menyemak jadual pendaraban: kedua-dua 48 dan 72 boleh dibahagikan dengan 8. Kami mengurangkan pecahan sebanyak 8:

Kita juga boleh mengurangkan pecahan yang terhasil sebanyak 3:

Pecahan ini tidak boleh dikurangkan.

Nombor yang lebih besar tidak boleh dibahagikan dengan nombor yang lebih kecil. Pengangka dan penyebut berakhir dengan sifar Ini bermakna kita mengurangkan pecahan sebanyak 10.

Kami menyemak nombor yang diperoleh dalam pengangka dan penyebut untuk dan. Oleh kerana jumlah digit kedua-dua 27 dan 531 boleh dibahagikan dengan 3 dan 9, pecahan ini boleh dikurangkan sama ada 3 atau 9. Kami memilih yang lebih besar dan mengurangkan sebanyak 9. Hasil yang terhasil ialah pecahan tidak boleh dikurangkan.

Jika kita perlu membahagikan 497 dengan 4, maka apabila membahagikan kita akan melihat bahawa 497 tidak boleh dibahagi sama rata dengan 4, i.e. baki bahagian kekal. Dalam kes sedemikian dikatakan bahawa ia telah selesai pembahagian dengan baki, dan penyelesaiannya ditulis seperti berikut:
497: 4 = 124 (1 baki).

Komponen bahagian di sebelah kiri kesamaan dipanggil sama seperti dalam bahagian tanpa baki: 497 - dividen, 4 - pembahagi. Hasil bahagi apabila dibahagikan dengan baki dipanggil peribadi yang tidak lengkap. Dalam kes kami, ini adalah nombor 124. Dan akhirnya, komponen terakhir, yang bukan dalam bahagian biasa, ialah baki. Dalam kes di mana tiada baki, satu nombor dikatakan dibahagikan dengan yang lain tanpa jejak, atau sepenuhnya. Adalah dipercayai bahawa dengan pembahagian sedemikian bakinya adalah sifar. Dalam kes kami, bakinya ialah 1.

Baki sentiasa kurang daripada pembahagi.

Pembahagian boleh disemak dengan pendaraban. Jika, sebagai contoh, terdapat kesamaan 64: 32 = 2, maka semakan boleh dilakukan seperti ini: 64 = 32 * 2.

Selalunya dalam kes di mana pembahagian dengan baki dilakukan, adalah mudah untuk menggunakan kesamaan
a = b * n + r,
di mana a ialah dividen, b ialah pembahagi, n ialah hasil bahagi separa, r ialah baki.

Hasil bagi nombor asli boleh ditulis sebagai pecahan.

Pengangka pecahan ialah dividen, dan penyebutnya ialah pembahagi.

Oleh kerana pengangka pecahan ialah dividen dan penyebutnya ialah pembahagi, percaya bahawa garis pecahan bermaksud tindakan pembahagian. Kadang-kadang mudah untuk menulis pembahagian sebagai pecahan tanpa menggunakan tanda ":".

Hasil bagi pembahagian nombor asli m dan n boleh ditulis sebagai pecahan \(\frac(m)(n) \), dengan pengangka m ialah dividen, dan penyebut n ialah pembahagi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Peraturan berikut adalah benar:

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), anda perlu membahagi satu dengan n bahagian yang sama(saham) dan mengambil m bahagian tersebut.

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), anda perlu membahagikan nombor m dengan nombor n.

Untuk mencari sebahagian daripada keseluruhan, anda perlu membahagikan nombor yang sepadan dengan keseluruhan dengan penyebut dan mendarabkan hasilnya dengan pengangka bagi pecahan yang menyatakan bahagian ini.

Untuk mencari keseluruhan daripada bahagiannya, anda perlu membahagikan nombor yang sepadan dengan bahagian ini dengan pengangka dan mendarabkan hasilnya dengan penyebut pecahan yang menyatakan bahagian ini.

Jika kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan nombor yang sama (kecuali sifar), nilai pecahan itu tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jika kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan dibahagikan dengan nombor yang sama (kecuali sifar), nilai pecahan tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Harta ini dipanggil sifat utama pecahan.

Dua transformasi terakhir dipanggil mengurangkan pecahan.

Jika pecahan perlu diwakili sebagai pecahan dengan penyebut yang sama, maka tindakan ini dipanggil mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa .

Pecahan wajar dan tidak wajar. nombor bercampur

Anda sudah tahu bahawa pecahan boleh diperoleh dengan membahagikan keseluruhan kepada bahagian yang sama dan mengambil beberapa bahagian tersebut. Sebagai contoh, pecahan \(\frac(3)(4)\) bermaksud tiga perempat daripada satu. Dalam kebanyakan masalah dalam perenggan sebelumnya, pecahan digunakan untuk mewakili bahagian keseluruhan. Akal sehat mencadangkan bahawa bahagian harus sentiasa kurang daripada keseluruhan, tetapi kemudian bagaimana pula dengan pecahan seperti, sebagai contoh, \(\frac(5)(5)\) atau \(\frac(8)(5)\)? Adalah jelas bahawa ini bukan lagi sebahagian daripada unit. Inilah sebabnya mengapa pecahan yang pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebut dipanggil pecahan tak wajar. Pecahan lain, iaitu pecahan yang pengangkanya kurang daripada penyebut, dipanggil pecahan yang betul.

Seperti yang anda tahu, mana-mana pecahan sepunya, betul dan salah, boleh dianggap sebagai hasil pembahagian pengangka dengan penyebut. Oleh itu, dalam matematik, tidak seperti bahasa biasa, istilah "pecahan tak wajar" tidak bermakna kita melakukan sesuatu yang salah, tetapi hanya pengangka bagi pecahan ini lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya.

Jika suatu nombor terdiri daripada bahagian integer dan pecahan, maka pecahan dipanggil bercampur.

Contohnya:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ialah bahagian integer, dan \(\frac(2)(3) \) ialah bahagian pecahan.

Jika pengangka bagi pecahan \(\frac(a)(b) \) boleh dibahagi dengan nombor asli n, maka untuk membahagi pecahan ini dengan n, pengangkanya mesti dibahagikan dengan nombor ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jika pengangka bagi pecahan \(\frac(a)(b)\) tidak boleh dibahagikan dengan nombor asli n, maka untuk membahagi pecahan ini dengan n, anda perlu mendarabkan penyebutnya dengan nombor ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Perhatikan bahawa peraturan kedua juga benar apabila pengangka boleh dibahagikan dengan n. Oleh itu, kita boleh menggunakannya apabila sukar untuk menentukan pada pandangan pertama sama ada pengangka pecahan boleh dibahagikan dengan n atau tidak.

Tindakan dengan pecahan. Menambah pecahan.

Dengan nombor pecahan, seperti nombor asli, anda boleh lakukan operasi aritmetik. Mari kita lihat penambahan pecahan dahulu. Tambah pecahan dengan mudah penyebut yang sama. Mari kita cari, sebagai contoh, jumlah \(\frac(2)(7)\) dan \(\frac(3)(7)\). Adalah mudah untuk memahami bahawa \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya sama.

Dengan menggunakan huruf, peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama boleh ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jika anda perlu menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, maka mereka mesti terlebih dahulu dibawa ke penyebut biasa. Contohnya:
\(\besar \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Bagi pecahan, bagi nombor asli, sifat komutatif dan bersekutu bagi penambahan adalah sah.

Menambah pecahan bercampur

Notasi seperti \(2\frac(2)(3)\) dipanggil pecahan bercampur. Dalam kes ini, nombor 2 dipanggil keseluruhan bahagian pecahan bercampur, dan nombor \(\frac(2)(3)\) ialah bahagian pecahan. Entri \(2\frac(2)(3)\) dibaca seperti berikut: "dua dan dua pertiga."

Apabila membahagikan nombor 8 dengan nombor 3, anda boleh mendapat dua jawapan: \(\frac(8)(3)\) dan \(2\frac(2)(3)\). Mereka menyatakan nombor pecahan yang sama, iaitu \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Oleh itu, pecahan tak wajar \(\frac(8)(3)\) diwakili sebagai pecahan bercampur \(2\frac(2)(3)\). Dalam kes sedemikian dikatakan bahawa pecahan tak wajar menyerlahkan keseluruhan bahagian.

Menolak pecahan (nombor pecahan)

Penolakan nombor pecahan, seperti nombor asli, ditentukan berdasarkan tindakan penambahan: menolak nombor lain daripada satu nombor bermakna mencari nombor yang, apabila ditambah pada yang kedua, memberikan yang pertama. Contohnya:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sejak \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama adalah serupa dengan peraturan untuk menambah pecahan tersebut:
Untuk mencari perbezaan antara pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menolak pengangka kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya sama.

Menggunakan huruf, peraturan ini ditulis seperti ini:
\(\besar \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mendarab pecahan

Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebutnya dan menulis hasil darab pertama sebagai pengangka, dan yang kedua sebagai penyebut.

Dengan menggunakan huruf, peraturan untuk mendarab pecahan boleh ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Menggunakan peraturan yang dirumuskan, anda boleh mendarab pecahan dengan nombor asli, dengan pecahan bercampur, dan juga mendarab pecahan bercampur. Untuk melakukan ini, anda perlu menulis nombor asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, pecahan bercampur - sebagai pecahan tidak wajar.

Hasil pendaraban hendaklah dipermudahkan (jika boleh) dengan mengurangkan pecahan dan mengasingkan keseluruhan bahagian pecahan tak wajar.

Bagi pecahan, bagi nombor asli, sifat komutatif dan gabungan pendaraban, serta sifat taburan pendaraban berbanding penambahan, adalah sah.

Pembahagian pecahan

Mari kita ambil pecahan \(\frac(2)(3)\) dan “terbalikkannya”, menukar pengangka dan penyebut. Kami mendapat pecahan \(\frac(3)(2)\). Pecahan ini dipanggil terbalik pecahan \(\frac(2)(3)\).

Jika kita kini "terbalikkan" pecahan \(\frac(3)(2)\), kita akan mendapat pecahan asal \(\frac(2)(3)\). Oleh itu, pecahan seperti \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) dipanggil saling songsang.

Sebagai contoh, pecahan \(\frac(6)(5) \) dan \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dan \(\frac (18 )(7)\).

Dengan menggunakan huruf, pecahan salingan boleh ditulis seperti berikut: \(\frac(a)(b) \) dan \(\frac(b)(a) \)

Ia adalah jelas bahawa hasil darab pecahan salingan adalah sama dengan 1. Contohnya: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Menggunakan pecahan salingan, anda boleh mengurangkan pembahagian pecahan kepada pendaraban.

Peraturan untuk membahagi pecahan dengan pecahan ialah:
Untuk membahagi satu pecahan dengan pecahan yang lain, anda perlu mendarabkan dividen dengan salingan pembahagi.

Dengan menggunakan huruf, peraturan untuk membahagi pecahan boleh ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jika dividen atau pembahagi adalah nombor asli atau pecahan bercampur, maka untuk menggunakan peraturan untuk membahagi pecahan, ia mesti diwakili terlebih dahulu sebagai pecahan tak wajar.

Dalam artikel ini kita akan melihat secara terperinci bagaimana mengurangkan pecahan. Mula-mula, mari kita bincangkan apa yang dipanggil mengurangkan pecahan. Selepas ini, mari kita bercakap tentang mengurangkan pecahan boleh dikurangkan kepada bentuk tidak boleh dikurangkan. Seterusnya kita akan mendapatkan peraturan untuk mengurangkan pecahan dan, akhirnya, pertimbangkan contoh penggunaan peraturan ini.

Navigasi halaman.

Apakah yang dimaksudkan untuk mengurangkan pecahan?

Kita tahu bahawa pecahan biasa dibahagikan kepada pecahan boleh dikurangkan dan tidak boleh dikurangkan. Daripada nama anda boleh meneka bahawa pecahan boleh dikurangkan boleh dikurangkan, tetapi pecahan tidak boleh dikurangkan tidak boleh.

Apakah yang dimaksudkan untuk mengurangkan pecahan? Kurangkan pecahan- ini bermakna membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan positif dan berbeza daripada kesatuan. Adalah jelas bahawa hasil daripada mengurangkan pecahan, pecahan baru diperoleh dengan pengangka dan penyebut yang lebih kecil, dan, disebabkan oleh sifat asas pecahan itu, pecahan yang terhasil adalah sama dengan pecahan asal.

Sebagai contoh, mari kita kurangkan pecahan biasa 8/24 dengan membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan 2. Dengan kata lain, mari kita kurangkan pecahan 8/24 dengan 2. Oleh kerana 8:2=4 dan 24:2=12, pengurangan ini menghasilkan pecahan 4/12, yang sama dengan pecahan asal 8/24 (lihat pecahan sama dan tidak sama). Akibatnya, kami mempunyai .

Mengurangkan pecahan biasa kepada bentuk tidak boleh dikurangkan

Lazimnya, matlamat akhir untuk mengurangkan pecahan adalah untuk mendapatkan pecahan tidak boleh dikurangkan yang sama dengan pecahan asal boleh dikurangkan. Matlamat ini boleh dicapai dengan mengurangkan pecahan asal yang boleh dikurangkan kepada pengangka dan penyebutnya. Hasil daripada pengurangan sedemikian, pecahan tidak boleh dikurangkan sentiasa diperolehi. Sesungguhnya, pecahan tidak dapat dikurangkan, kerana diketahui bahawa Dan - . Di sini kita akan mengatakan bahawa yang terbesar pembahagi biasa Pengangka dan penyebut pecahan adalah bilangan terbesar, yang mana pecahan ini boleh dikurangkan.

Jadi, mengurangkan pecahan sepunya kepada bentuk tidak boleh dikurangkan terdiri daripada membahagikan pengangka dan penyebut pecahan asal boleh dikurangkan dengan gcd mereka.

Mari kita lihat contoh, yang mana kita kembali kepada pecahan 8/24 dan kurangkan dengan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 8 dan 24, yang sama dengan 8. Oleh kerana 8:8=1 dan 24:8=3, kita sampai kepada pecahan tak boleh dikurangkan 1/3. Jadi, .

Perhatikan bahawa frasa "mengurangkan pecahan" selalunya bermaksud mengurangkan pecahan asal kepada bentuk tidak boleh dikurangkan. Dalam erti kata lain, mengurangkan pecahan selalunya merujuk kepada membahagikan pengangka dan penyebut dengan faktor sepunya terbesar (bukan dengan mana-mana faktor sepunya).

Bagaimana untuk mengurangkan pecahan? Peraturan dan contoh pecahan pengurangan

Apa yang tinggal ialah melihat peraturan untuk mengurangkan pecahan, yang menerangkan cara mengurangkan pecahan yang diberi.

Peraturan untuk mengurangkan pecahan terdiri daripada dua langkah:

• pertama, gcd pengangka dan penyebut pecahan ditemui;
• kedua, pengangka dan penyebut pecahan dibahagikan dengan gcd mereka, yang memberikan pecahan tidak boleh dikurangkan sama dengan pecahan asal.

Mari kita selesaikan contoh mengurangkan pecahan mengikut peraturan yang ditetapkan.

Contoh.

Kurangkan pecahan 182/195.

Penyelesaian.

Mari kita jalankan kedua-dua langkah yang ditetapkan oleh peraturan untuk mengurangkan pecahan.

Mula-mula kita dapati GCD(182, 195) . Adalah paling mudah untuk menggunakan algoritma Euclidean (lihat): 195=182·1+13, 182=13·14, iaitu GCD(182, 195)=13.

Sekarang kita membahagikan pengangka dan penyebut pecahan 182/195 dengan 13, dan kita mendapat pecahan tidak boleh dikurangkan 14/15, yang sama dengan pecahan asal. Ini melengkapkan pengurangan pecahan.

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut: .

Jawapan:

Di sinilah kita boleh selesai mengurangkan pecahan. Tetapi untuk melengkapkan gambar, mari kita lihat dua lagi cara untuk mengurangkan pecahan, yang biasanya digunakan dalam kes mudah.

Kadangkala pengangka dan penyebut pecahan yang dikurangkan tidaklah sukar. Mengurangkan pecahan dalam kes ini adalah sangat mudah: anda hanya perlu mengalih keluar semua faktor sepunya daripada pengangka dan penyebut.

Perlu diingat bahawa kaedah ini mengikuti secara langsung daripada peraturan pecahan pengurangan, kerana hasil darab semua faktor perdana sepunya bagi pengangka dan penyebut adalah sama dengan pembahagi sepunya terbesar mereka.

Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Kurangkan pecahan 360/2 940.

Penyelesaian.

Mari kita kembangkan pengangka dan penyebut menjadi faktor utama: 360=2·2·2·3·3·5 dan 2 940=2·2·3·5·7·7. Oleh itu, .

Sekarang kita menyingkirkan faktor biasa dalam pengangka dan penyebut untuk kemudahan, kita hanya memotongnya: .

Akhir sekali, kita darabkan baki faktor: , dan pengurangan pecahan selesai.

Di sini nota ringkas penyelesaian: .

Jawapan:

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mengurangkan pecahan, yang terdiri daripada pengurangan berjujukan. Di sini, pada setiap langkah, pecahan dikurangkan dengan beberapa pembahagi biasa pengangka dan penyebut, yang sama ada jelas atau mudah ditentukan menggunakan

Ramai pelajar melakukan kesilapan yang sama apabila bekerja dengan pecahan. Dan semuanya kerana mereka lupa peraturan asas aritmetik. Hari ini kita akan mengulangi peraturan ini pada tugas tertentu yang saya berikan dalam kelas saya.

Inilah tugas yang saya tawarkan kepada semua orang yang sedang membuat persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik:

Tugasan. Porpoise makan 150 gram makanan sehari. Tetapi dia membesar dan mula makan 20% lebih. Berapa gram makanan yang dimakan babi sekarang?

tidak keputusan yang betul. Ini adalah masalah peratusan yang bermuara kepada persamaan:

Banyak (sangat banyak) mengurangkan nombor 100 dalam pengangka dan penyebut pecahan:

Ini adalah kesilapan yang dilakukan oleh pelajar saya pada hari menulis artikel ini. Nombor yang telah dipotong ditandakan dengan warna merah.

Tidak perlu dikatakan, jawapannya adalah salah. Hakim sendiri: babi makan 150 gram, tetapi mula makan 3150 gram. Peningkatan itu bukan 20%, tetapi 21 kali ganda, i.e. sebanyak 2000%.

Untuk mengelakkan salah faham seperti itu, ingat peraturan asas:

Hanya pengganda boleh dikurangkan. Syarat tidak boleh dikurangkan!

Oleh itu, penyelesaian yang betul untuk masalah sebelumnya kelihatan seperti ini:

Nombor yang disingkatkan dalam pengangka dan penyebut ditandakan dengan warna merah. Seperti yang anda lihat, pengangka adalah hasil kali, penyebutnya adalah nombor biasa. Oleh itu, pengurangan itu adalah sah sepenuhnya.

Bekerja dengan perkadaran

Satu lagi kawasan masalah ialah perkadaran. Terutama apabila pembolehubah berada di kedua-dua belah pihak. Contohnya:

Tugasan. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian yang salah - sesetengah orang benar-benar gatal untuk memendekkan semuanya dengan m:

Pembolehubah yang dikurangkan ditunjukkan dalam warna merah. Ungkapan 1/4 = 1/5 ternyata tidak masuk akal, nombor ini tidak pernah sama.

Dan sekarang - keputusan yang betul. Pada asasnya ia biasa persamaan linear . Ia boleh diselesaikan sama ada dengan memindahkan semua elemen ke satu sisi, atau dengan sifat asas perkadaran:

Ramai pembaca akan membantah: "Di manakah kesilapan dalam penyelesaian pertama?" Baiklah, mari kita ketahui. Mari kita ingat peraturan untuk bekerja dengan persamaan:

Mana-mana persamaan boleh dibahagi dan didarab dengan sebarang nombor, bukan sifar.

Adakah anda terlepas helah? Anda hanya boleh membahagi dengan nombor bukan sifar. Khususnya, anda boleh membahagi dengan pembolehubah m hanya jika m != 0. Tetapi bagaimana jika m = 0? Mari kita ganti dan semak:

Kami menerima kesamaan berangka yang betul, i.e. m = 0 ialah punca persamaan. Untuk baki m != 0 kita memperoleh ungkapan bentuk 1/4 = 1/5, yang secara semula jadi tidak betul. Oleh itu, tiada punca bukan sifar.

Kesimpulan: meletakkan semuanya bersama-sama

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan ingat tiga peraturan:

1. Hanya pengganda boleh dikurangkan. Penambahan tidak dibenarkan. Oleh itu, belajar memfaktorkan pengangka dan penyebut;
2. Sifat asas perkadaran: produk unsur melampau sama dengan hasil purata;
3. Persamaan hanya boleh didarab dan dibahagikan dengan nombor k selain sifar. Kes k = 0 mesti diperiksa secara berasingan.

Ingat peraturan ini dan jangan membuat kesilapan.

Pembahagian dan pengangka dan penyebut pecahan pada mereka pembahagi biasa, berbeza daripada satu, dipanggil mengurangkan pecahan.

Untuk mengurangkan pecahan biasa, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan nombor asli yang sama.

Nombor ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi pengangka dan penyebut pecahan yang diberikan.

Berikut adalah mungkin borang merekod keputusan Contoh untuk mengurangkan pecahan biasa.

Pelajar mempunyai hak untuk memilih sebarang bentuk rakaman.

Contoh. Permudahkan pecahan.

Kurangkan pecahan dengan 3 (bahagikan pengangka dengan 3;

bahagikan penyebutnya dengan 3).

Kurangkan pecahan sebanyak 7.

Kami melakukan tindakan yang ditunjukkan dalam pengangka dan penyebut pecahan.

Pecahan yang terhasil dikurangkan sebanyak 5.

Mari kita kurangkan pecahan ini 4) pada 5·7³- pembahagi sepunya (GCD) terbesar bagi pengangka dan penyebut, yang terdiri daripada faktor sepunya pengangka dan penyebut, dibawa ke kuasa dengan eksponen terkecil.

Mari kita faktorkan pengangka dan penyebut pecahan ini ke dalam faktor perdana.

Kami mendapat: 756=2²·3³·7 Dan 1176=2³·3·7².

Tentukan GCD (pembahagi sepunya terbesar) pengangka dan penyebut pecahan 5) .

Ini ialah hasil darab faktor biasa yang diambil dengan eksponen terendah.

GCD(756, 1176)= 2²·3·7.

Kami membahagikan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan gcd mereka, iaitu dengan 2²·3·7 kita mendapat pecahan tidak boleh dikurangkan 9/14 .

Atau mungkin untuk menulis penguraian pengangka dan penyebut dalam bentuk produk faktor perdana, tanpa menggunakan konsep kuasa, dan kemudian mengurangkan pecahan dengan memotong faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut. bila pengganda yang sama tidak akan kekal - kita mendarabkan baki faktor secara berasingan dalam pengangka dan secara berasingan dalam penyebut dan menulis pecahan yang terhasil 9/14 .

Dan akhirnya, adalah mungkin untuk mengurangkan pecahan ini 5) secara beransur-ansur, menggunakan tanda-tanda pembahagian nombor kepada kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan. Kami membuat alasan seperti ini: nombor 756 Dan 1176 berakhir dengan nombor genap, yang bermaksud kedua-duanya boleh dibahagikan dengan 2 . Kami mengurangkan pecahan dengan 2 . Pengangka dan penyebut pecahan baru ialah nombor 378 Dan 588 juga dibahagikan kepada 2 . Kami mengurangkan pecahan dengan 2 . Kami perhatikan bahawa nombor itu 294 - walaupun, dan 189 adalah ganjil, dan pengurangan sebanyak 2 tidak mungkin lagi. Mari kita periksa kebolehbahagiaan nombor 189 Dan 294 pada 3 .

(1+8+9)=18 boleh dibahagi dengan 3 dan (2+9+4)=15 boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu sendiri 189 Dan 294 dibahagikan kepada 3 . Kami mengurangkan pecahan dengan 3 . Seterusnya, 63 boleh dibahagi dengan 3 dan 98 - Tidak. Mari kita lihat faktor utama yang lain. Kedua-dua nombor boleh dibahagi dengan 7 . Kami mengurangkan pecahan dengan 7 dan kita mendapat pecahan tidak boleh dikurangkan 9/14 .